fungsi, persamaan & pertidaksamaan kuadrat
Transcript of fungsi, persamaan & pertidaksamaan kuadrat
BAB 2Fungsi Persamaan, dan
Pertidaksamaan KuadratStandar Kompetensi:
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan, dan fungsi kuadrat serta
pertidaksamaan kuadrat
Kompetensi Dasar:
Memahami konsep fungsi
Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat
Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan
pertidaksamaan kuadrat
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan atau fungsi kuadrat
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan atau fungsi
kuadrat dan penafsirannya.
Fungsi
A. Fungsi atau Pemetaan
Fungsi atau pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat pada satu anggota pada himpunan B.
a
bc
p
rq
f
A B
B. Daerah Asal, Daerah Kawan, dan Daerah Hasil
Misalkan f sebuah fungsi yang memetakan tiap anggota himpunan A ke himpunan B (f : A B), maka:
i. himpunan A dinamakan daerah asal (domain) fungsi f,
ii. himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain) fungsi f,
iii. himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunana A dinamakan wilayah hasil (range) fungsi f.
C. Beberapa Macam Fungsi Khusus1.Fungsi Konstan
Fungsi konstan adalah suatu fungsi y = f (x) dengan f(x) sama dengan sebuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam sebuah daerah asalnya.
f : x f(x) = kdengan x R dan k adalah sebuah konstanta atau nilai tetapan.
2.Fungsi Identitas
Fungsi identitas adalah fungsi y = f (x) dengan f(x) = x untuk semua nilai x dalam daerah asalnya.
3.Fungsi Linear
Fungsi linear adalah y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b R, a 0) untuk semua x dalam daerah asalnya.
4.Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi y = f(x) = ax² + bx + c R, a 0) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya.
Grafik fungsi kuadrat f (x) = ax² + bx + c dikenal sebagai parabola.
5.Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak
Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi y = f (x) dengan f(x) = 1 x 1 untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Bentuk 1 x 1 dibaca sebagai “nilai mutlak x” dan didefinisikan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan real x, maka nilai mutlak x ditentukan oleh aturan
1 x 1 =x, jika x ≥ 0
x, jika x < 0
Definisi
D. Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif
Definisi
Fungsi f : A B disebut sebagai fungsi kepada B (surjektif) jika wilayah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau W = B.
Fungsi f ke dalam B, jika wilayah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari himpunan B atau W B.
f
1.Fungsi Surjektif
123
4
g
ab
c
A B
f
123
4
abcd
A B
2. Fungsi Injektif
1
2
3
a
b
c
f
A B
2
1
3
a
b
c
g
A B
Definisi
Fungsi f : A B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2 A dengan a1 a2 berlaku f(a ) f(a ).
1
Definisi
Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif, jika dan hanya fungsi f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif.
3. Fungsi Bijektif
2
1
0 a
b
c 2
1
0 a
b
c
A B A B
fg
Fungsi linear adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b R, a 0) untuk semua x dalam daerah asalnya.
Fungsi linear juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi suku banyak berderajat satu dalam variabel x.
Contoh:
y = f(x) = -2x + 4
1
2
3
4
-1
- 2
- 3
- 4
1 2 3 4 5 6
Y
X0
(0, 4)
(2, 0)
(4, -4)
y = f(x) = 2x + 4
Fungsi Linear
Misalkan a, b, dan c bilangan real dan a 0, maka fungsi yang dirumuskan oleh
dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x.
f(x) = ax2 + bx + c
Fungsi Kuadrat
Contoh:• f(x) = x² - 1• f(x) = 2x² - 6x• f(x) = x² - 4x + 3• f(x) = -3x² + 4x – 3
a. Titik Potong dengan Sumbu X
X X X
Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
XXX
Jika b2 4ac 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berlainan. Jika b2 4ac = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berimpit. Jika b2 4ac 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu X.
Jika c 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di atas titik asal 0.
Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y tepat di titik asal 0.
Jika c 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y dibawah titik asal 0.
Y Y Y
XX X000
b. Titik Potong dengan Sumbu Y
XXX
YYY
0 0 0
Mari kita tinjau persamaan parabola berikut
y = ax2 + bx + c
y = a (x2 + x)+ c
y = a (x2 + x + ) + c
y = a (x + )2
baba
b2
4a2b2
4a2
b2a
b2 4ac4a
2. Titik Puncak atau Tititk Balik dan Persamaan Sumbu Simetri
1. Parabola y = ax2 + bx + c, dengan a,b, c R dan a 0, mempunyai titik
puncak atau titik balik
2. Jika a 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka
ke atas. Jika a 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola
ke bawah.
3. Persamaan sumbu simetri parabola y = ax2 + bx + c adalah
(b2
4a 4ac)b
2a’
x = b2a
Menggambarkan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah 1
Tentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.Langkah 2
Tentukan titik puncak atau titik balik serta persamaan sumbu simetrinya.
Langkah 3
Gambarkan koordinat titik-titik hasil Langkah 1 dan Langkah 2 pada bidang koordinat. Kemudian hubungkan titik-titik itu dengan kurva yang mulus, dengan memperhatikan apakah parabola itu terbuka ke atas atau ke bawah.
Membentuk Fungsi Kuadrata. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A (x1, 0) dan B
(x2, 0), serta melalui sebuah titik tertentu.
y = f(x) = a (x x2)(x x2)
c. Grafik fungsi kuadrat melalui titi puncak atau titik balik P (xp, yp), dan melalui sebuah titik tertentu.
y = f(x) = a (x xp)2 + y
y = f(x) = ax2 + bx + c
d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik A (x1 , y1), B (x2, y2), C (x3, y3).
b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di A ( x , 0), serta melalui sebuah titik tertentu.
y = f(x) = a (x x1)2
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Definisi
Misalkan a, b, c R dan a 0, maka persamaan yang berbentuk
dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.
ax2 + bx + c = 0
Dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0,
- a adalah koefisien dari x2
- b adalah koefisien dari x
- c adalah suku tetapan
Akar-Akar Persamaan KuadratUntuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat dengan cara:
a. memfaktorkan
b. melengkapkan kuadrat sempurna,
c. menggunakan rumus kuadrat, dan
d. menggambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = ax2 + bx + c.
Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat
Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan real dan a 0, maka akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ditentukan oleh
2a 4acb2 b x
1=b2 4ac b 2a
=2
xatau
Diskriminan Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c dengan nilai diskriminan D = b2 4ac,
1. Jika D 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang
berlainan.
2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama
(akar kembar), real, dan rasional.3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau
kedua akarnya tidak real (imajiner).
a) Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional.b) Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya
irasional.
Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan KuadratAkar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (a 0) ditentukan dengan rumus kuadrat:
2a 4acb2 b x
1=b2 4ac b 2a
=2xatau
Jika x dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0; dengan a 0,Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu ditentukan dengan rumus:
1x
aba
cdan == x2
+1
x x2
·
Menyusun Persamaan Kuadrat
Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-Akarnya
a.Memakai Faktorapabila x dan x merupakan akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus:
1 2
0))(( 21 xxxx
0)()( 21212 xxxxxx
b.Memakai Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akarpersamaan dapat dinyatakan dalam bentuk
02 a
cx
a
bx
Pertidaksamaan KuadratBentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x ada 4 macam, yaitu:
1. ax2 + bx + c < 0
2. ax2 + bx + c ≤ 0
3. ax2 + bx + c 0
4. ax2 + bx + c ≥ 0
dengan a, b, c bilangan-bilangan real dan a 0.
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu:
a) Sketsa grafik fungsi kuadrat
b) Garis bilangan
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah 1Gambarlah sketsa grafik kuadrat f(x) = ax2 + bx + c atau parabola y = ax2 + bx + c
1 2 3 4 5
1
2
3
4
0
1
2
y = x2 4x + 3 Y
X
y 0
y = 0
y < 0
Langkah 2
Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh pada Langkah 1, kita dapat menetapkan
selang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat ax2 + bx + c < 0,
ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c 0, atau ax2 + bx + c ≥ 0.
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 4x + 3 < 0
Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan
x2 4x + 3 = 0
(x 1)(x 3) = 0
x = 1 atau x = 3
31
31 20 4
+ +
nilai-nilai uji
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = xl1 < x < 3}