Líneas de influencia

J. T. Celigüeta

1

Línea de influencia - DefiniciónLa función (gráfica o analítica) que define la variación de un esfuerzo para las distintas posiciones de una carga móvil.Cargas móviles: puentes, vigas carril, etc.Movimiento cuasi estático: sin fuerzas de inerciaObjetivo: hallar la posición pésima de las fuerzas y el valor máximo del esfuerzoEjemplo:

A

L zR F

L−

=Fz

LI(RA)

A B

2

Línea de influencia - SuposicionesMaterial elástico lineal, pequeñas deformacionesMovimiento cuasi-estático: sin fuerzas de inercia.Una sola fuerza móvil, de módulo unidad, con dirección y sentido constante, que se mueve paralelamente a sí misma. (*)Trayectoria recta (*)

(*) no es necesario, se supone así para facilitar el cálculo

3

Línea de influencia – Métodos de cálculoVigas isostáticas

Empleo de las ecuaciones de la estáticaPrincipio de los trabajos virtuales (no)

Celosías isostáticasEcuaciones de la estática

Estructuras hiperestáticasPrincipio de Müller-Breslau

4

LI de vigas isostáticasLas ecuaciones de la estática permiten hallar cualquier esfuerzo

1z

AB

10 m2 m

1210A

zR

−=

21

10B A

zR R

−= − =

5

LI de vigas isostáticasCortante en C

Carga a la izda de C: aíslo tramo dcha.

Carga a la dcha de C: aíslo tramo izda.

20 7

10C B

zQ R z

−≡ = < <

127 12

10C A

zQ R z

−≡ − = < <

6

LI de vigas isostáticasFlector en C

Carga a la izquierda de C: aíslo tramo de la derecha.

Carga a la derecha de C: aíslo tramo de la izquierda.

25 0 7

2C B

zM R z

−≡ = < <

125 7 12

2C A

zM R z

−≡ = < <

7

LI en celosías isostáticasSe determinan para la carga aplicada sólo en los nudosCuando la carga está entre dos nudos, la LI es una recta

A

B C D E F

GHJ K L M

1z6 L

L

1

A H J K L M G

RA

5/64/6 3/6

2/61/6

1

H J K L M G

RG

A

5/64/63/6

2/61/6

Reacciones

8

LI en celosías isostáticas. Barras AB y AH

A H J K L M GNAB

5√2/6

2AB AN R=−

Equilibrio horizontal de A

A H J K L M G

NAH

5√2/6

/ 2AH AB AN N R=− =

Es nulo cuando la carga está en A

1

A H J K L M G

RA

5/64/6 3/6

2/61/6

Es nulo cuando la carga está en A

Equilibrio vertical de A

9

LI en celosías isostáticas. Montante BH1

A H J K L M G

NBH

Solo trabaja cuando la carga pasa por H

10

LI en celosías isostáticas. Diagonal CK

A

B C D E F

GH J

K L M1

A J

K L M G

NCK3√2/6

2√2/6

H

√2RA

-√2RG

Carga entre A y J:aíslo parte derechaequilibrio vertical

Carga entre K y G:aíslo parte izquierdaequilibrio vertical

2CK GN R=− 2CK AN R=

11

LI en celosías isostáticas. Montante CJ

Carga entre A y J:aíslo parte derecha

Carga entre K y G:aíslo parte izquierda

CJ GN R= CJ AN R=−

A

B C D E F

GH J

K L M1

A H J

K L M G

NCJ

3/6

2/6

12

LI en celosías isostáticas. Cordón inferior JK

Carga entre A y J:aíslo parte derechaMomento respecto de C

Carga entre K y G:aíslo parte izquierdamomento respecto de C

4JK GN R= 2JK AN R=

A

B C D E F

GH J

K L M1

A H J K L M G

NJK8/6

13

LI para trenes de cargasConjunto de N cargas puntuales, separadas unas distancias fijas entre sí di, y que se mueven en grupo.Se halla la LI para una carga unitaria LI(z)El tren de cargas se sitúa en la viga mediante su primera carga (z)Las restantes cargas están situadas a zi=z- di i=1,N

3

z

2 1z3

z2

d2d3

1, 1,

( ) ( ) ( )i i i ii N i N

E z P LI z P LI z d= =

= = −∑ ∑

Se suma el efecto de cada carga, considerando su posición respecto a la primera fuerza.

Ubicar las fuerzas en la LI de tal manera que se maximice el efecto

14

LI para cargas distribuidasCarga distribuida de amplitud q(x) y longitud d.Se halla la LI para una carga unitaria LI(z)La carga se sitúa en la viga mediante su extremo izquierdo

dx

0( ) ( ) ( )

d

E z q x LI z x dx= +∫

Se integra el efecto de la carga distribuida considerando su posición.

Ubicar la carga en la LI de tal manera que se maximice la integral

15

Ejemplo: 2 cargas móviles

max

max

5000 (0) 4000 (1)

12 0 12 15000 4000 10400

10 10

A A A

A

R R R

R

= +

− −= + =

( )max 5000 (12) 4000 (11) 8600B B BR R R+ = + =

( )max 5000 (0) 4000 (1) 1400B B BR R R− = + = −

16

Ejemplo: 2 cargas móviles

max 5000 (7) 4000 (6) 4100C C CQ Q Q= + =

( )max 5000 (7) 4000 (6) 20500C C CM M M+ = + = ( )

max 5000 (0) 4000 (1) 7000C C CM M M− = + = −

17

Principio de Müller-Breslau (1886)LI de una reacción RB en una estructura hiperestática (h)Carga unitaria móvil (I: punto de la trayectoria)

Método de flexibilidad X=RB

1z

B

I

RB

18

Principio de Müller-BreslauCaso I (h-1) Eliminar RB. Sometido a la carga móvil en I

Deformación en la dirección de la reacción:

IBΔ

Caso B (h-1) Aplicar una fuerza unidad en la dirección de RB

BBΔDeformación en la

dirección de la reacción:

1z

B B

Deformación en la dirección de la carga:

BIΔ

19

Principio de Müller-BreslauCondición de compatibilidad

0 0I BB B B BRΔ = Δ + Δ =

IB

B BB

R−Δ

=Δ

Reciprocidad de deformaciones (Maxwell)

BI

B BB

RΔ

=−Δ

I BB IΔ = Δ

20

Principio de Müller-Breslau

La LI de RB buscada es el cociente (con signo menos) de:La deformación en la dirección de la carga (punto I) en el caso BLa deformación en la dirección de la reacción en el caso B

BI

B BB

RΔ

=−Δ

21

Principio de Müller-BreslauSólo hay que resolver el caso B (h-1) y hallar dos deformaciones.La carga móvil desaparece y se sustituye por un valor unidad del esfuerzo cuya LI se busca.El aspecto de la LI queda definido por la deformación en la trayectoria (punto l) situada en el numerador (identificar máximos)

LI es la deformada de una viga sin carga: cúbicaInteresante si se dispone de un método que calcule fácilmente deformaciones, sin importar el grado h: método de rigidez.

( )B

B BI

B

zR =−

ΔΔ

1

z

B

IB

BB

Cúbica

1z

BRB

22

Müller-Breslau para momentos flectores (1)Caso I (h-1) Eliminar MB. Sometido a la carga móvil en I

Giros a ambos lados:

Caso B (h-1) Aplicar un momento unidad en la dirección de MB

I IBi Bdθ θ

B BBi Bdθ θGiros a ambos lados:

1

B

Bi Bd

1

BiB

BdB

IB

1

MB=1BIΔDeformación en la

dirección de la carga:

23

Müller-Breslau para momentos flectores (2)Condición de compatibilidad Bi Bdθ θ=−

Reciprocidad generalizado

I B I BBi B Bi Bd B BdM Mθ θ θ θ+ =− −

( )I IBi Bd

B B BBi Bd

Mθ θθ θ

−=

++

I I BBi Bd Iθ θ+ = Δ

B BBi

B

BI

Bd

Mθ θ−

=+Δ

Expresión similar a la reacción. Suma de los giros en ambos lados, en la dirección del momento unitario aplicado

24

Müller-Breslau para cortantes y axiales

BI

B B BBi Bd

Q−Δ

=Δ +Δ

BI

B B BBi Bd

N−Δ

=Δ +Δ

25

Rigidez de un tramo de viga apoyada

4 2

2 4

I I

J J

MEIML

θ

θ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

26

Deformada de una viga sin cargasDeformación lateral v de una viga sin cargas, apoyada en sus extremos, en función de los giros extremos

2 3 3 2( 2 ) ( )I Jv L Lξ ξ ξ θ ξ ξ θ= − + + −

Deformación lateral v de una viga sin cargas, en función de las deformaciones y giros extremos

2 3 2 3 2 3 3 2(1 3 2 ) ( 2 ) (3 2 ) ( )IY I JY Jv L Lξ ξ δ ξ ξ ξ θ ξ ξ δ ξ ξ θ= − + + − + + − + −

xL

ξ =

27

Ejemplo. LI de la reacción en B

L

1z

AB

M L x EIv ′′= − =2 3

2 6Lx x

vEI EI

= −

2 3

( )2 6

BI

Lz zv x z

EI EIΔ = → = −

3

( )3

BB

Lv x L

EIΔ = = =

2 3

2 3

32 2

BI

B BB

z zR

L LΔ

=− =− +Δ

Caso B (isostático) 1( )M L x= −

28

Viga apoyada empotrada. Momento en B

IB

A

Caso B: MB=1

Por rigidez: dos grados de libertad04 2

12 4

A

B

EIL

θ

θ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭

6A

LEI

θ−

=3B

LEI

θ =

BI

B BB

MθΔ

=−

29

Viga apoyada empotrada. Momento en B

2 3 3 2( 2 ) ( ) ( / )I Jv L L x Lξ ξ ξ θ ξ ξ θ ξ= − + + − =

( ) 3

3

BI

BB B

v v v EIM L L

EIθ θΔ −

=− =− = =

( )2

3

6L

vEI

ξ ξ= −6I A

LEI

θ θ−

≡ =3J B

LEI

θ θ≡ =

( )3

2B

LM ξ ξ= −

0.577 L

B 1

-0.192 L

max 0.192 / 3M L x L=− =

30

Viga de 2 vanos. Momento en el apoyo B

L

1zA B

L

C

Caso B: MB=1

Dos vigas independientes (isos.)

/ 0M x L EIv x L′′= = < <

3

6x

EIv Ax BL

= + +

( 0) 0 0

( ) 0 /6

v x B

v x L A L

= = → =

= = → =−

3

06 6x Lx

v x LEIL EI

= − < <

31

Viga de 2 vanos. Momento en el apoyo B

3

( )6 6

BI

z Lzv x z

EIL EIΔ =− → =− + ( )

3BBi

Lv x L

EIθ ′= = =

3B BBd Bi

LEI

θ θ= =

3

3

26 6 0

4 43 3

BI

B B BBi Bd

z Lzz zEIL EIM z LL L L

EI EIθ θ

− +Δ=− =− = − < <

+ +

32

Viga de 2 vanos. Momento en el centro del vano

Caso P: MP=1

( )I

PPi Pd

Mθ θ

−Δ=

+ −Situación pésima: carga en el propio punto P

33

Viga de 2 vanos. Momento en el centro del vanoCaso P: MP=1 Ecuación de equilibrio por rigidez

2

2 2233

0 0 0

12 6 6 000

0 0 0 1

4 2 10

04

0

4 6 2

12 6

4

4 2

4

A

P

Pi

Pd

B

C

l l l

EIsimétrica

l l

L

l l l

l

L

l

l

L

lθ

θ

θ

θ

θ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ −⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥+ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎩⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

−

−

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Solución numérica

/2l L=

34

Viga de 2 vanos. Momento en el centro del vano

max 0.203PP

Pi Pd

vM L

θ θ= =

−

( )I

PPi Pd Pi Pd

vM

θ θ θ θ−Δ

= =+ − −

35

Viga de 4 vanos. Momento en el 2º apoyo

Caso B: MB=1

Cálculo de la deformada ΔI y de los giros θB del caso B por rigidez

4 2

2 4

I I

J J

MEIML

θ

θ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Atención

Rigidez de una viga

36

Viga de 4 vanos. Momento en el 2º apoyo

Bi

I

Bd

A C D E

4 2 0 0 0 0 0

2 4 0 0 0 0 1

0 0 4 2 0 0 1

0 0 2 8 2 0 0

0 0 0 2 8 2 0

00 0 0 0 2 4

A

Bi Bi

Bd Bd

C

D

E

M

MEIL

θ

θ

θ

θ

θ

θ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭

37

Viga de 4 vanos. Momento en el 2º apoyoSolución del caso B: 1/6

1/3

13/45

7/90

1/45

1/90

A

Bi

Bd

C

D

E

LEI

θ

θ

θ

θ

θ

θ

−

−

−

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( )

BI

B B BBi Bd

Mθ θ

Δ=−

+ −13 28

3 45 45B BBi Bd

L L LEI EI EI

θ θ− = + =

45

28B

EIM v

L=

BI vΔ =−

Hay que hallar la deformada v de cada tramo, en función de los giros

38

Viga de 4 vanos. Momento en el 2º apoyo

Vano AB /6I A L EIθ θ≡ =− /3J Bi L EIθ θ≡ =

2 3 3 2( 2 ) ( ) ( / )I Jv L L x Lξ ξ ξ θ ξ ξ θ ξ= − + + − =

( )( ) 2 3 3 2 345 15 15 15

( 2 ) ( ) ( ) 0 128 56 28 56

ABABB

v EI L L LM

Lξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= = − + − + − = − < <

Vano BC 13 /45I Bd L EIθ θ≡ = − 7 /90J C L EIθ θ≡ =

( )( ) 3 245 13 19 45

0 128 28 56 56

BCBCB

v EI L L LM

Lξ ξ ξ ξ= = − − + < <

39

Viga de 4 vanos. Momento en el 2º apoyo

Vano DE /45I D L EIθ θ≡ =− 2 /90E L EIθ θ≡ =

( )( ) 3 245 2 3

28 56 56 56

DEDEB

v EI L L LM

Lξ ξ ξ= =− − +

Vano CD 7 /90I C L EIθ θ≡ = /45J D L EIθ θ≡ = −

( )( ) 3 245 5 3

0 128 8 56 14

CDCDB

v EI L L LM

Lξ ξ ξ ξ= = + − < <

40

Viga de 4 vanos. Momento en el 2º apoyo

0.577 L 0.38L

-0.103 L

-0.08 L

B

B

( ) 315( )

56ABB

LM ξ ξ= −

( ) 3 213 19 4528 56 56

BCB

L L LM ξ ξ ξ= − − +

( ) 3 25 38 56 14

CDB

L L LM ξ ξ ξ= + −

( ) 3 22 356 56 56

DEB

L L LM ξ ξ ξ= − − +

41

Vigas continuas. Momento en el 2º apoyo

Posición pésima de la carga móvil siempre el mismo punto (0.577L).Aumenta muy poco con el número de vanos

Vanos MB

2 -0.096 L

3 -0.1026 L

4 -0.10304 L

5 -0.10307 L

42

Vigas continuas. Momento en el centro del vano 1

0.19977 L

1

LI(MP)

0.203 L

0.200 L

MP

MP

MP

1

1Posición pésima de la carga móvil siempre el propio punto central del vano.Disminuye muy poco con el número de vanos.Es mayor que el momento en el 2º apoyo

Vanos MP

2 0.20312 L

3 0.2000 L

4 0.19977 L

5 0.19976 L

43

Vigas de 2 y 3 vanosMB

-0.096 L

0.577 L B

MP

10.203 L

P

1

0.5 L

0.200 L

B

MB

MP

1

-0.1026 L

0.5 L

1

P

-0.080 L

0.577 L

MQ

1

0.5 L

0.175 L

Q

44

Viga de 4 vanos. Momento en los apoyos

0.38L1

B

MB

0.577 L

-0.1030 L -0.08 L

1C

MC

0.616 L

-0.0858 L -0.0858 L

45

Viga de 4 vanos. Momento en los vanos

1

MP

P

0.19977 L

1

MQ

Q

0.173 L

46

Viga de 5 vanos. Momento en los apoyos

47

Viga de 5 vanos. Momento en los vanos

1

MP

P0.19976 L

1

MQ

Q

0.173 L

0.5 L

0.5 L

1

MR

R

0.171 L

0.5 L

48

Viga empotrada de 2 vanos. Momento en B

Caso B: MB=1

Dos vigas independientes iguales

Por rigidez: un grado de libertad

{ } { }4

1BBi

EIL

θ⎡ ⎤

=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

4BBi

LEI

θ =4

BBd

LEI

θ =

BI

B B BBi Bd

Mθ θ

Δ=−

+

49

Viga empotrada de 2 vanos. Momento en B2 3 3 2( 2 ) ( ) ( / )I Jv L L x Lξ ξ ξ θ ξ ξ θ ξ= − + + − =

( ) 2

4 4

B B BBi Bd

v v v EIM L L L

EI EIθ θ

−=− = =

+ +

Vano AB 0Iθ = / 4BJ Bi L EIθ θ≡ =

( )3 220 1

2ABB

v EI LM

Lξ ξ ξ= = − < <

Vano BC 0Jθ =/4BI Bd L EIθ θ≡ =

( )2 322 0

2BCB

v EI LM L

Lξ ξ ξ ξ= = − + < <

50

Viga empotrada de 2 vanos. Momento en B

Vano AB ( )3 220 1

2ABB

v EI LM

Lξ ξ ξ= = − < <

Vano BC ( )2 322 0

2BCB

v EI LM L

Lξ ξ ξ ξ= = − + < <

51

Viga empotrada de 2 vanos. Momento en A

Caso A: MA=1

Por rigidez: dos grados de libertad

4 2 1

02 4 4

A

B

EIL

θ

θ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭

414A

LEI

θ−

=

14B

LEI

θ =

( )

AI

A AA

Mθ

Δ=−

−

52

Viga empotrada de 2 vanos. Momento en A2 3 3 2( 2 ) ( ) ( / )I Jv L L x Lξ ξ ξ θ ξ ξ θ ξ= − + + − =

Vano AB

( )3 23 7 44

ABA

LM ξ ξ ξ= − + −

Vano BC 0Jθ =

( )2 324

BCA

LM ξ ξ ξ= − +

( )( ) 144 414

AI

A AA

v v EIM

L LEI

θΔ −

=− =− =⎛ ⎞⎛ ⎞−− ⎟⎜ ⎟⎜− ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

414I A

LEI

θ θ−

= =14J B

LEI

θ θ= =

14I B

LEI

θ θ= =

53

Viga empotrada de 2 vanos. Momento en A

max max0.1684 0.37716ABAM L x L=− =

54

Viga empotrada de 2 vanos. Momento en PSolución numérica (cespla)

11

I

Pi Pd

P

PP

Pi Pd

Mθ θ

Δ=−

+

55

Viga empotrada de 2 vanos. Resumen

P

1

0.5 L

MP

0.140 L

56

Ejemplo

-35 cmTn/Tn

ACargas caso A

IA

A

MθΔ

=−

57

Ejemplo

i d

Cargas caso BI

BBi Bd

Mθ θ

Δ=−

+

58

Ejemplo

di

Cargas caso CI

CCi Cd

Mθ θ

Δ=−

+

59

LI de deformacionesAplicación directa del principio de reciprocidad de deformacionesLa carga móvil desaparece y se sustituye por un valor unidad en la dirección de la deformación cuya LI se busca.El aspecto de la LI definido por la deformación en la trayectoria(punto l): identificar máximos.Cálculo de deformaciones.

( )BB I zθ = Δ

Caso BCaso I

60

Müller-Breslau para celosías isostáticasSi se elimina el esfuerzo cuya LI se pretende hallar, la estructura se transforma en un mecanismo: no se puede seguir el método de flexibilidad como se ha expuesto.Aplicaremos el Principio del Trabajo Virtual

Así lo enunció Müller-BreslauSe elimina el esfuerzo (reacción, interior) cuya LI se busca. El mecanismo obtenido puede tener movimientos de sólido rígido, sin acumular energía elástica.El PTV indica que el trabajo virtual efectuado por las fuerzas aplicadas es nulo:

0W Uδ δ= =

61

Müller-Breslau para celosías isostáticasFuerzas que actúan

Fuerza móvil unitaria (1)Esfuerzo buscado EReacciones: no producen Trabajo Virtual

Desplazamiento virtual aplicadoDirección de la fuerza móvil δΙDirección del esfuerzo δE

1 0E IW Eδ δ δ= ⋅ + ⋅ =

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Müller-Breslau para celosías isostáticasI

E

Eδδ

=−El esfuerzo vale:

Tomando un desplazamiento virtual unidad δE=1 en la dirección del esfuerzo

con 1I EE δ δ=− = +

El esfuerzo buscado es:- la deformación virtual en la dirección de la carga móvil (cambiada de signo), - cuando en la dirección del esfuerzo se aplica una deformación virtual unidad.

Cómo se hace en la práctica?

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Müller-Breslau para celosías isostáticasAplicar una deformación virtual unidad en la dirección del esfuerzo:

Se introduce en la barra un error en longitud λ, de valor +1

La deformada que se obtiene de la estructura es la línea de influencia, cambiada de signo)

Truco práctico: se hace la barra más corta (λ=-1) y la deformada es directamente la LI buscada

En la estructura no aparecen esfuerzos (es isostática sin fuerzas), sólo deformaciones

con 1I EE δ δ=− = +

con 1I EE δ δ= =−

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Müller-Breslau para celosías isostáticasSe introduce en la barra un error en longitud λ, de valor -1

La deformada que se obtiene de la estructura es la línea de influencia.La deformada se calcula por el método de rigidez.Comprobar que salen N=0

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EjemploLI del esfuerzo en la diagonal CK (cespla)

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EjemploLI del esfuerzo en la barra AB (cespla)

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Ejemplo. Celosía compuesta