Velocidad Media vs Velocidad Instantánea. Concepto de Límite
37
Conceptos y Herramientas para la Física Universitaria Dr. Genaro Zavala Enríquez • Ing. Rodolfo Fernández de Lara Hadad • Ing. José Rodrigo Salmón Folgueras Velocidad Instantánea y Derivadas Delimitación teórica parte 1
description
VELOCIDAD
Transcript of Velocidad Media vs Velocidad Instantánea. Concepto de Límite
-
Conceptos y Herramientas para la Fsica UniversitariaDr. Genaro Zavala Enrquez Ing. Rodolfo Fernndez de Lara Hadad Ing. Jos Rodrigo Salmn Folgueras
Velocidad
Instantnea y
Derivadas
Delimitacin
tericaparte 1
-
Velocidad
Instantnea
-
Descripcin del movimiento
x (m)
t (s)
-
Una mejor descripcin del movimiento no slo usando la posicin de la partcula.
Se necesita la velocidad media.
Necesidad
-
Descripcin
x (m)
t (s)
-
Una mejor descripcin del movimiento no slo usando la posicin de la partcula.
Se necesita la velocidad media.
Sin embargo, la velocidad media nos da una informacin incompleta.
Tenemos que incrementar el nmero de intervalos en que calculamos la velocidad media.
Necesidad
-
Descripcin
x (m)
t (s)
-
Una mejor descripcin del movimiento no slo usando la posicin de la partcula.
Se necesita la velocidad media.
Sin embargo, la velocidad media nos da una informacin incompleta.
Tenemos que incrementar el nmero de intervalos en que calculamos la velocidad media.
Lo ideal sera tener infinito nmero de intervalos en los cuales calculramos la velocidad media.
Esa necesidad nos lleva a la velocidad instantnea.
Necesidad
-
Velocidad media
Velocidad instantnea
-
Velocidad media
Velocidad instantnea
= lim0
media =
-
Qu significa numricamente?
= 2.02 3.0 (m)
ti tf x (ti) x (tf) Dx Dt vm
2 3 5 15 10 1 10
2 2.5 5 9.5 4.5 0.5 9
2 2.1 5 5.82 0.82 0.1 8.2
2 2.01 5 5.0802 0.0802 0.01 8.02
2 2.001 5 5.008002 0.008002 0.001 8.002
La velocidad instantnea en 2 segundos es 8.0 (m/s)
-
Qu significa grficamente?
x (m)
t (s)
-
x (m)
t (s)
media =62
31= 2 (m/s)
-
x (m)
t (s)
(3,6)
(1,2)
media =62
31= 2 (m/s)
-
Velocidad media entre 1 y 3 segundos
Velocidad media entre 1 y 3 segundos
(1,2)
(3,6)
t (s)
x (m)
media =62
31= 2 (m/s)
-
t (s)
x (m)
Velocidad media entre 1 y 2 segundos
-
t (s)
x (m)
En un intervalo muy pequeo se convierte en la pendiente de la recta
tangente
-
t (s)
x (m)
Velocidades en diferentes tiempos
-
Clculo de velocidad instantnea
Mtodo aproximado
Mtodo grfico
Mtodo analtico
-
Mtodo aproximado
Tenemos una ecuacin
= 2.002 1.00
Necesitamos la velocidad instantnea en un tiempo determinado
Calculemos la velocidad en tiempo igual a 1.00 (s)
-
Usemos un intervalo de 0.001 segundos, por ejemplo en el
intervalo de 1 a 1.001
= 2.002 1.00
1 = 1 1.001 = 1.003002
=0.003002
0.001= 3.002
La velocidad es de 3.00 (m/s)
-
Qu intervalo se debe escoger?
ti tf x (ti) x (tf) Dx Dt vm
1 1.1 1 1.32 0.32 0.1 3.2
1 1.01 1 1.0302 0.0302 0.01 3.02
1 1.001 1 1.003002 0.003002 0.001 3.002
1 1.0001 1 1.00030002 0.00030002 0.0001 3.0002
= 2.002 1.00
A tres cifras los ltimos dos resultados es el mismo as que la velocidad es 3.00 (m/s)
-
Mtodo grfico
t (s)
x (m)Calculemos la velocidad en dos segundos
-
t (s)
x (m)Localizamos el punto en la grfica en dos segundos
-
t (s)
x (m)
Trazamos una recta tangente
-
t (s)
x (m)
Localizamos dos puntos de la recta tangente
(2,8)
(1,4)
-
t (s)
x (m)Calculamos la pendiente de la recta tangente
(2,8)
(1,4)
=8 4
2 1= 4
-
t (s)
x (m)Calculamos la pendiente de la recta tangente
(2,8)
(1,4)
=8 4
2 1= 4
= 4 (m/s)
-
Se necesita la ecuacin de posicin
Se calcula la velocidad instantnea para todo tiempo, es decir, la funcin de velocidad instantnea
Se basa mucho en lgebra
Hacemos uso de la definicin de velocidad instantnea
Se toma un intervalo general desde un tiempo inicial t hasta un tiempo final t + e donde e es un valor muy pequeo.
Mtodo analtico
= lim0
-
Observa que el intervalo te queda
(t + e )-(t)=e
La velocidad queda
Vamos a hacer lo mismo slo que expresado de manera general.
= lim0
= lim
0
+
-
Calculemos la velocidad instantnea de un objeto que se mueve de acuerdo a la funcin de posicin siguiente:
= lim0
+
= 2.002 1.00
-
= lim0
+
= 2.002 1.00
Necesitamos +
+ = 2.00 + 2 1.00 +
+ = 2.00 2 + 2 + 2 1.00 1.00
+ = 2.002 + 4.00 + 2.002 1.00 1.00
-
= lim0
+
= 2.002 1.00
Necesitamos que es la misma ecuacin
= 2.002 1.00
-
= lim0
+
= 2.002 1.00
Necesitamos +
+ = 2.002 + 4.00 + 2.002 1.00 1.00 2.002 1.00
+ = 2.002 + 4.00 + 2.002 1.00 1.00 2.002 + 1.00
+ = 4.00 + 2.002 1.00
-
= lim0
+
= 2.002 1.00
Necesitamos
+
=4.00 + 2.002 1.00
+
+
= 4.00 + 2.00 1.00
-
= lim0
+
= 2.002 1.00
Calculamos entonces haciendo cero e
= 4.00 + 2.00 1.00 = lim0
+
= 4.00 1.00 (m/s)
= lim0
+
-
coursera.org/tecdemonterrey
D.R. Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Eugenio Garza Sada 2501, Col. Tecnolgico, Monterrey, N.L. C.P. 64849. Monterrey, N.L., Mxico, 2014.
Se prohbe la reproduccin total o parcial de este documento por cualquier medio sin el previo y expreso consentimiento por escrito del ITESM
