UACH Kinesiologia Fisica 1.5 Torque y Palanca

Física en la Kinesiología1.5 Torque y Palanca

Teoría

Dr. Willy H. Gerber

Instituto de Física,Universidad Austral, Valdivia, Chile

12.09.2009

W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.5 Torque y Palanca - Teoría 12.09.2009 1 / 40

Generación de Rotación

Hasta ahora hemos visto como la Fuerza origina Traslaciónpero no hemos analizado como se genera Rotación. Por elloveremos

▶ Centro de Masa▶ Fuerza sobre un Objeto▶ El Equilibrio▶ El Torque


Centro de Masa I

Si observamos un Cuerpoque se sostiene desde unPunto, veremos quetenemos que balancearlobien para evitar que ruedeen una o la otra dirección.Concluimos que existe unpunto desde el cualpodemos equilibrar elcuerpo no presentandorotación alguna.

Este Punto se denominaCentro de Masa.


Centro de Masa II

Para determinar el punto deequilibrio podemos balancear elcuerpo en cada uno de sus ejes.

Si lo orientamos de una forma yencontramos la Posición en quese mantiene en equilibriohabremos identificado una rectaimaginaria sobre el cual seencuentra el Centro de Masa.


Centro de Masa III

Una vez se ha determinado uno de las coordenadas del Centrode Masa se rota el objeto y busca la próxima coordenada delCentro de Masa.


Centro de Masa IV

De esta forma se determina un Punto que denominamosCentro de Masa/


Centro de Masa V

Cuando arrojamos un objeto observaremos que se desplazagirando en torno de su Centro de Masa:


Fuerza sobre un Objeto

F⃗

F⃗⊥

F⃗∥

CM

PA bc

bc

De la discusión anterior seconcluye que toda Fuerza F⃗ sepuede descomponer en dospartes. Una primera F⃗∥ a lo largode la linea que une el Punto deAtaque (PA) al Centro de Masa(CM) del Cuerpo. La segundacomponente es perpendicular F⃗⊥

a la linea que une el Punto deAtaque con el Centro de Masa.

La primera origina la Traslacióndel Cuerpo mientras que lasegunda su Rotación.


El Equilibrio I

Si recordamos nuestra infancia en que jugábamos conbalancines sabemos que una de las formas de inclinar lo hacianuestro lado ere ’echándose para atrás’.


El Equilibrio II

d1

d2F1

F2

F1⊥

F2⊥

�

�

�

bc

bc

bc

Si analizamos el caso del Balancínveremos que si este tiene unainclinación de � en en cadaextremo de largos d1 y d2 seaplican Fuerzas F1 y F2 existiránfuerzas perpendiculares F1⊥ y F2⊥

que lo trataran de rotar.

La Fuerza F1⊥ trata de girar elbalancín en el sentido contrario almovimiento del reloj mientras quela fuerza F2⊥ lo hace en el sentidopositivo.


El Torque

T⃗

r⃗

F⃗F⃗⊥

bc

bc

Experimentado uno encuentra queel sistema esta en equilibrio y norota si

F1⊥d1 = F2⊥d2 (1)

Por ello se define como Torque

T = rF⊥ (2)

o en forma vectorial

T⃗ = r⃗ × F⃗ (3)

con r la distancia entre el Centrode Masa y el Punto de Ataque.


Torque

Mediante el Torque podemos calcular y explicamos una seriede comportamientos:

▶ Centro de Masa▶ Equilibrio▶ Rotación


Centro de Masa I

m1

m2r⃗1

r⃗2

r⃗CM

bc

bc

bc

bc

Si tenemos varias masas mi cadauna estará sujeta a una fuerzagravitacional

Fi = mig (4)

generando un torque igual a

Ti = rimig (5)

donde ri es la distancia horizontalde la masa i al Punto de Apoyo. EtTorque total sera

T =∑

i

Ti (6)


Centro de Masa II

Si rCM es la Posición del Centro deMasa, el Torque total en torno deesta Punto

TCM =∑

i

Ti =∑

i

(ri−rCM)mig = 0

debe ser cero. De esta ecuaciónpodemos despejar el Centro deMasa obteniendo

rCM =

∑i miri∑i mi

(7)

Con esta ecuacion podemoscalcular por ejemplo el Centro deMasa de nuestro Cuerpo.


Centro de Masa III

Si deseamos correr en una carrerapor lo general bajamos nuestrocuerpo en función de tener unbuen apoyo con los pies paraimpulsarnos. Sin embargotendemos a mantener nuestroCentro de Masa en alto parareducir la Energía necesaria paraelevarlo a la posición en que seencuentra cuando corremos.


Centro de Masa IV

Si desplazamos nuestro cuerpohacia un lado estamos moviendoproporcionalmente el Centro deMasa en la misma dirección. Sinembargo notamos que tendemosa tener cuidado con este tipo demovimiento ’apuntalando’ con losPies. Si no lo hacemos perdemosel Equilibrio lo que veremos acontinuación.


Equilibrio I

bcbc

bc bc

Si el Centro de Masa no estaexactamente sobre el Punto deApoyo, el Torque sobre este puededesestabilizar la Posición a menosque exista un Torque que actué encontra y anule este. Si lovisualizamos en un rectángulo,esto significa que mientras elCentro de Masa este al ladoizquierdo del Punto de giro elTorque generado por la Gravedadlo volverá a enderezar. Sisobrepasa dicho punto caerá.


Equilibrio II

En nuestro caso, el canto delRectángulo equivale a lo que sonlos dedos de los Pies y el Talón,Podemos desplazarnos en lamedida que nuestro Centro deMasa no sobrepase el Punto deApoyo. Si requerimos desplazarlomas aya de lo que nuestra posturahabitual, deberemos desplazarnuestros Pies de modo de crear elSoporte.


Equilibrio III

De esta forma se explica el usodel bastón. Introduce un puntolejano de apoyo que permite crearestabilidad adicional. Esto enparticular si la persona tienedificultad de coordinar susmovimientos por lo que errores enel desplazamiento, que podríanfácilmente llevar a unadesestabilizacion, pueden serevitados ya que existe un muchomayor rango movimientostolerantes al error.


El Musculo I

El Musculo básicamente es ungenerador de Torque que permitemover cada uno de nuestrosmiembros y para soportarFuerzas. Un ejemplo es nuestrobiceps que por un lado soporta elpeso del antebrazo y el Peso decualquier objeto que sostenga.

Como ejemplo podemos calcularla Fuerza que debe soportar unMusculo que ataca a r = 2,5 cm delcodo, para soportar la masa delBrazo M = 1,5 kg que ataca a unadistancia D = 17 cm y la masa dem = 500 g a una distanciad = 40 cm.W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.5 Torque y Palanca - Teoría 12.09.2009 20 / 40

El Musculo II

mg

Mg

F

r

D

d

bc bcbcbc

Para que podamos sujetar unObjeto y mantener el brazo enforma horizontal deberemosigualar con el Musculo el Torquegenerado por la masa del Brazo ydel Objeto, esto es

rF = DMg + dmg = (DM + md)g

Con ello la Fuerza del Musculosera

F =(DM + md)

rg

que para el caso descrito arrojaría178,4 N lo que equivale a sujetaruna masa de 18,2 kg.


Palanca I

La relación entre las fuerzas y brazos (1) se denominan la Leyde Palanca y permiten calcular el factor con que amplificamosuna Fuerza en función de actuar con un Brazo de mayor largo.Si d2 > d1 podemos con una fuerza menor F⊥2 generar unaFuerza mayor igual a

F1⊥ =d2

d1F2⊥ (8)

donde d2/d1 es el factor de amplificación.W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.5 Torque y Palanca - Teoría 12.09.2009 22 / 40

Palanca II

Un ejemplo de la ley de palancaes el alicate.

Si el mango del alicate tiene unlargo de d2 = 12 cm y la parte de latensas es de d1 = 1,5 cm el factorde amplificación es de

d2

d1=

12 cm1,5 cm

= 8

Eso significa que si aplicamos unafuerza de 10 N se obtendrá unaFuerza de 80 N.


Ecuación de Movimiento

Mediante el Torque podemos calcular y explicamos una seriede comportamientos:

▶ Fuerza y Torque▶ Momento Angular▶ Leyes de Newton▶ Energía de Rotación▶ Momento de Inercia


Fuerza y Torque

Como hemos visto el Torquecumple el rol de la Fuerza para elcaso de la Rotación:

F ←→ T

Para establecer las ecuaciones demovimiento podemos recordar laforma como se definió la Fuerzaen función del Momento

F =ΔpΔt

(9)

Por ello debemos definir primero loque equivale al Momento para elcaso de la Rotación.


Momento Angular

El Momento se definió como elProducto de la Masa Inercia con laVelocidad:

p = m� (10)

El análogo a la Velocidad � en elcaso de la Rotación es laVelocidad Angular !, por ello elequivalente al Momento deberáser un Momento Angular de laforma:

L = I! (11)

donde I se denomina el Momentode Inercia y equivale a la Masa m.


Leyes de Newton I

Por ello el Torque promedio sera

T =ΔLΔt

(12)

y el Torque instantáneo

T = limt→0ΔLΔt

=dLdt

(13)

que equivale a la Segunda Ley deNewton para el caso de laRotación.


Leyes de Newton II

En el caso de que el Momento deInercia sea constante

T =ΔLΔt

= IΔ!

Δt= I� (14)

con � la Aceleración Angular. Estarelación es el equivalente de lasegunda Ley de Newton (F = ma).De esta forma, si se conoce elTorque y el Momento de Inercia,se puede calcular la AceleraciónAngular

� =TI

(15)

y con ello el Movimiento delSistema.


Leyes de Newton III

Uso de Acción-Reacción

De la segunda Ley se concluyeque, de la misma forma que en laTraslación, si no se aplica Torquela Velocidad Angular seraconstante que corresponde a laprimera Ley de Newton

T = 0 −→ ! = cte (16)

En forma análoga a todo TorqueAcción (TA) existe un Torque deReacción (TR) de igual magnitud ydirección opuesta:

TR = −TA (17)

lo que emplea el Gato.W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.5 Torque y Palanca - Teoría 12.09.2009 29 / 40

Energía de Rotación

Con la analogía entre rotación ytraslación podemos proponer unarelación para la Energía Cinéticade un cuerpo que rota. Como laEnergía Cinética en el caso de latraslación es

T =12

m�2 (18)

por lo que tendrá que ser

T =12

I!2 (19)

Sin embargo aun no hemosexplicado como podemos calcularla Momento de Inercia I.


Momento de Inercia I

�

rmbc

bc

Si una masa m gira en torno a uneje con velocidad tangencial � laEnergía Cinética es

T =12

m�2

Dado que la Velocidad Tangenciales

� = r!

tenemos que la Energía Cinéticaes

T =12

m�2 =12

mr2!2 (20)


Momento de Inercia II

El patinador modifica suMomento de Inercia

Comparando (19) y (20) se ve queel Momento de Inercia es

I = mr2 (21)

para una Masa Puntual m que giraa una distancia r del Eje. Cualquiercuerpo podemos visualizarlo comola suma de muchas masaspequeños mi cada una a unadistancia distinta ri del eje. En esecaso el Momento de Inercia sera

I =∑

i

mir2i (22)


Anexos

▶ Momentos de Inercia▶ Unidades▶ Conversiones▶ Bibliografia▶ Contacto


Momentos de Inercia I


Momentos de Inercia II


Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m, cm, mm, �mT Tiempo s, min, hrsM Masa kg% Porcentaje −

Simbolo Tipo EjemplosL2 Área, Superficie m2, cm2

L3 Volumen m3, cm3

M/L3 Densidad kg/m3, g/cm3


Conversiones I

1�m = 10−6 m 1 nm = 10−9 m 1 nm3 = 10−9 m3

1 mm = 10−3 m 1 nm2 = 10−18 m2 1�m3 = 10−18 m1 cm = 10−2 m 1�m = 10−12 m 1 mm3 = 10−9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10−6 m2 1 cm3 = 10−6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10−4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 �m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 �m3

1 m2 = 10+12 �m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10−3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10−4 ha


Conversiones II

1 g/cm3 = 10+3 kg/m3 1 s = 1,67× 10−2min1 kg/m3 = 10−3 g/cm3 1 s = 2,78× 10−4hr

1 s = 1,16× 10−5dias1 m/s = 3,6 km/hr 1 s = 3,17× 10−8aos1 km/hr = 0,278 m/s 1 ao = 3,15× 10+7s

1 dia = 8,64× 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s


Bibliografia I

Textos recomendados. En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro.

Introduction to Kinesiology: Studying Physical Activity, S.J.Hoffman (Editor), Human Kinetics Publishers, 2008,ISBN-13: 9780736076135↪→ Leer en Google Books


http://books.google.com/books?id=EfEaLLKx-ZkC&pg=PA9&lr=#v=onepage&q=kinesiology%20physics&f=true

Contacto

Dr. Willy H. [email protected]

Instituto de FísicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia, Chile+(56) 63 221125

Set del Curso:http://www.gphysics.net/physics-in-kinesiology-uach


mailto:[email protected]

http://www.gphysics.net/physics-in-kinesiology-uach

UACH Kinesiologia Fisica 1.5 Torque y Palanca

Education

Transcript of UACH Kinesiologia Fisica 1.5 Torque y Palanca