CUADERNOS DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE LNEAS DE INFLUENCIA Rossana Claudia JACA CTEDRA: ESTABILIDAD III TEORA DE LAS ESTRUCTURAS DEPARTAMENTO DE CONSTRUCCIONES FACULTAD DE INGENIERA SERIE N JULIO 2009Estabilidad III Lneas de Influencia 1 NDICE 1 CINEMTICA DE CHAPAS............................................................................................... 2 1.1 Rotacin infinitsima de una chapa rgida en el plano ................................................... 2 1.2 Descomposicin de desplazamientos debidos a una rotacin........................................ 3 1.3 Polos en sistemas de un grado de libertad...................................................................... 3 2 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES ........................................................................ 7 2.1 Desplazamiento virtual ................................................................................................... 7 2.2 Principio de trabajos virtuales........................................................................................ 8 2.3 Aplicacin del Principio del Trabajos Virtuales............................................................ 9 3 LINEAS DE INFLUENCIA................................................................................................ 13 3.1 Concepto y Definicin .................................................................................................. 13 4 LINEAS DE INFLUENCIA EN ESTRUCTURAS ISOSTTICAS .................................. 14 4.1 Aplicacin de las lneas de influencia.......................................................................... 17 4.2 Lneas de influencia de cargas en cualquier direccin o transmitidasindirectamente............................................................................................................. 18 4.3 Lneas de influencia de Esfuerzo de Corte................................................................... 19 4.4 Lneas de influencia de Esfuerzo Normal.................................................................... 20 4.5 Lneas de influencia de reacciones de apoyo............................................................... 21 5 LNEAS DE INFLUENCIA DE BARRAS DE RETICULADOS ISOSTTICOS........... 21 6 LNEAS DE INFLUENCIA DE ESTRUCTURAS HIPERESTTICAS ........................... 25 6.1 Lneas de influencia por aplicacin del Teorema de Reciprocidad............................. 25 6.2 Lneas de influencia de efectos estticos....................................................................... 26 6.3 Lneas de influencia de magnitudes cinemticas .......................................................... 29 6.4 Mtodos computacionales............................................................................................ 31 6.5 Usos de las lneas de influencia..................................................................................... 32 7 BIBLIOGRAFA .................................................................................................................. 36 Estabilidad III Lneas de Influencia 2 1 CINEMTICA DE CHAPAS 1.1Rotacin infinitsima de una chapa rgida en el plano SealachapargidaSmostradaenlaFigura1,ubicadaenelplanoxy.SiSexperimentauna rotacin en su plano alrededor de punto O pasando a la posicin S, entonces el segmento OA gira un ngulo que caracteriza la intensidad de la rotacin de la chapacon una distancia OAfija por serlachapargida.ElpuntoAdescribeunatrayectoriacircularconcentroenOpasandoala posicin Ay experimentando un desplazamiento AA. Considerando una rotacin infinitamente pequea,sepuedeestablecerlaigualdadentrelacuerdaAA,elarcoAAylatangenteAA. Debido aesa igualdad es posible aproximar el desplazamiento AA experimentado por el puntoA mediante el vector AA medido sobre la tangente en Ay que resulta perpendicular a OA con una intensidad: = = = * OA tg * OA A AA(1) Figura 1: Rotacin de chapa rgida. De esta manera, considerando la teora de pequeas deformaciones especficas y pequeos giros, esposibleasumirqueeldesplazamientodeunpuntocualquieradeunachapargidaes perpendicular alradio de giroycon una intensidad proporcionalal mismo, como se muestra en la Figura2(a)dondeOeselcentroderotacinyAunpuntoquesepuedemoversegnuna perpendicular al segmento OA. O bien, si se conoce la direccin de desplazamiento de dos puntos A yBcomo en la Figura 2 (b), entonces donde secortan las perpendiculares a ambas direcciones se encuentra el centro derotacin Oya que ste debe estar sobre una perpendicular a la direccin de desplazamiento de los puntos. El centro de rotacin o polo puede estar dentro o fuera de la chapa. (a)(b) Figura 2: Centro de rotacin. Resumiendo,enlasrotacionesarealizarenelestudiocinemticodechapasrgidaslos desplazamientosdelosdiferentespuntosdelaschapasrgidassonperpendicularesalarectaque uneelpuntoconsideradoconelcentroderotacinopoloconunaintensidadproporcionalala O A B A O O B A S A A A O A y x =i ii iix x si xLx Lx x si ) x L (Lx) x ( M(11) yrepresentandoesevalorencorrespondenciaconcadacoordenadaxseobtieneeldiagrama correspondiente a la lnea de influencia de M en i, como se muestra en la Figura 24. P=1 x xi j Mi i P=1 i LI Mi + a A B b Estabilidad III Lneas de Influencia 15 Figura 24: Lnea de influencia de Momento flector en i. staesunaformadehallarlalneadeinfluencia,perotambinsepuedeobtenermediantela aplicacindelPrincipiodeTrabajosVirtuales.Comofuemencionadoenelpunto2.3esposible hallar el momento flector en el punto i por la aplicacin del principio de los trabajos virtuales. Para ello es necesario incluir en el punto i un mecanismo para poner de manifiesto el momento flector e imponerunmovimientovirtual,deestamaneratantolacargaPcomoelmomentoflectoreni producen un trabajo virtual que es nulo por estar el sistema en equilibrio. A partir de esa expresin se puede hallar el momento flector en i: rj ji r i j j* PM 0 * M * P W= = + =(12) donde j es el desplazamiento en la direccin de la carga Pj. Si en esa expresin Pj es unitaria, como se define para la lnea de influencia, y adems se impone que r = 1, entonces se obtiene: 1 y 1 P para Mr j j i= = = (13) Resultandoquelarepresentacindelosdesplazamientoscorrespondientesacadapuntojde aplicacin de la carga P=1 es la lnea de influencia,ya que es el momento flector en i cuando en j acta una carga unitaria, tal como se muestra en la Figura 25. Figura 25: Lnea de influencia de Momento flector en i, obtenida por aplicacindel principio de trabajos virtuales. Se puede observar que el diagrama obtenido es similar al hallado en la Figura 24, resta indicar el signo y la escala adecuada. La determinacin del signo se hace a partir del siguiente anlisis, dado queladireccindelacargaPyeldesplazamientosonenelmismosentido(P*)esuntrabajo positivo y por lo tanto el trabajo (Mi*r) debe ser negativo para que sea nulo el trabajo total. Como el sentido de r est definido por el movimiento impuesto, entonces el momento flector debe ser de sentido contrario segn lo indicado en la expresin (14): ser debe M 0 * M * Pi r i = + (14) P=1 x xi j Mi i x/L (L-x)/L L LI Mi xi (L-xi)/L + Mi P=1 i r = 1 LI Mi Mi Estabilidad III Lneas de Influencia 16 resultandounmomentoflectorpositivo,yaqueeselqueactaalacaraderechadelpuntoiy produce traccin en la fibra inferior. Es decir la lnea de influencia es positiva como en la Figura 24. ComoseobservaenlaFigura26,paraqueelgirorelativoseaunitarioesnecesarioqueel segmentoBCseaigualaDBqueenestecasoes(L-xi).Enlarepresentacingrficaresultandos tringulossemejantes,ABCyADE,dedondesepuedeobtenerelvalordeDEapartirdeesa semejanza de los tringulos: ii i ixx LLDExDEx LL= =(15) que es la misma expresin hallada en el procedimiento anterior y mostrada en la Figura 24. Figura 26: Determinacin de escala adecuada. Este ltimo procedimiento es el que usar para la determinacin de las lneas de influencia, como se muestra en el ejemplo de la Figura 27, para hallar la lnea de influencia de Momento flector en el punto i (LI Mi). A continuacin se indica la metodologa paso a paso: 1)Poner de manifiesto Mi colocando una articulacin en i. 2)Imponer un giro relativo unitario en i y graficar los desplazamientos (). Dada la geometra de la estructura debe ser =6 para que r=1. 3)Evaluarlaescalaadecuadayelsignodelalneadeinfluencia,dondeporsemejanzade tringulosresulta:4 . 2 x4x10611= = y2 . 1 xx34 . 2622= = .Elanlisisdelsignoes similar a lo planteado anteriormente cuando P acta entre O1 y O2 y en el resto negativo. Figura 27 B C E D L-xi r LI Mi xi L-xi A L + 2.4 + i i 6 43 Mi =6r=1 6 P O2` O1` 1.2 1) 2) 3) x1 x2 LI Mi Estabilidad III Lneas de Influencia 174.1 Aplicacin de las lneas de influencia Comoseexpresanteriormente,lalneadeinfluenciaindicaelvalordelamagnitudestudiada (elmomentoflectorenelcasoanalizadoanteriormente)paraunaposicinvariabledelacargaP unitaria. Por aplicacin del principio de superposicin resulta que, si en lugar de una carga unitaria acta una carga P de intensidad cualquiera entonces el valor del efecto esttico (ei) en i ser P veces la ordenada que corresponde a la lnea de influencia, con el signo que le corresponde al diagrama de LI. De esta manera un uso inmediato de la lnea de influencia es para hallar el valor del efecto (ei) estudiado en el punto analizado para un sistema fijo de cargas concentradas ubicadas a lo largo de la estructura analizada:= =n1 jj j i* P e (16) Por ejemplo, la lnea de influencia de Mi de la Figura 27 permite hallar el momento flector en el punto i para el sistema fijo de cargas como las que actan sobre la estructura mostrada en la Figura 28:tm 7 . 8 6 . 0 * t 5 . 1 m 4 . 2 * t 3 m 2 . 1 * t 2 Mi= + = (17) Figura 28: Aplicacin de Lnea de Influencia para un sistema de cargas fijo. Sienlugardeunacargaconcentradaactaunacargadistribuida,esposiblehallarelefecto integrando de un extremo a otro de la aplicacin de la carga resultando: = =2x1x2x1xidA * ) x ( q dx * ) x ( q * ) x ( e (18) dondedAeselreacorrespondientedeldiagramadelalneadeinfluencia.Silacargaesla mostrada en la Figura 29(a), para la misma estructura el momento flector en i ser: m / t 1 q para tm 1224 . 2 * 10* q dx ) x ( * q M100i= = = = (19) Si la carga distribuida acta sobre toda la viga como en la Figura 29 (b) entonces resulta: m / t 1 q para tm 2 . 1022 . 1 * 3* q24 . 2 * 10* q dx ) x ( * q M130i= = = = (20) (a)(b) Figura 29 q q 1.51.5 6 22 i 2t 1.5t3t + 2.4 1.2 0.6 Mi =? Estabilidad III Lneas de Influencia 18Se puede observar que en este caso como la zona correspondiente al voladizo presenta una lnea de influencia de Mi de signo negativo, la aplicacin de una carga distribuida en toda la viga produce unmomentoflectorenimenorquesisolamenteestuvieraaplicadalacargaeneltramoentrelos apoyos.steesotrousoimportantedelaslneasdeinfluencia,quepermiteevaluarelmximo momentoflectorpositivoonegativoenelpuntoestudiadoparacargasaccidentales,esdecirque pueden estar actuando en el tramo o no como las sobrecargas producidas por el uso del espacio. De estamanera,silascargasactansolamenteenelsectordondelalneadeinfluenciatienesigno positivoseobtieneelesfuerzomximopositivoeni(Mi=12tmenestecaso);obiensiactan solamentedondelalneadeinfluenciaesnegativaseobtieneelesfuerzomximonegativoeni(Mi= -1t/m*3*1.2/2 m2= - 1.8 tm). Otrousoimportanteesparacargasmvilesquenospermitedeterminarculeselvalordel momento mximo positivo o negativo que se produce en el punto i cuando la carga P se desplaza a lo largo de la estructura: tm 2 . 1 * P M o tm 4 . 2 * P M. max . max = = +(20) quecorrespondealacargaactuandoenlamximaordenadapositivaonegativadelalneade influencia, como se muestra en la Figura 30. Figura 30 4.2 Lneas de influencia de cargas en cualquier direccin o transmitidas indirectamente Loscasosanalizadosanteriormentecorrespondenacargasgravitatoriasyenellossolamentese analizalalneadeinfluenciaparacargasverticales,dondeseconsideranlosdesplazamientos verticales asociados al desplazamiento virtual impuesto al sistema. Pero en general, al dar al sistema undesplazamientogeneralizadovirtualsegenerancomponentesdedesplazamientosverticalesy horizontales en cuyo caso se deben considerar las lneas de influencia horizontal y vertical para una fuerzacualquieraactuandosobrelaestructura.Sealavigasimplementeapoyadamostradaenla Figura 31 y las lneas de influencia vertical y horizontal correspondiente a un cierto efecto esttico ei(LIHyLIVdeei).LascargasactuantesPi tienencomponenteshorizontalyvertical(HiyVi)y asociados a sus puntos de aplicacin las lneas de influencia horizontal yvertical tienen ordenadas i y i respectivamente. El efecto esttico en i producido por las cargas Pi se obtiene afectando cada componentedefuerzaporlascorrespondientesordenadassobrelalneadeinfluenciahorizontaly vertical respectivamente segn la siguiente expresin: 2 2 1 1 2 2 1 1n1 ii i i i i* V * V * H * H * V * H e + = + = =(21) 1.51.5 6 22 i PP + 2.4 1.2 Estabilidad III Lneas de Influencia 19 Figura 31: Aplicacin de Lnea de Influencia horizontal y vertical. En algunas estructuras, como puentes o techos, las cargas sobre la estructura resistente principal se transmiten de manera indirecta mediante viguetas transversales comose indicaen la Figura 32. La carga P se expresa por sus componentes P1 y P2 y en este caso, dada la lnea de influencia de ei como puede ser el momento flector, el efecto en i para una carga P cualquiera se expresa: 2 2 1 1 i* P * P e + = (22) Figura 32: Lnea de influencia de cargas aplicadas indirectamente. 4.3 Lneas de influencia de Esfuerzo de Corte Nuevamente es necesario incluir en el punto en estudio un mecanismo que permita imponer en el sistemaundesplazamientovirtualenelsentidodelesfuerzoconsiderado.Enestecasoel mecanismo consiste en incorporar en la seccin analizada un par de bielas que permitan realizar un desplazamiento relativo en el sentido del corte, como se muestra en la Figura 33. Figura 33: Mecanismo para desplazamiento virtual en sentido del esfuerzo de corte. ParalaestructuraestudiadaanteriormenteenlaFigura27,sisedeseaobtenerlalneade influenciadeEsfuerzodeCorteenelpuntoicomoprimerpasosedebeincluirenesepuntoel mecanismomostradoydaralsistemaundesplazamientorelativor.Representandolos desplazamientos verticales del sistema formado por las chapas S1 y S2, el diagrama as obtenido es lalneadeinfluenciacuandoresunitario.Enestecasolasrectasquerepresentanlos 2 H2 H1 P2 - + i P1 + V1 V2 1 2 1 LIH de ei LIV de ei Q+ P 2 1 LLL i P1 + P2 LI Mi Estabilidad III Lneas de Influencia 20desplazamientosverticalesdecadachapasonparalelasyesopermiteporsemejanzadetringulos hallar la escala del diagrama. Para la determinacin del signo se procede de manera similar que para el momento flector como se expres en ecuacin (14), en la zona 1 (P*) es positivo porque tiene el mismosentidoentonces(Qi*r)debesernegativo,elesfuerzodecortedebesercontrarioal desplazamiento relativo impuesto y se es un corte positivo: ser debe Q 0 * Q * Pi r i = + (14) 1) 2) 3) ||

\|= = 4 . 0 x4x101 Figura 34: Lnea de Influencia de Esfuerzo de Corte en i. 4.4 Lneas de influencia de Esfuerzo Normal Paraponerenevidenciaelesfuerzonormalypoderdarundesplazamientovirtualcompatible coneseesfuerzoseincluyeenelpuntoestudiadoelmecanismomostradoenlaFigura35.El procedimiento para hallar la lnea de influencia es el mismo que en los casos anteriores. Figura 35: Mecanismo para desplazamiento virtual en sentido del esfuerzo normal. Figura 36: Lnea de Influencia de Esfuerzo Normal en i. 0 * N * Pr= + N (15) Qi N + + i i r=1 i r=1 LI de Ni ( ) N + S1 + 1 1|| 2 P O1 364 i 2 r=1 O2 + 0.4 r=1 0.6 0.3 LI de Qi 1 S2 Estabilidad III Lneas de Influencia 21En esa estructura solamente aparecen esfuerzos normales para cargas horizontales actuando entre el punto estudiado y el apoyo mvil, el anlisis del signo de la lnea de influencia se muestra en la ecuacin (15). 4.5 Lneas de influencia de reacciones de apoyo Otro de losefectos estticos cuya lnea de influencia puede ser de intersson las reacciones de apoyo. En estos casos la estrategia es quitar la restriccin de vnculo estudiada y poner en su lugar lareaccincorrespondiente,demaneraquesepuedaimponerenlaestructuraunmovimiento virtualcompatibleconelvnculo.ParalaestructuraestudiadaenlaFigura27,seplanteahallarla lneadeinfluenciadelareaccinverticalenelapoyodobleA,considerandocomopositivaslas reacciones verticales hacia arriba (RAV +). Para ello se reemplaza este apoyo por un apoyo simple quepermitadesplazamientosverticalesyserealizaundesplazamientoverticalvirtualunitario.La representacin grfica de los desplazamientos verticales es la lnea de influencia de RAv para cargas verticales, dado que Av=1. El anlisis del signo se muestra en la ecuacin (16). Figura 37: Lnea de Influencia de reaccin vertical en A. 0 * R * PvAvA= + RAv RAv es positiva(16) 5LNEAS DE INFLUENCIA DE BARRAS DE RETICULADOS ISOSTTICOS Enelcasodeanalizarbarrasdeunreticuladoideal,dadoqueelnicoesfuerzoactuantees normal, este esfuerzo se pone de manifiesto cortando la barray agregando a cada lado del corte el esfuerzo N que sobre ella acta. La metodologa para encontrar la lnea de influencia nuevamente es por la aplicacin del principio de trabajos virtuales, dando al sistema un movimiento virtual unitario paraqueelesfuerzoenlabarracortadaproduzcauntrabajoyrepresentandolosdesplazamientos verticales y horizontales en la escala adecuada correspondiendo a la lnea de influencia para cargas verticales u horizontales respectivamente. En las figuras 38 y 39 se muestra la lnea de influencia de una barra de cordn superior y en la Figura 40 la correspondiente a una barra de cordn inferior. En ambos casos al cortar la barra analizada el sistema se transforma en una cadena de dos chapas (Iy II) articuladas entre s en A1-2, al dar un movimiento virtual se determinan los polos de cada chapa (O1 yO2)yserepresentanlosdesplazamientosverticalescorrespondientesacadachapasegnlo expresado en el punto 1.3 desarrollado anteriormente. Para que esa representacin sea una lnea de influenciaesnecesarioqueeldesplazamientoentrelascarasdelcorteseaunitario.Ese desplazamiento relativo se puede expresar en funcin del giro relativo entre ambaschapasy del radiodegiroqueesladistanciamedidaenformaperpendiculardesdelabarracortadahastala articulacin relativa entre ambas chapas (A1-2): Av=1 310 A A RAv 0.3 + P LI de RAv Estabilidad III Lneas de Influencia 22h *r = (17)

El giro relativo tambin se puede evaluar en la representacin de los desplazamientos verticales comoelnguloentrelasrectasquerepresentaneldesplazamientoverticaldeambaschapas,de manera que midiendo ladistancia correspondiente alradio degiro(h)a partir de la proyeccin de A1-2quedadeterminadoeldesplazamientorelativoentrelascarasdelcorte.Posteriormentese establece la escala del grfico obtenido, tomando como referencia ese unitario y las distancias en horizontal medidas de la geometra del reticulado. Figura 38: Lnea de Influencia de una barra de cordn superior. Figura 39: Aplicacin a un reticulado particular. =r*h =1 Estabilidad III Lneas de Influencia 23Comparando tringulos semejantes en la Figura 39 resulta: 96 . 0 x6x106 . 1y 6 . 1 x4x5 . 2111= = = =(18) Paradeterminarelsignodelalneadeinfluenciaserealizaelsiguienteanlisis,demanera similaraloscasosanteriores,esdecireltrabajo(P*)esnegativoporquelafuerzayel desplazamiento tiene sentidos contrarios entonces el trabajo (N*) tiene que ser positivo con lo que resulta que N debe tener igual sentido que y eso representa un esfuerzo negativo, de compresin:: 0 * N * P = + NN es compresin(19) esdecir,quelabarraanalizadasiempreestarcomprimidaparacualquiersistemadefuerzas verticales a las que est sometida la estructura. LaFigura 40 muestra lalnea de influencia de una barra de cordn inferiory que se obtiene de manerasimilaralahalladaanteriormente,enestecasolalneadeinfluenciatienezonasdesigno positivoyotrasconsignonegativo.Deestamanerasilacargaaccidentalactasolamenteenla zona en la que la lnea es positiva se obtiene la mxima traccin en la barra y si solamente acta en lazonadondeesnegativaseproducelamximacompresin,comoestindicadoenlaparte inferior. Figura 40: Lnea de Influencia de una barra de cordn inferior. Al analizar una barra diagonal y plantear el corte de dicha barra, el reticulado se convierte en una cadena cerrada de cuatro chapas donde para imponer un desplazamiento relativo entre las caras del corte en la barra analizada se debe realizar un giro en la chapa I y analizar la ubicacin de los polos de las chapas de manera similar a lo realizado en el punto 1.3 (Figura 8). Las chapas III y IV actan Estabilidad III Lneas de Influencia 24comobielasvinculandolaschapasIyII,asdondesecortanlasrectasquerepresentanambas chapas se encuentra la articulacin relativa ficticia entre las chapasIyII(A1-2). Para establecer la escala es necesario que el desplazamiento relativo () sea unitario y se puede definir en funcin del girorelativoentrelachapaIIyIVcomodeindicaenlaFigura41contcomoradiodegiro. TambinsepodradefinirenfuncindelgirorelativoentrelaschapasIyIIItomadoladistancia medida perpendicularmente a la barra hasta A1-3. Figura 41: Lnea de Influencia de una barra de alma. Figura 42: Lnea de Influencia de una barra de alma. III IV 12 II Estabilidad III Lneas de Influencia 25La Figura 42 muestra un caso particular de lnea de influencia que se presenta cuando las chapas III y IV son paralelas entre s. En este caso la articulacin relativa ficticia entre las chapas I y II se encuentraenelpuntoimpropioyseproduceunatraslacinrelativaentrelaschapasIyII, resultandoporlotantoquelasrectasquerepresentanlosdesplazamientosdeestaschapasson paralelasentres.Silascargasactanenlapartesuperiorlalneadeinfluenciaestdadaporlas rectas 1, 3y 2 mientras que si las cargas actan enel cordn inferiorla lnea de influenciaest representadapor1,4y2.Laprimeraalternativaserapropiadeunaestructuraquefunciona como soporte de un techo mientras que el segundo caso correspondera a una estructura usada como puente. 6LNEAS DE INFLUENCIA DE ESTRUCTURAS HIPERESTTICAS

En el caso de estructuras isostticas se estudiaron las lneas de influencia de esfuerzos internos y reacciones de vnculo mediante el Principio de Trabajos Virtuales, por cuya aplicacin se demuestra que el diagrama de desplazamientos verticales u horizontales es igual a la lnea de influencia en una ciertaescala.Enestepuntoseextiendeelconceptodelneasdeinfluenciaalcasodeestructuras deformablesyengeneralhiperestticas,tantoparamagnitudesestticas(esfuerzosinternosy reacciones)comoparamagnitudescinemticas(girosydesplazamientos).Enestoscasostambin es necesario obtener las deformadas de las estructuras, que en una escala adecuada corresponde a la lnea de influencia. Mientras que en estructuras isostticas las deformadas estn compuestas por una serie de tramos de lneas rectas, para estructuras hiperestticas las deformadas resultan curvas. 6.1 Lneas de influencia por aplicacin del Teorema de Reciprocidad ComounaaplicacindelPrincipiodeTrabajosVirtualesacuerposdeformablessepresentael Teorema de Reciprocidad o Ley de Betty que se aplica a la obtencin de las lneas de influencia de efectos estticos en estructura hiperestticas. La ley de Betty expresa: El trabajo producido por una causa Ci con los efectos generados por otra causa Cj, es igual al trabajo que realiza sta ltima con los efectos generados por la primera, y plantea: ) C ( e * C ) C ( e * Ci j j j i i = (20) donde Ci es la causa actuante en el punto i, ei(Cj) es el efecto en el punto i producido por la causa Cj o eij, Cj es la causa actuante en el punto j y ej(Ci) es el efecto en el punto j producido por la causa Ci o eji. Las causas y las efectos son compatibles entre s, y pueden ser estticos o cinemticas. Asi por ejemplo, la Figura 43 muestra que si la causa Ci es un par aplicado entonces el efecto en i producido por la causa en j a tener en cuenta es un giro y si la causa en j es una fuerza entonces el efecto en j producido por Ci es un desplazamiento. Figura 43: Aplicacin del teorema de Reciprocidad. SilascausassonunitariasresultalaexpresindelaLeydeMaxwellexpresadaenlaecuacin (21), donde se indica las causas y efectos que deben ser compatibles:Estabilidad III Lneas de Influencia 26 ) C ( e ) C ( ei j j i= (21) Siseasumequeieslaposicinfijadelpuntoenelcualsebuscalalneadeinfluenciadeun efecto esttico dado y que el subndice j indica la posicin variable de la causa unitaria asociada a la lnea de influencia entonces: eji es el efecto en las diferentes posiciones de j, es decir la elstica o desplazamientos verticales u horizontales, cuando en i acta una causa Ci y se verifica que si Ci tambin unitaria entonces eji es la lnea de influencia, ya que concuerda con la definicin dada para la lnea de influencia. Esta expresin permite efectuar la transformacin de un estado de causas de posicin variable en unestadodecausasdeposicinfijaparaladeterminacindelalneadeinfluencia.Esdecirel problema se reduce a determinar el estado de causa deformante de posicin fija y el efecto debido a sta que puede ser interpretado como la lnea de influencia buscada.Una ventaja que presenta esta metodologa es que permite hallar el diagrama para una causa de posicin variable resolviendo la estructura una nica vez, esto conduce a una simplificacin prctica tanto para la resolucin manual como computacional. Otra ventaja es que la obtencin del diagrama de un efecto debido a una causa fija resulta ms sencillo e intuitivo, permitiendo el trazado a mano alzada de las lneas de influencia que resulta un aspecto muy interesante para un anlisis cualitativo. 6.2 Lneas de influencia de efectos estticos Como se plante para las estructuras isostticas, tambin en estos casos es necesario incluir en el puntoenestudiounmecanismoquepongademanifiestoelefectoestticoestudiado. Posteriormentesedebeimponerenlaestructura(quetieneungradodelibertadadicional)un movimiento virtual asociado al efecto esttico estudiado. A travs de la expresin (21) se establece el tipo de movimiento impuesto y los efectos a evaluar. As por ejemplo, si se busca la lnea de influencia de momento flector en i para cargas verticales entonces: ) 1 ( * 1 ) j ( M * 1) C ( e * C ) C ( e * Cr j ii j j j i i= = =(22) La causa de posicin fija (Ci) es el giro relativo unitario impuesto en el punto i que est asociado alefectoeniqueeselMiestudiado,lacausadeposicinvariableeslacargaverticalPunitaria actuando en jy el efecto en j es el desplazamiento vertical en el punto j variable. En definitiva, se impone en i un giro relativo unitario y se evala en cada punto el desplazamiento vertical, como se muestra en la Figura 44. Figura 44: Lnea de influencia de Momento flector en i para cargas verticales en j. Pj=1 j Pj=1 j + a Mi j j r=1 LI Mi( j) r=1Ci Cj i Estabilidad III Lneas de Influencia 27Sisebuscaralalneadeinfluenciademomentoflectoreniparacargashorizontales,sedebe imponer en i un giro relativo unitario y evaluar los desplazamientos horizontales en todos los puntos de la estructura: LI de M i (j) Mi (j) = j ( ri =1)(23) El anlisis del signo de la lnea de influencia es similar a lo planteado para estructuras isostticas, en la zona donde est representado el punto j en la Figura 44: ser debe M 0 * M * Pi r i = + (24) que es un momento negativo de acuerdo a la convencin adoptada. A continuacin se muestran ejemplos de aplicacin de los conceptos mencionados: (a) (b) Figura 45: Lnea de influencia de momento flector en i: (a) para cargas verticales,(b) para cargas horizontales. (a)(b) Figura 46: Lnea de influencia de momento flector en i: (a) para cargas verticales,(b) para cargas horizontales. Paralaobtencindelneasdeinfluenciadeesfuerzodecortesedebeincluirenelpunto estudiado el mecanismo mostrado en la Figura 33 e imponer un desplazamiento relativo unitario en - Mi Estabilidad III Lneas de Influencia 28elsentidodelesfuerzodecorte(r=1),staeslacausafijaeni(Ci)yQisuefectoasociado,yse debe evaluar como efecto en j las componentes de desplazamiento vertical (j) si se busca la lnea de influencia para cargas verticales y las componentes de desplazamiento horizontal (j) si se desea la lnea de influencia para cargas horizontales: LI de Q i (j) Qi (j) = j (ri =1) (25) LI de Q i (j) Qi (j) = j (ri =1) Las figuras 47 y 48 muestran ejemplos de aplicacin donde tambin se incluye el anlisis del signo asociado a la lnea de influencia y la distribucin de cargas que producen el esfuerzo de corte mximo en el punto estudiado.

(a) (b) Figura 47. Lnea de influencia de esfuerzo de corte en i: (a) para cargas verticales,(b) para cargas horizontales. Figura 48. Lnea de influencia de esfuerzo de corte en i: (a) para cargas verticales,(b) para cargas horizontales. P*+Qi*ri=0 Qi

Qi + P*+Qi*ri=0 Qi

Qi - +- Estabilidad III Lneas de Influencia 29 En el caso de necesitarse una lnea de influencia de esfuerzo normal en i, se debe intercalar en el puntoielmecanismomostradoenlaFigura35yaplicarenesepuntoundesplazamientorelativo unitarioenelsentidodelesfuerzonormal(r=1).Bajoesacausaactuandoeni(desplazamiento relativoimpuesto),losdesplazamientosverticalesrepresentanlalneadeinfluenciaparacargas verticalesylascomponenteshorizontalesdedesplazamiento,lalneadeinfluenciaparacargas horizontales:

LI de N i (j) Ni (j) = j (ri =1) (26) LI de N i (j) Ni (j) = j (ri =1) Figura 49. Lnea de influencia de esfuerzo normal en i para cargas verticales. La Figura 49 muestra una aplicacin para evaluar la lnea de influencia de normal en el punto i perteneciente a la columna. Se observa que para cargas gravitatorias el esfuerzo normal es siempre negativo.Sisedesearahallarunalneadeinfluenciadereaccindeapoyosedebereliminarla restriccin de vnculo impuesta por ese apoyo y dar un desplazamiento compatible con el mismo. El resto del procedimiento es similar. 6.3 Lneas de influencia de magnitudes cinemticas Enalgunoscasospuedeserdeintersanalizarcmovaraunamagnitudcinemtica(giro, desplazamiento vertical o desplazamiento horizontal) cuando sobre la estructura acta una causa de posicinvariable,esdecirconstruirlalneadeinfluenciadeunamagnitudcinemtica.Enestos casosseanalizaunefectocinemticoquesondesplazamientosgeneralizadosproducidosporuna causa esttica (momento, carga vertical o carga horizontal, respectivamente).Es decir, la causa de posicin variable en j puede ser una carga horizontal o vertical segn que la lneadeinfluenciaseaparacargasverticalesuhorizontales,comoenloscasosanalizados anteriormente,yelefectoenelpuntojvariabletambinsernlosdesplazamientosverticalesu horizontales asociados, que constituyen el diagrama de la lnea de influencia. La diferencia es que, enestoscasos,elefectoenianalizadoahoraesundesplazamientogeneralizadoasociadoauna LI Ni() Estabilidad III Lneas de Influencia 30causa en i fija. Esta causa fija en i puede ser un momento (Mi), una carga vertical (Pvi) o una carga horizontal(Phi)compatibleconelefectoenianalizadoquepuedeserungiro(i),un desplazamiento vertical (i) o un desplazamiento horizontal (i). Por lo tanto, para hallar la lnea de influencia de desplazamiento vertical en i para cargas verticales resulta: ) 1 P ( * 1 ) j ( * 1) C ( e * C ) C ( e * Civj ii j j j i i= = =(27) En este caso se coloca en el punto i en estudio una fuerza unitaria y se calculan los desplazamientos verticales en toda la estructura, este diagrama (componentes verticales de la elstica) es la lnea de influenciadedesplazamientoverticaleniparacargasverticalessobrelaestructura,comose muestra en la Figura 50 (a). Si se necesita la lnea de influencia de desplazamiento vertical en i para cargahorizontalessedebeaplicarunacargaverticaleni,igualqueenelcasoanterior,pero representarlascomponenteshorizontalesdelos desplazamientoscomosemuestraenlaFigura50 (b). (a) (b) Figura 50: Lnea de influencia de desplazamiento vertical en i, (a) para cargas verticales, (b) para cargas horizontales. LaFigura51muestralalneadeinfluenciadedesplazamientohorizontaleniparacargas verticales, es decir que se debe aplicar en el punto i en estudio una cargahorizontal y representar las componentes de desplazamiento vertical en todos los puntos de la estructura:Pj=1 j Pvi=1 Ci Cj i LI de i (j)i (j)= j (P i =1) LI de i (j) i (j)= j (Pi=1) Estabilidad III Lneas de Influencia 31 LI de i (j)i (j)= j ( Pi=1) Figura 51: Lnea de influencia de desplazamiento horizontal en i para cargas verticales. Resumiendo: Parahallarunalneadeinfluenciadeunamagnitudesttica(M,Q,NoR)sedebeincluirun mecanismo en el punto estudiado compatible con el efecto estudiado y dar un movimiento virtual unitario en ese punto i asociado al efecto analizado. Parahallarunalneadeinfluenciadeunamagnitudcinemticaenelpuntoi(giro, desplazamientoverticaluhorizontal)sedebecolocarenesepuntounafuerzageneralizada compatible con el magnitud cinemtica estudiada. Enamboscasosserepresentanlascomponentesdedesplazamientohorizontaloverticalsegn que se analice la lnea de influencia para cargas horizontales o verticales, respectivamente. 6.4 Mtodos computacionales Elusodeprogramascomputacionalespermiteobtenerdemaneramssencillalaslneasde influenciayaqueelmtodoindirecto,medianteelusodelteoremadereciprocidad,consisteen hallar la deformada de la estructura bajo un estado particular de carga fija. En el caso de estructuras isostticas,aldarleungradodelibertadmediantelaincorporacindelmecanismoadecuado,el sistemaquedahipostticoynosepuederesolverconcdigoscomputacionalesqueresuelven indistintamenteestructurasisostticasohiperestticas.Paraesoscasosesnecesariousarla metodologaexplicadadeterminandolospolosdelaschapasyenbaseaelloconstruirdiagramas que representan los desplazamientos horizontales y verticales, que en una cierta escala son la lnea deinfluencia.Tratndosedeestructurashiperestticasalquitarungradodehiperestaticidad incorporandoelmecanismoadecuado,laestructuracontinuasiendohiperestticaoalmenos isosttica con lo que el uso de programas permite hallar en forma directa las deformadas que, en una ciertaescala,sonlaslneasdeinfluenciarequeridas.Enestecasosedebenincluirnodosenlos puntosestudiadosconelobjetodepoderintercalarallelmecanismoadecuadoeimponerun movimiento virtual, cuando se trata de lneas de influencia de efectos estticos. Esto puede resultar un impedimentoya queengeneral la mayora de los programas noadmiten comoestado de carga movimientos impuestos (giros o desplazamientos relativos). Sin embargo, ese movimiento relativo se puede lograr colocando un sistema autoequilibrado de fuerzas generalizadas en el mecanismo, ya sea un par de pares o un par de fuerzas, correspondientes a dicho movimiento relativo. Este sistema puede ser unitario o de un valor cualquiera produciendo un desplazamiento relativo que, en general, noesunitario.Peroesemovimientorelativosehaceposteriormenteunitarioafectandoalsistema autoequilibrado de fuerzas por un factor de escala para que el mismo sea unitario. Esto es vlido ya queseconsideramateriallinealelsticoconlaproporcionalidadcorrespondienteentrecargasy desplazamientos generalizados. De esta manera la deformada de la estructura representa la lnea de Estabilidad III Lneas de Influencia 32influenciaparacargasverticalesuhorizontales.Enelcasodelneasdeinfluenciademagnitudes cinemticasnoesnecesariohaceresamodificacindeescalaporqueenesecasodirectamentese debeaplicarunacausaestticaunitariaenelpuntoestudiado,quenorepresentaningnproblema para cualquier cdigo computacional. Tambinesposiblemedianteprogramascomputacionalesobtenerlalneadeinfluenciaporel mtododirecto,esdecirresolviendolaestructurarepetidasvecesparadiferentesposicionesdela cargaPjunitariayevaluandoencadacasoenelpuntoenestudioelefectoconsiderado.Este procedimiento no resulta apto para un trazado a mano alzada de la lnea de influencia como s puede hacerseenlametodologaanteriormenteusada,perolaaplicacinintensivademtodos computacionalespermitelaobtencindelalneadeinfluenciaporesteprocedimiento,anenel caso de estructuras isostticas.La conveniencia del uso de cada uno de estos mtodos depende de cada problema en particular y de razones de comodidad, de acuerdo a las caractersticas de los programas disponibles. 6.5 Usos de las lneas de influencia Laslneasdeinfluenciasondiagramasquepermitendeterminarefectosparacausasunitarias, porlotantomultiplicandolaordenadadeldiagramaporalvalordelacargaseobtieneelefecto correspondiente, ya que es vlida la superposicin de efectos.Pormediodelalneadeinfluenciasepuedecalcularelefectoprovocadoparaunsistemade cargas fijas, para cargas mviles de cualquier tipo que puede ser una carga P, un grupo de cargas o un tren de cargas, o una carga repartida total o parcial de intensidad uniforme o variable. Tambin es posible aplicar la carga en el lugar que produzca un efecto mximo (o mnimo) lo que permite el estudiodelascondicionesmsdesfavorablesobteniendolassolicitacionesparadimensionaro verificar secciones.a) Para cargas mviles: si es la ordenada de la lnea de influencia y P es la intensidad de la carga variable aplicada entonces el efecto en el punto estudiado es: Efecto= P* Figura 52: Aplicacin para cargas mviles. b) Para un sistemas de cargas fijas:Mi= P1* 1 - P2* 2 + q*A Figura 53: Aplicacin para cargas fijas. Estabilidad III Lneas de Influencia 33c) Paraobtenerdistribucindecargasaccidentalesqueproducenelefectomximoomnimo: Cuandounalneadeinfluenciatienetramosconordenadaspositivasytramosconordenadas negativas,paraobtenerelmximoefectopositivosedebeconsiderarlascargasactuando solamente donde la lnea de influencia es positiva y descargar las zonas con ordenadas negativas. EnlaFigura54semuestraladistribucindecargasaconsiderarparaobtenerelmximo momento flector positivo en i y en mximo momento flector negativo en i. Si sobre la estructura actuara un tren de cargas mviles estas debera ubicarse en la zona con mayores ordenadas de la lnea de influencia para producir el mayor efecto. Figura 54: Aplicacin para obtener efectos mximos positivos o negativos. d) Para obtener diagramas envolventes: hallando las solicitaciones mximas y mnimas en distintas secciones crticas de las estructuras se puede obtener los diagramas envolventes que indican los valores mximos y mnimos de un determinado efecto a lo largo de toda la estructura.

Figura 55: Aplicacin para obtener diagramas envolventes. ComoejemplodeaplicacinsemuestraenlaFigura56unavigacontinuasobrelaquepuede actuar una sobrecarga uniforme que puede estar aplicada o no por tramos entre apoyos. Se plantea evaluarelmomentomximoqueseproduceenelpuntoialosefectosdediseodelaseccin analizada. En la figura se presenta cul es la distribucin de cargas actuantes con las que se obtiene el valor mximo positivo y el valor mximo negativo para el momento flector en i, correspondientes acargarlalneadeinfluenciaenlazonadondelasordenadasconpositivasonegativas respectivamente. Figura 56: Distribucin de cargas uniforme que producen momento flector mximo positivo o negativo. Estabilidad III Lneas de Influencia 34LaFigura57muestraunaestructurasobrelaquepuedeactuarunasobrecargauniformeenlas vigasylaaccindelvientosobrelacolumna.Enestecasoseplanteadeterminarculesla combinacin de cargas que produce la mxima reaccin positiva (en decir hacia arriba) en el punto Aparaeldiseodelafundacineneseapoyo.Paraelloseconstruyelalneadeinfluenciadela reaccinverticalenAdebindoseestablecerelsignoasociadotantoparalostramoshorizontales comoparalacolumnavertical,seanalizasobrelasvigaseldesplazamientoverticalysobrela columnaeldesplazamientovertical.Elanlisisdelsignoeneltramodelasvigasdondeestel apoyo es el siguiente: ser debe R 0 * R * PvA AvA = + RAv es positiva(28) mientras que si se analiza en la columna, resulta: ser debe R 0 * R * PvA AvA = + RAv es negativa(29) Asresultaquesedebecargaslasvigasdondelalneaespositivasolamente,sinconsiderarla accin del viento sobre la columna.

Figura 57: Distribucin de cargas que producen reaccin mxima positiva en A. Tambin se puede plantear unaextensin de la aplicacin para una planta de losas, donde si se pretendeevaluarelmximomomentoflectorpositivoenelpuntoimostradoenlaFigura58,es necesarioconsiderarlascargasactuandoenlazonasombreada.Parasudeterminacinseutilizan las lneas de influencia construidas en las dos direcciones ortogonales por el punto i. De esta manera se observa que para el momento mximo positivo en el centro de la losa se debe considerar cargas distribuidasendameroapartirdeltramoconsiderado.Sisedeseaanalizarelmomentomximo negativo de un punto sobre un apoyo la distribucin debe ser como la planteada en la Figura 59. Estabilidad III Lneas de Influencia 35 Figura 58: Distribucin de cargas que producen momento mximo positivo en i. Figura 59: Distribucin de cargas que producen momento mximo negativo en j. Agradecimientos:ElautoragradecealIng.DanielCalabrlacolaboracinenlaconfeccinde los grficos. Estabilidad III Lneas de Influencia 367BIBLIOGRAFA

McCormac.J.C.andElling,R.,AnlisisMatricialdeEstructuras.Mtodoclsicoymatricial,Ed. Algaomega, ISBN 006-044341-3, Mxico, 1996. Hibbeler,Russell,StructuralAnalysis.ThirdEdition,PrenticeHall,ISBN0-02-354041-9,New Jersey, 1995. Belluzzi, Odone, La Ciencia de la Construccin. Tomo II, Ed. Aguilar, ISBN 8403201761, 1967.Biblioteca: si. Bignoli,Fioravanti,CarreteroyGuaragna,AnlisisEstructural. Tomo1y2,Ed.AtecS.A.,ISBN 987-99225-0-6, 1992.Fliess, Enrique, Establidad I, Ed. Kapeluz, 1970.