Teori Himpunan

Author-IKN

9/8/151

MUG2B3/ Logika Matematika

Jenis Himpunan

Relasi Himpunan

Operasi Himpunan

Hukum-Hukum Operasi Himpunan

Representasi Komputer untuk Himpunan

2 9/8/15

Materi

MUG2B3/ Logika Matematika

Himpunan– Sekumpulan elemen unik, terpisah, dan tanpa urutan

tertentu.

– contoh: himpunan mahasiswa IK

Notasi– x D artinya “x adalah elemen himpunan D”

– x D artinya “x bukan elemen himpunan D”

3 9/8/15

Teori Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Enumerasi/eksplisit– Contoh: D = {a,b,c,d}

Implisit– Contoh: D = {1,2,3,…}

Notasi Baku– N = himpunan bilangan asli

– Z = himpunan bilangan bulat

– Q = himpunan bilangan rasional

– R = himpunan bilangan real

– C = himpunan bilangan kompleks

4 9/8/15

Representasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Notasi pembentuk himpunan– Contoh: D = {x|x Z, 0<x<10}

Diagram Venn

5 9/8/15

Representasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Definisi– Kardinalitas (bilangan kardinal) dari sebuah himpunan

adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut.

– Kardinalitas himpunan A dinotasikan |A|

Contoh:– Jika A = {a,b,c,d}, maka |A| = 4

– Jika N = {x|x2 – 8x + 12 = 0}, maka |N| = 2

6 9/8/15

Kardinalitas

MUG2B3/ Logika Matematika

Himpunan Semesta (Universal)– Himpunan yang anggotanya merupakan semua objek

yang mungkin ada.

– Dinotasikan dengan S atau U

Himpunan Kosong (Null Set)– Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki

elemen.

– Dinotasikan dengan {} atau

– Contoh: F = {x|x < x}

7 9/8/15

Relasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Himpunan Bagian (Subset)– A dikatakan himpunan bagian (subset) dari B jika hanya

jika setiap anggota A merupakan anggota B dan dilambangkan dengan A B.

– Contoh: Himpunan B = {c,d} merupakan himpunan bagian dari

himpunan A = {a,b,c,d}.

8 9/8/15

Relasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Himpunan Sama– Himpunan A dan B dikatakan sama dan dinotasikan A = B,

jika dan hanya jika A B dan B A.

– Contoh: Himpunan A = {a,b,c,d} dan B = {b,c,a,d} adalah himpunan

yang sama

9 9/8/15

Relasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Himpunan Bagian Sejati (Proper Subset)– Himpunan A dikatakan himpunan bagian sejati (proper

subset) dari B jika A B dan minimal ada satu anggota B yang bukan anggota A, biasa ditulis A B.

– Contoh: Himpunan A = {c,d} merupakan himpunan bagian dari

himpunan B = {a,b,c,d}.

10 9/8/15

Relasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Himpunan Kuasa (Power Set)– Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang

memuat semua himpunan bagian S.

– Himpunan kuasa S dinotasikan sebagai P(S).

– Contoh: Himpunan A = {a,1,2} memiliki himpunan bagian : ,

{a},{1},{2},{a,1},{a,2},{1,2},{a,1,2}

Maka P(A) = {,{a},{1},{2},{a,1},{a,2},{1,2},{a,1,2}}

– Kardinalitas untuk himpunan kuasa P(S) adalah |P(S)| = 2|S|

11 9/8/15

Relasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Himpunan Berpotongan– Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya

jika ada elemen A yang menjadi elemen B.

– Contoh: A = {x|x2 – 8x + 12 = 0} dan B = {x|x2 – 4 = 0} berpotongan

P = {x|x2 – 8x + 12 = 0} dan Q = {1,3,5} tidak berpotongan

12 9/8/15

Relasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Himpunan Saling Lepas– Himpunan A dan B dikatakan saling lepas dan dinotasikan

A||B jika dan hanya jika kedua himpunan tidak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama

– Contoh: A = {x|x2 – 8x + 12 = 0} dan B = {x|x2 – 4 = 0} tidak saling

lepas

P = {x|x2 – 8x + 12 = 0} dan Q = {1,3,5} saling lepas

13 9/8/15

Relasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Himpunan Ekivalen– Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jika

hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut sama

– Contoh: Himpunan A = {1,2,3,4} dan B = {a,b,c,d} adalah himpunan

ekivalen

Himpunan P = {a,b,c} dan Q = {p,q,r,s} adalah himpunan tak ekivalen

14 9/8/15

Relasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Gabungan (Union)– Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua

elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya.

– Secara notasi dapat ditulis

A B = {x|x A ∨ x B}

– Contoh: Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka P

Q = {a,b,c,d,e,f}

– A B dan B A merupakan dua himpunan yang sama.

– Kedua himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A B.

15 9/8/15

Operasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Irisan (Intersection)– Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen

persekutuan dari himpunan A dan B.

– Secara notasi dapat ditulis

A B = {x|x A ∧ x B}

– Contoh: Jika P = {a,b,c} dan Q = {1,2}, maka P Q = .

Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka P Q = {c,d}

– A B dan B A merupakan dua himpunan yang sama.

– Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A B.

16 9/8/15

Operasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Komplemen– Komplemen suatu himpunan A adalah himpunan semua

elemen dalam semesta yang bukan elemen A.

– Secara notasi dapat ditulis

Ac = {x|x S ∧ x A}

– Contoh: Jika P = {a,b,c} dan S= {a,b,c,d,e,f,g}, maka Pc ={d,e,f,g}

– A Ac = S dan A Ac =

– Sc = dan c = S

– (Ac) c = A

17 9/8/15

Operasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Selisih (Difference)– Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen

A yang bukan elemen B.

– Secara notasi dapat ditulis A – B atau A/B

A – B = {x|x A ∧ x B}

– Contoh: Jika P = {a,b,c} dan Q= {1,2}, maka P – Q = P

Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka P – Q = {a,b}

– A – B dan A Bc merupakan himpunan yang sama.

18 9/8/15

Operasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Selisih Simetris (Symmetric Difference)– Perbedaan simetris himpunan A dan B adalah himpunan

yang elemennya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.

– Secara notasi dapat ditulis

A B = {x|(x A ∨ x B) ∧ (x (A B))}

– Contoh: Jika P = {2,4,6} dan Q= {2,3,5}, maka P Q = {3,4,5,6}

19 9/8/15

Operasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Gabungan– A B

Irisan– A B

21 9/8/15

Diagram Venn

MUG2B3/ Logika Matematika

Komplemen– Ac

Selisih– A – B

22 9/8/15

Diagram Venn

MUG2B3/ Logika Matematika

Perbedaan Simetri– A B

23 9/8/15

Diagram Venn

MUG2B3/ Logika Matematika

Misalkan himpunan semesta S = {1,2,3,…,10}, A = {2,4,7,9}, B = {1,4,6,7,10}, dan C = {3,5,7,9}. Tentukan himpunan hasil operasi, serta gambar diagram Venn-nya.

24 9/8/15

Latihan Soal

MUG2B3/ Logika Matematika

Diketahui himpunan A = {a,b,1,2,3}, B = {a,2,4,5}– Tentukan A B, A B, A – B, B – A, A B.

– Hitunglah |A|, |B|, |A B|, |A B|.

– Tentukan himpunan P(A B) dan P(A) P(B).

25 9/8/15

Latihan Soal

MUG2B3/ Logika Matematika

Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orang memiliki radio, 18 orang memiliki TV, 39 orang memiliki tape, 10 orang memiliki radio dan TV, 12 orang memiliki TV dan tape, 30 orang memiliki radio dan tape, dan 6 orang memiliki ketiganya.– Berapa orang yang hanya memiliki tape?

– Berapa orang yang tidak memiliki satupun?

– Berapa orang yang memiliki radio dan TV tapi tidak memiliki tape

– Berapa orang yang hanya memiliki satu macam saja?

26 9/8/15

Latihan Soal

MUG2B3/ Logika Matematika

Hukum Komutatif– A B = B A

– A B = B A

Hukum Asosiatif– (A B) C = A (B C)

– (A B) C = A (B C)

Hukum Distributif– A (B C) = (A B) (A C)

– A (B C) = (A B) (A C)

27 9/8/15

Hukum-Hukum Operasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Hukum Identitas– A = A

– A S = A

Hukum Komplemen– A Ac = S

– A Ac =

Hukum Dobel Komplemen– (Ac)c = A

28 9/8/15

Hukum-Hukum Operasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Hukum Idempotent– A A = A

– A A = A

Hukum Dominasi– A S = S

– A =

Hukum De Morgan– (A B)c = Ac Bc

– (A B)c = Ac Bc

29 9/8/15

Hukum-hukum Operasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Hukum Penyerapan/ Absorpsi– A (A B) = A

– A (A B) = A

Komplemen S dan – Sc = – c = S

Hukum Selisih Himpunan– A – B = A Bc

30 9/8/15

Hukum-Hukum Operasi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Pembuktian dengan Diagram Venn– Tunjukkan bahwa A (B C) = (A B) (A C)

31 9/8/15

Pembuktian Prosisi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Pembuktian dengan Tabel Keanggotaan– Tunjukkan bahwa A (B C) = (A B) (A C)

32 9/8/15

Pembuktian Prosisi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Pembuktian dengan Aljabar Himpunan– Tunjukkan bahwa (A (B C))c = (Cc Bc) Ac

(A (B C))c = Ac (B C)c (hukum De Morgan)

= Ac (Bc Cc) (hukum De Morgan)

= (Bc Cc) Ac (hukum komutatif)

= (Cc Bc) Ac (hukum komutatif)

33 9/8/15

Pembuktian Prosisi Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Buktikan hukum De Morgan dengan menggunakan tabel keanggotaan

34 9/8/15

Latihan Soal

MUG2B3/ Logika Matematika

Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasi dalam sebuah komputer?

Himpunan didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu pada sebuah himpunan semesta S.

Dalam konteks ini terdapat pengecualian terhadap aturan umum mengenai urutan elemen.

35 9/8/15

Representasi Komputer untuk Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Himpunan A direpresentasikan dengan sebuah string n bits, {b1 b2 … bn}, dimana n adalah bilangan kardinal dari S.

Aturan pengisian nilai– bi = 1 jika elemen ke-i dari S berada dalam A

– bi = 0 jika elemen ke-i dari S tidak berada dalam A

36 9/8/15

Representasi Komputer untuk Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}– Tentukan representasi dari {2,3,5,7} sebagai sebuah bit

string.

– Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string 1001011011.

Jawaban:– 0110101000

– {1,4,6,7,9,10}

37 9/8/15

Representasi Komputer untuk Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Operasi– Irisan, gabungan dan komplemen dapat dinyatakan dalam

bit string.

Proses perhitungan– Operasi untuk mendapatkan bit string dari A B disebut

operasi bitwise and.

– Operasi untuk mendapatkan bit string dari A B disebut operasi bitwise or.

– Operasi untuk mendapatkan bit string dari Ac disebut operasi bitwise not.

38 9/8/15

Representasi Komputer untuk Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

Contoh– Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bit

string untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bit string untuk: A B, A B, dan Ac.

Jawab– A B = 00100100

– A B = 10101111

– Ac = 11010001

39 9/8/15

Representasi Komputer untuk Himpunan

MUG2B3/ Logika Matematika

40 9/8/15

Latihan

MUG2B3/ Logika Matematika

41 9/8/15

Latihan

MUG2B3/ Logika Matematika

42 9/8/15

Latihan

MUG2B3/ Logika Matematika

43 9/8/15

Latihan

MUG2B3/ Logika Matematika

44 9/8/15

Latihan

MUG2B3/ Logika Matematika

45 9/8/15

Latihan

MUG2B3/ Logika Matematika

46 9/8/15

Latihan

MUG2B3/ Logika Matematika

47 9/8/15

Latihan

MUG2B3/ Logika Matematika

THANK YOU489/8/15