UACH Kinesiologia Fisica 1.1 Modelamiento

Física en la Kinesiología1.1 Modelamiento

Teoría

Dr. Willy H. Gerber

Instituto de Física,Universidad Austral, Valdivia, Chile

14.08.2009

W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.1 Modelamiento - Teoría 14.08.2009 1 / 53

El Método Científico

J.S. Mill(1806-1873)

La Ciencia trabaja hoy mediante elllamado "Método Científico"que sedebe en gran medida a JohnStuart Mill.

El Método se basa en caracterizarel Problema, establecer unaHipótesis de Trabajo, realizarPredicciones y Verificar estasexperimentalmente [1].


Los Pasos a seguir

En detalle:▶ Caracterización del Problema - Se le debe estudiar

realizando las mediciones necesarias que permitanconocer las Variables que participan y como estas serelacionan.

▶ La Hipótesis de Trabajo - Se establecen mecanismos ysus Leyes asociadas que pretenden describir comofunciona el Sistema en Estudio.

▶ Teoría y Predicciones - De los Mecanismos descritos yde las Leyes enunciadas se pronostican comportamientosque puedan ser observados y medidos.

▶ La Verificación Experimental - Se procede a verificarque el pronostico obtenido de la Teoría concuerda con laMedición obtenida de los Experimentos de verificación.


Caracterización del Problema

Medición

Bajo Caracterización del Problemase entiende

▶ La identificación de lasConstantes y Variables que lodescriben.

▶ La especificación de la formaen que se pueden medirdichas Constantes yVariables.

▶ Su medición, mostrandoposibles interrelaciones entredistintas Variables yConstantes.


Ejemplo de Problema

Max Kleiber(1893-1976)

Max Kleiber descubrió en 1932que en Organismos, desde laescala celular hasta le de losgrandes Mamíferos, el Fluo deCalor ΔQ/Δt y la Masa M corporalse relacionaban según la relación

ΔQΔt

∝ M3/4 = M0,75 (Ley de Kleiber)

La pregunta es porque se da estarelación y porque esindependiente de la especie y deltamaño característico de esta.


La Hipótesis de Trabajo

Hipótesis de Copernico:el Sol esta en el centro

del Sistema Solar

Las Hipótesis son por lo general:

▶ Afirmaciones no triviales queexplican lo observado enfunción de un Mecanismo oCausa.

▶ Inferidas (=adivinadas) y nodeducibles de lasObservaciones del Problema.

▶ Extensibles a otros Problemaspronosticandocomportamientos aun noobservados/medidos.


Ejemplo de Hipótesis

Si continuamos con el Ejemplo de la Ley de Kleiber, podemosestablecer un Mecanismo como Hipótesis de Trabajo. Estapodría ser que:

▶ todo Organismo genera Calor▶ el Calor debe ser disipado para mantener una

temperatura constante▶ la disipación ocurre por la Superficie▶ la limitación en Superficie se relaciona al Volumen▶ el Volumen se asocia a la Masa

Por ello la Limitación en la Disipación de Calor lleva a unaRelación entre Calor Disipado y Masa del Organismo.


Teoría y Predicciones

La Teoría se expresamediante matemática

La Hipótesis permite establecerrelaciones matemáticas entre lasVariables y Constantes. En base aestas, y otras leyes antesaceptadas, es posible pronosticarel Comportamiento de losSistemas modelados.

Se aplican inicialmente alProblema para el cual se formulola Hipotiposis y se extiende luegoa otros Problemas.


Ejemplo de Predicciones I

Las Hipótesis del Ejemplo de la Ley de Kleiber nos llevan a lassiguientes Teoría:

▶ todo Organismo genera Calor :

CalorTiempo

=ΔQΔt

▶ el Calor debe ser disipado para mantener unatemperatura constante

▶ la disipación ocurre por la Superficie :

ΔQΔt

∝ S

▶ el Volumen se asocia a la Masa:

V ∝ M


Ejemplo de Predicciones II

▶ la limitación en Superficie se relaciona al Volumen . Si seintroduce un largo característico del Organismo L, laSuperficie sera:

S ∝ L2

mientras que el Volumen sera:

V ∝ L3

En otras palabras sera:

S ∝ V2/3

En otras palabras

ΔQΔt

∝ S ∝ V2/3∝ M2/3


La Verificación Experimental

Comparación dePronostico con Medición

La Verificación de que elPronostico calculado concuerdecon los Valores medidos es unrequisito básico para que laHipótesis pueda sostenerse. Noconstituye prueba de la validez dela Hipótesis. De hecho no existe laposibilidad de probar unaHipótesis. Esta es consideradavalida mientras no exista un Casoen que el Pronostico discrepe conla Situación medida.


Ejemplo de Verificación

En el Ejemplo de la Ley de Kleiber la relación empírica es

ΔQΔt

∝ M3/4 = M0,75 (Ley de Kleiber)

mientras que la teoría nos esta dando

ΔQΔt

∝ M2/3 = M0,66

que es similar pero no idéntico. Concluimos que la Hipótesisnos da un comportamiento similar pero no idéntico por lo queaun debe contener errores. Por ello se empelara pero equiposde científicos continuaran buscando una mejor explicación queentregue una Ecuación mas similar a los valores medidos.


Nuevo Ejemplo de Hipótesis I

Comparación dePronostico con Medición

En 1997 un grupo de Biólogos yFísicos propusieron una nuevaHipótesis que generaliza laanterior. Ellos indicaron que nosolo existía el problema del calor,también había que considerar untema mas general que es elTransporte. Nuestro cuerpo, aligual que en otras criaturas,regulamos nuestra temperaturamediante la Sangre. En formasimilar distribuimos Nutrientes yOxígenos y eliminamos desechos.


Nuevo Ejemplo de Hipótesis II

La nueva Hipótesis se puede resumir en los siguientes puntos:▶ todo Organismo emplea redes para Transportar

elementos que necesita para vivir▶ el calor Disipado va a ser proporcional al numero de

canales▶ las redes tienen estructura de fractales , van generando

copias de copias▶ el numero de canales va creciendo tanto por efecto del

Volumen como por el Largo del canal en si▶ el Volumen se asocia a la Masa

Por ello la Limitación en los mecanismos de Transportecondicionan la Disipación de Calor y lleva a una Relación entreCalor Disipado y Masa del Organismo.


Nuevo Ejemplo de Predicciones I

Las nuevas Hipótesis del Ejemplo de la Ley de Kleiber nosllevan a las siguientes Teoría:

▶ todo Organismo genera Calor :

CalorTiempo

=ΔQΔt

▶ el Calor debe ser disipado para mantener unatemperatura constante

▶ la disipación ocurre en función de los Canales :

ΔQΔt

∝ N


Nuevo Ejemplo de Predicciones II

▶ si se introduce un largo característico del Organismo L, elVolumen sera:

V ∝ L3

▶ la limitación en Transporte se relaciona al numero deCanales . El numero de Canales es proporcional alVolumen y al largo de estos:

N ∝ L3L

En otras palabras

ΔQΔt

∝ L3∝ V3/4

∝ M3/4


Revoluciones Científicas

Thomas Kuhn(1922-1996)

El ejemplo recién descrito muestracomo las Hipótesis van surgiendoy son reemplazadas por otras quereflejan mejor lo observado. SegúnThomas Kuhn, cada nuevaHipótesis forma un nuevoParadigma mas poderoso quereemplaza el anterior cuando esteva perdiendo apoyo.En este caso en particular, elnuevo paradigma explica que esaplicable a todo ser con mas deuna capa de células pues requierede Transporte (Nutrientes,Oxigeno, Calor, etc.) parasobrevivir.


Describiendo el Mundo 1D

▶ La Posición▶ El Tiempo▶ La Función


Posición, el Origen

Una Posición se define como unadistancia respecto de algún puntode Referencia. Dicho Punto sedenomina Origen y se denotamuchas veces con una variablecon un subindice 0.

Un ejemplo podría ser x0.


Posición, la Distancia

La Posición se indica comoDistancia respecto de un Puntode Referencia o Origen.

La Distancia se mide en metros okilmetros y se indica mediante unaletra.

Un ejemplo podría ser x o s.


El Tiempo

La otra variable que necesitamoses el tiempo que se denota por logeneral con la letra t.

El tiempo lo medimos en segundos,minutos, horas o aos.


La Funcion

El problema es que no nosinteresa la Posición en un tiempoen particular. Debemos poderdescribir la Posición en todotiempo. Para ello se emplea uninstrumento matemático que sedenomina Función .

En nuestro caso x no es unaPosición, es la Función dePosición que nos indica paracualquier tiempo t la Posición enese instante. Esto se escribe de laforma:

x = x(t)


Como opera una Función

Una Función es como unamaquina, uno le entrega un valorde Tiempo t y ella nos entrega laPosición x para dicho Tiempo x(t).

A modo de ejemplo podemospreguntarle la Posición x(t)después de t = 20 seg. Dichapregunta se escribe como x(20 s) ynos entrega por ejemplo 1,2 m.Esto seria:

x(20 s) = 1,2 m

Una Función se puede representaren diversas formas.


Tabla de Valores

Una forma de representar laFunción es mediante Tablas deValores. En dicho caso uno debelocalizar el Tiempo t que busca yentregar la Posición xcorrespondiente. A modo deejemplo en la Tabla adjunta, sit = 5 s la Posición sera dex = 82,5 cm.

La principal dificultad de estemétodo radica en que paratiempos intermedios (ej. t = 5,25 s)es necesario interpolar.


Curva

El problema principal de la Tablade Valores se puede obviar enparte si los valores de la Posiciónson graficados para los Valoresposibles del Tiempo. Aun que en

este método es mas fácilinterpolar, de hecho cada lecturaes en si una estimación y losvalores determinados tienen unaexactitud limitada.


Ecuación

La forma mas elegante deexpresar una Función es medianteuna Ecuación. La Ecuación nospermite calcular cualquier valor deTiempo que deseemos con el nivelde presicion que se estime. Si la

Función por ejemplo fuera

x(t) = 5,0 + 0,125t2 en cm

se obtiene en forma directa que laPosición en t = 1,2 s es

x(1,2 s) = 5,0 + 0,125 ⋅ (1,2 s)2

= 5,18cm


Describiendo el Mundo 3D

▶ La Posición en 3D▶ Volúmenes en el Espacio▶ La Orientación del Volumen


El Origen en 3D

(x0, y0, z0)

x y

z

b

Para definir el Origen debemosintroducir un Sistema deReferencia .

El Sistema de Referencia es unSistema de Coordenadas .

El Origen es expresando como unPunto respecto de dicho Sistemade Referencia.

El Origen puede o no estar en elOrigen del Sistema de Referencia.


Simetría de Traslación

Si considero un espacio vacío (sinobjetos) puedo realizar unexperimento en dos puntosdistintos de este y el resultado vaa ser el mismo.

En este caso hablamos deinvariancia traslación .

Dado esto podemos concluir quelas leyes que derivemos seránvalidas aquí y en cualquier puntodel Universo. Ademas concluimos

que podemos elegir el Origen denuestro Sistema a voluntad.


La Posición en 3D

(x, y, z)

(x0, y0, z0)b

b

La Posición se describe por unVector que va del Origen (x0, y0, z0)al Punto (x, y, z), ambosexpresados en las Coordenadasdel Sistema de Referencia.

Mientras el Origen es fijo en eltiempo, el Punto (x, y, z) puedevariar en el tiempo y con ello ellargo y Orientación del Vector.

Para recordar dicha dependenciapodemos escribir que el Punto es(x(t), y(t), z(t))


Ejemplo de Sistema de Referencia

Uno de los implementousados en la practica delKinesiologo es la Jaulade Rocher.

Si se observa el enrejado sepuede ver que forma un verdaderoSistema de Referencia en que sepuede tomar como Origen una delas esquinas en el suelo de laJaula. La Profundidad puede sertomada como el Eje x, el Largocomo el Eje y y el Alto como el Ejez.

Con la ayuda de este Sistema deReferencia podemos describircualquier Posición de una Partedel Cuerpo del Paciente enfunción de Coordenadas biendefinidas.


Volumen en el Espacio

Hasta ahora describíamos unPunto en el Espacio. Cuandoqueremos describir un Cuerpo enel Espacio las tres Coordenadaspodrían no ser suficiente.

Si el Cuerpo es una Esfera laPosición sera suficiente pues elCuerpo es simétrico bajorotaciones.

Distinta es la Situación con unCubo. Si lo rotamos obtenemosdistintas situaciones. En este casola Posición no es suficiente.


Modelando el Cuerpo

�'

En este caso debemos definir unEje del Cuerpo.

Un Eje es un Vector deReferencia que esta fijo alCuerpo. Para efecto de describir laPosición es un Vector unitario osea su Largo es igual a la Unidad.


Modelando el Cuerpo

El Cuerpo Humano tiene dos tiposde Complejidades:

Forma : El Cuerpo no se puededescribir por un Cuerpogeométrico simple (ej. una Esfera).Es necesario segmentarlo en ungran numero de Elementosmenores.

Movimientos : El Cuerpo no es unelemento rígido, muestra una seriede Puntos en torno de los quepude rotar. Dicha Rotación puedeser en un Plano o en dos. Ademasexisten Puntos de Apoyo quesirven como Ejes de Rotación.


Modelando la Forma

El Modelamiento de la Forma secentra en la Identificación deCuerpos tales como:

▶ Cono▶ Elipsoide▶ Paralelepípedo Recto

En cada ocasión tenemos quedefinir la Posición del Centro, lasDimensiones y la Orientación deun Eje en particular.


Modelando las Articulaciones

Para poder estudiar la Movilidaddel Cuerpo es necesario describircorrectamente las Articulacionesde Este. Modelar una Pierna comoun Cilindro único no entregaría elcomportamiento correcto alcaminar. Por ello es necesariobuscar la geometría mas simpleposible que respete las principalesArticulaciones.


Ejemplo Pierna

En el caso de la Pierna, losPuntos claves son:

▶ M1: Base parrilla costal.▶ M2: Trocanter Mayor.▶ M3: Epicondilo lateral.▶ M4: Cabeza de la Fibula.▶ M5: Maleolo Lateral.▶ M6: Heel▶ M7: Cabeza 5th Metatarsiano.▶ M8: Toe


El Cono

x y

z

c

a

b

Por comodidad se puede asumirque la Posición del Cilindro sedescribe mediante la Posición delCentro Geométrico.

El Volumen del Cono esta dadopor

V =13�(a2 + ab + b2)h (1)

El Eje se supone siempre en laDirección z.


El Elipsoide

yx

z

2a2b

2c

La Posición del Elipsoide seasume en el Centro Geométrico.

El Volumen del Elipsoide estadado por

V =4�3

abc (2)



Paralelepípedo Recto

xy

z

a

c

b

La Posición del ParalelepípedoRecto se asume en el CentroGeométrico.

El Volumen del ParalelepípedoRecto esta dado por

V = abc (3)



Delimitaciones I

Brazo:Proximal: Centro de la articulación Glenohumeral. Punto mediode la masa palpable de la cabeza y tuberosidades del humero.Distal: Centro de la articulación de codo. Punto medio entre elepicondilo medial del humero y un punto a 8mm por sobre elradio (articulación radio-humeral)

Antebrazo:Proximal: Centro de la articulación de codo. Punto medio entreel epicondilo medial del humero y un punto a 8mm por sobre elradio (articulación radio-humeral)Distal: Centro de la articulación de muñeca. Pliegue distal demuñeca sobre el tendón del Palmaris Longus. O bien puntomedio de la línea trazada entre el extremo distal de laestiloides radial y el hueso pisiforme.


Delimitaciones II

Mano:Proximal: Centro de la articulación de muñeca. Pliegue distalde muñeca sobre el tendón del Palmaris Longus. O bien puntomedio de la línea trazada entre el extremo distal de laestiloides radial y el hueso pisiformeDistal: Centro de masa de la mano. Punto de intersección entrepliegue palmar transverso proximal y pliegue radial longitud enlínea con el tercer dedo.

Muslo:Proximal: Centro articular de cadera. Trocánter mayor, 1 cmanterior a la porción más lateral y prominente del trocántermayor.


Delimitaciones III

Distal: Punto medio entre centros de las convexidadesposteriores de los condilos femorales. Tubérculo lateral delcondilo lateral de fémur.

Pierna:Proximal: Punto medio entre centros de las convexidadesposteriores de los condilos femorales. Tubérculo lateral delcondilo lateral de fémur.Distal: Centro articulación de tobillo: nivel de la línea trazadaentre el ápice del maleolo fibular y 5mm distal del maleolo tibial.

Pie.Distal: Centro articulación de tobillo: nivel de la línea trazadaentre el ápice del maleolo fibular y 5mm distal del maleolo tibial


Delimitaciones IV

Proximal: Centro de masa del pie. En medio de la línea trazadaentre el centro articular de tobillo y la cabeza del segundometatarsiano.


Lista de Elementos I

Para modelar nuestro cuerpo se consideraran los Elementosque se indican a Continuación.

Elementos Numero FormaCabeza 1 ElipsoideCuello 1 ConoTorso 1 ConoBrazo 2 ConoAntebrazo 2 ConoMano 2 ParalelepípedoDedos 2 ParalelepípedoAbdomen 1 ConoCadera 1 Cono


Lista de Elementos II

Elementos Numero FormaMuslo 2 ConoPierna 2 ConoPies 2 ParalelepípedoDedos 2 Paralelepípedo

Este modelo es una simplificación que a lo menos se acerca ala geometría real y permite estudiar los movimientos generalesdel cuerpo. Para estudiar motricidad fina se deberá desarrollarun Modelo Geométrico similar con mayor detalle en la Zona aestudiar.


La Masa Total

El Volumen Total esta dado por laSuma de los Volumenesindiviuales

Vt =∑

k

Vk (4)

Si asumimos todos los Volumenestienen una Densidad pareja (porejemplo � = 1,04 g/cm3) se puedeestimar la masa directamentemultiplicando el Volumen total conla Densidad:

Mt = �Vt (5)


Anexos

▶ Unidades▶ Conversiones▶ Bibliografia▶ Contacto


Unidades

Simbolo Tipo EjemplosL Largo m, cm, mm, �mT Tiempo s, min, hrsM Masa kg% Porcentaje −

Simbolo Tipo EjemplosL2 Área, Superficie m2, cm2

L3 Volumen m3, cm3

M/L3 Densidad kg/m3, g/cm3


Conversiones I

1�m = 10−6 m 1 nm = 10−9 m 1 nm3 = 10−9 m3

1 mm = 10−3 m 1 nm2 = 10−18 m2 1�m3 = 10−18 m1 cm = 10−2 m 1�m = 10−12 m 1 mm3 = 10−9 m3

1 m = 10+2 cm 1 mm2 = 10−6 m2 1 cm3 = 10−6 m3

1 m = 10+3 mm 1 cm2 = 10−4 m2 1 m3 = 10+6 cm3

1 m = 10+6 �m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3

1 m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 �m3

1 m2 = 10+12 �m2 1 m3 = 10+27 nm3

1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10−3 m3

1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt1m2 = 10−4 ha


Conversiones II

1 g/cm3 = 10+3 kg/m3 1 s = 1,67 × 10−2min1 kg/m3 = 10−3 g/cm3 1 s = 2,78 × 10−4hr

1 s = 1,16 × 10−5dias1 m/s = 3,6 km/hr 1 s = 3,17 × 10−8aos1 km/hr = 0,278 m/s 1 ao = 3,15 × 10+7s

1 dia = 8,64 × 10+4s1 hr = 3600 s1 min = 60 s


Bibliografia I

Textos recomendados. En caso de links a Google Books setrata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro.Adicionalmente se indican libros disponibles en la BibliotecaUACH y/o en la Interna

J.S. Mill, A system of logic, ratioclinative and inductive;being a connected view of the principles of evidence andthe methods of scientific investigation. Harper Brothers,New York, 1859↪→ Bajar publicación (36.46 MB)

Kleiber M. Physiological Reviews 1947 27 511-541


http://literature.gphysics.net/general/A_system_of_logic_ratiocinative_and_ind.pdf

Contacto

Dr. Willy H. [email protected]

Instituto de FísicaUniversidad Austral de ChileCampus Isla TejaValdivia, Chile+(56) 63 221125


mailto:[email protected]

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