1

Reglas de Diferenciación

del texto de Alpha C. Chiang

Métodos Fundamentales de Economía Matemática

Función de una variable-de forma

!

y = f x( ) donde f significa cualquier función. En

economía, generalmente, suponemos que las funciones son continuamente

diferenciables. k es un constante.

1. Regla de la función constante

!

y = f x( ) = k

!

dy

dx=dk

dx= 0

2. Regla de la función potencial

!

y = f x( ) = kxn

!

dy

dx= f " x( ) = knxn#1

• Ejemplo 1

!

y = 7x 3 "dy

dx= 7 # 3( )x 3$1 = 21x 2

• Ejemplo 2

!

y = 7x

1

4 "dy

dx= 7 #

1

4

$

% &

'

( ) x

1

4*1

=7

4x*3

4

3. Regla de la función logaritmo natural (base de ‘e’).

!

y = ln x"dy

dx=1

x

La versión general

!

y = ln f x( )"dy

dx=f # x( )f x( )

4. Regla de la función exponencial

!

y = ex"

dy

dx= e

x

La versión general

!

y = ef x( ) "

dy

dx= f # x( )e f x( )

Dos o más funciones de la misma variable-

!

f x( ),g x( ),h x( ) son funciones.

1. Regla de la suma

!

y = f x( ) ± g x( )

!

d f x( ) ± g x( )[ ]dx

=df x( )dx

±dg x( )dx

= f " x( ) ± g" x( )

• Ejemplo 1

!

y = 7x4

+ 2x3" 3x + 37#

dy

dx= 28x

3+ 6x

2" 3

• Ejemplo 2

!

y = ax2

+ bx + c"dy

dx= 2ax + b

• Ejemplo 3

!

y = ax"

+ bx#

+ c$dy

dx="ax"%1 + #bx # %1

2. Regla del producto

!

y = f x( )g x( )

!

d f x( )g x( )[ ]dx

= f x( )dg x( )dx

+ g x( )df x( )dx

= f x( )g" x( ) + g x( ) f " x( )

• Ejemplo 1

!

y = 2x + 3( ) 3x 2( )"dy

dx= 2x + 3( ) 6x( ) + 2( ) 3x 2( ) =18x 2 +18x o, en

este caso podemos multiplicar primer, y después tomamos la derivada.

!

y = 2x + 3( ) 3x 2( ) = 6x 3 + 9x 2 "dy

dx=18x 2 +18x . Pero, en algunos casos no se

puede.

2

• La regla sirve en los casos de más que 2 funciones. Si

!

y = f x( )g x( )h x( )

!

d f x( )g x( )h x( )[ ]dx

= f x( )h x( )dg x( )dx

+ g x( )h x( )df x( )dx

+ g x( ) f x( )dh x( )dx

=

f x( )h x( )g" x( ) + g x( )h x( ) f " x( ) + g x( ) f x( )h" x( )

3. Regla de cociente

!

y =f x( )g x( )

"dy

dx=g x( ) f # x( ) $ f x( )g# x( )

g x( )[ ]2

• Ejemplo 1

!

y =2x " 3( )x +1( )

#dy

dx=

x +1( )2 " 2x " 3( )1

x +1( )2

=5

x +1( )2

• Ejemplo 2

!

y =ax

2 + b( )cx

"dy

dx=cx2ax # ax

2 + b( )ccx( )

2=c ax

2# b( )

c2x2

=ax

2# b

cx2

Funciones de variables diferentes-

!

x,y,w,z son variables y

!

f y( ),g x( ),h w( ) son

funciones.

1. Regla de la cadena

!

z = f y( ) y = g x( )"dz

dx=dz

dy

dy

dx= f # y( )g# x( ) También

podemos obtener este resultado con la sustitución de

!

g x( ) en la función

!

z = f y( ) = f g x( )[ ]"dz

dx= f # g x( )[ ]g# x( ) = f # y( )g# x( )

• Ejemplo 1

!

z = 3y 2 y = 2x + 5"dz

dx= 6y( ) 2( ) =12y =12 2x + 5( ) = 24x + 60

• Ejemplo 2

!

z = x2 + 3x " 2( )

17

Sea que

!

y = x2 + 3x " 2( )# z = y

17 Entonces

!

dz

dy=17y

16 dy

dx= 2x + 3

!

dz

dx=dz

dy

dy

dx= 17y

16( ) 2x + 3( ) =17 x 2 + 3x " 2( )16

2x + 3( )

Usos en economía (funciones de una variable).

• Función de producción donde hay nada más un factor de producción, digamos el

trabajo.

!

y = f l( )"dy

dl= f # l( ) la derivada es el producto marginal de trabajo

• Función de consumo en el modelo keynesiano tradicional. Consumo actual es

una función de ingreso actual (la única variable) y una cantidad fija, se

denomina consumo autónomo.

!

C = C + c Y( )"dC

dY= c# Y( ) La derivada es la

propensión marginal de consumo. Típicamente, en los cursos introductorias de

macro, la función

!

c Y( ) es lineal (c es constante) tanto que

!

c Y( ) = cY "dC

dY= c .

3

• Elasticidades en un punto-Sea que la demanda de mercado tiene una forma

!

Qd =Q P( ), P es el precio del producto.

!

dQd

dP=Q" P( ) La elasticidad de

demanda respecto el precio (del mismo bien) es

!

"d =dQ

d

dP

P

Qd

• Tasas de crecimiento. Una variable y cambio con tiempo t. Escribimos

!

y = f t( )"dy

dt= f # t( ) La tasa de cambio (o crecimiento) de y es

!

dydt

y=f " t( )f t( )

.

Obsérvense que podemos escribir la función

!

y = f t( ) en logaritmos

!

ln y = ln f t( ) y usamos la regla de logaritmos para obtener la tasa de

crecimiento.

!

d ln y

dt=f " t( )f t( )

=

dydt

y

Funciones de más de una variable-Derivadas Parciales

Las reglas por arriba aplican con cambios de la notación. Es importante señalar que la

derivada parcial muestra el efecto de un cambio incremental de una de las variables

explicativas tiene en el valor de la función, manteniendo todas las otras variables

constantes.

Concepto: Consideremos una función

!

y = f x1,x

2x3,K,xn( ) donde las variables

xi, i = 1, 2, … n, son todas independientes entre sí. Supongamos que una de las

variables xi, digamos x2, cambia y mientras todas las otras permanecen constantes. La

nueva función es

!

y + "y = f x1,x

2+ "x

2,x

3,K,xn( ) . El cociente incremental es

!

"y

"x2

=f x

1,x

2+ "x

2,x

3,K,xn( ) # f x

1,x

2,x

3,K,xn( )

"x2

y

!

lim"x

2#0

"y

"x2

$%y

%x2

= f2 es la derivada

parcial de y con respecto a x2.

• Ejemplo 1

!

y = f x1,x

2( ) = 3x1

2 + x1x2

+ 4x2

2

!

"y

"x1

# f1x1,x

2( ) # f1

= 6x1+ x

2

!

"y

"x2

# f2x1,x

2( ) # f2

= x1+ 8x

2

• Ejemplo 2

!

y = f x1,x

2( ) = x1

+ 4( ) 3x1 + 2x2( )

!

"y

"x1

# f1

=1 3x1+ 2x

2( ) + x1+ 4( )3 = 3x

1+ 2x

2( ) + 3x1+12( ) = 6x

1+ 2x

2+12 o

podemos multiplicar antes

!

y = x1+ 4( ) 3x1 + 2x

2( ) = 3x1

2 +12x1+ 2x

1x2

+ 8x2 y

después, tomamos la derivada parcial. De modo parecido, la segunda derivada

parcial es

!

"y

"x2

# f2

= 0 3x1+ 2x

2( ) + x1+ 4( )2 = 3x

1+12( ) = 2x

1+ 8

• Ejemplo 3

!

y =x1+ 4( )

3x1+ 2x

2( )

!

"y

"x1

=3x

1+ 2x

2( )1# x1+ 4( )3

3x1+ 2x

2( )2

=2x

2#12

3x1+ 2x

2( )2

4

Varios ejemplos del uso de derivadas parciales en economía.

• Función de producción de dos o más factores de producción.

!

y = f l,k( )"#y

#l= f l ,

#y

#k= fk la primera derivada parcial (en este caso) es el

producto marginal de trabajo y la segunda es el producto marginal de capital.

• Elasticidades en un punto-Sea que la demanda de mercado tiene una forma

!

Qd =Q P,Y( ) , P es el precio del producto y Y es ingreso.

!

"Qd

"P=QP

La

elasticidad de demanda respecto el precio (del mismo bien) es

!

"d =#Qd

#P

P

Qd

Diferencial total-una derivada, total o parcial, es el cociente de dos cambios. A veces,

queremos ver el cambio de la variable dependiente cuando hay uno o más cambios

infinitesimales de las variables explicativas.

En el caso de la función de una variable explicativa

!

y = f x( ) la diferencial total es

!

dy = f " x( )dx Los símbolos dy y dx se llaman las diferenciales de y y x,

respectivamente.

• Ejemplo-función de consumo (versión lineal) en el modelo keynesiano

!

C = C + cY " dC = cdY En esta forma, podemos decir que un cambio

específico (pequeño) de Y por la propensión marginal de consumo (constante en

este caso, modelo lineal) produce un cambio de C

En el caso de la función de más que una variable explicativa como

!

y = f x1,x

2( ) la

diferencial total es

!

dy = f1x1,x

2( )dx1 + f2x1,x

2( )dx2 ="y

"x1

dx1+"y

"x2

dx2

• Ejemplo-función de producción de Cobb-Douglas.

!

y = l"k1#" $ dy ="l"#1k1#"dl + 1#"( )l"k#"dk Obsérvense que los términos

antes de dl y dk son los productos marginales de trabajo y capital,

respectivamente.

• Modelo Keynesiano tradicional (cruz keynesiana lineal)

!

Y = C + c Y "T( ) + G + I + N X # Y =1

1" cC + G + I + N X ( ) "

c

1" cT

Escribimos la diferencial total

!

dY =1

1" cdC + dG + dI + dN X ( ) "

c

1" cdT . Los

términos

!

1

1" c

"c

1" c son los multiplicadores de gastos autónomos y impuestos

(de cuota fija)

Derivada total-Consideremos una función

!

y = f x1,x

2,z( ) donde las variables xi, i = 1, 2

son funciones de la otra variable z. Así, las variables explicativas no son independientes

entre sí.

!

x1

= g z( ) x2

= h z( ). Queremos determinar

!

dy

dz.

1.

!

dy ="y

"x1

dx1+"y

"x2

dx2

+"y

"zdz

5

2. Dividimos por dz

!

dy

dz="y

"x1

dx1

dz+"y

"x2

dx2

dz+"y

"z En palabras, la expresión

muestra que hay tres formas que la variable z afecta la variable y. Dos

indirectos, pos sus efectos en las otras variables x2 y x2 y el efecto

directo.

3. Obsérvense:

!

dx1

= g"dz#dx

1

dz= g" dx

2= h"dz#

dx2

dz= h"