LOS NUMEROS COMPLEJOS

Presentado por:Andres Felipe Chates Lasso

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Definición

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x,  y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno.

¿Cómo y dónde surgen los números complejos?

Los Números Complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos.El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss cuyo trabajo fue de importancia básica en algebra; también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

Operaciones con números complejosEn el conjunto de los números complejos se definen las siguientes operaciones:• Suma(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)Ejemplo:(2,3)+(1,-4) = (2+1 , 3+(-4)) = (3,-1)

• Producto por escalarr(a,b) = (r*a,r*b)Ejemplo:5(2,3) = (5*2 , 5*3) = (10,15)

• Multiplicación(a,b)*(c,d) = (ac-bd,ad+bc)Ejemplo:(1,5)*(3,6) = (1*3-5*6 , 1*6 + 5*3) = (3-30,6+15)=(-27,21)

• Igualdad(a,b) = (c,d) ↔ a=c ˰ b=dEjemplo:(1,5) = (1,5)

• Resta(a,b)-(c,d) = (a-c,b-d)Ejemplo:(1,5)-(3,6) = (1-3,5-6) = (-2,-1)

• División

Ejemplo: = =

¿Qué es la unidad imaginaria?

La unidad imaginaria es el número √-1 o (0,1) y se designa por la letra i. i=Demostración:

= -1Sacando raíz cuadrada a ambos lados, eliminamos la raíz y el cuadrado de la i = i =

=

√−1

Forma polar y trigonométrica de un número complejo

En esta representación, r es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumentodel número complejo.Por trigonometría: = ; = Cos = ; Sen = x = r Cos y = r Sen

Despejamos x y y de las expresiones anteriores en la representación binomial:z= x+iy z= r Cos +i (r Sen forma trigonométrica.Sacando factor común:z= r (Cos + i Sen )Según la fórmula de Euler, vemos que:= Cos + i Sen z= r * () siendo ésta la representación polar del punto en el gráfico.

Representación de los números complejos en un sistema de ejes cartesiano.

• El eje X se llama eje real.• El eje Y se llama eje

imaginario.• El número complejo x + yi se

representa:1. Por el punto (x, y), que se llama su afijo. En el ejemplo el afijo es (z = 4+4i)2. Por un vector de origen(0,0) y extremo (x,y) representado con la flecha azul en el gráfico.

Ejemplos ecuaciones cuya solución son números complejos

Resolver:a) Utilizando la fórmula cuadrática:Donde: a=1, b=1, c=2

Como entonces: = =

b) = =

c) = =

d) = =

e) = =