Ficha Aritmetica i

8/17/2019 Ficha Aritmetica i

1/88

ALTO LOS INCAS D - 3 974383365

Si haces creer a la gente que piensan, teadorarán. Pero si realmente los haces pensar

te detestarán…

CONJUNTO:Reunión, agrupación, colección de objetos,llamados elementos (reales o abstractos).

REPRESENTACIÓN:o Mediante llaves.o Mediante gráficos (ven y carroll).

DETERMINACIÓN:o Por extensión.o Por comprensión.

TIPOS DE CONJUNTOS:o Unitario o singletón

o Finitoso Infinitoso Diferenteso Igualeso Equivalentes, equipotentes o coordinables.o Conjuntos comparableso Conjunto de conjuntoso Familia de conjuntoso Universal o Referencial (U)

RELACIONES CON CARDINALES:o

Para dos conjuntos disjuntos (A y B): n(A B) n(A) n(B)

o Para dos conjuntos no disjuntos (A y B): n(A B) n(A) n(B) n(A B)

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:o Unión ( )o Intersección ( )o Diferencia (–)o Diferencia Simétrica ( )

Juguemos un poco:Sombrea lo que corresponda en cada caso:

A B A B AB

A B A B A B

A B A B A

B

A B A B A B

A B

A B

A

B

A B A B A B

A B A B A

B

B A B A B A

A B A B A

B

A B A B A B


2/88

ALTOS LOS INCAS D-2 974383365

2

Ojo:Sea el conjunto:

R a;r

Cardinal del conjunto R: n(R)=2=n

Conjunto potencia:

RP a ; r ; ; a;r

Cardinal del conjunto potencia de R = 4 = 2n

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:o De Pertenencia ( )

De elemento a conjunto.

o De Inclusión( )De conjunto a conjunto.

EMPECEMOS… PROBLEMITAS

1. 2x

A / x ;x 73

a) A 0;1;2;3;4;5;6;7

b) A 0 : 2 : 4 : 6 : 8 :10;12;14

c)

2 4 8 10 A 0; ; ;2; ;

3 3 3 3

d)

2 4 8 10 14 A 0; ; ;2; ; ;4;

3 3 3 3 3

e) A 0;2;4

2. x 1

B / x ; 2 x 1 52

a) B 4; 3; 2; 1;0;1;2

b)

3 1 1B 2; ; 1; ;0; ;1

2 2 2

c) B 0;1;2

d)

1B 0; ;1

2

e) B 0;1

3. x 1

C / x ; 6 x 1 135

a) D 0;1;2;3;.....;15

b) D 0

c) C 0;1;2;3

d) D 4; 3; 2;0;1;....15

e)

D

4.

2x 1D / x ; 3 x 1 13

5

a) Db) D 0;1

c) D 5; 4; 3; 2; 1;0;1

d) D 0;1;2;3;4;5

e) D 1;0;1;2;3;4;5

5.

E (3x 1) / 1 4x 3 7

a) E 0;1;3 b) E 2

c) E 0;1;2;3;4;5 d) E 0

e) E

6. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones sonverdaderas?

A = {3; {3}; {4}; {{4}}}

I. {3} A II. {3} AIII. {{3}} A IV. {{{4}}} AV. {{4}} A VI. 7 AVII. 7 A VIII. AIX. A X. 3 {3}

a) 8 b) 5 c) 6d) 7 e) 4

7. Reyner sale a pasear todos los días con doso más de las ocho enamoradas que tiene, conmucho cuidado procura llevar cada día a ungrupo diferente ¿Cuántos días podrá Reynermantener dicha costumbre?

a) 244 b) 245 c) 246d) 247 e) más de 250


3/88


3

8. Indicar verdadero o falso en las siguientesalternativas:

I. Todos los conjunto iguales sonequipotentes y recíprocamente.

II. Toda familia de conjuntos es conjunto de

conjuntos y recíprocamenteIII. Dos conjuntos son comparables, si un

conjunto pertenece a otro conjunto.

A) FFV B) FVF C) VFFD) FFF E) VVF

9. ¿Cuántas de las proposiciones siguientes sonverdaderas?

n() = 0 ( ) = {} ( ) n{} = 1 ( ) {} ( ) { 0 } = {} ( )

A) 3 B) 2 C) 4D) 5 E) 1

10. Si: A = {0; 1; [–1]; [0; 1; –1]} ¿Cuántas de lasproposiciones siguientes son no verdaderas?

P(A) {} P[P(A)] {0; 1} P(A) { [–1] } P(A) { { [–1] } } P[P(A)]

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Si: A = {, {}, {{}}, {{{}}}}I. AII. {{}} AIII. {} A

IV. {{}} P(A)V. AVI. {{{}}} P(A)VII. {{}} AVIII. {{{{}}}} P(A)

¿Cuantas proposiciones son verdaderas?

A) Todas B) 2 C) 6D) 5 E) 8

12. SI: A = {; { }, a, { a }} ¿Cuántasproposiciones son falsas?

I. AII. AIII. { } AIV. { } A

V. P(A)VI. a { a }VII. {{ a }} AVIII. {{ a }} P(A)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) Todas

13. Sean: A = {0} ; B = { }C = ; D = { }

Indique la proposición falsa:I. n(A) = n(B) n(C) = n(D)II. n(A) = n(B) n(C) = n(D)III. n(A) n(B) n(C) = n(D)IV. n(A) = n(D) n(A) = n(B)

a) I b) II c) III y IVd) IV e) II y IV

14. Si: A = {2; { 2 }; ; { }} ¿Cuántas de lassiguientes proposiciones son verdaderas?

I. { 2 } A { 2 } A

II. { 2 } A { 2 } P(A)III. A AIV. {2, } A {{ 2 }, { }} AV. {{2, }} P(A) {{ 2, }} P[P(A)]

a) 1 b) 5 c) 2d) 3 e) 415. Cuántas de las siguientes proposiciones sonverdaderas:I) A B = {x/x A x B}

A B = {x/x A x B}

II) A – B = {x/x A x B} A B = {x/x (A B) x (A B)}III) AC = {x/x U x A}IV) A B B A A B = B A A = BV) n(A B) n(A) n(B)

A) FFFVV B) FVVVV

C) FVVFV D) FVVVFE) FVFVF


4/88


4

16. Indicar (V) o (F)I) (A B)C = AC BC

II) (A AC) = AIII) (A – U) =

a) VFV b) FFV c) VVFd) FVF e) FFF

17. Dado los conjuntos A y B, si: n(AB)=35 yn(A)+n(B)=48 ¿Cuántos elementos tiene A B?

a) 20 b) 15 c) 21d) 23 e) 22

18. Si A tiene 16 subconjuntos, B tiene 8subconjuntos y (A B) tiene 32 subconjuntos¿Cuántos subconjuntos tiene (A B)?

A) 0 B) 2 C) 4D) 16 E) 32

19. En el laboratorio de química, el jefedispone que se debe de formar, de una lista de 5auxiliares un equipo integrado de por lo menos 2personas. ¿Cuántas posibilidades se tienen?

a) 32 b) 25 c) 26d) 31 e) 2420. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto“B” donde?

B = (A C) – (A C)Si: A = {x/x3 – 6x2 + 12x – 8 = 0}

C = {x/x2 + x – 20 = 0}

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32

21. Si: U = {x Z / 1 x 8}A = {x Z / 2 x 5}

B = {x Z / 1 x < 6}Hallar: P[(A B) C ]

a) 128 b) 153 c) 583 d) 124 e) 64

22. Dado el conjunto:

A = { a

b/aZ, b IN 0 a < 4; 1 b < 3}

¿Cuántos subconjuntos propios tiene A?

a) 63 b) 31 c) 15d) 127 e) 225

23. Si: P = {x/x Z, x2 – 9 = 0}¿Cuáles son los elementos del conjunto P?

a) 3 b) –3 c) 3 –3d) 3 –3 e)

24. Marcar verdadero o falso:I. = {0} ( )II. {} = {0} ( )III. = {} ( )IV. {} ( )V. {} ( )VI. {{}} ( )

25. Dada las proposiciones establezca si sonverdaderos o falsas.

a) {4, 8, 23, 3} = {(–2)2, 8, 3} ( )b) {a, b, c} {c, b, d, e, a} ( )c) {1, 2, a, b} ( )d) R 2R ( )e) {2, 4} = {{2}, {4}} ( )

LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOSUnión:

A

A A

A A A

Intersección: A A

A

A A A


5/88


5

Complemento:

C

A A

C

C A A

C

C

Idempotencia: A A A A A A

Conmutativa: A B B A A B B A

Asociativa:

A B C A B C

A B C A B C

Distributiva:

A B C A B A C

A B C A B A C

De Morgan:

C C C

A B A B

C C C

A B A B

Del Complemento:

C

A A

C

A A

C

C A A

Absorción:

A A B A

A A B A

C A A B A B

C A A B A B

EMPECEMOS…

26. Sean los conjuntos:

U = {x/x son los números naturales}A = {2a/a N a 5}

B = { a 4

2/a A}

C = {

2b 1

3/b B}

La suma de los elementos de conjunto C es:

a) 8 b) 5 c) 6d) 10 e) 3

27. Dado los conjuntos A y B:

n(AB) = 35 y n(A) + n(B) = 48

¿Cuántos elementos tiene A B?

a) 20 b) 15 c) 21d) 23 e) 22

28. Dados dos subconjuntos: A y B se define:A B = {x/x (A B) x (A B)}U = {x/x Z+ x < 10}A = {x/x U x es divisor de 12}B = {x/x U x es impar}

Cuantos subconjuntos propios tiene (AB)C

a) 2 b) 8 c) 1d) 5 e) 7

29. Para dos conjuntos comparables donde unode ellos tiene 3 elementos más que el otro, secumple que la suma de los cardinales de susconjuntos potencia es 576.¿Cuántos subconjuntos propios tiene la unión deellos?

a) 511 b) 15 c) 31d) 107 e) 255


6/88


6

30. Un conjunto tiene 1024 subconjuntos entotal ¿Cuántos subconjuntos de 6 elementostendrá?

a) 1017 b) 210 c) 500

d) 1000 e) 470

31. Determinar cuantas son verdades si:I) A A = { }II) (A – B) (B – A) = A BIII) A A = IV) (AC)C = AV) (A B)C = AC BC

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

32. La región sombreada esta representadapor:

a) (C – B) (C – A)b) (A B) C

c) [(A B) – C] (B C)d) C – (A B)e) [(A B) – C] (A C)

33. En el siguiente gráfico la región sombreadarepresenta:

a) (A C) – Bb) (A B) – (B – C)c) (A B C) – Cd) (A B) – Ce) (A B) – (B C)

34. Cual de las siguientes relaciones expresamejor el área sombreada:

a) [(A B) – C] [C – (A B)]b) (A – B) [C – (A B)]c) (C – B) (C – A)d) (A – C) (B – C) Ce) [(A B) C] – (A B)

35. La figura representa:

a) (A B) – (B C)b) (A B) (B – C)c) B – (A C)d) (A B) (B C)e) Ninguna

36. En una ciudad:

o A 300 personas les gusta sólo huevo.o A 756 personas les gusta la carne.

Hallar cuántas personas hay en esa ciudad:

a) 456 b) 1056 c) 7560d) 1000 e) 345637. De un grupo de 32 personas:

o 4 damas tiene ojos negroso 17 damas no tienen ojos negros.o 10 damas no tiene ojos azules.o 8 varones no tiene ojos azules o negros.

C

A B

A

B

C

A B

C

A B C


7/88


7

¿Cuántos varones tienen ojos negros o azules?

A) 4 B) 7 C) 6D) 5 E) 3

38. A una reunión asistieron 315 peruanoshispanohablantes, de los cuales:

o 100 hablan inglés.o 145 hablan francés.o 123 solo castellano.

¿Cuántos hablan sólo dos idiomas?

A) 130 B) 1740 C) 53D) 176 E) 139

39. En la última Olimpiada de Matemáticadonde participaban 100 estudiantes, serealizaron 10 pruebas de matemáticas y en lapremiación noté que:

o 3 ganaron medallas de oro, plata ybronce.

o 5 ganaron medallas de oro y plata.o 6 ganaron medallas de oro y bronce.o 4 ganaron medallas de plata y bronce.

¿Cuántos no ganaron?

A) 60 B) 62 C) 75D) 82 E) 90

Academia Pardo . . . siempre contigo40. De un grupo de 55 personas:

o 25 hablan inglés.

o 32 hablan francés.o 33 hablan alemán.o 5 los 3 idiomas.

¿Cuántas personas del grupo hablan sólo dosidiomas?

A) 20 B) 25 C) 30D) 27 E) 22

41. En un salón de clase había 30 estudianteshombres que no les gustaba ir a la biblioteca 50eran estudiantes mujeres que sí gustaba estudiaren la biblioteca. Si el número de estudianteshombres que gustaba ir a la biblioteca era la

tercera parte de las mujeres que no les gustabaestudiar en la biblioteca. ¿A cuántos estudiantessi les gusta estudiar en la biblioteca, si en totalhabían 120 estudiantes en el salón?

a) 40 b) 45 c) 50d) 55 e) 60

42. De 50 personas se sabe que:

o 5 mujeres tienen 17 añoso 16 mujeres no tienen 17 años.o 14 mujeres no tienen 18 años.o 10 hombres no tienen 17 ni 18 años.

¿Cuántos hombres tienen 17 ó 18 años?

a) 15 b) 17 c) 19d) 21 e) 23

43. De un grupo de 109 personas:

o 61 juegan fútbol,o 44 juegan tenis.o 45 juegan vóley.o 6 juegan los tres deportes.

¿Cuántos juegan solamente un tipo de deporte,sabiendo que estos prefieren un solo deporte?

a) 70 b) 71 c) 72d) 73 e) 74

44. Se ha realizado una encuesta y se sabe losiguiente:

o 5/6 de las personas les gusta parrilladascon carne de chancho

o 7/12 con carne de alpacao 1/2 de las personas comen ambos tipos de

carneo 30 personas declararon ser vegetarianos.


8/88


8

¿Cuántas personas fueron encuestadas?

a) 350 b) 355 c) 360d) 370 e) N.P.

45. En una encuesta realizada entre lospostulantes a la UNSAAC, se obtuvo lossiguientes resultados:

o El 60% postulan a medicina.o El 50% postulan a ingenieríao El 80% postulan a medicina o ingeniería,

pero no a ambos.o 200 postulantes no postulan a estas

facultades.

¿Cuántos postulantes fueron encuestados?

a) 2400 b) 3200 c) 4000d) 6400 e) 5600

NUMERO REALES

Conjunto de los números Reales ( ): Estaformado por la unión de los conjuntos racionalese irracionales. Entre dos valores diferentes

existen infinitos números reales. I Dotado de dos operaciones binarias (INTERNAS):la adición y la multiplicación y una relación deorden menor que “


9/88


9

x 2; 5 , quiere decir que los valores dex son mayores que 2 y menores que 5, pero nollega a tomar los valores de 2 y 5.Su grafica sería:

INTERVALOS CERRADOS

Se denota por: a; b ó [ a; b ]Cuando se toma todos los valores incluyendolos limites, por ejemplo:

x [ 2; 5 ], quiere decir que los valores de xson mayores o iguales que 2 y menores o igualesque 5, en otras palabras toma los valores desde 2hasta 5. Su gráfica sería:

PROBLEMITAS

01. En el sistema de los números reales,verificar la verdad o falsedad de lassiguientes proposiciones.

I) Entre dos números reales diferentesexisten infinitos números reales.

II) El conjunto de los números reales esdenso.

III) El número “0” (cero) le pertenece a losirracionales.

IV) 1 1

a ; ! / a. 1a a

a) VFFF b) VVFF c) VFVFd) FVFV e) FVFV

02. En el sistema de los números reales verificarla verdad o falsedad de las siguientesproposiciones:

I) La ley de tricotomía esta dado por: (a b ) (a b) (b a ), a,b

II) La ley transitiva esta dado por:

(a b) (b c ) (a c ), a,b,c

III) Si a b a c b c, a,b,c

IV) Si a b a.c b.c, a,b,c

a) VVVF b) FVFV c) VFFVd) FVVF e) FVVV

03. Señala el axioma de los números reales:

I) Si a b , entonces (a b)

II) a b :(a /b)

III) a;b y c :a(b c) ab bc

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) I y III

04. Si 1 b a 0 , donde a;b , indicar elvalor de verdad de las siguientesproposiciones:

I) 2 2a b

II) 2 3a b

III) 3 3a b

a) VVV b) FVF c) FFFd) VFV e) FFV

05. Si: A 4,7 y B 1,9 ,

hallar A B B

a)

4,1 b) 7,9

c) 1,7 d)

e) 4,1

06. Si: A 2,10 y

B 5,12 , hallar

B A B A

a) 2,5 10,2 b) 5,10

c) 2,5 10,12 d) 2,5 10,12

2 5

2 5


10/88


10

e)

07. Si: A 5,3 , B 2,5 y C 0,9

hallar B C A

a) 0,3 b) 5, 2

c)

5, 2 0,3 d) 2,0

e)

5, 2 0,3

08. Si: A 5,0 ,

B 3,2 y C 0,7

hallar A C B

a)

5, 3 2,7 b) 3,2

c)

5, 3 2,7 d)

2,7 e) 5, 3

09. Si: A 0,7 , B 0,5 y C 0,10 hallar

B A C B .

a) b) 0 5,10

c) 5,10 d)

05,10

e)

5,10 0

10. Si: A 2,7 , B 5,7 y

C 2,7

a)

5, 2 7 b) 5, 2

c) 5, 2 7 d) 5, 2

e) 5,7

11. Si:

A 10,10 ,

B 0,10 y

C 0,20 .Hallar B C A

a) 10,20 b) 10,20

c) 10,20 0,10 d) 0,10

e) 10,20 0,10

12. Si: A 3,3 , B 5,5 y

C 9,9 .

Hallar CC

C B B A

a)

9,9 b)

5,5 c)

3, 9 9,3 d) 9, 3 3,9

e)

9, 3 3,9 5,5

13. Si: A 4,4 , B 4,4 y C 5,4 .

Hallar C A B A C

a) , 5 4, b) , c) , 5 4, d) 5, 4

e) 5, 4

14. Si:

x 2 5,10 , entonces a qué

intervalo permanecerá 3x 1 .

a) 7,8 b)

21,25

c) 7, 8 d) 22,23 e) N.A.

15. Si: 2x 1 7,11 , entonces a qué

intervalo pertenecerá x 3 .

a) 0,8 b) 0,8

c) 3,5 d) 6,10

e)

16. Si: 5x 3 7,38 , entonces a qué

intervalo pertenecerá 2 x .

a) 0,9 b) 2,7 c) 7,2

d) 4,5 e) 5,4


11/88


11

17. Si: 2 x 2,5 , entonces a qué


a) 9,8 b) 5,9 c) 4,9

d)

4,3 e)

5,9

18. Si: x 2 5,10 , entonces a qué

intervalo permanecerá 1 3x .

a) 23,22 b)

8,7 c) 23,22

d)

24,21 e) 23,22

19. Si: x 7 1,4 , entonces a qué intervalopertenecerá

1.

x

a) 8,11 b) 11,8 c)

1 1,

11 8

d)

1 1,

8 11 e)

1 1,

8 11

20. Si:

3 10, 2 ,x 2 entonces a qué

intervalo pertenecerá x 3 .

a) 7 23

,2 10

b)

7 23,

2 10

c)

1 17,

2 10 d)

7 23,

2 10

e)

7 23,

2 10

21. Si: x 2 8,5 , entonces a qué

intervalo permanecerá

2.

3x 1

a)

2 1,

31 4 b)

1 2,

4 31

c)

2 1,

31 4 d)

1 2,

4 31

e) N.A.

22. Si:

3 1 1, ,

x 2 2 5 entonces a qué

intervalo pertenecerá 2x 3 .

a) 100,121 b) 0,121 c) 121,100 d)

0,100

e) 0,121

23. Si:

2 1 1,,

1 x 9 3 entonces a qué


a)

9,225 b)

0,225 c) 0,9 d) 225, 9 e) 9,225

24. Si:

5 1 1, ,

2 10 201x

entonces a qué

intervalo pertenecerá2

x 3 .

a)

2

,0499 b)

2

,0499

c)

2,0

1999 d)

2,0

1999

e) N.A.

números naturales y enterosSISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES


12/88


12

Se llama sistema de números Naturales a unconjunto: { 0,1,2,.... } Provisto de las siguientes operaciones: Adición: (a,b) a b

Multiplicación: (a,b) a b Estas están totalmente definidas que cuentancon una relación de orden menor o igual ( )

ADICIÓN:Propiedades : Clausura: Si a,b a b Conmutativa : A + B = B + A Asociativa : A+(B+C)=(A+B)+C Modulativa : El cero es el elemento

neutro aditivo : A + 0 = A , A.

MULTIPLICACIÓNPropiedades : Clausura: Si a,b a b Conmutativa : A x B = B x A Asociativa : A x ( B x C ) = ( A x B ) x C Distributiva : Ax(B+C)= A x B + A x C Modulativa :El uno es el elemento

neutro multiplicativo. A x 1 = A , A Elemento absorvente : 0 n n 0 0 Para a,b se cumple:

Dicotomía: a,b a b ó a b Reflexiva: a a a Simetría: Si a b b a

Transitiva: si a b y b c a c

SUSTRACCIÓN: Sea a,b ; a b a b c , (b a)

DIVISIÓN:

a bSea a,b ; a b c ,

b a

“La sustracción y la división estánparcialmente definidos en el sistema de los

números naturales”

SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Además de cumplir con las mismas propiedadesde la adición, la multiplicación y la división delsistema de los números naturales, también

cumple con tener la sustracción totalmentedefinida.

SUSTRACCIÓN O RESTA

Propiedades : El inverso aditivo: El inverso aditivo de X

es –X , que cumple:X + ( -X ) = 0, para cualquier X.

El inverso aditivo de 2 es –2;El inverso aditivo de 5 es –5;El inverso aditivo de -7 es 7 ;

La suma de los términos de unasustracción es el doble del minuendo :

Si a un número de dos cifras se le resta elmismo número, pero con sus cifras enorden inverso resulta:

ab ba xy , donde x y 9 Si a un número de tres cifras se le resta el

mismo número, pero con sus cifras enorden inverso resulta:

abc cba mnp , donde:

n m p 9 Nota: las dos últimas propiedades no funcionan

con números capicúas.

COMPLEMENTO ARITMÉTICO ( CA)

El complemento aritmético de un número es loque le falta a éste para formar una unidad delorden inmediato superior.C.A.( 992 ) = 1000 – 992 = 8

C.A.(abcd) 10000 abcd Método Práctico: Sirve para cualquier sistemade numeración.- Se resta la primera cifra significativa de la

derecha de la base en la que esta el número.- El resto de las cifras se resta de la base

menos uno.Ejemplo: C.A. ( 347865426 ) = 652134574

(8) (8)C.A.(13254 ) 64524

MINUENDO –

SUSTRAENDO = DIFERENCIA

M+S+D=2M


13/88


13

DIVISIÓN Inverso multiplicativo : 1/A es el inverso

multiplicativo de A que cumple : Ax1/A=1

Ejemplo:

El inverso de5

2 es

2

5 por que

5 2 = 1

2 5

I.- DIVISIÓN EXACTA: r=0.

D = Dividendo d = divisorq = cociente rd = residuo por

defectore = residuo por exceso

II.- DIVISIÓN INEXACTA: Cuando existe residuo.II.a.- DIV. INEX. POR DEFECTO:

II.b.- DIV. INEX. POR EXCESO :

Notasa: 0 < r < d rd + re = divisor residuo mínimo = 1 residuo máximo = divisor - 1

PROBLEMITAS

1. De las proposiciones :I. El elemento neutro para la multiplicación es

la unidad.II. El elemento neutro para la adición es único.III. La división no cumple con la propiedad de

cerradura en el sistema de los númerosnaturales.

IV. Si a ( ) a.x 0 , entonces sepuede decir que a es elemento absorbente.Indique la alternativa falsa.

a) I y III b) II c) III

d) IV e) N.A.

2. Indique cuales de las proposiciones sonverdaderas o falsas. La sustracción esta definida plenamente

en N. La operación de división esta definido

plenamente en N. En los números naturales existe un único

natural “x” tal que se cumple a.x 0 En N la multiplicación no cumple con la

propiedad de clausura. El elemento neutro de la adición existe y

es único.a) VFFVV b) FFVFV c) VFFFVd) FVFVF e) VVFFF

3. Indique cuales de las proposiciones sonverdaderas o falsas. a N, !( a) N / a ( a) ( a) a 0

a,b Z, se cumple que a b b a

a Z, !( a) Z / a ( a) ( a) a 0

1 1a Z, !(a ) N / a.(a ) 1 ! 0 Z / a 0 a

a) VFFVV b) VFVFV c) VFFFV

d) FFVFV e) VVFFF

4. a,b,c Z, siempre se cumple:

Si a b a c b c Si a b a.c b.c Si a.c b.c c 0 a b Si a.c b.c c 0 a b

Si a.c b.c c 0 a b a) I y III b) solo I c) solo IIId) II y IV e) I y IV

5. Determinar: a b c d e , Sabiendo que:

abcde47 47abcde 12132233 .a) 25 b) 29 c) 30d) 33 e) 34

6. Calcular las dos ultimas cifras del resultadode: 8 88 888 ...(45 sumandos) a) 80 b) 70 c) 45

D=d.qD dq

D=d.q + rdD d

qrd

D=d.(q+1) –

re

D d

q+1re


14/88


14

d) 85 e) 90

7. Cual es el numeral cuyas tres cifras suman 24y que al invertir el orden de sus cifras

disminuye en: xy(x 7) a) 879 b) 798 c) 897d) 978 e) 987

8. ¿Qué sucede con la diferencia de unasustracción, cuando al minuendo se ledisminuye 3 decenas y al sustraendo se leaumenta una centena?a) Disminuye en 70 b) Disminuye en 130c) Aumenta en 70 d) Aumenta en 130e) Aumenta en 200

9. En una sustracción el minuendo es elquíntuplo de la diferencia, si el sustraendo es400. Hallar la diferencia.a) 80 b) 90 c) 100d) 110 e) 120

10. Sabiendo que: C.A.(abc) cba 254 y

a c 2 . Calcular: abca) 81 b) 90 c) 10d) 56 e) 60

11. Si: C.A.(abc) (b 1)(2b)(a 1)

Calcular: a b c a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

12. Hallar a b c d f si: abcd 7 f2601

a) 20 b) 22 c) 30d) 28 e) 25

13. En abcd 95 , la diferencia de los productosparciales es 16372, calcular: (b c) (a d) a) 2 b) 3 c) 6d) 8 e) 10

14. los pesos vacíos de dos vagones son iguales,se carga uno de ellos con 9 000 kg demercadería y el otro con 1 500 kg; resultandoel peso del primer vagón el doble del

segundo, se desea saber el peso de losvagones vacíos.a) 1 600 b) 7 000 c) 8 000d) 6 000 e) 5 000

15. En una reunión se cuentan tantos varonescomo tres veces el número de mujeres.Después que se retiran 8 parejas, el númerode varones que aun queda es igual a 5 vecesel de mujeres. ¿Cuántos varones habíainicialmente en la reunión?a) 46 b) 47 c) 48d) 49 e) 50

16. Calcular la suma de las cifras del resultadode multiplicar: 333...(20veces) por

999...(35veces) a) 285 b) 290 c) 300d) 315 e) 320

17. Si el tren de seis vagones, Cusco aMachupicchu transporta 1350 turistas en 5viajes. ¿Cuántos viajes será necesario querealice para que utilizando 4 vagonestransporte 540 turistas?a) 2 b) 3 c) 5d) 6 e) 7

18. Si

1ab C.A.(ab) 9856, Calcular el valor

de 2 2a b .a) 5 b) 10 c) 17d) 26 e) 37

19. Hallar el CA del CA del CA de 908.a) 92 b) 8 c) 2d) 908 e) 35

20. Hallar “a” si aba aa bb 443 a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

21. Encontrar un número de 4 cifras cuyocomplemento aritmético sea igual a la sumade sus cifras. Hallar el menor de estas cifras.a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8


15/88


15

22. En una división los restos por defecto y porexceso 31 y 43 y su cociente 79. Hallar eldividendo.a) 5123 b) 5877 c) 5889

d) 6120 e) 5645

23. Hallar el menor número posible que al serdividido entre 17 se obtiene como cociente31 y resto diferente de cero.a) 527 b) 528 c) 526d) 529 e) 530

24. Cual será el mayor número que al ser divididoentre 97 se obtuvo como cociente la mitaddel residuo.

a) 5200 b) 8643 c) 9602d) 3940 e) 4752

25. ¿Cuántos números menores que 400 puedenser dividendos de una división cuyo cocientees 12 y cuyo residuo es 14?a) 20 b) 18 c) 19d) 17 e) 16

26. Si el dividendo termina en 65, el cociente en19 y el residuo en 57. ¿Cómo terminara al

divisor?a) 32 b) 35 c) 11d) 42 e) 23

27. Cuantos números de 4 cifras existen tales queal divisor entre 18 se obtiene algún residuo?a) 8500 b) 8460 c) 500d) 8517 e) 8299

28. Para todo a, b y c Z, de las siguientesproposiciones:

a b a.c b.c a b c 0 a.b b.c a.c b.c a b a.c b.c c 0 a b

Cuales son falsas:a) II y IV b) I, II y III c) II, III y IVd) II y III e) Todos

29. En el sistema de los números enteros,determinar el valor de verdad de lassiguientes proposiciones: Para todo número entero positivo “a”

existe otro número entero “b” quecumple: a b 0

El conjunto de números enteros es denso. La sustracción esta parcialmente definida

en los naturales. La división cumple con la propiedad de

clausura en los números enteros.a) FVVF b) FFVV c) VFVFd) VVFF e) FVVF

30. ¿Cuántos números de la forma aba existen

tales que la suma de las cifras de sucomplemento aritmético sea 19?a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

31. sumar:

F 1 3 2 4 3 5 .... 28 30 Contestar la suma de sus cifras.a) 17 b) 22 c) 20d) 16 e) 21

32. En una división el divisor es 15 con resto 3 y

si al dividendo se le aumenta 5, en cuantoaumenta el resto.a) 2 b) 3 c) 5d) 8 e) 7

33. Al dividendo de una división cuyo divisor es13 se le aumenta 100. ¿En cuanto aumenta elcociente de la nueva división. Si el restoinicial es 5?a) 4 b) 1 c) 8d) 7 e) 5

34. La suma de los C.A. de los números:

1nn2; 2nn3; 3nn4; . . . ; 8nn9 es 42 196 .Calcular el valor de “n”. a) 2 b) 3 c) 5

d) 7 e) 6


16/88


16

SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES (Q)

Números Racionales.- Son aquellos que se puedeexpresar como el cociente de 2 números enteros.

Números fraccionarios: son aquellos númerosracionales que NO son números enteros .Fracción es aquel número fraccionario cuyostérminos son positivos.

Clasificación de las fracciones :I. Por comparación de sus términos:* Propia: Numerador menor que el

denominador.* Impropia: Numerador mayor que el

denominador.

II. Por los divisores de sus términos:* Reductibles: Cuando ambos términos tienen

factores comunes.* Irreductibles: Cuando sus términos no tienen

factores comunes.

III. Por su denominador:

* Decimal.- Denominador de la forma:

n10...0 10

* Ordinaria.- Denominador NO es de la forma:

n10...0 10

IV. Por grupo de fracciones:

* Homogéneas: Cuando varias fracciones tienenel mismo denominador.

* Heterogéneas: Cuando varias fraccionestienen distinto denominador.

FRACCIÓN GENERATRIZ

I. Decimal exacto:

150,15 ;

100

24572,457

1000

454,5 ;

10

abcda,bcd

1000

II Decimal inexacto:

II.1 Periódico puro:

40,44.. 0,4 ;

9

520,5252... 0,52

99

II.2 Periódico mixto:

43 40,43

90

521 50,521990

657 650,657

900

GRUPO I: Hallar la generatriz equivalente a:1) 0,4 Rpta. 2/52) 0,05 Rpta. 1/20

GRUPO II: Hallar la generatriz equivalente a:

1) 0,5 Rpta. 5/92) 0,72 Rpta. 8/11

GRUPO III: La generatriz equivalente a:

1) 0,25 Rpta. 23/90

2) 0,64 Rpta. 29/45

PACOPROBLEMITAS

01. ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones sonciertas?

I. Si a

0 1b

, entoncesa

b es fracción

propia.

Numerador

Denominador

a

b


17/88


17

II. Si

a1

b, entonces

a

b es una fracción

impropia.III. Todo número entero es un número

racional.IV. 0,25 es un decimal exacto.

V. 2,5555..... es un decimal inexacto.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

02. Cuantas de la afirmaciones son falsas:I. 4,5299.... 4,53

II. 3,4999.... 3,5

III. entre dos número racionales diferentessiempre es posible encontrar un númeroirracional.

IV. la fracción728

1491es irreductible

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

03. Dada las siguientes afirmaciones en elsistema de los números racionales:

I. Al número racional “a”, le sigue elnúmero racional “a+1”. II. El conjunto de los números racionales es

denso.

III. 1 1 1x , ! x / x.x x .x 1

IV. 1 1 1x,y,z : (x y).z x.z yz ¿Cuántas son falsas?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

04. Dada las siguientes afirmaciones en elsistema de los números racionales:

I. 1 1a , ! a / a.a 1

II. 1a,b a b a.b

III. a ; b , b 0 / a.b 1 ¿son falsas?

a) I b) II y III c) I y IIId) II e) III

05. Señale verdadero o falso.I. Entre dos números reales diferentes

siempre hay un numero irracional.II. El conjunto de los números racionales es

denso en los números reales.III. Si “x” es racional, existen infinitos

números racionales entre “x” y “x+1”. a) VFV b) VVF c) VVVd) FVV e) FVF

06. Sean “x” e “y” números racionales, conx y . Indicar el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

I.

x yx y

2

II. Existe un racional “z” tal que x z y

III. 1 1

x y

a) VFV b) VFF c) FVVd) FFV e) VVF

07. Indicar verdadero o falso.I. Entre dos números racionales diferentes,

existe una infinidad de númerosracionales.

II. Un número racional positivo, elevado a unnúmero racional positivo, da comoresultado, siempre un número racional.

III. La división de dos números irracionalesdiferentes, origina un número irracional(siempre)

a) VFF b) VFV c) VVFd) FVF e) FFF

Simplificar las siguientes expresiones y dar comorespuesta la diferencia de los términos de la

fracción ordinaria.

08.

12

12 1

2

2D

13

4


18/88


18

a) 19 b) 44 c) 23d) 20 e) 22

09.

249

1501 15 :7,5

3649N :5 11 25

49 196

a) 4 b) 29 c) 24d) 0 e) n.a

10. Ordenar en forma ascendente (de menor amayor) las siguientes fracciones.

a.3333

5555b.

2222

3333c.

111

666 d.

55555

22222

a) c,a,d,b b) c,b,d,a c) a,b,c,dd) c,a,b,d e) a,d,b,c

11. Cuantas fracciones equivalentes a 2/3 cuyosnumeradores son menores a 15.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

12. Cuantas fracciones equivalentes a 39/27existen cuyos numeradores sean de 2 cifras.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

13. Cuantas fracciones equivalentes a 4/7 son

de la formaab

ba.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14. Cuanto es los 2/3 de los 6/5 de los 15/2 de20.

a) 60 b) 90 c) 120d) 150 e) 210

15. los 7/2 de los 5/3 de los 6/35 de quenúmero resulta los 5/7 de los 3/2 de 14.

a) 21 b) 15 c) 18d) 12 e) 10

16. Para que valores de “m”, la fracción

(m 2)

(m 1) es igual a un número entero.

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) n.a.

17. Encontrar una fracción equivalente a 5/7,sabiendo que el producto de sus términos es

560

a) 35/49 b) 30/42 c) 25/35d) 15/21 e) 20/28

18. Katy llego tarde a un concierto y se pierde1/9 del tiempo que dura el espectáculo,15min. más tarde llega su galán y solo ve los5/6 del tiempo total del espectáculo.¿Cuántas horas duro el concierto?

a) 3 b) 3,5 c) 4d) 4,5 e) 5

19. Tres amigos A, B y C pueden hacerindividualmente un muro en 15, 20 y 30 díasrespectivamente. Empiezan el muro juntos,a los dos días se retira A, continuando juntosB y C por tres días, al cabo de los cuales seretira B, terminando el muro solo C. ¿En quetiempo total hicieron todo el muro?

a) 18,5 b) 19 c) 20d) 18 e) 21,5

20. Si:

N a 10, (a 1)a

37 2, hallar (a N)

a) 9 b) 12 c) 15d) 16 e) 19


19/88


19

21. Hallar M E R I si A 0,ARITMET

,

además

10,1

A T.

a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20

22. Juan le dijo a Pedro: “si se restan 13 años y1/3 de año del duplo de mi edad en 1980,resulta los 3/4 más los 5/6 de la misma” ¿Enque año nació Juan?

a) 1958 b) 1968 c) 1948d) 1949 e) 1959

23. La cabeza de la cría de un lagarto mide9cm.; la cola mide tanto como la cabezamás la mitad del cuerpo, y el cuerpo mide lasuma de la cabeza y de la cola. ¿Cuántoscentímetros mide en total la cría de dicholagarto?

a) 60 b) 120 c) 56d) 72 e) 80

24. Un determinado tipo de gusano se duplicacada 3 días. Luego de 15 días de habercolocado un cierto número de ellos en unacaja; ésta estaba llena. Si 3 gusanos juntosocupan 1/448 de la caja. ¿Cuántos gusanosse pusieron inicialmente en dicha caja?

a) 38 b) 36 c) 42d) 40 e) 44

25. Después de perder los 5/8 de su dinero, 3/7del resto y los 5/12 del nuevo resto, unapersona gano 5400 soles y de este modo superdida queda reducida a 1/5 de la cantidadde dinero inicial que tenía. ¿Cuál era lacantidad, en soles?

a) 8000 b) 8400 c) 8600d) 9000 e) 1000

26. Un empleado gastó 4/7 de su sueldo enalimentos. 2/3 de lo que le queda enhabitación, 3/5 del resto en algunasvanidades y ahorra la mitad de lo que lequeda. ¿Cuánto ahorra si gastó 1200 soles enalimentos?

a) 40 b) 50 c) 55d) 60 e) 70

27. Si a cyb d

son fracciones irreductibles,

además a c

2b d

y a c 20 luego la

cantidad de fraccionesa

b que se puede

formar es:

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12


20/88


20

Concepto: Es la parte de la aritmética queestudia la formación representación y conteo delos números.

Número: Es un ente matemático que nospermite cuantificar los objetos de la naturaleza.

Numeral: Es la representación escrita de un

número mediante el uso de símbolosconvencionales.

Cifra: Son aquellos símbolos que se utilizanconvencionalmente para la formación de losnumerales.

Orden: Es el lugar que ocupa una cifra dentro deun numeral, considerando de derecha aizquierda.

Sistema de numeración: Es el conjunto deprincipios y convencionalismos que rigen laformación y representación correcta de losnúmeros.

Base de un sistema de numeración: Es lacantidad de unidades requeridas de un ordencualquiera para formar una unidad del ordeninmediato superior.

Base Símbolos Sistema23456789101112

n

0 y 10; 1; 20; 1; 2; 30; 1; 2; 3; 40; 1; 2; 3; 4; 50; 1; 2; 3; 4; 5; 60; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 70; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 80; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 90; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;A0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;

A; B

0; 1; 2; 3; . . . . . ; (n–1)

BinarioTernario

CuaternarioQuinarioSenarioHeptalOctalNonal

DecimalUndecimalDodecimal

n – ésimal.

Valor de las cifras:Toda cifra que conforma un numeral cuenta condos valores:

Valor absoluto (Va) Por la cantidad unidadesque representa por su apariencia.

Valor relativo (VR) Es el número total deunidades simples que representan por elorden que ocupa en un numeral.

Algunas observaciones: Para las bases mayores que la base decimal

se utiliza los siguientes convencionalismosrespecto a las cifras: A (10)

B (11)

C (12)

D (13)

El número de unidades de cualquier ordenque coincida con la base del sistema denumeración originara una unidad del ordeninmediato superior.

En cualquier sistema de numeración, lacantidad de cifras a utilizar seránuméricamente igual a la base.

¡Mira que fácil esta

este tema!

estudiemos juntos....


21/88


21

La mayor cifra que se puede utilizar en ciertosistema de numeración será igual a la basedisminuida en una unidad.

cuanto mayor es la base, la representacióndel numeral es menor. Cuanto menor es labase, la representación del numeral esmayor.

Como 8 6abc pqr

Entonces: abc pqr (8) (6)

CAMBIOS DE BASE PARA UN NÚMERO ENTERO

I. Primer caso: de base (n) a base (10).Método: Descomposición Polinómica.

3 2 1(n)abcd a n b n c n d

Ejemplos:

a). 2 1(4)321 3 4 2 4 1

= 48 + 8 + 1= 57 (4)321 57

II. Segundo Caso: de base (10) a base (m).Método : Divisiones sucesivas.Ejemplos:

a). 83 (7)83 7

6 11 7

4 1

(7)83 146

III. Tercer Caso: de base (n) a base (m).Método : Combinado (se utilizan los 2 métodosanteriores).

Segundo CasoPrimer Caso

(n) (10) (m) Ejemplo:Cambiar de base el número (5)132 a base (4).

Primero se cambia el número (5)132 a base

(10).

2(5)132 1 5 3 5 2

= 42

Luego 42 se cambia a base (4)

42 4

2 10 4

2 2

Entonces (5) (4)132 42 222

CAMBIOS DE BASE PARA NÚMEROS MENORESQUE LA UNIDAD

I. Primer caso: de base (n) a base (10). Método: Descomposición Polinómica.

(n) 2 3 4

a b c d0,abcd

n n n n

Ejemplo: Cambiar de base (4)0,302 a base (10)

(4) 2 3

3 0 20,302

4 4 4

50

64= 0,78

II. Segundo Caso:de base (10) a base ( m)

Ejemplo: 0,423 ( 6)

0 423 6

2 538 6

3 228 6

1 368

(10) (6)0,423 0,231

Cambios de base… ¡practica!

De base “n” a base 10.

21112(3): ………………………………………….

144 (9): …………………………………………….

D4AB : ……….…………………………………

De base 10 a base “n”.

211 a base (7): …………………………..

1354 a base (9): …………………………


22/88


22

1248 a base (11): ………………………..

De base “n” a base “m”.

122(5) a base (2): …………………………

400(7) a base (8): …………………………

10001(2) a base (3): ………………………

OJITO:

De base “n” a base “nk”.

102101112(3): a base (9): ………………..

100101110(2): a base (8): ………………..

De base “nk” a base “n”.

6174(8): a base (2): ………..……………..

87625(9): a base (3): ………………..

EMPECEMOS…

46. La descomposición polinómica de un númeroes:

i. El valor que toma una cifra por la posiciónque toma en el número.

ii. El valor que toma una cifra por su símbolo.iii. La igualdad de dos polinomios.

iv. El producto de sus valores relativos.

v. La expresión de un número como la sumade los valores relativos de cada una de suscifras.

a) I b) II c) IIId) IV e) V

47. ¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual sucifra de cuarto orden ocupa el quinto lugar?

a) 8 b) 7 c) 6d) 5 e) 9

48. ¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual secumple que su cifra de orden 4 coincide consu cifra de tercer lugar?

a) 8 b) 7 c) 6d) 5 e) 9

49. Si a un numeral de dos cifras se le agrega eltriple de la suma de sus cifras se obtiene 42.Hallar la suma de cifras del numeral.

a) 4 b) 6 c) 12d) 8 e) 7

50. Calcular la suma de cifras de un numeralcapicúa de tres cifras que sea igual a 23veces la suma de sus cifras diferentes.

a) 8 b) 12 c) 10d) 9 e) 7

51. Un número capicúa de tres cifras es igual a

28 veces la suma de sus cifras. Halle elproducto de sus dos primeras cifras.

a) 5 b) 12 c) 10d) 15 e) 16

52. Hallar cuantos numerales de dos cifras soniguales a 7 veces la suma de sus cifras.

a) 4 b) 5 c) 6d) 3 e) 7

53. Hallar el valor de “n” si:

123(n) = 231(5)

a) 7 b) 8 c) 9d) 5 e) 6

54. Si los números están correctamente escritos:


23/88


23

4 x c1x0 ; 2bc ; bb

Hallar el valor de: a + b + c

a) 6 b) 12 c) 7d) 5 e) 755. ¿Cuántos numerales de 3 cifras impares

existen en base 5?

a) 4 b) 18 c) 8d) 16 e) 20

56. Un número decimal esta formado por trescifras en el cual la cifra de mayor orden es eldoble de la cifra de menor orden y la cifra

central es igual a la suma de las cifrasextremas. ¿Cuántos números cumplen dichacondición?

a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) 4

57. ¿Cuántos números impares de la forma:

aa b(b 6)c

2

existen en el sistema

decimal?

a) 85 b) 88 c) 80d) 50 e) 40

58. ¿Cuántos números pares de 4 cifras existentales que empiezan en cifra impar?

a) 1900 b) 3500 c) 2500d) 4200 e) 2300

59. ¿Cuántos numerales de la forma “C” existen?

2

12

cC 3a 2 b 1 a

3

a) 248 b) 448 c) 432d) 564 e) 488

60. Si el siguiente numeral es capicúa, calcule: a+ b + c.

b a c b b 5 a b c a 2 8

3 4

a) 15 b) 12 c) 13d) 17 e) 18

61. ¿Cuál es la base en el cual 102 tiene comoequivalente ó está representada como 234 enbase 7?

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

62. Exprese7

n 4 2m 1 n 1 m 3 en

el sistema quinario, y de cómo respuesta lasuma de sus cifras.

a) 4 b) 14 c) 5d) 2 e) 12

63. Un número de dos cifras es tal que al invertirel orden de sus cifras, se obtienen un número

que excede en 5 al doble del anterior. Hallarel producto de las 2 cifras.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

64. Calcular la suma de cifras de “N” en elsistema 17

N = 5(17)4+ 21(17)3+ 24(17)2+ 18(17) + 19

a) 22 b) 21 c) 23

d) 24 e) 2665. Calcular la suma de cifras de “E” en el

sistema senario:

4 3E 8 6 3 6 76

a) 12 b) 16 c) 17d) 18 e) 19


24/88


24

66. hallar a + n si (6) (n)120 14a

a) 7 b) 8 c) 10d) 13 e) 11

67. hallar: a + b + c, (5) (8)abc 1a7

a) 5 b) 8 c) 19d) 7 e) 12

68. Hallar “n” si (n) (3)231 1200

a) 7 b) 6 c) 4d) 5 e) 11

69. Hallar la suma:

S = 4(9) + 5(9) + 6(9) + 7(9) + 8(9)

a) 33(9) b) 30(9) c) 31(9) d) 42(9) e) 63(9)

70. Si:

abcd 2 ab cd

Calcular: a + b + c + d.

a) 10 b) 15 c) 13d) 18 e) 11

71. Si:

n 3abcdef x x 1 0x

Calcular: a + b + c + d + f + n + x

a) 4 b) 15 c) 6d) 7 e) 8

72. Si: b a 1 ,n cifras 30 cifras

(b) (2)aaa...aa xxx...xx y

7 n 10 . hallar x+a+b+n.

a) 10 b) 35 c) 18d) 15 e) 26

73. Cuantas cifras se usaron en todos los númerosde la forma.

(7)a(a b)b

a) 21 b) 63 c) 22d) 28 e) 36

74. Cuantos números de 5 cifras diferentesexisten que solo utilice las cifras 0; 2; 3; 7 y9.

a) 80 b) 96 c) 106d) 90 e) 84

BASES SUCESIVAS

1a N (a b c ... x y)

1b

1c

1d

1x

1yN

CIFRAS MÁXIMAS

K

n

K cifras

n 1 n 1 n 1 ... n 1 n 1

5

322222 3 1

6

9888888 9 1


25/88


25

CANTIDAD DE CIFRAS EN UNASUCESIÓN FINITA DE NÚMEROSNATURALES.

Si escribimos los números de 1 hasta N,donde N tiene “n” cifras, la cantidad de cifrasutilizadas se puede calcular mediante:

"x" cifras

Cant.Cifras 1 N N 1 x 111..11

EJERCICIOS DE APLICACIÓN…

01. Cuantas cifras se utilizan al escribir desde1 hasta 4987.

a) 18441 b) 16544 c) 19884d) 14658 e) 48882

02. Cuantos tipos de imprenta se usaron en la

numeración de un libro de 428 hojas.

a) 1230 b) 1889 c) 2460d) 3654 e) 5680

03. Cuantos tipos de imprenta se usaron en lanumeración de un libro de 1035 paginas

a) 4033 b) 1256 c) 4580d) 4330 e) 3546

04. Cuantas paginas tiene un libro que en sunumeración utilizó 1830 tipos de imprenta.

a) 232 b) 646 c) 323d) 466 e) 1230

05. Cuantas hojas tiene un libro que en sunumeración utilizó 2941 tipos de imprenta.

a) 562 b) 381 c) 506

d) 498 e) 87906. Cuantas páginas tiene un libro sabiendo

que en sus 25 ultimas hojas se utilizaron 142tipos de imprenta en su numeración.

a) 140 b) 141 c) 142d) 183 e) 1048

07. Convertir M al sistema duodecimal:

4 3 2M 6x12 30x12 2x12 16x12 5

Indicar el producto de sus cifras de lugarimpar.

a) 24 b) 120 c) 60d) 40 e) 20

08. Exprese el menor numeral del sistematernario cuya suma de cifras es 100 en elsistema nonario. De cómo respuesta la sumade cifras.

a) 400 b) 250 c) 320d) 360 e) 200

09. Exprese 10202112(3) en el sistema nonarioy de cómo respuesta la suma de sus cifras.

a) 20 b) 21 c) 19d) 22 e) 23

10. Sim

mmm 2160

Halle el valor de: mm 1m m1

a) 126 b) 145 c) 186d) 165 e) 154

11. Si: 72"j" cifras

aaa...a 1net

Calcule: j + a + n + e + t


26/88


26

a) 14 b) 18 c) 16d) 15 e) 13

12. Hallar "a b c d" ; Si :

12 abcd1712

17

1217

a) 14 b) 11 c) 18d) 10 e) 16

13. Llevar a base 12 el siguiente número y

contestar la suma de sus cifras:

6 5 3F 24 12 15 12 20 12 15

a) 18 b) 19 c) 24d) 14 e) 22

14. Llevar a base nonal el siguiente número,contestar la suma de sus cifras:

40 cifras

(3)222......222

a) 150 b) 160 c) 320d) 80 e) 90

15. Cuántas cifras se escribieron en todos losnúmeros naturales desde el 1 hasta elnúmero 357.

a) 960 b) 966 c) 963

d) 958 e) 965

16. Hallar P y responder el valor de la ciframayor.

P CA 15 CA 1515 CA 515

a) 0 b) 9 c) 5d) 4 e) 7

17. Convertir: 0,390625 al sistema de base 4

a) 0,210(4) b) 0,121(4) c) 0,120(4)d) 0,111 e) N.A

18. Convertir : 0,2512 al sistema de base 5

a) 0,112(5) b) 0,121(5) c) 0,1112(5)d) 0,2111(5) e) N.A.

19. Hallar B y responder el valor de la cifrade menor valor.

5 5B CA 321 CA 204

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 0

20. Hallar a b si CA ab3 257

a) 7 b) 11 c) 10d) 8 e) 9

21. Hallar a b c

Si CA 3a5 b2c

a) 17 b) 16 c) 18d) 15 e) 14

22. Si: (101 )x1010 = 1010

a) 3 b) 4 c) 2d) 1 e) 5

23. La diferencia entre dos números naturaleses “D”, si resta 5 al minuendo y se suma 3 alsustraendo. ¿Cuál será la nueva diferencia?

a) D + 8 b) D – 8 c) D – 5d) 2D + 8 e) D – 3

24. Si : (n) (n) (n)abc cba f pr

400números


27/88


27

Además: f p r 16

Hallar 2"n "

a) 64 b) 81 c) 121d) 144 e) 49

25. Hallar el valor de a b si se cumple:

aba aa bb 443

a) 11 b) 10 c) 12d) 13 e) 14

26. Si:

CA[1234](5) = (5)abcd

Hallar: a + b + c + d

a) 1 b) 4 c)3d) 5 e) 7

27. Si:

(15)(15)

4aCA abc (6b)(2c)3

Hallar: a + b + c

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

28. Hallar b c d a si:

(9)19 abcd12

1912

1912

a) 7 b) 11 c) 10d) 8 e) 9

29. Hallar “n”; Si :

1n 810

1n

1n1n

1n

1n

a) 4 b) 5 c) 15d) 8 e) 11

30. Hallar (a + b + c) si:

12 13 12 abc12 17 2312 13 34

17 4512

1317

a) 12 b) 17 c) 18d) 23 e) 8

31. Hallar la suma de las cifras de C en base125.

C 12044444

5

a) 315 b) 376 c) 428d) 645 e) 328

32. Hallar la suma de cifras de R en base 8.

R 133033333

4

a) 124 b) 69 c) 70d) 84 e) 64

33. Se tiene el siguiente número:

20números 50

números

178números

100números


28/88


28

14641333333

(4)

Contestar cuantas cifras tiene éste númeroen base 64.

a) 15 b) 8 c) 9d) 11 e) 24

34. Hallar a + b. Si:

ab 1414

1414

a

a) 6 b) 8 c) 9d) 5 e) 61

35. Si:

(6)12 231

1314

15

ab

Hallar: ab (a b)(b 1)

a) 165 b) 166 c) 167d) 164 e) 162

36. Si se cumple:

(m) (n)

(m) (n)

458 284

460 288

Determinar (m+n)

a) 20 b) 28 c) 24d) 26 e) 30

DIVISIBILIDAD

Múltiplo.- Un número A es Múltiplo de unNúmero B, Cuando A contiene a B en unacantidad entera y exacta de veces. Es decir sidivido A entre B el cociente debe de ser entero yNo dejar residuo.

Divisor.- Un número B es divisor de A, cuandoesta contenido en A una cantidad entera yexacta de veces.Ejemplos: 30 es múltiplo de 6, por que 30 lo contiene a

6 cinco veces. 6 es divisor de 30, por que 6 esta contenido

en 30 en cinco veces.

Notación: 18 es múltiplo de 6; entonces su

notación es: 18 = 6m ; m Z. 18 = 6 Responde

Operaciones con múltiplos:

1) a. a a 2) a. a a

3) a. a a 4) a. K a ; K Z

5) K(a) a ; K Z+- {0}

15 es múltiplo de 45

63 es divisor de 189

15 es divisor de 180

90 es múltiplo de 15

0 es divisor de 5

10 es divisor de 0


29/88


29

º º º º

(n a )(n b)(n c) n a.b.c

Propiedades:

II.

I.

º

ºº

º

a r

N b r N MCM(a,b,c) r

c r

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Divisibilidad por 2: Un número es divisible omúltiplo de 2, si este número termina encifra par.

Divisibilidad por 3: Un número es divisible omúltiplo de 3, si la suma de sus cifras esmúltiplo de 3.

abcd 3 , entonces debe de cumplir que

a b c d 3

Divisibilidad por 4: Un número es divisible omúltiplo de 4, si el número que forma las 2últimas cifras del número es múltiplo de 4.

256824 4 ; entonces debe cumplir

24 4

Divisibilidad por 5: Un número es divisible omúltiplo de 5, si este número termina encifra 0 ó 5.

abcd 5 ; entonces debe de cumplir qued =0 ó 5

Divisibilidad por 9: Un número es divisible omúltiplo de 9, si la suma de sus cifras esmúltiplo de 9.

abcd 9 , entonces debe de cumplir que

a b c d 9

Divisibilidad por 11: Un número es múltiplode 11, si la suma de sus cifras que están enlugar impar menos la suma de sus cifras queestán en lugar par es un múltiplo de 11 ( loslugares se cuentan de derecha a izquierda ).

abcde 11 ; Entonces debe cumplir

(e c a) (d b) 11

Divisibilidad por 7: ( 1,3,2) - (1,3,2) +(1,3,2)-.... Un número es divisible omúltiplo de 7, si el producto de sus cifraspor el ciclo ( 1,3,2 ) empezando de laderecha es múltiplo de 7.El primer ciclo espositivo luego es negativo y así intercalando.

a b c d e f g 7

(g 1 f 3 e 2) (d 1 c 3 b 2) (a 1) 7

Divisibilidad por 13: 1–(3,4,1)+(3,4,1)–(3,4,1)+... Un número esdivisible o múltiplo de 13 si:

a b c d e f g 13

1 g (f 3 e 4 d 1) (c 3 b 4 a 1) 13

Divisibilidad por 25: Un número es divisibleo múltiplo de 25, si el número que forma las2 últimas cifras del número es múltiplo de

25.

61284250 25 ;

Entonces debe cumplir que 50 25


30/88


30

PACOPROBLEMITAS

01.Indicar si es verdadero o falso en cada unade las proposiciones.

I.Un número es múltiplo de 9 cuando la suma

de las cifras daº

3 .

II.Si un número termina en cero es múltiplo de5.

III.Todo numero que termina en 44 es múltiplode 4

a) FFF b) VVV c) FVVd) FFV e) VFV

02.¿Cuál o cuales de las siguientes proposicionesson verdaderas?

I. Todo número entero no es múltiplo de launidad.

II. El cero es múltiplo de cualquier número

entero.

III. Todo número entero es divisible por símismo.

IV. El número (n)abcd es n d

V. El número; º

(9)24681 9 1

a) Todos b) IV y V c) I, II, IIId) sólo III e) I , II y V

03.Hallar el valor de “b” si: º

24693b2 3

a) 2 b) 4 c) 5d) 6 e) 0

04.Hallar el valor de “a” en la siguiente

expresión: º

a45(2a) 7

a) 8 b) 3 c) 8d) 6 e) 5

05.Halla la suma de las cifras de N si:

º

N a(a 1)(2a)0 13

a) 3 b) 5 c) 8d) 9 e) 7

06.Hallar el valor de “a”. Si es el menor posibleen:

º

4a32b 36

a) 2 b) 4 c) 8d) 6 e) 0

07.Hallar “a”. Si: o

6a03 17

a) 2 b) 4 c) 8

d) 6 e) 008.La expresión:

(6 2) (6 4) ... (6 34) .

Es equivalente a:

a) 6 b) 6 1 c) 6 2

d) 6 3 e) 6 4

09.el numero de la forma: x(5x)y(5y) siempre

es divisible por:

a)2 b)4 c)28

d)6 e) x0y


31/88


31

10.En una división, el dividendo es º

11 4 , el

divisor

º

11 7 y el residuo por exceso es

º

11 3 . ¿Cuál es el residuo de dividir elcociente entre 11?

a) 2 b) 5 c) 3d) 7 e) 8

11.Hallar el menor “N” tal que:

o

o

N 7 3

4N 15 13

a) 59 b) 45 c) 46d) 52 e) 31

12.Hallar “n” Si: o

(8) (8)513n 13n5 8

a) 2 b) 4 c) 8d) 6 e) 3

13.Hallar “n” si:

o

40cifrasnnnn..... 9 2

a) 2 b) 4 c) 5d) 3 e) 7

14.Sabiendo que: º

"n"Sumandos

18 18 ... 18 51 Hallar

el valor de “n”

a) 17 b) 12 c) 7d) 12 e) 3

15.Calcular el valor de “a” Si:

º

1a 2a 3a ... 9a 7

a) 2 b) 4 c) 6d) 7 e) 8

16.Hallar el mayor valor de “a+b+c”, si secumple:

º º º

abc 3 ; cba 5 y ba 7

a) 16 b) 17 c) 18d) 15 e) 20

17.Hallar la cantidad de múltiplos de 6 entre losnúmeros 10 y 100.

a) 12 b) 24 c) 18d) 16 e) 15

18.La cantidad de numerales que desde 1 hasta

1200 son 3 ó 4 es:

a) 500 b) 600 c) 700d) 800 e) 900

19.Hallar la cantidad de múltiplos de 3 y de 5que hay entre los números 800 y 3000.

a) 144 b) 145 c) 146d) 154 e) 150

20.Cuantos términos de la secuencia sonmúltiplos de 12.

20(31);20(32);20(33); ...;20(1300);

a) 412 b) 518 c) 423d) 105 e) 210

21.Del 400 al 1400,¿Cuántos números sonmúltiplos de 7 pero no de5?

a) 111 b) 112 c)114d) 113 e) 143

22.¿Cuantos números de cuatro cifras sonmúltiplos de 23 que terminan en 8?

a) 48 b) 72 c) 28d) 36 e) 39


32/88


32

23.En una embarcación donde viajaban 100personas ocurrió un naufragio, de lossobrevivientes se observa, que la onceavaparte son niños y la quinta parte de losmuertos eran adultos. ¿Cuántas personasmurieron?.

a) 40 b) 45 c) 60d) 10 e) 22

24.En una reunión donde asistieron 109personas, donde alguien vino con una pelucade color celeste y al presenciar lo ocurridola novena parte de las mujeres se pusieron allorar y la quinta parte de los varones se riende ellas. Hallar cuantas lloran, si la cantidad

de mujeres son mayores que 28.

a) 9 b) 4 c) 8d) 6 e) 5

25. En un colegio hay matriculados 520, de losvarones se sabe que los 2/9 son alumnosnuevos, 1/7 llevan un curso a cargo, 2/15nunca faltaron y 1/3 le gusta la matemática,¿ cuantas mujeres hay en el colegio?

a) 175 b) 209 c) 186d) 196 e) 205

26.El número de alumnos que se encuentran enun patio es menor que 1450 y mayor que1300. Se observa que total, los 2/7 usananteojos y los 5/13 son alumnos de laespecialidad de ciencias. Dar la diferenciaentre la cantidad de alumnos que no usananteojos y los que no son de ciencias.

a) 130 b) 135 c) 240d) 128 e) 125

Gaussiano y Binomio deNewton

27.Hallar:

a) Gaussiano de 7 en 13 Rpta. …….

b) Gaussiano de 5 en 8 Rpta. …….

c) G5 en 11 Rpta. …….

d) G9 en 5 Rpta. …….

28.Cuantos restos potenciales tiene el número 7en módulo 5.

a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 6

29.El residuo de dividir:3828 entre 7 es:

a) 6 b) 3 c) 2d) 5 e) 4

30.El resto por exceso de dividir 141

128 5 es?

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

31.Determine el resto de dividir:

309349 entre 6

a) 3 b) 2 c) 1

d) 0 e) 432.Determine el resto de dividir:

503503 entre 8

a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 2


33/88


33

33. cual es el reto de dividir

250300 11

a) 1 b) 9 c) 10d) 7 e) 4

34.Hallar el valor de “n” Si:

ºPARDO2009

6308 9 n; 1 n 8

a) 4 b) 5 c) 6d) 2 e) 8

35. Hallar el mayor valor de “a” si

oaba

698 11 4 .

a) 3 b) 5 c) 2d) 8 e) 7

36. Calcular el residuo de dividir N entre 7. Si:

FRANCO

N 77772

Además: º

F R A N C O 3

a) 4 b) 2 c) 1d) 3 e) 0

37.Hallar la cantidad de valores que puede

tomar nmn si nmn489 se divide entre 11 ydeja como residuo 4.

a) 15 b) 20 c) 17d) 18 e) 27

38.Calcular el residuo de dividir:

19! 19! 19! 19!E 6 7 5 x7 Entre 9.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

39.Dividir: 6k 12 entre 7 e indicar el residuo.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

40.¿Qué resto se obtiene al dividir entre 7 elresultado de:

S =1100 + 2100 + 3100 +….+ 2000100 ?

a) 6 b) 3 c) 2d) 5 e) 1


R=30+31+32+33+. . . +3401 entre 5

a) 3 b) 2 c) 1d) 4 e) 0

42. Hallar la suma de los valores que asume ab Si:

ºab

2008 5 2

a) 1260 b) 1256 c) 1265d) 2260 e) 2265

43.Calcule el máximo valor de abc , si tiene

cifras diferentes y al dividir abc437 entre 7deja como residuo 5

a) 981 b) 980 c) 979d) 978 e) 983

44. ¿Cuál es el residuo que se obtiene aldividir62400entre 9?


34/88


34

a) 6 b) 3 c) 2d) 5 e) 1

45.cual es resto de dividir

303100 7

a) 1 b) 5 c) 2d) 3 e) 6

46. cual es el resto por exceso de dividir

13141431 7

a) 1 b) 5 c) 6d) 0 e) 4

47. Calcular el resto de dividir:

6500 entre 13.

a) 8 b) 2 c) 4d) 3 e) 5

48.Determine el resto de dividir:

300

372 entre 7

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

49. Hallar el residuo respecto a 8 de “E”.

E=7100+799.3 +798.32 + . . . +7.399+ 3100

a) 2 b) 5 c) 3d) 4 e) 7


200cifras

123123123..... entre 13.

a) 0 b) 1 c) 3d) 12 e) 10

51.Calcular el valor de: “ a+b+c+d” .Si:

º

abcd 13 y cd 3(ab 2)

a) 14 b) 21 c) 18d) 23 e) 12

52.Calcular el residuo de dividir

a3ba4 entre 5.

a) 4 b) 3 c) ad) 2 e) b

53.Hallar el valor de “a” Si:

º

12a85 11

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

54.Hallar el valor de “x” Si:

º

x369x 11

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

55.Hallar el valor de “x”. Si:

º

y53yx6 7

a) 2 b) 4 c) 3d) 6 e) 1

56.La cantidad de números de la forma

º

4x0x1x 13 es:

a) 3 b) 5 c) 7d) 10 e) 13


35/88


35

57.Hallar el valor de “a” en la siguienteexpresión:

º

35a3a2 13

a) 5 b) 4 c) 8d) 2 e) 0

58.Hallar el valor de “a” en la siguienteexpresión:

º

8a4517 13

a) 2 b) 4 c) 9

d) 3 e) 1

59.Si a4b52 es múltiplo de 11 8 ¿Cuál es el

residuo de dividir 6a8b entre 11?.

a) 1 b) 6 c) 4d) 3 e) 5

60.Si el numeral: a(a 5)(a 1)(a 1) es

divisible por 31.Hallar el valor de “a”.

a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 5

61.Calcular el valor de “x”.Si:

º

1x 2x 3x ... 9x 13

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

62.Se tiene tres números “X”, “Y” y “Z” loscuales al ser divididos entre 13 dan comoresiduo 7, 9 y 11. Hallar el residuo de dividir“X+Y+Z” entre 13

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7

63.Sea N 5 3 . Hallar el residuo de 37N aldividir entre 5.

a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

64.Si:

º º

A 13 4 y B 13 6

¿Cuál es el residuo que se obtiene al dividirAxB entre 13?

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

65.¿Cuántos múltiplos de 11 hay del 1 al 800?

a) 70 b) 71 c) 72d) 73 e) 74

66.Hallar la cantidad de múltiplos de 8 entre losnúmeros 100 y 2000.

a) 247 b) 237 c) 239d) 238 e) 257

67.¿Del 52 al 840, cuantos múltiplos de 7 hay?

a) 110 b) 111 c) 112d) 113 e) 114

68.Del 800 al 1200, ¿Cuántos números sonmúltiplos de 4 pero no de 9?

a) 202 b) 178 c) 201d) 179 e) 148

69.En un barco habían 180 personas ocurre unnaufragio y de los sobrevivientes 2/5 fuman,3/7 son casados y los 2/3 son ingenieros.Determinar cuántas personas murieron endicho accidente.

a) 60 b) 50 c) 75d) 85 e) 90


36/88


36

70.A un congreso medico asistieron entre 500 y600 personas. Se observo que los 2/7 sonPsicólogos, 1/3 son Neurólogos y 2/13 sonpediatras, ¿Cuantos asistentes no sonpediatras?

a) 317 b) 462 c) 421d) 386 e) 216

71. A una reunión asistieron 201 personas y seobserva que la onceava parte de los hombrestenía corbata, que la tercera parte de lasmujeres usaban falda y que la quinta partede las mujeres usaba pantalón. ¿Cuántasmujeres no usan falda ni pantalón?

a) 66 b) 63 c) 9d) 72 e) 135

divisibilidad II

75. De las expresiones:

I) La descomposición canónica de todoentero positivo mayor que la unidad esúnica, salvo por el orden de los factores.

II) Si varios números son PESI dos a dos,entonces son PESI.

III) Todo primo mayor que 3 es de la forma0

6 1 y recíprocamente

Son verdaderas:

a) II y III b) I y II c) I y IIId) I, II y III e) Sólo I

76. Hallar el valor de “n” sí se sabe que: n189 tiene 133 divisores.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

77. Si: 2n12 , tiene 63 divisores mas que n12 ,hallar “n”.

a) 7 b) 3 c) 6d) 4 e) 5

78. Hallar la suma de los divisores de 4680 que

sean primos con 351.

a) 70 b) 80 c) 90d) 60 e) 50

79. ¿Cuántos divisores comunes tiene losnúmeros 924 y 3640?

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) N.A

80. Determinar el número N, sabiendo que tiene

27 divisores y que: xN 9 10

a) 9 b) 90 c) 900d) 9000 e) q.s.

81. ¿Cual es el número por el cual es necesariomultiplicar 72 para que el producto tenga15 divisores?

a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 1

82. ¿Cuántos divisores propios tiene rxrx si rx es primo:

a) 2 b) 4 c) 6d) 9 e) 3

83. Diga cuántos divisores tiene el MCD de:

3 4 A 12 10

4 2B 18 15

2 3C 10 30

a) 60 b) 50 c) 20d) 30 e) N. A.


37/88


37

84. ¿Cuál es el menor número de términos quedebe tener la siguiente serie para que susuma tenga 6 divisores?

S 65 65 65 65 . . .

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 13

85. De los divisores de 180. Hallar la suma de losque sean múltiplos de 6

a) 72 b) 624 c) 186d) 180 e) 432

86. Hallar el producto de los divisores del

número 2 315 21

a) 30 615 21 b) x y15 21

c) 4 815 21 d) 72 10815 21

e) N.A

87. Hallar el número cuyo producto de divisores

es : 30 403 5

a) x y3 .5 b) 2 53 .5 c) 3 43 .5

d) 4 53 .5 e) N.A

88. Si el producto de los divisores de un número

es 12 182 5 . Determinar el número y darcomo respuesta la suma de sus cifras.

a) 10 b) 4 c) 7d) 5 e) 8

89. Dados los números:

1, 2, 3, 4,…, 600.

¿Cuántos no sonº º

3 ni 5 ?

a) 325 b) 340 c) 310d) 320 e) 315

90. Hallar todos los divisores del número 5292que no sean cuadrados perfectos

a) 16 b) 28 c) 20d) 22 e) Depende

91. Hallar la suma de dos números primos A y B,tales que la suma todos los divisores del

número: 5N 2 A B , sea el triple deéste número:

a) 10 b) 5 c) 14d) 12 e) 11

92. Si el número a a 1 a 2N 5 5 5 posee

na divisores, señale la cantidad dedivisores de n + a.

a) 2 b) 3 c) 5d) 9 e) 4

93. Si el número nN 12 18 tiene 25 divisores

no0

6 . Hallar “N”

a) 4 b) 2 c) 3d) 7 e) 5

94. Si N 2 3 5 tiene 16 divisoresmúltiplos de 15 y 16 divisores múltiplos de20. Hallar ( )

a) 4 b) 2 c) 3d) 5 e) 7

95. Sabiendo que 31! tiene “n” divisores¿Cuántos divisores tiene el factorial de 32?

a)32

n27

b)27

n32

c) 32n

d) 27n e)n

32


38/88


38

números primosDIVISOR

Se denomina divisor de un número a cualquier

valor que lo divide exactamente mediante unadivisión entera.

0 d N

NÚMERO PRIMO

Es aquel número que tiene únicamente 2divisores: el mismo y la unidad.

5 13 101

1 y 5 1 y 13 1 y 101

Algunas cositas:

No existe fórmula para hallar todos losnúmeros primos.

La serie de los números primos es ilimitada,es decir que por más grande que sea un

número primo, siempre hay otro primomayor.

Número simple:primos

1;2;3;5;7;...

Número compuesto: es aquel número quetiene más de dos divisores.

Todo número primo que divide a unproducto de varios factores, divide por lo

menos a uno de los factores.

NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS O PRIMOS ENTRESI (PESI)

Son dos o más números que tienen como únicodivisor común a la unidad.

Ejemplo:

Número Divisores10 1; 2; 5; 1021 1; 3; 7; 21

10 y 21 son PESI.

DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

Todo número entero mayor que 1 (compuesto) sepuede descomponer como el producto de susfactores primos elevados a exponentes enterospositivos, dicha descomposición es única:TEOREMA DE GAUSS.

N A B C

A; B; C factores primosy diferentes unodel otro

; ; exponentes

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMEROENTERO Y POSITIVO

I. CANTIDAD DE DIVISORES

ND

N

D 1 1 1

II. SUMA DE DIVISORES

NSD

1 1 1

N

A 1 B 1 C 1SD

A 1 B 1 C 1

III. SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES

NSID

N

N

SDSID

N


39/88


39

IV. PRODUCTO DE LOS DIVISORES DE UN

NUMERO

NSID

D ND N 2

NPD N N

CANTIDAD DE FORMAS DE DESCOMPONER “N”COMO EL PRODUCTO DE DOS FACTORES:

NF

N

N

NN

N

D D = par

2F D 1

D = impar2

INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN EULER

1 1 1

N A A 1 B B 1 C C 1

EMPECEMOS…

96. Indica cuantas de las siguientesproposiciones son verdaderas:

vi. El 1 (unidad) no es primo ni compuesto.

vii.

Los divisores son una cantidad finita.viii. Los divisores simples son 1 + los divisores

primos.

ix. Los números compuestos tienen no más dedos divisores.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) no sé

97. Indica cuantas de las siguientesproposiciones son falsas:

i. ND = divisores primos + 1

ii.

ND = divisores compuestos + 1

iii.

ND = divisores compuestos + divisores

simples + 1

iv.

ND =divisores compuestos + divisores

primos + 1

v.

ND =divisores propios + 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

98. Indica cuantas de las siguientesproposiciones son verdaderas:

i. El número 10 es defectuoso.

ii. El numero 28 es perfecto.

iii. El numero 12 es abundante.

iv. El número 31 es mirp.

v. El 1 no es un divisor universal.

vi. 46 y 27 son COPRIMOS.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

99. Si N tiene 21 divisores y es de tres cifras,entonces la suma de sus cifras es:

a) 12 b) 16 c) 18d) 14 e) 15


40/88


40

100. ¿Cuántos ceros debe tener:

N 2000...00

Para que el resultado tenga 56 divisores?

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 7

101. ¿Cuántos números positivos de dos cifrastienen exactamente 3 divisores?

a) 6 b) 7 c) 18d) 2 e) 11

102. Hallar la suma de los dígitos del menornumero impar “N” que tiene 4 factoresprimos y tiene 24 divisores positivos

a) 13 b) 15 c) 18d) 11 e) 17

103. Si el número:a b c d

N 1a . 1b . 1c . 1d

Está correctamente descompuesto en susfactores primos. Calcula la suma de susdivisores absolutos.

a) 46 b) 50 c) 20d) 60 e) 17

104. ¿De cuántas maneras se puededescomponer 8100 como el producto de dosfactores?

a) 25 b) 22 c) 23d) 24 e) 26

105. ¿Cuántos triángulos rectángulos existencuyos catetos sean enteros y además quetenga un área de 2000m2?

a) 12 b) 18 c) 13d) 16 e) 15

106. Calcular el indicador de 960.

a) 248 b) 360 c) 456d) 328 e) 256

107. Hallar “k” sabiendo que: N = 15x30k tiene291 divisores que no son primos.

a) 3 b) 4 c) 2d) 5 e) 1

108. ¿Cuántos números primos absolutos dedos cifras existen en el sistema quinario?

a) 4 b) 7 c) 6

d) 5 e) 3

109. Calcular la cantidad de divisores de 18n, si16n tiene 28 divisores menos que 20n.

a) 27 b) 36 c) 63d) 54 e) 45

110. ¿Cuántos divisores de 1176 tienen 2 cifras?

a) 10 b) 8 c) 12d) 9 e) 7

111. ¿Cuántos divisores tiene abab si ab esprimo?

a) 6 b) 4 c) 2d) 9 e) 10

112. Hallar el número de divisores que tiene“R”.

2 3 4 xR 36 36 36 36 ... 36

a) 2x2 + 2x + 1

b) (x2 + x + 1)2

c) (x2 + x + 1)2


41/88


41

d) x2 + x + 1

e) x2 + 2x + 1

113. ¿Cuántos divisores de 304 terminan en 5?

a) 15 b) 22 c) 23d) 24 e) 20

114. Hallar el valor de “n” si se sabe que 189n tiene 133 divisores.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

115. Si 122n, tiene 63 divisores más que 12n,hallar “n”.

a) 7 b) 3 c) 6d) 4 e) 5

116. Si: N = 2ª x 5b x 3 tiene 16 divisoresmúltiplos de 15 y 16 divisores múltiplos de20. Dar como respuesta la suma de las tresúltimas cifras de “N”.

a) 0 b) 2 c) 4d) 6 e) 7

117. la suma de las inversas de los divisoresdel 800.

a) 2 b) 2,4 c) 3,5d) 4,7 e) 1,8

118. Hallar la suma de los divisores de lacantidad de divisores de 10000

a) 16 b) 31 c) 48

d) 20 e) 39119. Hallar la cantidad de los divisores del

producto de los divisores del 90.

a) 849 b) 334 c) 7d) 637 e) 784

120. Hallar la suma de los divisores primos de2480.

a) 3 b) 38 c) 40d) 4 e) 56

Dios no te hubiera dado la capacidad de soñarsin darte también la posibilidad de convertir

tus sueños en realidad…

RAZÓNEs la comparación de dos cantidades medianteuna operación aritmética (sustracción – división)

Razón aritmética:

Es la comparación de dos cantidades mediante lasustracción.

a b r

Antecedente: a Consecuente: b Valor de la razón aritmética: r

Razón geométrica:Es la comparación de dos cantidades mediante ladivisión, y consiste en determinar cuantas vecesuna de las cantidades contiene a la unidad dereferencia.

ak

b

Antecedente: a Consecuente: b

Valor de la razón geométrica: kPROPORCIÓNEs la igualdad de dos razones de la misma clase(aritmética o geométrica) que tenga el mismovalor de la razón.

Proporción aritméticaEs la igualdad de dos razones aritméticas.

Ejemplo:


42/88


42

36 24 31 19

Antecedentes: 36 y 31

Consecuentes: 24 y 19 Términos extremos: 36 y 19 Términos medios: 24 y 31

Tipos:Discreta. (Términos medios diferentes)

a b c d

d : es la cuarta diferencial de a, b y c

Continua. (Términos medios iguales)

a b b c

c : la tercera diferencial de a y b. b : la media diferencial de a y c.

Proporción geométricaEs la igualdad de dos razones geométricas.Ejemplo:

1 11

23 253

Antecedentes: 1 y 11 Consecuentes: 23 y 253 Términos extremos: 1 y 253 Términos medios: 23 y 11

Tipos:

Discreta. (Términos medios diferentes)

a c

b d

d : es la cuarta proporcional de a, b y c.

Continua. (Términos medios iguales)

a b

b c

c : es la tercera proporcional de a y b.

b : es la media proporcional de a y c.

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICASEQUIVALENTES (SRGE)

Sean las razones:8 14 30 12

; ; ;12 21 45 18

Se puede observar que:8 2 30 2

; ;12 3 45 3

etc

Es decir todas las razones tienen el mismo valorde la razón, la cual las hace razonesequivalentes.

Una SRGE es continua cuando dada la razóninicial, esta se fija y cada razón siguiente tienecomo antecedente el consecuente de la razónanterior.24 36 54 2

36 54 81 3

Alcances muy importantes:

Sea la proporción: a c k

b d 1

i. a b c d k 1

b d 1

ii. a b c d k 1

a b c d k 1

Sea la proporción:

1 2 3 4 n

1 2 3 4 n

a a a a a... k

b b b b b


43/88


43

iii. 1 2 3 4 n

1 2 3 4 n

a a a a ... ak

b b b b .. . b

iv. n1 2 3 4 n1 2 3 4 n

a a a a ... a k b b b b ... b

Notita: Antes de empezar el banco UNSAAC,practiquemos un poco los alcances mencionados:

121. (RAI) Si:4 4

4 4

R C 7

3R C

hallar:R

C

a) 25/4 b) 25/2 c) 36/25d) 49/9 e) 64/25

122. (RAI) Si2 2

2 2

3a 2b 31

193a 2b

calcule el valor

numérico de:a b

a b

a) 5 b) 4 c) 8d) 7 e) 6

123.

(RAI) Dada la serie de razonesgeométricas equivalentes:

2 2 2a 50 b 18 c 32

5 3 4

Hallar “c”, si a + b = 640.a) 420 b) 320 c) 150d) 56 e) 250

¡Ahora sí! empecemos con la diversión

124.

(CBU) Dadas las siguiente proposiciones,indicar el número de proposiciones verdaderas:i. Una proporción es continua cuando sus

términos medios sin iguales.ii. En una proporción geométrica continua, la

media proporcional es igual a la semisumade sus términos extremos.

iii. En una proporción aritmética continua lamedia diferencial es igual al promedioaritmético de sus términos extremos.

iv. Si:a b c

k m n p

entonces:

a.b.ck, k 1

m.n.p

a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 0

125. (CBU) Con relación a las premisas, indicarel número de proposiciones verdaderas:i. Una proporción es discreta cuando sus

términos medios son iguales.ii. En una proporción aritmética continua, la

media diferencial es igual al promedioaritmético de sus términos extremos.

iii. Si: a b c k m n p , entonces:3a.b.c k

m.n.p

iv. En una proporción geométrica continua, lamedia proporcional es igual a la semisumade sus términos extremos.

a) 0 b) 1 c) 4d) 2 e) 3

126. (CBU) En una proporción geométrica

( a c

b d

) cuya razón es3

5 se sabe que el

producto de los antecedentes es 216 y la sumade los consecuentes es 50. Hallar bxd.a) 500 b) 600 c) 700d) 100 e) 1200

127. (CBU) En una sucesión de razones igualeslos antecedentes son: 3, 5, 7 y 8 y el productode los consecuentes es 13440. La suma de losconsecuentes es:a) 40 b) 42 c) 46d) 48 e) n. a.

128. (CBU) Se pide hallar el menor de losantecedentes de una serie de cuatro razonesgeométricas equivalentes cuyos consecuentesson: 15, 24, 30 y 25. Sabiendo que la suma de losantecedentes 658.a) 100 b) 101 c) 102d) 103 e) 105

129. (CBU) De tres razones geométricasequivalentes con consecuentes: 7, 13 y 17 se


44/88


44

cumple que la razón aritmética entre el dobledel mayor de los antecedentes y el triple delmenor de los antecedentes es 104. Encontrar elsegundo antecedente.a) 100 b) 101 c) 102

d) 103 e) 104

130. (CBU) En una proporción geométrica, ladiferencia de los términos medios es 1 y ladiferencia de los extremos es 10. Hallar la sumade los términos medios.a) 14 b) 16 c) 15d) 17 e) 13

131. (CBU) La suma de los cuatro términos deuna proporción aritmética es 64 y el producto de

sus términos extremos es 247. La terceradiferencia de dichos extremos es:a) 7 b) 8 c) 6d) 9 e) 13

132. (CBU) Se tiene 3 razones geométricasiguales y continuas, donde la suma de todos lostérminos es 21 y la razón 2, entonces el términomayor es:a) 12 b) 7 c) 4d) 8 e) 9

133. (CBU) Si:2 3

2 3

a 4 b 27;

9 125 b c

y a + c = 84 hallar el valor de “b”. a) 4 b) 3 c) 5d) 7 e) 6

134. (Ordinario) Determinar la mediaproporcional entre la cuarta diferencial de: 24;19 y 30 y la tercera proporcional de 4 y 6.a) 11 b) 14 c) 13d) 12 e) 15

135. (CBU) Determinar la tercera proporcionalentre la media proporcional de 9 y 16 y la cuartaproporcional de 8 12 y 4.a) 1 b) 3 c) 5

d) 2 e) 4

136. (CBI) Hallar dos números sabiendo que surazón aritmética es 260 y su razón geométrica es9/5.

a) 585 y 325 b) 500 y 325 c) 325 y 580d) 584 y 324 e) 200 y 340

137. (CBU) Hallar “D”

SiA B C D

3 5 7 13

donde A + B + C + D = 280.a) 230 b) 232 c) 234d) 200 e) N. A.

138.

(CBU) La suma, diferencia y producto dedos números están en la misma relación que losnúmeros 5, 3 y 16. Hallar la suma de estos dosnúmeros.a) 16 b) 20 c) 4d) 36 e) 50

139. (CBU) Si 8 es la cuarta proporcional de A,6 y B y a es la cuarta proporcional de B, 16 y 48.Hallar A + B.a) 56 b) 58 c) 59d) 60 e) 61

140. (CBU) Tres números son entre si como 2,5 y 7. Si la suma de estos números es 420.Determinar la suma de cifras del número mayor.a) 3 b) 8 c) 6d) 5 e) 4

141. (CBU) Sean: 28, 16, 31 y 20 losconsecuentes de cuatro razones geométricas


45/88


45

equivalentes. Hallar la diferencia de los dosúltimos antecedentes. Si la suma de los dosprimeros es 880.a) 200 b) 205 c) 210d) 220 e) 230

142. (CBU) Dado:A 8 C

6 B 9

hallar el valor

de “B”. Si AxC = 24. a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 16

143. (CBU) El radio de la luna es3

11 del radio

terrestre y el diámetro del sol es igual a 108

veces el de la tierra. ¿Cuál es la razóngeométrica entre los radios de la luna y del sol?

a)1

300 b)

1

1390 c)

1

396

d)3

5 e)

1

996

promedioEs la cantidad media de varias cantidades

diferentes. Existen:

1 2 na a ... aPan

n1 2 nPg a a ... a

1 2 n

n

Ph 1 1 1...

a a a

Para dos números “a” y “b”:

Ficha Aritmetica i

Documents

Transcript of Ficha Aritmetica i