7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 1/26

 

ค มอประกอบส อการสอน วชาคณตศาสตร 

บทนา 

เร อง ทฤษฎจานวนเบ  องตน 

 โดย 

อาจารย ดร.จณดษฐ  ละออปักษณ

อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ 

ส อการสอนชดน   เปนความรวมมอระหวาง 

คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข  นพ  นฐาน (สพฐ.) 

กระทรวงศกษาธการ 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 2/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

1

ส อการสอน เร อง ทฤษฎจานวนเบ  องตน 

ส อการสอน เร อง ทฤษฎจานวนเบ องตน มจานวนตอนท งหมดรวม 7 ตอน ซ งประกอบดวย 

1. บทนา เร อง ทฤษฎจานวนเบ  องตน 

2. เน  อหาตอนท  1 การหารลงตวและจานวนเฉพาะ 

- ข นตอนวธการหาร 

- การหารลงตว 

- จานวนเฉพาะ 

3. เน  อหาตอนท  2 ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย 

- ตวหารรวมมาก 

- ข นตอนวธของยคลด 

- จานวนเฉพาะสมพทธ - ตวคณรวมนอย 

4. แบบฝกหด (พ  นฐาน) 

5. แบบฝกหด (ข  นสง) 

6. ส อปฏสมพนธ เร อง ทฤษฎจานวน 7. ส อปฏสมพนธ เร อง ทฤษฎบทเศษเหลอของจน 

คณะผ  จดทาหวงเปนอยางย งวา ส อการสอนชดน จะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนสาหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนท ใชส อชดน รวมกบการเรยนการสอน วชาคณตศาสตร เร อง ทฤษฎจานวนเบ องตน นอกจากน หากทานสนใจส อการสอนวชาคณตศาสตรในเร องอ นๆท คณะผ  จดทาไดดาเนนการไปแลว ทานสามารถดช อเร อง และช อตอนไดจากรายช อส อการสอนวชาคณตศาสตรท งหมดในตอนทายของ

ค มอฉบบน  

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 3/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

2

เร อง ทฤษฎจานวนเบ องตน 

หมวด  บทนา 

จดประสงคการเรยนร   เพ อใหผ  เรยนเขาใจท มา เกดความซาบซ ง เหนคณคาของคณตศาสตรเร อง ทฤษฎจานวนเบ องตน 

ตระหนกถงความสาคญและประโยชน ตลอดจนบทประยกตของทฤษฎจานวนเบ องตน 

วตถประสงคหลกของการจดทาส อบทนา: เพ อใหผ  เรยนเกดแรงบนดาลใจในการเรยนไดเหนถงท มาและประโยชนของเน อหาท จะไดเรยนตอไป โดยมไดม งเนนท การทองจาเน อหาหรอเร องราวตามท ปรากฏในส อบทนา การใชส อบทนาจงควรใชเพยงประกอบในข นการนาเขาส บทเรยน หรอนาเสนอผ  เรยนกอนการจดการเรยนร  ในเน อหาน นๆ และไมควรนาเน อหาในส อบทนาไปใชวดผลการศกษาหรอใชในการสอบ เพราะอาจทาใหการใชส อไมบรรลวตถประสงคท แทจรงตามท มาดหมายไว

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 4/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

3

บทสารคดและขอมลเพ มเตม 

“คณตศาสตร เปรยบด งราชนแหงวทยาศาสตร แลทฤษฎจานวน กประดจเสมอดวยราชนแหงคณตศาสตร” 

คารล ฟรดรซ เกาสเจาชายแหงวงการคณตศาสตร 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 5/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

4

มนษยร  จกนาจานวนมาใชงานต งแตเม อคร งบราณกาล ต งแตสมยท ยงดารงชพดวยการไลลาหาเกบการรบร  เชงจานวนในเบ องตน เชน การเปรยบเทยบความเทา ความไมเทา ความมาก ความนอย เปนส งท เกดข นไดโดยสานกของมนษยและนาจะรวมถงสตวช นสงบางประเภท ตอมาเม อมนษยมความเปนอารยะ

ข น พฒนาการดานจานวนกย งรดหนาข นน นกเปนเพราะความจาเปนในการใชงานเพ อรงสรรคสานตอความเปนอารยะน นเอง 

เปนเร องธรรมดาท เช อไดวาเพราะความจาเปนท ตองใชการนบ เพ อชวยบนทกจดจาขอมลตางๆในชวตประจาวนของมนษย เปนเหตใหจานวนชดแรกท ถกมนษยคนพบและนามาใชงาน จงเปนจานวนนบ หรอเรยกในอกช อวา จานวนธรรมชาต ตามเหตแหงการบงเกด 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 6/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

5

ตอมาจงเกดการพฒนาแตกขยายจานวนชดตางๆ ออกไปตามยคตามสมยและตามความจาเปน การสรางสรรคความร  ใหม การตอยอดประสานความร  เกา การแลกเปล ยนเรยนร  ท งโดยท ต งใจหรอดวยความบงเอญ การตดตอส อสารท งฉนทกลยาณมตรหรออรราชศตร ส งเหลาน ลวนแตเปนเหตปัจจยใหมนษยมจานวนท หลากหลายอยางเพ อรองรบการใชงานอยางในปัจจบน

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 7/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

6

เพราะดวยความบรบรณของการเปนจานวนท เตมหนวยเปนส งซ งมเสนห งดงาม ชวนคนหา เหลาจงนาจะเปนเหตใหหลงจากท มนษยกาวขามพนจากการใชงานจานวนในการดารงชพข นพ นฐาน มาส การ

เรยนร  เพ อพฒนาสตปัญญา มนษยจงเลอกท จะศกษาทฤษฎจานวนในฐานะทฤษฎทางคณตศาสตรเปนสาขาแรกๆ ซ งนอกจากจะสามารถพฒนาปัญญาความคดและนาไปประยกตใชงานไดจรงแลว ยงตอบสนองตอความเช อ หลกปรชญา โหราศาสตร  หรอแมแตพธกรรมศกด สทธ  ดงเชนท พทาโกรสแหงซามอส นกทฤษฎจานวนยคแรก เช อและส งสอนสานศษย วา 

“ทกสรรพส งลวนแทนไดดวย จานวน” 

ทกสรรพส งลวนแทนดวยจานวน หรอ ALL is number เปนคากลาวของพทาโกรส ปราชญชาวกรกผ  กอต งสานกพทาโกเรยน ซ งเปนสถาบนท ศกษาเก ยวกบปรชญา ทฤษฎจานวน เรขาคณต ดนตร  และดาราศาสตร สานกพทาโกเรยน มอทธพลมากท งในดานการเมองและดานการแสวงหาความร  ใหม โดยถอวาผลงานของสมาชก เปนผลงานของสานก ตวอยางผลงานของสานกพทาโกเรยน เชน ทฤษฎบทพทาโกรส การคนพบจานวนอตรรยะ สมบตของจานวนบางประเภท จานวนเชงรปภาพ เปนตน ท งน 

ในคากลาวขางตน คาวา จานวน หมายถง จานวนตรรกยะบวกและศนยเทาน น

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 8/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

7

เพราะความงายในการเขาถงปัญหาและความงดงามของการแกปัญหา ท มไดจากดวาตองใชเพยงศาสตรช นสง จงทาใหการสานตองานของศาสตรสาขาน เปนไปอยางตอเน อง คกคก และเกดข นท วทกมมโลก ในหวงแหงพฒนาการท นบเน องนานเนาน น เพชรน  างามเมดหน งท ขบแสงจรสจรงดวยผลงานอนทรงคา และยงทรงอทธพลทางปัญหาความคดตอโลกยคหลงยาวนานกวาสองพนป มหามณเมดน นกคอมหาบรษท ช อ ยคลด แหงเกาะใหญเหนอแดนไอยคปต  ซ งขนานนามตามพระนามของพระเจาอเลกซานเดอร มหาราชผ  เกรยงไกร 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 9/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

8

ในผลงานชด  the elements จานวน 13 เลม ยคลดไดรวบรวม ประมวลมซ งองคความร  ดานทฤษฎจานวนในยคน น รวมท งผลงานท ไดคดข นเอง โดยนามาเรยบเรยงและจดจารจารกเปนตาราไวถง 3 เลมเน อหาท กลาวถง จานวนเตมค  จานวนเตมค   จานวนเฉพาะ ข นตอนวธแบบยคลด ตวหารรวมมาก ตว

คณรวมนอย ในตารา 3 เลมน น ยงคงเปนทฤษฎบทสาคญท จาเปนตองเรยนร   และนาไปใชในงานคณตศาสตรในปัจจบน 

หลงจากยคของยคลด ดวยเหตปัจจยท แตกตางกนไปในแตละยคสมย ทาใหทฤษฎจานวน พฒนาไปไดอยางเรวบาง ชาบาง แตกยงเกดข นอยางตอเน องควบค ไปกบพฒนาการของคณตศาสตรสาขาอ นๆความตอเน องน เกดข นไดกเพราะการสานงานตอยอดองคความร  ของนกทฤษฎจานวนหลากหลายทาน

the elements จานวน 3 เลม ท มเนอหาเก ยวของกบทฤษฎจานวน คอ  the elements  เลมท   7 8 และ 9โดย the elements  เลม 7 มเน อหากลาวถง จานวนค  จานวนค   จานวนเฉพาะ จานวนประกอบ จานวนสมบรณ  ข นตอนวธแบบยคลด the elements  เลม 8 มเน อหากลาวถง สดสวนตอเน อง และความสมพนธของสดสวนตอเน องกบเรขาคณต และ the elements เล ม 9 มเน อหากลาวถง ทฤษฎบทท พสจนวาจานวนเฉพาะมเปนอนนต ซ งเปนทฤษฎบทท โดดเดนในอบดบตนๆ the elements 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 10/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

9

อาท  เอราโทสเทนสแหงไซรน (Eratosthenes of Cyrene 276  –   194 ป  กอนครสตกาล) ปราชญบรรณารกษแหงหองสมดอะเลกซานเดรย ผ  รงสรรคตระแกรงรอนเพ อคดกรองจานวนเฉพาะ 

ไดโอแฟนทส แหงอะเลกซานเดรย (Diophantus of Alexandria ประมาณ ค.ศ. 200 –  284) ผ  ซ งเราทราบอายขยท แนชดเม อแกสมการตามบนทกปรศนาคณตศาสตรโบราณ และเปนผ  ใหกาเนดสมการไดโอแฟนไทน  สมการท มตวแปรมากกวาหน งตว มสมประสทธ เปนจานวนเตม และตองการหาผลเฉลยท 

เปนจานวนเตม 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 11/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

10

ฟโบนกช (Leonardo of pisa Fibonacci ค.ศ. 1170 - 1250 ) ผ  เปนตนกาเนดลาดบฟโบนกชลาดบมหศจรรยท สอดประสานไดลงตวกบปรากฏการณตางๆ ทางธรรมชาต 

บนทกปรศนาคณตศาสตรโบราณ เก ยวกบอายขยของไดโอแฟนทส ถอดความไดวา ไดโอแฟนทสมชวตชวงวยเดกเปนหน งสวนหกของชวต อกหน งสวนสบสองของชวตตอมาเปนชวงวยหน ม และเม อผานไปอกหน งสวนเจดของชวตเขาไดแตงงาน ในปท หาหลงจากการแตงงานเขามลกชาย แตลกชายคนน นกมอายไดเพยงคร งหน งของชวตเขา จากน นจงเปนชวงส ปสดทายของชวต 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 12/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

11

ปแยร  เดอ แฟรมา (Pierre de Fermat ค.ศ. 1601 –  1665) ขนนางราชสานกฝร งเศส ผ  เปนบดาแหงทฤษฎจานวนสมยใหม และสบสานพฒนางานตอจากไดโอแฟนทส 

เลออนฮารด ออยเลอร(Loenhard Euler ค.ศ.1707-1783) ผ  สรางสรรคฟังคชนออยเลอร-ฟ ปราชญผ  มผลงานคณตศาสตรในหลากหลายสาขาและสามารถยดองคโยงเช อมความร  ท หลากหลายน นเขาไว

ดวยกน 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 13/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

12

คารล ฟรดรช เกาส  (Carl Friedrich Gauss ค.ศ. 1777 -  1855) เจาชายแหงวงการคณตศาสตรผ  พฒนาแนวคดของสมภาค หรอ คอนกรเอนซ (congruence) 

รามานจน (Srinivasa Ramanujan ค.ศ. 1887-1920) อจฉรยะจากชมพทวป ผ  ศกษาคณตศาสตรดวยตนเอง เขามผลงานทางทฤษฎจานวนมากมาย รวมกบ จ  เอช ฮารด  (Godfrey Harold Hardy  ค.ศ. 1877 - 

1947) ผ  เปดโอกาสใหกาวเขาส วงสงคมคณตศาสตร และทาใหโลกไดร  จกกบชายผ  น  

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 14/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

13

เออดอส (Paul Erdos ค.ศ. 1913 – 1996) นกคณตศาสตรผ  ใหบทพสจนท สวยงามของ ทฤษฎบทจานวนเฉพาะ ท ชวยใหสามารถทราบจานวนโดยประมาณของจานวนเฉพาะในขอบเขตท กาหนดนอกจากน   เออดอส ยงไดผลตผลงานวจยทางคณตศาสตรไวกวา 1500 เร อง ซ งถอวามากเปนอบตนๆ ของนกคณตศาสตรท งโลกต งแตอดตถงปจัจบน 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 15/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

14

การสรางสรรคพฒนาองคความร  ทางทฤษฎจานวน นอกจากจะตอบสนองตอความกระหายใครร  ของบรรดานกคณตศาสตรท งหลายแลว สาหรบมนษยผ  อ นในประชาคมโลก ท มไดมลมหายใจเขา-ออกเพ อคณตศาสตร  ทฤษฎจานวนเก ยวของกบเขาเหลาน นหรอไม ทฤษฎจานวนจะสามารถตอบสนองตอการ

สรางคณภาพชวตท ดกวาในปัจจบนไดอยางไร 

จานวนเฉพาะ เปนส งท มหศจรรยท สดในทฤษฎจานวน  จานวนเฉพาะคอจานวนสากลท ไมข นอย กบระบบการนบในฐานใด น นหมายความวา ไมวาจะเปนชาวบาบโลนท นบเลขฐาน 60 ชาวมายนท นบเลขฐาน 20 ตลอดจนคอมพวเตอรท นบเลขฐาน 2 หรอแมแตมนษยในดาราจกรอ นท อาจจะมน วเพ อนบเพยงขางละ 3 น ว จานวนเฉพาะอยางเชนท เราร  จกน  กจะยงคงเปน จานวนเฉพาะของในทกอารยธรรม 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 16/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

15

ในหนงสอ the elements เลมท   9 ยคลด ไดแสดงบทพสจนท แสนสวยงามวา “มจานวนเพาะเปนจานวนอนนต” และเพราะวายงไมมผ  ใดท คนพบหรอสามารถพสจนไดถงแบบรปของจานวนเฉพาะ จงทาใหปรศนาของแบบรปของจานวนเฉพาะน  ถกนามาใชในงานท เก ยวของกบ ทฤษฎรหสลบ (Coding

Theory) 

ความตองการในการส อสารขอความท เปนความลบ และจากดวงของผ  รบสาร เร มพฒนากอตว  ข นอยางหลวมๆ ต งแตเม อมนษยมความสมพนธทางสงคมท ซบซอนข น รหสลบถกนามาใชเพ อสนองตอ  ความตองการน  

จเลยส ซซาร  (Julius Caesar 100  – 44 ปกอนครสตกาล ) รฐบรษโรมนไดนากองทพท ย งใหญ

เคล อนทพไปทางทศตะวนตกเฉยงเหนอ เขารกรานเกาะเลกๆ เกาะหน ง ซ งในปัจจบนร  จกกนในนาม เกาะองกฤษ สงครามในคร งน นมหลกฐานบนทกวา จเลยส ซซาร  ไดใชรหสลบในการตดตอส อสารกบกองทพและทหารของเขา 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 17/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

16

รหสลบท ในคร งน น เปนรหสลบอยางงายท ใชเพยงการนาเศษท ไดจากการหารมาสรางเปนรหสความลบจกยงคงเปนความลบ ตราบเทาท วธการถอดรหสยงไมไดรบการเปดเผย วธการถอดรหสหรอ 

กญแจถอดรหส จงเปนส งท สาคญท สดในการสรางและถอดรหสลบแบบน 

ระหวางสงครามโลกคร งท สอง กองทพฝายอกษะของเยอรมนไดสรางเคร องเขารหสลบ ท ร  จกกนในช อวา อนกมา (Enigma) ตอมาภายหลงความลบของเคร องน  ไดถกเปดเผยโดยความพยายามอยางย งยวด

ของฝายสมพนธมตร ความลบ ไมเปนความลบอกตอไป แตความลบท เพ งถกเปดเผยน  ยงคงเปนความลบท ฝายอกษะไมร   

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 18/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

17

การไขความลบคร งน  นบไดวาปัจจยสาคญอกประการหน งท ทาใหโลกคร งท สองไดยตลง และทฤษฎจานวนกเปนคณตศาสตรอกสาขาหน งท เก ยวของกบการเขารหสและการถอดของเคร องจกรชนดน แมวาทฤษฎรหสลบ จะเร มตนพฒนาและถกนาไปใชในงานท เก ยวของกบ สงคราม แตภายหลงแนวคดน ไดถกนามาใชในงานดานอ นท ตองการรกษาความลบและความปลอดภย เชนกน 

ในปัจจบนการแสดงถงตวตนท แทจรงของบคคล ในโลกท กาลงขบเคล อนอยางรวดเรวดวยเทคโนโลยและวทยาการท ล  าหนา เปนส งจาเปน ในวงการเงนการธนาคารจงไดนาทฤษฎจานวนและทฤษฎรหสลบ มาใชในเพ อตอบสนองตอความตองการน  การใชงานน สะทอนไดจากการนาสมบตเฉพาะของจานวนเฉพาะมาสราง เพ อเปนรหสลบ RSA

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 19/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

18

ส งเหลามไดเปนเร องไกลตวเราเลย เราไดใชงานรหส RSA อย ท งท อาจจะร  ตวหรอไมร  ตว เพราะในการ

กาหนดและไขความลบท แสดงตวตนเพยงหน งเดยวของเจาของบตร ATM หรอบตรเครดต ตางๆ กลวนแตตองใชองคความร  ดานทฤษฎจานวนอย ท งส น 

รหสลบ RSA  มแนวคดเบองตนจากการนาจานวนเฉพาะท มคามากสองจานวนมาคณกน ซ งผลลพธท ไดยอมเปนจานวนท มคามาก และเน องจากสมบตของจานวนเฉพาะและปรมาณของจานวนเฉพาะท ม

มากมายเปนอนนต  สาหรบผ  ท ไมไดเปนผ  กาหนดจานวนเฉพาะท งสองแลว ยอมเปนเร องยากมากท จะสบคนยอนกลบไปไดวาจานวนเฉพาะสองจานวนท คณกนไดผลลพธน นคอจานวนใด

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 20/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

19

“พระเปนเจาสรางไวกแตเฉพาะจานวนเตม 

นอกน น ฝมอมนษยลวนๆ” 

เลโอพอลด  โครเนคเคอร 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 21/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

20

ภาคผนวกท  1 

แผนภาพแสดงความสมพนธ 

เร อง ทฤษฎจานวนเบ  องตน 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 22/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

21

ลาดบและอนกรม 

จานวนเฉพาะ  ทฤษฎบทหลกมลทางเลขคณต 

ความหมายและวธการหาตวหารรวมมาก 

ขนตอนวธของยคลด 

โจทยประยกตตวหารรวมมาก 

ทฤษฎบทท เก ยวของ 

การเขยนแสดงจานวนในรปตวเลขฐานตางๆ 

การหารลงตว 

ขนตอนวธการ 

ตวหารรวมมาก 

จานวนเฉพาะสมพทธและทฤษฎบทท เก ยวของ 

ตวคณรวมนอย 

ความหมายและวธการหาตวคณรวมนอย 

โจทยประยกตตวคณรวมนอย 

ความสมพนธระหวาง 

ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 23/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

22

รายช อส อการสอนวชาคณตศาสตร 

จานวน 92 ตอน 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 24/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

23

รายช อส อการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 92 ตอน 

เร อง 

ตอน 

เซต  บทนา เร อง เซต 

ความหมายของเซต 

เซตกาลงและการดาเนนการบนเซต 

เอกลกษณของการดาเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร 

ส อปฏสมพนธเร องแผนภาพเวนน-ออยเลอร 

การใหเหตผลและตรรกศาสตร  บทนา เร อง การใหเหตผลและตรรกศาสตร 

การใหเหตผล 

ประพจนและการสมมล 

สจนรนดรและการอางเหตผล 

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ 

ส อปฏสมพนธเร องหอคอยฮานอย 

ส อปฏสมพนธเร องตารางคาความจรง 

จานวนจรง  บทนา เร อง จานวนจรง 

สมบตของจานวนจรง 

การแยกตวประกอบ 

ทฤษฏบทตวประกอบ 

สมการพหนาม 

อสมการ 

เทคนคการแกอสมการ 

คาสมบรณ 

การแกอสมการคาสมบรณ 

กราฟคาสมบรณ 

ส อปฏสมพนธเร องชวงบนเสนจานวน 

ส อปฏสมพนธเร องสมการและอสมการพหนาม 

ส อปฏสมพนธเร องกราฟคาสมบรณ 

ทฤษฎจานวนเบ องตน  บทนา เร อง ทฤษฎจานวนเบ องตน 

การหารลงตวและจานวนเฉพาะ 

ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย 

ความสมพนธและฟังกชน  บทนา เร อง ความสมพนธและฟังกชน 

ความสมพนธ 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 25/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

24

เร อง  ตอน 

ความสมพนธและฟังกชน  โดเมนและเรนจ 

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟังกชน 

ฟังกชนเบองตน 

พชคณตของฟังกชน 

อนเวอรสของฟังกชนและฟังกชนอนเวอรส 

ฟังกชนประกอบ 

ฟังกชนชกาลงและฟังกชนลอการทม  บทนา เร อง ฟังกชนชกาลงและฟังกชนลอการทม 

เลขยกกาลง 

ฟังกชนชกาลงและฟังกชนลอการทม 

ลอการทม 

อสมการเลขชกาลง 

อสมการลอการทม 

ตรโกณมต  บทนา เร อง ตรโกณมต 

อตราสวนตรโกณมต 

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหน งหนวย 

ฟังกชนตรโกณมต 1

ฟังกชนตรโกณมต 2

ฟังกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน 

กราฟของฟังกชนตรโกณมต ฟังกชนตรโกณมตผกผน 

ส อปฏสมพนธเร องมมบนวงกลมหน งหนวย 

ส อปฏสมพนธเร องกราฟของฟังกชนตรโกณมต 

ส อปฏสมพนธเร องกฎของไซนและกฎของโคไซน 

กาหนดการเชงเสน  บทนา เร อง กาหนดการเชงเสน 

การสรางแบบจาลองทางคณตศาสตร 

การหาคาสดขด 

ลาดบและอนกรม  บทนา เร อง ลาดบและอนกรม 

ลาดบ 

การประยกตลาดบเลขคณตและเรขาคณต 

ลมตของลาดบ 

ผลบวกยอย 

อนกรม 

ทฤษฎบทการล เขาของอนกรม 

7/17/2019 26

http://slidepdf.com/reader/full/26-563db8db550346aa9a979517 26/26

ค มอส อการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง 

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข นพ นฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย 

25

เร อง  ตอน 

การนบและความนาจะเปน 

. บทนา เร อง การนบและความนาจะเปน 

การนบเบ องตน 

การเรยงสบเปล ยน 

การจดหม  

ทฤษฎบททวนาม 

การทดลองส ม 

ความนาจะเปน 1 

ความนาจะเปน 2 

สถตและการวเคราะหขอมล  บทนา เร อง สถตและการวเคราะหขอมล 

บทนา เน อหา 

แนวโนมเขาส สวนกลาง 1 

แนวโนมเขาส สวนกลาง 2แนวโนมเขาส สวนกลาง 3 

การกระจายของขอมล 

การกระจายสมบรณ 1 

การกระจายสมบรณ 2 

การกระจายสมบรณ 3 

การกระจายสมพทธ 

คะแนนมาตรฐาน 

ความสมพนธระหวางขอมล 1 

ความสมพนธระหวางขอมล 2 

โปรแกรมการคานวณทางสถต 1

โปรแกรมการคานวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร  การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉล ย 

ปัญหาการวางตวเบ ยบนตารางจตรส 

การถอดรากท สาม 

เสนตรงลอมเสนโคง 

กระเบองท ยดหดได