26 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น บทนำ

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

บทน า

เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

โดย

อาจารย ดร.จณดษฐ ละออปกษณ อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

http://www.google.co.th/imgres?q=%E0%B8%AA%E0%B8%9E%E0%B8%90&um=1&hl=th&sa=N&rlz=1R2ADRA_enTH425&biw=1051&bih=687&tbm=isch&tbnid=srkh9z1q97NYlM:&imgrefurl=http://www.manager.co.th/Qol/ViewNews.aspx?NewsID=9540000014478&imgurl=http://www.manager.co.th/asp-bin/Image.aspx?ID=1799322&w=300&h=429&ei=oZ_TTbm5I42ougPb-Yi5DQ&zoom=1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

สอการสอน เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน มจ านวนตอนทงหมดรวม 7 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน 2. เนอหาตอนท 1 การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ

- ขนตอนวธการหาร - การหารลงตว - จ านวนเฉพาะ

3. เนอหาตอนท 2 ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย - ตวหารรวมมาก - ขนตอนวธของยคลด - จ านวนเฉพาะสมพทธ - ตวคณรวมนอย

4. แบบฝกหด (พนฐาน) 5. แบบฝกหด (ขนสง) 6. สอปฏสมพนธ เรอง ทฤษฎจ านวน 7. สอปฏสมพนธ เรอง ทฤษฎบทเศษเหลอของจน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


2

เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน หมวด บทน า จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนเขาใจทมา เกดความซาบซง เหนคณคาของคณตศาสตรเรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน ตระหนกถงความส าคญและประโยชน ตลอดจนบทประยกตของทฤษฎจ านวนเบองตน

วตถประสงคหลกของการจดท าสอบทน า: เพอใหผเรยนเกดแรงบนดาลใจในการเรยน

ไดเหนถงทมาและประโยชนของเนอหาทจะไดเรยนตอไป โดยมไดมงเนนทการทองจ าเนอหาหรอเรองราวตามทปรากฏในสอบทน า การใชสอบทน าจงควรใชเพยงประกอบในขนการน าเขาสบทเรยน หรอน าเสนอผเรยนกอนการจดการเรยนรในเนอหานนๆ และไมควรน าเนอหาในสอบทน าไปใชวดผลการศกษาหรอใชในการสอบ เพราะอาจท าใหการใชสอไมบรรลวตถประสงคทแทจรงตามทมาดหมายไว


3

บทสารคดและขอมลเพมเตม

“คณตศาสตร เปรยบดงราชนแหงวทยาศาสตร แลทฤษฎจ านวน กประดจเสมอดวยราชนแหงคณตศาสตร”

คารล ฟรดรซ เกาส

เจาชายแหงวงการคณตศาสตร


4

มนษยรจกน าจ านวนมาใชงานตงแตเมอครงบราณกาล ตงแตสมยทยงด ารงชพดวยการไลลาหาเกบ การรบรเชงจ านวนในเบองตน เชน การเปรยบเทยบความเทา ความไมเทา ความมาก ความนอย เปนสงทเกดขนไดโดยส านกของมนษยและนาจะรวมถงสตวชนสงบางประเภท ตอมาเมอมนษยมความเปนอารยะขน พฒนาการดานจ านวนกยงรดหนาขนนนกเปนเพราะความจ าเปนในการใชงานเพอรงสรรคสานตอความเปนอารยะนนเอง

เปนเรองธรรมดาทเชอไดวาเพราะความจ าเปนทตองใชการนบ เพอชวยบนทกจดจ าขอมลตางๆ ในชวตประจ าวนของมนษย เปนเหตใหจ านวนชดแรกทถกมนษยคนพบและน ามาใชงาน จงเปนจ านวนนบ หรอเรยกในอกชอวา จ านวนธรรมชาต ตามเหตแหงการบงเกด


5

ตอมาจงเกดการพฒนาแตกขยายจ านวนชดตางๆ ออกไปตามยคตามสมยและตามความจ าเปน การสรางสรรคความรใหม การตอยอดประสานความรเกา การแลกเปลยนเรยนรทงโดยทตงใจหรอดวยความบงเอญ การตดตอสอสารทงฉนทกลยาณมตรหรออรราชศตร สงเหลานลวนแตเปนเหตปจจยใหมนษยมจ านวนทหลากหลายอยางเพอรองรบการใชงานอยางในปจจบน


6

เพราะดวยความบรบรณของการเปนจ านวนทเตมหนวยเปนสงซงมเสนห งดงาม ชวนคนหา เหลาจงนาจะเปนเหตใหหลงจากทมนษยกาวขามพนจากการใชงานจ านวนในการด ารงชพขนพนฐาน มาสการเรยนรเพอพฒนาสตปญญา มนษยจงเลอกทจะศกษาทฤษฎจ านวนในฐานะทฤษฎทางคณตศาสตรเปนสาขาแรกๆ ซงนอกจากจะสามารถพฒนาปญญาความคดและน าไปประยกตใชงานไดจรงแลว ยงตอบสนองตอความเชอ หลกปรชญา โหราศาสตร หรอแมแตพธกรรมศกดสทธ ดงเชนทพทาโกรสแหง ซามอส นกทฤษฎจ านวนยคแรก เชอและสงสอนสานศษย วา

“ทกสรรพสงลวนแทนไดดวย จ านวน”

ทกสรรพสงลวนแทนดวยจ านวน หรอ ALL is number เปนค ากลาวของพทาโกรส ปราชญชาวกรก ผกอตงส านกพทาโกเรยน ซงเปนสถาบนทศกษาเกยวกบปรชญา ทฤษฎจ านวน เรขาคณต ดนตร และดาราศาสตร ส านกพทาโกเรยน มอทธพลมากทงในดานการเมองและดานการแสวงหาความรใหม โดยถอวาผลงานของสมาชก เปนผลงานของส านก ตวอยางผลงานของส านกพทาโกเรยน เชน ทฤษฎบท พทาโกรส การคนพบจ านวนอตรรยะ สมบตของจ านวนบางประเภท จ านวนเชงรปภาพ เปนตน ทงนในค ากลาวขางตน ค าวา จ านวน หมายถง จ านวนตรรกยะบวกและศนยเทานน


7

เพราะความงายในการเขาถงปญหาและความงดงามของการแกปญหา ทมไดจ ากดวาตองใชเพยงศาสตรชนสง จงท าใหการสานตองานของศาสตรสาขานเปนไปอยางตอเนอง คกคก และเกดขนทวทกมมโลก ในหวงแหงพฒนาการทนบเนองนานเนานน เพชรน างามเมดหนงทขบแสงจรสจรงดวยผลงานอนทรงคา และยงทรงอทธพลทางปญหาความคดตอโลกยคหลงยาวนานกวาสองพนป มหามณเมดนนกคอมหาบรษทชอ ยคลด แหงเกาะใหญเหนอแดนไอยคปต ซงขนานนามตามพระนามของพระเจา อเลกซานเดอร มหาราชผเกรยงไกร


8

ในผลงานชด the elements จ านวน 13 เลม ยคลดไดรวบรวม ประมวลมซงองคความรดานทฤษฎจ านวนในยคนน รวมทงผลงานทไดคดขนเอง โดยน ามาเรยบเรยงและจดจารจารกเปนต าราไวถง 3 เลม เนอหาทกลาวถง จ านวนเตมค จ านวนเตมค จ านวนเฉพาะ ขนตอนวธแบบยคลด ตวหารรวมมาก ตวคณรวมนอย ในต ารา 3 เลมนน ยงคงเปนทฤษฎบทส าคญทจ าเปนตองเรยนร และน าไปใชในงานคณตศาสตรในปจจบน หลงจากยคของยคลด ดวยเหตปจจยทแตกตางกนไปในแตละยคสมย ท าใหทฤษฎจ านวน พฒนาไปไดอยางเรวบาง ชาบาง แตกยงเกดขนอยางตอเนองควบคไปกบพฒนาการของคณตศาสตรสาขาอนๆ ความตอเนองนเกดขนไดกเพราะการสานงานตอยอดองคความรของนกทฤษฎจ านวนหลากหลายทาน

the elements จ านวน 3 เลม ทมเนอหาเกยวของกบทฤษฎจ านวน คอ the elements เลมท 7 8 และ 9 โดย the elements เลม 7 มเนอหากลาวถง จ านวนค จ านวนค จ านวนเฉพาะ จ านวนประกอบ จ านวนสมบรณ ขนตอนวธแบบยคลด the elements เลม 8 มเนอหากลาวถง สดสวนตอเนอง และความสมพนธของสดสวนตอเนองกบเรขาคณต และ the elements เลม 9 มเนอหากลาวถง ทฤษฎบททพสจนวาจ านวนเฉพาะมเปนอนนต ซงเปนทฤษฎบททโดดเดนในอบดบตนๆ the elements


9

อาท เอราโทสเทนสแหงไซรน (Eratosthenes of Cyrene 276 – 194 ป กอนครสตกาล) ปราชญบรรณารกษแหงหองสมดอะเลกซานเดรย ผรงสรรคตระแกรงรอนเพอคดกรองจ านวนเฉพาะ ไดโอแฟนทส แหงอะเลกซานเดรย (Diophantus of Alexandria ประมาณ ค.ศ. 200 – 284) ผซงเราทราบอายขยทแนชดเมอแกสมการตามบนทกปรศนาคณตศาสตรโบราณ และเปนผใหก าเนดสมการ ไดโอแฟนไทน สมการทมตวแปรมากกวาหนงตว มสมประสทธเปนจ านวนเตม และตองการหาผลเฉลยทเปนจ านวนเตม


10

ฟโบนกช (Leonardo of pisa Fibonacci ค.ศ. 1170 - 1250 ) ผเปนตนก าเนดล าดบฟโบนกช ล าดบมหศจรรยทสอดประสานไดลงตวกบปรากฏการณตางๆ ทางธรรมชาต

บนทกปรศนาคณตศาสตรโบราณ เกยวกบอายขยของไดโอแฟนทส ถอดความไดวา ไดโอแฟนทสมชวตชวงวยเดกเปนหนงสวนหกของชวต อกหนงสวนสบสองของชวตตอมาเปนชวงวยหนม และเมอผานไปอกหนงสวนเจดของชวตเขาไดแตงงาน ในปทหาหลงจากการแตงงานเขามลกชาย แตลกชายคนนนกมอายไดเพยงครงหนงของชวตเขา จากนนจงเปนชวงสปสดทายของชวต


11

ปแยร เดอ แฟรมา (Pierre de Fermat ค.ศ. 1601 – 1665) ขนนางราชส านกฝรงเศส ผเปนบดาแหงทฤษฎจ านวนสมยใหม และสบสานพฒนางานตอจากไดโอแฟนทส เลออนฮารด ออยเลอร(Loenhard Euler ค.ศ.1707-1783) ผสรางสรรคฟงคชนออยเลอร-ฟ ปราชญผมผลงานคณตศาสตรในหลากหลายสาขาและสามารถยดองคโยงเชอมความรทหลากหลายนนเขาไวดวยกน


12

คารล ฟรดรช เกาส (Carl Friedrich Gauss ค.ศ. 1777 - 1855) เจาชายแหงวงการคณตศาสตร ผพฒนาแนวคดของสมภาค หรอ คอนกรเอนซ (congruence) รามานจน (Srinivasa Ramanujan ค.ศ. 1887-1920) อจฉรยะจากชมพทวป ผศกษาคณตศาสตรดวยตนเอง เขามผลงานทางทฤษฎจ านวนมากมาย รวมกบ จ เอช ฮารด (Godfrey Harold Hardy ค.ศ. 1877 - 1947) ผเปดโอกาสใหกาวเขาสวงสงคมคณตศาสตร และท าใหโลกไดรจกกบชายผน


13

เออดอส (Paul Erdos ค.ศ. 1913 –1996) นกคณตศาสตรผใหบทพสจนทสวยงามของ ทฤษฎบทจ านวนเฉพาะ ทชวยใหสามารถทราบจ านวนโดยประมาณของจ านวนเฉพาะในขอบเขตทก าหนด นอกจากน เออดอส ยงไดผลตผลงานวจยทางคณตศาสตรไวกวา 1500 เรอง ซงถอวามากเปนอบตนๆ ของนกคณตศาสตรทงโลกตงแตอดตถงปจจบน


14

การสรางสรรคพฒนาองคความรทางทฤษฎจ านวน นอกจากจะตอบสนองตอความกระหายใครรของบรรดานกคณตศาสตรทงหลายแลว ส าหรบมนษยผอนในประชาคมโลก ทมไดมลมหายใจเขา-ออกเพอคณตศาสตร ทฤษฎจ านวนเกยวของกบเขาเหลานนหรอไม ทฤษฎจ านวนจะสามารถตอบสนองตอการสรางคณภาพชวตทดกวาในปจจบนไดอยางไร จ านวนเฉพาะ เปนสงทมหศจรรยทสดในทฤษฎจ านวน จ านวนเฉพาะคอจ านวนสากลทไมขนอยกบระบบการนบในฐานใด นนหมายความวา ไมวาจะเปนชาวบาบโลนทนบเลขฐาน 60 ชาวมายนทนบเลขฐาน 20 ตลอดจนคอมพวเตอรทนบเลขฐาน 2 หรอแมแตมนษยในดาราจกรอนทอาจจะมนวเพอนบเพยงขางละ 3 นว จ านวนเฉพาะอยางเชนทเรารจกน กจะยงคงเปน จ านวนเฉพาะของในทกอารยธรรม


15

ในหนงสอ the elements เลมท 9 ยคลด ไดแสดงบทพสจนทแสนสวยงามวา “มจ านวนเพาะเปนจ านวนอนนต” และเพราะวายงไมมผใดทคนพบหรอสามารถพสจนไดถงแบบรปของจ านวนเฉพาะ จงท าใหปรศนาของแบบรปของจ านวนเฉพาะน ถกน ามาใชในงานทเกยวของกบ ทฤษฎรหสลบ (Coding Theory)

ความตองการในการสอสารขอความทเปนความลบ และจ ากดวงของผรบสาร เรมพฒนากอตว ขนอยางหลวมๆ ตงแตเมอมนษยมความสมพนธทางสงคมทซบซอนขน รหสลบถกน ามาใชเพอสนองตอ ความตองการน

จเลยส ซซาร (Julius Caesar 100 – 44 ปกอนครสตกาล ) รฐบรษโรมนไดน ากองทพทยงใหญเคลอนทพไปทางทศตะวนตกเฉยงเหนอ เขารกรานเกาะเลกๆ เกาะหนง ซงในปจจบนรจกกนในนาม เกาะองกฤษ สงครามในครงนนมหลกฐานบนทกวา จเลยส ซซาร ไดใชรหสลบในการตดตอสอสารกบกองทพและทหารของเขา


16

รหสลบทในครงนน เปนรหสลบอยางงายทใชเพยงการน าเศษทไดจากการหารมาสรางเปนรหส ความลบจกยงคงเปนความลบ ตราบเทาทวธการถอดรหสยงไมไดรบการเปดเผย วธการถอดรหสหรอ กญแจถอดรหส จงเปนสงทส าคญทสดในการสรางและถอดรหสลบแบบน

ระหวางสงครามโลกครงทสอง กองทพฝายอกษะของเยอรมนไดสรางเครองเขารหสลบ ทรจกกนในชอวา อนกมา (Enigma) ตอมาภายหลงความลบของเครองน ไดถกเปดเผยโดยความพยายามอยางยงยวดของฝายสมพนธมตร ความลบ ไมเปนความลบอกตอไป แตความลบทเพงถกเปดเผยน ยงคงเปนความลบทฝายอกษะไมร


17

การไขความลบครงน นบไดวาปจจยส าคญอกประการหนงทท าใหโลกครงทสองไดยตลง และทฤษฎจ านวนกเปนคณตศาสตรอกสาขาหนงทเกยวของกบการเขารหสและการถอดของเครองจกรชนดน แมวาทฤษฎรหสลบ จะเรมตนพฒนาและถกน าไปใชในงานทเกยวของกบ สงคราม แตภายหลงแนวคดนไดถกน ามาใชในงานดานอนทตองการรกษาความลบและความปลอดภย เชนกน

ในปจจบนการแสดงถงตวตนทแทจรงของบคคล ในโลกทก าลงขบเคลอนอยางรวดเรวดวยเทคโนโลยและวทยาการทล าหนา เปนสงจ าเปน ในวงการเงนการธนาคารจงไดน าทฤษฎจ านวนและทฤษฎรหสลบ มาใชในเพอตอบสนองตอความตองการน การใชงานนสะทอนไดจากการน าสมบตเฉพาะของจ านวนเฉพาะมาสราง เพอเปนรหสลบ RSA


18

สงเหลามไดเปนเรองไกลตวเราเลย เราไดใชงานรหส RSA อยทงทอาจจะรตวหรอไมรตว เพราะในการก าหนดและไขความลบทแสดงตวตนเพยงหนงเดยวของเจาของบตร ATM หรอบตรเครดต ตางๆ กลวนแตตองใชองคความรดานทฤษฎจ านวนอยทงสน

รหสลบ RSA มแนวคดเบองตนจากการน าจ านวนเฉพาะทมคามากสองจ านวนมาคณกน ซงผลลพธทไดยอมเปนจ านวนทมคามาก และเนองจากสมบตของจ านวนเฉพาะและปรมาณของจ านวนเฉพาะทมมากมายเปนอนนต ส าหรบผทไมไดเปนผก าหนดจ านวนเฉพาะทงสองแลว ยอมเปนเรองยากมากทจะสบคนยอนกลบไปไดวาจ านวนเฉพาะสองจ านวนทคณกนไดผลลพธนนคอจ านวนใด


19

“พระเปนเจาสรางไวกแตเฉพาะจ านวนเตม นอกนน ฝมอมนษยลวนๆ”

เลโอพอลด โครเนคเคอร


20

ภาคผนวกท 1 แผนภาพแสดงความสมพนธ เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน


21

ล าดบและอนกรม

จ านวนเฉพาะ

ทฤษฎบทหลกมลทางเลขคณต

ความหมายและวธการหาตวหารรวมมาก

ขนตอนวธของยคลด

โจทยประยกตตวหารรวมมาก

ทฤษฎบททเกยวของ

การเขยนแสดงจ านวนในรปตวเลขฐานตางๆ

การหารลงตว

ขนตอนวธการหาร

ตวหารรวมมาก

จ านวนเฉพาะสมพทธและทฤษฎบททเกยวของ

ตวคณรวมนอย

ความหมายและวธการหาตวคณรวมนอย

โจทยประยกตตวคณรวมนอย

ความสมพนธระหวาง ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย


22

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


23

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


24


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


25


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

26 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น บทนำ

Documents

Transcript of 26 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น บทนำ