Web viewMenggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat. 2.3. Menggunakan sifat dan...

FUNGSI dan PERSAMAAN KUADRAT

Standar Kompetensi 2. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat

Kompetensi Dasar 2.1. Memahami konsep fungsi2.2 Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat2.3 Menggunakan sifat dan aturan tentang

persamaan dan pertidaksamaan kuadrat2.4 Melakukan manipulasi aljabar dalam

perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

2.5 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan /atau fungsi kuadrat.

2.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat dan penafsirannya

1 Modul Matematika 1/ Fungsi dan Persamaan Kuadrat

FUNGSI DAN PERSAMAAN KUADRAT

Dalam pertandingan kasti pemain berusaha melempar

bola kearah lawan.

Tahukah kamu bahwa lintasan bola yang melambung akibat lemparan pemain memenuhi persamaan kuadrat?

Latar BelakangKonsep persamaan kuadrat sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari, di antaranya menentukan ukuran suatu bangun yang berbentuk segitiga , persegi atau persegi panjang apabila luas atau kelilingnya diketahui, dan menentukan keuntungan maksimum yang diperoleh seorang pedagang.

Kegiatan Belajar 1

Tujuan :

Setelah mempelajari kegiatan belajar 1, diharapkan Anda dapat:1. Membedakan dan menentukan relasi yang merupakan fungsi dan yang

bukan fungsi.2. Mengidentifikasi fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat3. Menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat4. Menentukan sifat-sifat grafik fungsi kuadrat5. Menyusun persamaan kurva fungsi kuadrat

Uraian Materi

FUNGSI

1. Pengertian fungsi

Definisi : Fungsi atau Pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat pada satu anggota pada himpunan BPemadanan himpunan A ke himpunan B mendefinisikan fungsi jika kedua syarat berikut dipenuhi1. Setiap anggota A, a∈ A, memiliki padanan di B.2. Padanan setiap a∈ A adalah tunggal .0

Perhatikan gambar berikut :


..

A B A B A B

i ii iii

Dengan membaca dan memahami definisi fungsi maka dapat disimpulkan bahwa gambar (i) dan (ii) merupakan fungsi/pemetaan karena memenuhi syarat fungsi.Gambar (iii) bukan fungsi karena tidak memenuhi syarat fungsi.

Pada gambar diatas himpunan A yaitu hinpunan asal semua unsur disebut Daerah asal ( Domain)Himpunan B , yaitu himpunan tujuan disebut Daerah kawan ( Kodomain)Himpunan semua peta dari A disebut Daerah hasil (range )

Kunjungilah situs http:// www.purplemath.com/modules/fcng.htm

2. Fungsi Aljabar sederhana dan kuadrat Beberapa definisi fungsia. Fungsi Konstan : fungsi yang memetakan setiap unsur di domain

ke satu nilai yang samaGrafiknya:f : R →RContoh x →3, rumus fungsinya f (x) = 3, x ∈ R

3 y = f (x) = 3

b. Fungsi identitas : fungsi yang memetakan setiap unsur di domain kedirinya sendiriI : R →RContohx →x, rumus fungsinya f (x) = y = I (x)=x

y = x


http://www.purplemath.com/modules/fcng.htm

c. Fungsi mutlak /modulus : fungsi yang memetakan setiap unsur di domain ke suatu bilangan positif atau nol

h(x) = |x|

d. Fungsi Linear : fungsi yang memetakan setiap x∈ R ke suatu bentuk ax + b, dengan a ≠ 0f : R →Rx →ax + b, a≠ 0, a,b konstantaRumus fungsinya adalah f(x) = ax + bContoh :Misalkan didefinisikan oleh f(x) = x + 2

2 y= x+2

-2

e. Fungsi Kuadrat Bentuk Umum Fungsi Kuadrat adalah f (x ) = ax2 + bx + c, a ≠ 0Grafik Fungsi Kuadrat berbentuk parabol

Grafik Fungsi Kuadrat berbentuk parabol

Latihan :5 Modul Matematika 1/ Fungsi dan Persamaan Kuadrat

Jika A = {1,2,3,4} dan B={ 0,1,2,3,4,5,5 }1. Buatlah relasi yang mungkin dari kedua himpunan tersebut!2. Sebutkanlah himpunan, rang,domain dan kodomainnya.3. Nyatakan relasi tersebut dalam bentuk pasangan berurutan, diagram

panah, grafik dan rumus.4. Dari relasi yang dibuat, manakah yang merupakan fungsi?

A. Kaitan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

Salah satu langkahnya adalah menentukan titik potong grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx +

c dengan sumbu x. Pada prinsipnya, titik potong grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c dapat diperoleh dengan cara menentukan nilai-nilai x yang mengakibatkan nilai y = 0. Hal ini berarti

proses menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0. Dengan demikian, kondisi grafik dan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x dapat dipelajari dengan mengkaji dan menentukan sifat-sifat dari persamaan kuadrat. Sifat inilah yang menunjukkan kaitan antara persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.( lihat gambar di modul halaman 5 dan 6 )

Keterkaitan antara persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat sebagai berikut:

Apabila nilai a>0 dan D<0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 tidak mempunyai

akar-akar real, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke atas (mempunyai titik balik minimum) dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.

Apabila nilai a>0 dan D=0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-

akar real dan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke atas (mempunyai titik balik minimum) dan menyinggung sumbu x.

Apabila nilai a>0 dan D>0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-

akar real dan berlainan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke atas (mempunyai titik balik minimum) dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.

Apabila nilai a<0 dan D<0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 tidak mempunyai

akar-akar real, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke bawah (mempunyai titik balik maksimum) dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.

Apabila nilai a<0 dan D = 0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-

akar real dan sama (kembar), sehingga grafik fungsi kuadrat y=f(x)=ax +bx+c terbuka ke bawah (mempunyai titik balik maksimum) dan menyinggung sumbu x.

Apabila nilai a<0 dan D>0 maka persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-

akar real dan berlainan, sehingga grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax + bx + c terbuka ke bawah (mempunyai titik balik maksimum) dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.

Contoh

1. Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x)= x + 2x + 5 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!

Jawab:

Fungsi kuadrat f(x) = x + 2x + 5, berarti a = 1, b = 2, dan c = 5.6 Modul Matematika 1/ Fungsi dan Persamaan Kuadrat

Maka D= b - 4ac = (2) - 4(1)(5) = 4-20 = -16.Karena a = 1 dan D = -16, ini berarti a>0 dan D<0, sehingga grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.

2. Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x)= -x + 4x terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!

Jawab:

Fungsi kuadrat f(x) = -x + 4x, berarti a = -1, b = 4, dan c= 0.

Maka D = b - 4ac = (4) - 4(-1)(0) = 16-0 = 16Karena a = -1 dan D = 16, ini berarti a<0 dan D>0, sehingga grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke bawah dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.

3.Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = x - 8x + 16 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!

Jawab:

Fungsi kuadrat f(x) = x - 8x + 16, berarti a = 1, b = -8, dan c = 16.

Maka D = b - 4ac= (-8) - 4(1)(16) = 64 - 64 = 0Karena a = 1 dan D = 0, ini berarti a>0 dan D=0, sehingga grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas dan menyinggung sumbu x.

LATIHAN

1. Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x - x - 1 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!

2. Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = -x + 6x - 9 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!

3. Tentukan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = -3x - 1 terhadap sumbu x, tanpa harus menggambar sketsa grafiknya terlebih dulu!

B. Menyusun Persamaan Kurva Fungsi Kuadrat

1. Persamaan Kurva yang memiliki titik balik (xA.yA) adalah y = a(x – xA)2 + yA

Contoh : tentukan persamaan parabola yang titik baliknya (1,4) dan melalui (0,5).Jawab:Titik balik (1,4) berarti xA=1 dan yA=4Persamaannya: y = a(x – xA)2 + yA= a(x – 1)2 + 4Melalui (0,5) berarti x = 0 dan y = 55 = a ( 0 – 1)2 + 4 5 = a + 4 , a = 1persamaan parabola: y = 1(x – 1)2 + 4y = (x2 – 2x + 1) + 4 y = x2 – 2x + 5

2. Persamaan Kurva jika memotong sumbu x dititik ( x1,0) dan (x2,0) adalah y = a( x – x1)(x – x2)


Contoh:tentukan persamaan parabola jika grafiknya memotong sumbu x pada titik (– 3,0)dan (1,0) serta melalui titik (– 2, – 6)

Jawab: memotog sumbu x di (-3,0)dan (1,0) berarti x1= -3 dan x2= 1 Persamaannya : y = a( x – x1)(x – x2)= a( x +3)(x – 1)Melalui (– 2, – 6) berarti x = – 2 dan y = – 6y = a( x +3)(x – 1)– 6 = a(– 2+ 3 )(– 2– 1) didapat a = 2

Persamaan parabolanya : y = a( x +3)(x – 1)=2(x2 + 2x - 3) y = 2x2 + 4x – 6

3. Persamaan kurva yang melalui 3 titik pada parabola

Contoh:tentukan persamaan parabola jika melalui titik(0,2),(2,4) dan (3,8)

Jawab: Persamaan parabola: y = ax2+bx + c

Melalui(0,2)❑⇒ 2=2.02+b.0+c❑

⇒2=c

Melalui (2,4) ❑⇒ 4 = a.22+ b.2 + c

❑⇒ 4 = 4a + 2b + c

Melalui (3,8) ❑⇒ 8 = a.32 + b.3 + c

❑⇒ 8 =9a + 3b + c

4 = 4a + 2b + c x 3 12a + 6b +3c = 128 = 9a + 3b + c x 2 18a + 6b + 2c = 16

–6a + c = – 4

Jika c = 2 ❑⇒ –6a + 2 = – 4 ❑

⇒ a = 1

Jika a = 1dan c =2 disubstitusikan ke 4 = 4a + 2b + c

Maka 4 = 4.1 + 2b + 2 didapat b = -1

Jadi persamaan parabola: y = x2 – x + 2

LATIHAN

1. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (0,-2 ) dan melalui titik ( 2,2).

2. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik ( - 1,2), (0,2) dan (1,2) .


UJI KOMPETENSIUJI KOMPETENSI

1. Untuk setiap fungsi kuadrat dibawah ini gambarlah grafiknya dengan terlebih dahulu menentukan koordinat titik potong dengan sumbu x dan sumbu y, persamaan sumbu simetri serta koordinat titik puncak.a. y=x2−6 x+9

b. y=(x−2)2+3

c. y=−x2+5 x−4

2. Tentukan apakah bentuk berikut ini merupakan definit positif, negatif atau tidak keduanya!a. y=x2+2 x+4

b. y=−x2−2x+1

c. y=−3(x+1)2

3. Tentukan batas nilai m agar grafik fungsi kuadrat y=x2−2 mx+ (3 m+4 ) merupakan definit positif

4. Tentukan batas nilai a agar y=−2 x2+4 x+a merupakan definit negatif.5. Tentukan nilai k agar grafik y=(k−2)x2−2 kx+(k+6) seluruhnya berada diatas

sumbu x.6. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu dititik ( -2,0) dan

(3,0) serta memotong y di titik (0,3)7. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (2,5) serta

melalui titik titik (-1,23).


PERSAMAAN KUADRAT

Kegiatan Belajar 2

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat:1. Pengertian persamaan kuadrat.2. Mampu menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara

memfaktorkan.3. Mampu menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan

kuadrat sempurna4. Mampu menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan

rumus.5. Mampu menggunakan sifat-sifat akar untuk menyelesaikan masalah.6. Menyusun persamaan kuadrat

A. Bentuk Umum

ax2+bx+c=0 dengan a ≠ 0, a,b,c ∈ Ra disebut koefisien x2

b disebut koefisien xc disebut konstanta

B. Cara Menyelesaikan Persamaan KuadratMenyelesaikan Persamaan Kuadrat artinya menentukan nilai x.Nilai pengganti x dinamakan penyelesaian atau akar dari Persamaan KuadratUntuk menyelesaikan Persamaan Kuadrat dapat menggunakan beberapa metode , diantaranya: Memfaktorkan Melengkapkan kuadrat sempurna Menggunakan rumus

Masing-masing cara di atas diuraikan berikut ini.a. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan memfaktorkan

Kita dapat memfaktorkan bentuk x2+ x+c=0 menjadi bentuk ( x + α )(x + β)=0 sehingga akan ditemukan pasangan (α , β) sebagai penyelesaian atau akar dari Persamaan Kuadrat yang memenuhi α +β=b danα . β=c

ContohSelesaikan x2−x−6=0 dengan memfaktorkanPenyelesaian: Mencari (α , β) dengan α +β=−6 dan α . β=−1Didapat α = -3 dan β = 2x2−x−6=0 ❑⇔ ( x – 3 )(x + 2 ) =0 x – 3 = 0 atau x + 2 = 0 x = 3 atau x = -2Jadi Himpunan penyelesaiannya atau akar-akarnya adalah {3 ,−2 }


Kita dapat memfaktorkan bentuk ax2+bx+c=0 menjadi bentuk

a (x+ αa )(x+ β

a )Sehingga akan ditemukan pasangan (α , β) sebagai penyelesaian atau akar dari PK yang memenuhi α +β=bdan α . β=ac

Contoh- Selesaikan 7 x2+8x+1=0 dengan memfaktorkan

PenyelesaianMencari (α , β) dengan α +β=8dan α .β=77 x2+8 x+1=0 ❑⇔ 7x2 + 7x +x + 1=0 7x(x + 1)+(x+1) =0

(7x + 1)(x+1) =07x+1 = 0 atau x+1 =0

7x = -1 atau x= -1 x = −1

7 atau x = -1

Jadi Himpunan penyelesaiannya ( akar-akar) adalah {−17

,−1}- Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: x – 9 = 0 dengan cara

pemfaktoran!

Penyelesaian x – 9 = 0 Persamaan kuadrat ini mempunyai bentuk istimewa, dapat kita faktorkan dengan menggunakan rumus x – a = (x + ) (x - ) sehingga menjadi:

(x + ) (x - ) = 0(x + 3) (x - 3) = 0 x + 3 = 0 atau x - 3 = 0x = -3 atau x = 3

jadi akar-akar persamaan kuadrat x – 9 = 0 adalah x1 = -3 atau x2 = 3, atau dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai Hp = {-3, 3}.

b. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Yaitu dengan mengubah Persamaan Kuadrat ke dalam bentuk ( x + p )2 = q, q ≥ 0

Contoh Selesaikan x2−6 x−2=0 dengan melengkapkan kuadrat

Penyelesaian

x2−6 x−2=0 , (x−3)2– 9 = 2(x−3)2 = 2 + 9


(x−3)2 = 11x – 3 = ±√11x = 3 ±√11x1 = 3 +√11 atau x2 = 3 -√11Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah {3+√11 , 3−√11 }

Selesaikan 2 x2+4 x−7=0 dengan melengkapkan kuadrat

Penyelesaian

2 x2+4 x=7

Semua ruas dibagi dengan 2 sehingga menjadi x2+2x = 72

(x+1)2 – 1 =72

(x+1)2 =72+1

(x+1)2 =72+ 2

2

(x+1)2 =92 = 4,5

x + 1 = ± √4,5x = - 1 ± √4,5x1= -1 + √4,5 atau x2= -1 - √4,5Jadi Himpunan Penyelesaiannya : {−1−√4,5 ,−1+√4,5 }

c. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus

Jika x1 dan x2 adalah akar – akar Pesamaan Kuadrat ax2+bx+c=0

, maka x1dan x2 dapat dicari dengan rumus x 12 = −b ±√b2−4 ac2a

Bukti :

ax2+bx+c=0 ❑⇔ x2 + ba

x=−ca

x2 + ba

x+( b2 a )

2

=−ca

+( b2 a )

2

(x+ b2a )

2

= b2−4 ac4 a2

x+ b2a

=¿± √ b2−4 ac4a2

x = −b2 a ± √ b2−4ac

4 a2

x12 = −b ±√b2−4 ac2a

( terbukti )


Contoh

Selesaikan 2 x2−7 x+5=0 dengan menggunakan rumus

Penyelesaian

Diketahui a = 2 , b = - 7 dan c = 5Dimasukan ke dalam rumus diperoleh : x1,2 = −b ±√b2−4 ac

2a

= 7 ±√(−7)2−4.2 .52.2

= 7 ±√49❑−404

= 7 ±√94

=7 ±34

x1 = 7+34 = 10

4=5

2 atau x2=¿ 7−3

4= 4

4=1

Jadi Himpunan Penyelesaiannya: {1, 52 }

LATIHAN

I. Selesaikan Persamaan Kuadrat berikut dengan memfaktorkan1. x ( 2x – 3 ) = – 1 2. x2 – 18 x + 32 = 0

II. Selesaikan Persamaan Kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat1. 3x2 – 18x – 27 = 02. 4a + 7 = 2a2

III. Selesaikan Persamaan Kuadrat berikut dengan menggunakan rumus1. x2 – 22 x – 9 = 0

2. x2+ 34

x−17=0

C. Sifat akar-akar PK Jika x1 dan x2 adalah adalah akar – akar PKax2+b+c=0, maka berdasarkan rumus kita peroleh x1 = −b+√ D

2a atau x1 = −b−√D

2 a , D = b2 – 4ac , D = Diskriminan

sehingga 13 Modul Matematika 1/ Fungsi dan Persamaan Kuadrat

x1 + x2 = −b+√D2 a

+ −b−√D2 a

= −b+√ D−b−√D2 a

= −2 b2 a

=−ba

Jadi x1 + x2 ¿−ba

x1 . x2 = (−b+√D2 a )(−b−√D

2 a ) = b2−D

4a2 = b2−(b2−4 ac)4a2 =b2−b2+4 ac

4a2 =4 ac4 a2 = c

a

Jadi x1 . x2 = ca

D. Bentuk Simetri Akar-akar PKa. Jumlah kuadrat akar-akar PK

x12+x2

2=(x1+x2)2 – 2 x1 . x2

b. Jumlah pangkat tiga akar-akar PKx1

3+x23=(x1+x2)

3 – 3 x1 x2(x1+ x2 ¿c. Jumlah pangkat empat akar-akar PK

x14+x2

4=( x12 )2

+(x22 )2

= [(x1+x2)2−2x1 x2 ]2−2 (x1 . x2)

3

d. Jumlah kebalikan akar-akar PK1x1

+ 1x2

=x1+x2

x1 x2

e. Jumlah kuadrat akar berkebalikan1x1

2 +1

x22 =

x12+x2

2

x12. x2

2 =(x1+ x2)

2−2 x1 x2

(x1. x2)2

f. Selisih kuadrat akar-akar (bukan simetris)x1

2 .− x22=(x1+x2)(x1−x2)

ContohJika x1 dan x2 adalah adalah akar – akar PK darix2−2 x−4=0, tentukan nilai dari:1. x1

2+x22

2. x13 x2

❑+x1❑ x2

3

3. 1x1−3

+ 1x2−3

Penyelesaian: Dari persamaan x2−2 x−4=0 dimana a=1, b =−¿ 2 dan c = −¿4, diperoleh

x1 + x2= −ba =2

1=2

x1 . x2 = −41

=−4


1.x12+x2

2=(x1+x2)2 – 2 x1 . x2 = 22 – 2(−4) = 12

2. x13 x2

❑+x1❑ x2

3 = x1 . x2(x1+x2)2−2x1

2 x22=−4(2)2-2(−4)2

= - 16 – 32 = - 48

3. 1x1−3

+ 1x2−3=

x2−3+x1−3

(x¿¿1−3)+(x¿¿2−3)=x1+x2−6

x1 . x2−3 x1−3 x2+9=¿¿¿

2−6−4−3.2+9

= −4−4−6+9

=−4−1

=4

LATIHAN

1. Tentukan jumlah dan hasil kali dari −x2−x=122. Diketahui PK : 2 x 2 – 4 x – 30 = 0 , akar-akarnya adalah x1 dan x2.

Tentukan nilai:a. x1

3+x23

b. 2x1−1

+ 2x2−1

c. (x12−x2

2 )2

3. Akar-akar persamaan kuadrat x2−ax+5=0 adalah α dan β .

Jika 1α2 + 1

β2 =125 , maka tentukan nilai a!

E. Hubungan jenis-jenis akar Persamaan Kuadrat dengan nilai Diskriminan (D)Berdasar nilai D (Diskriminan ) jenis-jenis akar PK dapat dibedakan menjadi:a. Jika D ¿ 0 maka PK mempunyai 2 akar real yang berlainan

Untuk D = k2 maka akar-akarnya rasional


Untuk D≠ k2 maka akar-akarnya irasionalb. Jika D = 0 maka PK mempunyai 1 akar real atau akar-akarnya kembar.c. Jika D ≥ 0 maka PK mempunyai 2 akar reald. Jika D < 0 maka PK tidak mempunyai akar real atau imaginere. Jika kedua akar positif yaitu (x1 > 0 atau x2 > 0 )

Maka berlaku : D ≥ 0 x1 + x2 > 0 x1 . x2 > 0

f. Jika kedua akar negatife (x1 < 0 atau x2 < 0 )Maka berlaku:

D ≥ 0 x1 + x2 < 0 x1 . x2 > 0

g. Jika kedua akar berlainan tandaMaka berlaku:

D > 0 x1 . x2 < 0

h. Jika kedua akar bertanda samaMaka berlaku

- D ≥ 0- x1 . x2 > 0

i. Jika kedua akar saling berlawanan ( x1= - x2) D > 0 b = 0

j. Jika kedua akar saling berkebalikan (x1 = 1x2

)

Maka berlaku: D > 0 c = a

Contoh: Tentukan nilai m agar PK: x2 + 2mx + 9 = 0 mempunyai

a. dua akar yang real dan berbeda b. akar-akar tidak real

Penyelesaian: x2 + 2mx + 9 = 0, berarti a = 1, b = 2m dan c = 9Maka nilai Diskriminannya : b2 – 4 ac = (2m)2 −¿4 . 1. 9 = 4m2 – 36

a. Dua akar real yang berbeda, syarat D > 0Karena D = 4m2 – 36Maka 4m2 – 36 > 0

❑⇔ m2 – 9 > 0

❑⇔ ( m + 3 )( m – 3 )> 0

Dengan menggunakan garis bilangan maka nilai m dapat ditentukan: + + + + + + – – – – – – + + + + + + +

– 3 3 Jadi nilai m terletak pada interval m < – 3 dan m > 3


b. Kedua akar tidak real, syarat D < 0Karena D = 4m2 – 36Maka 4m2 – 36 < 0

❑⇔ m2 – 9 < 0

❑⇔ ( m + 3 )( m – 3 )< 0

Dengan menggunakan garis bilangan maka nilai m dapat ditentukan: + + + + + + – – – – – – + + + + + + +

– 3 3 Jadi nilai m terletak pada interval – 3 < m < 3

LATIHAN

1. Tanpa menyelesaikan terlebih dulu, tentukan jenis akar dari 4 x2−13x+3=02. Tentukan nilai m agar PK: x2 + 2mx + 9 = 0 mempunyai akar-akar yang sama dan tentukan

akar-akarnya!3. Jika persamaan a2 x−(2k−3 ) x+1=0 mempunyai akar real yang berlainan , maka tentukan

nilai a

F. Menyusun Persamaan Kuadrat Penyusunan Persamaan Kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan cara :

Perkalian faktorJika x1 dan x2 merupakan akar-akar PK : ax2 + bx + c = 0, a≠ 0 maka PK dapat dinyatakan: ( x – x1 )(x – x2) = 0

Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali

PK : ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 dapat dinyatakan sebagai x2+ ba

x+ ca=0 ,a ≠ 0

Berdasarkan hubungan dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar yaitu

x1+ x2 = −ba

❑⇔

ba=¿ – (x1+ x2) dan x1. x2 =

ca

Sehingga PK : x2+ ba

x+ ca=0 ,dapat dinyatakan sebagai x2 – (x1+ x2) x + x1.x2 = 0

Contoh

Tentukan PK jika akar-akarnya adalah 7 dan – 5

Penyelesaian

Akar-akar PK adalah 7 dan – 5, jadi, x1 = 7 dan x2 = – 5

x1+ x2 = 7 + (– 5) = 2

x1 . x2 = 7 .( – 5) = – 35

PK : x2 – (x1+ x2) x + x1.x2 = 0

❑⇔ x2 – 2x + (– 35 ) = 0

Jadi PK nya adalah x2 – 2x + (– 35 ) = 0

Jika akar – akar PK yang dicari ada kaitannya dengan akar-akar PK yang lainPenyusunan kembali PK dapat dilakukan apabila akar-akar PK tersebut ada hubungannya dengan akar-akar PK yang lain, yaitu dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akarContohDiketahui PK : x2−3 x−8=0yang akar-akarnya adalah x1 dan x2 .tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 x1 + 2 dan 3 x2 + 2

Penyelesaian - Dari x2−3 x−8=0 diperoleh x1+ x2 = 3 dan x1. x2 = - 8 - Misal: a = 3 x1 + 2 dan b = 3 x2 + 2 , diperoleh a + b = 3 x1 + 2 + 3 x2 + 2 = 3 ( x1 + x2 ) + 4 = 3.3 + 4 =13 a.b =( 3 x1 + 2 )(3 x2 + 2)= 9 x1.x2 + 6 x1 +6 x2 + 4 = 9 x1.x2 + 6 (x1 + x2 )+ 4 =

9 . -8 + 6 .3 + 4= - 50 Jadi PK barunya : x2−13 x−50=0

LATIHAN

1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -2 dan 8

2. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (2+√3 dan 2−√3)3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah tiga lebihnya dari 2 x2−12 x−4=0 4. Diketahui PK : x2+2x−15=0yang akar-akarnya adalah x1 dan x2 .tentukan persamaan

kuadrat baru yang akar-akarnya 3 x1 - 2 dan 3 x2 - 2

5.G. Penerapan Persamaan dan fungsi kuadrat

ContohSekelompok siswa ingin menanam bunga disekeliling sekolah untuk menghiasi sekolah mereka.daerah yang digunakan berbentuk seperti dibawah ini : S R

D C

6m x m x m x m

A B

P 12 m Q

Jika luas daerah yang diarsir adalah y m2 tunjukkan bahwa y=2 x2−12 x+72

JawabLuas persegipanjang PQRS = 6 x 12 = 72m2

Luas persegipanjang ABCD = x ( 12-12x ) =12 x−12 x m2

Jadi luas yang diarsir y=72−(12 x−12 x¿¿2)=2 x2−12 x+72 ¿

LATIHAN

1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -2 dan 82. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (2+√3 dan 2−√3)3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah tiga lebihnya dari 2 x2−12 x−4=0

EVALUASI FUNGSI DAN PERSAMAAN KUADRAT

1. Persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar

– akarnya x1 – 3 dan x2 – 3 adalah ….

a. x2 – 2x = 0

b. x2 – 2x + 30 = 0

c. x2 + x = 0

d. x2 + x – 30 = 0

e. x2 + x + 30 = 0

2. Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya 72 m2. Jika panjangnya tiga kali

lebarnya, maka panjang diagonal bidang tersebut adalah …m.

a. 2√6

b. 6√6

c. 4√15

d. 4√30

e. 6√15

Soal Ujian Nasional Tahun 2006

3. Persamaan grafik fungsi dibawah ini adalah…

4. Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas 192 m2. Selisih panjang dan

lebarnya adalah 4 m. Apabila disekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar 2 m, maka luas jalan

tersebut adalah …m2.

a. 96

b. 128

c. 144

d. 156

e. 168

5. Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB = … cm.

a. 4√ 2

b. 4 – √ 2

c. 8 – 2√ 2

d. 4 – 2√ 2

XO

Y b. y = x2 + 3x + 2c. y = (x 3)2 + 2d. y = (x 3)2 + 2e. y = (x 2)2 + 3

a. y = x2 + 2x + 3

e. 8 – 4√ 2

6. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum,

panjang kerangka (p) tersebut adalah … m.

a. 16

b. 18

c. 20

d. 22

e. 24

7. Diketahui akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah α dan β . Persamaan kuadrat

baru yang akar – akarnya αβ dan

βα adalah ….

a. x2 – 6x + 1 = 0

b. x2 + 6x + 1 = 0

c. x2 – 3x + 1 = 0

d. x2 + 6x – 1 = 0

e. x2 – 8x – 1 = 0

8. Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Jika x12 + x2

2 = 4, maka nilai q

= ….

a. – 6 dan 2

b. – 6 dan – 2

c. – 4 dan 4

d. – 3 dan 5

e. – 2 dan 6

9. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 – 9x + c = 0 adalah 121, maka c = ….

a. – 8

b. – 5

c. 2

d. 5

e. 8

10. Persamaan (1 – m)x2 + ( 8 – 2m )x + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai m = ….

a. – 2

b.−3

2

c. 0

d.32

e. 2

11. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat x2 + x – p = 0, p kostanta positif, maka

x1

x2

dan

x2

x1 = ….

a.−2− 1

p

b.1p−2

c.2− 1

p

d.1p

e.2+ 1

p

12. Persamaan kuadrat x2 + (m – 2)x + 9 = 0 mempunyai akar – akar nyata. Nilai m yang memenuhi

adalah ….

a. m¿ – 4 atau m ¿ 8

b. m¿ – 8 atau m ¿ 4

c. m¿ – 4 atau m ¿ 10

d. – 4¿ m ¿ 8

e. – 8¿ m ¿ 4

13. Peramaan kuadrat mx2 + ( m – 5 )x – 20 = 0, akar – akarnya saling berlawanan. Nilai m = ….

a. 4

b. 5

c. 6

d. 8

e. 12

14. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat x2 + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat

yang akar - akarnya

2x1

+ 2x2 dan x1 + x2 adalah ….

a. x2 – 2p2x + 3p = 0

b. x2 + 2px + 3p2 = 0

c. x2 + 3px + 2p2 = 0

d. x2 – 3px + p2 = 0

e. x2 + p2x + p = 0


15. Akar – akar persamaan 2x2 + 2px – q2 = 0 adalah p dan q. Jika p – q = 6 maka nilai pq = ….

a. 6

b. – 2

c. – 4

d. – 6

e. – 8

16. Perhatikan gambar !

a. x2 + 2x + 3= 0

b. x2 – 2x – 3 = 0

c. – x2 + 2x – 3 = 0

d. – x2 – 2x + 3 = 0

e. – x2 + 2x + 3 = 0

17. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3 dan untuk x = 0 nilai fungsi 16.

Fungsi kuadrat itu adalah ….

a. f(x) = 2x2 – 12x + 16

b. f(x) = x2 + 6x + 8

c. f(x) = 2x2 – 12x – 16

d. f(x) = 2x2 + 12x + 16

e. f(x) = x2 – 6x + 8

18. Nilai maksimum dari fungsi f(x) = –2x2 + (k+5)x + 1 – 2k adalah 5. Nilai k yang positif adalah ….

a. 5

b. 6

c. 7

d. 8

e. 9


19. Absis titk balik grafik fungsi f(x) = px2 + ( p – 3 )x + 2 adalah p. Nilai p = ….

a. – 3

b.−3

2

c. – 1

d.23

e. 3

20. Persamaan grafik fungsi kuadrat berikut adalah…

a. y=−¿b. A y=−¿c. y=−¿d. y=¿e. y=¿

XO

Y

Web viewMenggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat. 2.3. Menggunakan sifat dan...

Documents

Transcript of Web viewMenggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat. 2.3. Menggunakan sifat dan...