Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat€¦ · (Menggambarkan sketsa grafik fungsi ) Kita akan...

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

Matematika SMA/MA kelas X Semester I

BAB II

Misalkan a,b,c Є R dan a ≠ 0 maka persamaan yang berbentuk

dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.

Dalam persamaan kuadrat 02 cbxax , a adalah koefisien dari x2, b adalah

koefisien dari x dan c adalah suku tetapan.

Contoh:

x2 – 4, nilai a = 1, b= 0, c = -4

x2 + 2x = 0 nilai a = 1, b =2, c = 0

x2 – 5x + 2 = 0 nilai a = 2, b = -5, c = 2

x2 + x – 2 = 0 nilai a = 1, b =2, c = -2

Berkaitan dengan nilai dari a, b, dan c dikenal beberapa nama persamaan kuadrat

diantaranya adalah:

jika a = 1 maka persamaan menjadi 02 cbxax dan persamaan seperti ini

disebut persamaan kuadrat biasa

jika b = 0 maka persamaan menjadi dan persamaan seperti ini

disebut persamaan kudrat sempurna

jika c = 0 maka persamaan menjadi dan persamaan seperti ini

disebut persamaan kuadrat tak lengkap

jika a ,b, dan c bilangan – bilangan real, maka disebut

persamaan kuadrat real

jika a, b, dan c bilangan-bilangan rasional, maka disebut

persamaan kuadrat rasional

Dalam menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara,

diantaranya adalah dengan cara :

a. Memfaktorkan

b. Melengkapkan kuadrat sempurna

c. Menggunakan rumus kuadrat

d. Menggambarkan sketsa grafik fungsi ( )

Kita akan mempelajari 3 cara yang pertama untuk menentukan akar-akar suatu

persamaan kuadrat


Matematika SMA/MA Kelas X Semester I

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan

menngunakansebuah sifat yang berlaku pada sistem bilangan real. Sifat iti dapat

dinyatakan sebagai berikut.

Jika a, b, ϵ R dan berlaku a . b = 0, maka a = 0 atau b = 0

Catatan:

Pengertian a=0 atau b = 0 dapat ditafsirkan sebagai:

1. a = 0 dan b ≠ 0

2. a ≠ 0 dan b = 0

3. a = 0 dan b = 0

Dengan cara memfaktorkan, tentukan penyelesaian atau akar-akar dari tiap persamaan

kudarat

Jawab

( )( )

atau

Jadi,penyelesaian atau akar-akarnya adalah x1 =7 dan x2 = -2. Dalam bentuk

himpunan penyelesaian ditulisakan dengan HP = {7,-2}

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat

Sempurna

Dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat dengan proses melengakapkan

kuadrat sempurna melalui langkah-langkah sebagai berikut :

a) Mengubah persamaan kudrat semula kedalam bentuk

(x + p)2 = q dengan q ≥ 0

Melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna.

b) Menentukan akar – akar persamaan kuadrat sesuai dengan persamaan yang

terakhir

(x + p) = ± √ atau



Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan akar-akar persamaan kuadrat

Jawab :

( ) ( )

( )

( )

( ) √

√ √

√ √

Jadi akar-akarnya adalah √ atau √ ditulis HP = {1-√ , 1+√ }

Menentukan Akar – Akar Persamaan Kuadrat dengan Memakai Rumus kuadrat

Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan real dan a ≠ 0 maka akar-akar persamaan

kuadrat ditentukan oleh:

√

√

Contoh :

Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukan akar-akar persamaan kuadrat

.

Jawab :

, koefisien – koefisiennya adalah a = 1 b = - 6 c = 8

√

( ) √( ) ( )( )

( )

√

√

Jadi, akar-akarnya adalah x1 = 2 atau x2 = 4



Jenis – jenis akar persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan

1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan

a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya rasioanal

b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya

irrasional.

2. Jika D=0 maka akar persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar

kembar) real, dan rasional.

3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau

keduaakarnya tidak real (imajiner)

Contoh :

Tentukan jenis akar persamaan kuadrat

Jawab :

; koefisien – koefisiennya adalah a = 2, b = -7, dan c = 6.

Nilai diskriminannya adalah :

( ) ( )( )

Karena D = 1 > 0 dan D = 1 = 12 berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan

kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional

Pada pembahasan sebelumnya, Anda dapat mencari akar-akar persamaan kuadrat

dengan berbagai cara. Jika akar-akar persamaan kuadrat telah Anda peroleh maka

Anda dapat mencari hasil kali dan jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Bagaimana halnya jika akar-akar persamaan kuadratnya belum Anda peroleh, dan

Anda akan mencari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat? Jumlah dan

hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara berikut ini.

Misalkan persamaan kuadrat memiliki akar-akar , :

√

√

maka:

+ √

√

√ √



Jadi, rumus persamaan akar-akar kuadrat adalah : +

Rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah:

. ( √

) ( √

)

( ) (√ )

( )

( )

Jadi,rumus persamaan akar-akar kuadrat adalah : .

Bentuk – bentuk simetris akar-akar persamaan kuadrat adalah :

( )

( ) ( )

(

) ( )

Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar – akarnya

a. Memakai faktor

Apabila suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi ( x - x1)( x – x2) = 0

maka x1 dan x2 merupakan akar – akar persamaan kuadrat tersebut. Sebaliknya

apabila x1 dan x2 merupakan akar –akar suatu persamaan kuadrat , maka

persamaan kuadrat itu dpat ditentikan dengan rumus

( )( )

b. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar –akar

Persamaan kuadrat ( ) dapat dinyatakan dalam bentuk

yaitu dengan membagi kedua ruas persamaan semula dengan a.

Dari rumus jumlah dan hasil kali akar – akar, kita peroleh hubungan

( ) dan

Jadi, persamaan

dapat dinyatakan dalam bentuk



( ) ( )

1) Selesaikan persamaan-persamaan berikut dengan cara memfaktorkan

a. b. 2) Selesaikan persamaan berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna

a.

b. 3) Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui sebagai berikut

a. 2 dan 5

b. -3 dan 1

c. -5 dan -6

a. Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat

Suatu kalimat terbuka yang memuat variabel dengan pangkat positif

dan memiliki pangkat tertinggi dua dihubungkan dengan tanda disebut

pertidaksamaan kuadrat.

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :

dengan a≠0 dan a,b,c ϵ R

penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dalam

variabel x dapat ditentukan dengan dua cara yaitu dengan:

1. Sketsa grafik fungsi kuadrat

2. Garis bilangan

b. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik

fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus 43)( 2 xxxf grafiknya

berbentuk parabbola dengan persamaan 432 xxy . Sketsa grafik parabola

432 xxy diperlihatkan pada gambar berikut:



1) Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4.

Jadi 0432 xx dalam selang x < -1 atau x > 4.

2) Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4.

Jadi 0432 xx untuk nilai x = -1 atau x = 4.

3) Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang – 1 < x < 4.

Jadi 0432 xx dalam selang – 1 < x < 4.

Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat 43)( 2 xxxf atau parabola

432 xxy dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan

penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut:

a) Pertidaksamaan kuadrat 0432 xx . Himpunan penyelesaiannya adalah:

},41|{ RxxxHP

b) Pertidaksamaan kuadrat 0432 xx . Himpunan penyelesaiannya adalah:

},41|{ RxxxHP

c) Pertidaksamaan kuadrat 0432 xx . Himpunan penyelesaiannya adalah:

},41|{ Rxxatau xxHP

d) Pertidaksamaan kuadrat 0432 xx . Himpunan penyelesaiannya adalah:

},41|{ Rxxatau xxHP



Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat

0)( 2 cbxaxxf atau parabola dapat digunakan untuk

menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 02 cbxax ; 02 cbxax ;

02 cbxax ; 02 cbxax

Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan

kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat dapat ditentukan melalui

langkah–langkah sebagai berikut.

Langkah 1

Gambar sketsa grafik kuadrat ( ) atau parabola

jika ada carilah titik-titik potong dengan sumbu X.

Langkah 2

Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh dari langkah 1.kita dapat

menetapkanselang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat

,

c. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan

Dalam pasal ini kita akan menyekesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan

garis bilangan. Sebabagai contoh, kita akan menentukan penyelesaian pertidaksamaan

kuadrat .

Langkah-langkah yangdiperlukan sebagai berikut:

Langkah 1

Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan

0432 xx

0)4)(1( xx

1 x atau 4x

Langkah 2

Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan



Langkah 3

Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.

Misalnya:

2x maka nilai dari 64)2(3)2(43 22 xx sehingga tanda

dalam interval x < -1 (+) atau >0

1x maka nilai dari 64)1(3)1(43 22 xx sehingga tanda dalam

interval -1 < x < 4 (1) atau < 0

5x maka nilai dari 64)5(3)5(43 22 xx sehingga tanda dalam

interval x > 4 (+) atau >.

Langkah 4

Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan 0432 xx

adalah x < -1 atau x > 4.

Jadi himpunan penyelesainnya adalah 1|{ xxHP atau x > 4}

Secara umum penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

, dapat ditentukan dengan

menggunakan diagram garis bilangan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1

Carilah nilai – nilai nol (jika ada) bagian ruas kiri pertidaksamaan

Langkah 2

Gambarlah nilai nol itu pada diagram garis bilangan sehingga diperoleh interval-

interval.

Langkah 3

Tentukan tanda – tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang

berada dalam masing-masing interval.

Langkah 4

Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh dari langkah 3. Kita dapat

menetapkan interval yang memenuhi.

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat kita perlu mencermati adanya

beberapa bentuk khusus dari suatu bentuk kuadrat. Ada 2 macam bentuk khusus dari

suatu bentuk kuadrat yaitu:

(1) Definit positif, yaitu bentuk kuadrat berlaku untu semua x ϵ R.

Bentuk disebut definit positif, jika



(2) Definit negatif, yaitu bentuk kuadrat berlaku untuk semua x ϵ R.

Bentuk disebut definit negatif jika .

1. Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat ,12)( 2 xxxf carilah

himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut.

a. 0122 xx

b. 0122 xx

c. 0122 xx

d. 0122 xx

2. Dengan menggunakan garis bilangan,Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan

!

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:

a.

b.



Akar-akar persamaan kuadrat

Dalam menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara,

diantaranya adalah dengan cara :

a. Memfaktorkan

b. Melengkapkan kuadrat sempurna

Mengubah persamaan kudrat semula kedalam bentuk

(x + p)2 = q dengan q ≥ 0

Melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna.

Menentukan akar – akar persamaan kuadrat sesuai dengan persamaan yang

terakhir

(x + p) = ± √ atau

c. Menggunakan rumus kuadrat

akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh:

√

√

d. Menggambarkan sketsa grafik fungsi ( )

Jenis – jenis akar persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan

1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan

Jika D berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya rasioanal

Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya irrasional.

2. Jika D=0 maka akar persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar

kembar) real, dan rasional.

3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau

keduaakarnya tidak real (imajiner)

Rumus persamaan akar-akar kuadrat adalah :

1. +

2. .

Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar – akarnya

1. Memakai faktor



( )( )

2. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar –akar

( ) ( )

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat

Langkah 1

Gambar sketsa grafik kuadrat ( ) atau parabola jika ada carilah titik-titik potong dengan sumbu X. Langkah 2 Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh dari langkah 1.kita dapat

menetapkanselang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat

,

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan

Langkah 1

Carilah nilai – nilai nol (jika ada) bagian ruas kiri pertidaksamaan

Langkah 2

Gambarlah nilai nol itu pada diagram garis bilangan sehingga diperoleh interval-

interval.

Langkah 3

Tentukan tanda – tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang

berada dalam masing-masing interval.

Langkah 4

Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh dari langkah 3. Kita dapat menetapkan

interval yang memenuhi.



BAB III

EVALUASI

A. Pilihlah satu jawaban yang paling tepat !

1. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah a dan b.nilai dari

adalah...

a. 18

b. 17

c. -18

d. -16

e. 19

2. Jika α dan β akar-akar persamaan maka mencapai minimum untuk ....

a. -1

b. 0 c.

d. 1

e. 3

3. Akar-akar persamaan 0)8()42(2 kxkkx adalah sama. Hasil kali kedua akar

persamaan tersebut adalah ….

a. 1

b. 4

c. 9

d. 16

e. 2

4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berlawanan tanda dari akar-akar

persamaan adalah ….

a. b. c. d. e.

5. Akar-akar persamaan kuadrat 0)1(2 2 qqxx adalah m dan n. Jika 422 nm maka

nilai q adalah ...... a. -6 dan 2 b. -5 dan 3

c. -4 dan 4 d. -3 dan 5

e. -2 dan 6

6. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah...

a.

b.

c.

d.

e.

7. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 493 22 xxx adalah ....

a.

b.

c.

d.

e.

8. Himpunan penyelesaian dari persamaan 05

2

x

x adalah ....

a. }25|{ xxHP



b. }25|{ xxHP

c. 1|{ xxHP atau }2x

d. 5|{ xxHP atau }2x

e. 1|{ xxHP atau }1x

9. Himpunan penyelesaian ( ) ( ) ( ) adalah...

a. -11 b. -12 c. -13

d. -14 e. -15

10. Nilai terbesar x agar

adalah....

a. -2 b. -3 c. -4

d. 1 e. -1

11. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

( ) ( ) adalah...

a. * | + b. * | +

c. { |

}

d. { |

}

e. { |

}

12. Agar persamaan ( ) ( ) mempunyai akar kembar maka nilai k = ... a. b.

c. √

d. e.

13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah...

a.

b.

c.

d.

e.

14. Nilai yang memenuhi

adalah...

a. b. c.

d. e.

15. Bentuk pertidaksamaan akan bernilai benar jika...

a.

b.

c.

d.

e. Semua bilangan real

B. Jawablah pertanyaan –pertanyaan berikut dengan singkat dan jelas !

1. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat



3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akarakar persamaan

! 4. Jika salah satu akar persamaan ( ) adalah empat kali akar

yang lain maka tentukan nilai k dan akar-akar tersebut.



Latihan 1

1. a. ( )( )

Dengan demikian penyelesaian dari persamaan kuadrat adalah

x = 1 atau x = 3

( ) (

)

( )( )


2. a.

(

)

(

)

Dengan demikian penyelesaian persamaan kuadrat adalah



(

)

(

)


3. a.

( )( )

Jadi,persamaan kuadrat yang diminta adalah

( ( ))( )

( )( )

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah

e.

( ( ))( ( ))

( )( )

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah

Latihan 2

1. Sketsa grafik fungsi kuadrat ,12)( 2 xxxf atau parabola ,122 xxy

diperlihatkan pada gambar berikut:



a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 xx adalah

Himpunan kosong ditulis

b. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 xx adalah

}1|{ xxHP

c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 xx adalah

}1|{ xdanRxxHP

d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 xx adalah

},11|{ RxxatuxxHP dapat juga ditulis }|{ RxxHP

2.

Harga nol pembilang ( ) Harga nol penyebut Jadi, himpunan penyelesaianya adalah

3. a.

( )( )

Ambil (negatif)

Jadi, himpunan penyelesaian adalah * | +

b.

( )( )

Ambil (negatif)

Jadi, himpunan penyelesaian adalah * | +

Uji kompetensi

A. 1. a

2.d

3.d

4.c

5.e

6.d

7.a

8.e

9.c

10.c

11.d

12.c

13.a

14.e

15.b

B. Uraian

1. Dari persamaan diperoleh



Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang akan dicari adalah a dan b, dimana

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

Jadi, persamaan kuadrat yang akr-akarnya ( ) ( )

adalah: ( ) —

(

)

2.

( )( )

Nilai-nilai nol dan tanda-tanda intervalnya diperlihatkan pada gambar 2.24

Jadi, himpunan penyelesaian adalah { |

}

3. Misalkan persamaan kuadrat baru memiliki akar a

Substitusikan kedalam persamaan kuadrat semula sehingga diperoleh:

( ) ( )

( )

Jadi persamaan kuadrat barunya adalah

4. ( ) Dengan nilai a=1, b = -10, c = k-2 dan salah satu akar = empat kali akar yang

lain.

+

=4.2=8

Jadi, nilai k =18

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat€¦ · (Menggambarkan sketsa grafik fungsi ) Kita akan...

Documents

Transcript of Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat€¦ · (Menggambarkan sketsa grafik fungsi ) Kita akan...