NUMEROS COMPLEJOS

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DESARROLLO DE NUMEROS COMPLEJOS Y OPERACIONES

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1. Nmeros complejos

1

"Pitgoras es probablemente el matemtico ms conocido, pero tambin es clebre en el mbito ms general de la historia de la cultura. Su figura es una de las ms apasionantes e interesantes de la historia del pensamiento. Racionalista y mstico, filsofo y telogo, matemtico y experimentador, hombre de carne y hueso y personaje mtico; Pitgoras es el inductor de una parte considerable de los elementos culturales que han ido conformando la tradicin del pensamiento occidental".

Pedro Miguel Gonzlez Urbaneja

2

3

Pitgoras de Samos (siglo VI a.C.)"La matemtica como ciencia terica es un invento pitagrico".

Contemporneo de Buda, de Confucio y de Lao-Tse, los fundadores de las principales religiones orientales. Se ha llegado a dudar de su existencia. Mathema: "lo que se ensea". Filosofa: "amor a la sabidura". La Tierra era una esfera. El lucero del alba y el de la tarde era el mismo astro: Venus. Nmeros pares e impares. Introdujo en Grecia las medidas y pesos. La clave para comprender el orden del universo estaba en los nmeros.

4

La escuela pitagricaPitgoras huy de Samos debido al dictador Polcrates, y fund en el sur de Italia, en Crotona, una escuela donde enseaba su filosofa matemtica.En ella, los discpulos (hombres y mujeres, de cualquier raza, religin o estrato social. La primera mujer cientfica: Teano) de primer grado, llamados akusmticos (escuchantes) aprendan la doctrina durante 5 aos, en los que no se les permita ver a Pitgoras. Los ms aptos pasaban al segundo grado, donde adquiran conocimientos ms profundos. Ya podan hablar con Pitgoras, y se les llamaba matemticos (conocedores). 5

La secta pitagricaTocar el agua cuando truene. Nunca ponerse un anillo. Nunca mear hacia el sol. Vegetariano estricto. Pero: nunca comer habas (al parecer Pitgoras las aborreca). Transmigracin de las almas (Metempsicosis vs. cristianismo). Cuando los crotonenses vieron que todos los cargos polticos estaban ocupados por pitagricos, arremetieron contra la escuela y la quemaron. Pitgoras, en ropa interior, sali huyendo... Cosmos: universo ordenado y accesible al intelecto. La armona del universo.

Todo es nmero.

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10

"Todo es nmero"

Boscone alchemico, de Tobia Rav, un pintor italiano heredero de la antigua escuela pitagrica, filtrada a travs de la tradicin hebrea de la Gematra, donde todo es nmero. Su obra plasma ese pensamiento en imgenes. www.tobiarava.com/

11

12

"No es digno de llamarse hombre aquel que desconoce que la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con el lado." Sophie Germain

Sonidos de la ciencia:Programa 47: La armona de los mundos

Los pitagricos pensaban que todo poda representarse por razones de nmeros enteros. Cuando Hipaso de Metaponto demostr que 2 no era expresable como cociente de enteros, y rompi la regla de silencio de la secta, revelando al mundo la existencia de estos nuevos nmeros... 13

Nmeros irracionalesTodo nmero racional puede escribirse como n/m, donde n y m son enteros sin factores en comn.2

1

1 Demostracin (1). Es 2 racional? Supongamos que s: 2 = n/m. Elevando al cuadrado: 2 = n2/m2 y n2 = 2m2. De modo que n2 es un entero par n es par. Entonces podemos escribir: n = 2p. As 2m2 = 4p2; m2 = 2p2. Y de nuevo como m2 es un entero par m es par. Contradiccin! (Reduccin al absurdo) Nuestra suposicin inicial es incorrecta 2 no puede escribirse como una fraccin de enteros.

14

Esttica matemticaCompara la demostracin anterior, con la siguiente: Demostracin (2). Es 2 racional? Supongamos que s: 2 = n/m. Elevando al cuadrado: 2 = n2/m2 y n2 = 2m2. Todo entero puede descomponerse como un producto nico de nmeros primos. As en n2 intervienen cierta coleccin de primos idnticos en parejas (est elevado al cuadrado). Idem para m2. Pero, en 2m2 hay un 2 "desemparejado" Contradiccin! Nuestra suposicin inicial es incorrecta 2 no puede escribirse como una fraccin de enteros."No me cabe duda alguna de que 9 de cada 10 matemticos profesionales diran que la demostracin (?) les causa mayor deleite esttico." The Mathematical Experience, P.J. Davis y R. Hersh

15

Puede ser racional un nmero irracional elevado a un nmero irracional?(Test de sensibilidad a la elegancia matemtica)

Por ejemplo:

Es racional

( 2)

2

oEs irracional

( 2)

2

2

=

( 2)

2

=2

Hemos conseguido contestar la pregunta sin ni siquiera 2 saber si ( 2 ) es racional o irracional!Por cierto, no fue hasta 1930 que se demostr que 22

es irracional y trascendental.

16

Un nmero complejo z es un par ordenado de nmeros reales x e y, escrito como:

z = (x,y)

(William R. Hamilton)

(Notacin en componentes o coordenadas cartesianas). x se llama la parte real de z: Re(z) := x y se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=y El conjunto de nmeros complejos, se denota por C:

C := {( x, y ) : x, y }Dos nmeros complejos son iguales si y slo si sus partes reales e imaginarias son iguales: (x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y217

(0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:i = (0 ,1)(Los ingenieros elctricos a menudo usan j para evitar confusiones con el smbolo i, que asocian a la intensidad elctrica).

Un nmero complejo z = (x,y) se escribe comnmente como (notacin algebraica o binmica, afijo en textos de antao):

z=x+iy

Si x = 0 (z = i y), entonces z se dice que es un imaginario puro. Si y = 0 (z = x), entonces z se comporta como un nmero real. 18

Suma y producto de nmeros complejos

Sean:

z1 = x1 + iy1 z 2 = x2 + iy2Parte real

En la facultad tenamos un profesor cojo al que llambamos el complejo. Tena una pierna real y otra imaginaria. Memorias de un estudiante de matemticas

Parte imaginaria

Suma

z1 + z 2 = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 )Producto

z1 z 2 = ( x1 x2 y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 )19

Ejemplos: (1)

i 2 = (0 + i )(0 + i ) = (0 1) + i (0 + 0) = 1De modo que podemos sustituir siempre:

i i =

1 1 =

(

1

)

i = 12

2

= 1

(2)

Esto nos permite una manera prctica de operar. Por ejemplo:

(4 5i )(2 + 3i ) = [4 2 + (5i ) 3i ] + [4 3i + (5i ) 2] = (8 + 15) + i (12 10) = 23 + 2i20

La resta y la divisin se definen como operaciones inversas de la suma y la multiplicacin respectivamente Resta (operacin inversa a la suma)

z1 z 2 = z

Qu es z ? z + z2 = z1

z = ( x1 x2 ) + i ( y1 y2 )Divisin (operacin inversa al producto) z1 Qu es z ? Es un nmero complejo tal que: =z z z2 = z1, siempre que z20. z2Ejercicio: demostrar que es cierto.

x1 x2 + y1 y2 x2 y1 x1 y2 z= +i 2 2 2 2 x2 + y 2 x2 + y 2

21

Ejemplo:

Sean z1=18 + 3iCalcular:

z2 = -7 + 2i

Re(z1) = 18, Im(z1) = 3, z1+z2 = 11 + 5i,

Re(z2) = -7 Im(z2) = 2 z1-z2 = 25+i

z1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i22

Complejo conjugadoEl complejo conjugado z de un nmero complejo z = x + i y se define como:

z = x iyEs sencillo demostrar que:

(Tambin se suele denotar como : z )*

z=z

z1 z 2 + z1 z 2 = 2 Re( z1 z 2 )

z1 + z 2 = z1 + z 2 z1 z 2 = z1 z 2z+z Re( z ) = 2

z1 z 2 = z1 z 2 z1 / z 2 = z1 / z 2zz Im( z ) = 2i

23

Por ejemplo:

z = x + iy = x iy = x + iy = z

z1 + z 2 = ( x1 + iy1 ) + ( x2 + iy2 ) = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 ) = ( x1 + x2 ) i ( y1 + y2 ) = ( x1 iy1 ) + ( x2 iy2 ) = z1 + z 2

z1 z 2 = ( x1 x2 y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ) = ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 + x2 y1 ) = ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) = z1 z 2z + z ( x + iy ) + ( x iy ) 2 x = = = x = Re( z ) 2 2 2

24

Observemos que:

z z = ( x + iy )( x iy ) = x + y2

2

En la prctica, obtenemos el cociente de dos nmeros complejos z1 / z2 multiplicando el numerador y denominador de por el complejo conjugado de z2.

x1 + iy1 x1 + iy1 x2 iy2 = = x2 + iy2 x2 + iy2 x2 iy2 x1 x2 + y1 y2 x2 y1 x1 y2 +i 2 2 2 2 x2 + y 2 x2 + y 2

25

Ejemplos: (1) Sean de nuevo:

z1=18 + 3i

z2 = -7 + 2i

z1 (18 + 3i )(-7-2i ) -120-57i = = 2 2 z2 7 +2 53z1 z 2 = (18 -3i )( -7 - 2i ) = -132 -15i = z1 z 2

z1 (18 + 3i )(-7 + 2i ) -120 + 57i z1 = = = 2 2 z 7 +2 53 z2 2(2)

1 1 i i = = = i i i i 1

26

A pesar de la sencillez del conjugado y sus propiedades, nos permite demostrar fcilmente cosas como esta:Sea la ecuacin:

0 + 1 z + ... + n z n = 0 i C.p

Si p es una raz de la ecuacin, entonces

es raz de la ecuacin:

0 + 1 z + ... + n z n = 0Y en particular, si i , i = 1,..., n , p y p son races de la misma ecuacin, y obtenemos el conocido teorema que nos dice que: las races no reales de la ecuacin anterior con coeficientes reales, aparecen en parejas de races conjugadas.Un nmero es trascendente (o trascendental) si no es raz de ningn polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, nmero trascendente es antnimo de nmero algebraico (Wikipedia).

27

28

Sol.:

a) z = 1 i b) z = 1 / 5 + (13 / 5)i c) z = 1 / 2

Sol.: z1 = y + iyz 2 = y + iy , y

Demuestra el teorema del binomio para nmeros complejos:

n n i i ( z0 + z1 ) = z0 z1 i i =0 n n

donde n es un entero positivo. Sugerencia: Usa induccin.

29

La aventura de la ecuacin cbica"Cardano y Tartaglia. Las matemticas en el Renacimiento italiano". Francisco Martn Casalderrey, editorial Nivola"El desarrollo econmico y comercial en la Italia del siglo XII cre necesidades formativas nuevas. Junto con la seda y las especias se importan el sistema de numeracin hind, el lgebra rabe y las obras matemticas de la antigua Grecia. Las escuelas de baco difunden estos nuevos conocimientos formando a comerciantes y artesanos. Al comenzar el siglo XVI se empiezan a dar las condiciones para que las matemticas avancen. Del Ferro y Tartaglia resuelven la ecuacin de tercer grado, Ferrari la de cuarto y Cardano publica ambas soluciones en medio de una gran polmica. Todos los protagonistas de esta historia son hombres del Renacimiento, polmicos, vidos de saber y llenos de ideas."Francisco Martn Casalderrey30

La tragicomedia del nacimiento de los nmeros complejosLuca Pacioli haba comparado la dificultad de la resolucin de la ecuacin de tercer grado con el viejo problema de la cuadratura del crculo.

Luca Pacioli (1445 - 1517)"El crculo y el cuadrado sobre estas lneas presentan la misma rea aunque no existe un mtodo geomtrico que permita pasar de la figura de la izquierda a la de la derecha." (Wikipedia)

Resolver la ecuacin de tercer grado se haba convertido en un desafo intelectual digno de los mejores matemticos de la poca.31

Escipione del Ferro (1465-1526) fue el primero en encontrar (1505-1515) una solucin general para la ecuacin cbica del tipo (Marciano?) :"Incgnitas y cubos igual a nmeros"2 3

La Universidad de Bolonia, fundada en 1088, es la ms antigua de Europa.

x 3 + px = q3

p, q 2 3

q q p 3 q q p x= + + 2 2 2 3 2 3

En 1496 se convirti en uno de los 5 titulares de la ctedra de matemticas. Aunque diversas fuentes lo describen como un gran algebrista, no han sobrevivido originales de su obra.32

Mantener los hallazgos matemticos en secreto fue comn hasta el siglo XVIII. Del Ferro, poco antes de morir, revel el secreto a su yerno (para asegurar su sucesin en su ctedra) y a su alumno Antonio Mara del Fiore, un matemtico mediocre. En el siglo XVI cualquier matemtico o erudito poda ser desafiado a una disputa pblicamente. Muchas veces haba una apuesta de por medio... Estaba en juego la reputacin, la conservacin de su puesto de trabajo en la universidad e incluso el incremento de su salario.(www.lolitabrain.com)33

Buscando ese crdito, del Fiore desafi en 1535 al matemtico Niccol Tartaglia. Tartaglia era su apodo (tartamudo) a causa de un sablazo que recibi en la boca con 12 aos a manos de un soldado francs. Fue dado por muerto, pero gracias al tesn de su madre y a "un perro que le lami las heridas" (?!) logr sobrevivir. Siempre llev barba para ocultar su rostro desfigurado. Tartaglia proceda de una familia muy pobre: "Tuvo que abandonar sus estudios de lectura y escritura del alfabeto al llegar a la letra k porque la familia se qued sin dinero para pagar al tutor." (La ecuacin jams resuelta, Mario Livio). Tartaglia alcanz reputacin en Venecia al resolver algunos problemas para los ingenieros del Arsenal veneciano (45). Su fama lleg a odos de del Fiore que, pertrechado con "su secreto", lo ret...

Niccol Fontana Tartaglia (1499-1557)34

La noche del 12 de febrero de 1535 en Venecia, Tartaglia se enfrentaba a la lista de 30 problemas de su rival Antonio Mara del Fiore. Al cabo de 8 das deba consignar las soluciones ante notario... Del Fiore perdi estrepitosamente: no pudo resolver ninguno de los 30 problemas que le propuso Tartaglia. Sin embargo Tartaglia fue capaz de redescubrir la frmula extraterrestre de del Ferro. Tartaglia se convirti en una celebridad matemtica.35

El resultado de la contienda se extendi como la plvora por toda Italia y lleg a odos de Gerolamo Cardano (15011576). Cardano fue un personaje singular. Como estudiante se sustento gracias al juego: cartas, dados, ajedrez... usando los que fueron primeros rudimentos de la teora de la probabilidad (Liber de ludo aleae). Cardano gan muchos debates, y a pesar de sus modales rudos y vocingleros, a mediados de siglo se haba convertido en uno de los mdicos ms famosos de Europa. En esa poca estaba redactando su segundo libro y encontr sumamente atractiva la idea de incluir la frmula para la ec. de tercer grado. Trat en vano de deducirla, y decidi convencer a Tartaglia para que le revelara su secreto."Juro ante ti por los Santos Evangenlios y por mi fe de caballero, no solo no publicar jams tus descubrimientos si me los revelas, sino que tambin prometo y comprometo mi fe como verdadero cristiano que los escribir en clave para que despus de mi muerte nadie pueda comprenderlos." (25 de marzo de 1539, versin de Tartaglia). 36

Gerolamo Cardano (1501-1576)

The poem in which he revealed the secret of solving the cubic to Cardan: When the cube and the things together Are equal to some discrete number, 1 Find two other numbers differing in this one. Then you will keep this as a habit That their product shall always be equal Exactly to the cube of a third of the things. 2 The remainder then as a general rule Of their cube roots subtracted Will be equal to your principal thing.3

[Solve x3 + cx = d] 2 [Find u, v such that u - v = d and uv = (c/3)3 ] 3 [Then x = 3 u 3 v ]1

37

Cardano generaliz la solucin de Tartaglia y su alumno Ludovico Ferrari (1522 - 1565) en 1540 encontr solucin para ecs. de cuarto grado. En 1542 Cardano y Ferrari consiguieron permiso para rebuscar entre los papeles de del Ferro, donde encontraron la famosa frmula! Puesto que Tartaglia no haba sido el primer descubridor, podan publicarla. Ars Magna (1545): Considerada como la fecha de nacimiento de los nmeros complejos y el principio del lgebra moderna. Resolucin de ecuaciones de tercer y cuarto grado. Divide 10 en dos partes, de modo que una por la otra den 40. x(10-x)=40".

5 15Solucin intrigante o cantidades "sofsticas". 38

39

Sonidos de la ciencia:Programa 98: La tragicomedia de la ecuacin de tercer grado

40

y

Soluciones geomtricas

x

2

x = mx + n2

y

xt 3 + a1t 2 + a2t + a3 = 0 1 t = x a1 3

x

x + px = q3

p, q

x

3

41

Forma general de la ecuacin cbica y solucin:x 3 + px = q3

p, q 2 3 2 3

q q p 3 q q p x= + + 2 2 2 3 2 3

Funcionaba bien en algunos casos, como:x 3 + 6 x = 20 ; x = 3 108 + 10 3 108 10

Pero en otros ... : x 3 + 15 x = 4 ; x = 3 121 + 2 3 121 2 Cardano saba que x = 4 es solucin de esta ecuacin. Rafael Bombelli (1526-1572) resolvi la situacin operando como lo hacemos hoy con nmeros complejos.

42

Ejercicio: Demuestra que la ecuacin de tercer grado:t 3 + a1t 2 + a2t + a3 = 01 se reduce bajo el cambio de variable: t = x a1 3

a:

x 3 + px = q

cuyas soluciones son:q q p q p 3 q x= + + 2 2 2 3 2 3 3 2 3 2 3

Confirma que los nmeros complejos son necesarios incluso para encontrar las races reales de:t 3 19t + 30 = 043

60 aos despus de Bombelli: A pesar de que podemos pensar que la ecuacin x3 - 6x2 + 13x - 10 = 0 tiene tres races, nicamente una de ellas es real, la cual es 2, y las otras dosson simplemente imaginarias.Ren Descartes (1596-1650) Ren Descartes "La Gomtrie" (1637)44

Gottfried von Leibnitz Los nmeros imaginarios (1646 1716)

son un excelente y maravilloso refugio del Espritu Santo, una especie de anfibio entre ser y no ser

Otros trminos que han sido usados para referirse a los nmeros complejos incluyen : Sofisticados (Cardano) Sin sentido (Nper) Inexplicables (Girard) Incomprensibles (Huygens) Imposibles (Diversos autores)45

Leonhard Euler (1707 1783)

Con Euler los imaginarios se incorporan definitivamente en la Matemtica. formulamLeonhard Euler (1777)

1

littera i

i2 = -1; introdujo la notacin binmica. Demostr que el conjunto de los nmeros imaginarios era cerrado para las cuatro operaciones bsicas, as como para la potenciacin y la radicacin.

Estos nmeros no son nada, ni menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o imposibles.

46

Visualizar los nmeros complejos

47

Nuestra aritmtica (...),constituye la creacin de los tiempos modernos, (...). A los nmeros enteros se han agregado las fracciones; a las cantidades racionales, las irracionales; a las positivas, las negativas; y a las reales, las imaginarias.

Karl Friedrich Gauss(1777-1855) Nmeros ntegros complexos K. F. Gauss (1831)

Qu es un nmero complejo? Gauss dio la respuesta satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la interpretacin geomtrica: x+iy (x,y).

48

Qu significa un nmero complejo?

Anteriores a Gauss:

Caspar Wessel (1745 - 1818) Primera representacin geomtrica en 1797.

Jean Argand (1768 - 1822) Idem y adems consider i como una rotacin de 90. Jhon Wallis (1616 - 1703) Algebra(1673)49

La visualizacin de los nmerosreales mediante los puntos de una recta o de los nmeros complejos mediante los puntos del plano no solamente penetr sin gran resistencia en el anlisis, sino que se puede decir con razn que, en el caso de los nmeros complejos, esta visualizacin (Argand, Gauss) fue lo que hizo posible vencer la fuerte oposicin de la comunidad matemtica al dar carta de ciudadana a los nmeros complejos.

Miguel de Guzmn El rincn de la pizarra: ensayos de (1936-2004) visualizacin en anlisis matemtico.50

El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss)Eje imaginario

(Im)

Mdulo:

r := z = x + y2

2

zrxy(Re)Eje real

Tambin llamado valor absoluto (el mdulo de un real es su valor absoluto)

| z | Re z , | z | Im z , | z |=| z | zz = x 2 + y 2 =| z |2Argumento:

y := arg z = arctan xPara z = 0, el ngulo no est definido.51

El argumento est multivaluado.

Ejemplo:Dibujar el nmero complejo z = -3-2i en el plano complejo y evaluar mdulo y argumento

y3

Mdulo:r = z = (3) 2 + (2) 2 = 13La calculadora no distingue

Argumento:

r 3 2i

x2

2 2 = arg z = arctan = arctan 3 3 = { 146.3, 33.7, 213.7, }3.73 rad52

El argumento est multivaluado.

Determinacin o valor principalPara que sea nico, basta con imponer la condicin adicional de que pertenezca a un cierto intervalo semiabierto I de longitud 2 (como [0,2 ), ( , ], etc). Escoger este intervalo I se conoce como tomar una determinacin del argumento. Arg z Se denomina determinacin principal o valor principal a Arg z, el valor de en el rango:

< := Arg z +

arg z := {Arg z + 2k }Ejemplo: supongamos que

(k = 0, 1, 2, ...)

arg z = { 2.55 2 , 2.55, 2.55 + 2 , 2.55 + 4 , } = {2.55 2k } (k = 0, 1, ) Arg z = 2.55

53

54

Ejercicios: Demostrar que

(1) Re z | Re z || z | (2) Im z | Im z || z | ( Nota :| z | = (Re z ) + (Im z ) )2 2 2

(3) (4) (5) (6)

| z |=| z | z z =| z | | z1 z 2 |=| z1 || z 2 |; | z1 z 22

z n |=| z1 || z 2 |

| zn |

z1 z1 = z2 z2

( z 2 0)55

Ejercicio:

z x + iy x iy x iy = = = = z x + iy x + iy x + iy

x +y2 2

2 2

x +y

=1

y

zxGrficamente el conjugado es una reflexin respecto al eje real.

y

z

56

57

Sol.: a) z = 3 / 2 + iy , y b) z = x i 2 x , x

Sol.: a) z1 = 1 + i , z2 = 1 7i

b) ( z1 = 4 + 2i , z 2 = 1 2i ) y ( z1 , z 2 )

3 1 c) z1 = (1 + i ) , z 2 = (1 i ) 2 258

Ejercicio: Demostrar que para a, b, c, d enteros siempre existen u y v enteros tal que: (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = u 2 + v 2 Encontrar u y v para:

(89 + 101 )(111 + 133 ) = u + v2 2 2 2 2

2

Liber quadratorum (1225) Leonardo de Pisa (Fibonacci) (1170-1250)

El matemtico italiano Leonardo de Pisa escribi en 1202 el Liber Abaci, un texto en el que se explica como sumar, restar, multiplicar y dividir con numerales hindo-arbigos.59

(89 2 + 1012 )(1112 + 1332 ) = u 2 + v 2

z a + ib2 2

w c + id2

t u + iv

3.554 2 + 23.0482 626 2 + 23.312 2

| z | | w | =| t |

(1) ( z z )( ww) = ( zw)( z w) = ( zw)( zw) = t t zw = t u + iv = (a + ib)(c + id ) = (ac bd ) + i (bc + ad ) u =| ac bd | v = bc + ad(2) ( z z )( ww) = ( z w)( zw) = t t zw = t u + iv = (a + ib)(c id ) = (ac + bd ) + i (bc ad ) u = ac + bd v =| bc ad |60

"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad frtil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser frtiles engendrarn cada mes una pareja de conejos. Cuntos conejos habr al cabo de un determinado nmero de meses?"

61

The On-Line Encyclopedia of Integer SequencesN. J. A. Sloane (http://www.research.att.com/~njas/sequences/) Base de datos con ms de 100.000 sucesiones de nmeros enteros. Capaz de identificar una sucesin a partir de sus primeros trminos. No solo hay ejemplos de combinatoria o teora de nmeros, sino tambin de otras reas como: diseo de circuitos (combinaciones de funciones booleanas), qumica (nmeros de steres con n tomos de carbono), fsica (diagramas de Feynman con n vrtices) y biologa (estructuras secundarias de ARN con n nucletidos).Sloane, N. J. A. 1973. A Handbook of Integer Sequences. New York: Academic Press. Sloane, N. J. A. 1994. "An On-Line Version of the Encyclopedia of Integer Sequences." The Electronic Journal of Combinatorics. Vol. 1, Feature F1. Sloane, N. J. A., and Simon Plouffe. 1995. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press.

62

Inverse Symbolic CalculatorSimon Plouffe (http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/)Como en el caso de la Encyclopedia of Integer Sequences, Simon Plouffe ha desarrollado el Inverse Symbolic Calculator, o ISC. La calculadora es inversa en el sentido de que utiliza como entrada un nmero y devuelve de dnde puede surgir. Por ejemplo, no le preguntamos cunto vale e/ + 1 y nos devuelve 1.8652559794322, como en una calculadora estndar. Sino al revs: introducimos 1.8652559794322 y nos sugiere e/ + 1 como posible fuente del mismo. La base de datos de constantes matemticas de ISC tiene alrededor de 9 millones de entradas y su creador aspira a que tenga hasta 10 millones.Brian Hayes, "A Question of Numbers", American Scientist, January-February 199663

Suma y resta de nmeros complejos en el plano complejo

y

En la suma (y la resta) los nmeros complejos se comportan como vectores

z1z2 z1

z1 + z2x

z2

Prueba que si |z1| = |z2| = |z3| y z1 + z2 +z3 = 0, entonces estamos hablando de los vrtices de un tringulo equiltero. Sugerencia: Muestra que |z1-z2|2 = |z2-z3|2 = |z3-z1|2 64

y

z1

3z1 2

z1

x

C con la suma y el producto por un escalar posee estructura de espacio vectorial, isomorfo a R2. El conjunto {1, i} es base de ese espacio. Y podemos identificar C con los vectores libres del plano R2. Pero recordemos que C tiene algo ms: el producto complejo.65

Desigualdad triangular

| z1 + z 2 || z1 | + | z 2 |El mdulo de z es equivalente a la distancia euclidiana del vector libre (x,y). La distancia entre z1 y z2 es |z1-z2|. As disponemos de un espacio mtrico donde podemos definir lmites, continuidad, ...

yz1| z1 + z 2 |

z1 + z2| z1 |

| z2 |

z2

x

Qu significa que |z1| > |z2|?

66

Demostremos la desigualdad triangular:

| z1 + z 2 | = ( z1 + z 2 )( z1 + z 2 ) = ( z1 + z 2 )( z1 + z 2 ) =2

z1 z1 +2

z1 z 2 + z 2 z12 Re( z1 z 2 ) 2| z1 z 2 | = 2| z1 || z 2 |= 2| z1 || z 2 | 2

+ z2 z22 2

| z1 + z 2 | | z1 | +2 | z1 || z 2 | + | z 2 | = (| z1 | + | z 2 |)Extrayendo la raz cuadrada (recordemos que el mdulo es siempre positivo), la desigualdad triangular queda demostrada.67

Ejercicio: Demostrar que | z1 + z 2 || z1 | | z 2 | Ejercicio: Demostrar que | z1 z 2 || z1 | | z 2 | Podemos generalizar la desigualdad triangular:

zj =1

n

j

| z j |j =1

n

(n = 2, 3, ...)

Ejercicio: Demostrar por induccin. Hemos demostrado que es cierto para n = 2. Supongamos que es cierto para n y demostremos que entonces es tambin cierto para n+1.68

Forma polar y trigonomtricaA partir de las coordenadas polares (r,) tenemos:x = r cos y = r sin

zrxy

z = x + iy = r cos + ir sin

z = rr>0

Forma polarUtilizamos el argumento principal

z = r (cos + i sin )

Forma trigonomtrica

r En ingeniera: r cis

69

Ejemplo:

y

Escribir el siguiente nmero complejo z1=1+i, en forma polar y trigonomtrica: mdulo:

z1 = 1 + i

r1 = z1 = (1) 2 + (1) 2 = 2

r121

1

x

1 arg z1 = arctan 1 = { / 4 2n } (n = 0,1, ) 1 = Arg( z1 ) = / 4

argumento:

z1 = 2 cos + i sin 4 4

z1 = 2 / 4

70

Ejemplo:dem para z2=-1-i :

Mdulo:r2 = z 2 = (1) 2 + (1) 2 = 2

y1

Argumento:

x1

r2z 2 = 1 i

2

1 arg z 2 = arctan = 1 { / 4 2n } (n = 0,1, ) 2 = Arg( z 2 ) = 3 / 4

z 2 = 2 3 / 4

Nota: tan(1) = tan(2) = 1, pero z2 est en el tercer cuadrante, as que 2 = -3/4.

3 3 i sin z 2 = 2 cos 4 4 71

y arctan x y arctan + , x = arctan y , Arg z x , 2 , 2

x>0

Dos nmeros complejos sern iguales sii:

| z1 |=| z 2 |x < 0, y 0

Arg z1 = Arg z 2

x < 0, y < 0

x = 0, y > 0

x = 0, y < 072

73

Propiedades del argumento

arg( z1 z 2 ) = arg z1 + arg z 2Recordemos que el argumento est multivaluado:

arg z1 = {1 + 2n : n Z } arg z 2 = { 2 + 2n : n Z }z1 z 2 =| z1 | (cos 1 + i sin 1 ) | z 2 | (cos 2 + i sin 2 ) =| z1 || z 2 | {(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) + i (sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2 )}74

Usemos las relaciones trigonomtricas siguientes para la suma de ngulos:cos ( 1 + 2 ) = cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 sin( 1 + 2 ) = sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2

Obtenemos que:

z1 z 2 =| z1 || z 2 | [cos(1 + 2 ) + i sin(1 + 2 )]

1 + 2 arg( z1 z 2 )arg( z1 z 2 ) = {1 + 2 + 2n : n Z } = {1 + 2n : n Z } + { 2 + 2n : n Z } = arg z1 + arg z 275

Tengamos en cuenta que arg z es un conjunto. Y en general dado un conjunto A, A+A no es igual a 2A. Por ejemplo:

arg i = { / 2 + 2n : n Z } arg i + arg i = { + 2n : n Z } 2 arg i = { + 4n : n Z } arg i + arg i 2 arg i

2 arg i arg i + arg iarg(i ) = arg i + arg i 2 arg i2

76

Hemos demostrado en particular que para z1= z2 = z:

arg( z 2 ) = arg z + arg zPero recordemos que en general:

arg( z 2 ) 2 arg z

Observemos que, sin embargo, para el argumento principal:

Arg[(i ) ] = Arg(1) = 2

Arg(i ) + Arg(i ) =

2

2

=

As que, en general:

Arg( z1 z 2 ) Arg z1 + Arg z 277

Ejercicio: demostrar que

arg( z1 / z 2 ) = arg z1 arg z 2Y que en general:

Arg( z1 / z 2 ) Arg z1 Arg z 2

78

Multiplicacin en forma trigonomtrica

z = z1 z 2 = r1 (cos 1 + i sin 1 )r2 (cos 2 + i sin 2 ) = r1r2 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) + i (sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2 )]= r1r2 [cos(1 + 2 ) + i sin(1 + 2 )]r = r1r2 = z1 z 2

En realidad ya tenemos la solucin a partir de las propiedades del argumento:

arg( z1 z 2 ) = arg z1 + arg z 2

arg(z1 z 2 ) = arg z1 + arg z 2

z1 z 2 = z1 z 2

79

Producto de nmeros complejos en el plano complejo

zyr = r1r2

z = z1 z 2z2r2

= 1 + 2

2

r11

z1

x80

Producto de nmeros complejos en el plano complejo

y zz 1 2

z2Observa que los tringulos azul y rojo son semejantes.

12

1

z11

x

81

Potencias de i

i = 12

i 3 = i

i 1 i 1Por ejemplo:

i =14

i =i5

i 6 = 1

i

254

= (i ) i = 1(1) = 14 63 282

83

y

z iz

Multiplicar por i es equivalente a girar 90 grados en sentido antihorario (operador rotacin):iz = ir (cos + i sin ) = r ( sin + i cos )

xi z2

= r[cos( + / 2) + i sin( + / 2)]

i z

3

"The number you havedialed is imaginary. Please rotate your phone 90 degrees and try again." Anonimus84

Prueba que: Re(iz ) = Im z

Re( z ) = Im(iz )

85

Qu significa un nmero complejo?t = 0 xb = 0 1 2 t 0 xb = at 2

x=0 a

dT corriendo para pillarlo

x p = d

Bus parado en el semforo (arrancando)

x p = d + vt

v

1 2 xb (T ) = x p (T ) , aT = d + vT Alcanzar el bus en T: 2 2 Supn que hay dos soluciones v d v T = 2 reales. Qu significan T+ y T-? a a Y si hay una nica solucin real? a Si: T es un tiempo complejo y no alcanzars el bus. v2 d> Pero adems tiene significado fsico... 2a86

Supongamos que perdemos el bus:v d v d v v T = 2 = i 2 a a a a a a2 2

y queremos saber en qu momento estuvimos ms cerca...s xb x p 1 2 s = at + d vt 2En que instante s es mnimo?

ds =0 dt

v t= a

Es decir: el tiempo correspondiente a la parte real del tiempo complejo T.

87

Relatividad especial: la importancia de iDistancia espacial (teorema de Pitgoras)

s 2 = ( x1 x2 ) 2 + ( y1 y2 ) 2 + ( z1 z 2 ) 2 (ds ) 2 = (dx) 2 + (dy ) 2 + (dz ) 2 (ds ) 2 = (ds ' ) 2 = (dx' ) 2 + (dy ' ) 2 + (dz ' ) 2

Albert Einstein(1879 1955)

Mtrica euclidiana

Invariancia frente a rotaciones y/o translaciones88

Transformaciones de Lorentz

x' =Transformaciones de Galileo

x vt 1 (v / c )2

y' = y z' = z t' = t vx / c 2 1 (v / c ) 289

x' = x vt y' = y z' = z t' = t

En vez de hablar de distancia entre eventos (posiciones) en el espacio tridimensional, los fsicos hablan de intervalos entre eventos en el espacio cuatro-dimensional espaciotiempo. Parece razonable definir la mtrica de ese espaciotiempo como:

(ds) 2 = (cdt ) 2 + (dx) 2 + (dy ) 2 + (dz ) 2Pero es incorrecto! La mtrica as definida no es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Para comprobarlo, supn que el movimiento es solo en el eje x, y calcula:

(ds ) 2 (ds ' ) 2 = (cdt ' ) 2 + (dx' ) 2 + (dy ' ) 2 + (dz ' ) 2Por ejemplo:t' = dt ' = t vx / c 2 1 (v / c ) 2 v / c2 1 (v / c )2

dt ' = dx +

t ' t ' dx + dt t x 12

1 (v / c )

dt90

Cmo hacer (ds)2 invariante? Lo que Minkowski descubri es que en vez de usar c(dt) debemos tomar ic(dt).(ds ) 2 = c 2 (dt ) 2 + (dx) 2 + (dy ) 2 + (dz ) 2

Demostrar que de esta manera (ds)2 es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Observa que usando ic(dt) o lo que es lo mismo c(idt), tenemos un tiempo imaginario!Las consideraciones sobre el espacio y el tiempo que quisiera presentarles surgieron en el seno de la fsica experimental, y en ello radica su fuerza. Son radicales. De ahora en adelante el espacio en s mismo y el tiempo en s mismo estn condenados a ser sombras; slo un tipo de unin entre los dos conservar una realidad independiente.

Hermann Minkowski(1864 1909)91

Divisin en forma polarPensemos que la divisin es la operacin inversa del producto:Sean z1 = r1(cos1+i sin1) y z2 = r2(cos2+i sin2). Queremos z = z1/z2 . Entonces: z z2 = z1. De modo que:

|z z2| = |z| |z2| = |z1| |z| = |z1|/|z2| arg(z z2) = arg(z) + arg(z2) = arg(z1) arg(z) = arg(z1) - arg(z2)

As que:

z1/z2 = (r1/r2)[cos(1-2)+i sin (1-2)]92

Divisin de nmeros complejos en el plano complejo

z1y

z1 z= z2z2r2

r1

r1 r= r2

z

1

= 1 2

2

x93

Ejemplos:

(1) Usando la forma trigonomtrica, evaluar:

i = cos( / 2 ) + i sin ( / 2 )

i 2 2i

i2 2i

2 2i = 8 [cos( / 4 ) + i sin ( / 4 )]i 1 [cos( / 4) + i sin ( / 4)] = 2 2i 8

(2) dem para: 1 / z 1 = cos(0 ) y z = x + iy = r (cos + i sin )

zx

1 1 = [cos( ) + i sin( )] z r 1 = (cos i sin ) r

y

1/ z

z

94

Frmula de MoivrePotencias enteras de complejos en forma polar:

Abraham de Moivre (1667 - 1754)

z = r (cos + i sin )

z 2 = r 2 (cos 2 + i sin 2 ) z 1 = r 1 (cos( ) + i sin( ) ) z 2 = r 2 (cos(2 ) + i sin(2 ) ) z n = r n (cos n + i sin n ) n = 0, 1, ...

(cos + i sin )

n

= cos(n ) + i sin( n )95

Ejercicio: Demostrar por induccin.

Sol.: z = i , k Z

96

Amazon.com Review At the very beginning of his book on i, the square root of minus one, Paul Nahin warns his readers: "An Imaginary Tale has a very strong historical component to it, but that does not mean it is a mathematical lightweight. But don't read too much into that either. It is *not* a scholarly tome meant to be read only by some mythical, elite group.... Large chunks of this book can, in fact, be read and understood by a high school senior who has paid attention to his or her teachers in the standard fare of precollege courses. Still, it will be most accessible to the million or so who each year complete a college course in freshman calculus.... But when I need to do an integral, let me assure you I have not fallen to my knees in dumbstruck horror. And neither should you." Nahin is a professor of electrical engineering at the University of New Hampshire; he has also written a number of science fiction short stories. His style is far more lively and humane than a mathematics textbook while covering much of the same ground. Readers will end up with a good sense for the mathematics of i and for its applications in physics and engineering. --Mary Ellen Curtin 97

El teorema de Moivre es una mquina de generar identidades trigonomtricas. Por ejemplo:

cos 3 + i sin 3 = (cos + i sin ) =3

cos + 3i cos sin 3 cos sin i sin 3 2 2 3

Igualando las partes reales e imaginarias:

cos 3 = cos 3 cos sin 3 2

sin 3 = 3 cos sin sin 2 398

Otra manera ingeniosa de derivar identidades trigonomtricas:

(z + z )zn

z = cos + i sin 1 = z 1 = cos i sin z 1 z + z = 2 cos 1 n

= 2 n cos n ( )

z n = cos(n ) + i sin( n ) = cos(n ) i sin( n )99

z n + z n = 2 cos(n )

Por ejemplo:

n=6

(z + z )2 cos( 6 )

1 6

= 2 cos ( ) ;6 6

(z + z )2 cos( 2 )

1 6

= z 6 + 6 z 4 + ... =

( z 6 + z 6 ) + 6( z 4 + z 4 ) + 15( z 2 + z 2 ) + 20 =2 cos( 4 )

2 cos(6 ) + 12 cos(4 ) + 30 cos(2 ) + 20 = 26 cos 6 ( ) 5 15 3 1 6 cos ( ) = cos(6 ) + cos(4 ) cos(2 ) + 16 32 16 32

100

1 Ejercicio: Sumar Dn ( x) = 2S 1 :=k

1 2 + cos x + cos(2 x) + ... + cos(nx) z := cos x + i sin xn

cos( kx )k =0

n

S 2 :=

sin( kx )k =0

n

z = cos(kx) + i sin( kx)

z n +1 1 S1 + iS 2 = z k = z 1 k =0

z n +1 1 cos[(n + 1) x] + i sin[(n + 1) x] 1 = S1 = Re z 1 = Re (cos x 1) + i sin x cos(nx) cos[(n + 1) x] cos x + 1 = 2 2 cos x 2n + 1 En teora de series de sin x 1 1 1 Fourier la funcin 2 + S1 = Dn ( x) = Dn(x) se llama 2 2 2 2 sin x ncleo de Dirichlet. 2 101

Races de zSi z = wn, entonces w se llama la raz ensima de z y podemos escribirla como: n

w= z

que posee n distintos valores. Es decir nz est multivaluada. Sean w = R(cos + i sin), z = r(cos + i sin) Entonces por el teorema de Moivre: wn = Rn[cos(n) + i sin(n)] = r(cos + i sin) r = Rn, o R = nr y n = +2k o = /n + 2k/n tomando los valores k = 0,1,...., n-1, obtendremos las n races.Por qu solo hasta n-1?102

Resumiendo:n

+ 2k + 2k z = r cos + i sin n n k = 0, 1, , n 1 donde z = r (cos + i sin )n

Los n valores se equireparten en un crculo de radio nr con centro en el origen, constituyendo los vrtices de un polgono regular de n caras. El valor de nz obtenido al tomar el valor principal de arg(z) y k = 0 en la frmula de arriba se asume como valor principal de w = nz103

Ejercicio: Encontrar la raz cbica de z = i. Usando en la frmula anterior r = 1, = arg z = /2:wk = 1 (cos1/ 3

/ 2 + 2k3

+ i sin

/ 2 + 2k3

)

3 1 k = 0, w0 = cos + i sin = + i 6 6 2 2 5 5 3 1 k = 1, w1 = cos + i sin = + i 6 6 2 2 3 3 k = 2, w2 = cos + i sin = i 2 2

104

Encontrar la raz cuarta de z = 1 + i. Con r = 2 , = arg z = /4; tenemos:wk = 2 (cos1/ 8

/ 4 + 2k4

+ i sin

/ 4 + 2k4

)

16 16 9 9 1/ 8 k = 1, w1 = 2 (cos + i sin ) = 0.2320 + 1.1664i 16 16 17 17 1/ 816 16 25 25 1/ 8 k = 3, w3 = 2 (cos + i sin ) = 0.2320 1.1664i 16 16 k = 2, w2 = 2 (cos + i sin

k = 0, w0 = 2 (cos

1/ 8

+ i sin

) = 1.1664 + 0.2320i

) = 1.1664 0.2320i

105

Ejemplo: races de la unidad1 = 1(cos 0 + i sin 0 )5 5

z =1n

Ecuacin ciclotmicak = 0 , 1, ,4

0 + 2 k 0 + 2 k 1 = 1 cos + i sin n n w 0 = cos 0 + i sin 0 = 1 2 w1 = cos 5 4 w 2 = cos 5 6 w 3 = cos 5 8 w 4 = cos 5 2 + i sin 5 4 + i sin 5 6 + i sin 5 8 + i sin 5

Ejercicio: Encuentra las races cbicas de 1 - i

106

Ejercicio: Sea zk cualquier raz ensima de la unidad, prueba que:

1 + zk + z + ...z2 k

n 1 k

= 0, si z k 1

Nota: Si 1, z1, z2, ..., zn-1 son las races de la unidad, demuestra:

( z z1 )( z z 2 )...( z z n 1 ) = 1 + z + z + ... + z2

n 1

Sol.: z1 = 2 + iz2 = 2 i

Sol.: z = 1107

Falacia (Del lat. fallaca).1. f. Engao, fraude o mentira con que se intenta daar a alguien. 2. f. Hbito de emplear falsedades en dao ajeno.Real Academia Espaola

1 1 1 1 = = ; ; 1 1 1 1 i 1 i 1 = ; = ; 1 i 2 2i i 3 1 3 i + = i + ; 2 2i 2i 2i 1 3 1 3 + = + ; 2 2 2 2

1 1 = 1 1 i 3 1 3 + = + 2 2i 2i 2i i 2 3i i 3i + = + 2 2i 2i 2i 1= 2108

El segundo paso (extraer races a ambos lados) puede parecer el origen de la falacia, pero no lo es. Basta con determinar el valor principal en ambas races. El tercer paso es el origen de la falacia. No existe regla que garantice que:

a a = b b

excepto si a>0 y b>0. La nica manera de que dos nmeros u y v (u,v distintos de cero) tengan el mismo cuadrado es que u = v o u = -v. En nuestro caso, podamos haber escrito:

a a = b b

a a = b b109

1 1 = ; 1 1

1 1 = ; 1 1

1 1 = 1 1

De esta manera no se produce falacia. Observemos que pasa lo mismo con:

(1)(1) = 1; 1 1 = 1;

(1)(1) = 1; i = 1;2

1 = 1

De hecho, si operamos con i, sin pensar que es -1, todo funciona correctamente.110

Un producto infinito para :

(cos + i sin )

1/ 2

Elevando al cuadrado a ambos lados:2

= cos + i sin 2 2

2 cos + i sin = cos sin + i 2 sin cos 2 2 2 2Igualando las partes imaginarias

sin = 2 sin cos 2 2111

Un producto infinito para : sin = 2 sin cos = 22 sin cos cos = 2 2 4 4 2 2 sin cos 4 4

(Aplicamos el resultado encontrado al ngulo mitad. )

Aplicndolo reiteradamente...

sin = 2 cos cos ... cos n sin n 2 4 2 2 n

112

sin n sin 2 = cos cos ... cos n 2 4 2 2n sin = cos cos cos ... 2 4 8 2 = cos cos cos ... = 2 4 8 16 Dividiendo la igualdad entre :

n

Producto infinito de Vite para

= cos k k =2 2 2113

Tomando = /4:2 cos = 2 4 2 = 2 2 cos = 2 1 + cos 2

Usando reiteradamente en el producto infinito

2+ 2 2

2+ 2+ 2 ... 2

114

Potenciacin de exponente racionalSean m Z , n N , con m, n primos entre s.1 = z n Se define z Si z = r (cos + isen ) , entonces: m n m

m

z

n

=r

m

n

m m ( + 2 k ) con cos ( + 2 k ) + i sen n n

k = 0 ,1 ,..., n 1 .

Los n valores ( para k = 0,1 ,..., n 1 ) son distintos. Supongamos que para k y k ' se obtuviese el mismo n complejo. Sera entonces: m ( + 2 k ' ) = m ( + 2 k ) + 2 p , es decir: k ' m = k m + p . n n n n m O sea, p = ( k ' k ) pn = m ( k ' k ) n Como m y n son primos entre si, todo factor de k es decir n k ' k . Imposible pues k ' < n

n deber estar en k ' k ,

115

Ya podemos encontrar todas las soluciones de una ecuacin como:

z + 23 = 0 z = n 23n

Sern n soluciones. O las soluciones de ecuaciones como:

z n / m + 1 = 0 z = n (1) mCuntas soluciones tiene?116

Cualquier complejo elevado a m est univaluado, nos proporcionar un nico valor. Si m/n es irreducible, tendremos n soluciones. Si es reducible, m/n = p/q, y tendremos q < n soluciones distintas. Es importante, por tanto, simplificar m/n siempre. Adems: supongamos que hemos simplificado hasta alcanzar m/n. Tomemos una solucin de las n posibles. Al elevarla a n/m debera darnos z, pero nos dar m valores y solo uno de ellos es z! 117

Propiedades algebraicasLey de clausura: z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C. La suma y el producto dotan a C de estructura de cuerpo.Las propiedades son fciles de probar escribiendo z en forma algebraica x+iy, y usando las correspondientes propiedades de los nmeros reales.

Ley conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1 z1 z2 = z2 z1 Ley asociativa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3) Ley distributiva: z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3

118

0+z = z+0 = z (Neutro para la suma) z +(-z) = (-z)+z = 0 (Opuesto para la suma) z 0 = 0 z = 0 (Neutro para el producto) z 1 = 1 z = z (Identidad para el producto) z z-1 = z-1 z = 1(Para todo z distinto de 0)

(Inverso para el producto)

{C,+,} con las propiedades anteriores es un cuerpo. No es posible ordenar el conjunto de los nmeros complejos. Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2, por ejemplo.

119

120

121

122

123

Representacin matricial de los nmeros complejos

1 0 0 1 x y + y = x z = 0 1 1 0 y x Acta como 1 Acta como i (una rotacin de 90)

Con la suma y el producto matricial clsico, y teniendo en cuenta que toda matriz no cero de este tipo es invertible, tenemos un cuerpo. El mdulo es igual a la raz cuadrada del determinante. A qu corresponde el conjugado de z en forma matricial?124

A pesar de las diferencias entre N, Z, Q, R y C, poseen muchas propiedades comunes como la conmutatividad y la asociatividad de la suma y el producto, la distributividad del producto respecto a la suma o la existencia de elemento unidad para la multiplicacin.Se puede ampliar ms el concepto de nmero de modo que se conserven estas propiedades?

Segn el teorema de Frobenius no es posible un campo mayor que C.

F. Frobenius (1849 - 1917)

125

Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865)Hamilton intent extender los nmeros complejos a "tres dimensiones". Hasta convencerse de que necesitaba cuatro: cuaterniones. Los cuaterniones son nmeros complejos en cuatro dimensiones en lugar de dos (Hamilton 1843).

CuaternionesAs un cuaternin q se expresa como: q = a + ib +jc + kd donde a,b,c,d son nmeros reales. {1, i, j, k} hacen de base en el hiperespacio de los cuaterniones. {1, i} era la base estndar para los nmeros complejos, simplemente se aaden dos vectores unitarios, j y k, perpendiculares entre s. 126

Parte Real

Parte Imaginaria

CuaternionesSuma: La suma se realiza anlogamente a como se hace con nmeros complejos: Producto: El producto se realiza componente a componente de acuerdo con las leyes de combinacin y producto de los elementos de la base (Reglas de Hamilton):

Como se puede apreciar en esta regla de multiplicacin de los elementos de la base, el producto entre cuaterniones es asociativo y no conmutativo.

127

As el producto ser:

Cuaternin conjugado: Dado el cuaternin conjugado se escribe como:

, su

Cociente entre cuaterniones: El cociente entre cuaterniones se obtiene rpidamente a partir de la frmula del inverso de un cuaternin:128

128

Es el precio que se paga por obtener un lgebra consistente con los cuaterniones es la falta de conmutatividad. En general, el producto q q de dos cuaterniones no es igual que el producto q q (como ocurre con el producto matricial estndar, por ejemplo). Sorprendentemente, esta propiedad viene al pelo para describir rotaciones en 3 dimensiones.El software de vuelo del Space Shuttle usaba cuaterniones para el control de navegacin y vuelo. Su uso consegua compacidad de cdigo, velocidad de cmputo y evitaba aparicin de singularidades en los clculos.

129

Las rotaciones 3D no son conmutativas:

180 grados de diferencia dependiendo del orden de las rotaciones.

180 grados es el equivalente al cambio de signo en la multiplicacin de cuaterniones. Los cuaterniones tienen las propiedades adecuadas para describir rotaciones y en particular composicin de rotaciones. Los cuaterniones se usan para las rotaciones en los grficos de ordenador (a partir de ahora puedes decir cuando manejes la PS2 que ests computando cuaterniones) y en GPS.130

Hamilton desarroll tambin otra lgebra alternativa: la de los nmeros hipercomplejos. En vez de sacrificar la conmutatividad, sacrific la existencia de inverso. En el lgebra hipercompleja no todo elemento h distinto de 0 posee inverso 1/h. La base de cuatro elementos posee la misma notacin que la de cuaterniones, pero las reglas de multiplicacin son distintas:

El puente de Brougham sobre el Canal Real, donde Hamilton durante un paseo dedujo las reglas para los cuaterniones.

i j = k, j k = -i, k i = -j j i = k, k j = -i, i k = -j i i = j j = -k k = -1 i j k = 1

131

... los nmeros complejos componen una notable unidad con la naturaleza. Es como si la propia naturaleza estuviera tan impresionada por el alcance y consistencia del sistema de los nmeros complejos como lo estamos nosotros, y hubiera confiado a estos nmeros las operaciones detalladas de su mundo en sus escalas ms minsculas. Roger Penrose, "El camino a la realidad".

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The Complex Number Song (Tune:John Brown's Body)

Mine eyes have seen the glory of the Argand diagram They have seen the i's and thetas of De Moivre's mighty plan Now I can find the complex roots with consummate elan With the root of minus one Complex numbers are so easy Complex numbers are so easy Complex numbers are so easy With the root of minus one In Cartesian co-ordinates the complex plane is fine But the grandeur of the polar form this beauty doth outshine You be raising i+40 to the power of 99 With the root of minus one You'll realise your understanding was just second rate When you see the power and magic of the complex conjugate Drawing vectors corresponding to the roots of minus eight With the root of minus one(Probably) Mrs P.E.Perella133