1

INTEGRAL TAK TENTU

2

Rumus umum integral

f(x) = integran (fungsi yg diintegralkan)

a dan b = batas pengintegralan

a = batas bawah

b = batas atas

dx = faktor pengintegral

F = hasil integral dari f(x)

=lambang integral

b

a

F(x)f (x) dx

3

Integral tentu b

a

dx f(x) bilangan

Perbedaan integral tentu dan tak tentu

Integral tak tentu fungsib

a

dx f(x)

4

Jika V(t) adl volume air dlm waduk pada waktu

t, maka turunan V’(t) adl laju mengalirnya air ke

dalam waduk pada waktu t.

)V(t)V(t dt (t)V' 12

2t

1t

perubahan banyaknya air dalam

waduk diantara t1 dan t2

Penerapan Integral dalam Ilmu Sains

5

2t

1t

dtdt

d[C][C](t2)-[C](t1)

Jika [C](t) adl konsentrasi hasil suatu reaksi

kimia pd waktu t,maka laju reaksi adl turunan

d[C]/dt

perubahan konsentrasi C dari waktu t1 ke t2

Jika massa sebuah batang, diukur dari ujung kiri

ke titik x adalah m(x), maka kerapatan linier

adalah (x)=m’(x)

b

a

m(a)m(b)dx ρ(x)

massa dari ruas batang yg terletak

diantara x=a dan x=b

6

Jika laju pertumbuhan populasi adl dn/dt, maka

)n(t)n(t dt dt

dn12

2t

1t

pertambahan populasi selama periode waktu t1 ke t2

Percepatan benda adl a(t)=v’(t) sehingga

)v(t)v(t dt a(t) 12

2t

1t

perubahan dlm kecepatan dari waktu t1 ke t2

7

RUMUS DASAR & SIFAT

n 1n n 1 n

x x x x

kxkx kx kx

d x1. x n x x dx n 1

dx n 1

d 1 12. lnx dx lnx C

dx x x

d3. e e e dx e C

dx

d e4. e ke e dx C

dx k

x

x a a dx C

ln a

(kf )(x)dx k f (x)dx

f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx

8

x4 dx = ????

r 1 r g(x)

g(x) dx Cr 1

g(x) = xr = 4

r 1

r

5

r

xC

4 1 5

4+1

g(x)g(x) dx C

1

x C =

Jika g suatu fungsi yg bisa dideferensialkan dan

r suatu bilangan rasional bukan -1, maka

Contoh :

9

INTEGRAL SUBSTITUSI

Integral substitusi yaitu menggantikan suatu

variabel dg variabel baru dalam operasi

pengintegralan

Aturan substitusi

Jika U = g(x) adl fungsi terdiferensialkan yang daerah nilainya berupa selang I dan f kontinu

pada I, maka

f (U) du = f (g(x)) g’(x) dx

Teknik pengintegralan

u du

10

1. Hitunglah dx 12x

11

1. Hitunglah dx 12x

u=2x+1

du=2 dx

dx=1/2 du

C1)(2x3

1

Cu3

1C

3/2

u

2

1

duu2

1

2

duudx 12x

3/2

3/23/2

1/2

12

INTEGRAL PARSIAL

Bila integral substitusi GAGAL integral parsial

Integral parsial : suatu metode yg didasarkan

pd pengintegralan rumus

turunan hasilkali dari dua fungsi

Andaikan u=u(x) dan v=v(x), maka

Dx[u(x) v(x)] = u(x) v’(x) + v(x) u’(x)

dengan mengintegralkan dua ruas, diperoleh

u(x) v(x) = u(x) v’(x) dx + v(x) u’(x) dx

13

atau u(x) v’(x) dx = u(x) v(x) - v(x) u’(x) dx

krn dv=v’(x) dx dan du=u’(x)dx, persamaan

menjadi:Pengintegralan Parsial Tak Tentu

b

a

b

a

b

a

dx (x)u'v(x)v(x) u(x)dx (x)v' u(x)

Pengintegralan Parsial Tentu

b

a

b

a

b

a

du vv udv u

u dv = u v - v du

14

Gambar diagram u dv=uv-vdu

15

1. Tentukan lnx dx

16

1. Tentukan lnx dx

u = ln x

du = 1/x dx

dv = dx

v = x

x

x ln x x C

1ln x dx x lnx x dx

x

ln x dx

17

INTEGRAL TRIGONOMETRI

2

2

sin x dx = - cos x + C

cos x dx = sin x + C

sec x dx = tan x + C

co sec x dx = -cotan x + C

tan x sec x dx = sec x + C

cotan x cosec x dx = -cosec x + C

18

INTEGRAL TRIGONOMETRI

Strategi untuk menghitung sinmx cosnx dx

1.Jika pangkat kosinusbil.ganjil (n=2k+1),

simpan satu faktor kosinus dan gunakan

cos2x=1-sin2x utk menyatakan faktor yg tersisa

dalam sinus

sinm x cos2k+1 x dx = sinmx (cos2x)k cos x dx

= sinmx (1-sin2x )k cos x dx

kemudian substitusikan u=sinx

du=cosx dx

19

2. Jika pangkat sinusbil.ganjil (m=2k+1),

simpan satu faktor sinus dan gunakan

sin2x=1-cos2x utk menyatakan faktor yg tersisa

dalam kosinus

sin2k+1 x cosn x dx = (sin2x)k cosnx sin x dx

= (1-cos2x)k cosnx sin x dx

kemudian substitusikan u = cosx

du= -sin x dx

NB : Jika pangkat sinus maupun kosinus

adalah ganjil, gunakan point (1) atau (2)

20

3. Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah

bilangan genap, gunakan persamaan sudut-

paruh

sin2x = ½ (1-cos 2x)

cos2x = ½ (1+cos2x)

sinx cosx = ½ sin 2x

21

1. Tentukan cos3x dx

22

1. Tentukan cos3x dx

untuk mempermudah dijabarkan menjadi:

cos3x = cos2x . cos x = (1-sin2x) cos x

cos3x = cos2x . cos x dx

= (1-sin2x) cos x dx

misal :

u = sin x

du= cos x dx

cos3x = (1-u2) du

= u - 1/3 u3 + C

= sin x – 1/3 sin3x + C

23

Strategi untuk menghitung tanmx secnx dx

1.Jika pangkat secan bil.genap (n=2k),

simpan satu faktor sec2x dan gunakan

sec2x=1+tan2x utk menyatakan faktor yg

tersisa dalam tan x

tanm x sec2k x dx = tanmx (sec2x)k-1 sec2 x dx

= tanmx (1+ tan2x )k-1 sec2x dx

kemudian substitusikan u = tan x

du=sec2 x dx

24

2. Jika pangkat tangenbil.ganjil (m=2k+1),

simpan satu faktor sec x tan x dan gunakan

tan2x=sec2x-1 utk menyatakan faktor yg tersisa

dalam sec x

tan2k+1 x secn x dx = (tan2x)k secn-1 x sec x tan x dx

= (sec2x-1 )k secn-1x sec x tan x dx

kemudian substitusikan u = sec x

du=tan x sec x dx

25

dxx secx tan Hitunglah 46

26

dxx secx tan Hitunglah 46

dxx sec x)tan(1x tan

dxx secx secx tandxx secx tan

226

22646

ingat, sec2x = 1 + tan2x

misal u=tan x

du = sec2x dx

Cxtanxtan

duuu

du u u

du )u(1 udxx secx tan

9917

71

9917

71

86

2646