Automatas celulares

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  1. 1. Universidad Catlica Andrs Bello Facultad de Ingeniera Escuela de Ingeniera Industrial Ctedra Investigacin de OperacionesAUTMATAS CELULARESCaracas,31 de Enero de 2005Indice Pag.1. Introduccin . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .....2 2. Antecedentes . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 4 3. Descripcin de un Autmata Celular . ... ... ... ... ... ... ... ... .....8 4. Los primeros Autmatas Celulares . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . 10 4.1. Maquina de Turing . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 11 4.2. Autmata autorreproductor de Freeman Dyson . ... . . . 15 4.3. Autmata autorreproductor de Von Newmann modeloscinematico . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .....15 4.4. Autmata celular de Von Newman . ... ... ... ... ... ... ... . . . 17 5. Estructura de un Autmata Celular . ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 18 6. Consideraciones adicionales . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 20 7. Autmata celular en una dimensin . ... ... ... ... ... ... ... ... .....20 8. Autmatas celulares en tres dimensiones . ... ... ... ... ... ... .. . . 22 9. Algunos ejemplos y aplicaciones . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . 27 10. Conclusiones . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .....29Bibliografa . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . 31
  2. 2. IntroduccinLos autmatas celulares poseen caracterizas que hacen importante su estudio a las diversas ciencias. Los mencionados son tiles en la construccin de modelos donde los elementos componentes son de similar naturaleza y comportamiento;donde stos se rigen por reglas parecidas y donde,en el mismo sistema real,se identifican componentes diferenciables,independientes,aislables y/ o discretos. Es tpico de un Autmata Celular generar comportamientos complejos a partir de reglas muy sencillas. Desde su concepcin original,la cual era proporcionar un marco formal a la investigacin de comportamientos complejos,se han encontrado mltiples aplicaciones a la mencionada herramienta. Las mltiples aplicaciones de los autmatas celulares hacen de mucho inters su estudio por parte de diversas ciencias. Entre las aplicaciones de la teora de autmatas celulares abarcan aspectos de la ciencia tan diversos como:Mecnica de fluidos,Medioambiente:polucin,incendios forestales,Sistemas biolgicos:evolucin de las especies,crecimiento de poblaciones,comportamiento de colonias de microorganismos,sistemas inmunes,vida artificial,etc. , Modelos socio-econmicos:urbanismo,trfico,procesos econmicos,Modelos de reacciones qumicas como la reaccin de Belousov-Zhabotinsky,Patrones de pigmentacin de piel,Construccin de fractales,Criptologa ,entre otros. El presente es un marco referencial para el estudio inicial de los Autmatas Celulares,en el cual se van a repasar diversos conceptos y aportaciones en el referido campo,fundamentalmente desde una perspectiva del anlisis de la herramienta dejando a un lado los modelos especficos de sus diversas aplicaciones. La organizacin del documento es el que sigue.En el siguiente apartado se narran brevemente los antecedentes,seguidamente se describe un autmatacelular,su funcionamiento,su estructura y se mencionan algunas de sus aplicaciones.
  3. 3. AntecedentesEI desarrollo de los autmatas celulares comenz hacia 1943 cuando John Von Neumann empez a considerar la posibilidad de generacin de vida artificial,tratando de que un robot se copiara a si mismo.Bajo sugerencia de Stanislaw Ulam,coinventor de la bomba de hidrogeno,Von Neumann utilizo patrones,en una cuadrcula en el plano,que evolucionan segn una regla de transformacinfija. De esta forma,el problema de autorreproduccin mecnica quedaba reducido a la bsqueda de ciertas configuraciones que,con la aplicacin de la regla,dieran lugar a copias idnticas. Muchos autmatas interesantes han surgido como juegos de computador",y,gracias a las facilidades computacionales,a diversas teselaciones del plano se aplican reglas locales dando lugar a vistosos cambios en las configuraciones en las que subyace una rica estructura matemtica. Un investigador inicial de Autmatas Celulares que merece ser mencionado es Edward Fredkin quien,en 1960, formulo un concepto de mecnica de la informacin",en analoga con la mecnica quntica.Se basa en el supuesto de que el mundo fsico proporciona constantemente informacin y puede,por consiguiente,modelarse como un gran Autmata Celular tridimensional. En 1965, John Holland utilizo Autmata Celulares para resolver problemas de adaptacin y optimizacin.Hedlund (1969) y Richardson (1972) estudian los Autmata Celulares como sistemas dinmicos. Por otro lado,el desarrollo de estructuras y patrones de ciertos organismos vivos simples obedece reglas locales sencillas que permiten la descripcin por medio de autmatas celulares.En poblaciones de plantas,por ejemplo,el valor de una celda podra corresponder a la presencia o ausencia de una planta y las reglas seran ciertas interacciones ecolgicas locales. Hasta ahora,gran parte de la teora desarrollada corresponde a autmatas celulares que evolucionan segn reglas determinsticas.Con el fin de obtener modelos ms exactos de fenmenos naturales es necesario considerar aspectos probabilsticas en su dinmica.Esto da lugar a los llamados autmatas celulares estocsticos,los cuales pueden generalizarse aun ms con la admisin de reglas locales no uniformes. De esta manera,se pueden convertir en sistemas que alcanzan un comportamiento prefijado mediante aprendizaje
  4. 4. Las aplicaciones de los autmatas celulares son mltiples en campos como fsica,biologa,qumica,matemticas y ciencias de la computacin,entre otros.
  5. 5. Los Autmatas Celulares son redes de autmatas simples conectados localmente.Cada autmata simple produce una salida a partir de varias entradas,modificando en el proceso su estado segn una funcin de transicin.Por lo general,en un autmata celular,el estado de una clula en una generacin determinada depende nica y exclusivamente de los estados de las clulas vecinas y de su propio estado en la generacin anterior. Los autmatas celulares son herramientas tiles para modelar cualquier sistema en el universo.Pueden considerarse con una buena alternativa a las ecuaciones diferenciales y han sido utilizados para modelar sistemas fsicos,como interacciones entre partculas,formacin de galaxias,cintica de sistemas moleculares y crecimiento de cristales,as como diversos sistemas biolgicos a nivel celular,multicelular y poblacional. Un Autmata Celular es un sistema dinmico que involucra reglas simples determinsticas,como en cualquier sistema los cambios de variables estn en funcin de sus valores predichos,se considera una idealizacin matemtica en donde el espacio y el tiempo son caracterizados de manera discreta,as las cantidades relacionadas toman valores discretos. Una automatizacin celular consiste de un enrejado uniforme y regular,que es por lo regular extenso con una variable discreta para cada sitio,que es denominada 'c| u|a',el valor del sitio de la variable comienza a ser afectado por el valor de una variable que se encuentra en una 'vecindad' en previos tiempos determinados.Las vecindades son los sitios alrededor de cierta clula,las variables de cada sitio estn sincronizadas,basadas en los valores de las variables en sus vecindades y prescindiendo del tiempo. EI tiempo es discreto y en pasos progresivos,el espacio es particionado en clulas discretas,teniendo una geometra dada n-dimensional y las condiciones pueden ser definidas en un espacio finito.En un sistema celular uno puede formularse,precisar y gobernar con reglas simples la operacin del sistema.Camino intuitivo por el cual el Autmata finito se autorreproduce,la lista finita de estados para el sistema,por cada clula es un estado distinguible y una regla que da el estado de cada clula.Cualquier diseo puede ser fijado como una condicin inicial en un tiempo dado to,cada clula de orden simultneo tiene un valor que involucra un nuevo estado global al tiempo t1, el nuevo valor de una clula dada al tiempo t,es una funcin de los valores y locaciones de una determinada clula las cuales son las vecindades que se encuentran en el tiempo to,as se forma una sucesin de estados globales para la interaccin de estos estados globales,es donde surgen la llamada funcin de transicin,sta es constante por lo que el sistema es caracterizado,entonces por la evolucin de un Autmata Celular de estados iniciales,este tipo de funciones son funciones boleanas,asignando as el valor discreto de la clula,en este sistema celular se constituye un espacio en donde toman lugar los eventos de automatizacin y pueden formularse con reglas simples para la operacin del sistema. Descripcin De Un Autmata Celular
  6. 6. En pocas palabras,un autmata celular es un modelo formal que est compuesto por un conjunto de entes elementales,cada uno de ellos susceptible de encontrarse en un cierto estado y de alterarlo de un instante al siguiente,asumiendo que el tiempo transcurre de forma discreta.La regla que gobierna la transicin de estados en los entes es sensible a los estados de los dems elementos de su vecindad,siendo por tanto una regla de transicin local.El aspecto que ms caracteriza a los autmatas celulares es su capacidad para dotar al conjunto del sistema,visto como un todo,una serie de propiedades emergentes inducidas por la propia dinmica local. En general,no es fcil obtener las propiedades globales de un sistema definido como el anterior,complejo por naturaleza,a no ser por va de la simulacin,partiendo de un estado inicial de la poblacin de objetos y cambiando en cada instante los estados de todos ellos de forma sincrnica. Al hablar de un autmata celular es necesario fijar los siguientes puntos: > Conjunto de entes.Se necesita saber cuntos objetos elementales van a formar la poblacin del sistema.En principio no hay restriccin a su nmero,pudiendo ser desde unos pocos hasta una infinidad.En ocasiones es importante situarlos sobre una regin geogrfica,identificndose entonces los entes con sus respectivas coordenadas geogrficas. > vecindades.Para cada elemento del sistema es necesario establecer su vecindad,esto es,aquellos otros elementos que sern considerados como sus vecinos.En caso de asociar objetos con coordenadas de un sistema de referencia,el criterio suele ser construir la vecindad de un elemento dado con todos aquellos otros elementos que se encuentran a menos de una cierta distancia o radio,de forma que los ms alejados no ejerzan influencia directa sobre l. > Conjunto de estados.En cada instante,cada elemento deber encontrarse en un cierto estado.El caso ms sencillo corresponde a los elementos biestables,los cuales se pueden encontrar en slo uno de dos estados posibles,0 y 1, por ejemplo.Pero tambin el estado puede venir representado por un vector de componentes reales o por una cadena de un lenguaje formal. > Regla de transicin local.La regla de transicin define la dinmica del sistema.Dado un elemento y un instante determinados,la regla devuelve el siguiente estado del elemento,para ello necesita como argumentos los estados actuales,tanto del elemento considerado como de aquellos que conforman su vecindad.Las reglas de transicin pueden ser deterministas o probabilistas,adems,no todos los elementos necesitan obedecer a la misma regla.
  7. 7. Los Primeros Autmatas CelularesLos estudios sobre autmatas finitos,mquinas de Turing,y otros modelos que siguen la misma filosofa configuran Io que se ha denominado Teora de Autmatas y Mquinas de Turing,o simplemente Teora de Autmatas,dentro de la Teora de la Computacin. En la dcada de los 50, dos neurofisilogos,Warren S.McCullochy Walter Pitts disearon un modelo matemtico para representar el funcionamiento de las clulas cerebrales que fue el origen de los que hoy se conoce por redes neuronales.EI modelo era una aproximacin muy sencilla al comportamiento real de las neuronas,pero tena grandes aplicaciones en otros contextos.En el campo puramente matemtico,Kleene redefini el modelo y dio lugar a los autmatas finitos,especie de mquinas ideales o modelos matemticos,al modo de la mquina de Turing,con posibilidades bastante ms reducidas,pero muy adecuadas para ciertos procesos de clculo. Por otra parte el ingls Turing consigui definir conceptualmente una mquina de clculo que se considera universal,es decir,el mecanismo de procesar cualquier algoritmo.Turing dise un modelo matemtico de autmata que siguiendo unas reglas simples consegua solucionar una gran gama de problemas.En principio,la mquina de Turing constituye el instrumento de clculo universal,el ms general.No es posible dar una demostracin rigurosa de esto,aunque s se tiene una gran cantidad de indicios,agrupados en Io que se conoce como Tesis de Church,que puede plantearse as:"No existen funciones que puedan ser definidas por personas,y cuyo clculo sea descrito por algn algoritmo,que no puedan computarse con una mquina de Turing".Basndose en la mquina de Turing,Von Neumann trabaj en una mquina autorreproductiva que llam kinematon y en la idea de autmata celular. La Mquina de Turing.Definicin. Una mquina de Turing es una mquina idealizada para el procesamiento de informacin,cuyas acciones estn especificadas en trminos matemticos.En definitiva,es un dispositivo que lleva a cabo un procedimiento de clculo definibleen trminos finitos.Es un elemento de matemtica abstracta,y no un objeto fsico. Descripcin.La mquina de Turing consta de las siguientes partes: > Una cinta ilimitada por sus dos lados,y dividida en clulas.
  8. 8. > Un nmero finito de signos que forman el alfabeto exterior,en el que se cifran los datos introducidos en la mquina y los datos finales de la mquina.Estos signos se introducen en las clulas;entre ellos se encuentra el signo vaco que borra el signo que haba antes en una clula, y deja la clula vaca.Como mximo puede haber un signo exterior en cada clula. > Un nmero finito de estados internos diferentes. > La unidad lgica que tiene dos canales de entrada;por uno de ellos entrael dato externo que lee en la cinta,y por el otro el estado interno en el que est la mquina. > Despus de observar una clula de la cinta de datos,la Unidad Lgica sustituye el smbolo observados por otro signo.Si la clula no cambia,se borra Io que haba en esa clula. > EI funcionamiento de la mquina se realiza en unidades consecutivas detiempo.Cuando se pasa de una unidad de tiempo a la siguiente,ladireccin de la clula observada puede cambiar en no ms de una unidad; es decir,se contemplar la vecina de la derecha,izquierda,o la misma clula del tiempo anterior. > La Unidad Lgica tiene tres canales de salida:el primero para la salida dela cinta donde se ha modificado el dato de entrada;el segundo indica el estado en el que debe situarse la mquina;el tercero para indicar cul ser el siguiente dato a leer de la cinta de entrada. > Los signos que constituyen el alfabeto interno de la mquina. > Dependiendo de los datos iniciales puede ocurrir que: a.Despus de un nmero finito de tiempos,la mquina se para;en este caso se dice que la mquina es utilizable para la informacin inicial. b.La informacin de parada no aparece;en este caso se dice que la mquina no es utilizable para la informacin inicial. Funcionamiento. Una mquina de Turing es un dispositivo que transforma un INPUT (entrada) en un OUTPUT (salida) despus de algunos pasos.Tanto el INPUT como el OUPUT constan de nmeros en cdigo binario (ceros y unos).En su versin original la mquina de Turing consiste en una cinta infinitamente larga con unos y ceros que pasa a travs de una caja.La caja es tan fina que solo el trozo de cinta que ocupa un bit (O 1) est en su interior.La mquina tiene una serie de estados internos finitos que tambin se pueden numerar en binario.
  9. 9. Para llevar a cabo algn algoritmo,la mquina se inicializa en algn estado interno arbitrario.A continuacin,se pone en marcha y la mquina lee el bit que se encuentra en ese momento en su interior y ejecuta alguna operacin con ese bit (lo cambia o no,dependiendo de su estado interno).Despus se mueve hacia la derecha o hacia la izquierda,y vuelve a procesar el siguiente bit de la misma manera.AI final se para,dejando el resultado al lado izquierdo por ejemplo. Hiptesis Fsica Church-Turingo Turing y su colaborador,Alonzo Church presentaron posteriormente la Hiptesis Fsica Church-Turing donde postulaban que el modelo de mquina diseado por Turing podra no slo duplicar las funciones de las mquinas matemticas sino tambin imitar las funciones de la naturaleza. La Hiptesis de Church-Turing se basaba en que cualquier procedimiento que puede ser descrito con precisin puede ser programado para que lo realice una computadora.Esta tesis era la hiptesis bsica de la teora de algoritmos,que es que cualquier algoritmo puede ser representado por medio de un esquema funcional de Turing y realizado en la correspondiente mquina de Turing. Compararon la mente con una mquina de estados finitos,que seguira simplemente un protocolo lgico,una tabla de reglas determinada por fuerzas fsicas y biolgicas. Como en el campo de la lgica se comprob que todas las computadoras digitales eran el equivalente de la mquina de Turing,se les calific entones como computadoras universales. Autmata autorreproductor de Freeman Dyson. Freeman Dyson,profesor de Fsica,ide un autmata autorreproductor con objeto de enviarlo al Enceladus,una de las lunas de Saturno.Dyson propuso una mquina que extraera la energa necesaria del Sol para crear fbricas que produjesen una larga cadena de naves de vela impulsadas por dicha energa solar,llevando cada una de ellas un bloque de hielo.Estas naves de vela se dirigiran a Marte donde la brusca cada de temperatura dentro de la atmsfera marciana hara que se deshelasen los bloques de hielo.Dyson imagin que la humedad acumulada podra calentar la atmsfera del cuarto planeta del Sol,Marte,transformando la atmsfera de este planeta en un ambiente adecuado para las formas de vida y la agricultura. Autmata autorreproductor de Von Newmann o modelo cinemtico . El primer autmata autorreproductor descrito por Von Newmann fue una computadora compuesta de distintas partes para el procesamiento de la informacin.Ide una mquina para ser construida como una masa slida que
  10. 10. existiese en el mundo real.Adems de sus elementos computacionales,autmata tambin constaba de otros cinco componentes: 1. Un elemento de manipulacin,que acepte las rdenes de la parte computacional (o control) de la mquina. 2. Un elemento que sea capaz de desconectar dos elementos a peticin de lacomputadora. Un elemento de fusin que podra conectar dos partes. Un elemento sensorial que fuese capaz de reconocer cualquiera de laspartes y conducir esa informacin a la computadora. 5. Unas vigas que acten como elementos estructurales y que proporcionen tanto el chasis a la criatura,como el aparato para el almacenamiento de la informacin. P? La criatura imaginada por Von Newmann tendra tambin un hbitat.Su ambiente sera un gigantesco depsito que contendra los mismos tipos de elementos que formaban parte de la criatura ( fbrica,duplicador,aparato de control,la computadora,las instrucciones desplegadas en una larga cadena. ..)EI propsito que pretenda conseguir con el diseo de dicha mquina,era crear una criatura que fuese capaz de crear su propia descendencia a partir de las piezas que requera para ello.El diseo pretenda dotar a la nueva criatura creada de una copia de las instrucciones de informacin,por tanto se conseguira una criatura que sera frtil,es decir,capaz de repetir el mismo proceso.Pero estos autmatas no slo eran capaces de reproducirse sino que con el paso del tiempo tenan la capacidad de evolucionar a algo ms complejo que su estado original. Este primer autmata autorreproductor de Von Newmann lleg a ser conocido como modelo cinemtico,pero tena un fallo importante,que resida en sus elementos;constaba de demasiadas cajas negras. Autmata celular de Von Neumann. A partir de la Red Infinita planteada por Stanislaw Ulam,Von Newmann rehizo el planteamiento de su Autmata Autorreproductor o Modelo cinemtico, dando lugar a lo que se conocera como el Primer Autmata Celular. El nuevo modelo que ide comenzaba con un tablero de damas infinito,en el que cada clula estaba en un estado inactivo,que tenan diferentes estados posibles.La precisa combinacin de esas clulas en sus estados determinados deca la criatura cmo deba comportarse.EI mecanismo de reproduccin de esta mquina consista en reclamar y transformar el territorio.Una vez dentro del tablero el autmata seguira las reglas,es decir,que cada clula individual,como una Mquina de Estados Finitos,comenzara cumplir la regla que se le aplica.El efecto de esas conductas locales ocasionaban una conducta global emergente;la estructura autorreproductora interactuaba con clulas vecinas y cambiaba algunos de sus estados.Siguiendo las reglas de transicin que Von Newmann
  11. 11. postul,el organismo lograba hacer un duplicado de su cuerpo principal.Se obtenan as dos criaturas idnticas,ambas capaces de autorreproduccin,que se encontraban en un tablero de damas infinito.Von Neumann nunca complet su prueba escrita del autmata celular. Estructura de un Autmata CelularUn Autmata Celular es una herramienta computacional que hace parte de la Inteligencia Artificial basada en modelos biolgicos,el cual est bsicamente compuesto por una estructura esttica de datos y un conjunto finito de reglas que son aplicadas a cada nodo o elemento de la estructura.El inters que ha despertado esta tcnica radica en la sencillez y en la simplicidad que caracteriza la construccin de los modelos;adems,en la particularidad de los patrones de comportamiento presentados por el Autmata en tiempo de ejecucin. Basados en el planteamiento que presenta Muoz acerca de la estructura de un Autmata Celular,se definen como sus componentes bsicos: o Un plano bidimensional o un espacio n-dimensional dividido en un nmerode subespacios homogneos,conocidos como celdas.A todo esto se le denomina Tese/ acin Homognea. o Cada celda puede estar en uno de un conjunto nito o numerable o de estados. o Una Configuracin C,la que consiste en asignarle un estado a cada celda del autmata. o Una Vecindad definida para cada celda,la que consiste en un conjuntocontiguo de celdas,indicando sus posiciones relativas respecto a la celda misma. o Una Regla de Evolucin,la cual define cmo debe cada celda cambiar de estado,dependiendo del estado inmediatamente anterior de su vecindad. o Un Reloj Virtual de Cmputo conectadoa cada celda del autmata,el cual generar "tcs"o pulsos simultneos a todas las celdas indicando quedebe aplicarse la regla de evolucin y de esta forma cada celda cambiar de estado.
  12. 12. Vodmlnrlo- si s vecinos son [:1} sl mono:do 2, o mis dl 3 minos sonEspacio (Rujilln ngullr amm. ) GW ll ll T2 T3Consideraciones adicionalesUn Autmata Celular puede ser construido definiendo alguna especificacin para cada uno de sus componentes,es decir,de alguna forma se definir su teselacin,los posibles estados,las vecindades y la regla de evolucin;no obstante,se tienen unas consideraciones y posibilidades con estos componentes,las que permitirn cierta flexibilidad en el momento de construir el autmata. o EI autmata puede ser de 1, 2, 3, . ..,n dimensiones. o La teselacin puede ser finita o infinita,con condiciones de fronteraabiertas o peridicas. o EI conjunto de estados 2 no necesita tener ninguna estructura algebraicaadicional. o La vecindad puede ser simtrica o no y puede incluir o no a la propiacelda. o La regla de evolucin es una tabla o unas reglas. Autmatas Celulares En Una DimensinEl estudio de los autmatas celulares en una dimensin ha tenido mucho inters a travs de la historia,por esta razn se ha logrado obtener una amplia literatura en este tipo de autmatas celulares.Sea z el conjunto de 2+ los enteros y el conjunto de los enteros positivos,entonces el espacio de evoluciones en una dimensin se representa como una sucesin de elementos que determinarn un arreglo lineal,l representa las posiciones de cada elemento dentro del arreglo por lo que i z .Cada una de las posiciones del arreglo es llamado clula,estas clulas pueden tomar elementos de un conjunto 2 y 2 2+,
  13. 13. este conjunto representa el nmero de estados que puede manejar el autmata celular en estudio por lo que i 2, es decir,cada una de las clulas tendr un elemento del conjunto 2. Una sucesin de clulas es llamada una conguracin,en general Wolfram representa a los autmatas celulares de una dimensin con dos parmetros (k. r),donde k representa el nmero de estados del conjunto 2: y r el nmero de vecinos con respecto a una clula central.Los vecinos son clulas que se encuentran ubicadas a la izquierda y a la derecha en igual nmero con respecto a la clula central,por lo tanto los vecinos mas la clula central forman una vecindad como se ilustra en la Figurat!i110 n r;4_1rAe: rv)n w rima w di:n Th/ Jn celula (YHYU Vecindad de tamao 2r+1Los autmatas celulares en una dimensin se pueden representar como el sistema: (E,ma,Ci)donde 2 es el conjunto de estados,rel nmero de vecinos con respecto a una clula central,gala funcin de transicin y C la configuracin inicial del sistema. Autmatas Celulares En Tres DimensionesLos autmatas celulares en tres dimensiones han sido ampliamenteanalizados por Bays en [g],[i],[],[E],[Q],[Z] y [].Su estudio se enfoca principalmente en encontrar una regla de evolucin en tres dimensiones que sea la sucesora de Life en el espacio tridimensional,muchos de sus resultados son de tipo cuantitativo,basados principalmente en la simulacin de varias reglas de evolucin en pequeos espacios tridimensionales para encontrar estructuras que sean similares a Life y de esta manera ha logrado obtener varias reglas deevolucin que presentan caractersticas similares a Life en autmatas celulares de tres dimensiones. Existe muy poca literatura que trata de generalizar una notacin en autmatas celulares de tres dimensiones,la mayora de los trabajos realizados en este tipo de autmatas han sido de tipo estadstico,tratando de encontrarcomportamientos colectivos no triviales en el espacio de evoluciones,por otra parte se ha intentado encontrar aplicaciones en las reas de la qumica y la
  14. 14. arquitectura.Si bien los autmatas celulares en dos dimensiones son difciles de representar,en tres dimensiones el problema crece exponencialmente. 2={0,1} Sea el conjunto de estados,el espacio de evoluciones en tresZ 8 Z Z dimensiones se determina por el producto .AI igual que los autmatascelulares en dos dimensiones,en tres dimensiones tambin se utilizan reglas deevolucin semitotalisticas y la funcin de transicin solo utiliza la vecindad deMoore como se ilustra en la Figura g,la vecindad de Moore en el espacio tridimensional es solo una extensin de dos dimensiones en tres dimensiones,x. -,, . I _ : c_1,j1,k1,. .. , IC}-l, j+l, k+l donde es la celula central de la vecindad y son los vecinos de la vecindad con respecto a la clula central,para toda 3,3,1; G E .La vecindad de Moore en tres dimensiones tiene una clula central y 26 vecinos alrededor de sta por lo que V=26, por lo tanto una vecindad en tres dimensiones est formada por 27 clulas. L nf i;J y ) b l.i?J j A ,1 l.. a Figura 2.8: Vecindad de Moore en tres dimensiones Para representar una regla de evolucin se debe definir latransformacin de cada vecindad que conforma una regla,los autmatasf celulares en tres dimensiones tienen 227vecindades,lo que produce 22 reglas de evolucin.EI problema de representar una regla de evolucin creceexponencialmente conforme aumenta la dimensin del autmata celular,por esta razn se utilizan reglas semitotalisticas. 2 ={Oil} Sea el conjunto de estados,V =26eI nmero de vecinos,entonces me, E Z z z una clula es directamente conectada a una clula{(-'ce'+ku-'vj+ka, xr+ka) = Ma3{| k1|, |2|, |ks| } S 1} ,es decir,la vecindad de
  15. 15. . .Xo= zwuk ,Moore en tres dimensiones,es la celula central yX1, .. - , Xv =I1,j1,k1,- - - ,1+1+1,k+1 _ son los vecinos alrededor de Iax- e E) clula central para toda .En la Ecuacin 2.3.1 Ia funcin define la.1 ... 1 1 .transformacion local,las variables y indican el numero minimo deNll} Suma:I celulas ocupadas por el estado 1 en Vy las variables y el numeroX0 =0 mximo de clulas ocupadas por el estado 1 en Ven un tiempo t.Si en V xoz]Nminsz= l Xiel tiempo t,entonces en el tiempo si .Si X0 =1 X0 =1 t + 1 en el tiempo t,entonces en el tiempo si Smin S 23;] xt S Smaz Finalmente una regla semitotalstica en tresdimensiones se representa como ,donde Ny Sdeben tomar valores entre 1 y 26.Cuando el estado de una celda depende exclusivamente de su estadoactual y el de su vecindario,se dice que el Autmata Celular es determinista.Si se incorpora a la regla de transicin algn elemento probabilstico o estocstico,el Autmata Celular se denomina estocsticoEI comportamiento de las reglas de transicin en los bordes de la malla deceldas depende de las condiciones de frontera,las cuales pueden ser de tres tipos: o Cclica:los smbolos del borde aparecen en una celda en la frontera opuesta. o Finita:los smbolos no estn disponibles para traspasar Ia frontera as que tienden a acumularse en s mismos. o Infinita:las entidades que cruzan Ia frontera desaparecen de Ia simulacin. La siguiente figura muestra un ejemplo de un Autmata Celular de 2- dimensiones.
  16. 16. El f E] Siningnvezinoes ' > ' Sialrneiosunvedno .I -> -> Malla Vecindario Reglas Los modelos de Autmata Celular asumen una discretizacin del espacio enuna teselacin de celdas.Tradicionalmente,esta teselacin o rejilla en modelos de Autmata Celular se hace sobre celdas de igual forma y tamao para simplificar los clculos.Las ms usadas son las teselaciones triangulares,cuadradas y hexagonales. Algunos ejemplos y aplicacionesTal vez,Io ms llamativo e interesante de los Autmatas Celulares es el comportamiento presentado por el modelo en tiempo de ejecuci la similitud de ste con la complejidad de la naturaleza continua.Life o Juego de la Vida,por ejemplo,simula la existencia de diferentes "formas de vida" sobre un espacio bidimensional,las cuales presentan singular comportamiento a travs del tiempo;Ev0lucin es un autmata que simula cmo un conjunto de microbios sobreviven comiendo bacterias;y M ra A/ ineada muestra cmo es el comportamiento de la tensin superfi ' entre lquidos no meables.A continuacin,algunos ejemplos de Autmatas Celulares (tomados Muoz).
  17. 17. o "Life" o El Juego de la Vida",de John Hourton Conway.o "Mayora Alineada".Modelo Celular de Dedwdneyg.o "Evolucin".Modelo Celular de Dewdneyg. o "Reaccin Qumica de Belousov-Zhabotinsk".Modelo Celular de Dewdneyg. o "HPP-GAS" (modelo de dinmica de fluidos),de Hardy,de Pazzis y PomeauEI modelar un sistema del mundo real por medio de un Autmata Celular, requiere que se conozca al menos su comportamiento global.Si conocido este comportamiento se quiere deducir un conjunto de reglas de evolucin local que lo genere,entonces se desea desarrollar el autmata por el Problema Inverso.De lo contrario,si se desea primero experimentar y ajustar una Regla de Evolucion pseudo-aleatoria hasta lograr un comportamiento similar al del sistema real,entonces se desea desarrollar el autmata por el Problema Directo.No obstante,se puede lograr algo intermedio,a partir de comportamientos locales del sistema real construir una regla de evolucin local y ponerla a prueba para determinar si se logra un autmata que modele el comportamiento del sistema global,a esto se el denomina el Problema Intermedio. Dependiendo de la naturaleza compleja de un sistema y de la posibilidad de identificar estados locales y reglas generales de evolucin,se podran simular comportamientos por medio de Autmatas Celulares;por ejemplo,los mundos y sistemas enunciados a continuacin son susceptibles a un modelamiento por esta tcnica:Simulacin de trfico automotor,virus,glbulos,epidemias,bacterias,contaminacin,ecosistemas,evolucin galctica,flujo de electrones,accin & reaccin,medios granulares y gases de Fermi entre otros. ConclusionesEs tpico de un Autmata Celular generar comportamientos complejos a partir de reglas muy sencillas.En conclusin,un Autmata Celular est compuesto por: o Una Tese/ acin Homognea. o Un conjunto finito de Estados para cada celda.
  18. 18. o Una Vecindad para cada celda. o Una Regla de Evolucin. Son tiles en la construccin de modelos donde los elementos base o componentes (actores) son de similar naturaleza y comportamiento;donde stos se rigen por reglas parecidas y donde,en el mismo sistema real,se identifican componentes diferenciables,independientes,aislables y/ o discretos. Hemos visto algunas de las aplicaciones que han sido desarrolladas usando tcnicas de autmatas celulares,algunas de las ventajas en usar este tipo de modelos reside en el hecho de que los sistemas complejos a niveles moleculares pueden ser estudiados con sistemas dinmicos simples,la complejidad de los algoritmos es barata en trminos de recursos computacionales utilizados y los resultados obtenidos pueden ser de mucha ayuda en los estudios de los comportamientos de los materiales ante diversos experimentos con el fin deadecuar las caractersticas propias de cada material al objetivo para el que han sido diseados. Bibliografa
  19. 19. C: Documents and SettingsuserMis documentosIOAlfinal_com autmatas celulares. htmC: Documents and SettingsuserMis documentosIOPNGwriter - Examples - Automatas Celulares. htmC: Documents and SettingsuserMis documentosIOUna Introduccin a los Autmatas Celulares. htmhttp: //delta. cs. cinvestav.n1x/ N mcintosh/ oldweb/ tesis/ sec k/ node 13. ht mlhttp: //matapli.usaI. es/ Giaca/ GIACAap licaciones.ht mhttp: //www.Iuventic us. org/ la boratorio/ AutomatasCel ula res/ http: //yupana. autonoma. edu. co/ publicaciones/ yupana/005/a utocelula r/ Auto matas.html