4/12/2014

1

Energy Method Conservation Energy Principle Virtual Work Principle

Application of Energy Method Deflection of truss

Consistent Deformation Method Truss statis tak tentu luar Truss statis tak tentu dalam

4/12/2014

2

External Work (Ue) = Internal Work (Ui)

When external load P is applied, the structure deforms atthe same direction as the load

In the case of materials elastic limit is not exceeded:Elastic strain energy (internal work) causing the deformedstructure due to external load to return to its undeformedstate when load is removed.

LL

P

Due to Force:When a force P undergoes a displacement dx in the samedirection as the force, the work done is dUe=Fdx. If thedisplacement is x, the work become Ue = Fdx

When P is applied gradually, the structure will deformgradually with the final deformation is and the externalwork done by P is : Ue = Fdx = (P/) xdx =

=1/2 P

x0

P

L

P

x

F

0 0

0

2

21

xP

4/12/2014

3

LP

F

External work done by P when structuredeforms further at due to other force F :

Ue = P

PF

Total external work done by Pand F :Uet= (P+F) (+)

Luuu

AP=1

L

A

dL

P1P2

P3Avirtualload P=1 acting on A in the same direction as causesinternal load u at elements throughout structure. Real load P1, P2 andP3 are then applied on the structure causing structure to deformexternally and internally dL. The internal displacement dL is inthe same direction as internal load u.

4/12/2014

4

Luuu

AP=1

L

A

dL

P1P2

P3How much is displacement at A?Work of external loads = work of internal loads

P = u dL ; 1 = u dL = external displacement caused by the real loadsP = a unit of external virtual loadu = internal virtual load acting on the element at the direction of dLdL= internal displacement caused by the real loads

1B

P1 P2

+B

Gaya satu satuan dikerjakandi B, menyebabkan lendutansebesar dan pada batangakan timbul gaya-gayadalam sebesar n.Kemudian beban luar P1 danP2 dikerjakan menyebabkantambahan lendutan sebesardan batang akan mengalamiperpanjangan/perpendekansebesar NL/AE.

Usaha luar oleh gaya satu satuan yang mengalami perpindahan samadengan usaha dalam yang dikerjakan oleh gaya-gaya dalam n yangmengalami perpindahan NL/AE.Usah luar = usaha dalam

1. = {n.NL/AE}

4/12/2014

5

Contoh Soal

4m 4m

3m4kN

A

C

B

Tentukan lendutan vertical pada titik C!

1 m

2 m

4 m2 t

Carilah besarnya lendutan di titik C!Hitunglah besarnya pergerakan rol B!

A BC

4/12/2014

6

P

A B

C

DEFG

H

L 1/2L 1/2L

L1/2L

Hitunglah defleksi vertikal pada titik D, E dan F!Hitung defleksi horizontal titik D!

4/12/2014

7

A B C

A B C

A B CRB

A B CRB

A fBB C1Bila rangka statis tertentu diatas menerima beban 1 satuan di titik B, makaterjadi lendutan di titik B sebesar fBB. Bila beban yang bekerja sebesar RB,maka lendutan yang terjadi (elemen elastis) sama dengan fBB. RB = B

4/12/2014

8

Mengingat lendutan di B harus sama dengan nol, maka persamaankompatibilitas dapat disusun sebagai berikut:B B = 0B fBB. RB = 0 RB. = B / fBBDari persamaan kompatibilitas tersebut RB dapat dicari apabilaB dan fBBterlebih dahulu dihitung. Dapatkah anda menghitungnya?

3. Persamaan KesetimbanganSetelah RB diperoleh, maka reaksi-reaksi yang lain dapat dicari denganmenggunakan persamaan kesetimbangan. Dengan diketahuinya seluruhreaksi, maka gaya-gaya batang dapat dicari mis dengan metode joint orperpotongan

A B D

A B D

C

C

A B DRB RCC

4/12/2014

9

A B DRB RCC

A fBB D1fCB

A fBC D1fCC

Pada gambar sebelumnya, terlihat bahwa akibat beban 1 satuan di B makaterjadi lendutan di titik B sebesar fBBdan lendutan di titik C sebesar fCB. Biladi titik B bekerja gaya sebesar RB maka lendutan yang diakibatkannya dititik B sebesar fBB .RB dan di titik A sebesar fCB .RB.Bila beban 1 satuan bekerja di C maka terjadi lendutan di titik C sebesar fCCdan lendutan di titik B sebesar fBC. Bila di titik B bekerja gaya sebesar RCmaka lendutan yang diakibatkannya di titik C sebesar fCC .RC dan di titik Bsebesar fBC .RC.

Total lendutan yang terjadi di B dan C akibat beban RB dan RC berarti samadengan:fBB .RB + fBC .RC = BfCC .RB + fCB .RB= C

4/12/2014

10

Mengingat lendutan di B dan C harus sama dengan nol, makapersamaan kompatibilitas dapat disusun sebagai berikut:B B = 0 C C = 0B (fBB .RB + fBC .RC )= 0 C (fCC .RB + fCB .RB )= 0

Dari persamaan kompatibilitas tersebut RB dan RC dapat dicari.

3. Persamaan KesetimbanganSetelah RB dan RC diperoleh, maka reaksi-reaksi yang lain dapat dicaridengan menggunakan persamaan kesetimbangan. Dengan diketahuinyaseluruh reaksi, maka gaya-gaya batang dapat dicari mis dengan metode jointor perpotongan

4/12/2014

11

P PAC

A B

CD

A B

CD

D C

A B

AC FAC

FAC

Rangka statis tak tentu internaldiatas diubah menjadi superposisidari rangka-rangka statis tertentu

D C

A B

fAC

1

1

D C

A B

AC FAC

FAC

Bila beban 1 satuan dikerjakan padapotongan batang AC spt pada gbrdisamping bawah, maka pergeseran yangterjadi pada potongan batang AC tersebutsama dengan fAC.Bila beban FAC dikerjakan pada potonganbatang AC, maka pergeseran padapotongan batang AC tersebut samadengan fAC.FAC= AC

4/12/2014

12

Mengingat pergeseran batang AC harus sama dengan nol, makapersamaan kompatibilitas dapat disusun sebagai berikut:ACAC = 0AC fAC. FAC = 0FAC. = AC / fACDari persamaan kompatibilitas tersebut FAC dapat dicari apabilaAC danfAC terlebih dahulu dihitung. Dapatkah anda menghitungnya?

Setelah FAC diperoleh, gunakan persamaan kesetimbangan untuk mencarireaksi di tumpuan dan selanjutnya gaya-gaya batang yang lain dapatdicari!

3. Persamaan Kesetimbangan

AB C D E

J I H G F

Rangka statis tak tertentuinternal dengan kelebihan 2batang spt gbr disampingdiubah menjadi superposisirangka-rangka batang statistertentu..Pada rangka statis tertentuyang menerima beban luar dititik F,G,H,I dan J, makabatang BH dan DH akanmengalami pergeseran sebesarBH dan DH.Pada rangka statis tertentuyang menerima beban FBH danFDH pada potongan batang ABdan DH, maka pergeseranyang terjadi pada potongan BHdan DH sebesar BH dan DH

A B C D E

J I H G FFBH FDH

BH DH

AB C D E

J I H G F

FBH FDH

BH DH

4/12/2014

13

Bila beban 1 satuan dikerjakandi potongan batang BH, makapergeseran batang BH samadengan fBHBHdan pergeseranyang terjadi pada batang DHsama dengan fDHBH.Bila beban FBH dikerjakan padapotongan batang BH, makapergeseran batang BH samadengan fBHBH FBH dan pergeseranpada batang DH sama denganfDHBH FBH.Pergeseran pada batang DH dapatdicari dengan prinsip yangsama.

AB C D E

J I H G F

FBH FDH

BH DH

AB C D E

J I H G F

1

fBHBH

AB C D E

J I H G F

1

fDHDH

fDHBH

fBHDH

Persamaan kompatibilitas dapat disusun dengan memperhatikan pergeseranpada batang BH dan DH sama dengan nol.BH- BH = 0BH- (fBHBH. FBH + fBHDH. FDH) = 0DH- DH = 0DH- (fDHDH. FDH + fDHBH. FBH) = 0

Dari persamaan diatas gaya-gaya batang FBH dan FDH dapat diketahui.Selanjutnya gunakan persamaan kesetimbangan untuk mencari reaksi ditumpuan. Gaya-gaya batang yang lain pada elemen rangka dapat dicari.

3. Persamaan Kesetimbangan

4/12/2014

14

A B

C

D E

J I H G F

A B C D E

J I H G F

P P P P P

L L L L

L

Carilah besarnya gaya-gaya batang pada strukturrangka statis tak tertentuini!.

P P P P P