Velocidad Media, Velocidad Instantenea y Aceleracin

Universidad Nacional de Ancash Santiago Antnez de Mayolo INFORME DE LABORATORIO DE FSICA I FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

VELOCIDAD MEDIA, VELOCIDAD INSTANTNEA Y ACELERACINI) OBJETIVOS:

1.1.) Determinar la velocidad media de un mvil que se desplaza al lo largo de un plano inclinado.1.2.) Determinar la velocidad instantnea de un mvil (rueda de Maxwell), en un punto de su trayectoria.

1.3.) Determinar experimentalmente la aceleracin instantnea de un mvil con movimiento rectilneo uniforme variado.

1.4.) Utilizar correctamente las ecuaciones de movimiento variado.

II) MATERIAL A UTILIZAR:2.1.) Una rueda Maxwell.

2.2.) Una regla graduada en milmetros.

2.3.) Un cronometro.

2.4.) Un soporte con dos varillas paralelas.2.5.) Un tablero de madera con tornillos de nivelacin.

2.6.) Un nivel de burbuja.

2.7.) Papel y lpiz.

III) MARCO TERICO Y CONCEPTUAL 3.1.) Velocidad Media:

La velocidad entre dos puntos de la trayectoria de un mvil, se define como:

(1)donde: , representa el desplazamiento del mvil y , es el intervalo de tiempo mediante el cual se efecta el desplazamiento.3.2.) Velocidad Instantnea:

La velocidad instantnea en un punto cualquiera de la trayectoria se obtiene haciendo los intervalos de tiempo tan pequeos como sea posible, acercndose cada vez ms al punto en referencia, es decir:

(2) Para determinar la velocidad instantnea del mvil en el punto P de su trayectoria, basta medir las velocidades medias alrededor de dicho punto. La figura 1 muestra una pista formada por dos varillas inclinadas sobre la cual se encuentra en movimiento el eje de una volante desplazndose sin deslizar desde A hacia B, se determinan las velocidades medias en un tramo cada vez ms corto respecto al punto P, tanto a la izquierda: AP, A1 P, A2 P, A3 P, como por la derecha: PB1, PB2, PB3, PB.

Fig. Movimiento de un mvil sobre un plano inclinado

Un grafico de las velocidades medias ( x / t ), en funcin de los intervalos de tiempo t, se muestra en la figura 2, donde , es la velocidad media correspondiente al intervalo AP; es la velocidad media correspondiente al intervalo A1P; etc. Debe tenerse en cuenta que el mvil siempre inicia su movimiento partiendo del reposo en el punto A. De este grfico se puede encontrar la velocidad instantnea en el punto P al prolongar la recta hasta que corte en el eje vm (es decir cuando t 0), tal como se muestra en la figura2

Fig. 2. Grfico velocidad media en funcin del tiempo.Siguiendo el mismo procedimiento se procede con el tramo PB. En este caso el mvil tambin inicia su movimiento en el punto A. Trazando un grafico similar a la Fig. 2, se puede hallar el otro valor para la velocidad instantnea en el punto P (tericamente debera ser el mismo). Esta superposicin de grficos esta mostrado en la figura 3:

Para PB

Para APFig. 3. Grfico velocidad media en funcin del tiempo para ambos tramos AP y PB.Nota: El modulo de la velocidad (V) se denomina rapidez, grficamente la velocidad instantnea se representa en la forma tangencial de la trayectoria del movimiento.

3.3.) Aceleracin Instantnea:

Para encontrar la aceleracin de un mvil a lo largo del plano inclinado se grafican las velocidades instantneas en diferentes puntos de su trayectoria en funcin del tiempo. Las pendientes de dicha grafica nos dan la aceleracin. Para el logro de este objetivo se utiliza un procedimiento que permite encontrar la velocidad instantnea a partir de las velocidades medidas.

Consideremos el movimiento uniformemente variado de un mvil que partiendo del punto O pasa por A y B, como se ve en la figura 4.

Fig.4. Movimiento rectilneo unifrmenle variado de una partcula.La aceleracin media se define como:

(3)

Donde: y

La aceleracin instantnea se obtiene tomando valores ms y ms pequeos de t, y valores correspondientes ms y ms pequeos de v, de tal forma que:

(4)

Una relacin que involucra el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin a lo largo de la trayectoria esta dada por la ecuacin:

(5)Cuando la velocidad es constante, a = ac, cada una de las tres ecuaciones cinticas a = dv/dt; v = dx/dt; y a = v dv/dx pueden integrarse para obtener frmulas que relacionen: a, v, x, t. Para determinar la velocidad como una funcin del tiempo se integra la ecuacin (4), de la forma:

(6)Para determinar el desplazamiento como funcin del tiempo se integra la ecuacin (6) esto es:

(7)

Si el mvil parte desde el reposo en el origen de coordenadas, la ecuacin (7) se escribe:

(8)Para determinar la velocidad como una funcin del desplazamiento se integra la ecuacin (5) en la forma:

(9)Teniendo en cuenta que , la ecuacin (9) se escribe:

(10)Por otro lado se sabe que en un movimiento uniformemente variado la velocidad instantnea en el punto medio de AB de la figura 4 es:

(11)*Donde , es la velocidad instantnea en el tiempo:

(12)*

Reemplazando la ecuacin (11)* en la ecuacin (10), se obtiene:

(13)

Al sustituir la ecuacin (6) en la ecuacin (13), obtenemos:

(14)Que corresponde al valor de la velocidad media entre los puntos A y B. Esta velocidad media en el intervalo de tiempo mencionado es igual en igual en valor a la velocidad instantnea en el tiempo . Si se traza una grfica , como se muestra en la figura 5, la pendiente de la recta nos da el valor de la aceleracin instantnea.

Fig. 5. Grfico velocidad en funcin del tiempo para encontrar

la aceleracin instantnea 3.4.) Desaceleracin: Se utiliza cuando la rapidez (modulo de la velocidad) disminuye.

La aceleracin es representada por una cantidad positiva o negativa, un valor positivo (+) para indicar cuando la velocidad aumenta, esto puede indicar que la partcula se esta moviendo mas despacio en la direccin (-). Un valor negativo de la aceleracin indica que la velocidad disminuye esto puede significar que la partcula se esta moviendo mas lentamente en la direccin (+) mas rpidamente en la direccin negativa (-).V) METODOLOGI4.1.) Para determinar la velocidad instantnea:

a) Nivele el tablero horizontal mediante los tres pernos de apoyo, utilizando el nivel de burbuja.b) Coloque las barras paralelas en forma inclinada, buscando un ngulo apropiado de tal manera que la volante ruede sin deslizar por la pendiente.

c) Dividida el tramo AB en dos partes, una de longitud L/3 y otra 2L/3 y ubique el punto P tal como se muestra en la figura 6. A continuacin dividir los tramos AP y BP en cuatro partes iguales cada una.

d) Con la regla medir las distancias AP, A1P, A2P, A3P, en forma anloga las distancias PB, PB3, PB2, PB1, registrando sus valores en la tabla I.

e) Soltar la volante a partir del reposo en el punto A y con el cronometro medir el tiempo que demore la rueda en recorrer el tramo AP por cinco veces consecutivas. Registrando sus lecturas en la tabla I.

f) Dejando libre la volante desde el mismo punto de partida que para el caso anterior, medir los tiempos correspondientes a los tramos A1P, A2P, A3P, por cinco veces consecutivas para cada caso. Registre sus lecturas en la tabla I.g) Siempre poniendo en movimiento la rueda desde el mismo punto de partida que en los pasos c y d, meda por cinco veces los tiempos correspondientes a los tramos PB, PB3, PB2, PB1. Registrando sus valores en la tabla I.

(a)

(b)Fig. 6. Instalacin de la pista para encontrar: (a) velocidad instantnea.

(b) la aceleracin instantnea. Tabla I. Datos y clculos para determinar la velocidad instantnea.TramoDesplazamiento x Tiempo t (s)tVm = x/t (cm)

12345

AP1611,6611,6311,7611,4910,9311,4941,392

A1P125,45,665,745,865,845,72,105

A2P83,523,863,263,533,513,5362,262

A3P41,471,451,521,571,561,514

PB328,978,618,388,438,458,5683,735

PB3246,746,626,76,876,746,7343,564

PB2164,964,784,744,834,834,8283,314

PB182,812,692,622,572,582,6543,014

4.2.) Para determinar la aceleracin instantnea:a) Instale el equipo tal como se muestra en la figura 6b.

b) Divida el tramo a recorrer por la volante en puntos que estn situados a 7, 14, 21, 28, 35, 42 cm., respectivamente desde un origen comn A. Registre las medidas en la tabla II.

c) Suelte la volante a partir del reposo en el punto A y con el cronometro mida el tiempo que demora en recorrer el tramo AA1, por cinco veces consecutivas. Registre sus valores en la tabla II.

d) Dejando libre la volante en el mismo punto que el paso c, mida los tiempos correspondientes para los tramos AA2, AA3, AA4, AA5, AA6, etc. Registre sus valores en la tabla II.Tabla II. Datos y clculos para determinar a.TramoDesplazamientoTiempo t (s)viti'

(x (cm.)12345 (t(cm/s)(s)

AA176,596,596,446,506,606,5441,0623,272

AA2148,678,508,808,738,568,6521,6154,326

AA32110,8010,5210,5910,6010,7310,6481,9445,324

AA42812,0112,3212,0212,2012,2512,1602,3316,080

AA53513,7013,5313,4813,6013,5513,5722,5556,786

AA64215,0215,2015,1315,1515,115,1202,7967,560

e)Con los datos de la tabla II y las ecuaciones (12)* y (14)*, elabore la tabla III para determinar las velocidades instantneas en los puntos medios de los tramos AA1, AA2, AA3, AA4, AA5, AA6.Tabla III. Datos y clculos para determinar a.Tramo

AA11,0703,272

AA21,6184,326

AA31,9725,324

AA42,3036,08

AA52,5796,786

AA62,7787,56

V) CUESTIONARIO:5.1.) Para determinar la velocidad media E instantnea:a) Con los datos de la tabla I, trace en papel milimetrado una grfica velocidad media vm en funcin del intervalo de tiempo (t, y a partir de ella determine la velocidad instantnea del mvil en el punto P.1. Para el tramo AP:Tramo

DesplazamientoTiempo t (s)vm = (x/ (tDatos para la recta de ajuste

(x (cm.)12345(t (cm/s)(t(t.vm

AP1611,6611,6311,7611,4910,9311,4941,392132,11216

A1P125,45,665,745,865,845,72,10532,49012,00

A2P83,523,863,263,533,513,5362,26212,5038,0

A3P41,471,451,521,571,561,5142,6422,2924,00

(22,2448,402179,4040,0

a) Graficando por el mtodo de mnimos cuadrados

Donde:

(Nmero de medidas)

s

cm/s

cm.

s2

s2

cm/s

cm/s

Donde:

(Nmero de medidas)

s

cm/s

cm.

s2

s2

cm/s

cm/s Reemplazando tenemos :

b) Clculo del error absoluto para el tramo APTramo Datos de laboratorioRecta Ajustada(vm - vm ')

t (s)t (s2)vm (cm/s)t (s)vm' (cm/s)(cm2/s2)

AP11,494132,11,39211,4941,38440,000058

A1P5,732,492,1055,72,08366080,000467

A2P3,53612,52,2623,5362,34482760,0068

A3P1,5142,2922,6421,5142,58885680,0028

(22,244179,400,01014

Clculo del error absoluto de a

Donde:

cm/s

s2

s2

cm/s

cm/s Clculo del error absoluto de b

Donde:

cm/s

s2

s2

cm/s

cm/s

Entonces a y b son :

Por lo tanto las rectas ajustadas sern:

(a)

(b)

2. Para el tramo PB:Tramo

DesplazamientoTiempo t (s)vm = x/tDatos para la recta de ajuste

x (cm.)12345t (s)(cm/s)t (s2)t. vm (cm)

PB328,978,618,388,438,458,5683,73573,41132

PB3246,746,626,76,876,746,7343,56445,34724

PB2164,964,784,744,834,834,8283,31423,31016

PB182,812,692,622,572,582,6543,0147,0448

(22,78413,627149,11180

a) Graficando por el mtodo de mnimos cuadrados

Donde:

(Nmero de medidas)

s

cm/s

cm.

s2

s2

cm/s

cm/s

Donde:

(Nmero de medidas)

s

cm/s

cm.

s2

s2

cm/s

cm/s

Reemplazando tenemos:

b) Clculo del error absoluto para el tramo PBTramo Datos de laboratorioRecta Ajustada(vm - vm ') (cm2/s2)

t (s)t (s2)vm (cm/s)t (s)vm ' (cm/s)

PB8,56873,4113,7358,5683,7603095 0,00065

PB36,73445,3473,5646,7343,5345577 0,00087

PB24,82823,3103,3144,8283,29994330,0002

PB12,6547,0443,0142,6543,032340,0003

(22,784149,1110,002

Clculo del error absoluto de a

Donde:

cm/s

s2

s2

cm/s

cm/s

Clculo del error absoluto de b

Donde:

cm/s

s2

s2

cm/s

cm/s

Entonces a y b son :

Por lo tanto las rectas ajustadas sern:

(c)

(d)

3. P es la interseccin del as restas, hallamos las coordenadas de P: Igualamos las ecuaciones (a) y (c) :

a = c

s

Reemplazamos en (a) o en (c):

(e)

Igualamos las ecuaciones (b) y (d) :

b = d

s

Reemplazamos en (b) o en (d):

(f)

Las ecuaciones (e) y (f) nos indican las velocidades instantneas en el punto P:

cm/s

b) En que tramo se tiene mayor valor para la velocidad media y para cual el menor valor? Por qu?

- El mayor nmero para la velocidad media se encuentra en el tramo PB ya que

tiene velocidad y recorre una distancia mayor.

- El menor nmero para la velocidad media se encuentra en el tramo AP ya que

parte del reposo y recorre una distancia menor.

c) Qu importancia tiene que las rectas se crucen antes o despus del eje de coordenadas o sea cuando ?

5.2.) Para determinar la aceleracin instantnea:

a)Con los datos de la tabla II y utilizando la ecuacin (8), trazar en papel milimetrado una grafica de desplazamiento x, en funcin del intervalo de tiempo (t) y a partir de ella determine la aceleracin instantnea de la volante.

En este caso para analizar los datos hacemos un cuadro donde la ecuacin de la recta sea:

x = a0 + a1tTramoDesplazamientot (s)t (s)

(t) (s4)

t.x (cm.s)

x (cm)

AA176,54442,82391833,889299,768

AA2148,65274,8575603,5861047,999

AA32110,648113,38012855,0032380,978

AA42812,160147,86621864,2364140,237

AA53513,572184,19933929,3396446,971

AA64215,120228,61452264,5449601,805

(14766,696791,74128350,59723917,758

Hallando el valor de a0:

Donde:

cm

s2

s4

cm.s2

s2

cm

Hallando el valor de a1:

Donde:

cm

s2

s4

cm.s2

s2

cm/s Finalmente se obtiene la siguiente ecuacin:

Calculo del error absoluto de a0 y a1:

TramoDatos de laboratorioRecta ajustada((x - (x')

(t (s2)((t) (s4)(x (cm)(t (s2)(x (cm)(cm2)

AA142,8241833,889742,8247,62510,3908

AA274,8575603,5861474,85713,690,0963

AA3113,38012855,00321113,38020,9830,0003

AA4147,86621864,23628147,86627,5120,2382

AA5184,19933929,33935184,19934,3910,3712

AA6228,61452264,54442228,61442,80,6393

(791,740128350,5971,736

Para ao se tiene:

Donde.

cm2

s2

s4

s4

cmPara a1 se tiene:

Donde.

cm2

s2

s4

s4

cm/s2Entonces los errores de a0y a1 son:

(

(

Por lo tanto las rectas ajustadas sern:

Sabemos que la aceleracin es igual a la pendiente de la recta:

cm/s2

(()

cm/s2

(()De la ecuacin cinemtica tenemos:

(a)Tambin sabemos que:

(b)

De las ecuaciones (a) y (b) deducimos que:

(

Reemplazando en (() y ((), tenemos

cm/s2

cm/s2b)Con los datos de la tabla II, y usando la ecuacin (12)* y (14)* trace en papel milimetrado una grafica vi ti y a partir de ella determine el valor de la aceleracin instantnea de la rueda:

En este caso para analizar los datos hacemos un cuadro donde la ecuacin de la recta sea:

vi = a0 + a1(ti

Tramo(t (s)vi (cm/s)(ti' (s)(ti' (s2)(ti'.vi (cm)

AA16,5441,0703,27210,7063,500

AA28,6526,6417,59857,73050,461

AA310,64810,5219,65093,123101,528

AA412,16018,51911,404130,051211,185

AA513,57224,78812,866165,534318,916

AA615,12027,13214,346205,808389,233

(66,69688,67059,136662,9511074,823

Hallando el valor de a0:

Donde:

s

s2

cm/s

cm.s2

s2

cm Hallando el valor de a1:

Donde:

s

s2

cm/s

cm.s2

s2

cm/s Finalmente se obtiene la siguiente ecuacin:

Determinamos los errores absolutos de ao y a1:Tramo Datos de laboratorio(vi - vi) (cm/s)

(ti' (s)(ti' (s)

AA13,27210,7067,85581462

AA27,59857,7306,12219057

AA39,65093,12313,9926046

AA411,404130,0510,02013622

AA512,866165,5346,05498

AA614,346205,8081,19545162

(59.136662,95135,2411806

Para ao :

Donde:

cm2/s2

s

s2

s2

Para a1:

Donde:

cm2/s2

s

s2

s2

Entonces los valores son:

(

(

Por lo tanto las rectas ajustadas sern:

Los valores de a1 (pendiente de la recta) son las aceleraciones, entonces:

d) Compare los datos de aceleracin obtenida en a, b, c Cul cree usted que es mejor valor para la aceleracin?

Respuesta:

El mejor valor se obtuvo en a, ya que los valores de la aceleracin son casi iguales.

e) De que forma influye el ngulo de inclinacin de los rieles en la determinacin de la velocidad y la aceleracin instantnea? Cul fue el ngulo que utilizo en su experimento?.

Respuesta:

- Si el ngulo es demasiado grande la volante no rodara, sino mas bien se deslizara a travs de los rieles.

- Si el ngulo es muy pequeo, la rueda no la volante no lograra moverse adecuadamente y se detendra en intervalos de tiempo.

- Si el ngulo no es tan pequeo, ni tan grande la rueda podara sin deslizarse y producindome un movimiento adecuado.

-El ngulo que utilizamos fue 27.53.

f) Cules cree que son las posibles fuentes de error de su experimento? Enuncie y explique.

Respuesta:

- La pendiente: puesto que no permaneca constante debido al movimiento.

- Las distancias: puesto que no es preciso calcular el punto exacto de medida, puesto que el eje de la volante tiene cierto grosor.

-Los tiempos: existe un intervalo de tiempo pequeo que se demora en presionar el botn del cronometro.

VI) RECOMENDACIONES:6.1.) Cuide el ngulo de inclinacin de los rieles sea el apropiado, para esto haga varias pruebas antes de iniciar el experiencia.6.2.) En todas las graficas use el ajuste de mnimos cuadrados.

VII) BIBLIOGRAFA:7.1.) GIANVERNANDINO, V.

Teora de errores

Edit. Reverte. Espaa 19877.2.) SQUIRES, G. L.

Fsica prctica

Edit. Mc. Graw-Hill 19907.3.) GOLDEMBERG, J.

Fsica Gral. y experimental, Vol. I

Edit. Interamericana S.A. Mxico 1972

7.4.) SERWAY.

Fsica Vol. I (1993) p. 539 540.

Edit. Mc. Graw-Hill.7.5.) TIPLER.

Fsica Vol. I (1993) p. 517 518.

Edit. Reverte. EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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