G R U P U R I

of 32/32
G R U P U R I
  • date post

    08-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    80
  • download

    7

Embed Size (px)

description

G R U P U R I. Grupul rotaţiilor Cn Grupul dihedral Dn Grupul permutărilor Sn Grupul alternativ An Grupul cuaternionilor H8 Grupul matricilor Pauli Grupurile poliedrelor. Rela ţii şi generatori Izomorfisme Subgrupuri Diagrame Cayley Ordinul grupului şi elementului. Grupul ac ţiunilor - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of G R U P U R I

  • GRUPURI

  • Grupul rotaiilor CnGrupul dihedral DnGrupul permutrilor SnGrupul alternativ AnGrupul cuaternionilor H8Grupul matricilor PauliGrupurile poliedrelorRelaii i generatoriIzomorfismeSubgrupuriDiagrame CayleyOrdinul grupului i elementului

  • Grupul aciunilorsoldatuluiReguli:Exist o list predefinit de aciuni care nu se schimb niciodat2. Fiecare aciune este reversibil3. Fiecare aciune este determinist4. Fiecare secven de aciuni este tot o aciune

  • Generatorul grupului

    Relaii ntre generatoriG= {Q ,Q ,Q ,Q }

    G= {Q |Q =I }0 1 2 34Grupul simetriilor 2D Rotaiile ptratului C4

  • Izomorfismul dintregrupul soldatului i grupul rotaiilor C4Graful Cayley

  • Moduri diferite de a reprezenta grupul C4 - izomorfismeG= {Q =1,Q = i,Q = -1,Q = -i}

    G= {Q |Q =1, Q=exp(2 i/4)=i}0 1 2 34Grupul rdcinilor ec. Z =1

    Grupul matricilor rotaiilor de unghi 2/44

  • Grupul permutrilor ciclice de 4 elementeModuri diferite de a reprezenta grupul C4 - izomorfismeGrupul Z4 al numerelor ntregi modulo 4

  • Grupul Z4 are un subgrup Z2

  • Grupul rotaiilor n-gonului Cn este izomorf cu grupul ciclic ZnG= {Q |Q =I , Q=exp(2i/n)}n

  • Grupul aciunilor

    - Grupul Klein

  • Grupul simetriilor 3D ale paralelipipeduluiK= {I ,R ,P , Y }K= {I ,S ,D ,SD }

    K= {S,D |S = D =I }Grupul Klein are doi generatori 2 2Relaii ntre generatoriOrdinul elementului S i D este 2. Ordinul grupului (nr. Elemente) este 4.Relaii ntre generatoriOrdinul elementului S i D este 2. Ordinul grupului (nr. Elemente) este 4.

  • Relaii ntre generatoriOrdinul grupului Klein este 4.Ordinul elementului S i D este 2. Elementele S i D formeaz subgrupuri ciclice C2de ordin 2 care-l divid pe 4.

    Putem interpreta reflexiile S i D ca fiind transpoziii de 4 elemente.(Transpoziiile sunt permutri de numai 2 elemente din cele n disponibile.K= {I ,R ,P , Y }K= {I ,S ,D ,SD }

    K= {S,D |S = D =I }Grupul Klein are doi generatori 2 2Teorema Lagrange - dac G este un grup finit, atunci ordinul (numrul de elemente) al oricrui subgrup H divide ordinul lui G

  • Grupul Klein izomorf cu:Grupul 2D a simetriilor dreptunghiului:a - reflexia fa de planul verticalb - reflexia fa de planul orizontalc rotaia cu 180 grade

    Grupul 3D a simetriilor paralelipipedului fa de 3 axe perpendiculare ntre ele

  • Grupul Klein D2Z2Z2 Grupul ciclic C4Z4nu suntizomorfe

  • Grupul permutrilor Snn obiecte se permut n n! moduri diferite3 obiecte se permut n 3! moduri diferiteRelaii ntre generatori care sunt transpoziiiGrupul permutrilor Snn obiecte se permut n n! moduri diferite3 obiecte se permut n 3! moduri diferiteGrupul permutrilor Snn obiecte se permut n n! moduri diferite

    Teorema Cayley Orice grup finit G este un subgrup al grupului permutrilor Sn

  • Grupul permutrilor S33 obiecte se permut n 3! moduri diferite

  • Transpoziii (permut obiectul i cu i+1)- Orice permutare se poate scrie ca un produs de m transpoziii- Dac m este par, permutarea e par Dac m este impar, permutarea e impar Grupul permutrilor pare se numete grup alternativ Cicluri (permut ciclic n obiecte)- Orice permutare se poate scrie ca un produs de m cicluri disjuncte (nu acioneaz pe elemente comune)

  • Relaiile dintre generatorii grupului S3

  • r

    rr

    ef

    frr

    frGrupul S3 se poate realiza ca grupul rotaiilor i reflexiilor unui triunghi echilateral D3

  • r

    rr

    ef

    frr

    frSubgrupul rotaiilor C3 Grupul simetric S3Subgrupul reflexiilor C2

  • Grupul ciclic C3 este subgrup algrupului simetric S3 C3 este grup comutativ sau abelianS3 este grup neabelian

  • Grupurile ciclice C3 i C2 sunt subgrupuri ale grupului simetric S3

  • Grupul rotaiilor Rk i reflexiilor Sk unui poligon regulat cu n laturi este grupul diedral Dn. Relaiile ntre generatori sunt:D2 grupul Klein este izomorf cu Z2 xZ2D3 este izomorf cu S3

  • Pt. n impar avem un singur tip de reflexiiPt. N par avem dou tipuri de reflexii

  • D3 D5 DnDiagrame Cayley pt. grupuri diedrale Dn

  • Grupul diedral D4 al ptratuluiCu roz este evideniat grupul rotaiilor C4r rotaie cu 90, s- reflexie

  • Grupul diedral D4 al ptratului este izomorf cu grupul matricilor:Gsii care sunt generatorii acestui grup, artai c satisfac aceleai relaii ca i D4.Scriei matricile anterioare n funcie de generatori.Artai c a i b satisfac relaiilegrupului diedral D4

    Graful Cayley pt. D4

  • Grupul cuaternionilor H8Grupul diciclic Qm de ordin 4m

    S = I, T = S , T S T =S

    Pt. m=2 obinem Q2 izomorf cu H82m 2 m -1 -1

  • Grupul matricilor PauliExist un izomorfism ntre grupul cuaternionilor i grupul matricilor Pauli

  • Toate tipurile de grupuri finite de ordin 12: 1) (de ordin 1) grupul cu un element 2) (de ordin 2) grupul ciclic C2 3) (de ordin 3) grupul ciclic C34) (de ordin 4) grupul ciclic C4 i grupul lui Klein C2 C25) (de ordin 5) grupul ciclic C5 6) (de ordin 6) grupul ciclic C6 i grupul simetric S3D3A3 7) (de ordin 7) grupul ciclic C7 8) (de ordin 8) Grupul ciclic C8, grupul C4 C2, grupul C2 C2 C2 D2xC2, grupul diedral D4 i grupul cuaternionilor H8 Q2 9) (de ordin 9) grupul ciclic C9 i grupul C3 C3 10) (de ordin 10) grupul ciclic C10 i grupul diedral D511) (de ordin 11) grupul ciclic C11 12) (de ordin 12) grupul ciclic C12, grupul C6xC2C3xD2, grupul diedral D6, grupul diciclic Q3, grupul alternativ A4.Singurele grupuri finite de simetrie (de rotaie) posibile n trei dimensiuni sunt:

    Cn, Dn, A4, S4, A5

    Sau dac se consider i inversiile (x -x) atunci: Cn x C2, Dn x C2, A4 x C2, S4 x C2, A5 x C2