GRUPURI

Grupul rotaţiilor CnGrupul dihedral DnGrupul permutărilor SnGrupul alternativ AnGrupul cuaternionilor H8Grupul matricilor PauliGrupurile poliedrelor

Relaţii şi generatoriIzomorfismeSubgrupuriDiagrame CayleyOrdinul grupului şi elementului

Grupul acţiunilorsoldatului

Reguli:1. Există o listă predefinită de acţiuni care nu se schimbă niciodată2. Fiecare acţiune este reversibilă3. Fiecare acţiune este deterministă4. Fiecare secvenţă de acţiuni este tot o acţiune

Generatorul grupului

Relaţii între generatori

G = { Q , Q , Q , Q  }

G = { Q | Q = I  }

0 1 2 3

4

Grupul simetriilor 2D –Rotaţiile pătratului C4

Izomorfismul dintregrupul soldatului şi grupul rotaţiilor C4

Graful Cayley

Moduri diferite de a reprezenta grupul C4 - izomorfisme

G = { Q =1, Q = i, Q = -1, Q = -i }

G = { Q | Q = 1, Q=exp(2π i/4)=i }

0 1 2 3

4

Grupul rădăcinilor ec. Z =1

Grupul matricilor rotaţiilor de unghi 2π/4

4

Grupul permutărilor ciclice de 4 elemente

Moduri diferite de a reprezenta grupul C4 - izomorfisme

Grupul Z4 al numerelor întregi modulo 4

Grupul Z4 are un subgrup Z2

Grupul rotaţiilor n-gonului Cn

este izomorf cu grupul ciclic Zn

G = { Q | Q = I , Q=exp(2πi/n) }n

Grupul acţiunilor

- Grupul Klein

Grupul simetriilor 3D ale paralelipipedului

K = { I , R , P ,  Y  }K = { I , S , D , SD  }

K = { S,D | S = D = I  }

Grupul Klein are doi generatori 2 2

Relaţii între generatoriOrdinul elementului S şi D este 2. Ordinul grupului (nr. Elemente) este 4.

Relaţii între generatoriOrdinul elementului S şi D este 2. Ordinul grupului (nr. Elemente) este 4.

Relaţii între generatori

Ordinul grupului Klein este 4.Ordinul elementului S şi D este 2. Elementele S şi D formează subgrupuri ciclice C2de ordin 2 care-l divid pe 4.

Putem interpreta reflexiile S şi D ca fiind transpoziţii de 4 elemente.(Transpoziţiile sunt permutări de numai 2 elemente din cele n disponibile.

K = { I , R , P ,  Y  }K = { I , S , D , SD  }

K = { S,D | S = D = I  }

Grupul Klein are doi generatori 2 2

Teorema Lagrange - dacă G este un grup finit, atunci ordinul (numărul de elemente) al oricărui subgrup H divide ordinul lui G

Grupul Klein izomorf cu:

Grupul 2D a simetriilor dreptunghiului:a - reflexia faţă de planul verticalb - reflexia faţă de planul orizontalc – rotaţia cu 180 grade

Grupul 3D a simetriilor paralelipipedului faţă de 3 axe perpendiculare între ele

Grupul Klein D2 Z≃ 2×Z2 Grupul ciclic C4≃Z4

nu suntizomorfe

Grupul permutărilor Snn obiecte se permută în n! moduri diferite3 obiecte se permută în 3! moduri diferite

Relaţii între generatori care sunt transpoziţii

Grupul permutărilor Snn obiecte se permută în n! moduri diferite3 obiecte se permută în 3! moduri diferite

Grupul permutărilor Snn obiecte se permută în n! moduri diferite

Teorema Cayley Orice grup finit G este un subgrup al grupului permutărilor Sn

Grupul permutărilor S33 obiecte se permută în 3! moduri diferite

Transpoziţii (permută obiectul i cu i+1)- Orice permutare se poate scrie ca un produs de m transpoziţii- Dacă m este par, permutarea e pară- Dacă m este impar, permutarea e impară- Grupul permutărilor pare se numeşte grup alternativ

Cicluri (permută ciclic n obiecte)- Orice permutare se poate scrie ca un produs de m cicluri disjuncte (nu acţionează pe elemente comune)

Relaţiile dintre generatorii grupului S3

r

rr

e

f

frr

fr

Grupul S3 se poate realiza ca grupul rotaţiilor şi reflexiilor unui triunghi echilateral D3

r

rr

e

f

frr

fr

Subgrupul rotaţiilor C3 Grupul simetric S3

Subgrupul reflexiilor C2

Grupul ciclic C3

este subgrup algrupului simetric S3

C3 este grup comutativ sau abelianS3 este grup neabelian

Grupurile ciclice C3 şi C2 sunt subgrupuri ale grupului simetric S3

Grupul rotaţiilor Rk şi reflexiilor Sk unui poligon regulat cu n laturi este grupul diedral Dn.

Relaţiile între generatori sunt:

D2 grupul Klein este izomorf cu Z2 xZ2D3 este izomorf cu S3

Pt. n impar avem un singur tip de reflexiiPt. N par avem două tipuri de reflexii

D3 D5 Dn

Diagrame Cayley pt. grupuri diedrale Dn

Grupul diedral D4 al pătratului

Cu roz este evidenţiat grupul rotaţiilor C4

r – rotaţie cu 90, s- reflexie

Grupul diedral D4 al pătratului este izomorf cu grupul matricilor:

Găsiţi care sunt generatorii acestui grup, arătaţi că satisfac aceleaşi relaţii ca şi D4.Scrieţi matricile anterioare în funcţie de generatori.

Arătaţi că a şi b satisfac relaţiilegrupului diedral D4

Graful Cayley pt. D4

Grupul cuaternionilor H8

Grupul diciclic Qm de ordin 4m

S = I, T = S , T S T =S

Pt. m=2 obţinem Q2 izomorf cu H8

2m 2 m -1 -1

Grupul matricilor Pauli

Există un izomorfism între grupul cuaternionilor şi grupul matricilor Pauli

Toate tipurile de grupuri finite de ordin ≤ 12: 1) (de ordin 1) grupul cu un element 2) (de ordin 2) grupul ciclic C2 3) (de ordin 3) grupul ciclic C34) (de ordin 4) grupul ciclic C4 şi grupul lui Klein C2 × C25) (de ordin 5) grupul ciclic C5 6) (de ordin 6) grupul ciclic C6 şi grupul simetric S3≈D3≈A3 7) (de ordin 7) grupul ciclic C7 8) (de ordin 8) Grupul ciclic C8, grupul C4 × C2, grupul C2 × C2 × C2 ≈D2xC2, grupul diedral D4 şi grupul cuaternionilor H8 ≈Q2 9) (de ordin 9) grupul ciclic C9 şi grupul C3 × C3 10) (de ordin 10) grupul ciclic C10 şi grupul diedral D511) (de ordin 11) grupul ciclic C11 12) (de ordin 12) grupul ciclic C12, grupul C6xC2≈C3xD2, grupul diedral D6, grupul diciclic Q3, grupul alternativ A4.

Singurele grupuri finite de simetrie (de rotaţie) posibile în trei dimensiuni sunt:

Cn, Dn, A4, S4, A5

Sau dacă se consideră şi inversiile (x -x) atunci: Cn x C2, Dn x C2, A4 x C2, S4 x C2, A5 x C2