Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real...

8

Transcript of Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real...

Page 1: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

1

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

A. Bilangan Real (ℝ)

Definisi

Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal, seperti

2,86547 ⋯ atau 3,328184. Bilangan Real meliputi Bilangan Rasional, seperti 42 dan −23

129,

dan Bilangan Irrasional, seperti 𝜋 dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik

dalam garis bilangan.

B. Bilangan Imajiner

Definisi

Bilangan imajiner ditandai dengan adanya huruf, bilangan yang mempunyai sifat

𝑖2 = − 1 ↔ 𝑖 = √−1.

C. Bilangan Kompleks (ℂ)

Definisi

Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan

real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk

𝐶 = {𝑎 + 𝑏𝑖 | (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ dan 𝑖 adalah bilangan imajiner}.

D. Persamaan Kuadrat

Definisi

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 ∈ ℝ

Bilangan Asli (ℕ)

(1,2,3, ⋯ )

Bilangan Nol

(0)

Bilangan Negatif

(⋯ , −3, −2, −1)

Bilangan Bulat (ℤ ) Bilangan Pecahan

(1

2; 3

5

7; 5%; 6,82; ⋯ )

Bilangan Rasional (ℚ) Bilangan Irrasional

(√2; 1 + √3; √5 + √7; ⋯ )

Bilangan Real (ℝ)

atau Bilangan Nyata

Bilangan Imajiner

atau Bilangan Tidak Nyata

𝑖 = √−1

Bilangan Kompleks (ℂ )

𝑥 = 𝑎 ± 𝑏𝑖

Page 2: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

2

keterangan: 𝑎 = koefisien 𝑥2

𝑏 = koefisien 𝑥

𝑐 = konstanta

𝑥 = variabel

E. Akar-akar Persamaan Kuadrat

1) Pemfaktoran

𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 2𝑎𝑏

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

misal: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑝𝑞

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥2 + (𝑝 + 𝑞)𝑥 + 𝑝𝑞 jika dan hanya jika

𝑏𝑥 = (𝑝 + 𝑞)𝑥

𝑏 = 𝑝 + 𝑞 dan 𝑐 = 𝑝𝑞 atau

𝑝 + 𝑞 = 𝑏 dan 𝑝𝑞 = 𝑐

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 !

Jawab: 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 dan 𝑝𝑞 = 𝑐

𝑝 + 𝑞 = −3 dan 𝑝𝑞 = 6

misal: −3 = −5 + 2, −3 = −1 − 2, dan lain-lain

misal: −10 = (−5)(2), −10 = (5)(−2), dan lain-lain

Karena yang sama pada permisalan pertana dan permisalan kedua adalah −5 dan 2, maka

dipakai 𝑝 = −5 dan 𝑞 = 2

𝑥2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)

𝑥2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 2)

Coba dicek

(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 𝑥2 + 2𝑥 − 5𝑥 − 10

(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 𝑥2 − 3𝑥 − 10

Akar-akar persamaan kuadrat

(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 0

𝑥1 − 5 = 0 atau 𝑥2 + 2 = 0

𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

2) Kuadrat Sempurna

misal: 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

𝑎= 𝑥2 +

𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎

misal: 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎= 0

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎−

𝑐

𝑎= 0 −

𝑐

𝑎

Page 3: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

3

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 = −

𝑐

𝑎⋯ (1)

misal 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 6𝑥 + (3)2

𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + (2 ⋅ 3)𝑥 + (3)2

𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 2(3)𝑥 + (3)2

𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 2 (6

2) 𝑥 + (

6

2)

2

⋯ (2)

Ubahlah persamaan (1) ke persamaan (2)

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 = −

𝑐

𝑎 ke 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 2 (

6

2) 𝑥 + (

6

2)

2

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 = −

𝑐

𝑎

𝑥2 + 1 ⋅ (𝑏

𝑎) 𝑥 = −

𝑐

𝑎

𝑥2 + 1 ⋅ (𝑏

𝑎) 𝑥 = −

𝑐

𝑎

𝑥2 +2

2⋅ (

𝑏

𝑎) 𝑥 = −

𝑐

𝑎

𝑥2 +2

1⋅2⋅ (

𝑏

𝑎) 𝑥 = −

𝑐

𝑎

𝑥2 +2

1⋅ (

𝑏

2⋅𝑎) 𝑥 = −

𝑐

𝑎

𝑥2 + 2 (𝑏

2𝑎) 𝑥 + (

𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)

2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)

2

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 !

Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)

2

(𝑥 +(−3)

2(1))

2

= −(−10)

1+ (

(−3)

2(1))

2

(𝑥 + (−3

2))

2

= 10 + (−3

2)

2

(𝑥 −3

2)

2

= 10 +9

4

(𝑥 −3

2)

2

= 1 ⋅ 10 +9

4

(𝑥 −3

2)

2

=4

4⋅ 10 +

9

4

(𝑥 −3

2)

2

=4⋅10

4+

9

4

(𝑥 −3

2)

2

=40

4+

9

4

(𝑥 −3

2)

2

=49

4

(𝑥 −3

2)

2

=49

4

√(𝑥 −3

2)

2

= √49

4

Page 4: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

4

√(𝑥 −3

2)

2

= √72

22

√(𝑥 −3

2)

2

= √(7

2)

2

𝑥 −3

2= ±

7

2

𝑥 =3

7

2

𝑥1 =3

2+

7

2 atau 𝑥2 =

3

2−

7

2

𝑥1 =10

2 atau 𝑥2 =

−4

2

𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

3) Rumus 𝒂𝒃𝒄

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)

2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎) (

𝑏

2𝑎)

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎+

𝑏2

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎⋅ 1 +

𝑏2

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −𝑐

𝑎⋅

4𝑎

4𝑎+

𝑏2

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= −4𝑎𝑐

4𝑎2 +𝑏2

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2

4𝑎2 −4𝑎𝑐

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2

4𝑎2 + (−4𝑎𝑐

4𝑎2)

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2

4𝑎2 + (−4𝑎𝑐

4𝑎2 )

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2−4𝑎𝑐

(2𝑎)2

√(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= √𝑏2−4𝑎𝑐

(2𝑎)2

𝑥 +𝑏

2𝑎=

√𝑏2−4𝑎𝑐

√(2𝑎)2

𝑥12 +𝑏

2𝑎= ±

√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 = −𝑏

2𝑎±

√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−𝑏

2𝑎+

±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 !

Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10

Page 5: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

5

𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−(−3)±√(−3)2−4(1)(−10)

2(1)

𝑥12 =3±√9+40

2

𝑥12 =3±√49

2

𝑥12 =3±7

2

𝑥1 =3+7

2 atau 𝑥2 =

3−7

2

𝑥1 =10

2 atau 𝑥2 =

−4

2

𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

F. Sifat-sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat

Sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat dapat ditinjau dari nilai diskriminan

(pembeda), yaitu: 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐. Sifat akar-akar tersebut adalah

1) Jika 𝐷 > 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,

maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang berbeda (𝑥1 ≠ 𝑥2).

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 16 = 0 !

Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, dan 𝑐 = −16

𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−(0)±√(0)2−4(1)(−16)

2(1)

𝑥12 =0±√0+64

2

𝑥12 =0±√64

2

𝑥12 =±8

2

𝑥1 =+8

2 atau 𝑥2 =

−8

2

𝑥1 =8

2 atau 𝑥2 =

−8

2

𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = −4

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 16 = 0 adalah 𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = −4

2) Jika 𝐷 = 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,

maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang sama (𝑥1 = 𝑥2).

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0 !

Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −8, dan 𝑐 = 16

Page 6: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

6

𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−(−8)±√(−8)2−4(1)(16)

2(1)

𝑥12 =8±√64−64

2

𝑥12 =8±√0

2

𝑥12 =8±0

2

𝑥1 =8+0

2 atau 𝑥2 =

8−0

2

𝑥1 =8

2 atau 𝑥2 =

8

2

𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = 4

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0 adalah 𝑥1 = 𝑥2 = 4

3) Jika 𝐷 < 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,

maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang kompleks (𝑥1 = ⋯ +

⋯ 𝑖 atau 𝑥2 = ⋯ − ⋯ 𝑖).

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0 !

Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −6, dan 𝑐 = 13

𝑥12 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−(−6)±√(−6)2−4(1)(13)

2(1)

𝑥12 =6±√36−52

2

𝑥12 =6±√−16

2

𝑥12 =6±√16⋅(−1)

2

𝑥12 =6±√16⋅√−1

2

𝑥12 =6±4⋅𝑖

2

𝑥12 =6±4𝑖

2

𝑥1 =6+4𝑖

2 atau 𝑥2 =

6−4𝑖

2

𝑥1 =2(3+2𝑖)

2 atau 𝑥2 =

2(3−2𝑖)

2

𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0 adalah 𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖

Page 7: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

7

G. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

𝑥12 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 atau 𝑥2 =

−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

1) Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎+

−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−2𝑏

2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏

𝑎

2) Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

𝑥1𝑥2 = (−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎) (

−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎)

𝑥1𝑥2 =(−𝑏)(−𝑏)−(−𝑏)(−√𝑏2−4𝑎𝑐)−(−𝑏)(√𝑏2−4𝑎𝑐)+(√𝑏2−4𝑎𝑐)(−√𝑏2−4𝑎𝑐)

(2𝑎)(2𝑎)

𝑥1𝑥2 =𝑏2−𝑏√𝑏2−4𝑎𝑐+𝑏√𝑏2−4𝑎𝑐−√(𝑏2−4𝑎𝑐)2

4𝑎2

𝑥1𝑥2 =𝑏2−(𝑏2−4𝑎𝑐)

4𝑎2

𝑥1𝑥2 =𝑏2−𝑏2+4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥1𝑥2 =4𝑎⋅𝑐

4𝑎⋅𝑎

𝑥1𝑥2 =𝑐

𝑎

Contoh: Jika diketahui 𝑎 = 2, 𝑏 = −1, 𝑐 = 3, maka carilah −1

𝑥1−

1

𝑥2 !

Jawab: −1

𝑥1−

1

𝑥2=

−1

𝑥1⋅ 1 −

1

𝑥2⋅ 1

=−1

𝑥1⋅

𝑥2

𝑥2−

1

𝑥2⋅

𝑥1

𝑥1

=−𝑥2

𝑥1𝑥2−

𝑥1

𝑥1𝑥2

=−𝑥2 − 𝑥1

𝑥1𝑥2

=(−𝑥2 − 𝑥1)

𝑥1𝑥2

=−(𝑥1 + 𝑥2)

𝑥1𝑥2

= −(𝑥1 + 𝑥2)

𝑥1𝑥2

= − (𝑥1 + 𝑥2

𝑥1𝑥2)

Page 8: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

8

= − (

−𝑏𝑎𝑐𝑎

)

= − (−𝑏

𝑎) (

𝑎

𝑐)

= − (−(−1)

2) (

2

3)

= − (1

1) (

1

3)

= −1

3

Jadi, −1

𝑥1−

1

𝑥2= −

1

3

H. Menyusun Persamaan Kuadrat

𝑥 = 𝑥1 atau 𝑥 = 𝑥2

𝑥 − 𝑥1 = 0 atau 𝑥 − 𝑥2 = 0

(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0

𝑥2 − 𝑥2𝑥 − 𝑥1𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

𝑥2 − (𝑥2 + 𝑥1)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

Contoh: Jika diketahui −𝑏

𝑎= 3,

𝑐

𝑎= −10, maka bentuklah persamaan kuadratnya!

Jawab:

𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

𝑥2 − (−𝑏

𝑎) 𝑥 + (

𝑐

𝑎) = 0

𝑥2 − (3)𝑥 + (−10) = 0

𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0

Jadi, persamaan kuadratnya 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0

Contoh: 𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖, maka bentuklah persamaan kuadratnya!

Jawab:

𝑥2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

𝑥2 − (3 + 2𝑖 + 3 − 2𝑖)𝑥 + (3 + 2𝑖)(3 − 2𝑖) = 0

𝑥2 − (3 + 3 + 2𝑖 − 2𝑖)𝑥 + (9 − 6𝑖 + 6𝑖 − 4𝑖2) = 0

𝑥2 − (6)𝑥 + (9 − 4√(−1)2) = 0

𝑥2 − 6𝑥 + (9 − 4(−1)) = 0

𝑥2 − 6𝑥 + (9 + 4) = 0

𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0

I. Bentuk Fungsi

Definisi

Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan

𝑓(𝑥) = 𝑦

dimana 𝑥 merupakan domain dari fungsi 𝑓 dan disebut variabel bebas karena nilainya dapat

diganti dengan berbagai bilangan dan 𝑦 disebut variabel terikat (tak bebas)

Page 9: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

9

karena nilainya ditentukan oleh 𝑥.

J. Fungsi Kuadrat

Definisi

Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 atau 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dimana 𝑎 ≠ 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 ∈ 𝑹

K. Grafik Fungsi Kuadrat

1) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 > 𝟎

Page 10: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

10

2) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 = 𝟎

3) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 < 𝟎

Page 11: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

11

4) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 < 𝟎

5) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 = 𝟎

Page 12: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

12

6) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 < 𝟎

L. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Contoh: Gambarlah grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 10 !

Jawab:

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 10 jika dan hanya jika 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 − 10

Langkah ke-1 (Menentukan titik potong sumbu 𝑿)

Jika 𝑦 = 0, maka 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0

𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−(−3)±√(−3)2−4(1)(−10)

2(1)

𝑥 =3±√9+40

2

𝑥 =3±√49

2

𝑥 =3±7

2

𝑥 =3+7

2 atau 𝑥 =

3−7

2

𝑥 =10

2 atau 𝑥 =

−4

2

𝑥 = 5 atau 𝑥 = −2

Koordinat (5,0) dan (−2,0)

Langkah ke-2 (Menentukan titik potong sumbu 𝒀)

Jika 𝑥 = 0, maka 𝑦 = (0)2 − 3(0) − 10

𝑦 = 0 − 0 − 10

Page 13: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

13

𝑦 = −10

Langkah ke-3 (Mencari titik puncak)

𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−𝑏

2𝑎±

√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 = −𝑏

2𝑎±

√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

Jika 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, maka koordinat sumbu 𝑋 adalah 𝑥 = −𝑏

2𝑎

Jika 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dan 𝑥 = −𝑏

2𝑎, maka koordinat sumbu 𝑌 adalah

𝑦 = 𝑎 (−𝑏

2𝑎)

2

+ 𝑏 (−𝑏

2𝑎) + 𝑐

𝑦 = 𝑎 (−𝑏

2𝑎) (−

𝑏

2𝑎) −

𝑏2

2𝑎+ 𝑐

𝑦 = 𝑎 (𝑏2

4𝑎2) −𝑏2

2𝑎+ 𝑐

𝑦 =𝑎𝑏2

4𝑎2 −𝑏2

2𝑎+ 𝑐

𝑦 =𝑎𝑏2

4𝑎⋅𝑎−

𝑏2

2𝑎+ 𝑐

𝑦 =𝑏2

4𝑎−

𝑏2

2𝑎+ 𝑐

𝑦 =𝑏2

4𝑎−

𝑏2

2𝑎∙ 1 + 𝑐 ⋅ 1

𝑦 =𝑏2

4𝑎−

𝑏2

2𝑎∙

2

2+ 𝑐 ⋅

4𝑎

4𝑎

𝑦 =𝑏2

4𝑎−

2𝑏2

4𝑎+

4𝑎𝑐

4𝑎

𝑦 =𝑏2−2𝑏2+4𝑎𝑐

4𝑎

𝑦 =−𝑏2+4𝑎𝑐

4𝑎

Jadi, (𝑥, 𝑦) = (−𝑏

2𝑎,

−𝑏2+4𝑎𝑐

4𝑎)

Contoh: Jika 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10, maka (𝑥, 𝑦) = (−(−3)

2(1),

−(−3)2+4(1)(−10)

4(1))

(𝑥, 𝑦) = (3

2,

−9−40

4)

(𝑥, 𝑦) = (3

2,

−49

4)

(𝑥, 𝑦) = (11

2, −12

1

4)

Page 14: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

14

M. Menentukan Fungsi Kuadrat jika Titik Puncak dan salah satu Titik diketahui

Contoh: Jika diketahui titik puncak suatu fungsi kuadrat adalah (1,2) dan melalui titik (3,4),

maka carilah fungsi kuadratnya!

Diketahui: (ℎ, 𝑘) = (1,2) jika dan hanya jika ℎ = 1, 𝑘 = 2

(𝑥1, 𝑦1) = (3,4) jika dan hanya jika 𝑥1 = 3, 𝑦1 = 4

Ditanya: 𝑦 ?

Jawab: (𝑦1 − 𝑘) = 𝑎(𝑥1 − ℎ)2

(4 − 2) = 𝑎(3 − 1)2

2 = 𝑎(4)

𝑎(4) = 2

𝑎 =2

4

𝑎 =1

2

Page 15: Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan · Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bilangan A. Bilangan Real (ℝ) Definisi Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal,

15

(𝑦 − 𝑘) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2

(𝑦 − 2) =1

2(𝑥 − 1)2

(𝑦 − 2) =1

2(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)

(𝑦 − 2) =1

2(𝑥2 − 2𝑥 + 1) [dikalikan 2]

2(𝑦 − 2) = 2 ⋅1

2(𝑥2 − 2𝑥 + 1)

2𝑦 − 4 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1

2𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 4

2𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 [dikalikan1

2]

1

2⋅ 2𝑦 =

1

2(𝑥2 − 2𝑥 + 5)

𝑦 =1

2𝑥2 − 𝑥 +

5

2