1. Bentuk  Tak  Tentu    a. Bentuk  ∞  

 Lambang  ∞  disebut  tak  terhingga  malambangkan  jumlah  atau  nilai  yang  sangat  besar  sehingga  tidak  dapat  dihitung  dan  tidak  diketahui  jumlah  atau  nilainya  secara  pasti    ∞    bukan  merupakan  bilangan  seperti  1  ,  2  ,  3  ,  ...  tetapi  mempunyai  beberapa  sifat  aljabar    Sifat  sifat  Aljabar  ∞    

   

                     b. Bentuk  !

!  

 Kita  ketahui  untuk  𝑎 ∈ 𝑅  maka    !

!= 1  dan  𝑎×1 = 𝑎  

 Karena  ∞×𝑎 = ∞  maka  seharusnya  !

!= 𝑎    bertentangan  dengan  !

!= 1  

sehingga  bentuk    !!    disebut  bentuk  tak  tentu  atau  tidak  terdefenisikan  

   

c. Bentuk  ∞−∞    Kita  ketahui  untuk  𝑎 ∈ 𝑅  maka    𝑎 − 𝑎 = 0      Karena  ∞+ 𝑎 = ∞  maka  seharusnya  𝑎 = ∞−∞    bertentangan  dengan  0 = ∞−∞  sehingga  bentuk    ∞−∞    disebut  bentuk  tak  tentu  atau  tidak  terdefenisikan    

   

Jika  𝑎   ∈ 𝑅  maka    i. ∞×𝑎 = ∞    

ii. ∞×∞ = ∞    

iii. !!= 0  atau   !

!= ∞  

 iv. ∞ = ∞  

 

 d. Bentuk  !

!  

 Kita  ketahui  untuk  𝑎 ∈ 𝑅  maka    𝑎×0 = 0    dan  !

!= 1  

 Karena  𝑎×0 = 0  maka  seharusnya  𝑎 = !

!    bertentangan  dengan  !

!= 1  

sehingga  bentuk    !!    disebut  bentuk  tak  tentu  atau  tidak  terdefenisikan  

   

e. Bentuk  0.∞    Kita  ketahui  untuk  𝑎 ∈ 𝑅  maka    𝑎×0 = 0    dan  !

!= 1  

 Misalkan  0.∞ = 0    Karena  0.∞ = 0  maka  seharusnya  ∞ = !

!    bertentangan  dengan  !

!= 1  

sehingga  bentuk    0.∞    disebut  bentuk  tak  tentu  atau  tidak  terdefenisikan    

   

 

2. Defenisi  Limit    a. Defenisi  Lambang  →  

 Lambang  →  artinya  mendekati      𝑥 → 𝑎    dibaca  nilai  variabel  𝑥  mendekati  𝑎  tetapi  𝑥 ≠ 𝑎  sehingga      Nilai    𝑥 < 𝑎  dikatakan  𝑥  mendekati  𝑎  dari  kiri  atau  ditulis  𝑥 → 𝑎!    Nilai    𝑥 > 𝑎  dikatakan  𝑥  mendekati  𝑎  dari  kanan  atau  ditulis  𝑥 → 𝑎!  

 Contoh  :    𝑥 → 2    dibaca  nilai  variabel  𝑥  mendekati  2    

𝑥 → 2!   𝑥 → 2!  1,50   2,50  1,60   2,40  1,70   2,30  1,80   2,20  1,90   2,10  1,91   2,09  1,92   2,08  1,93   2,07  1,94   2,06  1,95   2,05  1,96   2,04  1,97   2,03  1,98   2,02  1,99   2,01  

        Tabel  1      

 

b. Pengertian  Limit  Secara  Intuitif    Misalkan  :  𝑓 𝑥 = 2𝑥  maka    

𝑥 → 2!   𝑓 𝑥 = 2𝑥   𝑥 → 2!   𝑓 𝑥 = 2𝑥  1,50   3,00   2,50   5,00  1,60   3,20   2,40   4,80  1,70   3,40   2,30   4,60  1,80   3,60   2,20   4,40  1,90   3,80   2,10   4,20  1,91   3,82   2,09   4,18  1,92   3,84   2,08   4,16  1,93   3,86   2,07   4,14  1,94   3,88   2,06   4,12  1,95   3,90   2,05   4,10  1,96   3,92   2,04   4,08  1,97   3,94   2,03   4,06  1,98   3,96   2,02   4,04  1,99   3,98   2,01   4,02  2,00   4,00   2,00   4,00  

 Tabel  2      

Gambar  1    Pada  gambar  1  terlihat    Jika  𝑥  mendekati  2  dari  kiri  atau    𝑥 → 2!    maka  𝑓 𝑥 → 4    Jika  𝑥  mendekati  2  dari  kanan  atau    𝑥 → 2!    maka  𝑓 𝑥 → 4    Jika  𝑥 = 2  maka  𝑓 𝑥 = 4  karena  𝑓 𝑥 = 2𝑥  terdefenisikan  pada  𝑥 = 2        

 

Pengertian    

     

 Misalkan    𝑓 𝑥 = 4, 𝑥 < 2

2, 𝑥 > 2    digambarkan  dengan  grafik  di  bawah  ini    

Gambar  2    Pada  gambar  2  terlihat    Jika  𝑥  mendekati  2  dari  kiri  atau    𝑥 → 2!    maka  𝑓 𝑥 → 4    Jika  𝑥  mendekati  2  dari  kanan  atau    𝑥 → 2!    maka  𝑓 𝑥 → 2    Jika  𝑥 = 2  nilai  𝑓 𝑥  tidak  terdefenisikan      Karena      Jika  𝑥  mendekati  𝑎  dari  kiri  atau    𝑥 → 𝑎!    nilai  𝑓 𝑥 → 𝐿!"  

𝑓 𝑥  terdefenisikan/ada  pada  𝑥  disekitar  𝑎  dan  𝑓 𝑥  boleh  tidak  terdefenisikan/ada  pada  𝑥 = 𝑎      Jika  𝑥  mendekati  𝑎  dari  kiri  atau    𝑥 → 𝑎!    nilai  𝑓 𝑥 → 𝐿    Jika  𝑥  mendekati  𝑎  dari  kanan  atau    𝑥 → 𝑎!    nilai  𝑓 𝑥 → 𝐿      Jika  ketiga  hal  di  atas  terpenuhi  maka  dikatakan  limit    𝑓 𝑥  medekati  𝐿    atau  𝑓 𝑥 → 𝐿  ketika  𝑥  mendekati  𝑎    atau    𝑥 → 𝑎  dari  kedua  arah  dan  secara  matematis  ditulis    

lim!→!

𝑓 𝑥 = 𝐿  

 

 Jika  𝑥  mendekati  𝑎  dari  kanan  atau    𝑥 → 𝑎!    nilai  𝑓 𝑥 → 𝐿!"    𝐿!" ≠ 𝐿!"      Maka  lim!→! 𝑓 𝑥  tidak  terdefenisikan  karena  nilai  𝑓 𝑥  dari  kiri  dan  kanan  tidak  sama      

   Pada  contoh  halaman  sebelumnya  dimana    𝑓 𝑥 = 2𝑥    dan    lim!→! 2𝑥 = 𝑓 2 = 4  maka  𝑓 𝑥 = 2𝑥  adalah  fungsi  kontinu  karena  𝑓 𝑥 = 2𝑥  terdefenisikan  pada  𝑥 = 2      

     

Jika  𝑓 𝑥  terdefenisikan/ada  pada  𝑥 = 𝑎  dan  lim!→! 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)  maka  dikatakan  𝑓 𝑥  adalah  fungsi  kontinu  

   

Fungsi  𝑓 𝑥  dikatakan  kontinu    pada  𝑥 = 𝑎    jika    

lim!→!

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎  

Catatan  :    Untuk  mendapatkan  limit  suatu  fungsi  𝑓 𝑥  yang  bersifat  kontinu  bisa  dengan  melakukan  substitusi  langsung  lim!→! 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎  

 

 c. Defenisi  Limit  Secara  Eksak  

   

     Secara  grafik  defenisi  limit  di  atas  dapat  dilihat  pada  gambar  2        

 Gambar  2    

   

Jika  𝑓 𝑥  terdefenisikan  pada  interval  sekitar  𝑥 = 𝑎  maka  dikatakan    

lim!→!

𝑓 𝑥 = 𝐿  

 jika  untuk  setiap  𝜀 > 0  terdapat  𝛿 > 0  sedemikian  sehingga      𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀  dengan  syarat  0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿  

 

3. Teorema  Limit  Fungsi  Aljabar    Jika  𝑛  bilangan  bulat  positif  ,  𝑘  konstanta  ,  𝑓 𝑥  dan  𝑔 𝑥  memiliki  limit  di  𝑎  ,  maka      

     

b. lim!→! 𝑘 = 𝑘    

c. lim!→! 𝑥 = 𝑎    d. lim!→! 𝑘𝑓 𝑥 = 𝑘 lim!→! 𝑓 𝑥  

 e. lim!→! 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = lim!→! 𝑓 𝑥 ± lim!→! 𝑔 𝑥  

 f. lim!→! 𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 = lim!→! 𝑓 𝑥 . lim!→! 𝑔 𝑥  

 g. lim!→! =

! !! !

= !"#!→! ! !!"#!→! ! !

   dengan  𝑔 𝑥 ≠ 0    h. lim!→! 𝑓 𝑥 ! = lim!→! 𝑓 𝑥 !  

 i. lim!→! 𝑓 𝑥! = lim!→! 𝑓 𝑥!      

 

4. Teorema  Limit  Fungsi  Tak  Terhingga    Jika  𝑛  bilangan  bulat  positif  ,  𝑘  konstanta  ,  𝑓 𝑥  dan  𝑔 𝑥  memiliki  limit  di  𝑎  ,  maka            

                               

a. lim!→±!!!!= 0  

 b. lim!→! 𝑥! = ∞    

c. lim!→!! 𝑥! =∞, 𝑛  genap−∞, 𝑛  ganjil