Materi Aljabar Fungsi Kuadrat

Click here to load reader

  • date post

    14-Apr-2017
  • Category

    Education

  • view

    991
  • download

    13

Embed Size (px)

Transcript of Materi Aljabar Fungsi Kuadrat

A

ALJABAR FUNGSI KUADRATALJABARFUNGSI KUADRAT

Dosen Pembimbing:DRA. CECIL HILTRIMARTIN, M.SI.DRA. NYIMAS AISYAH, M.PDDisusun oleh:

Siti Anisa Putri Utami(06081381419053)Oriza zativa(06081381419054)I Putu Satya Yoga(06081381419055)

UNIVERSITAS SRIWIJAYAFKIP MATEMATIKA2014/2015Fungsi Kuadrat

A. Fungsi Kuadrat

1. Definisi

Dalam kehidupan sehari-hari sering kali kita melihat dua besaran yang saling bergantung. Misalkan posisi benda bergantung pada waktu, harga barang bergantung pada jumlah barang yang tersedia dan lain sebagainya. Hubungan antara dua besaran dengan sifat khusus disebut sebagai fungsi.

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi. Fungsi kuadrat dalam mempunyai bentuk umum:, dengan suatu bilangan real dan . Contoh : .

2. Membuat Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat maka langkah langkah yang ditempuh adalah Tentukan titik potong grafik dengan sumbu

Grafik akan memotong sumbu jika , maka :

, dengan akar akarnya dan , dan adalah diskriminan bentuk kuadratnya.

Jika maka grafik memotong sumbu di dua titik yang berlainan, yaitu dan .

Jika maka grafik memotong sumbu di suaatu titik atau menyinggung sumbu di titik .

Jika maka grafik tidak memotong sumbu

Tentukan titik potong grafik di sumbu .

Grafik akan memotong sumbu jika , maka

.

Titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu adalah . Tentukan persamaan sumbu simetri grafik

Persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat adalah Tentukan titik puncak atau titik balik grafik fungsi kuadrat.

.

Jika , jenis titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka keatas.

Jika , jenis titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka kebawah.

Pilihlah beberapa titik pada parabola yang perlu, agar grafik lebih mulus. Tetapkan beberapa titik yang perlu kemudian dicerminkan (direfleksikan) terhadap sumbu simetrinya. Misalkan titik (0,c) dicerminkan terhadap sumbu simetri di peroleh bayngan titik Menggambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat.

Setelah titik digambarkan dalam sisitem koordinat cartesius, kemudian hubungkan titik tadi sehingga diperoleh kurva atau grafik fungsi kuadrat yang mulus dengan persamaan .

Contoh Soal :

1. Gambarlah grafik dari fungsi kuadrat berikut

Penyelesaiana.

X-5-4-3-2-1012345

y5032188202818350

Gambarka titik titik tersebut pada bidang cartesius kemudian hubungkan dengan garis lengkung

b.

X-5-4-3-2-1012345

y12,584,520,500,524,5812,5

Gambarkan titik titik tersebut pada bidang cartesius kemudian hubungkan dengan garis lengkung

Beberapa sifat grafik fungsi kuadrat

1.

Kurva diatas memiliki simetri. Nilai nilai x yang positif dan negatif menghasilkan nilai y yang sama. Oleh karena itu, jika kurva tersebut dilipat pada sumbu y, kedua bagian kurva tersebut, titik demi titik akan berhimpitan.Oleh karena itu, kurva dikatakan simetris di sumbu y, sumbu y disebut sumbu simetris Nilai maksimum kurva tersebut adalah 0 di titik asal. Kurva tersebut dikatakan memiliki titik balik di titik asal. Kemiringan kurva tidak tetap, seperti yang terjadi pada garis lurus, melainkan meningkat dari titik ketitik berswama dengan semakin besarnya nilai x.

Kurva tersebut dapat digunakan untuk menghitung kuadrat setiap bilangan dalam kisaran nilai yang diplotkan, dan juga sebaliknya, untuk menghitung akar kuadrat. Misalkan untuk menghitung , carilah titik pada kurva yang sepadan dengan 3 pada sumbu . Kemudian tampak bahwa terdapat dua titik pada sumbu yang sepadan dengan 3, nilai nilai (yaitu, ) menjadi =1,73 dan -1,73, karena positif , nilainya kira kira 1,73

2. Grafik

semua nilai untuk kurva ini secara numeris sama dengan nilai dalam , tetapi negatif, bentuk kurva ini akan sama, akan tetapi posisinya terbalik. Perhatikan gambar berikut

3. Rumus Sumbu Simetri dan Titik Balik

Kali ini kita akan menentukan sumbu simetri dan titik balik pada fungsi dengan bentuk . Kita dapat mengubah bentuk fungsi menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu

Seperti pada persamaan kuadrat, kita menuliskan , maka fungsi kuadrat tersebut dapat ditulis sebagai

Berdasarkan hasil ini kita tahu bahwa sumbu simetri parabola dan koordinat titik balik adalah .

4. Titik ekstrim fungsi kuadrat

Jika maka suku pertama dari tak negatif, sehingga mencapai nilai minimum sebesar , yang terjadi apabila . Pada kasus ini diperoleh titik minimum (titik balik minimum atau titik puncak) dan fungsi kuadrat adalah .

Jika , maka suku pertama dari y tak negatif, sehingga y mencapai nilai maksimum sebesar , yang terjadi apabila . Pada kasus ini diperoleh titik maksimum ( titik balik atau titik puncak) dan fungsi kuadrat adalah .

Metode diferensial

Untuk menentukan nilai ekstrim fungsi kuadrat dapat digunakan metode diferensial.

Nilai stasioner dicapai jika maka , yaitu

Jika maka fungsi memiliki nilai minimum untuk , yaitu .

Jika maka fungsi memiliki nilai minimum untuk , yaitu

Contoh :

1. Cari persamaan sumbu simetri dan nilai ekstrim fungsi kuadrat .

Penyelesaian

, , dan

Persamaan sumbu simetri :

Karena maka nilai ekstrimnya adalah minimum.

Jadi, persamaan sumbu simetri : dan nilai ekstrimnya adalah minimum .

5. Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu dititik dan dan melalui titik maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

.

Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu dititik dan dan melalui titik maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu dititik dan dan melalui titik maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

Contoh :1. Tentukanlah persamaan garis garis singgung pada parabola , yang melalui titik parabola itu dengan sumbu koordinat.PenyelesaianTitik potong parabola

Untuk

Untuk

Jadi persamaan garis garis singgungnya adalah

2. Bentuklah persamaan garis singgung pada parabola yang membentuk sudut dengan sumbu x. Tentukan pulalah garis singgung pada parabola yang melalui titik O (0,0)

Penyelesian

a. Garis singgung parabola yang membuat sudut dengan sumbu x

Substitusikan nilai x =1

Jadi persamaan garis singgung parabola yang membuat sudut dengan sumbu x adalah

b. Garis singgung pada parabola yang melalui titik O (0,0)

Masukkan nilai y = 0

Persamaan garis yang melalui titik (0,0)

Jadi persamaan garis singgung parabola yang melalui titik (0,0) adalah

B. Hubungan Grafik dengan Pemecahan Persamaan Kuadrat dan Ketidaksamaan

Apabila maka persamaan... Mempunyai akar akar immaginerSedangkan pertidaksamaan Tidak akan dipenuhi harga manapun yang diberikan x jika Akan dipenuhi oleh tiap tiap harga x jika

Dalam grafik pertama, parabola seluruhnya terletak diatas sumbu x, dan pada grafik kedua parabola seluruhnya terletak dibawah sumbu x

Apabila maka persaamaan mempunyai dua akar real yang sama dan grafiknya menyinggung sumbu xSedangkan pertidaksamaan Tidak akan memenuhi harga apapun yang diberikan x, jika .Sebaliknya ketidaksamaan tersebut akan dipenuhi oleh tiap tiap harga x kecuali oleh , jika

,

Dari ketua grafik diatas dapat kita lihat kedua grafik menyinggung sumbu x

Apabila maka persamaan mempunyai dua akar real yang berbeda .Untuk ketidaksamaannya Akan dipenuhi oleh jika Dan ketidaksamaan akan terpenuhi oleh atau oleh

Kedua grafik memotong sumbu x

C. Latihan Soal

Soal 1. Persamaan garis singgung pada parabola yang membentuk sudut dengan sumbu x, akan memotong garis y=9-2x pada koordinat ...2. Jika Parabola puncaknya memiliki absis 4 maka ordinatnya adalah ...3.

Tentukanlah nilai maksimum, nilai minimum, dan daerah nilainya dari fungsi kuadrat , dengan daerah asal !

4.

Jika fungsi mencapai nilai tertinggi maka nilai p adalah ...

5. Tentukan nilai b agar grafik menyinggung sumbu x

6.

Apabila sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum untuk , sedangkan untuk fungsi berharga -11 maka fungsi tersebut adalah

7.

Tentukan fungsi kuadrat yang memiliki pucak dan melalui !

8. Tentukan harga m agar garis lurus menyinggung parabola

9.

Parabola yang melalui titik serta mempunyai sumbu simetri sejajar dengan sumbu mempunyai titik puncak ...

10. Tentukan persamaan Parabola yang memiliki puncak dan melalui titik O (0,0) !

Kunci Jawaban

1. (13,-17)2. -93.

nilai maksimum, nilai minimum dan daerah hasilnya 4.

5. b=46.

7.

8. 9. (-2,2)10.

Daftar Pustaka

Budhi, Wono Setya. 2010. Matematika 1. Jakarta: CV Zamrud Kemala

K, Evi Janu. 2010. Swadidik ALJABAR. Bandung: Pakar Raya

Tampomas, Husein. 2003. Sukses Ulangan dan Ujian Himpunan dan Fungsi Kuadrat. Jakarta: PT Gramedia Widiasarana Indonesia

Umar, Teuku. 1963. Aldjabar Rendah Djilid II. Jakarta: PradnjaparamitaFungsi Kuadrat - 23 -