7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

1/18

Introduccin

Este presente trabajo se trata del mtodo de las lneas de influencia, para

establecer condiciones cuando actan una carga viva o variable de tal manera que

produzca efectos mximos de corte, flexin, reacciones y deflexiones tanto para

cargas puntuales como para cargas distribuidas.

La lnea de influencia es un grfico que define la variacin de un esfuerzo,

reaccin o deflexin en un punto fijo de la estructura a medida que se mueve una

carga unitaria sobre ella.

Este mtodo se utiliza mucho para cargas vivas sobre puentes, puentes gras,

bandas transportadoras y especialmente en aquellas estructuras con cargas

mviles.

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

2/18

Lneas de Influencia

Considerando la forma en que actan las cargas en una estructura vemos que se

pueden clasificar en cargas permanentes, cargas no permanentes o vivas y cargas

de construccin. La carga permanente, como su nombre lo dice, siempre estar

presente en la vida til de la estructura y producir sobre esta efectos constantes;

la carga viva o no permanente flucta tanto en posicin sobre la estructura como

en su duracin produciendo efectos variables en ella. Podramos concluir, de una

manera apresurada, que colocando la carga viva sobre toda la estructura

produciramos los efectos mximos en ella, esta afirmacin no es cierta y requiere

de un estudio ms complejo.

Un ejemplo simple de este efecto es el de una viga simplemente apoyada con

voladizo a un lado. Si la carga viva acta sobre toda la viga, producir un

momento positivo en la luz menor que si acta solo en el tramo apoyado; en este

ejemplo sencillo nos percatamos de la importancia de saber colocar la carga para

que produzca los efectos mximos y as cuando diseemos no corramos el peligro

de que nuestra estructura falle.

El concepto de lnea de influencia, fue utilizada por primera vez por el profesor E.Winkler de Berln, en 1876.

Estas nos muestran grficamente la forma en que el movimiento de una carga

unitaria a lo largo de una estructura, influye en cierto efecto mecnico en la misma.

Entre los efectos que pueden considerarse estn las reacciones, fuerzas

cortantes, momentos flexionantes, fuerzas axiales, deflexiones, etc.

La lnea de influencia utiliza una carga unitaria ya que por los conceptos delinealidad, proporcionalidad y superposicin se puede determinar la funcin

especfica simplemente multiplicando el valor de la lnea de influencia por el valor

de la carga real.

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

3/18

La lnea de influencia puede definirse como una grfica cuyas ordenadas

representan la magnitud y el carcter o sentido de cierta funcin o efecto en una

estructura, a medida que una carga unitaria mvil se desplaza a lo largo de la

misma. Cada ordenada del diagrama define el valor de la funcin cuando la carga

mvil se encuentra colocada en el sitio correspondiente a dicha ordenada.

Las lneas de influencia se utilizan primordialmente para calcular ciertas fuerzas y

determinar posiciones de cargas vivas que produzcan fuerzas crticas o mximas.

El procedimiento para dibujar los diagramas de la lnea de influencia consiste

simplemente en la graficacin de los valores de la funcin en estudio, como

ordenadas correspondientes a diversas posiciones de la carga unitaria a lo largo

del claro y finalmente en unir por lneas los extremos de dichas coordenadas.

Por lo tanto se debe seguir mentalmente a la carga en su movimiento a lo largo del

claro, tratando de imaginar que sucede cuando se desplaza al efecto que se

considera. El anlisis por lneas de influencia puede aumentar inmejorablemente el

conocimiento de lo que sucede a una estructura en diferentes condiciones de

carga.

Una lnea de influencia representa la variacin de la magnitud de la reaccin,

fuerza cortante, del momento flector o de la deflexin de un punto especificado de

un miembro cuando una fuerza concentrada se mueve sobre el mismo. Una vez

construida la lnea de influencia, puede verse claramente donde puede colocarse

una carga viva sobre la estructura par que se genere la mxima influencia en el

punto especificado. Adems la magnitud de la reaccin, fuerza cortante, momento

flector o deflexin asociada en el punto puede entonces calcularse a partir de las

ordenadas del diagrama de la lnea de influencia.

Este mtodo se utiliza mucho para cargas vivas sobre puentes, puentes gras,

bandas transportadoras y especialmente en aquellas estructuras con cargas

mviles.

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

4/18

En el caso de la figura, diremos que Mf(A) es la Lnea de Influencia del momento

flector en A, si se cumple que la ordenada i representa el valor del momento

flector en A para una carga P = 1 aplicada en el punto i. Mf (A) = i * (escala de L.

de I.) para P = 1 aplicada en i Si P 1 se cumplir: Mf (A) = P * i * (escala de L.

de I.) Esto mismo puede aplicarse para otros estados de carga y otras

solicitaciones, reacciones, deformaciones, etc.

Para su construccin se define el punto de estudio sobre la estructura, se

comienza a variar la posicin de la carga puntual y se encuentra el valor del

esfuerzo interno a medida que se mueve la carga, se puede construir una tabla del

valor de la funcin vs la posicin de la carga y despus se grfica. Otro mtodo es

encontrando la ecuacin de la lnea de influencia y graficando.

Construyamos la lnea de influencia para la reaccin en A de la siguiente viga:

Se empieza a mover la carga P a diferentes distancias x y para cada distancia se

calcula RA.

Otro mtodo es encontrando la ecuacin de la variacin de la reaccin en A amedida que se mueve una carga unitaria. Se parte de encontrar esa reaccin en

funcin de la posicin x de la carga P=1,0. Aplicando ecuaciones de equilibrio o

encontrando la reaccin por proporciones tenemos:

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

5/18

Notemos que la ecuacin tiene pendiente negativa y con una variacin lineal para

RA.

Para obtener el valor de la reaccin en A para cualquier carga P, se multiplica la

ordenada de la lnea de influencia por el valor de la carga.

Si L=8m, P=5ton localizada a 3m del punto A el valor de la reaccin sera:

Lnea de influencia para el cortante en A: Se determina la variacin del cortante en

A por el mtodo de las secciones:

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

6/18

En vista de que siempre es una carga puntual, se parte de encontrar primero las

reacciones en funcin de la posicin x y despus se aplica el mtodo de las

secciones partiendo por el punto al cual se le quiere determinar la lnea de

influencia:

Haciendo equilibrio en la seccin y localizando la carga en x>0 tenemos:

En este caso concluimos que la lnea de influencia del cortante en A es igual a la

de la reaccin en A

Note que la lnea de influencia se hacer para la convencin positiva de los

esfuerzos internos.

Lnea de influencia para la reaccin en B:

Lnea de influencia para el momento en A:

Para cualquier posicin de la carga unitaria el momento en A ser cero.

Lnea de influencia para el cortante y momento en un punto C en L/2

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

7/18

Siempre comenzamos encontrando las reacciones en los apoyos y luego partimos:

Para xL/2 se toma la seccin A-C para equilibrio:

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

8/18

Lnea de influencia para el cortante en C:

Momento en C:

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

9/18

Como hacer las lneas de influencia de una forma rpida?

Principio de Muller-Breslau

La de la lnea de influencia en un punto dado para la cortante o momento estadada por la deformada de la viga al aplicar ese momento o cortante en el punto

determinado, retirando la capacidad de la viga para aguantar esa funcin.

Lnea de influencia para reaccin en A

Rodillo interno

Articulacin

Las ordenadas de la lnea de influencia de un esfuerzo cualquiera de una

estructura son proporcionales a las de la curva de deformacin que se obtiene al

suprimir la restriccin correspondiente a ese esfuerzo y aplicando en ese lugar el

esfuerzo especificado.

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

10/18

Lneas de influencia en armaduras

Se usa para determinar fuerzas axiales mximas en un miembro determinado.

La forma sera expresando la fuerza en un miembro determinado en funcin de lacarga unitaria en cada uno de los nudos, otra es en funcin de la posicin de x de

la carga unitaria.

Pasos:

1. Expresar reacciones en funcin de la posicin de carga unitaria.

2. Dividir la armadura en regiones antes y despus del panel que contiene la

barra a analizar.3. Expresar la fuerza del miembro en funcin de las reacciones por el mtodo

de las secciones en las regiones no pertenecientes al panel.

4. Conectar las lneas de influencia en la regin de la barra.

LINEAS DE INFLUENCIA DE LAS REACCIONES.

Consideramos una viga simplemente apoyada, como la mostrada en la figura 1.A;

procedemos a indicar el proceso de construccin de la lnea de influencia de la

reaccin en el apoyo M. Dispongamos con tal fin una carga unitaria en el apoyo M

de dicha viga (figura 1.B), notaremos entonces que en dicho punto se obtendr

una reaccin de igual valor y direccin, pero de sentido opuesto. Por otro lado, de

aplicarse esta carga en el apoyo N, la reaccin ocasionada en el apoyo M seria

cero. Con estos valores extremos, dispongamos una diagrama, tomando como

base una longitud L; coloquemos entonces los valores hallados y tracemos una

lnea recta uniendo los dos valores extremos, tal como se muestra en la figura 1C.

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

11/18

Notemos que la lnea de influencia para vigas estticamente determinadas, se

compone de tramos rectos debido a que las reacciones son siempre lineales con

respecto a la posicin de la carga concentrada. La interpretacin del diagrama

obtenido, ser como sigue: Si colocamos una carga igual a la unidad en el punto

E de la viga mostrada, la reaccin a obtenerse en el apoyo M de ella, ser igual a

la longitud y medida sobre el diagrama de lneas de influencia mostrado

Consideramos ahora, que sobre la viga acta una carga P a una distancia x del

apoyo N de la viga simplemente apoyada de longitud L. (figura 2.A)Las lneas de

influencia para las reacciones en los apoyos M y N estn indicadas por los

diagramas mostradas en las figuras 2.B y 2.C respectivamente.

Cuando la fuerza P se halla a la izquierda de la seccin 2, el esfuerzo de corte endicha seccin es negativo y numricamente igual a la reaccin B que se producira

en el apoyo derecho N.

http://2.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKSkuh_r7I/AAAAAAAAAPQ/hSV6PLLfGC0/s1600-h/Dibujo7.JPGhttp://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKPQlykQgI/AAAAAAAAAOg/F9dt9aUJ6Rw/s1600-h/1+analisis.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKSkuh_r7I/AAAAAAAAAPQ/hSV6PLLfGC0/s1600-h/Dibujo7.JPGhttp://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKPQlykQgI/AAAAAAAAAOg/F9dt9aUJ6Rw/s1600-h/1+analisis.jpg

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

12/18

En la figura 2.B podemos por semejanza de tringulos plantear: Y= X/L Por ello la

reaccin en el apoyo M, debida a la carga P, estar dada como: RM = Py

=P(X/L)De manera similar, encontraremos para el otro apoyo que el valor de

reaccin es: RN = Py = P(L X)/L

De aumentar la cantidad de cargas puntuales dispuestas sobre la viga

simplemente apoyada (figura 3.A) tendremos que la reaccin en el apoyo M

debida a tales cargas, estar indicada como: RM = PA + PB + SQ Expresin en la

cual A, B, C son coeficientes numricamente menores que la unidad, calculables

por semejanza de tringulos o si no directamente como: A = a/LB = b/LC = c/LA

partir de todo lo expuesto, estamos en condiciones de generalizar los resultadosobtenidos como: R = Pi Yi Expresin en la cual podemos indicar: R = Reaccin

en uno de los apoyos de la viga simplemente apoyada. Pi = Carga aplicada sobre

un punto cualquiera de la viga. Yi = Coeficiente correspondiente a la carga dada,

obtenido del diagrama de lneas de influencia correspondiente. El valor numrico

del coeficiente puede calcularse.

http://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKQibcF66I/AAAAAAAAAOw/o2d4IzmdmW0/s1600-h/Dibujo3.JPGhttp://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKQH1Z_DVI/AAAAAAAAAOo/4Syc8438W1A/s1600-h/2+analisis.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKQibcF66I/AAAAAAAAAOw/o2d4IzmdmW0/s1600-h/Dibujo3.JPGhttp://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKQH1Z_DVI/AAAAAAAAAOo/4Syc8438W1A/s1600-h/2+analisis.jpg

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

13/18

GRAFICAMENTE: Realizando el diagrama de lneas de influencia a una escala

conveniente. De tal nodo que la lectura puede efectuarse por medicin directa en

el grfico. Se entiende como el cociente entre la distancia desde el punto de

aplicacin de la fuerza puntual considerada al otro apoyo y la longitud de la vida

simplemente apoyada. Este coeficiente de influencia puede ser interpretado

numricamente, como la reaccin que ocasionara en el apoyo considerado una

carga unitaria en lugar de la carga P.

LINEAS DE INFLUENCIA DE MOMENTOS FLECTORES.

METODO 1:

Notemos que a partir de esta seccin y hacia los apoyos A y B, se han

determinado dos longitudes que denominaremos M y N. Rotemos entonces dichas

longitudesapoyndonos en A y B- hasta que se encuentren en posicin vertical;

hecho esto; unamos los extremos con los apoyos opuestos. El diagrama de

influencia de los momentos flectores en la seccin 2, estar indicado por la zona

determinada por la interseccin de las lneas mencionadas anteriormente.

http://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKRA07P-LI/AAAAAAAAAO4/cFIo1uvF4_I/s1600-h/Dibujo4.JPG

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

14/18

METODO 2:

Tracemos el diagrama de la lnea de influencia para la reaccin en uno de los

apoyos de la viga considerada; en la figura 9.B, mostramos la correspondiente al

apoyo A.A continuacin, determinamos la reaccin que ocasionara en A, el

colocar una carga unitaria puntual en la seccin a analizar; en la figura 9.A;

considerando una seccin 2, obtendremos que la reaccin mencionada est

indicada por el segmento de longitud G. Conocido el valor de la reaccin en el

apoyo, calcularemos el mximo momento en la seccin 2 multiplicando dicho valor

G por la magnitud de palanca M. Con el valor hallado, trazamos una vertical por la

seccin que se est estudiando, midiendo sobre ella el valor del momento

calculado; y a partir del extremo, trazamos lneas rectas hasta los extremos. El

diagrama as obtenido (figura 9.C), ser la lnea de influencia de momentos

flectores para la seccin 2.Nota 1: Por ser una viga de un solo tramo, simplemente

apoyada, las cargas que se coloquen sobre ella, ocasionaran en la seccin

momentos positivos. Aceptaremos por ello, como convencin, que los momentos

positivos se graficaran debajo de la lnea horizontal de referencia; en caso

contrario de ser el momento negativo- graficaremos sobre la lnea horizontal de

referencia.

http://2.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKWZ2R2S-I/AAAAAAAAAPo/U7M71mTdfwk/s1600-h/Dibujo5.JPG

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

15/18

Nota 2: Considerando la viga simplemente apoyada de la figura 10.A y su

diagrama de lneas de influencia para la seccin 2 (figura 10.B) notaremos:

C = Momento en la seccin 2, cuando se coloca una carga unitaria en la seccin

1.

D = Momento en la seccin 2, cuando se coloca una carga unitaria en la seccin

2.

E = Momento en la seccin 2, cuando la carga unitaria se coloca en la seccin 3.

F = Momento en la seccin 2, cuando la carga unitaria se encuentra en la seccin

4.

LINEAS DE INFLUENCIA DE ESFUERZO DE CORTE.

Consideramos una viga simplemente apoyada MN, en la cual deseamos conocer

los esfuerzos de corte que se originaran en una seccin tal como 2, bajo la accin

de una carga P. Cuando la fuerza P se halla a la derecha de la seccin 2, el

esfuerzo de corte en dicha seccin es positivo y numricamente igual a la reaccin

A que se producir en el apoyo izquierdo M.

http://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKR4TtpEmI/AAAAAAAAAPI/wnN66VVOqqk/s1600-h/Dibujo6.JPG

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

16/18

Como notamos, el esfuerzo de corte depender en unos casos de la reaccin en

el apoyo derecho y en otros del que se produzca en el izquierdo, estando ello en

funcin de la posicin de la carga respecto a la seccin sobre el cual se calcula el

esfuerzo de corte, se obtendr tomando las zonas sombreadas de los diagramas

de influencia de las reacciones en sus apoyos, tal como se muestra en la figura

19B.

http://2.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKTdOp9ohI/AAAAAAAAAPg/TzhxL3BT8B0/s1600-h/Dibujo9.JPGhttp://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKS9FeGqPI/AAAAAAAAAPY/BTeay-MDHdA/s1600-h/Dibujo8.JPGhttp://2.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKTdOp9ohI/AAAAAAAAAPg/TzhxL3BT8B0/s1600-h/Dibujo9.JPGhttp://3.bp.blogspot.com/_1TFeM2Tm2s4/SPKS9FeGqPI/AAAAAAAAAPY/BTeay-MDHdA/s1600-h/Dibujo8.JPG

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

17/18

Conclusin

El estudio de las lneas de influencia es de gran importancia para las estructuras,

ya que con la aplicacin de este mtodo de clculo podremos determinar las

condiciones ms desfavorables de dicha estructura que generalmente presentan

un comportamiento lineal y soportan cargas mviles.

Gracias a la aplicacin del mtodo a la estructura nos permitir conocer la

variacin de las reacciones, momento flector y fuerza cortante que se genera en la

estructura permitindonos conocer el punto exacto donde se genera su

concentracin mxima.

Si bien en el tratamiento del tema, por simplicidad nos referimos a casos de vigas.

La posibilidad de cargas mviles implica la necesidad de obtener:

a) las solicitaciones, deformaciones, etc., que produce una carga para distintos

puntos de aplicacin de la misma.

b) El estado ms desfavorable de aplicacin de la carga, que trae aparejada las

mayores solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluadauna seccin dada

Estas dos necesidades deben ser tenidas en cuenta en todas las secciones de la

viga, o por lo menos, en varias secciones caractersticas segn las circunstancias.

El trazado de diagramas o Lneas de Influencia nos permite una adecuada

respuesta a las dos necesidades y su utilizacin es casi imprescindible en el caso

de estudios de puentes, puentes gra, etc., donde las cargas mviles tienen unacierta importancia con respecto a peso propio o carga permanentes.

7/28/2019 Analisis - Lineas de Influencia

18/18

Bibliografa

http://ahugomiguele.blogspot.com/2008/10/lineas-de-influencia.html

https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&b

iw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=im

g.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.

1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_

http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/lineas%20de%20influencia/l%C3%

ADneas_de_influencia.htm

http://ing.unne.edu.ar/pub/e3_cap6.pdf

http://dannymg-fic-unsm.blogspot.com/2008/10/introduccion-en-el-presente-

trabajo.html

http://ahugomiguele.blogspot.com/2008/10/lineas-de-influencia.htmlhttps://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/lineas%20de%20influencia/l%C3%ADneas_de_influencia.htmhttp://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/lineas%20de%20influencia/l%C3%ADneas_de_influencia.htmhttp://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/lineas%20de%20influencia/l%C3%ADneas_de_influencia.htmhttp://ing.unne.edu.ar/pub/e3_cap6.pdfhttp://dannymg-fic-unsm.blogspot.com/2008/10/introduccion-en-el-presente-trabajo.htmlhttp://dannymg-fic-unsm.blogspot.com/2008/10/introduccion-en-el-presente-trabajo.htmlhttp://dannymg-fic-unsm.blogspot.com/2008/10/introduccion-en-el-presente-trabajo.htmlhttp://dannymg-fic-unsm.blogspot.com/2008/10/introduccion-en-el-presente-trabajo.htmlhttp://dannymg-fic-unsm.blogspot.com/2008/10/introduccion-en-el-presente-trabajo.htmlhttp://ing.unne.edu.ar/pub/e3_cap6.pdfhttp://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/lineas%20de%20influencia/l%C3%ADneas_de_influencia.htmhttp://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/lineas%20de%20influencia/l%C3%ADneas_de_influencia.htmhttps://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1366&bih=641&q=linea+de+influencia&oq=linea+de+influencia&gs_l=img.3..0i24l10.1416.5300.0.5723.19.14.0.5.5.1.150.1457.4j10.14.0...0.0...1ac.1.9.img.aJAbr68_ugE#imgrc=_http://ahugomiguele.blogspot.com/2008/10/lineas-de-influencia.html