01 diferenciacion numerica

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 5: DIFERENCIACIÓN

NUMÉRICA.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 5. Diferenciación Numérica.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Métodos Numéricos para estudiantes de

Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de

Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y

Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Métodos Numéricos para

Ingenieros en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además

de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el

crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Métodos Numéricos, así como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:

2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: [email protected] ó

[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,

Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



5.1.- GENERALIDADES.

Debido a las muchas aplicaciones en las que se usan las derivadas de funciones, es

de esperarse que las aproximaciones de estos conceptos sean de interés.

En la introducción del capítulo 3, mencionamos que una de las razones para usar la

clase de polinomios algebraicos para aproximar a un conjunto arbitrario de datos, es el

hecho de que, dada una función continua definida en un intervalo cerrado, existe un

polinomio que está arbitrariamente cerca de la función en cada punto del intervalo. Una

propiedad adicional que posee esta clase de polinomios es que sus derivadas son bastante

fáciles de obtener y de evaluar. No debe ser sorprendente, entonces, encontrar que la

mayoría de los procedimientos para aproximar derivadas se inicien aproximando a la

función con polinomios algebraicos.

5.2.- DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA.

La expansión en una serie de Taylor de la función )(xf en torno a ix es

!2

)()()()()()(

2

ii

iii

xxxfxxxfxfxf (5.1)

Al evaluar la ecuación (5.1) en 1 ixx :

!2

)()()()()()(

2

1

11

iii

iiiii

xxxfxxxfxfxf (5.2)

Ahora, truncando la serie después del término con la primera derivada, se obtiene:

111 )()()()( Rxxxfxfxf iiiii (5.3)

En la ecuación (5.3) se despeja )( ixf , obteniendo:

totruncamiendeError

1

1

ordenprimer deón Aproximaci

1

1 )()()(

iiii

iii

xx

R

xx

xfxfxf

(5.4)

La primera parte de la ecuación (5.4) es la que se usa para aproximar la derivada.

Adicionalmente se ha obtenido una estimación del error de truncamiento asociado con la

aproximación de la derivada.



A la ecuación (5.4) se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, diferencia

finita dividida y generalmente se representa como

)()()(

)( 1

1

1

ii

ii

ii

i xxOxx

xfxfxf

(5.5)

ó

)()( hOh

fxf i

i

(5.6)

donde a if se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama el

tamaño del paso o incremento; esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se realiza la

aproximación. Se le llama diferencia “hacia delante”, porque usa los datos en i e 1i para

estimar la derivada (Figura 5.1).

Figura 5.1. Gráfica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada hacia delante.

Para propósitos prácticos, la ecuación (5.4) se escribe como:

h

R

h

xfxfxf ii

i11)()(

)(

(5.4)

donde los valores de los subíndices van en forma progresiva ( i , 1i )

Esta diferencia dividida hacia adelante es sólo una de tantas que pueden

desarrollarse a partir de la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas.



Por ejemplo, las aproximaciones de la primera derivada utilizando diferencias hacia atrás a

diferencias centradas se pueden desarrollar de una manera similar a la de la ecuación (5.4).

Las primeras usan valores en ix y 1ix , mientras que las segundas utilizan valores

igualmente espaciados alrededor donde la derivada está estimada. Es posible desarrollar

aproximaciones más exactas de la primera derivada incluyendo términos de orden más alto

de la serie de Taylor. Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para

derivadas de segundo orden, de tercer orden y de órdenes superiores. En las siguientes

secciones se dan resúmenes breves que ilustran cómo se obtienen algunos de estos casos.

Aproximación a la primera derivada con diferencia hacia atrás.

La serie de Taylor se expande hacia atrás para calcular un valor anterior sobre la base del

valor actual,

!2

)()()()()()(

2

ii

iii

xxxfxxxfxfxf (5.1)

Al evaluar la ecuación (5.1) en 1 ixx :

!2

)()()()()()(

2

1

11

iii

iiiii

xxxfxxxfxfxf (5.7)

2

1!2

)()()()( h

xfhxfxfxf i

iii (5.8)

Truncando la ecuación (5.8) después de la primera derivada y reordenando los términos se

obtiene

)()()(

)( 1 hOh

xfxfxf ii

i

(5.9)

)()( hOh

fxf i

i

(5.10)

donde el error es )(hO , y a if se le conoce como primera diferencia dividida hacia

atrás. Véase la figura 5.2 para una representación gráfica.



Figura 5.2. Gráfica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada hacia atrás.

Aproximación a la primera derivada con diferencias centradas.

Una tercera forma de aproximar la primera derivada consiste en restar la ecuación (5.8)

2

1!2

)()()()( h

xfhxfxfxf i

iii

de la expansión de la serie de Taylor hacia adelante:

2

1!2

)()()()( h

xfhxfxfxf i

iii (5.11)

para obtener

3

11!3

)(2)(2)()( h

xfhxfxfxf i

iii

de donde se despeja

211

!3

)(

2

)()()( h

xf

h

xfxfxf iii

i

ó

)(2

)()()( 211 hO

h

xfxfxf ii

i

(5.12)



La ecuación (5.12) es una representación de las diferencias centradas de la primera

derivada. Observe que el error de truncamiento es del orden h2 en contraste con las

aproximaciones hacia adelante y hacia atrás, que fueron del orden de h. Por lo tanto, el

análisis de la serie de Taylor ofrece información práctica de que la diferencia centrada es

una representación más exacta de la derivada (Figura 5.3). Por ejemplo, si disminuimos el

tamaño del incremento a la mitad, usando diferencias hacia atrás o hacia adelante, el error

de truncamiento se reducirá aproximadamente a la mitad; mientras que con diferencias

centradas el error se reducirá a la cuarta parte.

Figura 5.3. Gráfica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada centradas.

Aproximación por diferencias finitas para derivadas de orden superior.

Además de las primeras derivadas, la expansión en serie de Taylor sirve para obtener

estimaciones numéricas de las derivadas de orden superior. Para esto, se escribe la

expansión en serie de Taylor hacia adelante para )( 2ixf en términos de )( ixf :

2

2 )2(!2

)()2()()()( h

xfhxfxfxf i

iii (5.13)

La ecuación (5.11)

2

1!2

)()()()( h

xfhxfxfxf i

iii (5.14)



se multiplica por 2 y se resta de la ecuación (5.13), para obtener:

2

12 )()()(2)( hxfxfxfxf iiii

De donde se despeja

)()()(2)(

)(2

21 hOh

xfxfxfxf iii

i

(5.15)

Esta relación se llama la segunda diferencia finita dividida hacia adelante. Manipulaciones

similares se emplean para obtener la versión hacia atrás

)()()(2)(

)(2

12 hOh

xfxfxfxf iii

i

(5.16)

y la versión centrada

)()()(2)(

)( 2

2

11 hOh

xfxfxfxf iii

i

(5.17)

Como fue en el caso con las aproximaciones de la primera derivada, el caso centrado es

más exacto. Observe también que la versión centrada puede ser expresada en forma

alternativa como

h

h

xfxf

h

xfxf

xf

iiii

i

)()()()(

)(

11

(5.18)

Así, como la segunda derivada es una derivada de la derivada, la aproximación de la

segunda diferencia finita dividida es una diferencia de dos primeras diferencias divididas.

Se pueden generar fórmulas por diferencias divididas de alta exactitud tomando términos

adicionales en la expansión de la serie de Taylor. Por ejemplo, la expansión de la serie de

Taylor hacia adelante se escribe como (ecuación 5.2)

2

1!2

)()()()( h

xfhxfxfxf i

iii

de la que se despeja

)(2

)()()()( 21 hOh

xf

h

xfxfxf iii

i

(5.19)

Anteriormente truncamos este resultado al excluir los términos de la segunda derivada en

adelante y nos quedamos con un resultado final (ecuación 5.9)



)()()(

)( 1 hOh

xfxfxf ii

i

Ahora retendremos, en cambio, el término de la segunda derivada sustituyendo la siguiente

aproximación de la segunda derivada (ecuación 5.15)

)()()(2)(

)(2

21 hOh

xfxfxfxf iii

i

En la ecuación (5.19) para dar

)(2

)()(2)()()()( 2211 hO

h

xfxfxf

h

xfxfxf iiiii

i

)(2

)()(4)(3)( 221 hO

h

xfxfxfxf iii

i

(5.20)

Observe que al incluir el término de la segunda derivada mejora la exactitud a

)( 2hO . Es posible desarrollar versiones similares mejoradas para las fórmulas hacia

adelante y centradas, así como las aproximaciones de derivadas de orden superior.

El método presentado en la ecuación (5.20) se conoce como fórmula de tres

puntos. Similarmente, hay métodos conocidos como fórmulas de cinco puntos, que

requieren de la evaluación de la función en más puntos, pero cuyo término de error es de la

forma )( 4hO .

La aproximación en la ecuación (5.20) es útil cerca de los extremos del intervalo I

ya que no se dispone necesariamente de información acerca de f fuera del intervalo. Nótese

también que en la ecuación (5.12), f tiene que evaluarse sólo en dos puntos, mientras que

para la ecuación (5.20) son necesarios tres puntos.

Ejemplo 5.1.

[BF] Use ya sea (5.4), (5.12) ó (5.9) para determinar las aproximaciones que completen la

tabla siguiente:

x )(xf )(xf

–0.3 –0.20431

–0.1 –0.08993

0.1 0.11007

0.3 0.39569



Solución.

Puesto que se dispone sólo de 4 puntos, es viable aplicar las fórmulas que utilizan dos

puntos, tales como las ecuaciones (5.4) y (5.9) para los valores extremos del intervalo y la

ecuación (5.12) para valores intermedios.

En primer lugar identificamos cada punto de la función. Podemos escribir la tabla de la

siguiente manera:

i 0 1 2 3

ix –0.3 –0.1 0.1 0.3

)( ixf –0.20431 –0.08993 0.11007 0.39569

Se trata de datos igualmente espaciados, pues la diferencia entre –0.1 y –0.3 es la misma

que existe entre 0.1 y –0.1 y entre 0.3 y 0.1.

El tamaño del paso es 2.01.03.0 h

Para evaluar )3.0(f (La derivada evaluada el extremo izquierdo del intervalo) se aplica

la ecuación (5.4).

h

xfxfxf ii

i

)()()( 1

h

xfxfxf

)()()( 10

0

2.0

)1.0()3.0()3.0(

fff

2.0

)08993.0()20431.0()3.0(

f

5719.0)3.0( f

Para evaluar )1.0(f y )1.0(f (La derivada evaluada en valores intermedios del

intervalo) se aplica la ecuación (5.12).

)(2

)()()( 211 hO

h

xfxfxf ii

i

h

xfxfxf

2

)()()( 20

1

h

xfxfxf

2

)()()( 31

2



)2.0(2

)1.0()3.0()1.0(

fff

)5.0(2

)3.0()1.0()1.0(

fff

4.0

11007.0)20431.0()1.0(

f

4.0

39569.0)08993.0()1.0(

f

78595.0)1.0( f 21405.1)1.0( f

Finalmente, para evaluar )3.0(f (La derivada evaluada el extremo derecho del intervalo)

se aplica la ecuación (5.9).

)()()(

)( 1 hOh

xfxfxf ii

i

h

xfxfxf

)()()( 32

3

2.0

)3.0()1.0()3.0(

fff

2.0

39569.011007.0)3.0(

f

4281.1)3.0( f

Las fórmulas se resumen en las tablas siguientes.

5.3.- FÓRMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA DELANTE.

Se presentan dos versiones para cada derivada. La última versión emplea más

términos de la expansión de la serie de Taylor y, en consecuencia, es más exacta.

Primera derivada.

)()()(

)( 1 hOh

xfxfxf ii

i

(5.4)

Fórmula de tres puntos:

)(32

)()(4)(3)( 0

2

21 fh

h

xfxfxfxf iii

i

(5.20)

Fórmula de cinco puntos:

)(512

)(3)(16)(36)(48)(25)( )5(

4

4321 fh

h

xfxfxfxfxfxf iiiii

i

(5.21)



Segunda derivada.

)()()(2)(

)(2

21 hOh

xfxfxfxf iii

i

(5.15)

)()()(4)(5)(2

)( 2

2

321 hOh

xfxfxfxfxf iiii

i

(5.22)

Tercera derivada.

)()()(3)(3)(

)(3

321 hOh

xfxfxfxfxf iiii

i

(5.23)

)(2

)(3)(14)(24)(18)(5)( 2

3

4321 hOh

xfxfxfxfxfxf iiiii

i

(5.24)

Cuarta derivada.

)()()(4)(6)(4)(

)(4

4321 hOh

xfxfxfxfxfxf iiiii

i

(5.25)

)()(2)(11)(24)(26)(14)(3

)( 2

4

54321 hOh

xfxfxfxfxfxfxf iiiiii

i

(5.26)

5.4.- FÓRMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS CENTRADAS.



Primera derivada.


)(62

)()()( 1

2

11 fh

h

xfxfxf ii

i

(5.12)


)(3012

)()(8)(8)()( )5(

4

2112 fh

h

xfxfxfxfxf iiii

i

(5.27)

Segunda derivada.

)(12

)()(2)()( )4(

2

2

11 fh

h

xfxfxfxf iii

i

(5.28)



)(12

)()(16)(30)(16)()( 4

2

2112 hOh

xfxfxfxfxfxf iiiii

i

(5.29)

Tercera derivada.

)(2

)()(2)(2)()( 2

3

2112 hOh

xfxfxfxfxf iiii

i

(5.30)

)(8

)()(8)(13)(13)(8)()( 4

3

321123 hOh


i

(5.31)

Cuarta derivada.

)()()(4)(6)(4)(

)( 2

4

2112 hOh

xfxfxfxfxfxf iiiii

i

(5.32)

)(6

)()(12)(39)(56)(39)(12)()( 4

4

321123 hOh

xfxfxfxfxfxfxfxf iiiiiii

i

(5.33)

5.5.- FÓRMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ATRÁS.



Primera derivada.

)()()(

)( 1 hOh

xfxfxf ii

i

(5.9)


)(32

)(3)(4)()( 0

2

12 fh

h

xfxfxfxf iii

i

(5.34)


)(512

)(25)(48)(36)(16)(3)( )5(

4

1234 fh

h

xfxfxfxfxfxf iiiii

i

(5.35)

Segunda derivada.

)()()(2)(

)(2

12 hOh

xfxfxfxf iii

i

(5.36)



)()(2)(5)(4)(

)( 2

2

123 hOh

xfxfxfxfxf iiii

i

(5.37)

Tercera derivada.

)()()(3)(3)(

)(3

123 hOh

xfxfxfxfxf iiii

i

(5.38)

)(2

)(5)(18)(24)(14)(3)( 2

3

1234 hOh

xfxfxfxfxfxf iiiii

i

(5.39)

Cuarta derivada.

)()()(4)(6)(4)(

)(4

1234 hOh

xfxfxfxfxfxf iiiii

i

(5.40)

)()(3)(14)(26)(24)(11)(2

)( 4

4

12345 hOh


i

(5.41)

Ejemplo 5.2.

[BF] Use ya sea (5.20), (5.12) ó (5.34) para determinar las aproximaciones que completen

la tabla siguiente:

x )(xf )(xf

–0.3 –0.20431

–0.1 –0.08993

0.1 0.11007

0.3 0.39569

Solución.

Puesto que se dispone sólo de 4 puntos, es viable aplicar las fórmulas que utilizan dos

puntos, tales como las ecuaciones (5.4) y (5.9) para los valores extremos del intervalo y la

ecuación (5.12) para valores intermedios, tal como se hizo en el ejemplo 5.1 ó, tal como se

sugiere en el planteamiento del problema, utilizar las ecuaciones (5.20) y (5.34) para los

valores extremos del intervalo y la ecuación (5.12) para valores intermedios.


siguiente manera:

i 0 1 2 3



ix –0.3 –0.1 0.1 0.3

)( ixf –0.20431 –0.08993 0.11007 0.39569

Se trata de datos igualmente espaciados, pues la diferencia entre –0.1 y –0.3 es la misma

que existe entre 0.1 y –0.1 y entre 0.3 y 0.1.

El tamaño del paso es 2.01.03.0 h

Para evaluar )3.0(f (La derivada evaluada el extremo izquierdo del intervalo) se aplica

la ecuación (5.20).

h

xfxfxfxf iii

i2

)()(4)(3)( 21

h

xfxfxfxf

2

)()(4)(3)( 210

0

)2.0(2

)1.0()1.0(4)3.0(3)3.0(

ffff

4.0

11007.0)08993.0(4)20431.0(3)3.0(

f

35785.0)3.0( f

Para evaluar )1.0(f y )1.0(f (La derivada evaluada en valores intermedios del


h

xfxfxf ii

i2

)()()( 11

h

xfxfxf

2

)()()( 20

1

h

xfxfxf

2

)()()( 31

2

)2.0(2

)1.0()3.0()1.0(

fff

)5.0(2

)3.0()1.0()1.0(

fff

4.0

11007.0)20431.0()1.0(

f

4.0

39569.0)08993.0()1.0(

f

78595.0)1.0( f 21405.1)1.0( f

Finalmente, para evaluar )3.0(f (La derivada evaluada el extremo derecho del intervalo)




h

xfxfxfxf iii

i2

)(3)(4)()( 12

h

xfxfxfxf

2

)(3)(4)()( 321

3

)2.0(2

)3.0(3)1.0(4)1.0()3.0(

ffff

4.0

)39569.0(3)11007.0(408993.0)3.0(

f

64215.1)3.0( f

Ejercicios adicionales.

1. [BF] Use ya sea (5.20), (5.12) ó (5.34) para determinar las aproximaciones que

completen la tabla siguiente:

x )(xf )(xf

1.1 0.48603

1.2 0.86160

1.3 1.59751

1.4 3.76155

Ejemplo 5.3.

[CC] Calcule la aproximación por diferencias centradas de primer orden de )( 4hO a la

función xxy cos2 , en 5.0x y para 2.0h .

Solución.

Las diferencias centradas de primer orden de )( 4hO está dada por la ecuación (5.27):

)(12

)()(8)(8)()( 42112 hO

h

xfxfxfxfxf iiii

i

Se requieren cinco puntos en torno a 41x con un tamaño del paso

121h . Puesto que

están involucradas funciones trigonométricas, debe cuidar que la calculadora se encuentre

el modo Radián. Los valores se resumen en la siguiente tabla:

i 0 1 2 3 4

ix 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

)( ixf 0.009950 0.0859803 0.2193956 0.3747727 0.5035041



Se requiere determinar )( 2xf .

De acuerdo con la ecuación (5.27), escribiremos:

h

xfxfxfxfxf

12

)()(8)(8)()( 4310

2

)2.0(12

)9.0()7.0(8)3.0(8)1.0()5.0(

fffff

4.2

5035041.0)3747727.0(8)0859803.0(8009950.0)5.0(

f

7569938.0)5.0( f


2. [CC] Calcule las aproximaciones por diferencias centradas de primer orden de )( 4hO a

cada una de las siguientes funciones, en la ubicación especificada y para el tamaño del paso

dado:

a) 1543 xxy , en 0x , 5.0h .

b) )3/tan(xy , en 3x , 1.0h .

c) xxy /))5.0(sen , en 1x , 1.0h .

d) xey x , en 1x , 25.0h .

3. [BF] Sea xexxf x sen )(23 . Para 1.0h y 01.0h , aproxime )19.2(f , usando las

ecuaciones (5.21), (5.27) y (5.35).

Ejemplo 5.4.

[WM] Calcule aproximaciones por diferencias hacia adelante y hacia atrás de )(hO y

)( 2hO , y aproximaciones por diferencia centradas de )( 2hO y )( 4hO de la primera

derivada de xy cos en 41x , usando un valor de

121h . Estime el verdadero error

relativo porcentual t de cada aproximación.

Solución.

Las fórmulas para la primera derivada son:



Hacia adelante: )()()(

)( 1 hOh

xfxfxf ii

i

(5.4)

Centrada: )(2

)()()( 211 hO

h

xfxfxf ii

i

(5.12)

Hacia atrás: )()()(

)( 1 hOh

xfxfxf ii

i

(5.9)

Las fórmulas para la primera derivada son:

Hacia adelante: )(2

)()(4)(3)( 221 hO

h

xfxfxfxf iii

i

(5.20)

Centrada: )(12

)()(8)(8)()( 42112 hO

h

xfxfxfxfxf iiii

i

(5.27)

Hacia atrás: )(2

)(3)(4)()( 212 hO

h

xfxfxfxf iii

i

(5.34)

Se requieren cinco puntos en torno a 41x con un tamaño del paso

121h . Puesto que

están involucradas funciones trigonométricas, debe cuidar que la calculadora se encuentre

el modo Radián. Los valores se resumen en la siguiente tabla:

i 0 1 2 3 4

ix 121

61

41

31

125

)( ixf 0.9659258 0.8660254 0.7071068 0.5000000 0.2588190

Se requiere determinar )( 2xf .

Las fórmulas citadas se escriben como:

Hacia adelante )(hO : h

xfxfxf

)()()( 32

2

121

31

41

41

)()()(

fff

2617994.0

5000000.07071068.0)(

41

f

7910897.0)(41 f

Centrada )( 2hO : h

xfxfxf

2

)()()( 31

2



)(2

)()()(

121

31

61

41

fff

5235988.0

5000000.08660254.0)(

41

f

6990570.0)(41 f

Hacia atrás )(hO : h

xfxfxf

)()()( 21

2

121

41

61

41

)()()(

fff

2617994.0

7071068.08660254.0)(

41

f

6070243.0)(41 f

Hacia adelante )( 2hO : h

xfxfxfxf

2

)()(4)(3)( 432

2

)(2

)()(4)(3)(

121

125

31

41

41

ffff

5235988.0

2588190.0)5000000.0(4)7071068.0(3)(

41

f

7260127.0)(41 f

Centrada )( 4hO : h

xfxfxfxfxf

12

)()(8)(8)()( 4310

2

)(12

)()(8)(8)()(

121

125

31

61

121

41

fffff

1415927.3

2588190.0)5000000.0(8)8660254.0(89659258.0)(

41

f

7069969.0)(41 f

Hacia atrás )( 2hO : h

xfxfxfxf

2

)(3)(4)()( 210

2



)(2

)(3)(4)()(

121

41

61

121

41

ffff

5235987.0

)7071068.0(3)8660254.0(49659258.0)(

41

f

7197409.0)(41 f

El valor verdadero de la derivada es:

xxf cos)(

xxf sen )(

Al evaluar en 41x :

)(sen )(41

41 f

7071068.0)(41 f

El error relativo porcentual de aproximación en cada caso es, de acuerdo con la ecuación

100aderoValor verd

aproximadoValor aderoValor verd

t

Hacia adelante )(hO : 1000.7071068

)7910897.0(7071068.0

t

%87.11t

Centrada )( 2hO : 1000.7071068

)6990570.0(7071068.0

t

%13.1t

Hacia atrás )(hO : 1000.7071068

)6070243.0(7071068.0

t

%15.14t

Hacia adelante )( 2hO : 1000.7071068

)7260127.0(7071068.0

t

%67.2t

Centrada )( 4hO : 1000.7071068

)7069969.0(7071068.0

t



%0155.0t

Hacia atrás )( 2hO : 1000.7071068

)7197409.0(7071068.0

t

%79.1t


4. [CC] Utilice aproximaciones por diferencias centradas para estimar la primera derivada

de xey en 1x para 1.0h . Emplee tanto fórmulas )( 2hO como )( 4hO para sus

estimaciones.

5. [CC] Calcule aproximaciones por diferencias hacia adelante y hacia atrás de )(hO y

)( 2hO , y aproximaciones por diferencia centradas de )( 2hO y )( 4hO de la primera

derivada de xy sen en 41x , usando un valor de

121h . Estime el verdadero error

relativo porcentual t de cada aproximación.

6. [CC] Repita el problema 10, pero ahora para xy log evaluada en 20x con 2h .

Ejemplo 5.5.

[WM] Sea xexxf 2)( . Use la ecuación (5.27) y los valores de )(xf en 0x , 0.25,

0.75 y 1.0 para aproximar )5.0(f . Compare el resultado con el valor exacto. Encuentre

una cota para el error.

Solución.

Para calcular )5.0(f aplicando la ecuación (5.27):

)(3012

)()(8)(8)()( )5(

4

2112 fh

h

xfxfxfxfxf iiii

i

se requieren cinco puntos igualmente espaciados alrededor de 5.0x .

La tabla de valores de la función xexxf 2)( en los valores indicados es:

i 0 1 2 3 4

x 0 0.25 0.50 0.75 1.0

)(xf –1 –0.7163008 –0.3565307 0.0901334 0.6321206

Se tiene entonces que )()5.0( 2xff .



De la ecuación (5.27):

h

xfxfxfxfxf

12

)()(8)(8)()( 4310

2

Al sustituir valores:

)25.0(12

)0.1()75.0(8)25.0(8)0()5.0(

fffff

)25.0(12

6321206.0)0901334.0(8)7163008.0(81)5.0(

f

6064510.1)5.0( f

Cálculo del valor exacto.

Siendo xexxf 2)( , entonces la derivada de la función es xexxf 2)( , la cual al

ser evaluada en 5.0x proporciona:

)5.0()5.0(2)5.0( ef

6065307.1)5.0( f

El error absoluto de aproximación es

aproximadoValor exactoValor t

6064510.16065307.1 t

51097.7 t

Cota de error.

La cota de error en la aproximación de la primera derivada por diferencias centradas con

cinco puntos está dada por

)(30

)()( )5(4

22 fh

xPxf

La quinta derivada de la función xexxf 2)( es xexf )()5( . Al evaluar en 5.0x

tenemos:

5.0)5( )5.0( ef

6065307.0)5.0()5( f



La cota de error es:

)6065307.0(30

)25.0()()(

4

22 xPxf

5

22 1090.7)()( xPxf


7. [BF] Sea xxf cos)( . Use la ecuación (5.27) y los valores de )(xf en 0x , 0.25,



8. [BF] Sea xexf )( . Use la ecuación (5.27) y los valores de )(xf en 0x , 0.25, 0.75

y 1.0 para aproximar )5.0(f . Compare el resultado con el valor exacto. Encuentre una cota

para el error.

Ejemplo 5.6.

[WM] Utilice aproximaciones por diferencias centradas para estimar la segunda derivada

de xexy 2 en 5.0x para 25.0h . Emplee tanto fórmulas )( 2hO como )( 4hO para

sus estimaciones. Compare el resultado con el valor exacto.

Solución.

Las fórmulas por diferencias centradas para estimar la segunda derivada correspondientes a

)( 2hO y )( 4hO son las ecuaciones (5.28) y (5.29).

)(12

)()(2)()( )4(

2

2

11 fh

h

xfxfxfxf iii

i

(5.28)

)(12

)()(16)(30)(16)()( 4

2

2112 hOh

xfxfxfxfxfxf iiiii

i

(5.29)

En cualquiera de los dos casos se requieren cinco puntos igualmente espaciados alrededor

de 5.0x con un tamaño del paso 25.0h . La tabla de valores de la función

xexxf 2)( en los valores indicados es:

i 0 1 2 3 4

x 0 0.25 0.50 0.75 1.0

)(xf –1 –0.7163008 –0.3565307 0.0901334 0.6321206



Se tiene entonces que )()5.0( 2xff .

Las ecuaciones (5.28) y (5.29) se escriben como:

)( 2hO : 2

3212

)()(2)()(

h

xfxfxfxf

)( 4hO : 2

432102

12

)()(16)(30)(16)()(

h

xfxfxfxfxfxf

ó

)( 2hO : 2

)75.0()5.0(2)25.0()5.0(

h

ffff

)( 4hO : 212

)0.1()75.0(16)5.0(30)25.0(16)0()5.0(

h

ffffff


)( 2hO : 2)25.0(

0901334.0)3565307.0(27163008.0)5.0(

f

3903040.1)5.0( f

)( 4hO :

2)25.0(12

6321206.0)0901334.0(16)3565307.0(30)7163008.0(16)1()5.0(

f

3934960.1)5.0( f

Cálculo del valor exacto.

Siendo xexxf 2)( , entonces la segunda derivada de la función es xexf 2)( , la

cual al ser evaluada en 5.0x proporciona:

)5.0(2)5.0( ef

3934693.1)5.0( f

El error absoluto de aproximación es

aproximadoValor exactoValor t

)( 2hO : 3903040.13934693.1 t )( 4hO : 3934960.13934693.1 t

)( 2hO : 3101653.3 t )( 4hO : 51067.2 t




9. [BF] Sea xxf cos)( . Use la ecuación (5.28) y los valores de )(xf en 0x , 0.25,



10. [BF] Considere la siguiente tabla de datos:

x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

)(xf 0.9798652 0.9177710 0.8080348 0.6386093 0.3853735

a) Use (5.21) para aproximar )2.0(f .

b) Use (5.35) para aproximar )0.1(f .

c) Use (5.27) para aproximar )6.0(f .

d) Use todas las fórmulas apropiadas para aproximar )4.0(f y )4.0(f .

e) Use todas las fórmulas apropiadas para aproximar )6.0(f y )6.0(f .

11. [BF] a) Aproxime )05.1(f usando 05.0h y 01.0h en la fórmula (5.12) con los

datos siguientes:

x 1.0 1.04 1.06 1.10

)(xf 1.6829420 1.7732994 1.8188014 1.9103448

b) Repita el inciso a) usando aritmética con redondeo a cuatro dígitos y compare los

resultados con los obtenidos previamente.

La función que se está considerando es xxf x sen 2)( .

12. [BF] Usando los datos de abajo y la ecuación (5.28), aproxime )3.1(f con 1.0h y

01.0h .

x 1.20 1.29 1.30 1.31 1.40

)(xf 11.59006 13.78176 14.04276 14.30741 16.86187

La función que se está considerando es xexxf x cos3)( . Compare sus resultados con

)3.1(f .

13. [BF] Suponga que los datos siguientes se han obtenido experimentalmente.

x 1.00 1.01 1.02

)(xf 1.27 1.32 1.38



a) Aproxime )005.1(f y )015.1(f usando la ecuación (5.12).

b) Aproxime )01.1(f , usando la ecuación (5.12) y los resultados de a).

14. [CC] Los siguientes datos se generaron a partir de la distribución normal:

x )(xf

–2 0.053991

–1.5 0.129518

–1 0.241971

–0.5 0.352065

0 0.398942

0.5 0.352065

1 0.241971

1.5 0.129518

2 0.053991

Estimar los puntos de inflexión de estos datos.

Ejemplo 5.7.

Ingeniería Mecánica / Aeronáutica.

[RS, WM] Una pelota fue lanzada directamente hacia abajo con una velocidad inicial de

8.00 m/s desde una altura de 30.0 m. Se obtuvieron los siguientes datos de la altura contra

el tiempo:

t , s 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5

y , m 30 27.15855 23.43420 18.82695 13.3368 6.96375

Utilice diferenciación numérica para estimar la velocidad de la pelota y la aceleración en

cada momento.

Solución.


siguiente manera:

i 0 1 2 3 4 5

t 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 y 30 27.15855 23.43420 18.82695 13.33680 6.96375

Cálculo de la velocidad de la pelota.



La velocidad está dada por td

ydv . Para determinar la velocidad se utilizarán diferencias

hacia adelante (5.21) los dos primeros valores, centradas (5.27) en los puntos intermedios y

hacia atrás (5.35) en los dos últimos valores. La justificación del uso de estas ecuaciones es

porque son las que generan los resultados más exactos, en lugar de seguir un criterio

particular para el error. Obsérvese que todas las ecuaciones utilizadas para estimar la

primera derivada son del orden )( 4hO .

)(512

)(3)(16)(36)(48)(25)( )5(

4

4321 fh

h

xfxfxfxfxfxf iiiii

i

(5.21)

)(3012

)()(8)(8)()( )5(

4

2112 fh

h

xfxfxfxfxf iiii

i

(5.27)

)(512

)(25)(48)(36)(16)(3)( )5(

4

1234 fh

h

xfxfxfxfxfxf iiiii

i

(5.35)

La adaptación de estas ecuaciones a la nomenclatura de los datos es:

h

tytytytytytv iiiii

i12

)(3)(16)(36)(48)(25)( 4321 Adelante

h

tytytytytv iiii

i12

)()(8)(8)()( 2112 Centrada

h

tytytytytytv iiiii

i12

)(25)(48)(36)(16)(3)( 1234 Atrás

En 0i e , 1i se aplica la fórmula de diferencia dividida hacia adelante. Se muestra el

detalle para 0i y el resultado correspondiente a 1i .

h

tytytytytytv

12

)(3)(16)(36)(48)(25)( 43210

0

)3.0(12

)2.1(3)9.0(16)6.0(36)3.0(48)0(25)0(

yyyyyv

6.3

)33680.13(3)82695.18(16)43420.23(36)15855.27(48)30(25)0(

v

8)0( v



943.10)3.0( v

En 2i e , 3i se aplica la fórmula de diferencia dividida centrada. Se muestra el detalle

para 2i y el resultado correspondiente a 3i .

h

tytytytytv

12

)()(8)(8)()( 4310

2

)3.0(12

)2.1()9.0(8)3.0(8)0()6.0(

yyyyv

6.3

33680.13)82695.18(8)15855.27(830)6.0(

v

866.13)6.0( v

829.16)9.0( v

En 4i e , 5i se aplica la fórmula de diferencia dividida hacia atrás. Se muestra el


h

tytytytytytv

12

)(25)(48)(36)(16)(3)( 43210

4

)3.0(12

)2.1(25)9.0(48)6.0(36)3.0(16)0(3)2.1(

yyyyyv

6.3

)33680.13(25)82695.18(48)43420.23(36)15855.27(16)30(3)2.1(

v

772.19)2.1( v

715.22)5.1( v

Los resultados de la velocidad de la pelota en función del tiempo se resumen en la siguiente

tabla:

i 0 1 2 3 4 5

t 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5

v –8 –10.943 –13.866 –16.829 –19.772 –22.715

La aceleración está dada por 2

2

td

yda . Para determinar la aceleración se utilizaran

diferencias hacia adelante (5.22) en los dos primeros valores, centradas (5.29) en los puntos

intermedios y hacia atrás (5.37) en los dos últimos valores. La justificación del uso de estas



ecuaciones es porque son las que generan los resultados más exactos, en lugar de seguir un

criterio particular para el error. Obsérvese que las ecuaciones utilizadas para la segunda

derivada son del orden )( 2hO en los extremos y )( 4hO en los valores intermedios.

Cálculo de la aceleración.

)()()(4)(5)(2

)( 2

2

321 hOh

xfxfxfxfxf iiii

i

(5.22)

)(12

)()(16)(30)(16)()( 4

2

2112 hOh

xfxfxfxfxfxf iiiii

i

(5.29)

)()(2)(5)(4)(

)( 2

2

123 hOh

xfxfxfxfxf iiii

i

(5.37)

La adaptación de estas ecuaciones a la nomenclatura de los datos es:

2

321 )()(4)(5)(2)(

h

tytytytyta iiii

i

Adelante

2

2112

12

)()(16)(30)(16)()(

h

tytytytytyta iiiii

i

Centrada

2

123 )(2)(5)(4)()(

h

tytytytyta iiii

i

Atrás

En 0i e , 1i se aplica la fórmula de diferencia dividida hacia adelante. Se muestra el


2

32100

)()(4)(5)(2)(

h

tytytytyta

2)3.0(

)9.0()6.0(4)3.0(5)0(2)0(

yyyya

09.0

82695.18)43420.23(4)15855.27(5)30(2)0(

a

81.9)0( a

81.9)3.0( a

En 2i e , 3i se aplica la fórmula de diferencia dividida centrada. Se muestra el detalle

para 2i y el resultado correspondiente a 3i .



2

432102

12

)()(16)(30)(16)()(

h

tytytytytyta

2)3.0(12

)2.1()9.0(16)6.0(30)3.0(16)0()6.0(

yyyyya

08.1

33680.13)82695.18(16)43420.23(30)15855.27(1630)6.0(

a

81.9)6.0( a

81.9)9.0( a

En 4i e , 5i se aplica la fórmula de diferencia dividida hacia atrás. Se muestra el


2

43214

)(2)(5)(4)()(

h

tytytytyta

2)3.0(

)2.1(2)9.0(5)6.0(4)3.0()2.1(

yyyya

09.0

)33680.13(2)82695.18(5)43420.23(415855.27)2.1(

a

81.9)2.1( a

81.9)5.1( a

Los resultados de la aceleración de la pelota se resumen en la siguiente tabla:

i 0 1 2 3 4 5

t 0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5

a –9.81 –9.81 –9.81 –9.81 –9.81 –9.81

Una fórmula que también aplica a la aceleración de un móvil es td

vda , por lo tanto es

posible utilizar los datos de velocidad estimados y aplicar las fórmulas de diferenciación

numérica para estimar la aceleración como la derivada de la velocidad, en lugar de utilizar

la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, tal como se hizo en la solución

del ejemplo 5.7. En este caso se hubiesen obtenido los mismos resultados para la

aceleración que los mostrados en la tabla anterior.



Una dificultad de aplicar las fórmulas de diferenciación numérica para las derivadas

de orden superior a partir de la primera derivada es que se propagan los errores de

estimación, pues en la segunda derivada tendremos tanto el error propio de la aplicación de

la fórmula de diferenciación numérica como el error de los valores utilizados, pues

provienen también de la aplicación de un método numérico, mientras que si se utilizan los

datos originales, sólo tendremos el error de estimación.

El modelo matemático correspondiente al fenómeno físico del ejemplo 5.7 indica

que la relación entre la altura del cuerpo y el tiempo está dada por la ecuación:

2

21

00 tgtvyy

donde 0y es la altura inicial (30 m), 0v es la velocidad inicial (–8 m/s) y g es la aceleración

de la gravedad (9.81 m/s2). Al sustituir valores la ecuación queda como:

2905.4830 tty

Por lo cual la velocidad, expresada como td

ydv es:

tv 81.98

Al sustituir t por los correspondientes valores 0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.2 y 1.5 se obtienen los

mismos resultados de la velocidad estimados con las fórmulas de diferenciación numérica.

La aceleración, expresada como 2

2

td

yda es:

81.9a

Se tiene que la aceleración es constante, e igual a 9.81 m/s2. Este resultado coincide con los

resultados obtenidos mediante las fórmulas de diferenciación numérica.

El modelo matemático que se adapta a la situación física para este tipo de fenómenos, en el

cual un móvil se desplaza verticalmente en el vacío sometido a una fuerza gravitacional,

está preestablecido. No obstante, dicho modelo también pudo haber sido obtenido mediante

una regresión cuadrática de los datos dados posición – tiempo aplicando los conceptos

indicados en el capítulo IV. En ese caso se obtiene que la relación cuadrática entre la



posición y el tiempo es 2905.4830 tty con un coeficiente de correlación igual a la

unidad, esto es, la desviación entre los valores estimados y los valores observados es nula.

Se observa que los valores estimados para la velocidad y la aceleración con las

fórmulas de diferenciación numérica y los valores obtenidos mediante el modelo

matemático coinciden, esto es, no hay errores al aplicar las fórmulas de diferenciación

numérica. Esto ocurre porque de acuerdo con la función 2905.4830 tty , y siendo los

errores para la velocidad del orden )( 4hO y de la aceleración del orden )( 2hO para los

extremos y )( 4hO para los puntos intermedios, la tercera y quinta derivadas de la función

son nulas para cualquier valor de t, haciendo que el término del error sea nulo tanto para la

cota )( 2hO como para )( 4hO .

Ejemplo 5.8.

Ingeniería Eléctrica.

[BF] Para un circuito con un voltaje impreso V e inductancia L, la primera ley de Kirchhoff

da la relación

iRtd

idLV

donde R es la resistencia del circuito e i la corriente. Suponga que medimos la corriente

para varios valores de t y obtenemos:

t 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04

i 3.10 3.12 3.14 3.18 3.24

donde t se mide en segundos, i en amperes, la inductancia L es una constante 0.98 henries,

y la resistencia es 0.142 ohms. Aproxime el voltaje V en los valores t = 1, 1.01, 1.02, 1.03 y

1.04, usando las fórmulas apropiadas de tres puntos.

Solución.

iRtd

idLV

Observamos que para estimar el voltaje, requerimos tanto la derivada de la intensidad de

corriente como la corriente misma en cada valor de t. La derivada la aproximaremos



aplicando las fórmulas de diferenciación numérica, mientras que el valor de la corriente lo

utilizaremos tomándolo de la tabla misma.

En cuanto a la aproximación de la derivada de la corriente, se trata de datos igualmente

espaciados, pues la diferencia entre los tiempos 1.01 y 1.00 es la misma que existe entre

1.02 y 1.01, entre 1.03 y 1.02 y entre 1.04 y 1.03.

El tamaño del paso es 01.001.102.1 h .

Las fórmulas de tres puntos son las ecuaciones (5.20) (hacia adelante), (5.12) (centradas) y

(5.34) (hacia atrás), esto es, las ecuaciones de diferencias divididas para la primera derivada

del orden )( 2hO .

Para evaluar )00.1(i (La derivada evaluada el extremo izquierdo del intervalo) se aplica la

ecuación (5.20).

)(2

)()(4)(3)( 221 hO

h

xfxfxfxf iii

i

h

titititi

2

)()(4)(3)( 210

0

)01.0(2

)02.1()01.1(4)00.1(3)00.1(

iiii

02.0

14.3)12.3(4)10.3(3)00.1(

i

2)00.1( i

Para evaluar )01.1(i , )02.1(i y )03.1(i (La derivada evaluada en valores intermedios del


)(2

)()()( 211 hO

h

xfxfxf ii

i

h

tititi

2

)()()( 20

1

h

tititi

2

)()()( 31

2

h

tititi

2

)()()( 42

3


)01.0(2

)02.1()00.1()01.1(

iii

)01.0(2

)03.1()01.1()02.1(

iii

)01.0(2

)04.1()02.1()03.1(

iii



02.0

14.310.3)01.1(

i

02.0

18.312.3)02.1(

i

02.0

24.314.3)03.1(

i

2)01.1( i 3)02.1( i 5)03.1( i

Finalmente, para evaluar )04.1(i (La derivada evaluada el extremo derecho del intervalo)


)(2

)(3)(4)()( 212 hO

h

xfxfxfxf iii

i

h

titititi

2

)(3)(4)()( 432

4

)01.0(2

)04.1(3)03.1(4)02.1()04.1(

iiii

02.0

)24.3(3)18.3(414.3)04.1(

i

7)04.1( i

Los resultados de la derivada de la corriente en función del tiempo se resumen en la

siguiente tabla:

t 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04

i 3.10 3.12 3.14 3.18 3.24

tdid / 2 2 3 5 7

Aplicando la ecuación iRtd

idLV , equivalente a i

td

idV 142.098.0 podemos

obtener el valor del voltaje en cada valor del tiempo. Los resultados se resumen en la

siguiente tabla.

t 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04

i 3.10 3.12 3.14 3.18 3.24

tdid / 2 2 3 5 7

V 2.40020 2.40304 3.38588 5.35156 7.32008


Ingeniería Química / Bioingeniería.

15. [CC] Los siguientes datos se obtuvieron al cargar un gran buque petrolero:



t, min 0 15 30 45 60 90 120

V, Barriles 0.5×106

0.65×106 0.73×10

6 0.88×10

6 1.03×10

6 1.14×10

6 1.30×10

6

Calcule la rapidez de flujo Q (es decir, tdVd / ) en cada tiempo con un orden h2.

Ingeniería Civil / Ambiental.

16. [CC] El flujo de calor q es la cantidad de calor que fluye a través de una unidad de área

de algún material por unidad de tiempo. Éste se calcula con la ley de Fourier,

xd

Tdkq

Donde las unidades de q son J/m2/s ó W/m

2 y k es un coeficiente de conductividad térmica

que parametriza las propiedades de conducción de calor del material y sus unidades son

W/(ºC.m). T = temperatura (ºC); y x = distancia (m) a lo largo de la trayectoria del flujo de

calor. La ley de Fourier se usa en forma rutinaria por los ingenieros arquitectos para

determinar el flujo de calor que pasa a través de paredes. Las siguientes temperaturas se

miden desde la superficie (x = 0) hacia el interior de una pared de piedra:

m ,x 0 0.1 0.2

Cº ,T 20 17 15

Si el flujo en x = 0 es de 60 W/m2, calcule k.

Transferencia de calor.

17. [CC] La rapidez de enfriamiento de un cuerpo se expresa como

)( aTTktd

Td

donde T = temperatura del cuerpo (ºC), Ta = temperatura del medio ambiente (ºC) y k =

constante de proporcionalidad (por minuto). Así, esta ecuación (llamada ley de

enfriamiento de Newton) especifica que la rapidez con la que se enfría un cuerpo es

proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio ambiente. Si una

esfera metálica se calienta a 90ºC y después se deja caer en un depósito de agua que se

encuentra a una temperatura constante de Ta = 25ºC, la temperatura de la esfera cambiará,

según los siguientes datos:

Tiempo, min 0 5 10 15 20 25



)C(ºT 90 49.9 33.8 28.4 26.2 25.4

Utilice diferenciación numérica para determinar tdTd / en cada valor de tiempo. Grafique

tdTd / contra aTT y use la regresión lineal para evaluar k.

Ingeniería Mecánica / Aeronáutica.

18. [CC] Use los siguientes datos para encontrar la velocidad y la aceleración a 5t

segundos.

t, s 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x, m 0 0.7 1.8 3.4 5.1 6.5 7.3 8.0 8.4

Use los métodos de a) diferencias finitas centradas de segundo orden. b) Diferencia finitas

hacia adelante y c) Diferencias finitas hacia atrás.

19. [CC] Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el

tiempo:

t 0 1 2 3 4 5 y 0 2 8 18 32 50

Utilice diferenciación numérica para estimar la velocidad del cohete y la aceleración en

cada momento.

5.6.- DERIVADAS DE DATOS IRREGULARMENTE ESPACIADOS.

Los procedimientos analizados hasta ahora se diseñaron principalmente para

determinar la derivada de una función dada. Para las aproximaciones por diferencias

divididas finitras, los datos deben estar igualmente espaciados. Para tener un buen control

del espaciamiento de datos, con frecuencia, sólo es posible cuando se utiliza una función

para generar la tabla de valores.

Sin embargo, la información empírica (es decir, datos a partir de experimentos o de

estudios de campo) con frecuencia se obtiene a intervalos desiguales. Tal información no

puede analizarse con las técnicas estudiadas hasta aquí.

Una manera de emplear datos irregularmente espaciados consiste en ajustar un

polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado a cada conjunto de tres puntos

adyacentes. Recuerde que estos polinomios no requieren que los puntos estén igualmente

espaciados. Si se deriva analíticamente el polinomio de segundo grado se obtiene



)()(

2)(

)()(

2)(

)()(

2)()(

111

1

1

11

11

111

1

1

iiii

iii

iiii

iii

iiii

iii

xxxx

xxxxf

xxxx

xxxxf

xxxx

xxxxfxf

(5.42)

Al derivar nuevamente:

)()(

)(2

)()(

)(2

)()(

)(2)(

111

1

11111

1

iiii

i

iiii

i

iiii

i

xxxx

xf

xxxx

xf

xxxx

xfxf

(5.43)

donde x es el valor en el cual se quiere estimar la primera y segunda derivada. Aunque estas

ecuaciones son más complicadas que las aproximaciones de la primera y segunda derivada,

tienen importantes ventajas. Primero, sirven para estimar la primera y segunda derivada en

cualquier punto dentro de un intervalo determinado por los tres puntos. Segundo, los puntos

no tienen que estar igualmente espaciados y tercero, la estimación de la primera y segunda

derivada tienen la misma exactitud que la diferencia centrada. De hecho, con puntos

igualmente espaciados, la ecuación (5.42) evaluada en ixx se reduce al a ecuación (5.12)

y la ecuación (5.43) evaluada en ixx se reduce al a ecuación (5.28).

Ejemplo 5.9.

Determinar la primera derivada de 81073 34 xxxy en 0x basándose en los

valores 5.00 x , 11 x y 22 x . Compare este resultado con el valor verdadero y con

una estimación obtenida usando aproximaciones por diferencias centradas, basándose en

1h .

Solución.

En primer lugar se determinan las imágenes de la función en cada valor de x.

9375.18)5.0(10)5.0(7)5.0(3)5.0()( 34

0 fxf

228)1(10)1(7)1(3)1()( 34

1 fxf

368)2(10)2(7)2(3)2()( 34

2 fxf

Los datos se resumen en la siguiente tabla:

i 0 1 2

x –0.5 1 2

)(xf –1.9375 –22 –36



Se desea determinar )0(f .

Puesto que los datos están desigualmente espaciados, se aplica la ecuación (5.42)

)()(

2)(

)()(

2)(

)()(

2)()(

111

1

1

11

11

111

1

1

iiii

iii

iiii

iii

iiii

iii

xxxx

xxxxf

xxxx

xxxxf

xxxx

xxxxfxf

Estando 0x entre 5.0x y 1x , tendremos que

)()(

2)(

)()(

2)(

)()(

2)()(

1202

102

2101

201

2010

210

xxxx

xxxxf

xxxx

xxxxf

xxxx

xxxxfxf


)12()]5.0(2[

1)5.0()0(2)36(

)21()]5.0(1[

2)5.0()0(2)22(

)25.0()15.0(

21)0(2)9375.1()0(

f

)2.0()36()1()22()8.0()9375.1()0( f

2.72255.1)0( f

25.13)0( f

Cálculo del valor verdadero.

81073)( 34 xxxxf

102112)( 23 xxxf

Al evaluar en 0x :

10)0( f

Cálculo con datos igualmente espaciados usando aproximaciones por diferencias centradas

y 1h .

Los datos son los siguientes (se debe incluir el valor 0x en el centro):

i 0 1 2

x –1 0 1

)(xf 12 –8 –22

La fórmula a aplicar es la fórmula de tres puntos (5.12).

)(62

)()()( 1

2

11 fh

h

xfxfxf ii

i

h

xfxfxf

2

)()()( 20

1



h

fff

2

)1()1()0(


)1(2

2212)0(

f

17)0( f


20. [CC] Pruebe que para datos igualmente espaciados, la ecuación (5.42) se reduce a la

ecuación (5.12) en ixx .

21. [CC] Obtener la estimación de la primera derivada para los datos irregularmente

espaciados de la tabla siguiente:

x 1.2 3 3.2 5 7

)(xf 1.807 0.7468 0.6522 0.1684 0.03192

donde xexxf 5)( . Compare su resultado con la derivada verdadera.

Ingeniería Civil / Ambiental.

22. [CC] La primera ley de difusión de Fick establece que

xd

cdDmasa de Flujo

Donde flujo de masa = la cantidad de masa que pasa a través de una unidad de área por

unidad de tiempo (g/cm2/s), D = un coeficiente de difusión (cm

2/s), c = concentración y x =

distancia (cm). Un ingeniero ambiental mide la siguiente concentración de un contaminante

en los sedimentos depositados en un lago (x = 0) en la interfase sedimento – agua y

aumenta hacia abajo):

cm ,x 0 1 3 3g/cm ,c 0.1×10

6 0.4×10

6 0.9×10

6

Con la mejor técnica de diferenciación numérica disponible estime la derivada en x = 0.

Emplee su estimación junto con la ecuación para calcular el flujo de masa del contaminante

desde los sedimentos hacia las aguas sobre ellos (D = 2×10–6

cm2/s).

Ingeniería Eléctrica.



23. [CC] La ley de Faraday caracteriza la caída de voltaje a través de un inductor como

td

idLVL

donde LV = caída de voltaje (V), L = inductancia (en henrios; 1 H = 1 V.s/A), i = corriente

(A), y t = tiempo (s). Determine la caída de voltaje como una función del tiempo a partir de

los siguientes datos, para una inductancia de 4 H.

t 0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7

i 0 0.15 0.3 0.55 0.8 1.9

24. [CC] Se tomó la posición de un avión caza sobre un portaviones durante el aterrizaje:

t, s 0 0.51 1.03 1.74 2.36 3.24 3.82

x, m 154 186 209 250 262 272 274

donde x es la distancia desde el extremo del portaviones. Estime a) la velocidad ( tdxd / ) y

b) la aceleración ( tdvd / ) usando diferenciación numérica.



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

5.2.- DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA.

1.

x )(xf )(xf

1.1 0.48603 1.95400

1.2 0.86160 5.55740

1.3 1.59751 14.49975

1.4 3.76155 28.78105

5.5.- FÓRMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ATRÁS.

2. a) 4)0( f ; b) 1417912.1)3( f ; c) 2599783.0)1( f ; d) 7179252.3)1( f .

3. Para 1.0h : 6488.7162941, 7268.9599458 y 7228.9032950. Para 01.0h :

7310.4232427, 7310.4456926 y 7310.4286513.

4. )( 2hO : 7228146.2)1( f , )( 4hO : 7182728.2)1( f .

5. )(hO Adelante: 6070244.0)(41 f , )(hO Atrás: 7910896.0)(

41 f , )( 2hO

Centrado: 6990570.0)(41 f . )( 2hO Adelante: 7197409.0)(

41 f , )( 2hO Atrás:

7260128.0)(41 f , )( 4hO Centrado: 7069970.0)(

41 f .

6. )(hO Adelante: 0206963.0)20( f , )(hO Atrás: 0228787.0)20( f , )( 2hO

Centrado: 0217875.0)20( f . )( 2hO Adelante: 0215974.0)20( f , )( 2hO Atrás:

0215300.0)20( f , )( 4hO Centrado: 0217129.0)20( f .

7. 3.1045695)5.0( f , Valor exacto: 3.1415927)5.0( f , 21070.3 t , 2

22 1098.3)()( xPxf .

8. 6064511.0)5.0( f , Valor exacto: 6065307.0)5.0( f , 51096.7 t , 5

22 1090.7)()( xPxf .

9. 0)5.0( f , Valor exacto: 0)5.0( f , 0t , 2

22 1017.3)()( xPxf .

10. a) 0.1963527)2.0( f ; b) 1.5309985)0.1( f ; c) 0.6828341)6.0( f ; d)

)( 2hO Centrada: 0.0171830)4.0( f , 1.1910500)4.0( f ; e) )( 2hO Centrada:

0.6828341)6.0( f , 1.4670790)6.0( f

11. a) 05.0h : 2742080.2)05.1( f , 01.0h : 2751000.2)05.1( f ; b) 05.0h :

2740000.2)05.1( f , 01.0h : 2750000.2)05.1( f .

12. 1.0h : 641.36)3.1( f , 01.0h : 5.36)3.1( f . Valor exacto:

5935358.36)3.1( f .

13. a) 5)005.1( f , 6)015.1( f ; b) 100)01.1( f .

14. Los puntos de inflexión se encuentran próximos a los puntos )241971.0,1( y

)241971.0,1( .

15.



t, min 0 15 30 45 60 90 120

Q, Barriles/min 12333.33 7666.67 7666.67 10000.00 8666.67 9000.00 12333.33

16. .K W/m7142857.1 2k

17. Se ha utilizado el orden )( 2hO

Tiempo, min 0 5 10 15 20 25

)C(ºT 90 49.9 33.8 28.4 26.2 25.4

tdTd / –10.42 –5.62 –2.15 –0.76 –0.30 –0.02

1min 1609950.0 k , 0.9874193r

18. a) m/s 1.1)5( v , 2m/s 6.0)5( a ; b) m/s 85.0)5( v , 2m/s 1.0)5( a ; c)

m/s 25.1)5( v , 2m/s 7.0)5( a .

19.

t 0 1 2 3 4 5 y 0 2 8 18 32 50 v 0 4 8 12 16 20

5.6.- DERIVADAS DE DATOS IRREGULARMENTE ESPACIADOS.

21.

x 1.2 3 3.2 5 7

)(xf 1.807 0.7468 0.6522 0.1684 0.03192

)(xf –0.6934000 –0.4846000 –0.4525778 –0.1737862 0.0373062

)(xf 0.1160000 0.1160000 0.2042222 0.1055462 0.1055462

22. Flujo de masa = –0.6333 g/cm2/s.

23. Se ha utilizado el orden )( 2hO , con excepción del punto 3.0t , en el cual se ha

utilizado la fórmula para puntos desigualmente espaciados.

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 10 20 30 40 50 60 70

d T

/ d

t

T - Ta



t 0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7

i 0 0.15 0.3 0.55 0.8 1.9

LV 6.00 6.00 8.00 8.33 13.50 30.50

24.

t, s 0 0.51 1.03 1.74 2.36 3.24 3.82

x, m 154 186 209 250 262 272 274

v, m/s 71.9123871 53.5778090 49.9447278 35.2516935 16.0518084 6.5927341 0.3038178

a, m/s2

–

35.9501530

–

35.9501530 21.9767636

–

57.7317897

–

10.6549365

–

10.8429596

–

10.8429596

01 diferenciacion numerica

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