1

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

A. Bilangan Real (ℝ)

Definisi

Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal, seperti

2,86547 ⋯ atau 3,328184. Bilangan Real meliputi Bilangan Rasional, seperti 42 dan −23

129,

dan Bilangan Irrasional, seperti 𝜋 dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik

dalam garis bilangan.

B. Bilangan Imajiner

Definisi

Bilangan imajiner ditandai dengan adanya huruf, bilangan yang mempunyai sifat

𝑖2 = − 1 ↔ 𝑖 = √−1.

C. Bilangan Kompleks (ℂ)

Definisi

Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan

real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk

𝐶 = {𝑎 + 𝑏𝑖 | (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ dan 𝑖 adalah bilangan imajiner}.

D. Persamaan Kuadrat

Definisi

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 ∈ ℝ

Bilangan Asli (ℕ)

(1,2,3, ⋯ )

Bilangan Nol

(0)

Bilangan Negatif

(⋯ , −3, −2, −1)

Bilangan Bulat (ℤ ) Bilangan Pecahan

(1

2; 3

5

7; 5%; 6,82; ⋯ )

Bilangan Rasional (ℚ) Bilangan Irrasional

(√2; 1 + √3; √5 + √7; ⋯ )

Bilangan Real (ℝ)

atau Bilangan Nyata

Bilangan Imajiner

atau Bilangan Tidak Nyata

𝑖 = √−1

Bilangan Kompleks (ℂ )

𝑥 = 𝑎 ± 𝑏𝑖

2

keterangan: 𝑎 = koefisien 𝑥2

𝑏 = koefisien 𝑥

𝑐 = konstanta

𝑥 = variabel

E. Akar-akar Persamaan Kuadrat

1) Pemfaktoran

𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 2𝑎𝑏

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

misal: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑝𝑞

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥2 + (𝑝 + 𝑞)𝑥 + 𝑝𝑞 jika dan hanya jika

𝑏𝑥 = (𝑝 + 𝑞)𝑥

𝑏 = 𝑝 + 𝑞 dan 𝑐 = 𝑝𝑞 atau

𝑝 + 𝑞 = 𝑏 dan 𝑝𝑞 = 𝑐

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 !

Jawab: 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 dan 𝑝𝑞 = 𝑐

𝑝 + 𝑞 = −3 dan 𝑝𝑞 = 6

misal: −3 = −5 + 2, −3 = −1 − 2, dan lain-lain

misal: −10 = (−5)(2), −10 = (5)(−2), dan lain-lain

Karena yang sama pada permisalan pertana dan permisalan kedua adalah −5 dan 2, maka

dipakai 𝑝 = −5 dan 𝑞 = 2

𝑥2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)

𝑥2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 2)

Coba dicek

(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 𝑥2 + 2𝑥 − 5𝑥 − 10

(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 𝑥2 − 3𝑥 − 10

Akar-akar persamaan kuadrat

(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 0

𝑥1 − 5 = 0 atau 𝑥2 + 2 = 0

𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

2) Kuadrat Sempurna

misal: 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

𝑎= 𝑥2 +

𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎

misal: 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎= 0

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎−

𝑐

𝑎= 0 −

𝑐

𝑎

3

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 = −

𝑐

𝑎⋯ (1)

misal 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 6𝑥 + (3)2

𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + (2 ⋅ 3)𝑥 + (3)2

𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 2(3)𝑥 + (3)2

𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 2 (6

2) 𝑥 + (

6

2)

2

⋯ (2)

Ubahlah persamaan (1) ke persamaan (2)

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 = −

𝑐

𝑎 ke 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 2 (

6

2) 𝑥 + (

6

2)

2

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 = −

𝑐

𝑎

𝑥2 + 1 ⋅ (𝑏

𝑎) 𝑥 = −

𝑐

𝑎

𝑥2 + 1 ⋅ (𝑏

𝑎) 𝑥 = −

𝑐

𝑎

𝑥2 +2

2⋅ (

𝑏

𝑎) 𝑥 = −

𝑐

𝑎

𝑥2 +2

1⋅2⋅ (

𝑏

𝑎) 𝑥 = −

𝑐

𝑎

𝑥2 +2

1⋅ (

𝑏

2⋅𝑎) 𝑥 = −

𝑐

𝑎

𝑥2 + 2 (𝑏

2𝑎) 𝑥 + (

𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)

2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)

2

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 !

Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)

2

(𝑥 +(−3)

2(1))

2

= −(−10)

1+ (

(−3)

2(1))

2

(𝑥 + (−3

2))

2

= 10 + (−3

2)

2

(𝑥 −3

2)

2

= 10 +9

4

(𝑥 −3

2)

2

= 1 ⋅ 10 +9

4

(𝑥 −3

2)

2

=4

4⋅ 10 +

9

4

(𝑥 −3

2)

2

=4⋅10

4+

9

4

(𝑥 −3

2)

2

=40

4+

9

4

(𝑥 −3

2)

2

=49

4

(𝑥 −3

2)

2

=49

4

√(𝑥 −3

2)

2

= √49

4

4

√(𝑥 −3

2)

2

= √72

22

√(𝑥 −3

2)

2

= √(7

2)

2

𝑥 −3

2= ±

7

2

𝑥 =3

2±

7

2

𝑥1 =3

2+

7

2 atau 𝑥2 =

3

2−

7

2

𝑥1 =10

2 atau 𝑥2 =

−4

2

𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

3) Rumus 𝒂𝒃𝒄

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)

2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎) (

𝑏

2𝑎)

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎+

𝑏2

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎⋅ 1 +

𝑏2

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎⋅

4𝑎

4𝑎+

𝑏2

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −4𝑎𝑐

4𝑎2 +𝑏2

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2

4𝑎2 −4𝑎𝑐

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2

4𝑎2 + (−4𝑎𝑐

4𝑎2)

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2

4𝑎2 + (−4𝑎𝑐

4𝑎2 )

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2−4𝑎𝑐

(2𝑎)2

√(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= √𝑏2−4𝑎𝑐

(2𝑎)2

𝑥 +𝑏

2𝑎=

√𝑏2−4𝑎𝑐

√(2𝑎)2

𝑥12 +𝑏

2𝑎= ±

√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 = −𝑏

2𝑎±

√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−𝑏

2𝑎+

±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 !

Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10

5

𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−(−3)±√(−3)2−4(1)(−10)

2(1)

𝑥12 =3±√9+40

2

𝑥12 =3±√49

2

𝑥12 =3±7

2

𝑥1 =3+7

2 atau 𝑥2 =

3−7

2

𝑥1 =10

2 atau 𝑥2 =

−4

2

𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

F. Sifat-sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat

Sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat dapat ditinjau dari nilai diskriminan

(pembeda), yaitu: 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐. Sifat akar-akar tersebut adalah

1) Jika 𝐷 > 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,

maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang berbeda (𝑥1 ≠ 𝑥2).

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 16 = 0 !

Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, dan 𝑐 = −16

𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−(0)±√(0)2−4(1)(−16)

2(1)

𝑥12 =0±√0+64

2

𝑥12 =0±√64

2

𝑥12 =±8

2

𝑥1 =+8

2 atau 𝑥2 =

−8

2

𝑥1 =8

2 atau 𝑥2 =

−8

2

𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = −4

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 16 = 0 adalah 𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = −4

2) Jika 𝐷 = 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,

maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang sama (𝑥1 = 𝑥2).

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0 !

Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −8, dan 𝑐 = 16

6

𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−(−8)±√(−8)2−4(1)(16)

2(1)

𝑥12 =8±√64−64

2

𝑥12 =8±√0

2

𝑥12 =8±0

2

𝑥1 =8+0

2 atau 𝑥2 =

8−0

2

𝑥1 =8

2 atau 𝑥2 =

8

2

𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = 4

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0 adalah 𝑥1 = 𝑥2 = 4

3) Jika 𝐷 < 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,

maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang kompleks (𝑥1 = ⋯ +

⋯ 𝑖 atau 𝑥2 = ⋯ − ⋯ 𝑖).

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0 !

Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −6, dan 𝑐 = 13

𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−(−6)±√(−6)2−4(1)(13)

2(1)

𝑥12 =6±√36−52

2

𝑥12 =6±√−16

2

𝑥12 =6±√16⋅(−1)

2

𝑥12 =6±√16⋅√−1

2

𝑥12 =6±4⋅𝑖

2

𝑥12 =6±4𝑖

2

𝑥1 =6+4𝑖

2 atau 𝑥2 =

6−4𝑖

2

𝑥1 =2(3+2𝑖)

2 atau 𝑥2 =

2(3−2𝑖)

2

𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0 adalah 𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖

7

G. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

𝑥12 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 atau 𝑥2 =

−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

1) Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎+

−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−2𝑏

2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏

𝑎

2) Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

𝑥1𝑥2 = (−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎) (

−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎)

𝑥1𝑥2 =(−𝑏)(−𝑏)−(−𝑏)(−√𝑏2−4𝑎𝑐)−(−𝑏)(√𝑏2−4𝑎𝑐)+(√𝑏2−4𝑎𝑐)(−√𝑏2−4𝑎𝑐)

(2𝑎)(2𝑎)

𝑥1𝑥2 =𝑏2−𝑏√𝑏2−4𝑎𝑐+𝑏√𝑏2−4𝑎𝑐−√(𝑏2−4𝑎𝑐)2

4𝑎2

𝑥1𝑥2 =𝑏2−(𝑏2−4𝑎𝑐)

4𝑎2

𝑥1𝑥2 =𝑏2−𝑏2+4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥1𝑥2 =4𝑎⋅𝑐

4𝑎⋅𝑎

𝑥1𝑥2 =𝑐

𝑎

Contoh: Jika diketahui 𝑎 = 2, 𝑏 = −1, 𝑐 = 3, maka carilah −1

𝑥1−

1

𝑥2 !

Jawab: −1

𝑥1−

1

𝑥2=

−1

𝑥1⋅ 1 −

1

𝑥2⋅ 1

=−1

𝑥1⋅

𝑥2

𝑥2−

1

𝑥2⋅

𝑥1

𝑥1

=−𝑥2

𝑥1𝑥2−

𝑥1

𝑥1𝑥2

=−𝑥2 − 𝑥1

𝑥1𝑥2

=(−𝑥2 − 𝑥1)

𝑥1𝑥2

=−(𝑥1 + 𝑥2)

𝑥1𝑥2

= −(𝑥1 + 𝑥2)

𝑥1𝑥2

= − (𝑥1 + 𝑥2

𝑥1𝑥2)

8

= − (

−𝑏𝑎𝑐𝑎

)

= − (−𝑏

𝑎) (

𝑎

𝑐)

= − (−(−1)

2) (

2

3)

= − (1

1) (

1

3)

= −1

3

Jadi, −1

𝑥1−

1

𝑥2= −

1

3

H. Menyusun Persamaan Kuadrat

𝑥 = 𝑥1 atau 𝑥 = 𝑥2

𝑥 − 𝑥1 = 0 atau 𝑥 − 𝑥2 = 0

(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0

𝑥2 − 𝑥2𝑥 − 𝑥1𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

𝑥2 − (𝑥2 + 𝑥1)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

Contoh: Jika diketahui −𝑏

𝑎= 3,

𝑐

𝑎= −10, maka bentuklah persamaan kuadratnya!

Jawab:

𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

𝑥2 − (−𝑏

𝑎) 𝑥 + (

𝑐

𝑎) = 0

𝑥2 − (3)𝑥 + (−10) = 0

𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0

Jadi, persamaan kuadratnya 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0

Contoh: 𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖, maka bentuklah persamaan kuadratnya!

Jawab:

𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

𝑥2 − (3 + 2𝑖 + 3 − 2𝑖)𝑥 + (3 + 2𝑖)(3 − 2𝑖) = 0

𝑥2 − (3 + 3 + 2𝑖 − 2𝑖)𝑥 + (9 − 6𝑖 + 6𝑖 − 4𝑖2) = 0

𝑥2 − (6)𝑥 + (9 − 4√(−1)2) = 0

𝑥2 − 6𝑥 + (9 − 4(−1)) = 0

𝑥2 − 6𝑥 + (9 + 4) = 0

𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0

I. Bentuk Fungsi

Definisi

Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan

𝑓(𝑥) = 𝑦

dimana 𝑥 merupakan domain dari fungsi 𝑓 dan disebut variabel bebas karena nilainya dapat

diganti dengan berbagai bilangan dan 𝑦 disebut variabel terikat (tak bebas)

9

karena nilainya ditentukan oleh 𝑥.

J. Fungsi Kuadrat

Definisi

Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 atau 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dimana 𝑎 ≠ 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 ∈ 𝑹

K. Grafik Fungsi Kuadrat

1) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 > 𝟎

10

2) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 = 𝟎

3) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 < 𝟎

11

4) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 < 𝟎

5) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 = 𝟎

12

6) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 < 𝟎

L. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Contoh: Gambarlah grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 10 !

Jawab:

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 10 jika dan hanya jika 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 − 10

Langkah ke-1 (Menentukan titik potong sumbu 𝑿)

Jika 𝑦 = 0, maka 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0

𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−(−3)±√(−3)2−4(1)(−10)

2(1)

𝑥 =3±√9+40

2

𝑥 =3±√49

2

𝑥 =3±7

2

𝑥 =3+7

2 atau 𝑥 =

3−7

2

𝑥 =10

2 atau 𝑥 =

−4

2

𝑥 = 5 atau 𝑥 = −2

Koordinat (5,0) dan (−2,0)

Langkah ke-2 (Menentukan titik potong sumbu 𝒀)

Jika 𝑥 = 0, maka 𝑦 = (0)2 − 3(0) − 10

𝑦 = 0 − 0 − 10

13

𝑦 = −10

Langkah ke-3 (Mencari titik puncak)

𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−𝑏

2𝑎±

√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 = −𝑏

2𝑎±

√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Jika 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, maka koordinat sumbu 𝑋 adalah 𝑥 = −𝑏

2𝑎

Jika 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dan 𝑥 = −𝑏

2𝑎, maka koordinat sumbu 𝑌 adalah

𝑦 = 𝑎 (−𝑏

2𝑎)

2

+ 𝑏 (−𝑏

2𝑎) + 𝑐

𝑦 = 𝑎 (−𝑏

2𝑎) (−

𝑏

2𝑎) −

𝑏2

2𝑎+ 𝑐

𝑦 = 𝑎 (𝑏2

4𝑎2) −𝑏2

2𝑎+ 𝑐

𝑦 =𝑎𝑏2

4𝑎2 −𝑏2

2𝑎+ 𝑐

𝑦 =𝑎𝑏2

4𝑎⋅𝑎−

𝑏2

2𝑎+ 𝑐

𝑦 =𝑏2

4𝑎−

𝑏2

2𝑎+ 𝑐

𝑦 =𝑏2

4𝑎−

𝑏2

2𝑎∙ 1 + 𝑐 ⋅ 1

𝑦 =𝑏2

4𝑎−

𝑏2

2𝑎∙

2

2+ 𝑐 ⋅

4𝑎

4𝑎

𝑦 =𝑏2

4𝑎−

2𝑏2

4𝑎+

4𝑎𝑐

4𝑎

𝑦 =𝑏2−2𝑏2+4𝑎𝑐

4𝑎

𝑦 =−𝑏2+4𝑎𝑐

4𝑎

Jadi, (𝑥, 𝑦) = (−𝑏

2𝑎,

−𝑏2+4𝑎𝑐

4𝑎)

Contoh: Jika 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10, maka (𝑥, 𝑦) = (−(−3)

2(1),

−(−3)2+4(1)(−10)

4(1))

(𝑥, 𝑦) = (3

2,

−9−40

4)

(𝑥, 𝑦) = (3

2,

−49

4)

(𝑥, 𝑦) = (11

2, −12

1

4)

14

M. Menentukan Fungsi Kuadrat jika Titik Puncak dan salah satu Titik diketahui

Contoh: Jika diketahui titik puncak suatu fungsi kuadrat adalah (1,2) dan melalui titik (3,4),

maka carilah fungsi kuadratnya!

Diketahui: (ℎ, 𝑘) = (1,2) jika dan hanya jika ℎ = 1, 𝑘 = 2

(𝑥1, 𝑦1) = (3,4) jika dan hanya jika 𝑥1 = 3, 𝑦1 = 4

Ditanya: 𝑦 ?

Jawab: (𝑦1 − 𝑘) = 𝑎(𝑥1 − ℎ)2

(4 − 2) = 𝑎(3 − 1)2

2 = 𝑎(4)

𝑎(4) = 2

𝑎 =2

4

𝑎 =1

2

15

(𝑦 − 𝑘) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2

(𝑦 − 2) =1

2(𝑥 − 1)2

(𝑦 − 2) =1

2(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)

(𝑦 − 2) =1

2(𝑥2 − 2𝑥 + 1) [dikalikan 2]

2(𝑦 − 2) = 2 ⋅1

2(𝑥2 − 2𝑥 + 1)

2𝑦 − 4 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1

2𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 4

2𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 [dikalikan1

2]

1

2⋅ 2𝑦 =

1

2(𝑥2 − 2𝑥 + 5)

𝑦 =1

2𝑥2 − 𝑥 +

5

2