Mecanismo de

cuatro barras Análisis matemático por números complejos

Análisis de posición, velocidad y aceleración angular

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Cadenas cinema ticas y mecanismos

Los eslabones están interconec-

tados en pares en puntos de

contacto llamados juntas. Esa

parte de la superficie de los

eslabones la cual hace contacto

con otro eslabón es llamada un

elemento par. La combinación

de dos de estos elementos

constituye un par cinemático.

Nótese la diferencia entre un

par y una junta. Una junta co-

nectando dos eslabones consti-

tuye un par simple. Pares do-

bles, pares triples o pares múl-

tiples, en general, ocurren en

juntas donde tres, cuatro o más

eslabones están conectados.

Mecanismo de cuatro barras Análisis matemático por números

complejos

INTRODUCCIÓN

El mecanismo de cuatro barras es la cadena cinemá-

tica cerrada más simple de eslabones unidos con un

simple grado de libertad (después de unido un es-

labón). Mecanismos más complejos pueden ser

reinventados y mejorados por medio del uso de un

mecanismo de cuatro barras que maneje algún o

algunos otros. Debido a esta propiedad, y debido a

la amplia variedad de movimientos los cuales pue-

den ser generados directamente por mecanismos

de cuatro barras, ellos son a menudo encontrados

en el corazón de máquinas y subsistemas tales

como prensas, máquinas transportadoras, meca-

nismos de retornos rápidos, computadoras análogas

y generadores de funciones.

El estudio del mecanismo de cuatro barras está bien

justificado no sólo debido a sus diferentes aplica-

ciones directas, sino también debido a que la mayo-

ría de los problemas básicos encontrados en diver-

sos mecanismos generales llegan a ser más simples

y más entendibles en la aplicación del mecanismo

de cuatro barras.

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Análisis de posición

Figura 1. Mecanismo de cuatro barras

Para el mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura 1, sea a, b, c y d las literales que deno-

ten las longitudes de los eslabones 1, 2, 3 y 4, respectivamente. El eslabón fijo a es considerado el

eslabón 1. Los ángulos denotan la posición angular de los eslabones 2, 3 y 4,

respectivamente, y son considerados positivos cuando se miden en el sentido contrario de las

manecillas del reloj, como se muestra. La longitud de la diagonal desde A a D es denotada por s y

el ángulo que ésta hace con la línea OD es indicado como . El eslabón 2 es considerado como el

eslabón de entrada o manivela y su posición angular se asume que es conocida.

Los ángulos pueden ser encontrados como prosigue. Considere el triángulo OAD.

Entonces

√

(

)

Para el triángulo ABD,

(

)

(

)

Por observación de la configuración particular del mecanismo, los valores de y son notables.

( )

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Análisis de velocidad

Representemos los eslabones con vectores de posición . Entonces

Expresando estos vectores en forma exponencial

Por lo tanto

Si diferenciamos esta ecuación con respecto al tiempo y sea

Entonces

Las partes real e imaginaria de esta ecuación son

Este sistema de ecuaciones puede ser resuelto para como sigue:

Donde

Así, las velocidades angulares de los eslabones 3 y 4 pueden ser obtenidas conociendo la veloci-

dad angular del eslabón 2.

𝜔 𝑑𝜃

𝑑𝑡 𝜔

𝑑𝜃

𝑑𝑡 𝜔

𝑑𝜃

𝑑𝑡

(1)

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Análisis de aceleración Ahora consideraremos las aceleraciones. Diferenciando la ecuación (1) con respecto al tiempo y

sea

Obtenemos

( )

( )

( )

Expandiendo esta ecuación en términos de sus partes real e imaginaria, obtenemos dos ecuacio-

nes que pueden ser resueltas para . Haciendo esto y sustituyendo las ecuaciones de veloci-

dad angular en el resultado obtenemos

Estas ecuaciones dan las aceleraciones angulares de los eslabones 3 y 4, respectivamente.

Bibliografí a Martin, G. H. (1969). Kinematics and Dynamics of Machines (International Student Edition ed.). (S.

U. Karl H. Vesper, Ed.) Tokyo, kogakusha, ltd.: McGraw-Hill.

𝛼 𝑑𝜔

𝑑𝑡 𝛼

𝑑𝜔

𝑑𝑡 𝛼

𝑑𝜔

𝑑𝑡