LA - WB · Sistem Persamaan Linear, Kuadrat, dan Pertidaksamaan Satu Variabel Kompetensi Dasar 1....

Created By Ita Yuliana 25

LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar)

SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN

PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL

Oleh:

Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd

MATEMATIKA PAKET C

TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1

SETARA KELAS X


Sistem Persamaan Linear, Kuadrat, dan

Pertidaksamaan Satu Variabel

Kompetensi Dasar

1. Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan

kuadrat dalam dua variabel.

2. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan

linear.

3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem

persamaan linear dan penafsirannya

4. Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar

5. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu

variabel

6. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan

pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya

Indikator

1. Warga belajar dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dan sistem

persamaan linear-kuadrat dua variabel

2. Warga belajar dapat merumuskan sistem persamaan linear yang merupakan model

matematika dari masalah

3. Warga belajar dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dari model

matematika

4. Warga belajar dapat menentukan penyelesaian pertidaksamaan satu variabel yang

melibatkan bentuk pecahan aljabar

5. Warga belajar dapat merumuskan sistem pertidaksamaan satu variabel yang merupakan

model matematika dari masalah

6. Warga belajar dapat menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan satu variabel dari

model matematika

7. Warga belajar dapat memberikan tafsiran terhadap solusi masalah

Kasus

Suatu ketika Pak Wayan mendapat pesanan membuat 3 ukiran patung dan 1 ornamen rumah

dari seorang turis asal Belanda dengan batas waktu pembuatan diberikan selama 5 bulan. Pak

Wayan dan Putu dapat menyelesaikan keempat jenis ukiran di atas dalam waktu 7 bulan. Jika

Pak Wayan bekerja bersama Gede, mereka dapat menyelesaikan pesanan dalam waktu 6

bulan. Karena Putu dan Gede bekerja setelah pulang sekolah, mereka berdua membutuhkan

waktu 8 bulan untuk menyelesaikan pesanan ukiran tersebut. Dapatkah pesanan ukiran

diselesaikan, sesuai batas waktu yang diberikan?

Kamu dapat membantu menyelesaikan masalah tersebut setelah mempelajari bab ini.


Ringkasan Materi

A. Sistem Persamaan Linear dan Linear

1. Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel (SPLDV)

Bentuk umum persamaan linear dengan dua variabel :

{

Contoh :

a. x + y = 5 b. 2x + y = 5

-x + 2y = 4 3x – 4y = 2

Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear ada beberapa

metode diantaranya:

a. metode grafik

b. metode substitusi

c. metode eliminasi

a. Metode Grafik

Langkah-langkahnya:

1) Gambarlah grafik ax + by = c dan px + qy = r pada suatu bidang koordinat

2) Tentukan koordinat titik potong antara garis ax + by = c dan px + qy = r.

Dari langkah (2) terdapat tiga kemingkinan penyelesaian, yaitu:

a) Kedua garis berpotongan pada satu titik

Dalam hal ini sistem persamaan linear mempunyai tepat satu

penyelesaian

b) Kedua garis sejajar

Dalam hal ini sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian

c) Kedua garis berimpit

Dalam hal ini sistem persamaan linear mempunyai tak hingga

penyelesaian

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut,

{

Jawab:

Untuk mempermudah menggambar grafik, buat tabel seperti berikut

Persamaan x + 2y = 4

x 0 4

y 2 0

(x,y) (0,2) (4,0)

Persamaan 2x + 2y = 6

x 0 3

y 3 0

(x,y) (0,3) (3,0)

(2,1)

X

Y


Dari gambar terlihat bahwa kedua garis berpotongan di titik (2,1)

Jadi HP = { 2, 1 }

b. Metode Subtitusi (mengganti)

Langkah-langkahnya

1) Ambil salah satu persamaan yang sederhana, dari persamaan tersebut

nyatakanlah salah satu variabel ke dalam variabel yang lain

2) Dari hasil (1) substituusikan ke persamaan yang lain

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut

{

Jawab:

Dari persamaan 1) x + 2y = 4 x = 4 – 2y

Substitusikan nilai x ke persamaan (2) 2x + 2y = 6 diperoleh :

2 (4 – 2y) + 2y = 6

8 – 4y + 2y = 6

8 – 2y = 6 – 2y = – 2 y = 1

Substitusikan y = 1 ke persamaan (1) x = 4 – 2 (1) = 2

Jadi, HP {2, 1}

c. Metode Eliminasi

Langkahnya adalah dengan menghilangkan salah satu variabel terlebih dulu

Contoh:

Dengan metode eliminasi tentukan HP dari : {

Jawab:

Eliminasi variabel y sehingga diperoleh variabel x

x + 2y = 4

2x + 2y = 6

-x = -2

x = 2

Eliminasi variabel x sehingga diperoleh variabel y

x + 2y = 4 x 2 2x + 4y = 8

2x + 2y = 6 x 1 2x + 2y = 6

2y = 2

y = 1

Jadi, HP {2, 1}


Aktivitas 1

1. Dengan metode grafik tentukan HP dari :

a. x – y = 5 b. 2x + 3y = 11

2x + y = 4 3x – y = 1

2. Dengan metode substitusi tentukan HP dari :

a. 2x – 3y = 7 b. 3x + 4y – 17 = 0

3x + 2y = 7 2x – 2y – 8 = 0

3. Dengan metode eliminasi tentukan HP dari :

a. 3x + 5y = 5 b. x – 2y = 4

2x + 3y = 3 3x + y = 5

2. Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel (SPLTV)

Bentuk umum persamaan linear dengan dua variabel :

{

a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l R

Untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV ada beberapa cara yaitu:

a. metode substitusi

b. metode eliminasi

A. Metode substitusi

Langkah-langkahnya sama dengan langkah-langkah penyelesaian SPLDV

Contoh:

Tentukan Hp dari SPL berikut : {

Jawab :

Dari persamaan x – 2y + z = 6 x = 2y – z + 6

Variabel x disubstitusikan ke persamaan 3x + y – 2z = 4 dan 7x – 6y – z = 10

sehingga diperoleh:

3(2y – z + 6) + y – 2z = 4

6y – 3z + 18 + y – 2z = 4

7y – 5z = -14


dan

7(2y – z + 6) – 6y – z = 10

14y – 7z + 42 – 6y – z = 10

8y – 8z = -32

y – z = -4

menghasilkan persamaan linear dua variabel sbb. : {

dari persamaan y – z = -4 y = z – 4, variabel y subtitusikan ke persamaan

7y – 5z = -14 sehingga diperoleh :

7z – 28 – 5z = -14

2z = 14

z = 7

Substitusikan nilai z ke persamaan y = z – 4 y = 7 – 4 = 3

Substitusikan nilai y dan z ke persamaan x – 2y + z = 6 maka diperoleh

x – 2(3) + 7 = 6

x – 6 + 7 = 6

x = 5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, 7)}

B. Metode Eliminasi

Dalam SPLTV untuk mengeliminasi suatu variabel diperoleh dari setiap dua

persamaan, sehingga akan diperoleh SPLDV

Contoh:

Tentukan Hp dari : {

Jawab:

Eliminasi variabel z

dari persamaan (1) dan (2) dari persamaan (2) dan (3)

2x – y + z = 6 x – 3y + z = -2

x – 3y + z = -2 x + 2y – z = 3

x + 2y = 8 ... (4) 2x – y = 1 ...(5)

persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV : {

Eliminasi variabel y

x + 2y = 8 x 1 x + 2y = 8

2x – y = 1 x 2 4x – 2y = 2

5x = 10

x = 2


Eliminasi variabel x

x + 2y = 8 x 2 2x + 4y = 16

2x – y = 1 x 1 2x – y = 1

5y = 15

y = 3

Nilai z dicari dengan mensubstitusikan x = 2 dan y = 3 ke salah satu persamaan

semula.

Misalnya, dipilih x + 2y – z = 3 diperoleh

2 + 2(3) – z = 3

z = 5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 5)}

Aktivitas 2

1. Tentukan HP dari persamaan berikut dengan metode substitusi

a. 2x + z = 7 b. x + y + z = 1

y – 2 = -2 2x – y + 3z = 2

x + y = 2 2x – y – z = 2

2. Tentukan HP dari persamaan berikut dengan metode eliminasi

a. x + y + 2z = 0 b. x + 2y – 3z = -4

2x – 2y + z = 8 2x – y + z = 3

3x + 2y + z = 2 3x + 2y + z = 10

B. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Sistem persamaan linear dan kuadrat yang dimaksud adalah sistem persamaan dengan

dua peubah yaitu persamaan linear dan persamaan kuadrat

Bentuk umumnya :

} a, b, p, q, dan r R

Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat salah

satunya adalah dengan cara substitusi, yaitu :

1. salah satu variabel dari persamaan linear dinyatakan dengan variabel yang lain.

Misalnya variabel y dinyatakan sebagai variabel x atau sebaliknya

2. kemudian substitusikan ke persamaan kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat

dengan satu variabel.


Secara geometris, grafik fungsi linear merupakan garis lurus dan fungsi kuadrat

merupakan parabola

Substitusi y = ax + b ke penyelesaian persamaan tersebut ditentukan oleh banyaknya

akar persamaan tersebut, sedangkan banyaknya akar persamaan tersebut ditentukan oleh

diskriminan (D) yaitu D = (q – a)2 – 4p(r – b)

Ada tiga kemungkinan nilai diskriminan, yaitu

1. jika D > 0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan sehingga sistem

persamaan memiliki dua penyelesaian yang berbeda

2. jika D = 0, persamaan kuadrat mempunyai tepat satu akar real sehingga sistem

persamaan mempunyai tepat satu penyelesaian

3. jika D < 0, persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real sehingga sistem persamaan

tidak mempunyai penyelesaian

Uraian di atas dapat digambarkan sebagai berikut.

D > 0 D = 0 D < 0

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut

y = 2x + 1 ...(1)

y = x2 + 1 ...(2)

Jawab:

Dari persamaan (1) y = 2x + 1 disubstitusikan ke persamaan 92) diperoleh

y = x2 + 1

2x + 1 = x2 + 1

x2 – 2x = 0

x (x – 2) = 0

x = 0 atau x = 2

Nilai x = 0 dan x = 2 disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh:

Untuk x = 0 y = 2x + 1 = 2.0 + 1 = 1

Untuk x = 2 y = 2x + 1 = 2.2 + 1 = 5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 1) dan (2, 5)}


Aktivitas 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut

1. y = 4x

y = x2 – 5

2. y + 3x = 1

y = x2 – 2x + 1

C. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat

Sistem perrsamaan ini terdiri dari dua persamaan kuadrat, yaitu

} a, b, c, p, q, dan r R

Untuk menyelesaikan sistem persamaan kuadrat dan kuadrat ini, pada dasarnya sama

dengan sistem persamaan linear dan kuadrat yang menggunakan metode eliminasi atau

substitusi.

Penyelesaian dari sistem persamaan ini merupakan koordinat titik potong kedua

parabola.

Ada tiga kemungkinan penyelesaian, yaitu:

1. jika D > 0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan sehingga sistem

persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian yang berbeda

2. jika D = 0, persamaan kuadrat mempunyai tepat satu akar real sehingga sistem

persamaan mempunyai tepat satu penyelesaian

3. jika D < 0, persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real sehingga sistem

persamaan tidak mempunyai penyelesaian

Grafik geometri dari uraian di atas dapat digambarkan sbb.

D > 0 D = 0 D < 0


Contoh:


y = x2 + 2x + 8

y = 2x2 + 4x – 7

jawab:

Dari kedua persamaan di atas kita eliminir variabel y sehingga diperoleh:

y = x2 + 2x + 8

y = 2x2 + 4x – 7

0 = -x2 – 2x + 15 atau x

2 + 2x – 15 = 0

x2 + 2x – 15 = 0 a = 1, b = 2, c = -15

jika dilihat D = b2 – 4ac maka diperoleh D = 4 – 4.1.(-15) = 4 + 60 = 64

D > 0 (terdapat 2 titik yang berbeda)

x2 + 2x – 15 = 0

(x – 3) (x + 5) = 0

x = 3 atau x = -5

Untuk x = 3 y = 23 (3, 23)

Untuk x = -5 y = 23 (-5, 23)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-5, 23), (3, 23)}

Aktivitas 4


1. y = 3x2 – 5x – 5

y = 2x2 – 6x + 7

2. y = 4x2 + 3x + 6

y = 3x2 + 12x – 8


D. Pertidaksamaan Linear

1. Pengertian pertidaksamaan linear

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama yang

dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan yaitu <, >, ,

Pada garis bilangan, semua bilangan positif terletak di sebelah kanan 0 (nol) dan

semua bilangan negatif terletak di sebelah kiri 0 (nol), sehingga dapat dinyatakan

sbb.

untuk x bilangan positif, ditulis x > 0

untuk x bilangan negatif, ditulis x < 0

2. Sifat pertidaksamaan linear

a. Untuk a, b, c R berlaku :

a > b dan b > c maka a > c

a < b dan b < c maka a < c

b. Tanda atau notasi ketidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas pertidaksamaan

dijumlahkan atau dikurangi bilangan yang sama

} a,b, c R

c. Tanda ketidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau

dibagi bilangan positif yang sama

}

a,b, c R

d. Tanda ketidaksamaan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi

bilangan negatif yang sama

}

a,b, c R

3. Menyelesaikan pertidaksamaan linear

Menyelesaikan sebuah pertidaksamaan linear satu variabel dapat diartikan mencari

bentuk paling sederhana dari pertidaksamaan linear. Bentuk paling sederhana itu

disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.

Contoh:


Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut kemudian gambarlah

grafik himpunan penyelesaiannya

a. 3x – 2 > 13 c. x – 6 2x – 2

b. 4x + 3 < 2x – 5 d. x + 2 3x – 4

Jawab :

a. Cara 1 Cara 2

3x – 2 > 13 3x – 2 > 13

3x – 2 + 2 > 13 + 2 3x > 13 + 2

3x > 15 3x > 15

x > 5 x > 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x|x > 5, x R}

Grafik himpunan penyelesaiannya adalah:

b. 4x + 3 < 2x – 5

4x – 2x < -5 – 3

2x < -8

x < -4

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x|x < -4, x R}


c. x – 6 2x – 2

– 6 + 2 2x – x

-4 x

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x|x -4, x R}


d. x + 2 3x – 4

2 + 4 3x – x

6 2x

3 x

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x|x 3, x R}


2 3 4 5 6 7 8

-7 -6 -5 -4 -3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-1 0 1 2 3 4 5


Aktivitas 4

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear berikut, kemudian

gambarlah himpunan penyelesaiannya

a. x + 3 > 0

b. 3x – 9 < 0

c. 4x –12

d. 14 – 7x 0

e. 8 – 2x 0

2. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut

a. 1 – x < 2 + 7x

b. 2x – 1 5x + 8

c.

d. 2

5

4. Merancang model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel

Langkah-langkah memecahkan masalah pertidaksamaan linear adalah:

a. menentukan besaran dalam yang dirancang sebagai variabel pertidaksamaan

b. merumuskan pertidaksamaan yang merupakan model matematika dari masalah

c. memberi penyelesaian dari model matematika

d. memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh

contoh:

Jumlah dua mata dadu tidak kurang dari 8. Jika bilangan kedua adalah tiga kalinya

bilangan yang pertama, tentukan batas-batas nilai dari kedua bilangan itu.

Jawab:

Misalkan, bilangan yang pertama adalah x maka bilangan yang kedua adalah 3x

sehingga diperoleh pertidaksamaan x + 3x 8

x + 3x 8

4x 8

x 2

Jadi, batas-batas mata dadu pertama adalah tidak kurang dari 2 dan batas mata dadu

kedua tidak kurang dari 6

Aktivitas 5

Jumlah dua bilangan tidak kurang dari 150 dan bilangan kedua sama dengan dua kali

bilangan pertama. Tentukan batas-batas nilai dari kedua bilangan itu.

LA - WB · Sistem Persamaan Linear, Kuadrat, dan Pertidaksamaan Satu Variabel Kompetensi Dasar 1....

Documents

Transcript of LA - WB · Sistem Persamaan Linear, Kuadrat, dan Pertidaksamaan Satu Variabel Kompetensi Dasar 1....