CINEMÁTICA Velocidad media ( v Rapidez media o …€¢ Movimiento cuya velocidad aumenta o...

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CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA

1ra Semana

2Lic. Héctor Valdivia Mendoza

CONTENIDOCONTENIDO

• Semana 01• CINEMATICA DE UNA PARTICULA

• Definiciones Generales: Posición, desplazamiento, velocidad media, velocidad instantánea, aceleración media y aceleración.

• Cinemática unidimensional: MRU, MRUV y caso general; Aplicaciones: Caída libre, etc.

• Movimiento de proyectiles. Movimiento Curvilíneo en coordenadas polares. Aceleración Radial y acimutal. Aceleración normal y tangencial. Movimiento Circular: Velocidad y aceleración angular.

3

CINEMÁTICALa CinemLa Cinemááticatica estudia el movimiento de los objetos sin considerar las causas que lo producen.

PartPartíícula:cula: Es un objeto que solo tiene movimiento de traslación pura (no rota, no vibra), y sus dimensiones no interesan en el problema.

Movimiento:Movimiento: Ligado a “lugar” y tiempo. Es el cambio de lugar que un objeto experimenta respecto de otro (el observador)

Sistema de Referencia (SR):Sistema de Referencia (SR): Es un objeto real respecto del cual se realizan las mediciones. Se llama también observador. Son SR equivalentes aquellos que no tienen movimiento entre sí.

Sistema de Coordenadas (SC):Sistema de Coordenadas (SC): Idea abstracta que permite la identificación de cada punto del espacio, de modo que se pueda describir el movimiento sin ambigüedad.


Z

X

Y

L∆r

r1

r2

t1

t2

t3o

CANTIDADES CINEMATICAS

Posición: r = r(t)

Desplazamiento: ∆r = r(t) - r(t0)

rr y ∆∆rr son cantidades vectoriales, que dependen del tiempo

El desplazamiento nodepende del sistema de coordenadas elegido


Velocidad media ( vm )

2 1m

2 1t t t−∆

= =∆ −

vr rr

∆rr1

r2

vm

t1

t2

mUnidad SI :s

Es cantidad vectorial, paralela al desplazamiento

Está definida para un intervalo de tiempo ∆t


Velocidad instantánea ( vv )

ddt

=rv

t 0

Lim

t∆ →

∆=

∆rv mUnidad SI :

s

Es cantidad vectorial, tangente a la trayectoria

|vv| es llamada rapidez


Lv∆ t

=

t2

t1

L

Rapidez media o promedio ( v )

mUnidad SI :s

Es cantidad escalar

L = Longitud recorrida o trayectoria

∆t = Intervalo de tiempo que demora en recorrer L

En general: Lr∆ ≠


Aceleración media ( am )

12m tt∆t

∆−−

== 12 vvva2

mUnidad SI :s

Está definida para un intervalo de tiempo ∆t

Es cantidad vectorial

∆∆vv = Cambio de velocidad


Aceleración instantánea (aa)

dtd va =

La aceleración a debe apuntar hacia la concavidad

t 0

Lim

t∆ →

∆=

∆va

2mUnidad SI :s


MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION

z (m)

El movimiento es a lo largo de una recta

En este caso los vectores cinemáticostienen tres componentes.

La figura muestra el sistema coordenado NO coincidente con la recta del movimiento.


MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRUMRU)

•La velocidad es constante •Velocidad media igual a la velocidad instantánea

•Aceleración cero

( )v=cte


Si t0=0, entonces:0 0(t t )− = −vr r

0 t= + vr r o t= + v ox x

0 ro r

x∆xxo X (m)

y (m)

r∆

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU)

∫∫ =⇒=t

t00

tddtd

d vrrvr

r

⇒


GRAFICAS DEL MRU


MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME VARIADO (MRUVMRUV)

0= + tv v a

• La aceleración es constante• Movimiento cuya velocidad aumenta o disminuye linealmente con el tiempo

•Aceleración media igual a la aceleración instantánea

ctea =

⇒∫∫ =⇒=t

t

v

v 00

tdavdtdvda


0m

( )2+

=v v

v

Gráfica de: v = vo+ at

2

0 0t= + t+ 2

ar r v

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME VARIADO (MRUV)

( )∫∫ +=t

t0

00

tdtd avrr

r

tdd rv =

2 20v v 2 ∆= + ⋅a rTAREA: Mostrar que:

Lic. Héctor Valdivia Mendoza


Gráfica posición vs tiempo Gráfica aceleración vs tiempo

x(m)

t(s)0

Pendiente de la tangente es la

velocidad

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME VARIADO (MRUV)


Aplicación

2

0 0g ty=y +v t- 2

0v=v -g t

0m

(v v)v 2

+= 2 2

0v v 2g y= − ∆

Y(m)

VO

VO0

g

j

•vsubida = vbajada (rapidez)

•tsubida = tbajada (tiempo)

â = g jg= −

Movimiento sobre la tierra en el que actúa sólo la gravedad, que se supone constante. Se desprecia el efecto del aire


Y(m)

VO

0

V = 0

0S

vt g=

20

maxv

h 2g=

t(s)

v(m/s)

0

VO

-VO

ts

2ts

0v=v -g t

Gráfica de CAIDA LIBRE


MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN VARIABLE

(t)aa =La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje X es dada

por X = t3 – 12 t2 + 36 t + 30 con X en metros y t en segundos. Determine:

a) La velocidad media en 2 s ≤ t ≤ 6 sb) La aceleración media en 0 s ≤ t ≤ 4 sc) Los intervalos de tiempo en el que el movimiento es desacelerado d) Los intervalos de tiempo en el que el movimiento es acelerado

( ) ( )6 2 ˆ) 8 /6 2

x xv ima m s

−= = −

−

) acelerado en 2, 4 6,d +∞∪

[ )) desacelerado en 0, 2 4, 6c ∪

2sm246tXa −==

sm3624t3tXv 2 +−==

) ( ) ( ) 2m smi12

0404

−=−−

=vvab



(v)aa =Para una partícula en movimiento rectilíneo cuya aceleración está

dada por a(v) = 32 – 4 v (las condiciones iniciales son x = 0 m y v = 4 m/s cuando t = 0 s), encuentre v en función de t, x en función de t, y x en función de v.

( )v t v

4 0 4

dv dv dv -4ta = dt = t v = 4 2 - edt a 32 - 4v

= ⇒ ⇒ ⇒∫ ∫ ∫

( ) ( )t x t1 14 40 0 0

dx -4t -4tv vdt = dx x 4 2 e dt x = 4 2t + edt

= ⇒ ⇒ = − ⇒ − +∫ ∫ ∫

Este movimiento es típico de un objeto en un fluido donde el rozamiento es proporcional a la velocidad (con signo negativo)

( )4v32ln24vln281x

avdvdx

dxdvv

dxdx

dtdva

v

4

x

0−−−+=⇒=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫



(x)aa =Supongamos que la aceleración es una función de x, donde a(x) = -ω2x m/s2, donde ω2=2 y x está en metros. Si la velocidad en x = 1 m es cero, ¿Cuál es la velocidad en x = 3 m? ¿Cuánto tiempo tarda en desplazarse desde x = 1 m a x = 3 m?

( )0 0 0

22x v x 2 2 2 2 2010 02 2x v x

vv x va v x vdv x x v v v = ω x + - xx x ω

d d d ad ddt d d

ω⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⇒ = ⇒ − = − ⇒ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

22 -10 00 02

v xSea A = x + y θ = senω A

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

0 0 0

x t x -10 0 02 2x t x

dx dx dx 1 xv = dt = t - t t - t = sen - θdt v ω Aω A - x

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⇒ ⇒ ⇒ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

( ) ( )0x t = Asen ωt +θEl movimiento resultante se llama MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS). Este movimiento es periódico, tipo ida y vuelta alrededor de un punto.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

Axsenθ 01

0


APLICACIONES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO

La figura muestra la aceleración en función del tiempo, si las condiciones iniciales son: X = 0 m, cuando t = 0 s, y V = -40 m/s cuando t = 20 s. Construya las gráficas de:a) La velocidad en función del tiempo; yb)La posición en función del tiempo. -10

( )t s

( )a m/s5

2030 40 50 600

a) 60

35

-15

-40

20 3040 50 60

0

v(m/s)

t(s)

r e c t a

b)


c t e=aUn móvil es disparado desde P0 sobre el plano 3x -2y + 5z = 38. P0 es el punto de intersección de la recta perpendicular al plano que pasa por el origen de coordenadas. La velocidad inicial del móvil es V0 = 38 m/s siguiendo la dirección perpendicular al plano, don V0z>0. (Considere g = -10 k m/s2). Calcule:a)El instante en que el móvil impacta con el plano xyb)La ubicación del punto de impacto c)La velocidad cuando z = 0d)La ecuación del plano de movimiento.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

{ } ( ) ( )0

ˆ ˆ ˆˆSe sabe : n = 3i - 2j+5k = vector normal;

ˆP / 3 , 2 ,5 P 3, 2,5t t t t t= + ∈ = − ⇒ = −0 n

( ) 2ˆ ˆ ˆ3i - 2j + 5k 1ˆ ˆ ˆ â) 3i - 2j+ 5k 38 10k ;

23821

0 0 2r=r +v + g r=t t t t⎛ ⎞

⇒ + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 12Luego de z = 0 5+5 38t -5t = 0 t 42 38 s =⇒ ⇒ +

0ˆ ˆ ˆc) v = v + gt v = 3 38 i - 2 38 j-5 42 k m/s⇒


MOVIMIENTO CURVILÍNEO

La aceleración y la velocidad inicial NO son NO son colinealescolineales.

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆr i j kt x t y t z t= + +

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆv i j kd x t d y t d z t

tdt dt dt

= + +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2ˆ ˆ â i j k

d x t d y t d z tt

dt dt dt= + +

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆv v vx y zv i j kt t t t= + +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2r t x t y t z t= + +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2v v v vx y zt t t t= + +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2a a a ax y zt t t t= + +( ) ( ) ( ) ( )x y zˆ ˆ â a aa i j kt t t t= + +

( )r t( )0r t

r∆s∆

x

y

z

0

( )0v t

( )0a t

0va 0 ≠×CONDICICONDICIÓÓN:N:


MOVIMIENTO CURVILÍNEOUna partícula se mueve en el espacio a lo largo de la trayectoriax + y2 – z3 = bt2,y cuando t = 0:r = ci + 3j – 2k,v = di + 5j + k,a = 10i + 2j + 3k.en donde b, c y d son constantes. Determine estas constantes.

( ) ( ) ( ) -17c173200xyzbtx 230t232 =⇒−=−−+=⎯→⎯−+= =

( ) ( ) ( ) ( )( ) -18d1853212300xy2yz3z2btx 20t2 =⇒−=−−+=⎯→⎯−+= =

24by2-y2yz6zz3z2bx 0t222 =⎯→⎯−++= =


ACELERACIÓN NORMAL (aN) Y ACELERACIÓN TANGENCIAL (at)

v

x

y

z

0

a

taNaLa aceleración tangencial cambia cambia ssóólo la magnitudlo la magnitud de la velocidad.

La aceleración normal cambia cambia ssóólo la direccilo la direccióónn de la velocidad.

2 2N ta = a +aN ta =a + a

T = vector tangente unitario

N = vector normal unitarios = Longitud recorrida (trayectoria)

La velocidad se expresa como:

dsˆ ˆv = v T = Tdt

tdv â = T; v = módulo de la velocidaddt

x y

z

0T

N v



Definición de Radio de curvatura (ρ)

∆ s 0

ˆ1 ∆ T=ρ ∆ sL im

→

x

y

z

0

ˆ0T

s∆Tρ

1m

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

Nv â = N; v = módulo de la velocidadρ

La aceleración normal se escribe:

Se cumple:

2

2

1 d r=ρ d s

3

1 a v=ρ v

×

2

2

32 2

d yd x1 =

ρ d y1d x

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

32 2 2

1 x y - y x=ρ x + y⎡ ⎤⎣ ⎦

3D



El vector posición de una partícula esta dado por r(t) = 3t2 i + 6t j+ t3 k, donde t está en segundos y r en metros. a)Halle los vectores T(t) y N(t)b) Obtenga s ≡ s(t) si en s(t ≡ 0)=0.c) Exprese la velocidad y la aceleración en componentes tangencial y normal.d) Halle el radio de curvatura en t = 2 s.

) ( )2

2 2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ 2-t 2t 2t2t 2 tˆ ˆ;t 2 t 2

a = =+ +

i - j+ ki + j+ kT N

) ( ) 31b s t = t +2t3

) ( ) ( )2ˆ ˆ ˆ ˆc =v =3 t +2 t =6t 6a +v T T; T N

) ( )d ρ 2 =54 m


ACELERACIÓN NORMAL (aN) Y TANGENCIAL (at)

Una partícula está en un campo con aceleración a (t)= αsen (ωt) j + cos (ωt) k, donde α y ω son constantes. Inicialmente está en el punto r0=7π i+5 j+4 k, moviéndose en la dirección del eje x, con rapidez ω. A los 2 s su velocidad es v= π/4 i+4 j+ 4/π k. Todas las unidades son del SI. Calcule los vectores:a) Posición en cualquier instanteb)Velocidad media entre el punto inicial y cuando x = 9π m. Además la velocidad instantánea en este último punto.c)La aceleración media entre los puntos dados en b)d)Aceleración normal en t = 2 se)Aceleración tangencial en t = 2 s

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ0 0 0 2 2α 1 α 1Integrando: v=v - cos ωt j+ sen ωt k; y r=r +v t- sen ωt j- cos ωt kω ω ω ω

( ) 2 2

π 16 πt 16 16 πtˆ ˆ ˆr 0 r = 7π + t + 5 + 4t - sen + 4 + - cos4 π 4 π 4π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠a) Con i j k

( ) ( ) ( )m m

ˆ ˆπ +16r 8 r 0πb) x = 9 = 7π + t t = 8 s; v = v =4 8 - 0 4

i j ms

−⇒ ⇒

( ) ( ) παy4πω2vcony;j

ωαiωviω0v:como 0 ==⇒+=⇒=



( ) ( )( ) ( )( )2 2t Ne) a 2 = a 2 - a 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )π 44 π2 22 4

4 3 32 22 4

4

ˆ ˆ ˆ î + 4j + k × π kv 2 a 21d) v 2 = 4 ; = =v 2 4

ππ

ππ

ρ×

+ ++ +

( ) ( )

( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

22 2 2 2π4 44 4 π

N3 22 222 2 π 42 4 4 π4

π +v 21 m= a = =ρ s+ 4 +4

ππ

ππ

πρ

+⇒

+ +


MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

y

x

( x , y )

El movimiento en cada dimensión es independiente.

La trayectoria se encuentra en un plano, puede describirse por dos coordenadas, por ejemplo ( x , y )

La aceleración es constanteconstante.( )

x

y

z

a = ctea = ctea = cte

a t⎧⎪= ⎨⎪⎩

Movimiento ParabMovimiento Parabóólicolico

r

θ

2

0 0t= + t+ 2

ar r v

0= + tv v a


MOVIMIENTO DE PROYECTILES

Condiciones:Condiciones:2ˆ) a = g = -10 /ja m s

tierra) << RMaxb hc) Se desprecia el rozamiento

del aire

Eje x: Es MRU

Eje y: Es MRUV

x

y

2

0 0t= + t+ 2

gr r v

0= + tv v g

33



R = Alcance horizontal

Max

subida bajadat = tsubida bajada

=v vmáximaAlturahMax =

34



2gαsenv

2gv

h 022

020y

Max ==g

αsenvg

vt 000y

s ==

gαsen2v

g2v

t 000yv ==

g2αsenv

gv2v

R 0200y0x ==

x

y

vv

αtg =

Si v0=cte. ⇒ R es máximo si α0=45º



Un proyectil es lanzado con una rapidez de v0 = 75 m/s (ver fig). Si en el instante de lanzamiento empieza a soplar un viento que le imprime una aceleración a = 2 i+2 j m/s2. Si g = -10 k m/s2, determinea) El vector velocidad transcurridos 2 s del lanzamiento.b) En que punto caerá el proyectil.

x y

zg

0v37º

53º


MOVIMIENTO DE PROYECTILESUn cañón situado en el origen dispara un proyectil hacia un avión que vuela con aceleración a(t)=(3t+4)i+(2t+6)j+17k m/s2 . Si cuando el cañón dispara el avión pasa por el punto (0, -20, 60) y con velocidad v(t)=-3/2 i+7/3 j+13 k m/s. Halle la velocidad inicial para que el proyectil alcance al avión cuando el proyectil este justo en el punto mas alto de su trayectoria . (g= -10 k m/s2)


MOVIMIENTO CIRCULAR

Desplazamiento Angular (∆θ)

∆θ=θ2 – θ1 (rad)

La trayectoria es una circunferencia

Posición Angular (θ)

θ(t) (rad)


MOVIMIENTO CIRCULAR

a

( )0

∆θ dθω = lim rad/s∆ t dtx→

=

( )2

2 2c N

va = a = = ω r= ω v m /sr

( )d sv = ω r m /sd t

=( )Velocidad Angular ω

( )Rapidez v

( )CAceleración Normal a


MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

•La velocidad angular es constante •El módulo de la velocidad es constante, solo cambia de dirección.

•El módulo de la aceleración centrípeta o normal es constante.

( )ω=cte

0θ=θ +ωt

Periodo (T): tiempo empleado para dar una vuelta.

( )1ν= HzT

frecuencia

( )rad/sνπ2Tπ2ω ==


MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Gráficas (MCU)


MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)

•La aceleración angular es constante •El módulo de la aceleración tangencial es constante, solo cambia de dirección.

( )α = c te

Ecuaciones del (MCUV)

( )2

0

∆ ω d ωα = l i m r a d / s∆ t d tx →

=

0ω=ω +αt 210 0 2θ=θ +ω t+ αt

2 20ω =ω +2α∆θ 0

mω +ωω =

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

TAREA: Mostrar que:



Ta = α r

2 2N ta = a +a

t

N

aatgθ =

TAREA: Mostrar que:

t Na) a = α× r; b) a = ω× v



( )0 tv=v +a t 2'

( )210 0 t2s=s +v t+ a t 3'

( )2 20 tv =v +2a ∆ 4's

( )0m

v +vv = 1'2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


GRAFICAS MCUV

θ(rad)

t(s)0

Pendiente de la tangente es la velocidad

angular


MOVIMIENTO CIRCULARLa posición de una partícula que se mueve a lo largo de una circunferencia de radio 1 m, esta descrita por s(t) = t2 -6t + 2, donde s es la longitud medida en metros, recorrida por la partícula a lo largo de su trayectoria a partir de un origen conveniente, y t es el tiempo en segundos. Halle el instante y la magnitud de la aceleración en que la magnitud de la aceleración normal es de 16 m/s2.

Comparando con la ec. Teórica: m2s;sm6v;sm2a 002

t =−==

De la ec. de la aceleración normal:

2t6tavv t0 +−=+=

Cálculo de la aceleración: 2222N

2t sm16,12162aaa =+=+=

( ) s5tys1t12t616

Rva 00

20

2

N ==⇒+−

=⇒=

Cálculo de la velocidad:

1 s , corresponde cuando se mueve en sentido horario; el otro valor cuando se mueve en sentido contrario


MOVIMIENTO EN EL PLANO

i x

Coordenadas Polares (r,θ)

x = r cosθy = r senθ

⎧⎨⎩

x

y

θ

ruθu

j

vyr

2 2

-1

r = x yyθ = tanx

⎧ +⎪⎨ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩

r

θ

ˆ û = cosθ i + senθ jˆ û = -senθ i + cosθ j

⎧⎪⎨⎪⎩

rr θ

θθ r

ˆdu ˆ ˆ= u = θudtˆdu ˆ ˆ= u = -θ u

dt

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ec. de Transformación

Vectores unitarios

Vectores cinemáticos

rˆr = r u

r θˆ ˆv = r u + rθ u ( ) ( )2r θˆ â = r - rθ u + 2 rθ + rθ u


MOVIMIENTO EN EL PLANOUna partícula se mueve en el plano XY sobre una circunferencia de 10 m deradio según la ecuación S = t3 - 3t2 - 9t + 5 donde S es la longitud de arco (en m) y t es el tiempo (en segundos). Determine:a) Si es un MCUVb) La posición, velocidad y aceleración en función de vectores unitarios i y j.c) La posición velocidad y aceleración en función de los vectores unitarios uθ y ur.d) Los instantes en los cuales la aceleración tiene componente sólo tangencial y ¿Cuánto vale esta?e) Describa brevemente el movimiento de la partícula.


El movimiento curvilíneo plano de una partícula está en coordenadas polares por r =0,833t3 + 5t y θ = 0,3t2 , donde r está en cm , θ está en radianes y t en segundos. En el instante en que t = 2 s, determine las magnitudes de la velocidad , la aceleración y el radio de curvatura de la trayectoria.

MOVIMIENTO EN EL PLANO


BIBLIOGRAFÍA

• SEARS F, ZEMANSKY M., et al, Física vol1, 9na ed., Addison Wesley Longman, Mexico, 1999.

• CEPREUNI, Apuntes de clase, 2004.• FIIS-UNI, exámenes y prácticas anteriores

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