ANALISIS ESTRUCTURAL

UNIDAD IV

LÍNEAS DE

INFLUENCIA

I

INTRODUCCIÓN

LINEAS DE INFLUENCIA

Los esfuerzos máximos en los elementos estructurales de los puentes, dependen no

sólo de la magnitud de las cargas, sino también de la posición de las cargas vivas en

la estructura. El análisis ha de considerar, las distintas posiciones posibles de los

vehículos y calcular los elementos mecánicos en la estructura, que corresponden a la

condición más desfavorable. Este estudio se puede realizar por medio de las líneas de

influencia.

La línea de influencia es una gráfica que muestra la variación de distintos tipos de

fuerzas tales como reacciones, elementos mecánicos, etc. que se originan al ocupar

una fuerza unitaria, distintas posiciones sucesivas, en la estructura. Para trazar la

línea de influencia que corresponde a determinada fuerza interna o externa en una

sección de una estructura, se calcularán sus valores para distintas posiciones de la

carga unitaria que se desplaza sobre la estructura. Con los valores obtenidos se

dibujará la gráfica que corresponde a la línea de influencia que se está calculando.

LINEAS DE INFLUENCIA

El concepto de Línea de Influencia lo podemos visualizar claramente con el ejemplo

siguiente.

L/2 L/2

P

OBSERVACIONES

1. Cada parte o cada sección de la viga queda afectada por la carga que actúa sobre

ella. Esto significa que cada sección de la viga tendrá una fuerza cortante y

momento flexionante, y los apoyos ofrecerán ciertas reacciones. Cuando la

posición de la carga es fija cada sección tiene sus correspondientes esfuerzos.

Cuando la posición de la carga varía, el correspondiente valor del esfuerzo en

una determinada sección también varía.

2. Obsérvese que hemos mencionado tres variables: el valor del esfuerzo, la

posición de la sección de la viga y la posición de la carga. Además, sabemos que

una curva plana se obtiene solamente cuando una determinada relación se

expresa por medio de dos variables, pero no de tres. Esto nos lleva a considerar

dos casos de importancia para la Ingeniería Civil.

a) Si la posición de la carga permanece fija, se puede expresar el valor del esfuerzo

como una función de la posición de la sección de la viga. Esto fue lo que

estudiamos en el análisis de vigas, consistió en calcular los esfuerzos en

diferentes secciones mientras que la posición de la carga se supuso definida. Esta

representación gráfica fue expresada por la relación:

y = f(x)

x representa la posición variable de la sección y se toma a lo largo del eje de

la viga.

y el valor correspondiente de la función (fuerza cortante o momento

flexionante) bajo una carga fija.

b) El caso contrario consiste en expresar el valor del esfuerzo en una sección fija

como una función de la posición variable de la carga. Por simplicidad y

elegancia, se utiliza una carga unitaria para representar la sobrecarga en

movimiento. A medida que la carga unitaria se mueve a lo largo del claro de la

viga , debemos fijarnos en su efecto sobre cierta sección de la viga y registrar el

valor del esfuerzo (fuerza cortante o momento) para esa sección, por medio de

la relación

y = g(x)

x indica la posición variable de la carga unitaria y se toma a lo largo del eje de la

viga.

y es el valor correspondiente de la función (fuerza cortante y momento flector) de

la sección fijada. La representación gráfica de y = g(x)se conoce con el nombre

de línea de influencia para el valor de la función que consideramos.

c) Definición general de la Línea de Influencia: es una curva cuya ordenada (valor

y) indica el valor de la función (fuerza cortante, momento flector, reacción,

fuerza en una barra, etc.) en un elemento fijo (sección de una barra, apoyo, barra

de una armadura, etc.) cuando una carga unitaria esta aplicada en la posición de

esta ordenada.

EJEMPLO. Calcular la línea de influencia del momento flector en la sección central

de la viga de la figura.

10 ft

A B

C

5 ft 5 ft

1

BA

C

x

110

A

xR 2

B

xR

UTILIDAD DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA

En base a la definición, una línea de influencia indica el efecto de una

carga unitaria que se desplaza a lo largo de su longitud. La

construcción de las líneas de influencia esta estrechamente asociado

con el cálculo de esfuerzos en estructuras de puentes., las que están

sometidas frecuentemente a la acción de diferentes sistemas de cargas

móviles. Sin embargo, la utilidad de las líneas de influencia no se

limita a estructuras de puentes. Son también importantes en la

determinación de los esfuerzos máximos en otras estructuras de

ingeniería sometidas a la acción de sobrecargas variables.

Una línea de influencia es una herramienta útil en el análisis de

esfuerzos por dos razones:

1. Sirve como un criterio en la determinación de los esfuerzos

máximos: una pauta para determinar exactamente que parte de la

estructura debe estar cargada para que se produzca el máximo

esfuerzo en la sección considerada.

2. Simplifica los cálculos. El ejemplo siguiente clarifica esta

importancia de la línea de influencia.

EJEMPLO. Sea una viga simple de 10 pies de longitud sometida al paso de una

carga móvil uniforme semiinfinita de 1 klb/pie y una carga concentrada móvil de 10

klb que puede estar colocada en cualquier punto de su longitud. Calcular el momento

flector máximo en la sección del centro del claro C.

5 ft 5 ft

10 ft

BA

C

P= 1 klb

w= 1 klb/ft

CONCLUSIÓN

En sistemas de cargas complicados, el diagrama de

influencia es de invaluable ayuda en la solución de

múltiples problemas de estructuras con cargas

móviles. Esto lo comprobaremos en la solución de

problemas de los temas posteriores.

LÍNEAS

DE

INFLUENCIA

PARA

VIGAS

ESTÁTICAMENTE

DETERMINADAS

Para la viga de la figura, dibujar las líneas de

influencia de:

1) La reacción RA.

2) La reacción RB.

3) La fuerza cortante en cualquier sección C (VC).

4) El momento flector en cualquier sección C (MC).

a b

C

AB

1

x

L

Para la viga de la figura, dibujar las líneas de influencia de:

1) La reacción RB.

2) La reacción RC.

3) La fuerza cortante en la sección exactamente a la

izquierda de B (VB/i).

4) La fuerza cortante en la sección exactamente a la derecha

de B (VB/d).

5) La fuerza cortante en la sección D.

6) El momento flector en la sección D.

7) El momento flector en la sección B.

1

x

4 ft 12 ft

D

A

B

20 ft

4 ft

C

1

La viga de la figura esta articulada en el punto C, dibujar las

líneas de influencia de:

1) La reacción RA.

2) La fuerza cortante en la sección D.

3) El momento flector en la sección D.

4) La fuerza cortante en la sección E.

5) El momento flector en la sección E.

1

a a

D

A

C

a

E

B

a

x

a a

D

A

C

a

E

a

AR BR

B

1

x

L. I. de RA

1

1

2

1

2

12

D

xV

a

2D

xV

a

12

A

xR

a

2

a2

D

xM

2D

xM a

L. I. de VD

L. I. de MD

a a

D

A

C

a

E

a

AR BR

B

1

x

L. I. de VE

11E AV R

2E

xM

L. I. de ME

3EM a x a

LÍNEAS DE INFLUENCIA POR

EL MÉTODO DEL TRABAJO

VIRTUAL

Un método sencillo y elegante para construir las líneas de influencia,

se deriva de la aplicación del principio del trabajo virtual. El proceso

se describe a continuación.

1) Línea de influencia para una reacción cualquiera de una viga

isostática. Consiste en suprimir el apoyo y sustituirlo por un

desplazamiento unitario positivo en su punto de aplicación. La

posición desplazada de la viga es la línea de influencia de la

reacción.

2) Línea de influencia para la fuerza cortante en una sección

cualquiera de una viga isostática. Consiste en cortar la viga en la

sección de interés y se introduce un desplazamiento relativo

transversal y unitario entre los dos extremos cortados, conservando

todas las demás ligaduras (tanto externas como internas) intactas.

La posición desplazada de la viga es la línea de influencia de la

fuerza cortante en la sección.

3) Línea de influencia para el momento flector en una sección

cualquiera de una viga isostática. Consiste en cortar la viga en la

sección de interés, luego se introduce una rotación unitaria entre la

parte izquierda y derecha de la sección, conservando todas las

demás ligaduras (tanto externas como internas) intactas. La

posición desplazada de la viga es la línea de influencia del

momento en la sección.

Los ejemplos que desarrollaremos a continuación, permitirán

visualizar el proceso descrito.

EJEMPLO. Calcular la línea de influencia para la reacción del apoyo A de la viga de

la figura.

L

A B

1x

ARBR

L

A B

1A y

Aplicando el principio del Trabajo Virtual:

1A AR y

A

A

yR

1A

AR y

EJEMPLO. Calcular la línea de influencia para la fuerza cortante en cualquier

sección C de la viga de la figura.

L

A B

1x

ARBR

A B

1C y

C

C1

C2

a b

C

Aplicando el principio del Trabajo Virtual:

1C CV y

C

C

yV

1C

CV y

11 CC

L a 1

aCC

L

2

bCC

L21 CC

L b

BA

EJEMPLO. Calcular la línea de influencia para el momento flector en cualquier

sección C de la viga de la figura.

L

A B

1x

ARBR

A B

y

C

C’

a b

C

a

A’

A

B’

B

bCC

C = A +B

Aplicando el principio del Trabajo Virtual:

1C CM y

C

C

yM

1C

CM y

'tan C

AA

a 'AA a

'tan C

BB

b 'BB b

C BB

b

L b L

'B

CC

b

2''

CC b bCC

b L L

Aplicando el Método del Trabajo Virtual, dibujar las líneas de

influencia de la viga de la figura, para:

1) La reacción RB.

2) La reacción RC.

3) La fuerza cortante en la sección exactamente a la izquierda

de B (VB/i).

4) La fuerza cortante en la sección exactamente a la derecha de

B (VB/d).

5) La fuerza cortante en la sección D.

6) El momento flector en la sección D.

7) El momento flector en la sección B.

1

x

4 ft 12 ft

D

A

B

20 ft

4 ft

C

1) Línea de influencia para la reacción RB.

1

x

4 ft 12 ft

D

A

B

20 ft

4 ft

C

BR

16 ft

A B

20 ft

4 ft

C

16

B y

x

δB=1

16B

xy

16

xy

5

4

(1)B BR y

(1)B

B

yR

BR y

2) Línea de influencia para la reacción RC.

1

x

CR

16

C y

x

δC=1

16C

xy

16

xy

16ft

A

B

20 ft

4 ft

C

y

(1)C CR y

(1)C

C

yR

CR y

16 ft

A B

20 ft

4 ft

C1

4

3) Línea de influencia para la fuerza cortante en la sección

exactamente a la izquierda de B (VB/i).1

x

AB

C

δB=1

16 ft

A

B

20 ft

4 ft

C

4) Línea de influencia para la fuerza cortante en la sección

exactamente a la derecha de B (VB/d).1

x

16

Bd y

x

δB=1

16Bd

xy

16

xy 1/4

16 ft

A

B

20 ft

4 ft

C

16 ft

A B

4 ft

C

5) Línea de influencia para la fuerza cortante en la sección D

1

x

δD=1

1/4

16 ft

A B

4 ft

C

3/4

1/4

4 ft

A

B

20 ft

4 ft

C

D

12 ft

CB

6) Línea de influencia para el momento flector en la sección D

1

x

1/4

A BC1/4

4 ft

A

B

20 ft

4 ft

C

D

12 ft

D=1

3/4

12

4

3

7) Línea de influencia para el momento flector en la sección E

1

x

4

A BC

4 ft

A

B

20 ft

4 ft

C

B

12 ft

B=1

A’

1

La viga de la figura esta articulada en el punto C, dibujar las

líneas de influencia de:

1) La reacción RA.

2) La fuerza cortante en la sección D.

3) El momento flector en la sección D.

4) La fuerza cortante en la sección E.

5) El momento flector en la sección E.

1

a a

D

A

C

a

E

B

a

x