Integral Tentu, Tak Tentu, n' Notasi Sigma

7/25/2019 Integral Tentu, Tak Tentu, n' Notasi Sigma

1/16

INTEGRAL

I. Pokok Pembahasan

Integral tentu

Integral tak tentu

Sigma

II. Tujuan

1. Mengetahui dan memahami bentuk-bentuk integral tentu dan integral tak tentu

2. Mengetahui dan memahami bentuk sigma

3. Menyelesaikan bentuk integral dan sigma dengan maple

4. menentukan hasil penyelesaian integral dan sigma dengan maple

III. landasan teori

1. Integral Tak Tentu

Seperti halnya operasi penjumlahan yang memiliki operasi invers yaitu

pengurangan, maka pada integral merupakan invers dari dierensial atau anti turunan yaitu

menentukan suatu ungsi jika diketahui turunannya.

!ika adalah ungsi dari variabel ", maka yang disebut anti turunan atau anti

derivative dari #"$ ialah %#"$ yang bersiat bah&a % '#"$ ( #"$. Sebagai )ontoh, andaikan

diketahui #"$ ( " , maka kemungkinan-kemungkinan untuk ungsi % adalah sebagai

berikut *

%#"$ (2

1"2 + sebab % '#"$ ( " ( #"$

%#"$ (2

1"2 + sebab % '#"$ ( " ( #"$

%#"$ ( 21

"2 / + sebab % '#"$ ( " ( #"$

%#"$ (2

1"2 ) untuk ) konstanta + sebab % '#"$ ( " ( #"$

Sesungguhnya himpunan semua anti turunan % dari pada , dimana #"$(" dapat

dinyatakan dengan %#"$ (2

1"2 ) untuk nilai ) yang berlainan.

0nti turunan dari #"$ dinyatakan dengan notasi 0" #"$ atau1

xD #"$. 0nti turunan suatu

ungsi disebut juga integral ungsi itu, sehingga integral dari #"$ dinyatakan dengan notasi


2/16

dxxf $# . engan demikian 0" #"$ , 1xD #"$ atau dxxf $# merupakan ungkapan

matematika yang sama.

Se)ara umum, jika %#"$ suatu anti turunan #"$ maka dxxf $# ( %#"$) dengan )

menyatakan konstanta sebarang. arena adanya konstanta sebarang, maka dxxf $#

disebut juga integral tak tentu dari #"$. erdasarkan pengertian diatas dapat dirumuskan

beberapa teorema sebagai berikut *

1. eorema hubungan

5ntuk setiap ungsi yang mempunyai anti turunan, berlaku hubungan

dx

d dxxf $# ( #"$

2. eorema integral tak tentu dari suatu konstanta!ika k suatu konstanta maka * cxkdxk +=

3. eorema 0turan 6angkat

!ika r adalah sebarang bilangan rasional ke)uali 1 maka *

++=

+

cr

xdxx

rr

1

1

4. eorema kelinearan integral tak tentu

!ika ungsi dan g mempunyai anti turunan # integral tak tentu $ dan k adalah suatu

konstanta maka *

a. = dxxfkdxxfk $#$#

b. +=+ dxxgdxxfdxxgxf $#$#7$#$#8

). = dxxgdxxfdxxgxf $#$#7$#$#8

. eorema integral ungsi trigonometri

+= cxcosdxxsin dan += cxsindxxcos

9. eorema integral parsial

!ika u ( #"$ dan v ( g#"$ maka = duvuvdvu

/. eorema aturan pangkat yang diperumum

!ika g suatu ungsi yang dapat dideerensialkan dan r suatu bilangan rasional yang

bukan 1 maka *

++

=+

c1r

)]x(g[dx)x(g)]x(g[

1r'r

:ontoh *


3/16

a.

= dxxdxx

2

11

( cx

+

+

+

121

12

1

( 2 x )

b. dxx

xxx

+ 22( + dxxx $21#

2;12;3

( + dxxdxdxx 2;12;3 21

(-

2";2 "

3

4"3;2 )

). + dx]x2cos5x3sin2[ ( + dxx2cos5dxx3sin2

( 2

3

x3cos

2

x2sin )

( -3

2)os 3"

2

5sin 2" )

d. + dxxx 3$1# ( ++ dxxxx 44 $1#4

1$1#

4

1

( cxxx +++ -4

$1#2 # 1" $4

e. = dx)x(g)]x(g[dx)10x3(x9 '7732 ( 81

# 3"3 1< $? )

imisalkan * g#"$ ( 3 "3 - 1< = g '#"$ ( @ "2

Integral Tak Tentu dari Fungsi Aljabarnya

1. Integral ak entu dari %ungsi 0ljabarnya

isebut integral tak tentu dari ungsi aljabar jika ungsi integral #"$ merupakan

ungsi aljabar dengan %A#"$(#"$. !ika 11

1$#

+

+= nxn

xF maka nxxfxF == $#$#B sehingga

cxn

dxxdxxf nn +

+== + 11

1$# . 0turan dasar yang berlaku se)ara umum pada

integral tak tentu dari ungsi-ungsi aljabar dapat dituliskan sebagai berikut *

+= cxdx


4/16

+= caxdxa

++=++ dxxhdxxgxfdxxhxgxf $#$#$#$C#$#$#D#

= dxxhdxxgdxxfdxxhxgxf $#$#$#$C#$#$#D#

cxn

dxx nn +

+= + 11

1, dengan n bilangan rasional dan n E -1

cxn

adxa

nn ++

= + 11 , dengan n bilangan rasional dan n E -1

2. Menentukan %#"$ !ika %#a$ diketahui dengan a(konstanta

!ika %A#"$ dan %#a$ diketahui maka nilai ) pada ungsi asal %#"$ akan mempunyai nilai

tertentu sehingga akan memperoleh sebuah ungsi %#"$

:ontoh *

iketahui * %A#"$( 4" 1 dan %#2$ ( 9, tentukanlah %#"$

!a&ab *

++=+== cxxdxxdxxFxF 22$14#$#B$#

? 2 ) ( 9

) ( -4

!adi, %#"$ ( 42 2 +xx

%ungsi % dikatakan anti turunan dari ungsi pada selang I jika %A#"$ ( #"$ untuk

semua " di I. Fotasi * %#"$ ( #"$ d"

Integral tak tentu adalah 0nti;Invers;ebalikan turunan.

Contoh : cxdxx += 323

1 cxdxx += 434

Integral tak tentu adalah operator linear, yaitu bersifat :

1. dxxkf $# ( dxxfk $#


5/16

2. + dxxgxf $7#$#8 ( dxxf $# dxxg $#

umus!rumus "asar Integral Tak Tentu

1. cxn

dxx nn ++= + 11

1 , n G - 1 2. += cxxdx )ossin

3. += cxxdx sin)os 4. cxdxx

+= ln1

. cedxe xx += 9. ca

adxa

xx +=

ln

/. +=

cx

x

dx 1

2sin

1?. +=

+

cxtgnx

dx 12

1

@. += cx

xx

dx 1

2se)

11


6/16

uas daerah diba&ah kurva #"$ dan diatas sumbu " dalam interval 8a,b7 dapat

ditentukan dengan membagi luas tersebut kedalam persegi panjang-persegi panjang yang

luasnya masing-masing yaitu *

uas persegi panjang I ( #"1$."1

uas persegi panjang II ( #"2$."2

uas persegi panjang n ( #"n$."n

0pabila luas persegi panjang itu dijumlahkan, diperoleh luas kira-kira yaitu * J

=

n

i

ii xxf1

.$# karena pengambilan jumlah tersebut meliputi interval 8a,b7, relasi tersebut

sering ditulis* J =

=

bx

ax

xxf .$#

5ntuk " =


7/16

b$. !ika a dan b adalah bilangan nyata , a L b dan adalah ungsi yang terintegralkan pada

interval 8a,b7 maka +

b

a

dxxf $# ( - a

b

dxxf $#

Misal ungsi yang dideinisikan pada 8a,b7, dikatakan terintegralkan pada 8a,b7

jika =

n

iii

Pxxf

1

Integral Tentu, Tak Tentu, n' Notasi Sigma

Documents

Transcript of Integral Tentu, Tak Tentu, n' Notasi Sigma