Multiplicación y división de polinomios

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COPERSO CURSO: MATEMATICAS PROF: VICTOR MUÑOZ TRABAJO: PORTAFOLIO DIGITAL NOMBRE: CARLOS ANTONIO UJPAN COLEGIO PRIVADO MIXTO PERPETUO SOCORRO

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Page 1: Multiplicación y división de polinomios

COPERSO

CURSO: MATEMATICAS

PROF: VICTOR MUÑOZ

TRABAJO:

PORTAFOLIO DIGITAL

NOMBRE: CARLOS ANTONIO UJPAN

COLEGIO PRIVADO MIXTO PERPETUO SOCORRO

Page 2: Multiplicación y división de polinomios

INTRODUCCION

La matemática es fundamental para el desarrollo de una inteligencia intelectual, ya

que por ello estoy realizando algunos ejercicios que son, Multiplicación y división de

polinomios, Productos notables y entre otros que estarán a disposición de quienes

desean aprender.

Page 3: Multiplicación y división de polinomios

JUSTIFICACION

La realización de este trabajo esta basados en la matemática para demostrar que con

ella nosotros podemos aprender de ella y así poder tener un buen desarrollo

académico

Page 4: Multiplicación y división de polinomios

INDICE

PORTADA………………………………………………………………….. 1

INTRODUCCION…................................................................................... 2

JUSTIFICACION…………………………………………………………. 3

INDICE…………………………………………………………………….. 4

CONTENIDO: Multiplicación de polinomio …………………………….5

Productos notables……………………………………………………………6

Problemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita ……………7

Problemas de Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado con dos Incógnitas 8

Ecuación de Primer Grado con dos incógnita…………………………….. 9

Ecuaciones de primer grado con tres incógnitas…………………………. 10

Ecuaciones Cuadráticas – Factorización………………………………… 11

Conclusiones ……………………………………………………………….. 12

Recomendaciones…………………………………………………………… 13

Referencias bibliográficas ………………………………………………... 14

Egrafias…………………………………………………………………….. 15

Page 6: Multiplicación y división de polinomios

MULTIPLICACIÓN

La multiplicación consiste en sumar una cantidad tantas veces como lo indica la segunda o primera cantidad

Por ejemplo:

(9)*(5) = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45 o bien (9)*(5) = 5+5+5+5+5+5+5+5+5 = 45

ELEMENTOS DE UNA MULTIPLICACIÓN

FACTORES: Son las cantidades que se multiplican

PRODUCTO: Es el resultado de multiplicar los factores.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

Para la multiplicación, debemos tener en cuenta la siguiente ley de exponentes:

En la multiplicación de expresiones algebraicas se pueden distinguir tres casos:

Multiplicación de un monomio por un monomio

Multiplicación de un polinomios por un monomio

Multiplicación de un polinomio por otro polinomio

Multiplicación de

un:

Procedimiento: Ejemplo:

Monomio por un

monomio

Determinar el signo

del producto.

Multiplica los

coeficientes

numéricos.

Multiplica las partes

literales utilizando las

leyes de los

exponentes

correspondientes

Monomio por un

polinomio

Se utiliza la propiedad

distributiva de la

multiplicación; es

decir se multiplica

cada término del

polinomio por el

monomio.

Multiplicación: Operación en la que dos expresiones denominadas “multiplicando” y “multiplicador” dan como resultado un

“producto”. Al multiplicando y multiplicador se les denomina “factores”.

Regla de los signos:

(+)(+) = + (-)(+) = -

(+)(-) = - (-)(-) = +

En la multiplicación

de bases iguales, los

exponentes se suman:

Page 7: Multiplicación y división de polinomios

Polinomio por un

polinomio

Cada término del

primer polinomio se

debe multiplicar por

cada uno de los

términos del segundo

polinomio y después

se deben agrupar los

términos semejantes,

ya que son los que se

pueden sumar o

restar.

D I V I S I Ó N

División: Operación en la que dos expresiones denominadas “dividendo” y “divisor” dan como resultado un

“cociente”.

La división se regula por las siguientes leyes de los signos:

Para la división, debemos tener en cuenta la siguiente ley de exponentes:

Por ejemplo:

ELEMENTOS DE UNA DIVISIÓN

Con respecto a la división y en relación con los polinomios distinguiremos tres casos:

División de un:

Procedimiento: Ejemplo:

Monomio entre un

monomio

Determinar el signo del cociente

Dividir los coeficientes numéricos.

Aplicar las leyes de los exponentes

correspondientes

En la división de bases iguales, los exponentes

se restan y si el exponente es cero, recuerda

que todo número o expresión elevada a la

apotencia cero es igual a la unidad (1)

Page 8: Multiplicación y división de polinomios

Polinomio entre

monomio

Se utiliza la propiedad distributiva

de la división, Se divide cada

término del polinomio entre el

monomio y se suman o restan según

sea el caso los cocientes obtenidos.

Polinomio entre

polinomio

Se ordenan los dos polinomios en

orden decreciente

Se divide el primer término del

dividendo entre el primer término

del divisor.

Se multiplica el primer término del

cociente por el divisor y el producto

obtenido se resta del dividendo,

obteniendo un nuevo dividendo.

Con el nuevo dividendo se repiten

las operaciones de los pasos dos y

tres hasta que el resultado sea cero

o de menor exponente que el

divisor.

Productos notables

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se

multiplican se llamanfactores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que

es preciso saberfactorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados

en los ejercicios.

A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la

forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la

primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 +

2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)

2

Nota:

Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.

Page 9: Multiplicación y división de polinomios

Ver: PSU; Matemática

Pregunta 12_2005

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de

la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 –

2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)

2

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)

(a + b) (a – b) = a2 – b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos

el cuadrado de la segunda

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b)

(a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 – b

2

Ver: PSU: Matematica,

Pregunta 15_2010

Pregunta 19_2010

Pregunta 09_2006

Otros casos de productos notable (o especiales):

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Demostración:

Page 10: Multiplicación y división de polinomios

Veamos un ejemplo explicativo:

Tenemos la expresión algebraica

x2 + 9 x + 14

obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )

¿Cómo llegamos a la expresión?

a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2

b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x

c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Así, tenemos:

x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a

+ b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a

– b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 – (a

+ b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)

En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx2 +

ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx +

b).

Page 11: Multiplicación y división de polinomios

Cubo de una suma

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 +

3a2b + 3ab

2 + b

3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)

3.

Cubo de una diferencia

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 –

3a2b + 3ab

2 – b

3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)

3.

A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica

que lo representa:

Producto notable Expresión algebraica Nombre

(a + b)2 = a

2 + 2ab + b

2 Binomio al cuadrado

(a + b)3 = a

3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3 Binomio al cubo

a2 b2 = (a + b) (a b) Diferencia de cuadrados

a3 b

3 = (a b) (a2 + b

2 + ab) Diferencia de cubos

a3 + b

3 = (a + b) (a2 + b

2 ab) Suma de cubos

a4 b

4 = (a + b) (a b) (a2 + b

2) Diferencia cuarta

(a + b + c)2 = a

2 + b

2 + c

2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas

que se pueden escribir de la siguiente forma:

ax + b = 0

Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de

cero. Estas ecuaciones se identifican verificando que la variable no

tenga exponente.

¿Todavía tienes dudas sobre este tema?

Solución

La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es

simpre un solo valor de la variable. En algunos casos se puede conocer

la solución por simple inspección, por ejemplo, para la ecuación 7 - x

= 4 es facil deducir que la solución es x = 3 porque 7 - 3 = 4. Sin

embargo, en la mayoría de los casos es necesario seguir un

Page 12: Multiplicación y división de polinomios

procedimiento algebraico para encontrar la solución, sobretodo si la

ecuación contiene fracciones y/o radicales.

La ecuación está solucionada cuando es posible presentarla como x =

n donde n es la solución. Cuando la ecuación tiene esa forma se dice

que la variable está despejada.

¿Todavía tienes dudas sobre este tema?

Procedimiento para encontrar la solución

Para encontrar la solución se realizan varias operaciones sobre los dos

miembros de la ecuación utilizando las propiedades de la igualdad y

las propiedades de las operaciones inversas.

Si a los dos miembros se les suma un número, se les resta un número, se

multiplican por un número, se dividen entre un número, se elevan a la

misma potencia o se obtiene su raíz enésima la igualdad se mantiene.

Si a un miembro de la ecuación se le suma y resta el mismo número, se

multiplica y se divide por el mismo número o se eleva a una potencia n y

se obtiene su raiz enésima al mismo tiempo ese miembro permanece

inalterado y la igualdad se mantiene.

Se busca que los términos que contienen a la variable pasen al primer

miembro y que los términos que no contienen a la variable se pasen al

segundo miembro.

Ejemplo. Resolver la ecuación 2x + 3 = 21 - x.

El término 2x se mantiene en el primer miembro (a la izquierda del =)

porque contiene a la variable.

El término 3 se quita del primer miembro porque no contiene a la variable.

Esto se hace restando 3 a los dos miembros

El término 21 se mantiene en el segundo miembro (a la derecha del =)

porque no contiene a la variable.

El término - x se quita del segundo miembro porque contiene a la variable.

Esto se hace sumando x a los dos miembros

Se reducen términos semejantes

Page 13: Multiplicación y división de polinomios

2x + 3 - 3 + x = 21 - x - 3 + x

3x = 18

El número 3 que multiplica a x se debe quitar para dejar despejada la

variable. Para ello se dividen ambos miembros de la ecuación por 3.

(3x)/3 = (18)/3

x = 6

Ahora la variable está despejada y se ha solucionado la ecuación. Para

comprobar que x = 6 es la solución de la ecuación se evalúa

numéricamente cada miembro y se verifica la igualdad.

2(6) + 3 = 21 - (6)

12 + 3 = 15

15 = 15

Con esto se comprueba que la ecuación ha sido solucionada

correctamente.

Un poco más sobre el procedimiento

En la resolución de ecuaciones es común escuchar comentarios como

"lo que está restando pasa sumando" o "lo que está multiplicando pasa

dividiendo". Es válido considerar que se puede despejar algún

elemento de un miembro y pasarlo al otro miembro con la operación

inversa, pero es necesario comprender por qué se hace, para evitar

errores. En el siguiente ejemplo se illustra lo comentado aquí.

Ejemplo. Resolver la ecuación 3x - 4 = x + 2.

El término 3x contiene a la variable y debe quedarse en el primer

miembro. El término - 4 no contiene a la variable, por lo cual se debe

quitar del primer miembro, esto se hace sumando 4 a ambos

miembros.

3x - 4 + 4 = x + 2 + 4

Los términos - 4 y + 4 se eliminan porque - 4 + 4 = 0. La ecuación

queda:

3x = x + 2 + 4

Si comparamos esta ecuación con la original, observaremos que el

término - 4 del primer miembro se ha convertido en el término + 4 del

segundo miembro. En ese caso podemos decir que "el término que

estaba restando ha pasado sumando al otro miembro". Después de

reducir términos semejantes la ecuación queda:

Page 14: Multiplicación y división de polinomios

3x = x + 6

El término x contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del

segundo miembro. Esto se hace restando x a los dos miembros.

3x - x = x + 6 - x

Los términos x y - x se eliminan porque x - x = 0. La ecuación queda:

3x - x = 6

Al comparar esta ecuación con la original, observamos que el

término x del segundo miembro se ha convertido en el término - x del

primer miembro. En ese caso podemos decir que "el término que

estaba sumando ha pasado restando al otro miembro". Después de

reducir términos semejantes la ecuación queda:

2x = 6

Para despejar la x del término 2x se debe quitar el 2 de ese término.

Esto se hace dividiendo entre 2 a los dos miembros.

(2x)/2 = (6)/2

En el primer miembro, el 2 que multiplica a x y el 2 que divide se

eliminan porque 2 / 2 = 0. La ecuación queda:

x = 6/2

Al comparar esta ecuación con la anterior, observamos que

el 2 de 2x ahora está dividiendo a 6. En ese caso podemos decir que "el

término que estaba multiplicando ha pasado dividiendo al otro

miembro". Después de realizar la división, la ecuación ha sido

solucionada:

x = 3

PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

1. Halla un número tal que su triplo menos 5 sea igual a su doble más 3.

2. ¿Cual es el número cuya tercera parte más 12 da 26?

3. La suma de las macetas de dos casas vecinas es 365. Una tiene 43 más que la otra. ¿Cuantas macetas

tiene la casa que más tiene?

4. Tres números enteros consecutivos suman 69. Calcula la mitad del mayor.

5. Curro leyó en un día la cuarta parte de las páginas de un libro, y al día siguiente, una tercera parte. Si

aun le quedan 75 páginas por leer, ¿cuántas páginas tiene el libro?

6. La suma de un número entero y el doble del siguiente vale 74. ¿De qué número se trata?

7. La suma de un número y el siguiewnte de su doble es 67. Calcula dicho número.

Page 15: Multiplicación y división de polinomios

8. El triple de un número menos 11 es igual a 43. Averigua de qué número se trata.

9. Curro se gasta la mitad de su dinero en la entrada del cine y una cuarta parte en golosinas. Si le quedan

3 €, ¿cuánto dinero tenía?

10. Si al dinero que tengo le sumamos su mitad y su cuarta parte, y le añadimos un euro, tendré entonces 64 €. ¿Cuánto dinero tengo ahora?

Problemas de Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado con dos Incógnitas

Recuerda las cuatro fases que tendremos que seguir para resolver un problema:

1.- Comprender el problema.

2.- Plantear el sistema de ecuaciones.

3.- Resolver el sistema de ecuaciones por el método que creas más conveniente.

4.- Comprobar la solución.

1. En un aparcamiento hay 55 vehículos entre coches y motos. Si el total de

ruedas es de 170.

¿Cuántos coches y cuántas motos hay?.

2. Dos kilos de plátanos y tres de peras cuestan 7,80 euros. Cinco kilos de

plátanos y cuatro de

peras cuestan 13,20 euros. ¿A cómo está el kilo de plátanos y el de peras?

3. En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 14 cabezas y 38 patas.

¿Cuántas gallinas y

cuántos conejos hay en el corral?

4. He comprado un DVD y me ha costado 105 euros. Lo he pagado con 12 billetes

de dos tipos,

de 5 euros y de 10 euros. ¿Cuántos billetes de cada clase he entregado?

5. Un fabricante de bombillas gana 0,3euros por cada bombilla que sale de la

fábrica, pero

pierde 0,4 euros por cada una que sale defectuosa. Un día en el que fabricó 2100

bombillas

obtuvo un beneficio de 484,4 euros. ¿Cuántas bombillas correctas y cuántas

defectuosas

fabrico ese día?

6. Halla dos números tales que la suma de un tercio del primero más un quinto del

segundo

sea igual a 12 y que si se multiplica el primero por 5 y el segundo por 7 se obtiene

300 como

suma de los dos productos.

7. El perímetro de un rectángulo es 64cm y la diferencia entre las medidas de la

base y la

altura es 6cm. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo.

Page 16: Multiplicación y división de polinomios

8. Seis camisetas y cinco gorras cuestan 227 euros. Cinco camisetas y 4 gorras

cuestan 188 €.

Halla el precio de una camiseta y de una gorra.

9. En un examen tipo test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada

respuesta correcta

y se restan 0,25 por cada error. Si un alumno ha sacado 10,5 puntos ¿Cuántos

aciertos y

cuántos errores ha cometido?

Fco. Javier Sánchez García Pág. 1/16

IES “Los Colegiales” Matemáticas 2º ESO Tema 6 Sistemas de Ecuaciones de 1º

Grado

10. Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.

11. Ente María y Pedro tienen un total de 65 CD’s . Sabemos que Pedro tiene 7

CD’s más que

María. ¿Cuántos CD’s tiene cada uno?

12. Un grupo de amigos planea una excursión a la montaña. Llaman a un albergue

para

preguntar cuántas habitaciones hay. La persona que les atiende les dice que hay

70 camas

disponibles repartidas en 29 habitaciones, y que las habitaciones son dobles y

triples.

¿Cuántas habitaciones hay de cada tipo?

13. En el mes de enero un vendedor de coches vende 3 coches del modelo A y 5

del modelo B,

llegando a unas ventas de 165.000 €. En el mes de febrero vende 2 coches del

modelo A y 4 del

modelo B, por un total de 122.000 €. Calcula el precio de cada modelo de coche.

14. He comprado un cuaderno que costaba 3 euros y para pagarlo he utilizado

nueve

monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas de

cada clase heutilizado?

Ecuación de Primer Grado con dos incógnita Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones las cuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor de cada una de ellas. La ecuación se expresa de la siguiente manera:

Ax + By = C ; donde (x ; y) son las variables, y A, B y C son número que se encuentra dentro del conjunto de los naturales. Para resolver ecuaciones de primer grado con dos o mas incógnitas se puede utilizas todas las propiedades ya anteriormete estudiadas. Ejemplo #01 3X + 6Y = 3 Para comenzar a resolver dicha ecuacion debemos tomar en cuanta lo siguiente: Al resolver la ecuación primer tomamos a una de las variables igual a (0) y la

Page 17: Multiplicación y división de polinomios

sustituimos en la ecuación y comenzamos a resolver: Tomamos como Y= 0 3X + 6(0) = 3 , Dicha multipliación se nos hace 0 y obtenemos 3X = 3 ahora dividimos ambos miembros entre 3 3X / 3 = 3 / 3 X = 1 Ahora obteniendo el valor de la variable X = 1 sustituimos en la ecuación y hallamos el valor de Y despejando: 3(1) + 6Y = 3 3 + 6Y = 3 -3 + 3 + 6Y = 3 - 3 Restamos en ambos miembros el opuesto del término independiente y obtenemos: 6Y = 0 Al pasar al otro miembro el 6 a dividir en 0 dicha division nos da 0 de tal manera que Y = 0/ 6 Y = 0 y asi hallamos en valor de Y.

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en util izar el método de

reducción de manera que en cada ecuación tengamos una

incógnita menos que en la ecuación precedente .

Resolución por el método de Gauss

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el

como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible

lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación ,

para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después

ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'2 = E2 − 3E1

Page 18: Multiplicación y división de polinomios

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación ,

para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer

reducción y eliminar el término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

Ecuaciones Cuadráticas – Factorización

Por: Melissa Murrias

Revisado por: Dra. Luz M. Rivera

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2

+ bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo:

9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2

+ 10 a = -6, b = 0, c = 10

Page 19: Multiplicación y división de polinomios

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple

2. Completando el Cuadrado

3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2

4 · -2 = -8

x + 4 = 0 x – 2 = 0

Page 20: Multiplicación y división de polinomios

x + 4 = 0 x – 2 = 0

x = 0 – 4 x = 0 + 2

x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.

Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4x2 + 12x – 8 = 0

4 4 4 4

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:

x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]

x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1 = 8 + 1

x2 + 2x + 1 = 9

( ) ( ) = 9 Hay que factor izar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ±

Page 21: Multiplicación y división de polinomios

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3 x = -1 – 3

x = 2 x = -4

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

Page 22: Multiplicación y división de polinomios

x = -2 ± 6

2

X = -2 + 6 x = -2 - 6

2 2

x = 4 x = -8

2 2

x = 2 x = - 4

Page 23: Multiplicación y división de polinomios

CONCLUSIONES

Las matemáticas son muy importantes para el desarrollo cognitivo en nuestro

ámbito estudiantil y así ser uno de los mejores.

Son esenciales para lograr un buen desarrollo académico y solo así obtendremos

lluvias de éxitos en nuestras vidas.

En mi desarrollo académico de mi vida estudiantil la matemática a sido

fundamental porque he alcanzado muchos objetivos por medio de ella

Page 24: Multiplicación y división de polinomios

RECOMENDACIONES

Para lograr hacer un buen programador es muy importante llevar al pie de la letra

la matemática.

Para obtener éxitos en nuestras vidas es necesario que las matemáticas se

acoplen a mi estilo de vida.

Es importante resaltar que le ponen mucho interés y esfuerzo a la matemática ya

que por ella obtendremos muchos beneficios para nuestras vidas laborales.

Page 25: Multiplicación y división de polinomios

RE FERENCIAS BIBILOFRAFICAS

Nota Editorial. En Educación Matemática. Vol 4 (3). Grupo Editorial

Iberoamérica. México. Diciembre. 1992. P. 5

González, H.E.: Un criterio para clasificar habilidades matemáticas.

Educación Matemática. Vol. 5. (1). Grupo Editorial Iberoamérica.

México. Abril, 1993. P. 49.

Dubinsky, Ed: El aprendizaje cooperativo de las Matemáticas en una

sociedad no cooperativa. En Revista Cubana de Educación Superior

No 2-3. CEPES. Universidad de La Habana. 1996. P. 156.