Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real...
Transcript of Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real...
1
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
A. Bilangan Real (ℝ)
Definisi
Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal, seperti
2,86547 ⋯ atau 3,328184. Bilangan Real meliputi Bilangan Rasional, seperti 42 dan −23
129,
dan Bilangan Irrasional, seperti 𝜋 dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik
dalam garis bilangan.
B. Bilangan Imajiner
Definisi
Bilangan imajiner ditandai dengan adanya huruf, bilangan yang mempunyai sifat
𝑖2 = − 1 ↔ 𝑖 = √−1.
C. Bilangan Kompleks (ℂ)
Definisi
Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan
real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk
𝐶 = {𝑎 + 𝑏𝑖 | (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ dan 𝑖 adalah bilangan imajiner}.
D. Persamaan Kuadrat
Definisi
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 ∈ ℝ
Bilangan Asli (ℕ)
(1,2,3, ⋯ )
Bilangan Nol
(0)
Bilangan Negatif
(⋯ , −3, −2, −1)
Bilangan Bulat (ℤ ) Bilangan Pecahan
(1
2; 3
5
7; 5%; 6,82; ⋯ )
Bilangan Rasional (ℚ) Bilangan Irrasional
(√2; 1 + √3; √5 + √7; ⋯ )
Bilangan Real (ℝ)
atau Bilangan Nyata
Bilangan Imajiner
atau Bilangan Tidak Nyata
𝑖 = √−1
Bilangan Kompleks (ℂ )
𝑥 = 𝑎 ± 𝑏𝑖
2
keterangan: 𝑎 = koefisien 𝑥2
𝑏 = koefisien 𝑥
𝑐 = konstanta
𝑥 = variabel
E. Akar-akar Persamaan Kuadrat
1) Pemfaktoran
𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 2𝑎𝑏
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
misal: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑝𝑞
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥2 + (𝑝 + 𝑞)𝑥 + 𝑝𝑞 jika dan hanya jika
𝑏𝑥 = (𝑝 + 𝑞)𝑥
𝑏 = 𝑝 + 𝑞 dan 𝑐 = 𝑝𝑞 atau
𝑝 + 𝑞 = 𝑏 dan 𝑝𝑞 = 𝑐
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 !
Jawab: 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 dan 𝑝𝑞 = 𝑐
𝑝 + 𝑞 = −3 dan 𝑝𝑞 = 6
misal: −3 = −5 + 2, −3 = −1 − 2, dan lain-lain
misal: −10 = (−5)(2), −10 = (5)(−2), dan lain-lain
Karena yang sama pada permisalan pertana dan permisalan kedua adalah −5 dan 2, maka
dipakai 𝑝 = −5 dan 𝑞 = 2
𝑥2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)
𝑥2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 2)
Coba dicek
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 𝑥2 + 2𝑥 − 5𝑥 − 10
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 𝑥2 − 3𝑥 − 10
Akar-akar persamaan kuadrat
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 0
𝑥1 − 5 = 0 atau 𝑥2 + 2 = 0
𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
2) Kuadrat Sempurna
misal: 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
𝑎= 𝑥2 +
𝑏
𝑎𝑥 +
𝑐
𝑎
misal: 𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑐
𝑎= 0
𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑐
𝑎−
𝑐
𝑎= 0 −
𝑐
𝑎
3
𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 = −
𝑐
𝑎⋯ (1)
misal 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 6𝑥 + (3)2
𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + (2 ⋅ 3)𝑥 + (3)2
𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 2(3)𝑥 + (3)2
𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 2 (6
2) 𝑥 + (
6
2)
2
⋯ (2)
Ubahlah persamaan (1) ke persamaan (2)
𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 = −
𝑐
𝑎 ke 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 2 (
6
2) 𝑥 + (
6
2)
2
𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 = −
𝑐
𝑎
𝑥2 + 1 ⋅ (𝑏
𝑎) 𝑥 = −
𝑐
𝑎
𝑥2 + 1 ⋅ (𝑏
𝑎) 𝑥 = −
𝑐
𝑎
𝑥2 +2
2⋅ (
𝑏
𝑎) 𝑥 = −
𝑐
𝑎
𝑥2 +2
1⋅2⋅ (
𝑏
𝑎) 𝑥 = −
𝑐
𝑎
𝑥2 +2
1⋅ (
𝑏
2⋅𝑎) 𝑥 = −
𝑐
𝑎
𝑥2 + 2 (𝑏
2𝑎) 𝑥 + (
𝑏
2𝑎)
2
= −𝑐
𝑎+ (
𝑏
2𝑎)
2
(𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
= −𝑐
𝑎+ (
𝑏
2𝑎)
2
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10
(𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
= −𝑐
𝑎+ (
𝑏
2𝑎)
2
(𝑥 +(−3)
2(1))
2
= −(−10)
1+ (
(−3)
2(1))
2
(𝑥 + (−3
2))
2
= 10 + (−3
2)
2
(𝑥 −3
2)
2
= 10 +9
4
(𝑥 −3
2)
2
= 1 ⋅ 10 +9
4
(𝑥 −3
2)
2
=4
4⋅ 10 +
9
4
(𝑥 −3
2)
2
=4⋅10
4+
9
4
(𝑥 −3
2)
2
=40
4+
9
4
(𝑥 −3
2)
2
=49
4
(𝑥 −3
2)
2
=49
4
√(𝑥 −3
2)
2
= √49
4
4
√(𝑥 −3
2)
2
= √72
22
√(𝑥 −3
2)
2
= √(7
2)
2
𝑥 −3
2= ±
7
2
𝑥 =3
2±
7
2
𝑥1 =3
2+
7
2 atau 𝑥2 =
3
2−
7
2
𝑥1 =10
2 atau 𝑥2 =
−4
2
𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
3) Rumus 𝒂𝒃𝒄
(𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
= −𝑐
𝑎+ (
𝑏
2𝑎)
2
(𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
= −𝑐
𝑎+ (
𝑏
2𝑎) (
𝑏
2𝑎)
(𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
= −𝑐
𝑎+
𝑏2
4𝑎2
(𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
= −𝑐
𝑎⋅ 1 +
𝑏2
4𝑎2
(𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
= −𝑐
𝑎⋅
4𝑎
4𝑎+
𝑏2
4𝑎2
(𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
= −4𝑎𝑐
4𝑎2 +𝑏2
4𝑎2
(𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
=𝑏2
4𝑎2 −4𝑎𝑐
4𝑎2
(𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
=𝑏2
4𝑎2 + (−4𝑎𝑐
4𝑎2)
(𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
=𝑏2
4𝑎2 + (−4𝑎𝑐
4𝑎2 )
(𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
=𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
(𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
=𝑏2−4𝑎𝑐
(2𝑎)2
√(𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
= √𝑏2−4𝑎𝑐
(2𝑎)2
𝑥 +𝑏
2𝑎=
√𝑏2−4𝑎𝑐
√(2𝑎)2
𝑥12 +𝑏
2𝑎= ±
√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥12 = −𝑏
2𝑎±
√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥12 =−𝑏
2𝑎+
±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10
5
𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥12 =−(−3)±√(−3)2−4(1)(−10)
2(1)
𝑥12 =3±√9+40
2
𝑥12 =3±√49
2
𝑥12 =3±7
2
𝑥1 =3+7
2 atau 𝑥2 =
3−7
2
𝑥1 =10
2 atau 𝑥2 =
−4
2
𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
F. Sifat-sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat
Sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat dapat ditinjau dari nilai diskriminan
(pembeda), yaitu: 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐. Sifat akar-akar tersebut adalah
1) Jika 𝐷 > 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,
maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang berbeda (𝑥1 ≠ 𝑥2).
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 16 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, dan 𝑐 = −16
𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥12 =−(0)±√(0)2−4(1)(−16)
2(1)
𝑥12 =0±√0+64
2
𝑥12 =0±√64
2
𝑥12 =±8
2
𝑥1 =+8
2 atau 𝑥2 =
−8
2
𝑥1 =8
2 atau 𝑥2 =
−8
2
𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = −4
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 16 = 0 adalah 𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = −4
2) Jika 𝐷 = 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,
maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang sama (𝑥1 = 𝑥2).
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −8, dan 𝑐 = 16
6
𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥12 =−(−8)±√(−8)2−4(1)(16)
2(1)
𝑥12 =8±√64−64
2
𝑥12 =8±√0
2
𝑥12 =8±0
2
𝑥1 =8+0
2 atau 𝑥2 =
8−0
2
𝑥1 =8
2 atau 𝑥2 =
8
2
𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = 4
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0 adalah 𝑥1 = 𝑥2 = 4
3) Jika 𝐷 < 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,
maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang kompleks (𝑥1 = ⋯ +
⋯ 𝑖 atau 𝑥2 = ⋯ − ⋯ 𝑖).
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −6, dan 𝑐 = 13
𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥12 =−(−6)±√(−6)2−4(1)(13)
2(1)
𝑥12 =6±√36−52
2
𝑥12 =6±√−16
2
𝑥12 =6±√16⋅(−1)
2
𝑥12 =6±√16⋅√−1
2
𝑥12 =6±4⋅𝑖
2
𝑥12 =6±4𝑖
2
𝑥1 =6+4𝑖
2 atau 𝑥2 =
6−4𝑖
2
𝑥1 =2(3+2𝑖)
2 atau 𝑥2 =
2(3−2𝑖)
2
𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0 adalah 𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖
7
G. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
𝑥12 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 atau 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
1) Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat
𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎+
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 + 𝑥2 =−2𝑏
2𝑎
𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏
𝑎
2) Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
𝑥1𝑥2 = (−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎) (
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎)
𝑥1𝑥2 =(−𝑏)(−𝑏)−(−𝑏)(−√𝑏2−4𝑎𝑐)−(−𝑏)(√𝑏2−4𝑎𝑐)+(√𝑏2−4𝑎𝑐)(−√𝑏2−4𝑎𝑐)
(2𝑎)(2𝑎)
𝑥1𝑥2 =𝑏2−𝑏√𝑏2−4𝑎𝑐+𝑏√𝑏2−4𝑎𝑐−√(𝑏2−4𝑎𝑐)2
4𝑎2
𝑥1𝑥2 =𝑏2−(𝑏2−4𝑎𝑐)
4𝑎2
𝑥1𝑥2 =𝑏2−𝑏2+4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑥1𝑥2 =4𝑎⋅𝑐
4𝑎⋅𝑎
𝑥1𝑥2 =𝑐
𝑎
Contoh: Jika diketahui 𝑎 = 2, 𝑏 = −1, 𝑐 = 3, maka carilah −1
𝑥1−
1
𝑥2 !
Jawab: −1
𝑥1−
1
𝑥2=
−1
𝑥1⋅ 1 −
1
𝑥2⋅ 1
=−1
𝑥1⋅
𝑥2
𝑥2−
1
𝑥2⋅
𝑥1
𝑥1
=−𝑥2
𝑥1𝑥2−
𝑥1
𝑥1𝑥2
=−𝑥2 − 𝑥1
𝑥1𝑥2
=(−𝑥2 − 𝑥1)
𝑥1𝑥2
=−(𝑥1 + 𝑥2)
𝑥1𝑥2
= −(𝑥1 + 𝑥2)
𝑥1𝑥2
= − (𝑥1 + 𝑥2
𝑥1𝑥2)
8
= − (
−𝑏𝑎𝑐𝑎
)
= − (−𝑏
𝑎) (
𝑎
𝑐)
= − (−(−1)
2) (
2
3)
= − (1
1) (
1
3)
= −1
3
Jadi, −1
𝑥1−
1
𝑥2= −
1
3
H. Menyusun Persamaan Kuadrat
𝑥 = 𝑥1 atau 𝑥 = 𝑥2
𝑥 − 𝑥1 = 0 atau 𝑥 − 𝑥2 = 0
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0
𝑥2 − 𝑥2𝑥 − 𝑥1𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0
𝑥2 − (𝑥2 + 𝑥1)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0
𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0
Contoh: Jika diketahui −𝑏
𝑎= 3,
𝑐
𝑎= −10, maka bentuklah persamaan kuadratnya!
Jawab:
𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0
𝑥2 − (−𝑏
𝑎) 𝑥 + (
𝑐
𝑎) = 0
𝑥2 − (3)𝑥 + (−10) = 0
𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0
Jadi, persamaan kuadratnya 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0
Contoh: 𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖, maka bentuklah persamaan kuadratnya!
Jawab:
𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0
𝑥2 − (3 + 2𝑖 + 3 − 2𝑖)𝑥 + (3 + 2𝑖)(3 − 2𝑖) = 0
𝑥2 − (3 + 3 + 2𝑖 − 2𝑖)𝑥 + (9 − 6𝑖 + 6𝑖 − 4𝑖2) = 0
𝑥2 − (6)𝑥 + (9 − 4√(−1)2) = 0
𝑥2 − 6𝑥 + (9 − 4(−1)) = 0
𝑥2 − 6𝑥 + (9 + 4) = 0
𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0
I. Bentuk Fungsi
Definisi
Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan
𝑓(𝑥) = 𝑦
dimana 𝑥 merupakan domain dari fungsi 𝑓 dan disebut variabel bebas karena nilainya dapat
diganti dengan berbagai bilangan dan 𝑦 disebut variabel terikat (tak bebas)
9
karena nilainya ditentukan oleh 𝑥.
J. Fungsi Kuadrat
Definisi
Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 atau 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dimana 𝑎 ≠ 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 ∈ 𝑹
K. Grafik Fungsi Kuadrat
1) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 > 𝟎
10
2) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 = 𝟎
3) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 < 𝟎
11
4) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 < 𝟎
5) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 = 𝟎
12
6) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 < 𝟎
L. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Contoh: Gambarlah grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 10 !
Jawab:
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 10 jika dan hanya jika 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 − 10
Langkah ke-1 (Menentukan titik potong sumbu 𝑿)
Jika 𝑦 = 0, maka 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0
𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =−(−3)±√(−3)2−4(1)(−10)
2(1)
𝑥 =3±√9+40
2
𝑥 =3±√49
2
𝑥 =3±7
2
𝑥 =3+7
2 atau 𝑥 =
3−7
2
𝑥 =10
2 atau 𝑥 =
−4
2
𝑥 = 5 atau 𝑥 = −2
Koordinat (5,0) dan (−2,0)
Langkah ke-2 (Menentukan titik potong sumbu 𝒀)
Jika 𝑥 = 0, maka 𝑦 = (0)2 − 3(0) − 10
𝑦 = 0 − 0 − 10
13
𝑦 = −10
Langkah ke-3 (Mencari titik puncak)
𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =−𝑏
2𝑎±
√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 = −𝑏
2𝑎±
√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Jika 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, maka koordinat sumbu 𝑋 adalah 𝑥 = −𝑏
2𝑎
Jika 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dan 𝑥 = −𝑏
2𝑎, maka koordinat sumbu 𝑌 adalah
𝑦 = 𝑎 (−𝑏
2𝑎)
2
+ 𝑏 (−𝑏
2𝑎) + 𝑐
𝑦 = 𝑎 (−𝑏
2𝑎) (−
𝑏
2𝑎) −
𝑏2
2𝑎+ 𝑐
𝑦 = 𝑎 (𝑏2
4𝑎2) −𝑏2
2𝑎+ 𝑐
𝑦 =𝑎𝑏2
4𝑎2 −𝑏2
2𝑎+ 𝑐
𝑦 =𝑎𝑏2
4𝑎⋅𝑎−
𝑏2
2𝑎+ 𝑐
𝑦 =𝑏2
4𝑎−
𝑏2
2𝑎+ 𝑐
𝑦 =𝑏2
4𝑎−
𝑏2
2𝑎∙ 1 + 𝑐 ⋅ 1
𝑦 =𝑏2
4𝑎−
𝑏2
2𝑎∙
2
2+ 𝑐 ⋅
4𝑎
4𝑎
𝑦 =𝑏2
4𝑎−
2𝑏2
4𝑎+
4𝑎𝑐
4𝑎
𝑦 =𝑏2−2𝑏2+4𝑎𝑐
4𝑎
𝑦 =−𝑏2+4𝑎𝑐
4𝑎
Jadi, (𝑥, 𝑦) = (−𝑏
2𝑎,
−𝑏2+4𝑎𝑐
4𝑎)
Contoh: Jika 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10, maka (𝑥, 𝑦) = (−(−3)
2(1),
−(−3)2+4(1)(−10)
4(1))
(𝑥, 𝑦) = (3
2,
−9−40
4)
(𝑥, 𝑦) = (3
2,
−49
4)
(𝑥, 𝑦) = (11
2, −12
1
4)
14
M. Menentukan Fungsi Kuadrat jika Titik Puncak dan salah satu Titik diketahui
Contoh: Jika diketahui titik puncak suatu fungsi kuadrat adalah (1,2) dan melalui titik (3,4),
maka carilah fungsi kuadratnya!
Diketahui: (ℎ, 𝑘) = (1,2) jika dan hanya jika ℎ = 1, 𝑘 = 2
(𝑥1, 𝑦1) = (3,4) jika dan hanya jika 𝑥1 = 3, 𝑦1 = 4
Ditanya: 𝑦 ?
Jawab: (𝑦1 − 𝑘) = 𝑎(𝑥1 − ℎ)2
(4 − 2) = 𝑎(3 − 1)2
2 = 𝑎(4)
𝑎(4) = 2
𝑎 =2
4
𝑎 =1
2
15
(𝑦 − 𝑘) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2
(𝑦 − 2) =1
2(𝑥 − 1)2
(𝑦 − 2) =1
2(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)
(𝑦 − 2) =1
2(𝑥2 − 2𝑥 + 1) [dikalikan 2]
2(𝑦 − 2) = 2 ⋅1
2(𝑥2 − 2𝑥 + 1)
2𝑦 − 4 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1
2𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 4
2𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 [dikalikan1
2]
1
2⋅ 2𝑦 =
1
2(𝑥2 − 2𝑥 + 5)
𝑦 =1
2𝑥2 − 𝑥 +
5
2