Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · PDF file Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A....

Click here to load reader

  • date post

    13-Dec-2020
  • Category

    Documents

  • view

    17
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · PDF file Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A....

  • 1

    Persamaan dan Fungsi Kuadrat

    A. Bilangan Real (ℝ) Definisi

    Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal, seperti

    2,86547 ⋯ atau 3,328184. Bilangan Real meliputi Bilangan Rasional, seperti 42 dan − 23

    129 ,

    dan Bilangan Irrasional, seperti 𝜋 dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

    B. Bilangan Imajiner

    Definisi

    Bilangan imajiner ditandai dengan adanya huruf, bilangan yang mempunyai sifat

    𝑖2 = − 1 ↔ 𝑖 = √−1.

    C. Bilangan Kompleks (ℂ) Definisi

    Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan

    real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk

    𝐶 = {𝑎 + 𝑏𝑖 | (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ dan 𝑖 adalah bilangan imajiner}.

    D. Persamaan Kuadrat

    Definisi

    Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk

    𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 ∈ ℝ

    Bilangan Asli (ℕ)

    (1,2,3, ⋯ )

    Bilangan Nol

    (0)

    Bilangan Negatif

    (⋯ , −3, −2, −1)

    Bilangan Bulat (ℤ ) Bilangan Pecahan

    ( 1

    2 ; 3

    5

    7 ; 5%; 6,82; ⋯ )

    Bilangan Rasional (ℚ) Bilangan Irrasional

    (√2; 1 + √3; √5 + √7; ⋯ )

    Bilangan Real (ℝ)

    atau Bilangan Nyata

    Bilangan Imajiner

    atau Bilangan Tidak Nyata

    𝑖 = √−1

    Bilangan Kompleks (ℂ )

    𝑥 = 𝑎 ± 𝑏𝑖

  • 2

    keterangan: 𝑎 = koefisien 𝑥2 𝑏 = koefisien 𝑥

    𝑐 = konstanta 𝑥 = variabel

    E. Akar-akar Persamaan Kuadrat

    1) Pemfaktoran

    𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 2𝑎𝑏 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

    misal: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞) 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑝𝑞 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥2 + (𝑝 + 𝑞)𝑥 + 𝑝𝑞 jika dan hanya jika

    𝑏𝑥 = (𝑝 + 𝑞)𝑥 𝑏 = 𝑝 + 𝑞 dan 𝑐 = 𝑝𝑞 atau 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 dan 𝑝𝑞 = 𝑐

    Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 ! Jawab: 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 dan 𝑝𝑞 = 𝑐

    𝑝 + 𝑞 = −3 dan 𝑝𝑞 = 6

    misal: −3 = −5 + 2, −3 = −1 − 2, dan lain-lain misal: −10 = (−5)(2), −10 = (5)(−2), dan lain-lain

    Karena yang sama pada permisalan pertana dan permisalan kedua adalah −5 dan 2, maka dipakai 𝑝 = −5 dan 𝑞 = 2

    𝑥2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞) 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 2)

    Coba dicek

    (𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 𝑥2 + 2𝑥 − 5𝑥 − 10 (𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 𝑥2 − 3𝑥 − 10

    Akar-akar persamaan kuadrat

    (𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 0 𝑥1 − 5 = 0 atau 𝑥2 + 2 = 0 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

    Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

    2) Kuadrat Sempurna

    misal: 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

    𝑎 = 𝑥2 +

    𝑏

    𝑎 𝑥 +

    𝑐

    𝑎

    misal: 𝑥2 + 𝑏

    𝑎 𝑥 +

    𝑐

    𝑎 = 0

    𝑥2 + 𝑏

    𝑎 𝑥 +

    𝑐

    𝑎 −

    𝑐

    𝑎 = 0 −

    𝑐

    𝑎

  • 3

    𝑥2 + 𝑏

    𝑎 𝑥 = −

    𝑐

    𝑎 ⋯ (1)

    misal 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 6𝑥 + (3)2 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + (2 ⋅ 3)𝑥 + (3)2 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 2(3)𝑥 + (3)2

    𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 2 ( 6

    2 ) 𝑥 + (

    6

    2 )

    2

    ⋯ (2)

    Ubahlah persamaan (1) ke persamaan (2)

    𝑥2 + 𝑏

    𝑎 𝑥 = −

    𝑐

    𝑎 ke 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 2 (

    6

    2 ) 𝑥 + (

    6

    2 )

    2

    𝑥2 + 𝑏

    𝑎 𝑥 = −

    𝑐

    𝑎

    𝑥2 + 1 ⋅ ( 𝑏

    𝑎 ) 𝑥 = −

    𝑐

    𝑎

    𝑥2 + 1 ⋅ ( 𝑏

    𝑎 ) 𝑥 = −

    𝑐

    𝑎

    𝑥2 + 2

    2 ⋅ (

    𝑏

    𝑎 ) 𝑥 = −

    𝑐

    𝑎

    𝑥2 + 2

    1⋅2 ⋅ (

    𝑏

    𝑎 ) 𝑥 = −

    𝑐

    𝑎

    𝑥2 + 2

    1 ⋅ (

    𝑏

    2⋅𝑎 ) 𝑥 = −

    𝑐

    𝑎

    𝑥2 + 2 ( 𝑏

    2𝑎 ) 𝑥 + (

    𝑏

    2𝑎 )

    2

    = − 𝑐

    𝑎 + (

    𝑏

    2𝑎 )

    2

    (𝑥 + 𝑏

    2𝑎 )

    2

    = − 𝑐

    𝑎 + (

    𝑏

    2𝑎 )

    2

    Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 ! Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10

    (𝑥 + 𝑏

    2𝑎 )

    2

    = − 𝑐

    𝑎 + (

    𝑏

    2𝑎 )

    2

    (𝑥 + (−3)

    2(1) )

    2

    = − (−10)

    1 + (

    (−3)

    2(1) )

    2

    (𝑥 + (− 3

    2 ))

    2

    = 10 + (− 3

    2 )

    2

    (𝑥 − 3

    2 )

    2

    = 10 + 9

    4

    (𝑥 − 3

    2 )

    2

    = 1 ⋅ 10 + 9

    4

    (𝑥 − 3

    2 )

    2

    = 4

    4 ⋅ 10 +

    9

    4

    (𝑥 − 3

    2 )

    2

    = 4⋅10

    4 +

    9

    4

    (𝑥 − 3

    2 )

    2

    = 40

    4 +

    9

    4

    (𝑥 − 3

    2 )

    2

    = 49

    4

    (𝑥 − 3

    2 )

    2

    = 49

    4

    √(𝑥 − 3

    2 )

    2

    = √ 49

    4

  • 4

    √(𝑥 − 3

    2 )

    2

    = √ 72

    22

    √(𝑥 − 3

    2 )

    2

    = √( 7

    2 )

    2

    𝑥 − 3

    2 = ±

    7

    2

    𝑥 = 3

    2 ±

    7

    2

    𝑥1 = 3

    2 +

    7

    2 atau 𝑥2 =

    3

    2 −

    7

    2

    𝑥1 = 10

    2 atau 𝑥2 =

    −4

    2

    𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

    Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

    3) Rumus 𝒂𝒃𝒄

    (𝑥 + 𝑏

    2𝑎 )

    2

    = − 𝑐

    𝑎 + (

    𝑏

    2𝑎 )

    2

    (𝑥 + 𝑏

    2𝑎 )

    2

    = − 𝑐

    𝑎 + (

    𝑏

    2𝑎 ) (

    𝑏

    2𝑎 )

    (𝑥 + 𝑏

    2𝑎 )

    2

    = − 𝑐

    𝑎 +

    𝑏2

    4𝑎2

    (𝑥 + 𝑏

    2𝑎 )

    2

    = − 𝑐

    𝑎 ⋅ 1 +

    𝑏2

    4𝑎2

    (𝑥 + 𝑏

    2𝑎 )

    2

    = − 𝑐

    𝑎 ⋅

    4𝑎

    4𝑎 +

    𝑏2

    4𝑎2

    (𝑥 + 𝑏

    2𝑎 )

    2

    = − 4𝑎𝑐

    4𝑎2 +

    𝑏2

    4𝑎2

    (𝑥 + 𝑏

    2𝑎 )

    2

    = 𝑏2

    4𝑎2 −

    4𝑎𝑐

    4𝑎2

    (𝑥 + 𝑏

    2𝑎 )

    2

    = 𝑏2

    4𝑎2 + (−

    4𝑎𝑐

    4𝑎2 )

    (𝑥 + 𝑏

    2𝑎 )

    2

    = 𝑏2

    4𝑎2 + (

    −4𝑎𝑐

    4𝑎2 )

    (𝑥 + 𝑏

    2𝑎 )

    2

    = 𝑏2−4𝑎𝑐

    4𝑎2

    (𝑥 + 𝑏

    2𝑎 )

    2

    = 𝑏2−4𝑎𝑐

    (2𝑎)2

    √(𝑥 + 𝑏

    2𝑎 )

    2

    = √ 𝑏2−4𝑎𝑐

    (2𝑎)2

    𝑥 + 𝑏

    2𝑎 =

    √𝑏2−4𝑎𝑐

    √(2𝑎)2

    𝑥12 + 𝑏

    2𝑎 = ±

    √𝑏2−4𝑎𝑐

    2𝑎

    𝑥12 = − 𝑏

    2𝑎 ±

    √𝑏2−4𝑎𝑐

    2𝑎

    𝑥12 = −𝑏

    2𝑎 +

    ±√𝑏2−4𝑎𝑐

    2𝑎

    𝑥12 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

    2𝑎

    Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 ! Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10

  • 5

    𝑥12 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

    2𝑎

    𝑥12 = −(−3)±√(−3)2−4(1)(−10)

    2(1)

    𝑥12 = 3±√9+40

    2

    𝑥12 = 3±√49

    2

    𝑥12 = 3±7

    2

    𝑥1 = 3+7

    2 atau 𝑥2 =

    3−7

    2

    𝑥1 = 10

    2 atau 𝑥2 =

    −4

    2

    𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

    Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

    F. Sifat-sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat

    Sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat dapat ditinjau dari nilai diskriminan

    (pembeda), yaitu: 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐. Sifat akar-akar tersebut adalah

    1) Jika 𝐷 > 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠