ESCUELA DE INGENIERIAS Y ADMINISTRACION

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

Introducción al Cálculo DiferencialPRIMER SEMESTRE 2015

Taller 1

PROFESORAYolvi Adriana Córdoba Buitrago

ESPECIALISTA EN EDUCACION MATEMATICA

SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES.

NÚMERO REALES.

Los conjuntos numéricos son los elementos iniciales con los cuales a los largo de la historia se ha hecho matemáticas. El primer conjunto numérico generado, a partir de la necesidad de hacer conteo, fue N0, (notación actual)

N0=N∪{0 } . A medida que evolucionó el pensamiento humano, se fueron concibiendo otros conjuntos numéricos como los siguientes:

N= {1,2,3,4 ,…} Z−={−1 ,−2 ,−3 ,−4 ,−5 ,…}Z={… ,−5 ,−4 ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3,4,5 ,…}

Q={ab ,a∈Z ,b∈Z ,b≠0}.

Una característica común para cada uno de los elementos de los conjuntos anteriores es que para cada uno de ellos se puede encontrar una expresión decimal (ver diagrama).

Los números racionales también son aquellos que pueden expresarse como la razón,

o cociente, de dos enteros, siendo el divisor un entero no cero. En consecuencia, un

número racional es aquel que puede expresarse en la forma ab

, donde a y b son

enteros y b no es cero (Establecido como b≠0). Los números 15,−27,23455

y 137 (−750 )

son ejemplos de números racionales.

Dado que cualquier entero a puede escribirse en forma de cociente a1

, todos los

enteros son demás números racionales. He aquí ejemplos: −5=−51

y54=541

. Se

Decimales

Finitos Infinitos

Periódicos

Puros Mixtos

No Periódico

s

considera que el cero es un entero (ni negativo ni positivo), y puede escribirse en

forma de cociente 0b=0 , b≠0.

Los números que poseen una expansión decimal infinita no periódica conforman el conjunto de los irracionales, denotado por la letra I

Los Números Irracionales son números reales que no pueden expresarse como la

razón de dos enteros. Números como π=3.14159265… (que es la razón de la

circunferencia de un círculo con su diámetro),

√2=1.4142…√3=1.7321… y √5=2.2361… son ejemplos de números irracionales.X

R: El conjunto de los números reales R, se forma a partir de la unión de los números racionales y

los números irracionales. R=Q∪I. Algunas características de los números reales son:

A cada punto sobre la recta real le corresponde un número real y viceversa (correspondencia biunívoca)

Entre dos números reales siempre es posible encontrar otro número real (densidad)

R es un conjunto ordenado.

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROS REALES:

Se llama sistema de los números reales a un conjunto no vacío R dotado de las operaciones llamadas adición y multiplicación, denotadas por (+) y (∙), que satisfacen los siguientes axiomas:

Operaciones

Axiomas Adición Multiplicación

Clausuratividad

∀ a ,b∈R , (a+b )∈ R ∀ a ,b∈R , (a⋅b )∈R

Conmutatividad ∀ a ,b∈R ,a+b=b+a ∀ a ,b∈R ,a⋅b=b⋅a

Asociatividad

∀ a ,b , c∈R , (a+b )+c=a+(b+c ) ∀ a ,b , c∈R , (a⋅b )⋅c=a⋅(b⋅c )

Elemento neutro

∃!0∈R∀ a∈R ,demod oquea+0=0+a=a

∃!1∈ R∀a∈R ,demod oquea⋅1=1⋅a=a

Elemento Simétrico

∀ a∈R ,∃! (−a)( opuesto)∈R , tal quea+(−a )=0

∀ a∈R ,excepto el 0 ,

∃!1a

∨a−1( inverso )∈R ,tal que

a⋅(1a )=1Distributivi

dad∀ a ,b , c∈R ,a⋅(b+c )=a⋅b+a⋅c

Axiomas de la igualdad

Dicotomía ∀ a ,b∈R ,a=b¿a≠bReflexividad ∀ a∈R ,a=aSimetría ∀ a ,b∈R ,a=b⇒b=aTransitividad ∀ a ,b , c∈R ,a=b∧b=c⇒a=cUniformidad respecto a la adición a=b⇒a+c=b+c ,∀ c∈ RUniformidad respecto a la multiplicación a=b⇒a⋅c=b⋅c ,∀ c∈R

Sustitución∀ a ,b∈R , si a=b ,entonces a puede ser sustituido por b en cualquier expresión sin que se altere el valor de la expresión.

El conjunto de los números reales puede representarse mediante una recta numérica

(Véase la Ilustración 2). La recta numérica tiene un punto cero, denominado origen,

que sirve para representar el número real 0. A cada punto de la recta numérica

corresponde un número real. La correspondencia escriba en que el número real

representado por un punto es igual a la distancia dirigida que se recorre al pasar el

origen a ese punto. Se considera que los movimientos de la izquierda a la derecha a lo

largo de la recta numérica se encuentran en una dirección positiva. Así, los puntos

situados a la derecha del origen corresponden a números reales positivos, y los

situados a la izquierda corresponden a números reales negativos. Obsérvese que a

cada número real corresponde un solo punto en la recta numérica.

Ilustración 2 −√3 √5

+5+4+3+2+10-1-2-3-4-5

ORDEN: Los números reales distintos de cero se separan en forma adecuada en dos conjuntos ajenos – los números reales positivos y los números reales negativos. Esto nos permite introducir la relación de orden

< (se lee: “es menor que”) mediante x< y ⇔ y−x es positivo , de otra

manera se puede ver como x< y ⇔ ∃c∈R+|x+c= y

Propiedades de Orden1. Tricotomía. Si x y y son números reales, se cumple una y sólo una de las

siguientes propiedades: x< y ó x= y ó x> y .2. Transitividad. x< y y y<z⇒ x< z .

3. Aditiva. x< y ⇔x+z< y+ z .

4. Multiplicativa. Cuando z es positivo, x< y ⇔xz< yz . Si z es negativo x< y ⇔xz> yz .

DESIGUALDADES EN R:

Una desigualdad es una expresión de la forma a<b, a>b , a≤b , a≥b , en la que a y b son números reales.

INTERVALO: Un intervalo es un subconjunto (no vacío) de los números reales.

Abierto (a ,b ) Infinitos

(a ,b )={x∈ R /a< x<b } A pesar de que todos los intervalos son infinitos, los siguientes reciben ese nombre dada la naturaleza de sus extensiones.

(a ,∞ )={x∈R /x>a }

[ a ,∞)= {x∈R /x≥a }

(−∞ , a )={x∈R /x<a }

(−∞ , a ]= {x∈R /x≤a }

Semiabierto o semicerrado [ a ,b) (a ,b ]

[ a ,b)={x∈R /a≤x<b }

(a ,b ]={x∈R /a<x≤b }

Cerrado [a ,b ]

[a ,b ]= {x∈R /a≤x≤b }

Ra b

Ra b

Ra b

Ra b

Ra

Ra

Ra

Ra

OPERACIONES ENTRE INTERVALOS: Dados dos intervalos A y B es posible considerar con ellos, las mismas operaciones entre conjuntos. El conjunto universal será el conjunto de los números reales.

VALOR ABSOLUTO.

El Valor Absoluto de un número real es la magnitud o tamaño del número sin el signo.

La notación |a| expresa el valor absoluto de a.

Importante:

Para cualquier número real a,

|a|={a , si aes positiva ocero .−a , si aes negativa .

Ejemplo No 1:

El valor absoluto de +5 es |+5|=5. El valor absoluto de −20 es |−20|=20. El valor

absoluto de 0 es |0|=0.

ACTIVIDAD 1

En los ejercicios 1 a 12, coloque el símbolo de desigualdad ¿ entre los dos números

dados para indicar la relación apropiada de desigualdad.

1. 10¿

2. 8¿

3. −1¿

4. 2¿

5. 20¿

6. −5¿

7. −10¿

8. 5¿

9. −3¿

10. 0¿

11. 1¿

12. 3¿

13. |−5|¿14. |−3|¿

15. |−5−10|¿16. |−10+5|¿17. |16|¿18. |2|¿19. |10−(4−3 )|¿20. |−5−(−5+2 )|¿2

ACTIVIDAD 2.

I. Representar en la recta real cada uno de los siguientes intervalos.

1. [−5,8 ) 2. (2,8 ) 3. (−4,6 ) 4. [5,6 ]∪(7 ,∞ )

5. [5 ,∞)

6. (−∞ ,1 ] 7. [5,6 ]∪(7,8 ) 8. (−∞ ,2 )∪(3 ,∞ ) 9. [2,3 ] 10.

(−∞ ,1 ]∪(2 ,∞ )

II. Expresar como conjunto los siguientes intervalos

11. (−3,3 ) 12. [4,6 ] 13. [−7,6 ) 14. [−1 ,∞) 15. (−∞ ,2 ) 16. (1,4 ]

17. (6,8 )∪(8 ,11) 18. (−∞ ,2 )∪(2 ,∞ ) 19. (−∞ ,7 )∪ (8 ,16 ) 20. (−∞ ,∞ )

III. Escribir como intervalo cada conjunto

21. N= {x /x∈R , x≥8 } 22.M= {x / x∈ R ,−6≤x≤12 }

23. P= {x / x∈R ,16≤x }

IV. Teniendo en cuenta los conjuntos anteriores, realizar las operaciones indicadas entre ellos y escribir los intervalos resultantes.

24. M∪N 25. M∩N 26. M ' 27. N ' 28. (M∪N ) ' 29.

(M∩N ) '

30. M∪N ' 31. M∩N ' 32. M '∪N 33. M '∩N 34. M−N 35. P−N

36. P ' 37. (M∩P ) ' 38. (P∪N ) ' 39. (PΔN ) 40. (M∩P )∪(PΔN ) '

2. POLINOMIOS.

EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS.

Cuando un número real a se multiplica por sí mismo, a ese producto se le denota

mediante a ∙a, o bien aa. Si el mismo número se multiplica por sí mismo cinco veces,

el producto se expresa con aaaaa. Una notación abreviada que puede utilizarse para

expresar estos productos es,

aa=a2

aaaaa=a5

Y

El número escrito arriba y a la derecha de a recibe el nombre de exponente. El

exponente indica el número de veces que a se repite como factor.Importante:

Si n es un entero positivo y a es un número real cualquiera,

an=a ∙a ∙a⋯ a ,n factores .

El término an puede expresarse con palabras como “a elevada a la n-ésima potencia”,

donde se considera que a es la base y que n es el exponente o potencia.

Ejemplo:

a. (−2 ) (−2 ) (−2 ) (−2 ) (−2 ) (−2 )= (−2 )6

b. (5 ) (5 ) (5 )=(5 )3

c. aaaabbb=a4b3

d.aa

(bbbb )=a2

b4

Importante:

Si n es un entero positivo y a≠0 ,

a−1= 1

an

Si a es real y no es igual a 0, a0=1.

Ejemplo:

a. a−2= 1a2

b. (2 )3= 1

(2 )3=18

c. (10 )0=1

d. (4 x )0=1

e. −5 y0=−5 (1 )=−5 , y ≠0

Las siguientes leyes de los exponentes son aplicables cuando a y bson números

reales cualesquiera, y m y n son enteros positivos.

Leyes de los Exponentes.

I. am∙ an=am+n

II. (am )n=amn

III. (ab )n=anbn

IV.am

an =am−ndondea≠0

V. ( ab )n

=an

bn dondeb≠0

Ejemplo:

a. (b5 ) (b )=b5+1=b6

b. (−2 )3 (−2 )2=(−2 )3+2=(−2 )5

c. (2 ) (2 )3 (2 )−2=(21+3 ) (2−2 )=(24 ) (2−2 )=22=4

d. (a2 )3=a2∙ 3=a6

e. [ (3 )2 ]4=(3 )2 ∙ 4=38

f. [ (−1 )3 ]5= (−1 )3∙ 5=(−1 )15=−1

g. (ab )4=a4b4

h. (2 x )3=(2 )3 (x )3=8x3

i.a6

a3=a6−3=a3

j.x2

x4=x2−4=x−2= 1

x2

k.(2 )3

(2 )7=(2 )3−7=(2 )−4= 1

(2 )4= 116

l. ( xy )5

= x5

y5

m. ( 2a5b2 )3

=(2a )3

(5b2)3= 8a3

125b6

n.x5

x5=x5−5=x0=1

EXPRESIONES POLINOMIALES.

Las constantes son cantidades o magnitudes cuyo valor no cambia. Una constante

puede representarse con una letra o con el número real que equivalga a la constante.

Por ejemplo, 5 es una constante, lo mismo que la letra b si b=−20. Las Variables son

cantidades cuyo valor puede cambiar. Generalmente, se simbolizan mediante letras.

Así, la letra t puede servir para representar la temperatura medida cada hora en una

ciudad mediante la escala Fahrenheit o Celsius. El valor de t diferirá entre una hora y

la siguiente.

Una expresión algebraica es un conjunto de constantes y variables unidas por una

serie de adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, signos radicales y

paréntesis u otros símbolos de agrupamiento. Por ejemplo,

5 x2 y−10 x3+75

Es una expresión algebraica. Esta expresión consta de los tres términos 5 x2 y, 10 x3 y

75. Un término se compone de un solo número o del producto de un número y las

potencias de una o más variables. El término 5, x2 y y. El factor constante 5 recibe el

nombre de coeficiente del término. Coeficiente se referirá siempre a una constante que

sea factor en un término. Por ejemplo, 10 es el coeficiente en el término 10 x3. El

término de la expresión algebraica no contiene variables y se llama término constante.

Un polinomio es la suma de uno o más términos, con las siguientes restricciones:

Los términos de un polinomio consta de un número o del producto de un

número y las potencias enteras positivas de una o más variables. Esta

definición excluye términos que tengan variables bajo un signo de radical o los

que contengan variables en el denominador.

Un polinomio compuesto por un término se denomina monomio. El que tenga

dos términos recibe el nombre de binomio. Si un polinomio consta de tres

términos se llama trinomio. Se da el nombre de polinomio a la expresión

algebraica que tenga más de tres términos.

Ejemplo:

a. La expresión algebraica 25 es un polinomio que tiene un término; por lo tanto

se le llama monomio.

b. La expresión algebraica 5 x2−x+1 es un polinomio compuesto de tres

términos; por eso se le da el nombre de trinomio.

c. La expresión algebraica 2x2 yz

no es un polinomio, porque la variable z aparece

en el denominador del término.

d. La expresión algebraica √ x no es un polinomio, porque la variable aparece

debajo de un radical.

e. La expresión algebraica x5−2 x4−x3+2 x2+x+9 es un polinomio que consta de

seis términos.

El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables contenidas en

él. En el caso de uno que incluya una variable, el grado es simplemente el exponente

de esta última. El grado del término 5 x3 es 3, puesto que el exponente es 3. El grado

del término 5 x2 y3 z es 6 porque la suma de los exponentes de x, de yy de zes 6. El

grado de un término constante no cero es 0. Como un ejemplo, el término -20 puede

escribirse en la forma equivalente −20 x0. Así pues, el grado del término es 0.

Además de la clasificación de los términos por el grado, los polinomios pueden

clasificarse atendiendo a su grado. El grado de un polinomio se define como el grado

del término de mayor grado en el polinomio.

Ejemplo:

a. El polinomio 2 x3−4 x2+x−10 tiene términos de grados 3, 2, 1 y 0,

respectivamente. Por tanto, el grado del polinomio es 3.

b. El polinomio 4 x2 y3−6 xy5+2 xy tiene términos de grados 5, 6 y 2,

respectivamente. En consecuencia, el grado del polinomio es 6.

ADICCIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS.

Al sumar y restar polinomios se combinan términos semejantes. Los términos

semejantes son aquellos que contienen las mismas variables elevadas a una misma

potencia. Se considera que los términos 3 x y −4 x son semejantes por contener

ambos la variable x elevada (implícitamente) a su primera potencia. El hecho de que

sus coeficientes (3 y -4) sean diferentes no influye en la semejanza de los términos.

Todas las constantes reales son consideradas como términos semejantes. Las

constantes -5 y 18 pueden considerarse que tienen la forma −5 x0 y 18 x0 que las

califica como términos semejantes.

Cuando se suman o restan polinomios, pueden combinarse términos y obtenerse una

forma más simple. Así, los términos semejantes 4 x y 3 x se sumarán del siguiente

modo,

4 x+3 x= (4+3 ) x

¿7 x

De manera análoga,

5 y2−2 x y2+6 x y2=[15+(−2 )+6 ] x y2

¿9 x y2

Los términos que no son semejantes no pueden combinarse en una forma más simple

(el conocido problema de sumar “manzanas y naranjas”). La suma 5 x+2 y no puede

escribirse en una forma más simple.

Cuando se suman o restan polinomios, se identificarán y combinarán los términos

semejantes. Los términos no semejantes se suman o restan como se ha indicado. Con

los siguientes ejemplos se explica este proceso.

Ejemplos:

(2 x2−5 x+10 )+(4 x2+3 x−5 )=2 x2−5x+10+4 x2+3x−5

¿2 x2+4 x2−5 x+3 x+10−5

¿6 x2−2 x+5

(5 x2 y+2 x y2−4 y3 )−(−3 x2 y+ y3−10 )=5 x2 y+2 x y2−4 y3+3 x2 y− y3+10

¿5 x2 y+3 x2 y+2 x y2−4 y3− y3+10

¿8 x2 y+2 x y2−5 y3+10

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS.

Todas las reglas y propiedades de la multiplicación para números reales se aplican

cuando se multiplican polinomios. Se expondrá dos casos de multiplicación: 1) la

multiplicación de dos monomios y 2) la multiplicación de dos polinomios.

1) Para multiplicar dos monomios, se multiplican sus coeficientes y luego los

términos variables usando las reglas de los exponentes.

a. (2 x ) (3 x )=(2 ) (3 ) xx=6 x2

b. (5 x2 ) (−2x3 )=(5 ) (−2 ) x2 x3=−10x5

c. (3ab2 ) (6a3b )=(3 ) (6 )aa2b2b=18a4b3

d. (mn2 ) (4m2n3 ) (−3m3n )=−12m6n6

2) Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término de un polinomio por

todo término del otro polinomio.

a. (2 ) (4 x−2 y )=(2 ) (4 x )+(2 ) (−2 y )=8 x+4 y

b. 4 x2 y (x2+2 x−1 )=4 x2 y (x2 )+(4 x2 y ) (2 x )+ (4 x2 y ) (−1 )=4 x4 y+8x3−4 x2 y

c.

(2 x−6 ) (4 x+7 )=(2 x ) (4 x+7 )−6 (4 x+7 )=8x2+14 x−24 x−42=8 x2−10x−42

d.

(5 x2−2 x ) (x3+2 x2−5x )=(5 x2) (x3+2 x2−5x )−2x (x3+2x2−5 x )=5x2+10 x4−25 x3−2 x4−4 x3+10 x2=5x5+8 x4−29x3+10 x2

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

El púnico tipo de división de polinomios requerido explícitamente en este libro será la

división de un polinomio entre un monomio. Cuando se necesite dividir dos polinomios,

el cociente puede obtenerse con sólo simplificar las formas factorizadas de ambos. La

factorización de polinomios se repasa en la siguiente sección.

Para dividir un monomio entre otro monomio, se dividen los coeficientes de cada

monomio y las variables haciendo uso de las reglas apropiadas de los exponentes.

Ejemplos:

a.12x5

3x2=( 123 )( x5x2 )=4 x5−2=4 x3

b.−8 x3 y2

2 x y2=(−82 )( x

3

x )( y2y2 )=4 x3−1 y2−2=−4 x2 (1 )=−4 x2

Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre

el monomio y se obtiene la suma algebraica de cada cociente.

Ejemplos:

a.4 x3−8 x2+6 x

2 x=4 x

3

2 x−8 x

2

2x+ 6 x2 x

=2x2−4 x+3

b.24 a4b5

−3a2b4= 24a4b5

−3a2b4+ 18a

2b3

−3a2b4=−8a2b−6

b

Nota: siempre se puede verificar la respuesta en una división con sólo multiplicar la

respuesta por el divisor. Si la respuesta es correcta, este producto deberá ser igual al

dividendo (numerador).

ACTIVIDAD 3

I. En los ejercicios 1 a 12, exprese como exponentes las operaciones

indicadas.

1. (5 ) (5 ) (5 ) (5 )=¿

2. (−1 ) (−1 ) (−1 ) (−1 ) (−1 ) (−1 ) (−1 )=¿

3. (3 ) (3 ) (−2 ) (−2 ) (−2 )=¿

4.(7 ) (7 ) (7 )

(3 ) (3 )=¿

5. (−x ) (−x ) (−x )=¿

6.aaabb

=¿

7.xxyyyyzzz

=¿

8. aabbbcc=¿

9.xxxxyyzzzz

=¿

10.ppqqqrrrrss

=¿

11. ( xy ) ( xy ) ( xy ) ( xy )=¿

12.(abc ) (abc ) (abc )

(3 ) (3 ) (3 ) (3 ) (3 )=¿

II. En los ejercicios 13 a 32 realice las operaciones indicadas.

13. (2 )3 (2 )4=¿

14. (3 )3 (3 )2=¿

15. x3 x5=¿

16. y y4 y3=¿

17. x2 y3 x3 y=¿

18. (x2 )3=¿

19. (a2 )5=¿

20. a a3a2a=¿

21. (x3 )2 (x2 )4=¿

22. a3 (a3 )4=¿

23. [ (a2 )3 ]2=¿

24. [ (−1 )4 ]3=¿

25. (3 x2 )3=¿

26. (5a3)2=¿

27. (2m3 )2=¿

28. (4b4 )3=¿

29. 12 (a2 )4 (b )3=¿

30. 2 (2x2 )3 (3 y3 )2=¿

31. [ (2 x2 )3 ]4=¿

32. [2 (3a2)3 ]2=III .En los ejercicios 33 a 40 reescriba la expresión, empleando exponentes

positivos.

33. a−4=¿

34. ( xy )−2=¿

35. ( 12 )−3

=¿

36. x−1=¿

37. ( 13 )−4

=¿

38. (abc )−3=¿

39. ( xy )−5=¿

40. (4 x )−2=¿

IV.En los ejercicios 41 a 60 efectúe la operación indicada.

41.x3

x=x3−1=¿

42.m7

m4=¿

43.(2 )5

(2 )8=¿

44.x6

x6=¿

45.(3 )4

(3 )3

46.(2x2 )2

2 (x2 )

47. ( xy )0=¿

48. −(25 x0 )2=¿

49. ( xy )3

=¿

50. ( 45 )3

=¿

51. ( x2y )4

=¿

52. ( xyz )3

=¿

53. ( a2bc3 )4

=¿

54. ( 2 x25 y z3 )3

=¿

55. ( 3 x y2z3 )3

=¿

56. [( x2y )3]2

=¿

57. −5 [2 (x0 )5 ]2

58. 2a2[ a34b ]2

59. ( a2b3 )2

=¿

60. ( abc )3

( cab )

3

=¿

VI. En los ejercicios 61 a 94 efectúe la operación,

61. 10 x+3x=¿

62. 5 x2−4 x2+2 x2

63. (5 y3−2 y2+ y )+(4 y2−5 y )=¿

64. (2m2−3m )+(4m2+2m )−(m2+6 )

65. (40x3 y2−25 x y3 )−(15 x3 y2 )=25x3 y2−25 x y3=¿

66. abc−cab−4bac=¿

67. ( x−2 y )−(2 x−3 y )+( x− y )=2x−2 x+3 y−3 y=¿

68. (−5 x ) (4 x2 )=¿

69. (7 x3 ) (3 x y2 )=¿

70. (3 x2 ) (2 x ) (−4 x3 )=¿

71. (a2 ) (4 a5 ) (−2a3 )=¿

72. 5 x ( x−10 )=¿

73. (−2 x2 ) (x2− y )=¿

74. 2a (a2−2a+5 )=¿

75. x2 y (x2−2 xy+ y2 )=¿

76. ( x−5 ) ( x+6 )=¿

77. (a+b ) (a+b )=¿

78. (2 x−3 ) (2x−3 )=¿

79. (a−b ) (a−b )=¿

80. ( x+4 ) (x−4 )=¿

81. ( x−2 ) (x2−4 x+4 )=¿

82.21x5

3 x=¿

83.16 x2 y3

4 x y2

84.10a4b2

(5ab2 c4 )

85.−9 x y2

3 x y3=¿

86.25a2bc3

5 ab2 c4=¿

87.(15 x2−24 x )

(−3 x )

88.(4 x3 y−2 x2 y+8 xy )

2 x=¿

89.(12a3−9 a2+6a )

−3a=¿

90.(3 x2 y z3−4 x y2 z )

(−xyz )=¿

91.(4 x6+6 x3−8x2 )

2x=¿

92.(8a3b2 c−4a2b3 c2 )

4a2bc=¿

93.(48 x3 y2−16 x2 y4+24 x y3 )

−4 x y2=¿

94.(−12x8 y6 z2+28 x5 y4 z5 )

(−4 x3 y )=¿