Movimiento en una dimensión

Curso de Física I

Contenido

Desplazamiento, velocidad y rapidezVelocidad instantáneaAceleraciónMovimiento con aceleración constanteCaida libre

Carrera de 100 m

Tiempo(s) Distamcia(m)

0.00 0

1.36 5

2.01 10

2.57 15

3.09 20

3.60 25

4.09 30

4.55 35

5.01 40

5.47 45

5.92 50

6.37 55

6.83 60

7.28 65

7.74 70

8.20 75

8.65 80

9.11 85

9.57 90

10.04 95

10.50 100

Carrera de 100m

0

20

40

60

80

100

120

0.00 5.00 10.00 15.00

Tiempo (s)

Dis

tan

cia

(m)

DesplazamientoSe define el desplazamiento de una partícula que se mueve de una coordenada inicial xi a una coordenada final xf como:

if xxx

El desplazamiento puede ser positivo o negativo dependiendo de los signos y magnitudes de las coordenadas inicial y final.

La distancia recorrida es la magnitud del desplazamiento.

Para el corredor anterior algunos distancias recorridas son:

Entre 0 y 2.01 s es 10 – 0 = 10 m

Entre 2.01 y 4.09 s es 30 – 10 = 20 m

Entre 5.01 y 10.5 s es 100 – 50 = 50 m

Rapidez mediaLa rapidez media es el cociente de la distancia total recorrida entre el intervalo de tiempo que toma en recorrerla.

tiempodetervaloinrecorridatotaldistacia

mediarapidez

Para el corredor anterior:

Entre 0 y 2.01 s la rapidez es: 10/2.01 = 4.975 m/s

Entre 2.01 y 4.09 s la rapidez es: (30–10)/(4.09–2.01) = 9.615 m/s

Entre 5.01 y 10.5 s la rapidez es: (100–40)/(5.01–10.5) = 10.93 m/s

VelocidadLa velocidad promedio es igual al desplazamiento total por intervalo de tiempo total:

if

if

ttt

xxxv

t

x

t(s)

x(m)

1 2 3

1

2

3

Movimiento de una partícula a velocidad constante.

La rapidez es la magnitud de la velocidad

Carrera de 100m

0

20

40

60

80

100

120

0.00 5.00 10.00 15.00

Tiempo (s)

Dis

tan

cia

(m)

La pendiente de las secantes es la magnitud de velocidad promedio en el intervalo.

Rapidez promedio:

5/1.36 = 3.68 m/s

Rapidez promedio:

5/(2.01–1.36) = 7.69 m/s

Velocidad instantáneaLa velocidad en cualquier instante del tiempo se llama velocidad instantánea.

La figura muestra como cambia vprom cuando t2 se aproxima a t1.

La velocidad instantánea en cualquier instante está dada como la pendiente de la tangente a la gráfica posición-tiempo en ese tiempo.

v

vprom

v'prom

v’’prom

t1 t’’2 t'2 t2

t

x

La velocidad instantánea v al tiempo t1 es la pendiente de la tangente a la curva en t1.

Esto se expresa matemáticamente como

dtd

txx

v

0tlim

es decir, la velocidad instantánea es igual a la derivada de la posición respecto al tiempo.

v > 0

v = 0

v < 0

x

t

La pendiente de la tangente puede encontrarse tomando dos puntos sobre la tangente. El signo de la velocidad instantánea indica la dirección del movimiento respecto al eje +x.

Proceso de límiteSe calcula la velocidad instantánea de una partícula cuando x(t)=3*t*t en t=3s

t t x vel. Promedio3 1 21 21 x =6t t +3 t 2̂3 0.5 9.75 19.53 0.25 4.6875 18.75 v =6t +3 t3 0.125 2.296875 18.3753 0.0625 1.13671875 18.18753 0.03125 0.565429688 18.093753 0.015625 0.281982422 18.0468753 0.0078125 0.140808105 18.02343753 0.00390625 0.070358276 18.011718753 0.001953125 0.035167694 18.005859383 0.000976563 0.017580986 18.00292969

t x0.00 0.000.50 0.751.00 3.001.50 6.752.00 12.002.50 18.753.00 27.003.50 36.754.00 48.004.50 60.755.00 75.005.50 90.756.00 108.00

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

x = x(t+t)–x(t)=3*(t+t)2–3t2

=3(t2+2tt+t2)–3t2

=6tt+3t2

Tangentes

TIEMPOS EN UNA CARRERA DE 100 MDistancia(m) Tiempo(s)

0 0.005 1.36

10 2.0115 2.5720 3.0925 3.6030 4.0935 4.5540 5.0145 5.4750 5.9255 6.3760 6.8365 7.2870 7.7475 8.2080 8.6585 9.1190 9.5795 10.04

100 10.50

Ejemplo: carrera de 100m

TareaEn 1971 Carl Lewis aventajó a Leroy Burrel en los campeonatos mundiales de Tokio, y estableció una nueva marca mundial de los 100 m planos. En la tabla de abajo aparecen los tiempos parciales de los dos, a intervalos de 10 m. Calcule la velocidad media de los dos competidores entre 0 y 50m, 50 y 100 m, y 0 y 100 m. Calcule la velocidad media de cada uno a los 50 m tomando los valores para 40 m y 60 m.

Tiempo(s)Distancia(m) Lewis Burrel

10 1.88 1.8320 2.96 2.8930 3.88 3.7940 4.77 4.6850 5.61 5.5560 6.46 6.4170 7.30 7.2880 8.13 8.1290 9.00 9.01

100 9.86 9.88

AceleraciónLa aceleración promedio en un intervalo finito de tiempo se define como

tiempodeIntervalo

velocidadlaenCambiopromedionAceleracio

t

va

La aceleración tiene unidades de velocidad divididas por unidades de tiempo, o sea, unidades de longitud por (tiempo)2.

La acelearción instantanea se define como:

av

t

dv

dt

lim

t 0

t

v

t(s)

v(m)

tf

xi

xf

En una gráfica velocidad-tiempo, la pendiente de la línea que une dos puntos es la aceleración promedio en ese intervalo de tiempo. La aceleración instantánea en un tiempo dado es la pendiente de la tangente a esa línea.

ti

a = dv/dt

aprom = v/t

Graficos de x, v y a

EjemploUn automóvil en muy mal estado solo puede acelerar hacia adelante a una tasa constante de 0.5 m/s2. ¿Qué distancia deberá recorrer para alcanzar las 50 mi/hr?

vf = 50mi/hr = (50mi/hr)(1609m/mi)(1hr/3600s) = 22.35 m/s

tf = vf /a = (22.35 m/s)/(0.5m/s2) = 44.69 s

Con la velocidad promedio podemos calcular la distancia recorrida. En este caso la velocidad promedio esvp = (vf + vi)/2 = vf /2

xf = vp tf = (vf /2) tf = (22.35/2 m/s)(44.69s) = 499.41 m

Gráficos x, v, a vs t

Una corredoraUna corredora de 100m acelera hasta llegar a 10 m/s a los 4 s de haber arrancado, mantiene es velocidad hasta los 8 s, y cuando sabe que va a ganar desacelera hasta 8m/s hasta el final de la carrera, que dura 12.7 s. ¿Cua´es la aceleración media en cada intervalo?

Tarea5. Obtenga la aceleración media en cada uno de los siguientes casos:

a) un avión Jumbo DC10 parte del reposo y alcanza su velocidad de despegue a 360 km/h en 50 s;

b) un avión jet Corsair naval llega a un portaaviones a 180 km/h y llega al reposo en 4 s por una red;

c) un cohete alcanza 1440 km/h en 2s.

d) Un estudiante alcanza los 8 m/s en 3s.

Movimiento con aceleración constante

Si la aceleración es constante se pueden hacer las siguientes simplificaciones:

if

if

tt

vva

Si en ti = 0 v = vo, entonces

t

vva o

o atvv o

Además, se cumple que

2

vvv o

(1)

(2)

De (1) y (2) con x = xo en t = 0

tvvxx oo )(21 (3)

De (1) y (3)

221 attvxx oo (4)

Eliminando t en (1) y (3)

)(2 020

2 xxavv (5)

Ecuaciones de cinemática

atvv o 2

vvv o

tvvxx oo )(21 2

21 attvxx oo

)(2 020

2 xxavv

EjemploUn nuño rueda una pelota de hule en un corredor alfombrado. Le imprime una velocidad inicial de 2 m/s, y la alfombra lo desacelera de forma constante a 0.2 m/s2. ¿Qué distancia recorre antes de detenerse y cuanto tiempo le toma detenerse?

Datosv0 = 2 m/sa = –0.2 m/s2

v = 0.0 m/s

)(2 020

2 xxavv

Para encontrar la distancia podemos usar

0 = (2 m/s)2+ 2(–0.2 m/s2)(x – 0 m)

x = 10 m

Para encontrar el tiempo podemos usar

atvv o

0 = (2 m/s)+ (-0.2 m/s2)t

t = 10 s

TareaUn automóvil viaja a 25 mi/h, y debe alcanzar como mínimo 45 mi/h en un carril de acceso de 300 m. ¿Cuál debe ser la aceleración constante del vehículo?

atvv o

2

vvv o

tvvxx oo )(21

221 attvxx oo

)(2 020

2 xxavv

Caida libreLa caída libre de un cuerpo es un caso de movimiento con aceleración constante. Las ecuaciones que describen este movimiento son

gtvv o

tvvyy oo )(21

221 gttvyy oo

)(2 020

2 yygvv

Donde g = 9.8 m/s2.

Ejemplo¿Cuánto tiempo tarde en caer una pelota desde una altura de 100m? ¿Cuál es la velocidad de la pelota al momento de tocar el suelo?

221 gttvyy oo

Datosv0 = 0 m/sy0 = 100 my = 0 mUsamos:

0 – 100 = (0 m/s)t – ½(9.8 m/s2)t2 t = 4.52 s

gtvv o

Para encontrar v usamos:

v = 0 m/s – (9.8 m/s2)(4.52 s) = –44.3 m/s

EjemploEn el ejemplo anterior ¿qué tiempo tarda en caer de 100 m a 75 m? ¿de 75m a 50 m? ¿de 50 m a 25 m? ¿de 25 m a 0 m?

221 gttvyy oo Usamos:

De 100 a 75 t2 = 2(100 m – 75 m)/(9.8 m/s2) = 5.10 s2

t = 2.26 sDe 100 a 50 t = 3.19 sDe 100 a 25 t = 3.91 sDe 100 a 0 t = 4.52 sLas diferencias son:De 100 a 75 t = 2.26 sDe 75 a 50 t = 0.93 sDe 50 a 25 t = 0.72 sDe 25 a 0 t = 0.61 s

EjemploEn el ejemplo anterior ¿Cuáles son las posiciones de la pelota en t igual a 1 s, 2 s, 3 s y 4s?

Usamos:2

21 gttvyy oo

Con y = 75 m, 50 m y 25 m y y0 = 100 mt = 1 y = (100 m) + (–9.8 m/s2)(1 s) 2/2 = 95.1 mt = 2 y = (100 m) + (–9.8 m/s2)(2 s) 2/2 = 80.4 mt = 3 y = (100 m) + (–9.8 m/s2)(3 s) 2/2 = 55.9 mt = 4 y = (100 m) + (–9.8 m/s2)(4 s) 2/2 = 21.6 m

EjemploUna flecha disparada verticalmente hacia arriba toca tierra 8 s más tarde. Halle: (a) su máxima altitud; (b) su velocidad inicial.

La flecha subió durante 4 s y bajo en los 4 s restantes. En 4 s un objeto cae

h = (9.8 m/s2)(4 s) 2/2 = 78.4 m

La velocidad que adquiere es

v = 0 m/s – (9.8 m/s2)(4.0 s) = –39.2 m/s

La velocidad inicial es de igual magnitud

Tarea

Una pelota de tenis es arrojada desde una altura de 5 m y rebota a una altura de 3.2 m. Si esta en contacto con el piso durante 0.036 s, ¿Cuál es su aceleración promedio durante ese periodo?