Comportamiento colectivo no trivial en automatas celulares...

Comportamiento colectivo no trivial en

aut omatas celulares y el fen omeno de Small

World .

Jose Manuel Gomez Soto

Asesores:Dr. Sergio V. Chapa Vergara y

Dr. Harold V. McIntosh

Centro de Investigacion y de Estudios Avanzados del IPN. Seccion de Computacion.

Contenido1. Antecedentes

Inicios

Definicion

2. Motivacion

Marco de aplicaciones

problema fundamental

Motivacion

3. Planteamiento del problema

El automaton celular de Chate y Manne-ville

Comportamiento colectivo no trivial

objetivo

4. Soluciones o enfoques propuestos por otrosautores

Hallazgo

propuestas

revision

5. Soluciones o enfoques propuestos

Antecedentes

Metaestabilidad

Parametrizacion

6. Resultados, publicaciones y trabajo futuro

7. Conclusiones


Antecedentes

John von Neumann

1. ¿Como construir sistemas fiables a partir decomponentes no fiables?

2. ¿Que tipo de organizacion logica es suficien-te para que los automatas se reproduzcan ası mismo?

J.V.N. “Theory of self-reproducing automata,”(Editado por A. W. Burks), University of Illinois Press, (1966).


Aut omata celularDefinici on Un automata celular es un sistemadinamico donde el espacio, los valores y el tiemposon discretos.

El espacio Zd es una retıcula uniforme compues-ta de celdas (celulas) xi1,i2,i3,...,id y que puedeestar en d dimensiones.

Los valores que pueden tomar xi1,i2,i3,...,id perte-necen a un conjunto Σ finito y discreto. Σ =1,2,3, . . . , k − 1 entonces Σ ∈ N . La asig-nacion de valores en el espacio C : Zd 7→ Σ


Aut omata celulardeterminan un punto (estado global) en el espa-cio del sistema dinamico.

El tiempo t en que evoluciona Φ : ΣZ 7→ ΣZ

es discreto. Y la funcion Φ que permite cambiarde un punto (estado global) a otro en la dinamicadel automaton celular es conocida como funcionglobal.

• funci on local φ

Para llevar a cabo las transformaniones la fun-cion Φ se auxilia de una funcion local que rea-liza transformaciones φ : Σ|V| 7→ Σ.


Aut omata celular

φ determina el valor que tendra la celda xi enel tiempo t + 1 :

xt+1i = φ(xt

i−r, . . . , xti . . . , x

ti+r)

donde r es el radio de la vecindad V .

Vecindad von Neumann

Vn = y = y1, y2, y3 :

|x1 − y1|+ |x2 − y2|+ |x3 − y3| ≤ r


Aut omata celular

Estructura

Valores

xi ∈ Σ

Σ = 0,1,2,3, . . . , k − 1

Dinamica


Motivaci onMarco de aplicaciones En la actualidad son utiliza-dos para hacer estudios en:

Percolacion

Encriptacion de informacion

Computacion cuantica

Programacion de FPGA

...

Sistemas Complejos


φ 7→ Φ

Sin embargo determinar la dinamica de un auto-maton celular a partir de la funcion local es un pro-blema no bien entendido.

φ

xt+1ij =

1 Si Σ(V) = 2 o Σ(V) = 3 y xt

ij = 11 Si Σ(V) = 3 y xt

ij = 00 otro caso

Φ


φ 7→ Φ

φ

xt+1ij =

1 Si Σ(V) ≤ 2 y xt

ij = 00 otro caso

Φ


Sistemas complejos

Problemas de inter es

Computacion universal

Auto-organizacion

optimizacion

Sincronizacion


Motivaci on

La motivacion de esta tesis es generar conocimien-to de la relacion entre φ y Φ, en particular para elfenomeno conocido como comportamiento colectivono trivial.


Planteamiento del problema

El automat on celular de Chat e y Manneville

3D

Σ = 0,1

xt+1ijk =

1 Si Σ|V|

i xtijk ∈ 0,5

0 otro caso



Comportamiento colectivo no trivial

C =1

N

n∑i

n∑j

n∑k

xijk



. . .

(C0, C1), (C1, C2), (C2, C3), . . . , (Ct, Ct+1)



Entropıa

Entropıa espacial

S(X) = − 1X

∑|Σ|Xj=1 pjLog|Σ|pj

Donde: X: tamano de la vecindad

pj: La frecuencia de la j-esima vecindad.

|Σ|X : posibles vecindades de tamano X

S(X) : 0, . . . ,1

S(X) = 0,823 para el automata celular anterior



Objetivo Explicar porque se sincronizan las densi-dades en 3 puntos en los automatas celulares quesiguen la regla de Chate y Manneville.


Sol. o enfoques propuestos

Hallazgo Hugues Chate y Paul Manneville

Hugues Chate and Paul Manneville, “Evidence of collec-

tive behaviour in cellular automata,” Europhysics Letters,

14, 409-413, (1991).

Hugues Chate and Paul Manneville, “Collective behaviors

in spatially extended systems with local interactions and

synchronous updating,” Progress in Theoretical Physics,

87, 1-60, (1991).



Microcelulas y membranasJ. Hemmingsson, A. Sørensen, H. Flyvbjerg and H. J. Herrmann, “What synchronization?,” Europhy-sics Letters, 23, 629-634, (1993).

Ecuacion de Perron-FrobeniousPikovsky Arkady S. and Jurgen Kurts, “Do globally coupled maps really violate the law of large num-bers,” Physical Review Letters, 72, 1644-1646, (1994).

RevisionHugues Chate, Anael Lemaıtre, Ph. Marcq and Paul Manneville, “Non-Trivial collective behaviour inextensively-chaotic dynamical systems: an update,” Physica A, 224, 447-457, (1996).


Sol. o enfoques propuestosAntecedentes

Se analizo aproximacion de la teorıa del campo promedio.

Uso de la iteracion de polinomios de Bernstein para de-terminar puntos fijos y su espectro: diagramas de bifurca-cion.

resultado: La teorıa del campo medio puede ser arbitraria-mente precisa si se utiliza la vecindad de von Neumann ygrandes dimensiones. En el caso de la vecindad de Moorela dependencia sera una cte no importa cuantas dimen-siones se involucre. (Observacion: las iteraciones de lospolinomios acumulan puntos fijos.)



Metaestabilidad

Un problema con la experimentacion en AC es elefecto del tamano finito del espacio.

“ no es inusual observar un fenomeno en un AC en una si-

mulacion por computadora y encontrar mas tarde que es-

te comportamiento desaparece en otra computadora con

mas recursos (tiempo espacio o ambos)... ”, Lawrence

Gray, A Mathematician Looks at Wolfram’s A New Kind of

Science


Metaestabilidad

Ejemplo: Percolaci on

Bootstrap percolation

2D

1000× 1000Σ = 0,1

Regla de evolucion

xt+1ij =

1 Si xt

ij = 0 Σni Σ

nj x

tij = 4

1 Si xtij = 1 Σn

i Σnj x

tij = 2

0 otro caso


Metaestabilidad

Ejemplo: Percolaci on

p = 0,03 Clase II p = 0,05 Clase I

Finalmente se demostro que cuando L 7→ ∞ p 7→ 0


Metaestabilidad

Informaci on experimental


MetaestabilidadMETAESTABILIDAD

Espacio total 3x3x3

Regla Hemmingsson

0 10 20 30 40 50 60

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Espacio total 5x5x5 t=300

Espacio total 100x100x100 t=400

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Subespacio 5x5x5 t=400

0 20 40 60 80 100 120

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 20 40 60 80 100 120

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


Metaestabilidad

Evolucion de subespacio de 10x10x10 dentro un espacio de

100x100x100


Metaestabilidad


100x100x100


Metaestabilidad

Evolucion de subespacio de 100x100x100 dentro de un

espacio de 100x100x100


Polinomios de Bernstein

Espacio ancestro



Definici on

Los polinomios de Bernstein de grado n estan defi-nidos por:

Bi,n =(ni

)pi(1− p)n−i

para i = 0,1, . . . , n, donde(ni

)= n!

i!((n−i)!)Existen n + 1 Polinomios de Bernstein de grado n.Por conveniencia, usualmente asignamos Bi,n = 0,si i < 0 o i > n.


Polinomios de Bernstein y RT

Regla totalıstica

xt+1i = φ(xt

i−r + · · ·+ xti + · · ·+ xt

i+r)



Automatas celulares en 3D Para un automata celu-lar con vecindad de von Neumann el calculo de pro-babilidades para su regla totalıstica esta dado por lacombinacion lineal de polinomios de Bernstein

Regla totalıstica en 3D

P t+11 =

(ms

)psqm−s

f(p) = q7 +7pq6 +21p2q5 +35p3q4 +35p4q3 +21p5q2 + 7p6q + p7



Reglas totalısticas de AC = Combinaci on linealPolinomios de Bernsteinp2 + 2pq + q2

p3 + 3p2q + 3pq2 + 3q3

p4 + 3p3q + 6p2q2 + 4pq3 + q4

p5 + 5p4q + 10p3q2 + 10p2q3 + 5pq4 + q5

p6+6p5q+15p4q2+20p3q3+15p2q4+6pq5+q6

q7+7pq6+21p2q5+35p3q4+35p4q3+21p5q2+7p6q + p7



Propiedades de polinomios de Bernstein

Los polinomios de Bernstein de grado n puedendefinirse mediante la suma de dos polinomios deBernstein de grado n− 1

Bk,n(t) = (1− t)Bk,n−1(t) + tBk−1,n−1(t)

(1− t)Bk,n−1(t) + tBk−1,n−1(t) = (1− t)(

n−1k

)tk(1− t)n−1−k + t

(n−1k−1

)tk−1(1− t)n−1−(k−1)

=(

n−1k

)tk(1− t)n−k +

(n−1k−1

)tk(1− t)n−k

= [(

n−1k

)+(

n−1k−1

)]tk(1− t)n−k

= Bk,n(t)


Polinomios de BernsteinPropiedades de polinomios de Bernstein

La suma de los k +1 polinomios de Bernstein degrado k es igual a la suma de los k polinomios deBernstein de grado k − 1.

∑k

i=0Bi,k(t) =

∑k−1

i=0Bi,k−1(t)∑k

i=0Bi,k(t) =

∑k

i=0[(1− t)Bi,k−1(t) + tBi−1,k−1(t)]

= (1− t)[∑k−1

i=0Bi,k−1(t) + Bk,k−1(t)] + t[

∑k

i=1Bi−1,k−1(t) + B−1,k−1(t)]

= (1− t)∑k−1

i=0Bi,k−1(t) + t

∑k

i=1Bi−1,k−1(t)

= (1− t)∑k−1

i=0Bi,k−1(t) + t

∑k−1

i=0Bi,k−1(t)

=∑k−1

i=0Bi,k−1(t)

n∑i=0

Bi,n(t) =

n−1∑i=0

Bi,n−1(t) =

n−2∑i=0

Bi,n−2(t) = · · · =1∑

i=0

Bi,1(t) = (1− t) + t = 1.


Trabajo en curso

Demostracion de convergencia en la familia depolinomios de Bernstein en 1D

Calculo composicion de Polinomios de Bernsteinen 3D


Parametro de caracterizaci on

Las cuatro clases de Wolfram

Clasificacion de Wolfram


Parametro de caracterizaci on

Parametro lambda de Langton

λ =|V| − |Vq|

|V|(1)


Parametro de caracterizaci onClase I 7→ λ = 0,2282

Clase II 7→ λ = 0,4394

Clase III 7→ λ = 0,8164

Clase IV 7→ λ = 50,18

Representacion esquematica del parametro λ de Langton


Parametro

Parametro Chat e y Manneville

ω =|Cφ(V) 7→0||Cφ(V) 7→(0,1)|

(2)


Desarrollo de Sistema

Sistema de an alisis de aut omatas celulares engrandes dimensiones

Paquete desarrollado en Mathematica

Evolucion visual de un automata celular en 3D

Evolucion de un AC en 4D,5D y 6D

Calculo de entropıa espacial

Calculo de polinomios de Bernstein en AC en 3D

Mapas de retorno


Desarrollo de SistemaCalculo del parametro Ω

Frecuencia de vecindades

Calculo de grafica espacial de celulas con estado0 contiguas.

Definicion y calculo de densidad de un subespa-cio

Evolucion en automatas de dimension fractal en-tre 2D y 3D

Proyecciones entre automatas de 2D a 3D


Resultados, publicaciones

Resultados

publicaciones


Trabajo a futuro

Dimension fractal.

Calculo de polinomios de Bernstein en 4D

Demostracion de convergencia en familia de poli-nomios de Bernstein en 3D y 4D

Calculo del subespacio mınimo

Estudiar reglas totalısticas, independencia y com-portamiento colectivo no trivial.


Conclusiones

Basicamente estamos tratando de estudiar la reglade los automatas celulares de Chate Manneville des-de 2 perspectivas distintas.

Estudiando su convergencia en terminos de den-sidades con respecto al tiempo. (Metaestabilidad)

Tratando de caracterizar el comportamiento co-lectivo con la definicion de la regla.


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