Anali-IV - Joaquin Ortega

Analisis IV

Joaqun M. Ortega Aramburu

Septiembre de 1999Actualizado en Julio de 2001

Indice General

1 Integral de Riemann 51.1 Integracion de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Contenido de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Insuficiencias de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Apendice. Criterio de Lebesgue de integracion Riemann. . . . . . . . . . . . . . 15

2 Medida de Lebesgue en Rn 172.1 -algebras y medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 La medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Medida de abiertos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Medida de compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.3 Conjuntos medibles acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.4 Conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.5 Conjuntos de medida cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.6 Conjuntos medibles y medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Integral de Lebesgue 31

3.1 Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Integracion de funciones simples medibles no negativas . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Integrales de funciones medibles no negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5 Relacion entre la integral de Riemann y la integral de Lebesgue . . . . . . . . . . 41

3.5.1 Integral de Riemann propia e integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . 413.5.2 Relaciones de la integracion de Lebesgue con la integracion impropia de

Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6 Continuidad de una funcion definida por una integral dependiente de un parametro. 433.7 Derivacion bajo el signo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.8 Integracion en un espacio producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.9 Cambio de variable en la integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.11 Nota historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

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4 INDICE GENERAL

4 Calculo vectorial 614.1 Longitud de un arco de curva. El parametro arco. . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Integracion sobre arcos de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.1 Integracion sobre un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.2 La integral de un campo a lo largo de una curva y el lenguaje de formas . 65

4.3 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3.1 Teorema de Green para dominios elementales . . . . . . . . . . . . . . . 664.3.2 Teorema de Green para dominios regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.3 El teorema Green en el lenguaje de formas. . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3.4 El teorema de la divergencia y formulas de Green . . . . . . . . . . . . . 70

4.4 Superficies e integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4.1 Superficies elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4.2 Area de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4.3 Integral de un campo escalar sobre una superficie y flujo de un campo

vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5 El lenguaje de las formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5.1 Campos de formas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.5.2 Identificacion de campos escalares y vectoriales con formas en R2 y en R3 834.5.3 La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5.4 Los teoremas de Green, Stokes y de la divergencia en el lenguaje de formas 85

4.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Captulo 1

Integral de Riemann

Se trata de dar una introduccion a la integral de Riemann de funciones de varias variables. Ve-remos tambien una primera nocion de medida de conjuntos, el llamado contenido de Jordan,que coincide con la integral de Riemann de la funcion caracterstica del conjunto. Se haran notaralgunas de las insuficiencias que presentan estas nociones de medida y de integral, lo que lleva aintroducir la integracion de Lebesgue.

Supondremos un conocimiento previo de las nociones basicas de la integral de Riemann parafunciones de una variable.

1.1 Integracion de RiemannConsideraremos funciones de varias variables a valores reales y acotadas. Para simplificar lasnotaciones supondremos que el numero de variables es dos, aunque esto no es esencial en lateora. Supondremos que las funciones estan definidas en un intervalo cerrado I = [a, b] [c, d].

Analogamente a como se hace para estudiar la teora de la integracion de Riemann parafunciones de una variable, consideraremos particiones del intervalo I en subintervalos. Estosseran de la forma Iij = [xi1, xi] [yj1,yj], i = 1, ...n, j = 1, ...,m donde xi, yi son puntosque cumplen a = x0 < x1 < < xn1 < xn = b, c = y0 < y1 < < ym1 < ym = d.Definiremos la medida de estos intervalos mediante el producto de las longitudes de sus lados, esdecir, (xi xi1)(yj yj1) y la denotaremos por m(Iij). El supremo y el nfimo de los valoresde la funcion sobre estos intervalos se denotaran respectivamente Mij = sup(x,y)Iij f(x, y) ymij = inf(x,y)Iij f(x, y).

Definicion 1.1. Se llama suma superior de la funcion f asociada a la particion y la deno-taremos por S(f,) a

Mijm(Iij) donde la suma esta extendida a todos los intervalos de la

particion. Analogamente, la suma inferior de f asociada a la misma particion es s(f,) =mijm(Iij).

Observese que si f es positiva, S(f,) es una aproximacion por exceso del volumen delconjunto {

(x, y, z) R3; o z f(x, y), (x, y) I}.

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6 CAPITULO 1. INTEGRAL DE RIEMANN

La suma inferior s(f,) sera una aproximacion por defecto del citado volumen.Obviamente s(f,) S(f,). Mas generalmente, para diversas particiones, cualquier

suma inferior es menor o igual que cualquier suma superior. Para probarlo es comodo disponerde la siguiente relacion en el conjunto de las particiones.Definicion 1.2. Dadas dos particiones y 1 de I = [a, b] [c, d] se dice que 1 es mas finaque si todos los puntos que definen esta en [a, b] y en [c, d], pertenecen tambien a la que define1.

Dadas dos particiones 1y 2 se denomina particion union a la particion generada por lospuntos que definen ambas particiones.Lema 1.1. Sea una particion de I y sea 1 la particion que se obtiene a partir de anadiendoun punto xi del intervalo [a, b]. Entonces s(f,) s(f,1), S(f,1) S(f,). Un resultadoanalogo se obtiene si se anade un punto del intervalo [c, d].

Demostracion. Sea xi1 < xi < xi . Los intervalos Ilj , l 6= i , al pasar de la particion a la 1no varan, mientras que los intervalos Iij quedan sustituidos por dos, Iij = [xi1, xi] [yj1, yj],Iij = [xi, xi] [yj1, yj] . Se cumple trivialmente que m(Iij) = m(Iij) +m(Iij) . Puesto que

inf(x,y)Iij

f(x) inf(x,y)Iij

f(x), inf(x,y)Iij

f(x) inf(x,y)Iij f(x)

se sigue que s(f,) s(f,1). Analogamente S(f,1) S(f,).Si el punto que se anade es del intervalo [c, d] la prueba de las desigualdades es enteramente

analoga.

Teorema 1.2. Sean y 1dos particiones del intervalo I . Se cumple

s(f,) S(f,1).Demostracion. Consideremos la particion 1. Reiterando el lema anterior tendremos

s(f,) s(f, 1) S(f, 1) S(f,1).

Vemos que el conjunto de las sumas inferiores esta acotado superiormente por cualquiersuma superior. Analogamente, el conjunto de las sumas superiores esta acotado inferiormentepor cualquier suma inferior. Esto lleva a las siguientes definiciones.Definicion 1.3. Se llama integral inferior de f (resp integral superior) y se denota por f (resp.f ) a

f = sups(f,)

f = inf

S(f,).

1.1. INTEGRACI ON DE RIEMANN 7

Es inmediato comprobar quef f . Es natural considerar el caso en que tengamos

igualdad.

Definicion 1.4. Diremos que una funcion f , definida en I , acotada, es integrable en el sentidode Riemann (brevemente integrable Riemann) si f = f . A este valor se le denomina integralde f y se denotara

f . Si se quiere explicitar el intervalo I se escribira

I f.

Veamos un criterio elemental de integracion Riemann.

Teorema 1.3. Sea f una funcion definida en un intervalo I , acotada. La funcion es integrableen el sentido de Riemann si y solo si para cada > 0 existe una particion de I tal que

S(f,) s(f,) < .

Demostracion. Si f es integrable Riemann, para cada > 0 existen particiones 1 y 2 talesque

S(f,1)f 0 se sigue quef =

f.

Como consecuencia de este criterio vamos a comprobar la integrabilidad de las funcionescontinuas.

Teorema 1.4. Toda funcion continua en un intervalo I es integrable Riemann.

Demostracion. Veamos que se cumple el criterio anterior. Sea > 0. Sabemos que la funcionpor estar definida en un intervalo cerrado y ser continua sera uniformemente continua. Existira > 0 tal que si |x1 x2| < y |y1 y2| < se cumplira |f(x1, y1) f(x2, y2)| < 1(ba)(dc) ,con 1 < .


Sea una particion tal que |xi xi1| < , |yj yj1| < para todo i y j . Se tendra

Mij mij 1(b a)(d c) 1 es integrable Riemann. Para cada particion de I llamemos al subconjuntode los elementos que tienen interseccion no nula con la frontera de {x R2; x 1} .Es facil ver que para cada > 0 existe una particion tal que Iim (Ii) < . Estonos da la integrabilidad de la funcion.

La nocion de integrabilidad Riemann, como en el caso de funciones de una variable, puededarse en terminos de lmites de sumas de Riemann.Definicion 1.5. Sea una particion del intervalo I . Consideremos un punto en cada uno de losintervalos de la particion ij Iij. A la suma f(ij)m(Iij) se le denomina suma de Riemannasociada a la particion y a estos puntos. Se denota por R(ij,, f).

Notese que s(f,) f(ij)m(Iij) S(f,).Teorema 1.5. Una funcion f definida en un intervalo I , acotada, es integrable Riemann si ysolamente si existe un numero L tal que para cada > 0 existe una particion 0 de I tal que si es mas fina que 0 toda suma de Riemann correspondiente a cumple

|R(ij,, f) L| < .El numero L coincidira con la integral de f .

No daremos la demostracion ya que es analoga a la de la proposicion correspondiente parafunciones de una variable. Tambien, como en el caso de una variable, puede sustituirse la anteriornocion de lmite por el lmite de sucesiones de sumas de Riemann asociadas a sucesiones departiciones tales que max |xi xi1| 0 y max |yj yj1| 0.

De este teorema es facil deducir que si f y g son integrables Riemann y k R tambien sonintegrables f + g y kf y se cumple

(f + g) =f +

g,kf = k

f.

Tampoco daremos las demostraciones ya que son identicas a las correspondientes para funcionesde una variable.

Si f es integrable y toma sus valores en [K,K] y g es continua en este intervalo entonces lacomposicion g f es integrable. Una vez mas nos remitiremos a la demostracion para funciones

1.1. INTEGRACI ON DE RIEMANN 9

de una variable. En particular el cuadrado de una funcion integrable es integrable y, en conse-cuencia, el producto de dos funciones integrables fh = 1

2

((f + h)2 f 2 h2

)es integrable.

La misma proposicion puede servir para probar que si f es integrable, tambien lo es |f | . Por otraparte es inmediato comprobar que si f1, f2 son funciones integrables tales que f1 f2, se tienef1 f2. En particular, si f es integrable, se cumple | f | |f | .

En la teora de la integracion es necesario disponer de teoremas que permitan pasar al lmitebajo el signo integral. Un teorema natural en este contexto es el siguiente.Teorema 1.6. Sea fn una sucesion de funciones integrables Riemann en I que convergen unifor-memente hacia una funcion f . Entonces f es integrable Riemann y f = lim fn.Demostracion. Sea > 0. Existira un n tal que |fn(x) f(x)| < 4m(I) , para cada x I.Puesto que fn es integrable existira una particion tal que S(fn,) s(fn,) < 2 . Tendremosentonces

S(f,) s(f,) < S(f,) S(fn,) + s(fn,) s(f,)+S(fn,) s(fn,) <

4m (I)m (I) +

4m (I)m (I) +

2= .

Esto da la integrabilidad de f . Por otra parte, puesto que |fn f | < para n > n0, para estos n f fn = (f fn) |f fn| = m(I).Esto implica que

f = lim

fn.

Para integrales de funciones de varias variables una tecnica importante que permite reducirsu calculo al de integrales de funciones de una variable es la de las integrales iteradas. Veamosun caso sencillo de la misma.Teorema 1.7. Sea f una funcion definida en un intervalo I = [a, b] [c, d], acotada. Si existe laintegral

I f y la integral iterada

ba dx

dc f(x, y)dy, ambas coinciden.

Demostracion. Sea una particion de [a, b] [c, d]. Siguiendo las notaciones anteriores soninmediatas las siguientes desigualdades

s(f,) =i

j

mijm(Iij) =i,j

xixi1

dx yjyj1

mijdy badx dcf(x, y)dy

i

j

Mijm(Iij) = S(f,)

s(f,) If S(f,)

Puesto que para cada > 0 existe una particion tal que S(f,) s(f,) < se tendra queIf

badx dcf(x, y)dy

<


y por tanto coinciden.

Corolario 1.8. Sea f una funcion continua en un intervalo [a, b] [c, d] . Se cumpleIf =

badx dcf(x, y)dy.

Demostracion. Es suficiente aplicar el teorema anterior teniendo en cuenta que toda funcioncontinua es integrable y que

dc f(x, y)dy es una funcion continua en x y por tanto integrable.

Ejemplo 1.2. 1. [0,1][0,2] x2y = 10 dx 20 x2ydy = 10 x2 42dx = 23 .2. Ya vimos que si D es {x R2; x 1} la funcion caracterstica de este conjunto D, es

decir, la funcion que vale 1 en D y 0 en su complementario es integrable. Por otro lado lasintegrales reiteradas existen

dxDdy =

11dx 1x21x2

dy = pi.

Tendremos, en consecuencia queD = pi.

1.2 Contenido de JordanSe trata de dar una nocion de area de un conjunto de R2 o en general de volumen n-dimensio-nal de un subconjunto de Rn. Consideraremos para simplificar las notaciones, como hicimosen la seccion anterior dedicada a la integral de Riemann, que la dimension n es 2. Conocida lamedida de un intervalo como el producto de las longitudes de sus lados, es natural extender estanocion a las uniones finitas de intervalos F = ri=1Ii con interiores disjuntos dos a dos en laforma m(F ) = ri=1m(Ii). Esta definicion no depende de la particular descomposicion de F enintervalos que se haya utilizado. A la coleccion de estos conjuntos F que, de hecho, son unionesfinitas de polgonos cerrados de lados paralelos a los ejes la denominaremos F . Es facil ver quesi F1, F2 F y F1 F2 entonces m(F1) m(F2). Si se quiere dar una nocion de medida paraconjuntos mas generales, una forma natural de hacerlo es la de aproximarlos por estos conjuntosde F . Esto lleva a la nocion de contenido interior y exterior.Definicion 1.6. Sea E un conjunto acotado de R2. Llamaremos contenido exterior de E (resp.interior) y lo denotaremos por ce(E) (resp. ci(E)) a

ce(E) = infEF, FF m(F )resp. ci(E) = supFE,FF m(F )

Si ce(E) = ci(E) diremos que puede definirse el contenido de Jordan del conjunto E, osimplemente, que tiene contenido y lo escribiremos c(E) = ce(E) = ci(E).

1.2. CONTENIDO DE JORDAN 11

Observese que en la definicion de contenido exterior podra tomarse el nfimo de m(F )unicamente para los elementos de F que en su interior contienen a E. Basta tener en cuentaque para cada > 0 y cada intervalo cerrado J existe otro J1 que contiene en su interior a J ytal que m(J1) < m(J) + .

Es inmediato comprobar que un conjunto E tiene contenido si y solo si para cada > 0existen F1, F2 F tales que F1 E F2 y m(F2) m(F1) < . Tras la observacion delparrafo anterior la condicion E F2 puede ser sustituida por E contenido en el interior de F2.Ejemplo 1.3. 1. Desde luego para un intervalo I se tiene ci(I) = ce(I) = m(I). Si en lugar

de considerar un intervalo I cerrado se consideran intervalos abiertos o intervalos del tipo[ai, bi) es inmediato comprobar que tambien tienen contenido definido y que su valor es

el producto de las longitudes de sus lados.

2. Q [0, 1] no admite contenido unidimensional. En efecto, es facil comprobar que ce(Q [0, 1]) = 1, mientras que ci(Q [0, 1]) = 0.

El siguiente teorema nos expresa la relacion entre el concepto de contenido y la integral deRiemann.

Teorema 1.9. Un conjunto E acotado tiene contenido si y solo si E es integrable Riemann. Eneste caso c(E) =

E.

Demostracion. Sea E I. Supongamos que E es integrable. Dado > 0 existe una particion de I tal que

S (E,) s (E,) < .Consideremos ahora F1 la union de los intervalos de la particion contenidos en E y F2 la unionde los intervalos que tienen interseccion no vaca con E. Tendremos

m(F1) = s(E,) y m(F2) = S(E,).

De aqu F1 E F2 y m (F2)m (F1) < . Entonces E tiene contenido y este coincide conla integral de E .

Recprocamente, supongamos que E tiene contenido. Dado > 0, existiran F1, F2 F ,F1 E F2 y m(F2) m(F1) < . Si F1 consiste en la union de los intervalos [xi1, xi] [yj1, yj] consideremos la particion 1 de I definida por los puntos xi e yj. Tendremos m(F1) s(E,1). Si hacemos lo propio con F2 obtendremos una particion 2 tal que S(E,2) m(F2). Tendremos entonces S(E,2) s(E,1) m(F2)m(F1) < . De aqu que E esintegrable y que su integral es m(E).

Ejemplo 1.4. 1. Veamos que el subconjunto de R2 definido porE =

{(x, y) R2;x 0, y 0, x+ y 1

}tiene contenido. En efecto, sea F1 la union de los rectangulos

[i1n, in

][0, 1 i

n

],

i = 1, ..., n y sea F2 la correspondiente union de los rectangulos[i1n, in

][0, 1 i1

n

].


Tendremos F1 E F2 y m(F2)m(F1) = nn2 = 1n . Por tanto existe el contenido de Eo, lo que es equivalente, E es integrable. El valor de la integral puede obtenerse o biencomo el lmite de las medidas de F1 al tomar lmite en n, o bien como la integral iterada 10 dx

10 E(x, y)dy =

10 dx

1x0 dy =

12.

2. Ya vimos que la funcion caracterstica del disco unidad en R2 es integrable. Luego estedisco tiene contenido de Jordan definido y vale pi.

La nocion de contenido es aditiva en el sentido de que si F1 y F2 son dos conjuntos disjuntosy con contenido, entonces c(F1F2) = c(F1)+c(F2). Es suficiente tener en cuenta la propiedadde la aditividad de la integral y que F1F2 = F1 + F2 .

Si F1 y F2 tienen contenido tambien lo tiene la interseccion pues F1F2 = F1 F2 .Si dos conjuntos no necesariamente disjuntos tienen contenido, tambien lo tiene la union ya

que F1F2 = F1 + F2 F1F2 . En este caso se cumple

c (F1 F2) =F1F2

F1 +

F2 = c (F1) + c (F2) .

La nocion de conjunto con contenido permite tambien definir una integral de Riemann de unafuncion f definida en un conjuntoE I con contenido definido como la integral de Ef , ya queel producto de dos funciones integrables es integrable. La escribiremos

E f =

I Ef. Conviene

observar que esta definicion no depende del particular intervalo I utilizado en la definicion.Una vez que hemos definido la nocion de contenido para conjuntos mas generales que los

intervalos pudiera pensarse en considerar en la definicion de integral, particiones del intervalo dedefinicion no tan solo en subintervalos sino en conjuntos para los que este definido su contenido.Concretamente, pueden considerarse particiones I = Ai, AiAj = si i 6= j, conAi conjuntospara los que esta definido el contenido. Si si y Si son respectivamente el supremo e nfimo dela funcion f sobre Ai , se podran definir unas sumas inferiores y superiores mediante

sic(Ai)

y Sic(Ai). El supremo de estas sumas inferiores nos dara una integral inferior y el nfimode las sumas superiores una integral superior. En el caso de que ambas coincidan tendremosuna nocion de funcion integrable y de integral. Se puede comprobar que este proceso da lugar almismo tipo de funciones integrables que las de Riemann y a la misma integral. Es por ello que noproseguiremos en esta direccion. No obstante, lo interesante de la construccion es hacer patentecomo la posibilidad de medir mas conjuntos puede conducir a una nueva teora de la integracion.Si bien en este caso, partiendo del concepto de contenido, no lleva a una integral mas general quela de Riemann, si tuviesemos una nocion de medida mas amplia que la de contenido, podramosobtener una nocion de integral mas general. Como veremos esta es una de las ideas basicas de laintegracion de Lebesgue que estudiaremos en los captulos siguientes.

1.3 Insuficiencias de la nocion de contenido de Jordan y deintegral de Riemann

Uno de los problemas basicos de la nocion de contenido, ideada para medir conjuntos, es la limi-tacion de los conjuntos a los que se puede aplicar. Si quisiesemos medir toda clase de conjuntos

1.4. EJERCICIOS 13

utilizando por ejemplo el contenido exterior o bien el contenido interior el resultado sera unaaplicacion no aditiva. Por ejemplo, Q [0, 1] y su complementario en [0, 1] tienen contenido ex-terior 1, son disjuntos, y su union vuelve a tener contenido exterior 1. Al considerar unicamenteconjuntos con contenido definido esta nocion resulta ser ya aditiva pero no abarca todos los con-juntos que sera de desear. Por ejemplo, no todos los abiertos acotados tienen contenido definido.Consideremos el subconjunto de R definido por A = n1

(an 12n+2 , an + 12n+2

)donde an re-

corre Q [0, 1] . Observese que si F F , F A, mediante un numero finito de los intervalos(an 12n+2 , an + 12n+2

)se recubrira F y tendremos que m(F ) n1 22n+2 = 12 . De aqu que

ci(A) 12 . Por otro lado, si A F, F F , como Q [0, 1] F, se tendra m(F ) 1 y, portanto, ce(A) 1.

Otra limitacion del concepto de contenido es que, si bien es finitamente aditivo, no es nu-merablemente aditivo. Por ejemplo cada punto de R tiene contenido unidimensional cero. Sinembargo una union numerable de puntos como Q [0, 1] no tiene contenido definido. Por ultimoesta nocion hace referencia unicamente a conjuntos acotados. No puede asignarse un contenido aun conjunto comon1

[n 1

2n, n+ 1

2n

]al que sera natural asignarle una medidan1 22n = 2.

Sera entonces conveniente disponer de una nocion de medida de conjuntos que extendiese la no-cion de contenido, que permitiese medir los conjuntos abiertos y cerrados acotados y que tuviesela propiedad de la aditividad numerable, es decir, que la union numerable de conjuntos disjuntosdos a dos que se pudieran medir, tuviese por medida la suma de la serie de las medidas.

Problemas del mismo tipo aparecen cuando se considera la integral de Riemann. Las funcio-nes caractersticas de los abiertos o de los cerrados en general no son integrables y, por tanto, engeneral no se puede hablar de la integral de Riemann sobre un abierto o sobre un compacto.

Existen otras limitaciones. Por ejemplo, existen problemas con la completitud en el si-guiente sentido. Sea {fn} una sucesion de funciones integrables en [a, b] que cumple una con-dicion del tipo de Cauchy, es decir, para cada > 0 existe n0 tal que

|fn fm| < paran,m > n0. No se deduce entonces la existencia de una funcion f lmite de {fn} en el sentido deque para cada > 0,

|fn f | < para n mayor que un cierto n0. Por otro lado, en el contextode la integral de Riemann, los teoremas de paso al lmite bajo el signo integral deben establecerseen condiciones demasiado restrictivas. Estas, entre otras razones, muestran la insuficiencia de lanocion de integral de Riemann. Una solucion a estos problemas viene dada por la integracion deLebesgue. Una introduccion natural de esta pasa por el estudio de la medida de Lebesgue, queextendera la nocion de contenido de Jordan.

1.4 Ejercicios1. Halla, cuando exista, el contenido 2-dimensional de los siguientes conjuntos{

(x, y) R2; x2 + y2 < 1}.

{(x, 0) R2; 0 < x 1

}{(x, y) R2; |y| |x sin x| , 0 < x 2pi

}


[0, 1] ([0, 1] Q) .

2. Sea f : [1, 2] R definida por f (x) = 0 si x es irracional y f (x) = 1q

si x = pq

dondeesta es una fraccion irreducible. Demuestra que f es integrable y que su integral vale cero.

3. Calcula los siguientes lmites expresandolos como sumas de Riemann

limn

m=1

1

4n+m

limn

m=1

2n (n+m)

n3.

4. Di para que valores de el siguiente lmite es finito

limn

n1

dx

x |x 2| .

5. Sea f una funcion definida en [0, 1] monotona y acotada. Prueba que

lim1

n

(f(1

n

)+ f

(2

n

)+ ...+ f

(n

n

))= 10f

6. Calcula[0,1][0,1] y sin xy.

7. Sea f continua en R2. Invierte el orden de integracion en

(a) 10 1x20 f (x, y) dydx(b) 20 2x f (x, y) dydx(c) 10 sinx0 f (x, y) dydx

8. Calcula

(a) A x donde A es la region acotada limitada por las curvas x = y2 , x = y2 + 1.(b) A |x y| donde A = {(x, y) [0, 1] [0, 1] ; xy 12} .(c) Amax (x, y) donde A = {(x, y) ; x2 + y2 1}

1.5. AP ENDICE. CRITERIO DE LEBESGUE DE INTEGRACI ON RIEMANN. 15

1.5 Apendice. Criterio de Lebesgue de integracion Riemann.Se trata de dar un teorema que caracteriza las funciones integrables en el sentido de Riemann enterminos del tamano del conjunto de puntos de discontinuidad de la funcion.Definicion 1.7. Un subconjunto de Rn se dice que tiene n-medida cero si para cada > 0 existeun recubrimiento del mismo formado por una coleccion numerable de intervalos abiertos cuyasuma de medidas es menor que .Teorema 1.10. Sea f una funcion definida en un intervalo cerrado I de Rn y acotada. Lafuncion es integrable Riemann si y solo si el conjunto de puntos de discontinuidad es de medidanula.

Demostracion. Antes de pasar a la demostracion recordemos el concepto de oscilacion de unafuncion. Denominamos oscilacion de f en un conjunto A a la diferencia

sup {f (x) , x A} inf {f (x) , x A} .La escribiremos O (f, A) . Se llama oscilacion en x de una funcion f definida en D a

inf>0

O (f,B (x, ) D) .

El conjunto de puntos de discontinuidad de una funcion es la union de

Dn ={x D; O (f, x) 1

n

}.

Sea f integrable en I . Veamos que los conjuntos Dn tienen medida cero. Sea > 0. Existeuna particion de I tal que S (f,) s (f,) <

n. Sea el conjunto de intervalos de la

particion que en su interior tienen algun punto de Dn. Si Ii pertenece a se tiene O (f, Ii) 1n .Por lo tanto

n>Ii

O (f, Ii)m (Ii) >1

n

Ii

m (Ii)

y tendremos que Iim (Ii) < . De esta forma Dn esta recubierto por los interiores de unnumero finito de intervalos, cuya suma de medidas es menor que , junto con las fronteras de losintervalos de . Estos ultimos, a su vez, pueden recubrirse por un numero finito de rectanguloscuya suma de medidas tambien es menor que . Dn es entonces de medida nula.

Para establecer el recproco veamos, en primer lugar, un par de observaciones. La primera esque dado un intervalo compacto y un recubrimiento abierto del mismo, existe una particion delmismo tal que cada uno de los intervalos cerrados de la particion esta contenido en un abierto delrecubrimiento. Basta considerar el numero de Lebesgue del recubrimiento y tomar la particionsuficientemente fina.

La segunda observacion es que si tenemos una funcion definida en un intervalo I compactotal que la oscilacion en todos sus puntos es menor que un > 0 prefijado, existe una particion del intervalo tal que si J se cumple O (f, J) < . En efecto, basta considerar para cadax I un entorno Ux con O (f, Ux) < y aplicar la observacion anterior.


Podemos pasar a establecer el recproco. Sea f definida en I, acotada por K y tal que elconjunto de puntos de discontinuidad es de medida nula. Fijemos > 0. El conjunto D ={x D; O (f, x) } es un compacto de medida cero. Existen entonces un numero finito deintervalos abiertos U1, ..., Um que recubren D y cuya suma de medidas es menor que . Estosabiertos, junto con el complementario de D forman un recubrimiento de I . De acuerdo con laprimera observacion existira una particion tal que cada intervalo esta contenido en uno de losUi o en el complementario de D. Llamemos al conjunto de los primeros y a los restantesque, en consecuencia, no cortaran a D. Si J , aplicando la segunda observacion, existirauna particion de J , J tal que S (f,J) s (f,J) < m (J) . Consideremos una particion en I mas fina que y tal que induzca en cada uno de los intervalos J una particion masfina que la J . Llamemos Ij a los intervalos de la particion

S(f,

) s

(f,

)=

IjIiO(f, Ij

)m(Ij)+

IjIj

O(f, Ij

)m(Ij)

2K

IjIim(Ij)+

Ij

m(I j)

< 2K+ m (I) .

Por tanto f es integrable Riemann.

Ejercicios

1. Prueba que el conjunto {(x, 0) R2} es de 2-medida cero.2. Prueba que si f : I R es una funcion integrable y g : R R es continua, la composi-

cion g f es integrable.3. Prueba que toda funcion f : I R acotada y continua en I Q es integrable Riemann.4. Prueba que un conjunto acotado A de R2 tiene contenido de Jordan definido si y solo si su

frontera tiene medida cero.

Captulo 2

Medida de Lebesgue en Rn

Se trata de definir para una cierta coleccion de conjuntos M una aplicacion que llamaremosmedidam :MR{+} , de manera queM contenga los conjuntos con contenido de Jordandefinido as como los conjuntos abiertos, y que sea una clase cerrada por uniones numerables ypor paso al complementario. Sobre la funcion m se desea, en primer lugar, que sea no negativa yque extienda la nocion de contenido. Se desea tambien que m tenga la propiedad de la aditividadnumerable y que si un conjunto A tiene medida 0, cualquier subconjunto tambien sea mediblecon medida cero. Por ultimo y en relacion con las propiedades algebraicas de Rn se desea quem sea invariante por translaciones y por simetras, es decir m(x + A) = m(A) y m(A) =m(A). Se probara la existencia de una tal coleccion de conjuntos M y de una tal aplicacion m.Empezaremos definiendo la medida de abiertos acotados, para pasar despues a la de compactos.A partir de ambos definiremos los conjuntos medibles acotados y, finalmente, la clase M y laaplicacion m.

2.1 -algebras y medidasDefinicion 2.1. Una coleccion de subconjuntos M de Rn se dice que es una -algebra si,

1. Rn M.2. Para cada conjunto de M su complementario esta en M.3. A = nAn pertenece a M siempre que cada An M.

Resumiremos unas primeras consecuencias en el siguiente teorema.

Teorema 2.1. Sea M una -algebra. Entonces

1. El conjunto vaco pertenece a M.2. La union finita de elementos de M pertenece a M.3. La interseccion finita o numerable de conjuntos de M es de M.

17

18 CAPITULO 2. MEDIDA DE LEBESGUE EN RN

4. La diferencia de elementos de M es de M.

Demostracion. El conjunto vaco siempre pertenece a M por ser el complementario de Rn.Tambien tomando An = para n > n0 se ve que toda union finita de elementos de M es deM. Tomando complementarios es inmediato probar que la interseccion finita o numerable deconjuntos de M es de M y que la diferencia de elementos de M es de M.Ejemplo 2.1. Si consideramos los subconjuntos de Rn que se obtienen a partir de los abiertostomando uniones e intersecciones finitas y numerables sucesivas, as como paso al complementa-rio obtendremos la mnima algebra de subconjuntos deRn que contiene a todos los conjuntosabiertos. A sus conjuntos se les llama borelianos.Definicion 2.2. Una aplicacion m de una algebra M en R {+} se dice aditiva si paraA1, A2 M, A1 A2 = , se cumple m(A1 A2) = m(A1) +m (A2) . Se dice que es nume-rablemente aditiva si para cada coleccion numerable An de subconjuntos de M disjuntos dosa dos, m (An) = m(An). Una funcion no negativa y numerablemente aditiva se denominauna medida.

2.2 La medida de Lebesgue

2.2.1 Medida de abiertos acotadosYa hemos comentado que el contenido interior de conjuntos cualesquiera no da una aplica-cion aditiva. Por ejemplo, si consideramos contenidos unidimensionales ci(Q [0, 1]) = 0 yci([0, 1] Q) = 0 mientras que ci([0, 1]) = 1. Sin embargo, si nos restringimos unicamente alos abiertos acotados si que resulta aditiva esta aplicacion. Es entonces natural definir la me-dida de un conjunto abierto acotado como su contenido interior. Por otro lado, como veremos,todo conjunto abierto puede expresarse como una union disjunta, numerable de intervalos se-miabiertos. La medida con la definicion anterior resulta ser la suma de las medidas de estosintervalos, corroborando lo adecuado de la definicion.

Definicion 2.3. Sea A un abierto acotado. Se define la medida de este abierto mediante laexpresion

m(A) = ci(A) = sup {m(F ); F F , F A} .Teorema 2.2. Si A1, A2 son abiertos acotados

m(A1 A2) m(A1) +m(A2).

Si A1 A2 = , m(A1 A2) = m(A1) +m(A2).Demostracion. Sea F F con F A1A2. Sea > 0 tal que si x F, B(x, ) esta contenidaen A1 o en A2. La existencia de este puede probarse por un argumento de compacidad. Paracada x F sea 2x tal que B(x, 2x) esta en uno de los dos abiertos A1 o A2. Mediante unnumero finito de las bolas B(x, x) se recubre F . Sean B(x, x1), ..., B(x, xr). Entonces =

2.2. LA MEDIDA DE LEBESGUE 19

min {x1 , ..., xr} cumple la condicion. En efecto, si y B(x, x), la bola B(x, 2x) estaracontenida en un Aj . Entonces

B (y, ) B(x, 2x) Aj.Supongamos ahora F descompuesto en intervalos de diametro menor que . Cada uno de

estos intervalos estaran contenidos en A1, en A2 o en ambos. Tendremos entonces

m(F ) m(A1) +m(A2)lo que implica, puesto que m(A1 A2) es el supremo de m (F ) para F A1 A2 que

m(A1 A2) m(A1) +m(A2)La demostracion de la segunda parte de la proposicion es ahora facil de completar. Sean F1, F2 F , F1 A1 , F2 A2. Seran disjuntos y tendremos

m(A1 A2) m(F1 F2) = m (F1) +m(F2).Tomando supremos al variar F1 y F2

m(A1 A2) m (A1) +m(A2).

Lema 2.3. Todo abierto de Rn es union numerable de intervalos disjuntos del tipo

Ii1,...,in;m =nj=1

[ij2m,ij + 1

2m

)donde ij Z.

Demostracion. Para cada m los intervalos Ii1,...,in;m forman un recubrimiento de Rn. Sea J0 lafamilia de los intervalos del tipo Ii1,...,in;0 contenidos en A. Consideremos, a continuacion, J1 lafamilia de los intervalos del tipo Ii1,...,in;1 contenidos en A y no contenidos en los anteriores. Siproseguimos de esta forma obtendremos Jm una familia numerable de intervalos disjuntos dosa dos cuya union esta contenida en A. Veamos que coincide con A. Sea x A y B(x, ) A.Sea m suficientemente grande de forma que los intervalos Ii1,...,in;m tengan diametro menor que. El punto x pertenecera a uno de los intervalos Ii1,...,in;m que estara por tanto contenido enA. Setendra entonces que o bien Ii1,...,in;m pertenecera a uno de los Js para s < m, o bien perteneceraa Jm.

Teorema 2.4. Sea A un abierto acotado de Rn y sea A = Ii1,...,in;m la descomposicion dadaen el lema anterior. Se cumple

m(A) =

m (Ii1,...,in;m)

donde m (Ii1,...,in;m) significa el contenido de Ii1,...,in;m, es decir, c(Ii1,...,in;m) =(

12m

)n.


Demostracion. Llamemos, por simplificar la notacion, Ik a cada uno de los intervalos de laparticion Ii1,...,in;m en que se descompone A. Observemos que forma una familia numerable. SeaF F F A. Consideremos un > 0. Para cada intervalo Ik consideremos un intervaloabierto Ik que contiene a Ik y tal que c

(Ik) c (Ik) + 2k . Por ser F compacto estara recubierto

por un numero finito de intervalos abiertos Ik, k = 1, ..., N . Tendremos

m(F ) c(Nk=1Ik)

c(Ik)

c(Ik) + .

Puesto que esto vale para todo > 0 , se tiene m(F ) m(Ik) y puesto que esto vale paratodo F A se tiene m(A) m(Ik).

Recprocamente, fijado > 0, podemos encontrar intervalos cerrados Jk contenidos en Iktales que m(Jk) m(Ik) 2k . Consideremos un numero finito N de estos intervalos. Elconjunto union de estos es un elemento de F contenido en A y los Jk son disjuntos. Tendremosentonces

Nk=1

m(Ik) Nk=1

m(Jk) + m(A) + .

Puesto que vale para cada N se tienem(Ik) m(A) + .

Dado, por ultimo, que vale para cada > 0 tendremosm(Ik) m(A).

2.2.2 Medida de compactosDado un compactoK , siempre esta contenido en un intervalo abierto I . Si deseamos quem(I) =m(K) +m(I K) , puesto que la medida de I K ha sido definida como el supremo de loscontenidos de los elementos de F F , F I K, es facil ver que m(K) debera ser el nfimode las medidas de los elementos de F que contienen a K. Es entonces natural la siguientedefinicion.

Definicion 2.4. Si K es un compacto de Rn, se define su medida como

m(K) = ce(K) = infKL, LF

m(L).

Observese que si K es un intervalo cerrado la definicion coincide con la medida ya cono-cida del intervalo. La proxima proposicion nos dice que con esta definicion, la medida sobrecompactos tiene la propiedad de la aditividad.

Teorema 2.5. Sean K1 y K2 compactos con K1 K2 = . Entonces m(K1 K2) = m(K1) +m(K2).


Demostracion. Sea L F con K1 K2 L. Siempre podremos suponer que es la union deintervalos de diametro menor que d(K1, K2). Llamemos L1 y L2 a la union de estos intervalosque tienen puntos en comun con K1 y con K2 respectivamente. Tendremos K1 L1, K2 L2,L1 L2 L y L1 L2 = . Por tanto

m(K1) +m(K2) m(L1) +m(L2) m(L)

y, tomando el nfimo de m(L) al variar L

m(K1) +m(K2) m(K1 K2).

Probemos la desigualdad en sentido contrario. Sean Li F con Ki Li, i = 1, 2 conintervalos componentes de diametro menor que d(K1, K2)/2. A efectos de calcular m (K1) ym (K2) siempre se podra suponer que los intervalos cerrados de Li tienen interseccion no vacacon Ki, i = 1, 2. De esta forma se tiene L1 L2 = y por tanto

m(K1 K2) m(L1 L2) = m(L1) +m(L2).

Tomando el nfimo de m(L1) y de m(L2) al variar L1 y L2 tendremos

m(K1 K2) m(K1) +m(K2).

2.2.3 Conjuntos medibles acotadosDefinido el concepto de medida de abiertos y de compactos podemos pasar a definir una medidaexterior de un conjunto mediante la aproximacion por exceso por conjuntos abiertos y unamedida interior mediante una aproximacion por defecto por medio de conjuntos compactos.Cuando ambas medidas coincidan tendremos el concepto de conjunto acotado medible.Definicion 2.5. Sea B un conjunto acotado. Se define su medida exterior e interior mediante

m(B) = inf {m(A); B A, A abierto}

m(B) = sup {m(K); K B, K compacto}Lema 2.6. Si K es un compacto y A es un abierto K A, existe L F tal que K L A.

Demostracion. Basta recubrir K por intervalos abiertos tales que su adherencia este contenidaen A. Por la compacidad de K, mediante un numero finito de ellos recubriremos K. La union desu adherencia nos dara L.

Teorema 2.7. Para todo conjunto acotado B se tiene m(B) m(B).


Demostracion. En efecto, sea un compacto K y un abierto A tal que K B A. Sea L comoen el lema anterior K L A. Tendremos m(K) m(L) m(A) y tomando nfimo al variarA y supremo al variar K se tendra m(B) m(B).

Definicion 2.6. Un conjunto acotado B se dice medible si m(B) = m(B). A este valor comunse le denomina su medida y se escribe m(B).

Observese que si B1 y B2 son medibles y B1 B2 se tiene que m(B1) m(B2). Esconsecuencia inmediata de la definicion de medida exterior.Teorema 2.8. Los conjuntos abiertos acotados y los conjuntos compactos son medibles y tienenpor medida el contenido interior y exterior respectivamente.

Demostracion. En efecto, si A es un abierto se tiene m(A) = m(A) m(A). Pero, dado > 0existe L F , L A tal que m(L) > m(A) y por tanto m(A) m(A) . Esto es validopara cada > 0 y por tanto m(A) m(A). Luego m(A) m(A) y coinciden.

En forma analoga, si K es compacto se tiene m(K) = m(K) m(K). Dado > 0 existeL F con K L y m(L) m(K) + . De aqu que m(K) m(K) + . Puesto que estovale para cada > 0 se sigue que m(K) m(K).

Teorema 2.9. Todo conjunto acotado con contenido definido es medible y su medida coincidecon el contenido.

Demostracion. Sea B un conjunto acotado. Puesto que los elementos de F son compactos sesigue de las definiciones que ci(B) m(B).

Por otro lado ce(B) es el nfimo de las medidas de los elementos de F que contienen a B.Este nfimo coincide con el nfimo de las medidas de uniones finitas de intervalos abiertos quecontienen a B y, por tanto m(B) ce(B), puesto que el primero es el nfimo de las medidas detodos los abiertos que contienen a B. Resumiendo, para cada conjunto acotado se tiene

ci(B) m(B) m(B) ce(B).Es ya evidente que si B tiene contenido definido entonces es medible y coinciden medida ycontenido.

Empezaremos estudiando las propiedades de los conjuntos medibles y acotados. Pasaremosdespues al caso no acotado.

Observese que si B es un conjunto acotado con m(B) = 0 es entonces medible con medidacero. De aqu se sigue que cualquier subconjunto de uno de medida 0 es medible de medida 0.Lema 2.10. Sean A y B acotados. Se cumple

m(A B) m(A) +m(B).Si A B = se cumple

m(A B) m(A) +m(B).


Demostracion. Sea > 0 y U, V abiertos acotados tales que A U, B V

m(U) < m(A) +

2

m(V ) < m(B) +

2

Se tendram(A B) m(U V ) m(U) +m(V ) < m(A) +m(B) + .

Puesto que es valido para todo > 0

m(A B) m(A) +m(B).

Sea ahora A B = y > 0; sean K y L compactos tales que K A, L B con

m(K) > m(A) 2

m(L) > m(B) 2.

De aqu que

m(A B) m(K L) = m(K) +m(L) > m(A) +m(B) .

Puesto que es valido para todo > 0 se tendra

m(A B) m(A) +m(B).

El siguiente teorema nos establece la aditividad finita para los conjuntos medibles acotados.Teorema 2.11. Sean A y B dos conjuntos acotados, medibles y disjuntos. Se tiene que AB esmedible y m(A B) = m(A) +m(B).

Demostracion. Aplicando la proposicion anterior

m(A) +m(B) m(A B) m(A B) m(A) +m(B)

y, por tanto, todas las desigualdades son de hecho igualdades y vale la proposicion.

Veamos una caracterizacion de los conjuntos acotados medibles.Teorema 2.12. Un conjunto B, acotado, es medible si y solo si para cada > 0 existe uncompacto K y un abierto A tales que K B A, m(AK) < .


Demostracion. Para cada > 0 existe un compacto K y un abierto A acotado tales que K B A y

m(K) > m(B) 2

m(A) < m(B) +

2.

Sea ahora B medible. Como m(B) = m(B) y teniendo en cuenta la aditividad de m sobre losmedibles acotados se sigue que

m(A)m(K) = m(AK) < .

Recprocamente, si se cumple esta ultima condicion, puesto que

m(K) m(B) m(B) m(A)

tendremos que para cada > 0

m(B)m(B) m(A)m(K) <

y por tanto m(B) = m(B) y B es medible.

Teorema 2.13. Si B y B1 son conjuntos medibles acotados, tambien lo es B B1, B B1, yB B1.Demostracion. Dado > 0, sean K,K1 compactos y A,A1 abiertos tales que

K B A, m(AK) < 2

K1 B1 A1, m(A1 K1) < 2.

De aqu que

K A1 B B1 AK1 y AK1 (K A1) (AK) (A1 K1).

Tendremos que

m (AK1 (K A1)) m (AK) +m (A1 K1) <

y por tanto B B1 es medible.La medibilidad de B B1 y de B B1 se sigue de las relaciones

B B1 = B (B B1)

B B1 = (B B1) (B1 B) (B B1).


Corolario 2.14. Si B y B1 son acotados medibles entonces m(B B1) m(B) +m(B1).Demostracion. En efecto, la medibilidad se deduce del teorema 2.13. La desigualdad del lema2.10.

Se trata de ver ahora la propiedad de la aditividad numerable para conjuntos acotados. Vea-mos primero un lema que nos expresa la propiedad de subaditividad numerable para conjuntosabiertos.Lema 2.15. Sean Ai una coleccion numerable de abiertos con union A acotada. Entoncesm(A) n1m(An).Demostracion. Sea K un compacto K A. Existira r tal que K A1 ...Ar. Reiterando laproposicion anterior m(K) rn=1m(An) n1m(An). Tomando supremo al variar K setiene m(A) n1m(An).Teorema 2.16. Sea {Bn} una sucesion de conjuntos medibles, acotados y disjuntos dos a doscon B = nBn acotado. Entonces B es medible y m(B) = nm(Bn).Demostracion. De la aditividad finita, se sigue

rn=1

m(Bn) = m(B1 B2 ... Br) m(B)

y por tanto n1

m(Bn) m(B).

Por otro lado, dado > 0, sean An abiertos tales que

Bn An, m(An) < m(Bn) + 2n.

Por tanto, utilizando el lema anterior

m(B) m(An) n1

m(An) n1

m(Bn) + .

Puesto que esto vale para cada > 0, tendremos

m(B) n1

m(Bn).

De las dos desigualdades obtenidas se sigue que B es medible y que m(B) = n1m(Bn).Corolario 2.17. Sean {Bn} una sucesion de conjuntos medibles con union acotada. EntoncesB = Bn es medible y m(B) n1m(Bn).


Demostracion. Consideremos la sucesion de conjuntos medibles, dos a dos disjuntos C1 = B1,Cn = Bn (B1 ... Bn1), para n > 1. Se tendra que B = Bn = Cn y por tanto seramedible y m(B) = n1m(Cn) n1m(Bn).Corolario 2.18. La interseccion de una familia numerable de conjuntos medibles acotados, esmedible.

Demostracion. Si Bn son tales conjuntos, es suficiente considerar la expresionnBn = B1 n(B1 Bn)

y tener en cuenta las proposiciones anteriores.

2.2.4 Conjuntos mediblesPasemos a definir los conjuntos medibles no necesariamente acotados y a estudiar sus propieda-des.

Definicion 2.7. Un subconjunto C de Rn se dice medible si para cada compacto K, C K esun conjunto medible. En este caso se denomina su medida a m(C) = supKm(C K).

Observese que la medida de un conjunto medible puede ser +.Se trata de ver que la coleccion de conjuntos medibles que denominaremos M constituye

una -algebra y que la medida de estos conjuntos tienen las propiedades establecidas en la intro-duccion del captulo.

Desde luego y Rn son conjuntos medibles.Ya hemos dicho que M contiene a todos los conjuntos con contenido definido y que su

medida coincide con su contenido. Tambien contiene a los conjuntos abiertos pues la interseccionde un abierto y un compacto es medible acotado.

Si A1 y A2 son conjuntos medibles y A1 A2 se tiene m(A1) m(A2). Se entendera queen el caso en que m(A1) = + esta relacion significa que tambien m(A2) = +.

Veamos la propiedad de la aditividad finita y numerable de m.

Teorema 2.19. Sea {An} una coleccion finita o numerable de conjuntos medibles. Su union esentonces medible y se cumple m (An) m(An). Si los conjuntos son disjuntos dos a dos setiene m(An) = m(An).Demostracion. En primer lugar observemos que para cada compacto K, (An) K = (An K) que es una union numerable acotada de conjuntos medibles y por tanto medible. Esto nosasegura la medibilidad de An.

Veamos la propiedad subaditiva. Sea K un compacto. Utilizando la propiedad de subaditivi-dad finita o numerable para conjuntos medibles acotados (teorema 2.17) se tiene que

m ((An) K)

m(An K)

m(An).


Tomando supremo al variar Km (An)

m(An).

Supongamos ahora que los conjuntos An son disjuntos dos a dos. Siempre podremos suponerque para cada n, m(An) < +, pues en otro caso se tendra m(An) = + y se cumplira lapropiedad aditiva. Consideremos, en primer lugar, el caso en que tenemos un numero finito Mde conjuntos. Para cada n sea Kn un compacto tal que

m(Kn An) > m(An) M.

Si tomamos el compacto K = Mn=1Kn tendremos, utilizando la propiedad de la aditividad paraconjuntos medibles acotados (teorema 2.16),

m(Mn=1An) m(K (Mn=1An)) =Mn=1

m(K An) Mn=1

m(An) .

Puesto que vale para todo > 0 se tiene

m(Mn=1An) Mn=1

m(An)

y por tanto vale la propiedad de la aditividad finita.Pasemos a considerar una coleccion numerable de conjuntos An. Tendremos para cada M

m(n1An) m(Mn=1An) =Mn=1

m(An)

y por tantom(n1An)

n1

m(An).

Corolario 2.20. Sea una sucesion de conjuntos medibles A1 A2 ... y sea A = An. Secumple m(A) = limm(An).

Demostracion. Consideremos la descomposicion A = n1(AnAn1), con A0 = . Aplican-do la proposicion anterior

m(A) =n1

m(An An1) =n1

(m(An)m(An1)) = limm(An).

Corolario 2.21. Sea una sucesion de conjuntos medibles A1 A2 ... tal que m(A1) < +y sea A = An. Se cumple m(A) = limm(An).


Demostracion. Se considera la sucesion A1 A2 A1 A3 ....Se cumple que A1 A =(A1 An). Aplicando el corolario anterior tendremos

m(A1 A) = limm(A1 An)

y por tantom(A1)m(A) = lim(m(A1)m(An)).

Puesto que m(A1) < + se sigue que m(A) = limm(An).

Ejemplo 2.2. Es facil comprobar que si no se impone en el corolario anterior la hipotesism(A1) < +, en general es falsa la conclusion. Sea, por ejemplo An = [n,+). La me-dida de cada uno de estos conjuntos es + mientras que su interseccion es el vaco y por tantotiene medida cero.

2.2.5 Conjuntos de medida ceroUn conjunto de medida cero sera un conjunto A tal que para cada compacto K se cumpla quem(A K) = 0. En efecto, esto implica que A K es medible y que su medida es cero. Deaqu se sigue inmediatamente que todo subconjunto de uno de medida cero es de medida cero.Un criterio que en ocasiones es util es el siguiente.

Teorema 2.22. Un conjunto A es de medida cero si y solo si para cada > 0 existe un conjuntoabierto U, A U, tal que m(U) < .

Demostracion. Supongamos que A cumple que para cada > 0 existe un abierto U con A Uy m(U) < . Para cada compacto K se tendra m(A K) m(U) < para cada > 0 y portanto m(A K) = 0 y A sera de medida cero.

Recprocamente, supongamos que A es de medida cero. Sea > 0. Para cada i,

{x Rn; x i}

es un conjunto compacto y, por tanto, existira un abierto Ui A {x Rn; x i} conm(Ui) 0, existe un recubrimiento de A formado por una coleccion numerable de intervalosabiertos cuya suma de medidas es menor que .


2. Dado > 0 construye un abierto denso en R cuya medida sea menor que .

3. Halla la medida de RQ en R2 y la medida de{(x, y) R2; x2 + y2 = 1

}.

4. Sea f : Rn Rn una funcion de Lipschitz, es decir, tal que existe una constante k deforma que f (x) f (y) k x y. Prueba que si Z tiene medida cero, tambien lotiene f (Z) .

5. Sea A un abierto de Rn y f : A Rn una funcion de clase C1. Prueba que si Z A tienemedida cero, tambien lo tiene f (A) . Indicacion: Expresa A como union numerable deAm = {x A; dfx < m} . En cada uno de estos conjuntos la funcion f es de Lipschitzy podemos aplicar el ejercicio anterior a Am Z.

6. Prueba que un conjunto M es medible si y solo si para cada m el conjuntoMm = {x M ; x m}

es medible. Prueba que entonces m (M) = limm (Mm).

7. Prueba que un conjunto M es de medida cero si y solo si para cada > 0 existe unasucesion de intervalos abiertos Im tales que M Im y m (Im) < .

8. Consideremos el intervalo I = [0, 1] y quitemosle el intervalo abierto centrado de longitud13m (I), es decir consideremos I

(13, 23

). Se trata de la union de dos intervalos cerra-

dos disjuntos. Apliquemos el mismo proceso a cada uno de ellos. Obtendremos cuatrointervalos cerrados. Denotemos por A a la union de los intervalos abiertos que se han idoquitando y por C a su complementario IA. Este conjunto se denomina conjunto ternariode Cantor. Prueba que C es medible, de medida cero y no numerable. Indicacion: Para lano numerabilidad expresa los elementos de I en base de numeracion 3.

9. Prueba que si A es un conjunto medible de R y Z es un conjunto de medida cero de R,entonces A Z tiene medida cero en R2.

10. Sean A y B abiertos respectivamente de Rn y de Rm. Prueba que la medida de A B enRn+m es el producto de las medidas. Indicacion: Expresa A y B como union numerabledisjunta de intervalos diadicos y expresa A B como la union de los productos de estosintervalos.

Captulo 3

Integral de Lebesgue

3.1 Funciones mediblesConsideremos M la algebra de los conjuntos medibles por la medida de Lebesgue en Rn.La idea basica en la definicion de integral de una funcion en el sentido de Lebesgue es su apro-ximacion por combinaciones lineales de funciones caractersticas de conjuntos medibles. Estopodra hacerse de la siguiente forma. Si, por ejemplo, la funcion tuviese su recorrido en [a, b) ,podramos dividir este intervalo en m subintervalos

[a+ (i 1) ba

m, a+ i ba

m

)y considerar

como aproximacion por defecto i (a+ (i 1) bam )f1[a+(i1) bam , a+i bam ). Observese que, adiferencia de la integral de Riemann, ahora estamos dividiendo en subintervalos el recorrido yno el dominio de definicion. Sera natural definir como integral de esta funcion a la suma

i

(a+ (i 1)b a

m

)m

(f1

[a+ (i 1)b a

m, a+ i

b am

)).

Para esto es necesario que los conjuntos f1[a+ (i 1) ba

m, a+ i ba

m

)sean medibles. Las

funciones que cumplen esta propiedad reciben el nombre de funciones medibles. Es una clasemuy amplia de funciones y en el marco de estas funciones se dara la teora de la integracion. Enesta seccion daremos la definicion de estas funciones y estudiaremos sus propiedades.Definicion 3.1. Sea f una funcion definida en Rn a valores en la recta ampliada R = R {,+} . Se dice que es medible si para cada numero real a el conjunto {x Rn; f(x) > a}es medible.

Observese que la definicion solo depende de la algebra M y no de la funcion medida m.Ejemplo 3.1. 1. Toda funcion continua es medible. En efecto, los conjuntos

{x Rn; f(x) > a}son abiertos y por tanto medibles.

2. La funcion caracterstica de un conjunto medible es una funcion medible.

31

32 CAPITULO 3. INTEGRAL DE LEBESGUE

La siguiente proposicion da definiciones alternativas de funcion medible.Teorema 3.1. Sea f una funcion definida en Rn a valores en la recta ampliada R = R {,+} . Son equivalentes las siguientes condiciones:

a) Para cada numero real a el conjunto {x Rn; f(x) > a} es medible.b) Para cada numero real a el conjunto {x Rn; f(x) a} es medible.c) Para cada numero real a el conjunto {x Rn; f(x) < a} es medible.d) Para cada numero real a el conjunto {x Rn; f(x) a} es medible.e) Para cada abierto A de R, su antiimagen f1(A) es medible.

Demostracion. a)=b) Basta tener en cuenta que

{x Rn; f(x) a} = n{x Rn; f(x) > a 1

n

}.

El conjunto {x Rn; f(x) a} es una interseccion numerable de conjuntos medibles y, portanto, medible.

b)=c).Ya que {x Rn; f(x) < a} = Rn {x Rn; f(x) a} .c)=d). Ya que {x Rn; f(x) a} = n

{x Rn; f(x) < a+ 1

n

}.

d)=a). Ya que {x Rn; f(x) > a} = Rn {x Rn; f(x) a} .e)=a). Tener en cuenta que {x Rn; f(x) > a} es la antiimagen de

{y R : y > a

}..

a)=e). Todo abierto de R es una union numerable de intervalos abiertos o de semirrec-tas. Puesto que {x Rn; a < f(x) < b} = {x Rn; f(x) < b} {x Rn; f(x) > a} y quea)=c) se sigue e).

Con frecuencia utilizaremos funciones definidas en Rn a valores en R. En este caso, puestoque los abiertos de R son la interseccion de los abiertos de R con R, la condicion e) de medibi-lidad se reducira a considerar unicamente las antiimagenes de los abiertos de R.

La clase de las funciones medibles es cerrada por la mayor parte de las operaciones habitua-les. Esto se expresara en los siguientes teoremas.

Teorema 3.2. Sean f1, ..., fr funciones medibles de Rn en R. Sea g una funcion continua de Rren R. La funcion compuesta g(f1, ..., fr) es medible.Demostracion. Sea A un abierto de R. Por ser g continua g1(A) es un abierto de Rr. Seraentonces un union numerable de intervalos de la forma Ik =

ri=1 [ai, bi). La antiimagen B

por la funcion compuesta g(f1, ..., fr) del abierto A sera en consecuencia union numerable deconjuntos del tipori=1f1 ([ai, bi)). Cada uno de los conjuntos f1 ([ai, bi)) = f1 ((, bi))f1 ([ai,+)) es medible y por tanto B sera medible.

Corolario 3.3. La suma, producto y cociente con denominador no nulo de funciones a valoresreales medibles es medible.Corolario 3.4. Si f es una funcion medible y g coincide con f salvo en un conjunto de medidanula, tambien g es medible.

3.1. FUNCIONES MEDIBLES 33

Demostracion. La funcion h = f g sera una funcion no nula unicamente en un conjunto demedida nula. Teniendo en cuenta que todo subconjunto de uno de medida cero es medible demedida cero, se tiene que h sera una funcion medible. Tendremos que g = f h sera medible.

Teorema 3.5. Si f1 y f2 son funciones medibles tambien son medibles sup{f1, f2}, inf{f1, f2}.Si f es medible, tambien lo es |f |, f+, f.Demostracion. Para probar que sup {f1, f2} es medible basta observar que para cada a R,{x Rn; sup {f1, f2} (x) > a} = {x Rn; f1(x) > a} {x Rn; f2(x) > a} . Las otras pro-piedades pueden reducirse a esta teniendo en cuenta las siguientes relaciones

inf {f1, f2} = sup {f1,f2}

|f | = sup {f,f} , f+ = sup {f, 0} , f = sup {0,f} .

Teorema 3.6. Sean {fn} una sucesion de funciones medibles. Entonces son medibles supn{fn},infn {fn}, lim sup {fn}, lim inf {fn} . Si f es el lmite punto a punto de la sucesion fn salvo enun conjunto de medida nula, tambien f es medible.Demostracion. La medibilidad de supn {fn} se obtiene como antes de la relacion

{x Rn; sup {fn} (x) > a} = n {x Rn; fn(x) > a} .

Teniendo en cuenta que infn {fn} = supn {fn}, lim sup {fn} = infn {supm>n {fm}},lim inf {fn} = supn {infm>n {fm}} se obtiene la medibilidad de estas funciones. Por ultimo,si una sucesion de funciones medibles tiene lmite puntual, este coincide con el lmite superior oinferior y es por tanto medible. Si la sucesion deja de tener lmite f en un conjunto de medidacero, podemos dar en este conjunto a todas las funciones un determinado valor constante. Lasnuevas funciones seran medibles y tendran lmite en todo punto. La funcion lmite sera medibley coincidira con f salvo en un conjunto de medida nula. La funcion f sera entonces medible.

Definicion 3.2. Una funcion f : Rn R se dice simple si toma unicamente un numero finito devalores 1, 2, ..., r. Si Ai = f1(i), la funcion se expresara como f = ri=1 iAi .

Observese que una funcion simple que se expresa en la forma anterior como f = ri=1 iAi ,con i distintos, es medible si y solo si todos los conjuntos Ai son medibles.

El teorema siguiente nos expresa que toda funcion medible puede obtenerse como lmite defunciones simples medibles.Teorema 3.7. Sea f : Rn [0,+] una funcion medible. Existe una sucesion {sn} de funcio-nes simples medibles tales que

a) 0 s1 s2 .... fb) sm (x) f (x) para cada x Rn. Si f es acotada la convergencia es uniforme.


Demostracion. Consideremos para cada m N la funcion simple medible

sm =m2mi=1

i 12m

Em,i +mFm

donde Em,i = f1([

i12m, i2m

)), Fm = f

1 ([m,+]) .Veamos que sk sk+1 para cada k. Si f(x) k + 1, sk(x) = k < k + 1 = sk+1(x). Si

k f(x) < k + 1, sk(x) = k sk+1(x). Si f(x) < k tendremos que f(x) pertenecera a unintervalo de la forma

[i12k, i2k

)para algun 1 i k2k. Tendremos entonces sk(x) = i12k =

2(i1)2k+1

sk+1(x).Veamos que sk(x) f(x). Si f(x) = +, sk(x) = k para cada k y es cierta la afirmacion.

Si f(x) < k, tendremos i12k f(x) < i

2k, para algun i k2k. Entonces |f(x) sn(x)| 12k

para n k.Por ultimo, si f esta acotado se tendra que para un cierto k y para todo x, f(x) < k y, como

antes, |f(x) sn(x)| 12k para n k para todo x Rn. La convergencia sera en este casouniforme.

3.2 Integracion de funciones simples medibles no negativasDefinicion 3.3. Sea s = ri=1 iAi una funcion simple medible no negativa. Se define suintegral como

s =ri=1

im(Ai).

Si E es un conjunto medible, la integral de s sobre E se define comoEs =

ri=1

im(Ai E).

En estas definiciones se entendera que si algun i es cero el producto por la medida de unconjunto, aunque esta sea +, es cero.

Veamos las propiedades esenciales de esta integracion.Teorema 3.8. a) Sea s una funcion simple medible s 0, 0, E medible. Se tiene E s =E s.b) Sean s1, s2 funciones simples no negativas, E medible. Se cumple E (s1 + s2) = E s1 +

E s2.c) Si s1(x) s2(x) para cada x se cumple E s1 E s2.d) Si Em es una coleccion finita o numerable de conjuntos medibles disjuntos dos a dos

mEm s =

m

Em

s.e) Si Em es una coleccion numerable de conjuntos medibles E1 E2 ... con E = mEm

se tieneE s = lim

Em

s.f) E s = sE.

3.3. INTEGRALES DE FUNCIONES MEDIBLES NO NEGATIVAS 35

Demostracion. a) Es inmediata.b) Sean s1 = iAi y s2 = jBj . Tendremos que s1 + s2 = i,j (i + j)AiBj . De

aqu, queE(s1 + s2) =

i,j (i + j)m (Ai Bj E) =

i,j im (Ai Bj E) +

i,j jm (Ai Bj E) =E s1 +

E s2.

c) Sean s1 s2. Si escribimos como antes s1 = i,j iAiBj , s2 = i,j jAiBj ,tendremos i j si Ai Bj 6= . Es ahora evidente que E s1 E s2.

d) y e) se deducen de la propiedad de la aditividad numerable de la medida (teorema 2.19) yde su corolario 2.20.

f) Es inmediata.

3.3 Integrales de funciones medibles no negativasDefinicion 3.4. Sea f : Rn [0,+] una funcion medible. E un conjunto medible. Se definela integral de f sobre E como

Ef = sup

{Es; 0 s f, s funcion simple medible

}.

Observese que la integral puede ser +. Debe tambien observarse que si f es una funcionsimple la definicion coincide con la ya dada para estas funciones.

Veamos un primer grupo de propiedades elementales de esta integral.

Teorema 3.9. a) Sea 0 f1 f2, funciones medibles, E conjunto medible. Se tiene E f1 E f2.

b) Sea 0 f funcion medible, 0, R. Entonces E f = E f.c) Sea 0 f funcion medible, E1 E2 medibles. Se cumple E1 f E2 f.d) Para f y E como antes E f = fE.

Demostracion. a), b) y c) son inmediatas. Veamos d). Si 0 s f se sigue que sE Efy ademas sE es una funcion simple. De aqu que

E s =

sE fE. Por lo tanto E f

fE. La desigualdad en el otro sentido sigue de que fE f implica fE = E fE E f.

Teorema 3.10. Sea E un conjunto medible y f : E [0,+] medible. Entoncesa) Si Z es un conjunto de medida cero E f = EZ f.b) Si E f < + entonces m {x E; f(x) = +} = 0.c) Si E f = 0 entonces m {x E; f(x) 6= 0} = 0.Una propiedad que se cumple para todos los puntos salvo para los de un conjunto de medida

cero se suele decir que se cumple casi por todo (c.p.t.). De esta forma la conclusion en b) seenunciara diciendo que f es finita casi por todo. La conclusion de c) sera que f es nula casi portodo.


Demostracion. a) La propiedad vale para las funciones simples ya que si A es medible, m(A) =m(A Z). Se sigue entonces para cualquier funcion medible. Observese que esta propiedadindica que la definicion de f sobre un conjunto de medida nula no es relevante a efectos de laintegracion, en forma analoga a como ya vimos que no lo era a efectos de la medibilidad de lafuncion. Si tenemos una funcion medible y la variamos sobre un conjunto de medida cero, estacontinua siendo medible y su integral no vara.

b) Sea F = {x E; f(x) = +} . Tendremos E f F f = F (+) . Si esta integral esfinita implica que m(F ) = 0.

c) ConsideremosEn ={x E; f(x) > 1

n

}. Tendremos

En

1n En f E f = 0.De aqu

que m(En) = 0 y, como {x E; f(x) 6= 0} = nEn se sigue que m ({x E; f(x) 6= 0}) =0.

Veamos un teorema de paso al lmite bajo el signo integral que tendra consecuencias impor-tantes. La hipotesis relevante en este teorema es la monotona de la sucesion.Teorema 3.11. (Teorema de la convergencia monotona)

Sea E un conjunto medible y fn una sucesion de funciones medibles tales que0 f1 f2 ... c.p.t.

Entonces existira c.p.t. lim fn. Si le llamamos f se tiene

limEfn =

Ef.

Demostracion. En primer lugar observemos que si en el conjunto de medida cero donde la su-cesion {fn} deja de ser monotona damos como nuevo valor de las funciones 0, la sucesion seraahora monotona en todos los puntos y los valores de las integrales no habran variado. Podemospues ya suponer desde un principio que la sucesion de las funciones es monotona en todos lospuntos. De esta monotona se sigue que la sucesion {E fn} es monotona creciente y por tantotendra lmite. Llamemosle l. Por otro lado la funcion f = lim fn sera una funcion medible yfn f. Por tanto E fn E f y l = lim E fn E f.

Veamos la desigualdad en sentido contrario. Sea s una funcion simple, medible 0 s fy sea un numero real 0 < < 1. Consideremos Em = {x Rn; fm(x) s(x)} . Estosconjuntos son medibles y E1 E2 ... y Rn = mEm. Tendremos

Efm

EEm

fm EEm

s.

Tomando lmites y teniendo en cuenta que E = m (E Em)

l limEEm

s = Es.

Puesto que es valido para cada < 1, pasando al lmite cuando 1, l E s. Tomando elsupremo en s concluimos que l E f.

3.3. INTEGRALES DE FUNCIONES MEDIBLES NO NEGATIVAS 37

Ejemplo 3.2. Sea f una funcion continua no negativa, definida en I = [a, b]. Consideremos unasucesion n de particiones de I de manera que cada una se mas fina que la anterior y que elmaximo de las longitudes de los intervalos que intervienen en la particion tiene por lmite cero.Asociemos a cada una de las particiones anteriores una funcion de la forma siguiente. Si nesta formado por los puntos a = x0 < x1 < ... < xm1 < xm = b le haremos corresponderla funcion fn = s1[x0,x1) + s2[x1,x2) + ... + sm1[xm2,xm1) + sm[xm1,xm], donde si es elnfimo de la funcion en el intervalo correspondiente [xi1, xi). La sucesion {fn} es monotonacreciente y tiene por lmite f. El teorema de la convergencia monotona dira que f es integrabley que su integral es el lmite de la sucesion

fn =

i si |xi xi1|. Observamos que este lmite

no es otra cosa que la integral de Riemann de f que, de esta forma, coincide con su integral deLebesgue.

Observese que para cualquier funcion medible no negativa f siempre existe una sucesion{sn} monotona creciente de funciones simples medibles con lmite f . Tendremos entonces queE f = lim

E sn. Veamos algunas consecuencias.

Teorema 3.12. a) Sean f, g funciones medibles, no negativas, definidas en un conjunto medibleE. Entonces

E(f + g) =

Ef +

Eg.

b) Si fn : E [0,+] son funciones medibles, se cumpleE

fn =

Efn.

c) Sea En una sucesion de conjuntos medibles, disjuntos dos a dos, f una funcion medibleen E = En. Entonces

Ef =

Enf.

Demostracion. a) Consideremos dos sucesiones monotonas de funciones simples medibles {sn}y {tn} que converjan respectivamente a f y a g. Tendremos E (sn + tn) = E sn + E tn y,pasando al lmite,

E (f + g) =

E f +

E g.

b) Es suficiente aplicar el teorema de la convergencia monotona a las sumas parciales de laserie fn y tener en cuenta la propiedad anterior.

c) Considerar fE = fEn y aplicar b).Veamos una propiedad referente a funciones medibles no negativas, consecuencia del teore-

ma de la convergencia monotona y que se utilizara en otros teoremas de paso al lmite bajo elsigno integral.

Teorema 3.13. (Lema de Fatou) Sea fn una sucesion de funciones medibles definidas en unconjunto medible E, a valores en [0,+] . Se cumple

Elim inf fm lim inf

Efm.


Demostracion. Sea gm = inf {fm, fm+1, ...} . Es una sucesion monotona creciente de funcionesmedibles no negativas cuyo lmite es lim inf fm. El teorema de la convergencia monotona nosdira que

Elim inf fm = lim

Egm.

Por otro lado gm fr para r m. Por tanto E gm infrm E fr. De dondelim

Egm lim

(infrm

Efr

)= lim inf

Efm.

Esto permite concluir la prueba.

Ejemplo 3.3. La desigualdad en la conclusion del lema de Fatou puede ser estricta. Con-siderese, por ejemplo, como funciones fn la funcion caracterstica de un conjunto D si n es pary 1 D si n es impar. Tendremos que lim inf fn = 0 mientras que lim inf fn no sera nula silas integrales de D y de 1 D no lo son.

3.4 Funciones integrablesDefinicion 3.5. Sea E un conjunto medible de Rn y f : E [,+] una funcion medible.Se dice que f es integrable si las integrales

E f

+ yE f

son finitas. En este caso la integralde f en E es

E f =

E f

+ E f. Denotaremos al conjunto de las funciones integrables en Epor L (E) .

La finitud de las integralesE f

+ yE f

implica que la funcion f toma valores finitos salvoen un conjunto de medida nula. Es por ello que las operaciones entre funciones integrablesse deberan entender que estan definidas casi por todo. Esto no ofrece problemas referente apropiedades de las integrales de estas funciones ya que de la definicion se sigue que el valor deuna integral no depende de los valores que pueda tomar la funcion sobre un conjunto de medidanula.

Otra observacion que conviene hacer sobre la definicion de funcion integrable es que unafuncion f medible, es integrable si y solo si

E |f | es finita. Esto se deduce de que |f | = f++f

y de que f+, f |f | . De esta forma, si f es medible, es integrable si y solo si lo es |f | .Veamos un grupo de propiedades elementales de las funciones integrables.

Teorema 3.14. a) Si f, g L(E) , entonces f + g L(E) y E (f + g) = E f + E g.b) Si f L(E) y R, entonces f L(E) y E f = E f.c) Sean f, g L(E), f g. Entonces E f E g.d) Si f L(E), se cumple |E f | E |f | .e) Sea f medible en E y g L(E) tal que |f | g. Entonces f L(E).f) SeanE y F conjuntos medibles, F E y f L(E). Entonces f L(F ) y F f = E fF .g) Sea una sucesion Em de conjuntos medibles disjuntos dos a dos. E = Em y f L(E).

EntoncesE f =

Em

f.

3.4. FUNCIONES INTEGRABLES 39

Demostracion. a) La desigualdad |f + g| |f |+ |g| prueba que E |f + g| < E |f |+ E |g| 0, (f)+ = f+ y (f) = f y por tantoEf =

Ef+

Ef =

Ef.

Si < 0, (f)+ = f y (f) = f+. Esto implica queEf = ()

Ef ()

Ef+ =

Ef.

c) Si f g tenemos g f 0 , de donde E (g f) 0 y E f E g.d) Puesto que f,f |f | los apartados anteriores dan E f E |f | y E f E |f | .e) Trivialmente |f | es integrable y por tanto lo es f.f) y g) Basta considerar la mismas propiedades para f+ y para f.

Podemos dar ahora una version del teorema de la convergencia monotona para funcionesintegrables no necesariamente no negativas.Teorema 3.15. Sea E un conjunto medible y {fn} una sucesion de funciones integrables enE tales que f1(x) f2(x) ...c.p.t. en E y E fn C. Entonces f = lim fn L(E) yE f = lim

E fn.

Demostracion. Consideremos la sucesion monotona creciente c.p.t. de funciones no negativasc.p.t. {fn f1} . El teorema de la convergencia monotona para estas funciones dara que E(f f1) = lim

E(fn f1) C

E f1. En particular la funcion f f1 sera integrable y, por serlo

f1 tambien lo sera su suma f . Tendremos entonces queEf

Ef1 = lim

(Efn

Ef1

).

La finitud deE f1 nos permite concluir la prueba.

Observese que si la sucesion de funciones integrables es monotona decreciente y sus integra-les estan acotadas inferiormente tambien podremos pasar al lmite bajo el signo integral. Bastaconsiderar la sucesion de las funcionesfn y aplicar la proposicion anterior. No obstante debieraobservarse que sin la hipotesis de integrabilidad, aun siendo las funciones no negativas, no puedeconcluirse el teorema. Por ejemplo las funciones [n,+), definidas en R, forman una sucesiondecreciente de integral +. Su lmite es la funcion identicamente cero cuya integral es 0.Corolario 3.16. Sea E un conjunto medible y {fn} una sucesion de funciones integrables enE tales que f1(x) f2(x) ...c.p.t. en E y E fn C. Entonces f = lim fn L(E) yE f = lim

E fn.


Teorema 3.17. (Teorema de la convergencia dominada)Sea E un conjunto medible y fn : E [,+] una sucesion de funciones medibles tales

quea) existe lim fn(x) = f(x) c.p.t. en E.b) Existe una funcion g L(E) tal que c.p.t. en E |fn(x)| g(x).Entonces f L(E) y E f = lim E fn.

Demostracion. Variando si es preciso fn y f en un conjunto de medida nula no hay problemaen suponer que el lmite en a) y la desigualdad en b) existen en todos los puntos. Tendremosentonces que |f (x)| g (x) y tanto fn como f seran integrables. Consideremos

g f = lim(g fn)g + f = lim(g + fn)

donde g fn 0 y g + fn 0.Utilizando el lema de Fatou (teorema 3.13) tendremos

E(g f) lim infE(g fn)

E(g + f) lim infE(g + fn)

Puesto queE g < + y tanto fn como f son integrables podremos deducir

E(f) lim infE(fn)

E f lim infE fn.

Por tantolim sup

Efn

Ef lim inf

Efn.

De dondeE f = lim

E fn.

Observese que la convergencia uniforme de una sucesion de funciones no implica que po-damos pasar al lmite bajo el signo integral. Por ejemplo la sucesion fn (x) = 1n[0,n] convergeuniformemente a 0 mientras que sus integrales son todas ellas igual a 1. No obstante si fn funiformemente en un conjunto E de medida finita entonces si que se deduce que E fn E f .Basta tener en cuenta que si |fn f | < en E entonces |E fn E f | < m (E).

Veamos un teorema consecuencia de los teoremas de convergencia monotona y dominada.Teorema 3.18. Sea fn una sucesion de funciones integrables en un conjunto medible E. Si secumple n E |fn| < + entonces |fn| converge c.p.t. en E, fn L(E) y E fn =

E fn.

Demostracion. Por el teorema de la convergencia monotona (teorema 3.11) se sigue que |fn|es integrable en E. En particular la suma de la serie sera finita c.p.t. en E y, en particular, fnsera convergente c.p.t. en E. Por otro lado las sumas parciales de esta serie estaran dominadaspor una funcion integrable, ya que

Nn=1 fn n |fn| L(E). El teorema de la convergenciadominada (teorema 3.17) permitira acabar la demostracion del teorema.

3.5. RELACI ON ENTRE LA INTEGRAL DE RIEMANN Y LA INTEGRAL DE LEBESGUE41

3.5 Relacion entre la integral de Riemann y la integral de Le-besgue

3.5.1 Integral de Riemann propia e integral de LebesgueTeorema 3.19. Sea f una funcion definida en un intervalo I de Rk a valores en R, integrableen el sentido de Riemann. Entonces es integrable en el sentido de Lebesgue y las integralescoinciden.

Demostracion. Escribiremos con la letra L o R delante de la integral cuando se quiera pre-cisar si la integral es en el sentido de Lebesgue o de Riemann respectivamente. Sea n unasucesion de particiones de I en subintervalos, cada una mas fina que la anterior y tal queR f = lim s(f,n) = limS(f,n). Esto se deduce de la expresion de la integral deRiemann como nfimo de sumas superiores o como supremo de sumas inferiores, y de las pro-piedades elementales de estas sumas. Sean Ii los intervalos de la particion. Tendremos que si miy Mi son los supremo e nfimo de f respectivamente en el intervalo Ii

s(f,n) =tn donde tn =

miIi

S(f,n) =Tn donde Tn =

MiIi

En todos los puntos que no son frontera de los diversos intervalos que aparecen en las particionesn y, por tanto, c.p.t. en I se cumpliran las desigualdades

t1 t2 ... f ... T2 T1.Las funciones t(x) = lim tn(x) y T (x) = limTn(x) existiran c.p.t. y seran funciones medibles.Si probamos que c.p.t. t(x) = T (x), estas funciones coincidiran con f y esta sera una funcionmedible. Ahora bien T t es el lmite de la sucesion monotona decreciente de funciones inte-grables no negativas c.p.t. Tn tn. El teorema de la convergencia monotona (teorema 3.16) nosdira que L (T t) = lim (Tn tn). = 0. Por tanto (teorema 3.10) T t = 0 c.p.t.. Elteorema de la convergencia monotona nos dara tambien que L f = lim tn = R f .

Puede darse una caracterizacion de las funciones integrables en el sentido de Riemann enterminos de la medida de los puntos de discontinuidad de la funcion. Concretamente f definiday acotada en [a, b] es integrable en el sentido de Riemann si y solo si el conjunto de puntos dediscontinuidad de la funcion es de medida nula. Puede verse en el apendice del captulo 1 lademostracion. Conociendo este teorema la medibilidad de una funcion integrable Riemann es yaevidente y la demostracion del teorema anterior podra haberse simplificado.

Observese que el teorema permite aplicar al calculo de la integracion en el sentido de Lebes-gue de las funciones integrables en el sentido de Riemann los metodos conocidos para estas. Porejemplo el teorema fundamental del calculo o el calculo por integrales iteradas cuando este seavalido.


Ejemplo 3.4. Sea I un intervalo cerrado, f continua en I. La funcion es integrable Lebesguey su integral coincide con la integral de Riemann. Mas generalmente, si A I es un conjuntocon contenido de Jordan definido la integral de Lebesgue sobre A coincide con la integral deRiemann.

3.5.2 Relaciones de la integracion de Lebesgue con la integracion impropiade Riemann

Teorema 3.20. Sea f : [a, b) R una funcion localmente integrable en el sentido de Riemanncon b R {+}. Son equivalentes:

a) La integral impropia de Riemann ba f es absolutamente convergente, es decir existe Ctal que

xa |f | C para a < x < b.

b) f L([a, b)).En este caso

ba f = L

[a,b] f .

Demostracion. Supongamos que se cumple a). Sea {xn} una sucesion monotona creciente denumeros reales, a < xn < b y {xn} b. Tendremos f = lim f[a,xn]. Cada elemento deesta sucesion es medible, por ser R-integrable, y por tanto f es medible. Por otro lado, puestoque |f | = lim |f |[a,xn], aplicando el teorema de la convergencia monotona (teorema 3.11) y lahipotesis a) se sigue que |f | es L- integrable y por tanto lo es f.

Sea ahora b) cierto. Se tendra xa |f | [a,b) |f | y por tanto vale a).El teorema de la convergencia dominada (teorema 3.17) da

ba

f = lim xna

f = L[a,b]

f.

Ejemplo 3.5. La funcion exx

es integrable en [1,+) ya que la integral impropia +1 exx dxes convergente. Por la misma razon son integrables las funciones xa para a < 1. Sus integralescoinciden con las correspondientes integrales de Riemann impropias.

Debe observarse que la existencia de integral impropia de Riemann no implica la conver-gencia de Lebesgue. De hecho, como consecuencia del teorema anterior, si existe la integralimpropia pero sin convergencia absoluta la funcion no es integrable en el sentido de Lebesgue.

Ejemplo 3.6. Sea la funcion f : [0,+) R definida por f(x) = (1)nn

si n 1 x < n.Es integrable en sentido impropio de Riemann pues

x0 f =

n1i=1

(1)ii

+ (1)n

n(x n + 1) si

n 1 x < n y por tanto su lmite cuando x tiende a + es la suma de la serie convergente (1)nn. La integral no converge absolutamente pues 1

n= + y, por lo tanto, la funcion no

es integrable en el sentido de Lebesgue.

3.6. CONTINUIDAD DE UNA FUNCI ON DEFINIDA POR UNA INTEGRALDEPENDIENTE DE UN PAR AMETRO. 43

3.6 Continuidad de una funcion definida por una integral de-pendiente de un parametro.

Teorema 3.21. Sean I, J dos intervalos de Rp y Rq respectivamente y f : I J R tal quea) Para cada y J la funcion de I en R tal que x f(x, y) es medible.b) Existe g L(I) tal que para cada y J se cumple |f(x, y)| g(x) c.p.t. en I.c) La funcion f(x, y) es continua en la variable y c.p.t. x de I.Entonces f(., y) L(I) para cada y y su integral es una funcion continua en y, es decir

limyt

If(x, y) =

Ilimyt f(x, y) =

If(x, t).

Demostracion. Desde luego de a) y de b) se sigue que f(x, y) es integrable en la variable x paracada y. Sea ahora yn una sucesion que tenga por lmite t. Llamemos Fn(x) = f(x, yn). De lacondicion c) tenemos que c.p.t. x se cumple que Fn(x) f(x, t). Ademas |Fn(x)| g(x). Porel teorema de la convergencia dominada (teorema 3.17) podremos pasar al lmite bajo el signointegral.

Ejemplo 3.7. 1. Se define la funcion mediante la integral (y) = +0 exxy1dx. Estaintegral es convergente para y > 0. En efecto, basta tener en cuenta que si 0 < y0 y y1 < +, |exxy1| esta acotada por cxy01 para 0 < x 1 y por exxy11 parax 1 y que esta funcion dominadora es integrable. La proposicion anterior permitiraasegurar que esta definida y es continua en y0 y y1 y, por tanto, para cada y > 0.

2.+0 e

xy sinxxdx es convergente y continua para y > 0. En forma similar al ejemplo

anterior basta considerar para 0 < y0 y y1 < + la acotacionexy sinx

x

cexy0 .3.7 Derivacion bajo el signo integralTeorema 3.22. Sean I, J intervalos abiertos de Rp y de R respectivamente, f : I J R quecumple

a) Para cada y J la funcion f(., y) es medible y para un a J , f(., a) L(I).b) Existe f

y(x, y) para cada (x, y) I J.

c) Existe g L(I) tal quefy(x, y)

g(x) para (x, y) I J.Entonces para cada y J , f(., y) L(I), la funcion F (y) = I f(x, y) es derivable en

todos sus puntos y F (y) =Ify(x, y).

Demostracion. Aplicando el teorema del valor medio, para cada x, y existe c comprendidoentre a e y tal que f(x, y) f(x, a) = (y a)f

y(x, c). Por tanto |f(x, y)| |f(x, a)| +

|y a|fy(x, c)

. De a) y b) se sigue entonces que f(., y) L(I).Sea y J y una sucesion yn y con yn 6= y. La sucesion gn(x) = f(x,yn)f(x,y)yny L(I)

tiene por lmite fy(x, y) para cada x I . Como consecuencia del teorema del valor medio


|gn(x)| g(x), para x I con g L(I). Podremos aplicar el teorema de la convergenciadominada con lo que

limF (yn) F (y)

yn y = limIgn(x) =

Ilim gn(x) =

I

f

y(x, y).

Ejemplo 3.8. La funcion (y) es derivable en 0 < y < +. En efecto, la derivada bajo elsigno integral de la expresion de da

+0 e

xxy1 lnx dx. Sera suficiente tener en cuenta quepara 0 < y0 y y1 < + se tiene la acotacion |exxy1 lnx | cxy01 |lnx| si 0 < x 1y |exxy1 lnx | exxy11 |lnx| si 1 x < + y que la funcion definida por cxy01 |lnx| si0 < x 1 y por exxy11 |lnx| si 1 x < + es integrable.

3.8 Integracion en un espacio productoDesignaremos por (x, y) a los elementos de Rn = Rp Rq para x Rp y y Rq. Dado unconjunto E de Rn y x Rp consideraremos el subconjunto de Rq, Ex = {y Rq; (x, y) E} .Analogamente, si y Rq sea Ey = {x Rp; (x, y) E} . Designaremos por mn,mp,mqrespectivamente a las medidas de Lebesgue en Rn, Rp, Rq si queremos especificar de cual setrata. Siguiendo estas notaciones tendremos el siguiente teorema.Teorema 3.23. Sea E un conjunto medible de Rn. Entonces

a) Los conjuntos Ex son medibles c.p.t. x. Analogamente los Ey son medibles c.p.t. y.b) Las funciones x mq(Ex) y y mp(Ey) son medibles.c) mn(E) =

Rp mq(Ex) =

Rq mp(E

y).

Demostracion. Veremos, en primer lugar, que el teorema se cumple para los conjuntos de laforma producto de dos intervalos, pasaremos despues a probarlo para el caso de un conjuntoabierto, seguidamente para un conjunto medible acotado y, finalmente para un conjunto mediblecualquiera. Probaremos el teorema unicamente para los conjuntos Ex y su correspondiente fun-cion medible. En forma completamente analoga se probaran los enunciados para los conjuntosEy y la funcion medible y mp(Ey).

Sea E = Ip Iq. Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos. Tendremosque Ex = Iq si x Ip y Ex = si x / Ip. De esta forma Ex es un conjunto medible para todox y la funcion x mq(Ex) = mq(Iq)Ip(x) es una funcion medible. Por ultimo, se cumple c)para estos conjuntos ya que

Rpmq(I

q)Ip = mp(Ip)mq(Iq) = mn(Ip Iq).

Sea ahora E un conjunto abierto. Se podra expresar como una union de un conjunto nume-rable de intervalos semiabiertos disjuntos. Sea una tal descomposicion E = Im. Cada uno deestos intervalos cumple el teorema. Tendremos que Ex = Imx y, por ser union numerable deconjuntos medibles, sera medible para cada x. La funcionmq(Ex) = mq(Imx) y sera por tanto

3.8. INTEGRACI ON EN UN ESPACIO PRODUCTO 45

medible. Por ultimo del teorema de la convergencia monotona (teorema 3.11) y de la propiedadde la aditividad numerable de las medidas (teorema 2.19) tendremos

mn(E) =

mn(Im) =

Rpmq(Imx) =

Rp

mq(Imx) =

Rpmq(Ex)

y, por tanto, vale el teorema para conjuntos abiertos.Seguidamente seaE un conjunto medible acotado. Existiran una sucesion de conjuntos abier-

tos Am acotados y una sucesion Km de compactos tales que

A1 A2 ... E ... K2 K1con mn(Am Km) 0.

A cada abierto Am Km se le podra aplicar el teorema con lo que mq(Amx Kmx) serauna sucesion de funciones medibles, decreciente y no negativas. Tendra un lmite, sea (x) =limmq(Amx Kmx). El teorema de la convergencia monotona decreciente (teorema 3.16) nosdara que

Rp (x) = lim

Rp mq(Amx Kmx) = limmn(Am Km) = 0. Tendremos entonces

que (x) = 0 c.p.t. x. Consideremos los puntos x en que limmq(Amx Kmx) = 0. Puestoque Amx son abiertos y Kmx son compactos tendremos que Ex sera medible y vale a) para estosconjuntos. Tendremos tambien que, para los mismos puntos, mq(Ex) = limmq(Amx) y portanto la funcion x mq(Ex) sera medible. Por ultimo el teorema de la convergencia monotonadara

mn(E) = limmn(Am) = limRpmq(Amx) =

Rp

limmq(Amx) =Rpmq(Ex).

Esto prueba c) para los conjuntos medibles acotados.Sea finalmente E un conjunto medible arbitrario. Consideremos los conjuntos Em = E

([m,m] [m,m]) . Tendremos que Ex = Emx . Cada Emx es medible para cada xsalvo un conjunto Nm de medida nula. Ex sera medible salvo quiza en Nm que es de medidanula. Tendremos, por otro lado, mq(Ex) = limmq(Emx) y por ser mq(Emx) funciones mediblessera a su vez medible. Una nueva aplicacion del teorema de la convergencia monotona junto apropiedades basicas de la medida permite obtener

mn(E) = limmn(Em) = limRpmq(Emx) =

Rp

limmq(Emx) =Rpmq(Ex)

que nos da c).

Dada una funcion f definida en el espacio producto RpRq se designara por fx a la funciondefinida en Rq mediante fx(y) = f(x, y). Analogamente f y denotara la funcion definida en Rppor f y(x) = f(x, y). Por ejemplo, si f es E, la funcion caracterstica de un conjunto E Rp Rq, tendremos que (E)x = Ex y (E)y = Ey .Teorema 3.24. (Teorema de Tonelli)

Sea f : Rp Rq [0,+] una funcion medible, no negativa. Entoncesa) Las funciones fx son c.p.t. x medibles. Analogamente las funciones f y.b) La funcion x Rq fx es medible. Analogamente la funcion y Rp f y.c) Se cumple RpRq f = Rp Rq fx = Rq Rp f y.


Demostracion. El teorema anterior es equivalente a decir que el teorema es valido para fu

Anali-IV - Joaquin Ortega

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