-- 47 -

ADICION Y SUSTRACCIÓN DEPOLINOMIOS

Estas operaciones se resuelven eliminando losparéntesis de cada polinomio (tomando encuenta la regla de los signos) y reduciendo lostérminos semejantes.

Ejemplo:

Efectuemos la operación :

(5x2 + 3) + (3zx2 + 2x2y) – (7z2+ 4x2y - 8)

= 5x2y + 3 + 3z2 - 2x2y – 7z2 - 4x2y + 8

= x2y – 4z2 + 11

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. Efectúa las siguientes operaciones conpolinomios.

a) (7a2 + 6) + (4a2 - 9)

Solución :

7a2 + 6 + 4a2 – 9 = 11a2 - 3

b) - (2p3 – 4pq) - (pq - qp3)

Solución :

-2p3 – 4pq - pq - p3q

= -2p + 3pq + p3q

c) (4a2 + 5b2) + (7a2 – 9b2)

Solución :

4a2 + 5b2 + 7a2 – 9b2

= 11a2 – 4b2

d) (3pq2 – 4p2q) - (8p2q - 4pq2)

SOLUCIÓN:

3pq2 + 4p2q – 8p2q + 4 pq2

= 7pq2 – 4 p2q

2. Efectúa E + F si :

E = 1 + x – x2

F = x2 - x – 1

a) 0 b) 2 c) xd) 1 e) 2 + 2x + 2x2

Solución : Ordenando

E = x2 + x + 1

F = 0000

12

2

xx

xx

Rpta. ( a )

3. Efectuar M = 3a2 – b - c2

S = b + c2 - 3a2

a) 0 b) 2 c) a2

d) 2a e) 6a2 – 2b – 2c2

Solución :

Ordenando

M = 3a2 – b - c2 +

S =22

22

226

3

cba

cba

Rpta. ( e )

-- 48 -

CONSTRUYENDO

MIS CONOCIMIENTOS

4. Reducir: pq5 + 3p2q4 + 6pq5

- 2 p2q4 + 3pq5

a) - 8pq5 b) 9pq5 +5p2q4c c) 0d) 8pq5 + p2q4 e) p2q4

Solución :

- pq5 + 3p2q4 + 6pq5 - 2 p2q4 + 3pq5

= 8pq5 + 2 p2q4

Rpta. ( d )

1. ¿Cuántos términos tiene el polinomio queresulta de P( x) + Q(x)

Si P( x) = x5 + x3 + 2xQ= x4 + x2 – 2 ?

a) 7 b) 6 c) 3d) 4 e) 5

2) Sean los polinomios

P( x) = 3x5 + 2x4 + 6x3 - 2x2

P( x) = 2x3 + 2x + 3

El coeficiente de x3 que resulta enP( x) = -2Q( x) es :

a) 3 b) 2 c) -2d) -3 e) 4

3. Si P( x) = 3x4 + 2x3 + 3x2

N( x) = 6x2 - 2x3 + 2x4

El resultado de P( x) – N( x) es:

a) x4 + 4x3 – 3x2

b) x4 – 4x3 + 3x2

c) 3x4 – 3x3

-- 49 -

REFORZANDO

MIS CAPACIDADES

d) 2x4 – 4x3

e) x4 – 4x3 + 3x2

4. Si P( x) = ax2 - bxQ( x) = 2ax2 - 3bx

El coeficiente de x que resulta en P( x) - Q( x)

a) a - b b) –3b c) –4bd) 2b e) 4b

5. Sean P( x) = (3a –1)x2 + 3x + 2 Q( x) = 4x2 - bx - 2Y P( x) + Q( x) = 0, halla a + b

a) a b) 2 c) 3d) -1 e) -2

1. Dado los polinomios:

P( x) = 2x2 + 3x - 5

Q( x) = x2 - x + 7

R( x) = 3x2 + 8x - 10

Hallar

a) P( x) + Q( x)

b) R( x) ) + P( x)

c) Q( x) ) - P( x)

d) R( x) ) - Q( x)

e) P( x) + Q( x) - R( x)

2. Las adiciones se pueden ordenarverticalmente. Halla el resultado de cadaadición de polinomios.

a) P( x) : 13x3 – 3x2 + 5x – 64 +

Q( x) ) : 24x3 – 8x2 - 7x – 48

R( x) ) : 17x2 - 13x – 50

P( x) + Q( x) ) + R( x) :

b) R( y) ) : 235

7

5

4

3

2

1yyy

Q( y) : 345

5

1

3

2

4

3yyy

R(y) + Q( y) :

3. Dado el polinomioR( x) : 30x3 - 7x2 - 0,5x + 7,8 determinar unpolinomio T( x) para que la suma

R( x) :

-- 50 -

T( x) :R( x) + T( x) :

4. De a2 + b + 1 restar la suma de a2 – 2b con3b + 1

a) a2 + b b) 2 a2 + b c) 2a2 +bd) a2 b e) 0

5. Cuánto le falta a 1 – x para ser igual 1 + x?

a) 3x b) 2x c) 2d) 1 e) –2x

6. Si P( x) = 1 - x2 + x Q( x) = 2 – x R( x) = x2 + 2

¿Cuánto le falta a la resta de Q menos R paraser igual a la suma de P más Q?

a) 3 + xb) 2x2 – x - 2

c) x2 – x + 1

d) x - 3x2 + 1

e) 1 – 3x + x2

7. ¿Cuánto le falta a B para que sumado con Cdé A?

A = x +2

1 ; B = 2x -

3

1 ; c = 1 -

2

x

a) x -2

1

b)2

1 + 6

c) x +2

1

d) -2

1x-

6

1

e) 1 -3

x

8. ¿Cuánto hay que restar de –7x2 + 6x + 1para obtener 6x – 7x2 - 7

a) 8 b) – x2 + x - 2 c) 2x-3d) x - x2 – 5 e) x - 7

9. Restar de A, lo que queda de quitarle c a b.

a = 5x2 + x + 3

b = 3x2 – 5x2 – 1

c = 3x2 + 2x – 7

d = 3x2 + x – 1

e = 13x2 – 5

f = 2x - x2 + 2

g = 11x2 – 5x + 1

h = 8x2 – x + 8

10. Efectuar

6 + (x2 + x – 1) (x + 2) -x(x2 3x + 1)

a) 5 b) 2x c) 4d) x -1 e) x + 1

-- 51 -

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Se resuelve aplicando, la propiedad distributivauna o mas veces según sea necesario.

Ejemplo:

- 6x2y (4x3y2 – 3yz4)= (-6x2y) (4x3y2) + (-6x2y) (-3yz4)= -24x5y3 + 18x2y2z4)

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. Efectúa las siguientes multiplicaciones.

a) -3(5x4y + 8x2y)

Solución :

b) -5abc2(4ac3 + 1,2ab2)

Solución :

-20a4bc5 – 6,0a4b3c2

Solución :

4x2 - 10x + 10x – 25= 4x2 - 25

d)

2

3

14

9

7

6

3

7 2232 yxyxxy

Solución :

233323

14

9

3

7

7

6

3

7yxxyyxxy

2

3

3

7 3xy

= 2x3y6+ 354

2

7

2

3xyyx

2. Efectuar

(x – 2) (2 + x) + 4

a) 2x2 b) x + 5 c) x2

d) x2 + 1 e) 2x2 - 3

Solución :

(x – 2) (2 + x) + 4

2x + x2 - 4– 2x + 4 = x2

Rpta. ( c )

3. (x2 –1) (x2 + 2) - (1+ x2) (x2 - 2)

a) x2 + 1 b) -2x2 c) x2- 1

d) x + 1 e) 2x2

Solución :

(x2 –1) (x2 + 2) - (1+ x2) (x2 - 2)

= x4 + 2x2 - x2 – 2 – (x2 – 2+ x4 - 2x2)

= x4 + x2 - 2 – (-x2 – 2+ x4)

= x4 + x2 - 2 + x2 + 2- x4 = 2x2

Rpta. ( e )

c)

-- 52 -

CONSTRUYENDO

MIS CONOCIMIENTOS

4. Efectuar:(x + a) (a + b) + (a - b) (x - b)

- (a + b) (a - b) – 2b2

a) 2ax b) ax + b c) ax - b2

d) ax + 2b e) –2ax

Solución :

(x+a)(a+b)+(a - b)(x - b)–(a+b)(a - b)–2b2

22 bbxabaxababxax222 2bbababa

axbbax 2222 22

Rpta. ( a )

5. Efectuar:

(32x2 - 20x3)+ )15105(5

12 2 xxx

a) 11x-6 b) 12x + 3 c) 13x-1

d) 17x - 1 e) 6x + 2

Solución :

(32x2 - 20x3)+ )15105(5

12 2 xxx

32x2- 20x3+10x + 20x3 –30x2 – 1 - 2x2 + 3x

= 13x –1

Rpta. ( c )

1. Si R(x) = 6x(2x – 1) + x (3x –2)Q(x) = x(2x – 1) + 3(x2 –2x+1)Hallar N(x) = R(x) + Q(x)

2. Si P(x) = 3x (1+2x-x2) – 6x + x2

Q(x) = x (1+x) – 3x(1 + x)Hallar A(x) = Q(x) - P(x)

3. Escribir El resultado de las siguientesmultiplicaciones

a) (2x +y) (x –2y)

b) (xy -1) (2x –2)

-- 53 -

REFORZANDO

MIS CAPACIDADES

c) (2 + x2) (3x –1)

d) (x -1) (x +1)

4. Hallar el área de la figura

5. Si P(x;y) = 2xy (x + y) + 3(3x2y+2y2x)

Q(x;y) = (x + y) x + y – 2xy (4-3) (x+y)

El número de términos de:

A(x;y) = P(x;y) + Q (x;y) es

a) 0 b) 1 c) 2 d)3 e)4

1) Dado los polinomios:

P(x) = 5x2 – 6x + 4

Q(x) = 8x2 – 5x + 3

R(x) = x3 – 2x2 – 5x + 4

Hallar el resultado de las siguientesoperaciones

a) 4 P(x)

b) 7x2 Q(x)

c) – 8 R(x)

d) –5x2y P(x)

e) – 10xy2Q(x)

f) -7x2y3 R(x)

2) Efectuar ls siguientes multiplicaciones y hallarel resultado reducido.

a) (x+5) (x + 2)

b) (2x + 3) (x + 1)

c) (3x - 2y) (5x + 3y)

d) (x - 3) (x - 3)

e) (x + 7) (x - 7)

f) (x - y) (x + y)

3) Hallar el área de la siguiente figura.

-- 54 -

a) 36xy b) 12xz c) 36zyd) 12zy e) 12x(3y + z)

4) Efectúa la siguiente operación combinada.

a) 4a2 – 2a (3a + 5b2)b) 3a (b + 2c) – 4ab

5) Efectúa

2x (3y - x) + y (x + 2y)

6) Halla el área de la región sombreada

a) 3x2 b) x2 – 4 c) 3x2 + 8xd) 3x – 2 e) 2x2 – 2

7. Halla el área de la región sombreada:

a) 12x2 + 3x

b) 15x2 - x

c) 11x2 + 22x

d) 30x - 4x2

e) 15x2 – 8x

8. Efectúa

- 3n (5m3 – n) – 1,5m (-2m2n – 7n)

a) - 12m3n + 10,5 mn

b) –15m3 n + 3 n2

c) 18m3 + 3n2 + 10,5mn

d) 22m3 + 10,5mn

e) 3m3 n + 3 n2

9. Efectúa

- 6xy (3x2 + 2xy)+ 3x2 (9x + y2)+ 4x2y2

10. Halla el área de la región sombreada.

x + 1

POTENCIACION DE POLINOMIOS

Recordemos que:

an = a x a x a x a x …. a = P

n veces

-- 55 -

Es decir: la potencia P es el resultado demultiplicar por si mismo n veces una base a. Siesta base es un POLINOMIO, entoncestendremos POTENCIACION DE POLINOMIOS.

Ejemplo:

(5x+3)2 = (5x+3) (5x+3)

= 25x2= + 15x + 15x + 9

= 25x2= + 30x + 9

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. Efectuar:

a) ( x - 1) 2

Solución :

( x - 1)2= ( x - 1) ( x - 1) = x2 - x – x + 1= x2 - 2x + 1

b) (3x2 + 6) 2

Solución:

= (3x2 + 6) 2 = (3x2 + 6) (3x2 + 6)

= 9x4 + 18x2 + 18x2+ 36

= 9x4 + 36x2 + 36

c)2

2 33

1

x

Solución :

22 3

3

1

x =

3

3

1 2x

3

3

1 2x

= 99

1 224 xxx

= 929

1 24 xx

2. Efectuar:

( x + 1) 2 - ( x - 1) 2

a) 2x – 1 b) x + 1 c) 6x – 3d) 7x + 3 e) 2x

Solución :

(x + 1)2 - ( x - 1) 2

= (x + 1) (x + 1) - ( x - 2) ( x - 2)

= x2 + x + x + 1 – (x2 - 2x – 2x + 4)

= x2 + 2x + 1 – (x2 - 4x + 4)

= x2 + 2x + 1 – x2 + 4x - 4)

= 6x – 3

Rpta. ( c )

3. Efectuar:

= 7 ( x – 7 )2 - 7 ( x + 7 )2

a) 196 b) 196x c)-196x

d) 192x e) -192x

SOLUCIÓN:

= 7 (x - 7) (x - 7)- 7 (x + 7) (x + 7)

=7(x2–7x-7x+49)–7(x2 +7x+7x+49)

=7( x2–14x+49 ) – 7( x2 +14x+49 )

=7x2 – 7(14x)+7(49)–7x2– 7(14x)-7(49)

- 2.7 (14x)

= - 14 (14x) = -196x

RPTA ( C )

4. Efectuar:

( x3 - 3x) 2 - )2)(2()1)(1( 2 xxxx

a) 1 b) 5 c) 7 d) 4 e) 8

Solución :

( x3 - 3x) ( x3 - 3x) - )4(1 222 xx

x6 - 3x4 - 3x4 + 9x2 – (x2 - 1) (x2 -1) (x2 - 4)

-- 56 -

CONSTRUYENDO

MIS CONOCIMIENTOSREFORZANDO

MIS CAPACIDADES

x6 - 6x4 + 9x2 – (x4 – 2x2 + 1) (x2 -4)

x6 - 6x4 + 9x2 – (x6 – 2x4 + x2 –4x4 + 8x2 -4)

= x6 - 6x4 + 9x2 – (x6 – 6x2 + 9x2 –4)

= x6 - 6x4 + 9x2 – x6 – 6x2 + 9x2 –4

= 4

Rpta (d)

1. Ðe que grado es el siguiente polinomio?

P(x) = x3 (x5 – 3)2 + 3x (x8 + 1)2

a) 15 b) 13 c) 17d) 14 e) 8

2. Dar el grado del producto de P(x) y Q(x)

sabiendo que:

P(x) = (x17 + x2 + 1)2 (x + 5) + x3 - 3

Q(x) = (2x7 - 5x3 + 3)x2 - x – 1

a) 12 b) 15 c) 22d) 44 e) 36

3. ¿Cuál es el término independiente al elevar alcubo el binomio (x + 4)?

a) 4 b) 64 c) 8d) 12 e) -12

4. Dar el término que no depende de “y” al

efectuar (2y + 2)3

a) 4 b) 6 c) 8d) 5 e) 7

1. Efectuar:

a) (3m5 + 3)2

b) (3mn2 - 3)2

c) (a – 2b)4

d) (x2 - 1)4

2. Efectuar: (x + 3)2 – (x + 1)

a) 2x + 1

b) 6x + 9

c) 6x + 8

d) 4x + 8

e) 4x + 9

3. Hallar:

(x2 + 3)2 – (x2 - 2)2 (3) + 2x4 – 18x2 – 8

a) 9 b) –12 c) - 8d) - 11 e) 13

4. ¿Cuál es el grado del producto P(x) y Q(x)

sabiendo que:

P(x) = (2x10 + 3)2 – x3 + 1

-- 57 -

Q(x) = (x18 – 3x12) x2 – x + 3

a) 36 b) 24 c) 56d) 20 e) 44

5. ¿Cuál es el término independiente al elevar alcubo el binomio (3m2 + 6)?

a) 36 b) 12 c) 18d) 216 e) -24

6. Dar el término que no depende de “z” alefectuar (3z + 8)3

a) 24 b) 64 c) 512d) 16 e) -32

7. Efectuar :

(x + 3)2 - (x - 1)2 + (x - 3)2 - (x + 1)2

a) 18 b) - 2 c) 16d) - 6 e) 10

8. Efectuar :(x + 5)2 - (x + 2)2 - (x - 2)2 - (x - 5)2

a) 50 b) 25 c) 42d) - 8 e) 21

9. Dar el término independiente al efectuar (x+ 3)2 - (18x + 32)

a) - 32 b) 9 c) - 23d) 41 e) - 9

10.Dar el grado del producto A(x), B(x) y C(x) sise sabe que:

A(x) = (2x3 - 1)2 x4 + x - 6B(x) = (x2 - 3)2 x + 5x2 - 1C(x) = (x - 5)2

a) 10 b) 17 c) 15d) 19 e) 14