UNIDAD 4

OPERACIONES CON POLINOMIOS

EJERCICIOS RESUELTOS

Objetivo general.

Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que

apliques las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de

polinomios.

Objetivo 1. Diferenciarás monomios, binomios, trinomios y polinomios en general.

Ejercicios resueltos:

a.) Identifica con una P si la expresión es un polinomio

y con una X si no lo es: 5 661.) x yz

( )

( X )

2.) -x y ( )

( P )

23.) 5 6x x ( )

( P )

2

34.)4x ya

( )

( X )

3 4

1

25.) a b cx ( )

( P )

b.) Identifica con una M si la expresión es un monomio, con una B si es un binomio y

con una T si es un trinomio:

1.) 7 - 9a b ( )

( B )

32.) -71a ( )

( M )

2 2 23 13.) -5 2

a b a b a b ( )

( T )

2 34.) x y a ( )

( M )

Objetivo 2. Identificarás y determinarás el grado de un monomio y el de un

polinomio.

Ejercicios resueltos:

Determina el grado de los polinomios:

1.) 3x y

La variable x está elevada a la tercera potencia, y la variable y a la primera. El

grado del monomio es 4.

2.) 3 2712

c p m

La suma de los exponentes de c, p y m es 3 + 2 + 1.

El grado del monomio es 6.

3.) 4 3P x x x x

El término de grado más alto es el primero, que es de grado 4.

El polinomio es de grado 4.

4.) 5P x

En el polinomio solamente aparece una constante, diferente de cero.

El grado es 0.

5.) 4 3 2 4 54 6 4x x x y xy

Los términos que aparecen en el polinomio son, respectivamente, de grados 4, 3,

6 y 6.

El polinomio es de grado 6.

Objetivo 3. Reducirás términos semejantes en un polinomio.

Ejercicios resueltos:

Reduce los términos semejantes:

1.) 2x x

2x x = 3x

2.) 1 12 2

a a

1 12 2

a a = a.

3.) 3 2 2 3 2 23 4 3 2x x y xy x yx y x

Agrupando los términos se obtiene

3 3 2 2 2 23 2 4 3x x x y x y xy xy

3 2 23 4x x y xy

4.) 2 2 2 37 3 2m n m n nm m

Reacomodando las variables en los términos, queda 2 2 2 37 3 2m n m n m n m

y agrupando

3 2 2 27 3 2m m n m n nm

3 25 2m m n

5.) 2 22 4 7 12xy xy

Quitando paréntesis y reagrupando queda 2 22 4 7 12xy xy

2 22 7 4 12xy xy

25 8xy

Objetivo 4. Determinarás cuándo dos polinomios son iguales.

Ejercicios resueltos:

Identifica, si lo hay, cuál polinomio de la columna izquierda es igual al de la columna

derecha:

2 2 4 5

2 2 3 2 2 2 3

5 4 2 3 7 4 4 3 4

3 2 2 2 2

3 7 3 4 4 4 4 5 2

1.) 3 6 2 6 7

2.) 9 5 4

3.) 6 2 7 3 6 3

4.) 4 5 6 3

5.) 6 6 12 7 6 2

x xy x y y x

x y xy xyz x y xy yx

x y x y x y x y x y

xy xy x y yx x

x y x y x y y x yx

3

4

1

3

Objetivo 5. Recordarás el procedimiento general para sumar y restar polinomios.

Ejercicios resueltos:

a) Sumas:

1.) Suma los monomios: 2 2 22 , 5 , 8 , 3 ,xy xy xy xy z .

Solución: 2 2 22 5 8 3xy xy xy xy z

Se reducen los términos semejantes:

2 22 8 5 3xy xy z

El resultado final es: 2 210 8xy xy z .

2.) Suma los monomios:

2 2 2 23 32 2 1 1, , , , ,5 4 3 2 10 3x xy y xy x y .

Solución:

2 2 2 23 32 2 1 15 4 3 2 10 3x xy y xy x y

Se reducen los términos semejantes:

2 23 32 1 2 15 10 4 2 3 3x xy y

El resultado es:

2 21 1 110 4 3x xy y .

3.) Suma los polinomios: 2 2 2 2 2 23 5 , 3 5 , 8 2x y xy xy x y xy x y .

Solución:

2 2 2 2 2 23 5 3 5 8 2x y xy xy x y xy x y

Se eliminan paréntesis:: 2 2 2 2 2 23 5 3 5 8 2x y xy xy x y xy x y

El resultado se obtiene al reducir los términos semejantes: 2 24 6x y xy .

4.) Suma los polinomios: 2 23 4 , 2 3 2x y xy y x y xy y .

Solución:

2

2

3 42 3 2

x y xy yx y xy y

24 2 4 2x y xy y

5.) Suma los polinomios: 2 2 2 24 6 3, 5 2 1, 2 4 12, 4 2x x x x x x x x .

Solución: 2

2

2

2

4 6 32 5 12 4 12

2 4

x xx xx xx x

23 6x x

b) Restas:

1.) Resta: 4xy , de 2xy .

Solución:

2 ( 4 )xy xy

Es decir:

2 4xy xy

Se reducen términos semejantes y se obtiene:

2xy , que es el resultado final.

2.) Resta: 2 2 2 24 , de 3x y x y .

Solución:

2 2 2 23 4x y x y

Es decir: 2 2 2 23 4x y x y

Se reducen términos semejantes y se obtiene: 2 27x y , que es el resultado final.

3.) Resta: 2 22 4 4, de 3 4 3x x x x .

Solución:

2 23 4 3 2 4 4x x x x

Es decir: 2 23 4 3 2 4 4x x x x

Se reducen términos semejantes y se obtiene: 2 7x , que es el resultado final.

4.) Resta: 2 2 2 22 3 4, de 4 5x y y x y xy .

Solución: 2 2

2 2

4 52 3 4

x y xyx y y

2 2 24 3 1x y xy y

5.) Resta: 2 26 3 4, de 9 3y y y y .

Solución: 2

2

9 36 3 4

y yy y

215 6 4y y

Objetivo 6. Recordarás la multiplicación de monomios.

Ejercicios resueltos:

Multiplica los monomios que se dan:

1.) 5 4 23 2a b a b

5 4 23 2a b a b 5 2 4 16 2 1a b 7 56a b

2.) 2 3 22xy z x yz

2 3 22xy z x yz 1 3 2 1 1 22x y z 4 3 32x y z

3.) 4 32 4x x

4 32 4x x 4 38x 78x

Objetivo 7. Recordarás la regla para la multiplicación de polinomios por un

monomio.

Ejercicios resueltos:

Efectúa los productos indicados:

2 3 21.) 3 por 6 5x x x

2 3 23 6 5x x x 2 3 2 23 6 3 5x x x x 5 418 15x x

22.) por 3 2x x yz

23 2x x yz 23 2x x x yz 2 23 2x xyz

2 4 3 2 3 2 23.) 6 2 por 2a b c a b c ab c

2 4 3 2 3 2 26 2 2a b c a b c ab c 2 4 3 2 2 2 3 2 26 2 2 2a b c ab c a b c ab c

3 6 5 3 5 312 4a b c a b c

Objetivo 8. Recordarás el procedimiento general para la multiplicación de

polinomios por polinomios.

Ejercicios resueltos:

Efectúa las multiplicaciones indicadas:

21.) 4 por 3 2x x

24 3 2x x 2 24 3 2 3 2x x x

2 24 3 4 2 3 2x x x x

2 312 8 3 2x x x 3 22 8 3 12x x x

22.) 2 por 4 9 2x x x

24 9 22

x xx

28 18 4x x

3 24 9 2x x x

3 24 20 4x x x

2 23.) 5 3 por 5 3xy xy xy xy

2

2

5 35 3

xy xyxy xy

2 3 2 215 9x y x y

2 4 2 325 15x y x y

2 4 2 225 9x y x y

Objetivo 9. Recordarás la división entre monomios.

Ejercicios resueltos:

Efectúa las divisiones indicadas: 3 2 21.) 22 entre 4x y z xyz

3 2

2

224x y zxyz

3 2

2

224

x y zx y z

2112

x yz

5 7 3 22.) 12 entre 3a b ab c

5 7

3 2

123

a bab c

5 7

3 2

12 13

a ba b c

4 4

2

4a bc

3 2 3 2 2 23.) 18 entre 3p r t p r t

3 2 3

2 2 2

183

p r tp r t

3 2 3

2 2 2

183

p r tp r t

6 pt

Objetivo 10. Recordarás la regla para la división de un polinomio entre un

monomio.

Ejercicios resueltos:

Efectúa las divisiones indicadas: 21.) entrea ab a

2a aba 2a ab

a a a b

2 3 2 4 22.) 3 5 entre 3x y a x x

2 3 2 4

2

3 53

x y a xx

2 3 2 4

2 2

3 53 3x y a x

x x

3 2 253

y a x

2 1 1 23.) 5 6 entrem m m m mx x x x x

2 1 1

2

5 6m m m m

m

x x x xx

2 1 1

2 2 2 2

5 6m m m m

m m m m

x x x xx x x x

4 2 35 6x x x x

Objetivo 11. Recordarás el procedimiento general para la división de

polinomios entre polinomios.

Ejercicios resueltos:

1.) Divide: 2 2 3a a , entre 3a .

a 1

23 2 3a a a

2 3a a

3a

3a

0

2.) Divide: 5 212 5f x x x x , entre 2 2 5g x x x .

3x 22x x

2 5 4 3 22 5 0 0 12 5x x x x x x x

5 4 32 5x x x

4 3 22 5 12x x x 4 3 22 4 10x x x

3 22 5x x x

3 22 5x x x

0

3.) Divide: 3x xp a a a , entre 1q a a .

2xa 1xa xa

3 2 11 0 0x x x xa a a a a

3 2x xa a

2xa

2 1x xa a

1x xa a

1x xa a

0

4.) Divide: 2 21 5 16 36 6

a ab b , entre 1 13 2

a b

12

a 13

b

2 21 1 1 5 13 2 6 36 6

a b a ab b

21 16 4

a ab

21 19 6

ab b

21 19 6

ab b

0

Objetivo 12. Aplicarás las operaciones con polinomios en la resolución de

ejercicios algebraicos.

Ejercicios resueltos:

Obtén el resultado de las operaciones indicadas:

2 22 31.) 3 2 3a b ab ab b a ab

ab

2 22 3a b abab

2 3a b

y

3 2 3ab b a ab 2 2 2 26 9 2 6a b a b ab ab

2 2

2 2 2 2

Por tanto:

2 3 3 2 3

2 3 6 9 2 6

a b ab ab b a abab

a b a b a b ab ab

3 3 2 2 2 2

2 2 2 3 2 3

12 18 4 1218 27 6 18

a b a b a b a ba b a b ab ab

3 3 2 2 2 2 2 3 2 312 18 4 30 27 6 18a b a b a b a b a b ab ab

2 2 2 2 2 2

2 3 2 2 3 2 3 2

2.) 3 2 2 4

4 4 2 6 42

a b a ab a b b b ab

a b a a b ab ab ab a b ba b

2 2 2 2 2 2

2 3 2 2 3 2 3 2

Solución:

3 2 2 4

4 4 2 6 42

a b a ab a b b b ab

a b a a b ab ab ab a b ba b

2 2 2 2 2 2

3 3 2 2 2 2 3 2

2 4 3 2

4 2 6 4 42

a a b a b ab ab b b

a a b a b a b ab ab ab ba b

Como:

2a 2a b 3ab 22ab 2b

3 3 2 2 2 2 3 22 4 2 6 4 4a b a a b a b a b ab ab ab b

3 22a a b

3 2 2 2 2 3 23 4 2 6 4 4a b a b a b ab ab ab b

3 2 22a b a b

2 2 2 2 3 23 2 2 6 4 4a b a b ab ab ab b 2 23 6a b ab

2 2 3 22 2 4 4a b ab ab b

2 2 32 4a b ab

22 4ab b

22 4ab b

0

2 2 2 2 2 2

3 3 2 2 2 2 3 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

Entonces:

2 4 3 2

4 2 6 4 42

2 4 3 2

3 2 2

a a b a b ab ab b b

a a b a b a b ab ab ab ba b

a a b a b ab ab b b

a a b ab ab b

2 2 2 2 23 5 .a b a b ab ab b

3 2

2 3 2 2

3.)

5 5 22 3 1 2 3 2 4 32

x x xx x x x x x xx

2 3 2

Solución:Como:

2 3 1 2 3 2x x x x x

2 3 22 3 1 2 3 2x x x x x 3 3x

y:

2x 3x -1

3 22 5 5 2x x x x

3 22x x

23 5 2x x 23 6x x

2x

2x

0

3 22

2 2

entonces:5 5 2 4 3

23 -1 4 3

x x x x xx

x x x x

2 23 -1 4 3x x x x

4x

3 22 3 2 2

3

yqueda:

5 5 22 3 1 2 3 2 4 32

3 4

x x xx x x x x x xx

x x

4 34 3 12x x x

22 3 1 24.)

1xy x y x z x y xy zy

x y z

Solución:

2 31

xy x yx z

2 3xy x y

2 3xyz xz yz

2 22 3x y x yx

2 22 3 2 3 3x y x xyz xz yz yx x y

2

2 2

2

Por lo que:

2 3 1 2

2 3 2 3 3

2

xy x y x z x y xy zy

x y x xyz xz yz yx x y

x y xy zy

2 2 22 3 2 3 3 2x y x xyz xz yz yx x y x y xy zy

23 2 2 3 3 2x xyz xy xz x y yz

y como:

3x 2yz 5y

21 3 2 2 3 3 2x y z x xyz xy xz x y yz

23 3 3 3x xy xz x

2 5 2xyz xy y yz

2 22 2 2 2xyz y z yz yz

2 25 2 4 2xy y z y yz yz

25 5 5 5xy y yz y

2 2 22 6 9 2 5y z y yz yz y

2

2 2 2

queda:

2 3 1 212 6 9 2 53 2 5

1

xy x y x z x y xy zyx y z

y z y yz yz yx yz yx y z

Objetivo 13. Aplicarás las operaciones con polinomios en la resolución de problemas

de casos reales.

Ejercicios resueltos:

1.) En una comisión del Congreso los diputados del PRD son la mitad que los del

PRI. Los del PRI con los del PAN suman 8 y los del PT son la mitad que los del

PAN ¿Cuántos diputados forman la comisión?

Solución:

La información del enunciado establece que el número de los diputados de los

diferentes partidos es:

1PRD PRI2

PRI PAN 8 PRI 8 PAN

1PT PAN2

Al sumar a los diputados de todos los partidos y sustituir las igualdades anteriores

queda

1 1PRD PRI PAN PT PRI 8 PAN PAN PAN2 2

1 18 PAN 8 PAN PAN+ PAN2 2

1 14 PAN 8-PAN PAN PAN2 2

8 4 12

La comisión tiene 12 miembros.

2.) Una persona camina a un ritmo de 2 kilómetros por hora al subir una cuesta y al de 4

kilómetros por hora al bajarla. ¿Cuál es la velocidad media para el recorrido total?

Solución:

Sea L la longitud de la cuesta. El tiempo que tarda en subirla es L/2; mientras que el

tiempo que tarda en bajarla es L/4; entonces el tiempo total será:

T42LL

4

3L

Como el recorrido total es de 2L , la velocidad media es:

2

mLV

T

2

34

LL 8 2.666

3 km/h

3.) El depósito del anticongelante de un autobús contiene 8 litros de una mezcla de 60% de

agua y 40% de anticongelante puro. Sin embargo, las bajas temperaturas invernales

requieren que la mezcla contenga 60% de anticongelante. ¿Qué cantidad de la mezcla

actual deberá desecharse y reemplazarse por anticongelante puro para que se obtenga la

cantidad requerida?

Solución:

La cantidad de anticongelante puro en la mezcla actual es el 40% de 8 litros:

0.4 8 3.2 litros;

La cantidad que debe tener la nueva composición es:

0.6 8 4.8 litros.

Cuando se desechan x litros de la mezcla actual se debe añadir una cantidad igual de x

litros de anticongelante para mantener el volumen total, pero con el desecho se pierden

0.4x litros del mismo anticongelante.

Entonces, para obtener una mezcla con el 60% de anticongelante se tiene la expresión:

3.2 0.4 4.8x x

o bien

1 0.4 4.8 3.2x

0.6 1.6x

x 666.26.06.1 litros

4.) Un padre al morir dejó establecido que el hijo mayor recibiría $100,000 más la quinta

parte del resto. El siguiente recibiría $200,000 más la quinta parte del nuevo resto. Y en

la misma forma cada hijo iría recibiendo $100,000 más que el anterior y la quinta parte

del resto. Con esta forma de repartir la herencia, el padre se aseguró que todos

recibieran la misma cantidad. ¿Cuántos herederos había y qué cantidad recibió cada

uno?

Solución:

Sea H el importe total de la herencia. El primer hijo recibió

5000,100000,100

H

El segundo hijo recibió $200,000 más la quinta parte de lo que quedaba después de que

el primero recibió su parte y de los 200,000 que le correspondían a él:

000,200

500,100000,100

51000,200 HH

Como cada hijo debe recibir la misma cantidad, se igualan los dos polinomios para

obtener el valor de H:

5000,100000,100

H

000,200

500,100000,100

51000,200 HH

Después de hacer las operaciones queda

000,40000,425

000,205

000,200000,205

000,100 HHH

y, al despejar

000,20000,100000,40000,4000,20000,20025

H

000,600,1000,6425

HH

Entonces, dado que la herencia era de $1,600,000 y cada hijo recibió la misma cantidad,

eran 4 hijos y cada uno recibió $400,000.

5.) La edad de Juan es el doble de la que tenía Pedro cuando Juan tenía la que

ahora tiene Pedro. En total suman 49 años. ¿Cuáles son sus edades?

Solución:

Sea x la edad actual de Juan. Dado que la suma de las edades de ambos es 49, la edad

actual de Pedro será 49 x .

La expresión algebraica sobre la comparación de las edades: “la edad actual de Juan es

el doble de la que Pedro tenía cuando Juan tenía la que tiene ahora Pedro” se obtiene

como sigue:

Pedro es menor que Juan y la diferencia de edades entre ellos es

49x x .

En aquel momento, la edad de Juan era la edad actual de Pedro: 49 x ; al restar a

ésta la diferencia de edades entre ambos, se obtiene la edad que tenía Pedro cuando

Juan tenía 49 x y, como la edad actual de Juan es el doble de ésta entonces:

2 49 49x x x x

2 49 49x x x x

2 49 2 49x x x

2 98 3x x

196 6x x

7 196x

28x

Y la edad de Pedro es: 49 28 21

6.) Encuentra tres números enteros consecutivos tales que cuando se forman las 6

fracciones posibles tomados de dos en dos, la suma de ellas es un número entero.

Solución:

Sean 1x , x y 1x los tres números enteros consecutivos que se buscan. Las 6

fracciones que se pueden formar con ellos, tomados de dos en dos son:

1 1 1 1, , , , ,1 1 1 1

x x x x x xx x x x x x

Y la suma de las seis fracciones será:

1 1 1 11 1 1 1

x x x x x xx x x x x x

2 2 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)

( 1)( 1)x x x x x x x x x x x x

x x x

)1)(1(1221 232323232323

xxx

xxxxxxxxxxxxxxxx

)1(6

2

3

xxx

162

2

xx

Ahora bien, 2x y 2 1x son números primos entre sí porque difieren en una unidad,

por lo tanto esta fracción será un número entero sólo si 2 1x divide a 6, lo que ocurre

para 2x , por lo tanto, los tres números buscados son: 1 1x ; 2x ; 1 3x .