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Lección 2-Multiplicación de Polinomios

Dra. Noemí L. Ruiz Limardo

2009 ©

Objetivos de la Lección

Al finalizar esta lección los estudiantes:

• Multiplicarán correctamente diferentes polinomios dados

• Aplicarán reglas para resolver algunos productos especiales

• Resolverán problemas donde se aplique la multiplicación de polinomios

Introducción• El estudio de los polinomios es de fundamental

importancia, como hemos presentado en lecciones anteriores. Los conceptos y destrezas con polinomios se aplican en múltiples campos y situaciones de la vida diaria.

• Para tener éxito en el estudio de conceptos matemáticos superiores y otros cursos más avanzados, se necesita tener dominio de los polinomios.

• En esta lección estudiaremos la multiplicación de polinomios y veremos algunas aplicaciones , principalmente aquellas que se relacionan con el área de polígonos y otras figuras geométricas.

Introducción

• En la multiplicación de polinomios se aplican propiedades de números reales y de exponentes que hemos estudiado anteriormente. Es por esto que estaremos repasando conceptos y destrezas que se han estudiado previamente.

• El proceso para multiplicar polinomios se diferencia de acuerdo a los tipos de polinomios que se multipliquen. Es decir, el proceso para multiplicar dos o más monomios es diferente de la multiplicación de un monomio por un polinomio que tenga dos o más términos, y también es diferente de la multiplicación de dos o más polinomios que tengan dos o más términos.

Introducción

• En esta lección estudiaremos el proceso para multiplicar polinomios de acuerdo a cada tipo de polinomio.

• En las próximas pantallas veremos este proceso.

Caso 1:Multiplicación de Monomios

Reflexión• Un monomio es un polinomio de un término.

• Algunos ejemplos de monomios son:

3

x

-6mn

a3b2c

2x2y

• Observa que un monomio puede ser una constante, una variable, o un producto formado por constante y variables.

z2

1

Reflexión

• Recuerda que cuando hay una constante sola, ésta representa el término a0 del polinomio. En este caso la variable que se está multiplicando por la constante es x0. Así que también hay un producto implícito cuando tenemos una constante sola.

• Cuando tenemos una variable sola, la constante a1 que está implícita en el producto es 1.

3 x -6mn a3b2c 2x2y z2

1

Descubriendo el proceso para multiplicar monomios

• Como los monomios representan un producto, al multiplicar monomios podemos aplicar las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación.

• Recuerda que la propiedad conmutativa de la multiplicación nos asegura que podemos cambiar el orden de los factores y obtendremos el mismo resultado.

• La propiedad asociativa de la multiplicación nos asegura que podemos cambiar la asociación de los factores y obtendremos el mismo resultado.


• Esto significa que para multiplicar dos o más monomios podemos cambiar el orden de los factores para poder asociar las constantes con las constantes y las variables con bases iguales con las variables con bases iguales.

• Ejemplo:

(2x2y) (-3x3y4)

(2 . -3) (x2 . x3) (y . y4)

• Al multiplicar las variables aplicamos las leyes de exponentes.

• Cuando se multiplican bases iguales, se suman los exponentes de las variables.


• Aplicando las leyes de exponentes tenemos:

(2x2y) (-3x3y4)

(2 . -3) (x2 . x3) (y . y4)

(-6) (x5) (y)

• Así que el resultado de multiplicar (2x2y) (-3x3y4) es -6x5y.

Proceso para multiplicar dos o más monomios

• Se multiplican las constantes de cada monomio.

• Se multiplican las variables que tengan bases iguales aplicando las leyes de exponentes.

– Al aplicar las leyes de exponenes se suman los exponentes de las variables iguales.

• Se expresa el resultado como un monomio.

Ejemplo 1

Multiplica: (6x4y2) (-3x2y5z)

(6x4y2) (-3x2y5z) =

(6 . -3) (x4 . x2) (y2 . y5) (z) =

(-18) (x6) (y7) (z) = -18x6y7z

Se multiplican las

constantes y las

variables con bases

iguales.

Se suman los

exponentes de las

variables con bases

iguales.Se expresa el

resultado como un

monomio.

Ejemplo 2

Multiplica: (-4xw2y4) (-5x2y3)

(-4xw2y4) (-5x2y3) =

(-4 . -5) (x . x2) (y4 . y3) (w2) =

(20) (x3) (y7) (w2) =

Se multiplican las

constantes y las

variables con bases

iguales.

Se suman los

exponentes de las

variables con bases

iguales.

Se expresa el

resultado como un

monomio.

20x3y7w2

Ejemplo 3

Multiplica: 5a (-2b2c3) (8a2b3c2)

5a (-2b2c3) (8a2b3c2) =

(5 . -2 . 8) (a . a2) (b2 . b3) (c3 . c2) =

(-80) (a3) (b5) (c5) =

En este ejemplo hay tres monomios.

Se aplica el mismo proceso.

-80a3b5c5

Ejercicios de práctica

Multiplica los siguientes monomios en tu

libreta y luego haz clic para ver resultados.

-7a2b ( 4ab2) =

-5x2 . 6xy =

5x5y4 (2xy3z) =

-28a3b3

-30x3y

10x6y7z

Caso 2:Multiplicación de un monomio por un polinomio de dos o más

términos

Multiplicación de un monomio por un polinomio de dos o más términos

• Cuando multiplicamos un monomio por un polinomio que tenga dos o más términos se aplica la propiedad distributiva.

• Repasemos un ejemplo de la propiedad distributiva: 2 (3 + 5)

2 (3 + 5) =

2(3) + 2(5) =

6 + 10 =

16

• Observa que el 2 es un monomio y que dentro del paréntesis

tenemos dos términos: positivo 3 y positivo 5.

• Se multiplica el 2 por cada término dentro del paréntesis.

Multiplicación de un monomio por un polinomio de dos o más términos

• Otro ejemplo de la propiedad distributiva: 3 (x2 + 5x - 4)

3 (x2 + 5x - 4) =

3(x2) + 3(5x) + 3(-4) =

3x2 + 15x - 12

Observa que como cada término dentro del paréntesis es un

monomio, al multiplicar el 3 por cada término se aplica el proceso

explicado en la sección anterior.

Proceso para multiplicar un monomio por un polinomio

de dos o más términos

Proceso:

• Se multiplica el monomio por cada término del polinomio dentro del paréntesis. (Se aplica la propiedad distributiva)

• Al multiplicar el monomio por cada término dentro del paréntesis se aplica el proceso explicado en la sección anterior.

Ejemplo 1

Multiplica: 6x2 (-3x - 2y3 + 7)

6x2 (-3x - 2y3 + 7) =

6x2(-3x) + 6x2(-2y3) + 6x2(7) =

-18x3 - 12x2y3 + 42x2

Ejemplo 2

Multiplica: 2xy3 (4xy2 - 5x3y - 3)

2xy3 (4xy2 - 5x3y - 3) =

2xy3(4xy2) + 2xy3 (- 5x3y) + 2xy3(-3) =

8x2y5 - 10x4y4 - 6xy3


Multiplica en tu libreta y luego haz clic para ver

resultados.

2xy (2x – 3y) =

a2 (2a2 – 5a3 ) =

-5cd (3c2d –5cd2 + 1) =

4x2y – 6xy2

2a4 – 5a5

-15c3d2 + 25c2d3 - 5cd

Multiplicación de polinomios de dos o más

términos

Proceso para multiplicar polinomios de dos o más términos• Para multiplicar dos polinomios de dos o más

términos, se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo.

• Luego, se suman los términos que sean semejantes.

Cuando tenemos polinomios de dos o más términos…

• Podemos aplicar dos métodos: horizontal y vertical.

• Horizontal- Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo y se coloca el resultado en forma horizontal. Luego, se suman los términos que sean semejantes.

• Vertical- Colocamos los polinomios en forma vertical similar a lo que estamos acostumbrados al multiplicar cardinales. Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro colocando los términos semejantes juntos (debajo de su término semejante correspondiente). Luego, se suman los términos semejantes.

Reflexión• En el caso de la multiplicación de dos binomios,

el método horizontal se conoce también como el método: FOIL.

• En las pantallas siguientes, ilustraremos ejemplos de ambos métodos.

• Primero ilustraremos ejemplos de la multiplicación de dos binomios usando el método FOIL y el método vertical.

• Luego ilustraremos ejemplos de la multiplicación de trinomios y otros tipos de polinomios por alguno de los dos métodos.

Multiplicación de binomios

Ejemplo 1-Método Horizontal• Multiplique: (x + 3)(x + 5)

• Multiplicamos cada término del primer binomio por cada término del segundo binomio y colocamos el resultado en forma horizontal.

(x + 3)(x + 5) = (x+3) ∙x + (x+3) ∙5

• Aplicamos propiedad distributiva

= x2 + 3x + 5x + 15

• Sumamos términos semejantes

= x2 + 8x + 15

• Resultado: x2 + 8x + 15

Método FOIL

• Observe que al aplicar la propiedad distributiva se obtiene un producto preliminar (antes de combinar los términos semejantes) que tiene cuatro términos:

x 2 + 3x + 5x + 15

• El término x2 es el producto de los primeros dos términos de ambos binomios, x por x.

(x + 3)(x + 5)

• El término 3x es el producto de los términos interiores, 3 y x. Observa que son interiores porque son los que quedan en el interior de la figura.

(x + 3)(x + 5)

Método FOIL

• El término 5x es el producto de los términos exteriores, 5 y x. Observa que son exteriores porque son los que están más al exterior que los demás.

(x + 3)(x + 5)

• El 15 es el producto de los últimos dos términos de ambos binomios, 3 y 5.

(x + 3)(x + 5)

Método FOIL

• Si traducimos al inglés las palabras sombreadas (primeros, exteriores, interiores, últimos) obtenemos lo siguiente:

• La palabra FOIL ayuda a recordar los términos que se van a multiplicar cuando se multiplican dos binomios.

PALABRA

SOMBREADA

TRADUCCION AL

INGLÉS

PRIMERA

LETRA

primeros First F

exteriores Outer O

interiores Inner I

últimos Last L

Ejemplo 1-FOIL• Multiplique: (x + 3)(x + 5)

(x + 3)(x + 5) =

= x2 + 5x + 3x + 15

= x2 + 8x + 15

F

O

I

L

F O I L

Ejemplo 1-Método Vertical• Multiplique: (x + 3)(x + 5)

• Colocamos los polinomios en forma vertical similar a lo que estamos acostumbrados al multiplicar cardinales.

x + 3

x + 5

+ 15

x2 + 8x + 15

• Resultado: x2 + 8x + 15

1

• Colocamos los polinomios en forma

vertical similar a lo que estamos

acostumbrados al multiplicar

cardinales.

• Se multiplica cada término de un

polinomio por cada término del otro

colocando los términos semejantes

juntos (debajo de su término

semejante correspondiente).

• Luego, se suman los términos

semejantes.

5x

23

+ 3xx2

4

Ejemplo 2-FOIL• Multiplique: (x + 4)(x - 6)

(x + 4)(x - 6) =

= x2 - 6x + 4x - 24

= x2 - 2x - 24

F

O

I

L

F O I L

Ejemplo 2-Método Vertical• Multiplique: (x + 4)(x - 6)


x + 4

x - 6

- 24

x2 - 2x - 24

• Resultado: x2 - 2x - 24

1




cardinales.







semejantes.

- 6x

23

+ 4xx2

4

Ejemplo 3-FOIL• Multiplique: (a - 7)(a - 8)

(a - 7)(a - 8) =

= a2 – 8a – 7a + 56

= a2 – 15a + 56

F

O

I

L

F O I L

Ejemplo 3-Método Vertical• Multiplique: (a - 7)(a - 8)


a - 7

a - 8

+ 56

a2 - 15a + 56

• Resultado: a2 – 15a + 56

1




cardinales.







semejantes.

- 8a

23

- 7aa2

4

Ejemplo 4-FOIL• Multiplique: (y - 4)(y + 2)

(y - 4)(y + 2) =

= y2 + 2y – 4y - 8

= y2 - 2y - 8

F

O

I

L

F O I L

Ejemplo 4-Método Vertical• Multiplique: (y - 4)(y + 2)


y - 4

y + 2

- 8

y2 - 2y - 8

• Resultado: y2 - 2y - 8

1




cardinales.







semejantes.

+ 2y

23

- 4yy2

4

Ejemplo 5-FOIL• Multiplique: (y + 5)(x + 3)

(y + 5)(x + 3) =

= xy + 3y + 5x + 15

= xy + 3y + 5x + 15

F

O

I

L

F O I L

• Observa que cuando

no hay términos

semejantes el resultado

es la suma de todos los

términos.

Ejemplo 5-Método Vertical• Multiplique: (y + 5)(x + 3)


y + 5

x + 3

+ 15

xy + 5x + 3y + 15

• Resultado: xy + 5x + 3y + 15

1




cardinales.







semejantes.

• Observa que cuando no hay

términos semejantes el resultado es

la suma de todos los términos.

3y

23

+ 5xxy

4


Multiplica los siguientes binomios en tu

libreta aplicando cualquier método y

luego haz clic para ver resultados.

(x + 3) (x – 5) =

(4a - 1) (2a – 7) =

(c2 - 5) (3c + 8) =

x2 – 2x – 15

8a2 – 30a + 7

3c3 + 8c2 - 15c - 40

Multiplicación de polinomios que no son

binomios

Multiplicación de polinomios que no son binomios

• Cuando multiplicamos polinomios que no son binomios podemos usar el método horizontal o el método vertical también.

• En las siguientes pantallas veremos estos ejemplos.

Ejemplo 1-Método Horizontal• Multiplique: (x2 + 3x + 7)(x - 2)


(x2 + 3x + 7)(x - 2) = x2(x-2)+ 3x(x-2) + 7(x-2)

• Aplicamos propiedad distributiva:

= x3 – 2x2 + 3x2 – 6x + 7x - 14


= x3 + x2 + x - 14

• Resultado: x3 + x2 + x - 14

Ejemplo 1-Método Vertical• Multiplique: (x2 + 3x + 7)(x - 2)


x2 + 3x + 7 x - 2

-2x2 - 6x - 14

x3 + 3x2 + 7x

x3 + x2 + x - 14

• Resultado: x3 + x2 + x - 14

• Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro

colocando los términos semejantes juntos (debajo de su término semejante

correspondiente).

• Luego, se suman los términos semejantes.

Ejemplo 2-Método Horizontal• Multiplique: (x2 - 4x + 1)(x2 + 5x - 12)


(x2 - 4x + 1)(x2 + 5x - 12) = x2(x2 + 5x - 12)

- 4x(x2 + 5x - 12)

+ 1(x2 + 5x - 12)

• Aplicamos propiedad distributiva:

= x4 + 5x3 – 12x2 - 4x3 - 20x2 + 48x + x2 + 5x - 12


= x4 + x3 - 31x2 + 53x - 12

Ejemplo 2-Método Vertical• Multiplique: (x2 - 4x + 1)(x2 + 5x - 12)


x2 - 4x + 1

x2 + 5x - 12

-12x2 + 48x - 12

5x3 - 20x2 + 5x

x4 -4x3 + x2

x4 + x3 - 31x2 + 53x - 12

• Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro

colocando los términos semejantes juntos (debajo de su término semejante

correspondiente).

• Luego, se suman los términos semejantes.

Productos Especiales

Reflexión• Hay polinomios que cuando se multiplican el

resultado representa un producto especial.

• Son productos especiales en el sentido de que cada vez que se dan las condiciones o características de los polinomios que se multiplican, ocurre un patrón en el resultado.

• A continuación se presentan ejemplos de polinomios que deberás multiplicar en tu libreta para luego descubrir cuáles son los patrones.

Producto Especial 1

• Multiplica los siguientes polinomios en tu libreta. Luego descubre cuál es el patrón en los polinomios que se multiplican y en el resultado. Haz clic para ver resultados.

(x + 3) (x+ 3) =

(y + 2) (y+ 2) =

(n + 7) (n + 7)

(a + b) (a + b) =

(x + y) (x + y) =

a2 + 2ab + b2

x2 + 6x + 9

x2 + 2xy + y2

y2 + 4y + 4

n2 + 14n + 49

Reflexión sobre el Producto Especial 1

• Observa que los dos binomios que se multiplican son iguales, esto es, se eleva cada binomio al cuadrado.

• Observa que los binomios son de suma.

(x + 3) (x+ 3) = (x + 3)2

(y + 2) (y+ 2) = (y + 2)2

(n + 7) (n + 7) = (n + 7)2

(a + b) (a + b) = (a + b)2

(x + y) (x + y) = (x + y)2


• Observa que el resultado de elevar al cuadrado el binomio de suma es un trinomio . – El primer término del trinomio proviene de elevar al cuadrado el

primer término del binomio.

– El segundo término del trinomio proviene de multiplicar los dos términos del binomio y luego duplicar eses producto.

– El tercer término del trinomio proviene de elevar al cuadrado el segundo término del binomio.

(x + 3)2 = x2 + 2(3x) + 32 = x2 + 6x + 9

(y + 2)2 = y2 + 2(2y) + 22 = y2 + 4y + 4

(n + 7)2 = n2 + 2(7n) + 72 = n2 + 14n + 49

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Producto Especial 1: Cuadrado de una Suma

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

• Para elevar al cuadrado una suma, cuadramos el primer término (a2), añadimos luego el doble del producto de ambos términos (2ab), y finalmente sumamos el cuadrado del segundo término (b2).

• Podemos multiplicar los ejemplos anteriores aplicando esta fórmula, sin tener que multiplicar propiamente.

Ejercicio de Práctica

• Halla el producto de los siguientes polinomios aplicando la fórmula del Cuadrado de una Suma . Luego haz clic para ver resultados.

(x + 5) (x+ 5) =

(y + 4) (y+ 4) =

(n + 9) (n + 9) =

x2 + 10x + 25

y2 + 8y + 16

n2 + 18n + 81

Producto Especial 2


(x - 6) (x- 6) =

(y - 12) (y- 12) =

(n - 10) (n - 10)

(a - b) (a - b) =

(x - y) (x - y) =

a2 - 2ab + b2

x2 - 12x + 36

x2 - 2xy + y2

y2 - 24y + 144

n2 - 20n + 100


• Observa que los dos binomios que se multiplican son iguales, esto es, se eleva cada binomio al cuadrado.

• Observa que los binomios son de resta.

(x - 6) (x - 6) = (x - 6)2

(y - 12) (y- 12) = (y - 12)2

(n - 10) (n - 10) = (n - 10)2

(a - b) (a - b) = (a - b)2

(x - y) (x - y) = (x - y)2


• Observa que el resultado de elevar al cuadrado el binomio de resta es un trinomio . – El primer término del trinomio proviene de elevar al cuadrado el

primer término del binomio.

– El segundo término del trinomio proviene de multiplicar los dos términos del binomio y luego duplicar eses producto.

– El tercer término del trinomio proviene de elevar al cuadrado el segundo término del binomio.

(x - 6)2 = x2 + 2(-6x) + (-6)2 = x2 - 12x + 36

(y - 12)2 = y2 + 2(-12y) + (-12) 2 = y2 - 24y + 144

(n - 10)2 = n2 + 2(-10n) + (-10)2 = n2 - 20n + 100

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(x - y)2 = x2 - 2xy + y2

Producto Especial 2:Cuadrado de una Resta

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

• Para elevar al cuadrado una resta, cuadramos el primer término (a2), añadimos luego el doble del producto de ambos términos (2ab), y finalmente sumamos el cuadrado del segundo término (b2).



• Halla el producto de los siguientes polinomios aplicando la fórmula del Cuadrado de una Resta. Luego haz clic para ver resultados.

(x - 8) (x - 8) =

(y - 7) (y - 7) =

(n - 5) (n - 5) =

x2 - 16x + 64

y2 - 14y + 49

n2 - 10n + 25

Producto Especial 3


(x + 3) (x- 3) =

(y - 5) (y + 5) =

(n + 8) (n - 8) =

(a - b) (a + b) =

(x + y) (x - y) =

a2 - b2

x2 - 9

x2 - y2

y2 - 25

n2 - 64


• Observa que los dos binomios que se multiplican tienen los mismos términos, excepto que uno es de suma y el otro es de resta. (x + 3) (x- 3) = x2 - 9

(y - 5) (y + 5) = y2 - 25

(n + 8) (n - 8) = n2 - 64

(a - b) (a + b) = a2 - b2

(x + y) (x - y) = x2 - y2

• Observa que el resultado es un binomio. – El binomio es de resta.

– El primer término proviene de elevar al cuadrado el primer término.

– El segundo término proviene de elevar al cuadrado el segundo término.

Producto Especial 3:Diferencia de Cuadrados

(a + b)(a - b) = a2 - b2

• Para mutiplicar dos binomios con los mismos términos, excepto que uno es de suma y el otro de resta, lo expresamos como la diferencia del cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.



• Halla el producto de los siguientes polinomios aplicando la fórmula de Diferencia de Cuadrados. Luego haz clic para ver resultados.

(x - 4) (x + 4) =

(y - 7) (y + 7) =

(n + 6) (n - 6) =

x2 - 16

y2 - 49

n2 - 36

Problemas de Aplicación

Problemas de Aplicación

• En esta sección veremos algunos ejemplos de problemas donde se aplica la multiplicación de polinomios.

Problema 1

• Supón que se invierten P dólares en una cuenta de ahorro a una taza de interés i, compuesto anualmente, por 2 años. La cantidad acumulada A al cabo de los dos años está dada por la siguiente ecuación:

A = P (1 + i)2

• Halla una expresión polinómica equivalente a A.

Solución al Problema 1

• Hay varias expresiones polinómicas equivalentes a A. Cada una de las siguientes es una expresión equivalente:

A = P (1 + i)2

= P (1 + i)(1 + i)

= P (1 + 2i + i2)

= P + 2Pi + Pi2

Problema 2

• Halla una expresión polinómica para el área total de la figura a continuación:

x

x

3

2

Solución al Problema 2• El área de un rectángulo se determina multiplicando la

longitud porla altura. Para hallar una expresión polinómica que represente el área total de la figura observamos que la longitud es (x + 3) y la altura es (x + 2)

• Algunas de las expresiones polinómicas pueden ser:

(x + 3)( x + 2) ó x2 + 5x + 6

x

x

3

2

Longitud

Altura

Problema 3

• La figura a continuación representa una habitación de un niño. Se desea colocar losa en el piso de la habitación. Para determinar la cantidad de losa que hay que comprar hay que hallar el área de la habitación. Determina el área de la habitación usando una expresión polinómica.

x

x

y

y

Solución al Problema 3

• Para hallar el área de la figura se determina el área del cuadrado azul y el área del cuadrado amarillo. Luego sumamos ambas áreas.

• El área del cuadrado azul es: x2

• El área del cuadrado amarillo es: y2

• El área de la figura es x2 + y2.

x

x

y

y

Ejercicios de Práctica

Instrucciones

• Resuelve los ejercicios a continuación en tu libreta.

• Sigue las instrucciones que aparecen en cada pantalla.

• Después de hacer los ejercicios, verifica los resultados en la sección final donde aparecen las Contestaciones a los Ejercicios de Práctica.

Ejercicio 11. Multiplique los siguientes polinomios y exprese el

resultado en forma decreciente.

ITEM Polinomios

1 (-5x3y) (-3x2y4) (2x2y3z)

2 (2x2 y3)2 (7x2y)

3 (2x + 3)( x – 5)

4 (5x + 2)(5x – 2)

5 (5x – 1)2

6 (x2 - 3x+5) (7x2- 8x-3)

7 -4x2(x2 – 6x + 1)

Ejercicio 2• La fórmula para determinar el interés compuesto es:

A es la cantidad de dinero que se tiene al cabo del tiempo después de invertir dinero a una taza de interés anual r.

P es la cantidad de dinero que se inverte a total de t años.

n es el número de veces que se calcula la taza de interés compuesto anualmente.

• Calcula la cantidad de dinero que se habrá ahorrado al cabo de 2 años, si se invierte $1,000 a una taza de interés compuesto anual de 6%, calculado una vez al año.

tn

n

rPA 1

Ejercicio 3• Encuentra una expresión polinómica simplificada que

exprese el área de la región sombreada:

x + 4

2x + 3

2x

x

Contestaciones a los Ejercicios de Práctica

Ejercicio 11. Multiplique los siguientes polinomios y exprese el

resultado en forma decreciente.

ITEM Resultado

1 30x7y8z2 28x6y7

3 2x2 – 7x - 154 25x2 - 45 25x2 – 10x + 16 7x4 – 29x3 + 56x2 – 31x - 157 -4x4 + 24x3 – 4x2

Ejercicio 2• Se habrá ahorrado $1,123.60. Veamos:

206.01000,1A

tn

n

rPA 1

21

1

06.01000,1A

206.1000,1A

1236.1000,1A

6.123,1A

Ejercicio 3• Una expresión polinómica simplificada que exprese el área de

la región sombreada es: 11x + 12

• Veamos: [(x + 4) (2x + 3)] – [x (2x)]

(2x2 + 11x + 12) – 2x2

11x + 12

x + 4

2x + 3

2x

x

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