00 Aritmetica Entera y Modular

8/4/2019 00 Aritmetica Entera y Modular

1/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun

divisor. Algoritmo de

Euclides.

Ecuaciones

diofanticas lineales.

Aritmetica

modularSuma y producto en

Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

ALGEBRA Curso 2008/09

Tema III. ARITMETICA ENTERA Y

MODULAR.

Jos e Juan Carre no Carre no

Departamento de Matematica Aplicada

Escuela Universitaria de InformaticaUniversidad Politecnica de Madrid


2/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

INDICE

Tema III. ARITMETICA ENTERA Y MODULAR.

1 Divisibilidad en Z.

Definicion y propiedades.

Teorema fundamental de la aritmetica.

Maximo comun divisor. Algoritmo de Euclides.

Teorema de Bezout. Algoritmo de Euclidesextendido.

Ecuaciones diofanticas lineales.

2 Aritmetica modular.

Suma y producto en Zn. Propiedades.

Ecuaciones modulares.


3/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Definicion y propiedades. 1

Definicion:

Dadosa,

bZ se dice queadivide a b, y

lo notamosab, si existe c Z tal que b = a c.

Si ab se dice tambi en que

aes divisor deb

o bien que

b es m ultiplo dea.

Si ano divide ab se denota ab.

Ejemplo:


4/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Definicion y propiedades. 2

Proposicion: Para todo a, b, c Z

se verifica:

1 1 a, 1 a, a0.

2 aa, |a| a.

3 Si a

b y b

a = a= b.

4 Si a b = a b x x Z.

5 Si a b, a c = a bx + cy x, y Z.

6 Si x = y + z, a

x, a

y = a

z x, y, z Z.

DEM.


5/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Teorema fundamental de la aritmetica. 1

Definicion: Seap N, p > 1. Diremos quep es unnumero primo si sus unicos divisores enN son1 yp, es

decir:

n N : n

p = n = 1 o n = p.

Si n N, n > 1 y n no es primo, se dice que n escompuesto.

Ejemplo:

Teorema: Sean N, n > 1, entonces n es divisiblepor, al menos, un n umero primo.


6/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Teorema fundamental de la aritmetica. 2

Teorema: Teorema Fundamental de la Aritmetica

Todo n umeron N

, n > 1, se descompone de maneraunica, salvo el orden de los factores, como producto den umeros primos, es decir,

existen unicos p1, . . . , pr N, n umeros primos,

y existen unicos 1, . . . , r N :

n = p11 . . . pr

r

Esta expresion recibe el nombre de descomposicion en

factores primos de n.

Ejemplo:


7/37


8/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Maximo comun divisor. 2 Proposicion: a, b Z se verifica

1 mcd(a, b) 0.

2 mcd(a, 0) = |a|.

3 mcd(a, na) = |a|, n Z.

4 mcd(a, b) = mcd(|a|, |b|).

Definicion: Se dice quea, b Z sonprimos relativossi los unicos divisores comunes deayb son 1 y 1,es decir, si mcd(a, b) = 1.

Ejemplo:

Proposicion: Seana, b Z tales quea, b > 1.Elmcd(a, b) coincide con el producto de los primoscomunes de las descomposiciones en factores primos de a

y b elevados al menor exponente.

Ejemplo:


9/37


10/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Algoritmo de Euclides. 1

Proposicion: Algoritmo de Euclides

Seana, b N, tales quea b > 0. Si aplicamos elteorema de divisi on eucldea sucesivas veces, tomando

r0 = a y r1 = b, y las divisiones sucesivas son:

r0 = r1 q1 + r2 con 0 < r2 < r1

r1 = r2 q2 + r3 con 0 < r3 < r2r2 = r3 q3 + r4 con 0 < r4 < r3

......

ri = ri+1 qi+1 + ri+2 con 0 < ri+2 < ri+1...

.

..rn2 = rn1 qn1 + rn con 0 < rn < rn1rn1 = rn qn + rn+1 con rn+1 = 0

entonces, se verifica que mcd(a, b) = rn

el ultimo resto no nulode las anteriores divisiones.


11/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.


Observaciones: La condicion: a b > 0, delalgoritmo de Euclides no es ninguna restriccion pues:

1 Como mcd(a, b) = mcd(|a|, |b|) este algoritmopuede utilizarse para enteros cualesquiera.

2 Si en el algoritmo de Euclides se efectua la primera

division tomando como divisor el mayor de los dosnumeros dados se realiza una division mas que no

aporta nada significativo.

3 Es habitual disponer los terminos de las divisiones

en una tabla como la siguiente:

r0 = a r1 = b r2 rn1 rn rn+1 = 0

q1 q2 qn1 qn

Ejemplo:


12/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.


Teorema: Teorema de Bezout.

Sean a, b N

. Entonces se verifica:x, y Z tales que mcd(a, b) = ax + by.

En particular, si mcd(a, b) = 1 entoncesx, y Z tales que 1 = ax + by.

Esta propiedad se llama identidad de Bezout.

Observacion: El recproco de la identidad de B ezouttambien se verifica:

mcd(a, b) = 1 x, y

Z/ 1 = ax + by.

En este caso, para todo m Z se verifica quex, y Z tales que m = ax + by.

Ejemplo:


13/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Algoritmo de Euclides extendido. 1

El algoritmo de Euclides extendido permite hallar:

dados dos numeros a, b N, tales que a b > 0, elmcd(a, b)

y a la vez calcular dos numeros x, y Z tales quemcd(a, b) = ax + by.

Algoritmo de Euclides extendido.

Para calcular el maximo comun divisor de dos numeros

a, b N, tales que a b > 0, se hace lo siguiente:


14/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.


Algoritmo de Euclides extendido.

1 r0 := a, x0 := 1, y0 := 0.

2 r1 := b, x1 := 0, y1 := 1.

3 i := 1.

4 Si ri = 0 devolver ri1.

5

Si ri > 0, hacer Dividir ri1 entre ri generando qi y ri+1 que

verifican:ri1 = qi ri + ri+1 con 0 ri+1 < ri.

Definir xi+1 := xi1 qixi e yi+1 := yi1 qiyi.

Asignar i := i + 1 y volver a (4).

Ademas, si rn es el ultimo resto no nulo, se tiene que

mcd(a, b) = rn = axn + byn.

De hecho ri = axi + byi, i = 0, . . . , n.


15/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.


Ejemplo:

P i d d d di i ibilid d


16/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Propiedades de divisibilidad.

Proposicion:

a, b, d, p Z se verifica que:

1 Si da b y mcd(d, a) = 1 = db.

2 Si pa b, pa y p es primo = pb.

3 Si pa b y p es primo = p

a o p

b.

4 Si da y db = dmcd(a, b).

DEM.

ALGEBRA E i di f i li l 1


17/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Ecuaciones diofanticas lineales. 1

Definicion: Una ecuaci on se llamadiof anticacuandos olo interesan sus soluciones enteras. Una ecuaci on

diof antica del tipo ax + by = c con a, b, c Z sellamaecuaci on diof antica linealen dos variables.

Ejemplo: Se considera el siguiente problema:

Una persona quiere gastarse exactamente 150 e en

adquirir dos productos distintos, de los que cada unidadcuesta 48 e y 18 e, respectivamente.

Cuantas unidades puede comprar de cada producto?

Dar todas las posibles soluciones.

ALGEBRA E i di f ti li l 2


18/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.


Teorema: Se considera la ecuaci on diof antica

ax + by = c con a, b, c Z

y d =mcd

(a, b).

1 Si dc entonces la ecuaci onno tiene soluciones

enteras.

2 Si dc entonces la ecuaci on tieneinfinitas soluciones

enteras.

En este caso, si (x0, y0) es una soluci on particular dela ecuaci on, entonces todas las soluciones son:

x = x0 + bd k

y = y0 a

dk

k Z.

DEM.

ALGEBRA E i di f ti li l 3


19/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.


Ejemplo:

Nota: Si la ecuacion diofantica ax + by = c tienesolucion, para resolverla conviene simplificarla dividiendo

ambos miembros de la ecuacion por mcd(a, b), ya quese obtiene una nueva ecuacion mas sencilla de resolver y

que es equivalente a la anterior, es decir, que tiene las

mismas soluciones.

Ejemplo:


20/37


21/37

ALGEBRA Suma y producto en Z Propiedades 3


22/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Suma y producto en Zn. Propiedades. 3

Ejemplo: Tablas de la suma en Z2 y Z5.

0 1

0 0 1

1 1 0

0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 02 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3



23/37

ALGEBRA

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.


Notacion: Dados a, k Z notaremos por

k a =

0 k = 0

a . . .k) a k > 0

(a) . . .k) (a) k < 0

Ejemplo: En Z3, con la notacion anterior:

4 2 = 2 2 2 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4 2 = 8 = 2.

4 2 = (2) (2) (2) (2) =

= 1 1 1 1 = 4 1 = 4 = 1.



24/37

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.


Teorema:

EnZn se puede definir una operaci on binaria, llamada

producto de clases,

: Zn Zn Zn(a, b) a b = a b

que verifica las propiedades siguientes



25/37

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica

modularSuma y producto enZn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.


1 esta bien definida, es decir, es una operacioninterna en Zn.

2 a (b c) = (a b) c, a, b, c Zn(P. Asociativa).

3 1 Zn : a 1 = 1 a = a, a Zn(Existencia de elemento neutro).

4 a Zn tal que mcd(a, n) = 1, a Zn

:a a = a a = 1.(Existencia de elemento inverso)

Al elemento a

lo llamaremos inverso de a y lonotaremos a1. En particular, si p es primo:

a Zp a1 Zp

: a a1 = 1.

5 a b = b a, a, b Zn (P. Conmutativa).



26/37

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Ecuaciones

modulares.


Ademas se verifica la propiedad distributiva del producto

respecto de la suma:

a (b c) = (a b) (a c), a, b, c Zn.

Notacion: Denotaremos la suma y el producto declases con los smbolos de la suma y producto habituales,

es decir, a b lo notaremos a + b. Igual para elproducto: a b.

Observacion: (Zn, +, ) tiene estructura de anillopor verificar las propiedades de los teoremas anteriores.

Ademas cuando p es primo, cada elemento de Zp tiene

inverso y, por tanto, (Zp, +, ) tiene estructura de cuerpo.

ALGEBRA Suma y producto en Zn Propiedades 8


27/37

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmetica


Ecuaciones

modulares.


Ejemplo: Tablas del producto en Z4 y Z5.

0 1 2 30 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

Observaciones:

ALGEBRA Suma y producto en Zn Propiedades 9


28/37

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmeticamodular

Suma y producto en

Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.


Proposicion: (Propiedad cancelativa en(Zn, ))

Sean a, b, c Zn entonces se verifica

a c = b c y mcd(n, c) = 1 = a= b.

Nota: Si mcd(n, c) = 1 el resultado anterior es falso.

Ejemplo:

ALGEBRA Suma y producto en Zn. Propiedades. 10


29/37

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmeticamodular

Suma y producto en

Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.


Notacion: Dados a, k Z notaremos por

ak =

1 k = 0

a . . .k) a k > 0

a1 . . .k) a1 k < 0, si esta definido a1.

Ejemplo:

ALGEBRA Ecuaciones modulares. 1


30/37

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmeticamodular

Suma y producto en

Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Ecuaciones modulares. 1

Las ecuaciones modulares son ecuaciones de la forma

a x c (mod n) o, equivalentemente

a x = c en Zn.

Estas ecuaciones tienen aplicaciones importantes.

Tambien en Informatica, como es la aplicacion en

Criptologa, que es la ciencia que se encarga de ocultar la

informaci on de forma que solo pueda entenderla su

destinatario.



31/37

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmeticamodular

Suma y producto en

Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Ecuaciones modulares. 2

Uno de los sistemas criptogr aficosmas antiguos es elconocido con el nombre de Julio Cesar.

El proceso de cifradoconsista en:

Traducir las letras a numeros (aplicacion biyectiva).

Aplicar una transformacion a estos numeros

(aplicacion afn).

La cadena de numeros resultante se vuelve a traducir a

letras (inversa de la biyeccion).

Entonces se manda la informaci on cifrada, que el receptor

se encarga de descifrar.



32/37

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmeticamodular

Suma y producto en

Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

La biyeccion f entre numeros y letras viene dada por la

tabla:

A B C D E F G H I J

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

K L M N N O P Q R S

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

T U V W X Y Z

20 21 22 23 24 25 26

La transformacion utilizada por los romanos era:

C P+ 3(mod 27), con 0 P 26.



33/37

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmeticamodular

Suma y producto en

Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Por ejemplo: llamamos T a la transformacion anterior

Si se quiere cifrar el mensaje PAZ

PAZf

16 0 26T

1 9 3 2f1

SDC

el mensaje cifrado que se enva es SDC.



34/37

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmeticamodular

Suma y producto en

Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Para obtener el mensaje en claro, el receptor debe realizar

el proceso inverso. Para ello emplea la funcion inversa de lafuncion de cifrado:

P C+ 24(mod 27), con 0 C 26.

La transformacion T es un caso particular de la familia de

las transformaciones siguientes:

C aP+ b(mod n), donde mcd(a, n) = 1.

Estas transformaciones se llaman transformaciones

afines.



35/37

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmeticamodular

Suma y producto en

Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

En el proceso de codificacion hay que resolver ecuaciones

modulares.

Veamos como se resuelven las ecuaciones modulares del

tipo:

a x = c en Zn

que se corresponden con transformaciones afines en lasque b = 0.



36/37

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmeticamodular

Suma y producto en

Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Proposicion: Sean a, c Z, n N,mcd(n, a) = d.

La siguiente ecuaci on de Zn, a x = c:

1 si d c entonces no tiene soluciones.

2 si d c tiene exactamente d solucionesen Zn.

En este caso la ecuaci on diof antica tiene infinitas

soluciones enteras de la forma:

x = x0 +n

dk, y = y0

a

dk, con k Z.

Solo nos interesan los valores de x.

Se verifica que s olo hay d soluciones distintas enZ

n:

x0, x1 = x0 +n

d,

x2 = x0 + 2n

d

, . . . , xd1 = x0 + (d 1)n

d

.



37/37

JJCC

Divisibilidaden Z

Definicion y

propiedades.

Teorema

fundamental de la

aritmetica.

Maximo comun


Euclides.

Ecuaciones


Aritmeticamodular

Suma y producto en

Zn. Propiedades.

Ecuaciones

modulares.

Nota: En particular, si mcd(n, a) = 1, la ecuaciona x = c tiene solucion unica:

x = a1 c

DEM.

Observacion: La ecuacion modular a x = c tienesolucion en Zn la ecuacion diofantica ax + ny = c tiene soluciones

enteras.

Nota: La ecuacion ax + ny = c se llama ecuaciondiofantica asociada a la ecuacion modular a x = c.

Ejemplo:

00 Aritmetica Entera y Modular

Documents

Transcript of 00 Aritmetica Entera y Modular