Bent

BA

tuk Tak Tent

AB 1

1.1 B1.2 B1.3 I

T1.4 I

H

1

tu dan Integ

Bentuk-Bentuk-IntegraTak HinIntegraHingga

BI

gral Tak Waj

-Bentuk-Bentukal Tak Wngga al Tak W

BentuInteg

jar

k Tak Tk Tak TWajar :

Wajar :

uk Tagral T

Tentu 0/Tentu ya: Batas

: Integr

ak TeTak W

/0 ang Lain Integr

rand Ta

entu Waja

n rasi

ak

dan ar

Bent

M o d u

           Pend

a x b≤ ≤

di intevintegrasteratas.setiap meluruhmasalawajar. A

terlebihSubbabmenggutentu ∞aturan integrasintegral

tuk Tak Tent

u l M a t e m

ahuluan

Hingga saa

b . Bila diing

val terbatassi untuk sua. Contohnywaktu. Ak

h, kita haruh-masalah

Ada dua ma 1. Interval

2. Fungsi

Kedua mas dahulu ak

b 1.1 memunakan atu∞ ∞ dan be

l’Hôpital. Psinya tak h tak wajar d

tu dan Integ

m a t i k a

at ini, kita

gat kembal

s [ ],a b . Naatu daerah

ya, jika kitaibatnya, apus menginteseperti ini

asalah dalam

l [ ],a b yang

( )f x yang

salah ini akkan dibaha

mbahas meran l’Hôpita

entuk-bentuPada Subbahingga. Sedengan inte

gral Tak Waj

D a s a r A

selalu me

i, suatu inte

amun kadanyang tak te

a memiliki zpabila kita egral atas kita perlu m

m integral ta

menuju tak

g menuju tak

kan dibahas mengenangenai benal. Selanjutnuk tak tentuab 1.3 dijedangkan p

egrand yang

jar

A 2

ngintegral

egral (b

a

f x∫ngkala, unterbatas sepzat radio a

ingin meninterval wamengetahuak wajar, ya

k hingga (ya

k hingga.

as pada Baai penyelesntuk tak tenya, pada S lainnya ya

elaskan mepada akhir g menuju ta

Tujuan I Mahasiswa1. Mene

limit band 1

2. Menje3. Mene

integrwajar bantu

U n i v e r

atas daera

)x dx mensy

tuk beberapperti a x≤ <aktif , partiknghitung raaktu yang tai suatu benaitu:

aitu a = −∞

b 1. Namusaian bentuentu 0 0 dSubab 1.2 ang penyelengenai inteBab1, Sub

k hingga.

nstruksio

a mampu: erapkan aturabentuk tak te1∞. elaskan aturaentukan kekral tak wajarr yang konveuan TIK

s i t a s I n

ah interval

yaratkan fun

pa masalah∞ atau fun

kel-partikelnata-rata waak terbatasntuk integra

atau b =∞

un pada duuk-bentuk tadan penyeldibahas meesaiannya jegral tak wbbab 1.4,

nal Khusu

an l’Hôpital entu: 0/0, ∞/

an l’Hôpital skonvergenan r dan meng

ergen secara

n d o n e s i

hingga [ ,a

ngsi ( )f x

h, kita inginngsi ( )f x ynya dapat aktu untuk s. Untuk meal yaitu inte

).

a subbab ak tentu daesaiannya engenai bejuga mengg

wajar dengadibahas m

us 

untuk meng/∞, 0.∞, ∞−

secara grafikatau kediv

gevaluasi inta manual dan

a | 2

]b atau

terbatas

n meng-yang tak meluruh partikel

engatasi egral tak

pertama ari limit. dengan ntuk tak gunakan an batas engenai

gevaluasi ∞, 00, ∞0

k. vergenan tegral tak n dengan

Bent

M o d u

1.1

tuk Tak Tent

u l M a t e m

Ben

tu dan Integ

m a t i k a

ntuk-Be

gral Tak Waj

D a s a r A

Bentuk T

ntuk Tak

Bentuk T Perhatikan

(1) 2

2limx

xx→

(2) 3limx

x→∞

Limit pada limit pada penyelesaiwajar (inde Ada beberamasalah storisasi atadengan aka Perhatikan saikan denberikut:

Pada masamembagi pvariabel se

Coba kalian

a. 2

21limx

xx→

−−

b.

3lim

2x

xx→∞ −

jar

A 2 U

Tak Tentu 0

k Tentu

Tak Tent

lah masala

2 42x−+

4 3

4

22 3 3

x x xx x− + ++ −

(1) memilik(2) memi

an seperti eterminate fo

apa metodeseperti di aau membagar terbesar

kembali lingan faktor

limx→

alah limit di pembilang dehingga dipe

4

4

3 2lim2x

x xx→∞

−+

n tentukan 6 53 2

xx++

3

2

6 13 9

x xx x− +

− + −

U n i v e r s i

0 0 , Aturan

0/0

tu 0 0

h-masalah

93+

ki penyelesaliki penyelini disebut

form).

e yang umuatas, yaitu gi pembilandari variabe

mit pada (risasi, sehin

2

2

4m lim2 x

xx →

−=

+

(2) kita dapdan penyebueroleh

3 9 l3 3 x

x xx+ +

=+ −

nilai limit be

9

t a s I n d

l’Hôpital un

limit berikut

aian berbenesaian /∞t disebut s

m digunakadengan m

ng dan penel pada per

1). Masalangga diper

( )(2

2m

2x x

x→

− ++

pat menyeleut dengan a

13 2lim2 3x

xx

−

→∞

− ++

erikut:

o n e s i a

ntuk Bentuk

t

ntuk 0/0 sed/∞ . Bentuksebagai ben

an untuk memenggunaknyebut perrsamaan ter

h ini dapatoleh hasil

)20.

+=

esaikannya akar terbesa

3 4

3 4

93

x xx x

− −

− −

+ +=

−

| 3

k 0 0

dangkan k-bentuk ntuk tak

engatasi kan fak-rsamaan rsebut.

t disele-sebagai

dengan ar dari

3 .2

=

Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar

M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A 2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 4

Namun bagaimana jika kita memperoleh masalah seperti dua soal di bawah ini?

(3) 0

sinlimx

xx→

(4) 5limx

x

ex→∞

Limit pada (3) menghasilkan bentuk tak wajar 0/0 dan limit pada (4) bentuk tak wajar /∞ ∞ . Tapi metode faktorisasi tidak dapat diterapkan pada (3) dan metode membagai dengan akar terbesar tidak dapat diterapkan pada (4) (Jelaskan!). Untuk menyelesaikan masalah di atas akan dibahas aturan L’Hôpital di bawah ini: Aturan l’Hôpital untuk Bentuk 0 0

Contoh 1 Carilah limit berikut dengan menggunakan Teorema 1.1

1. 0

sinlimx

xx→

2. 5limx

x

ex→∞

Penyelesaian

1. 0 0

sin coslim lim 11x x

x xx→ →

= =

2. 5lim lim lim5 5

x x x

x x x

e e ex x→∞ →∞ →∞

= = = ∞

Contoh 2

Hitunglah 4 2

31

5 4 1lim .10 9x

x xx x→

− −− −

TEOREMA 1.1 Aturan l’Hôpital untuk Bentuk 0 0 Misalkan lim ( ) lim ( ) 0.

x u x uf x g x

→ →= = Jika [ ]lim '( ) / '( )

x uf x g x

→ ada

baik hingga maupun tak hingga (dpl. Jika limit adalah sebu-ah bilangan hingga atau −∞ atau +∞ , maka

(5) ( ) '( )lim lim( ) '( )x u x u

f x f xg x g x→ →

=

dengan u dapat mewakili simbol-simbol seperti , , ,a a a− +

, −∞ atau .+∞

Bent

M o d u

InteGeo

Aturan  

y

fy

Gam

tuk Tak Tent

u l M a t e m

erpretasi ometrik n l’Hôpital

g  

f  

x

( )g x q=

( )f x px=  

x

mbar 1

tu dan Integ

m a t i k a

qx

gral Tak Waj

D a s a r A

Penyelesa

Coba kalianTeorema 1

a.

b.

Intepretasi dapat diliha Dari dua aturan l’Hô Misalkan fu Misalkan fu

ga fungsi f

dan ( )g x = Karena

maka

Penjelasan( )f x dan

Dalam apli0/0 juga. Mselama limhasil. Contoh 3

Carilah nila

0

3lim8x

x→

+

9lim xx

xe−→∞ +

4

1

5 4lim10x

x xx→

−− −

jar

A 2 U

aian

n tentukan .1 bila perlu

geometris at pada Gam

diagram dôpital dapat

ungsi ( )f x

ungsi ( )f x

( )f x dan gqx= dan dap

0

( )lim( )x

f xg x→

=

n ini merupa( )g x pada

kasi aturan Maka kita damit memiliki

ai dari 0

silimx x→

sin8

xx

xx+

2

3 1

1 2lim9 x

xx →

−=

− −

U n i v e r s i

nilai limit beu.

dari aturambar 1.

i bawah indigunakan.

dan ( )g x d

dan ( )g x

( )g x dapat dpat direpres

0 0lim limx x

pxqx→ →

=

0

( )lim li( )x x

f xg x→

=

akan pemicuGambar 1 j

0

( )lim li( )x x

f xg x→

=

l’Hôpital seapat mengu

bentuk tak

2

in .2

x xx

−+

3

2

20 81 27x x

x−

=− − −

t a s I n d

erikut denga

an l’Hôpita

i dapat ditu

dinyatakan p

dihampiri s

dinyatakan sentasikan d

0m lim

x

p pq q →= =

0

'( )im .'( )

f xg x→

u bahwa unjuga akan m

0

'( )im .'( )

f xg x→

ering diperoulangi aplikak wajar 0/0

20 8 31 27 7−

= −− −

o n e s i a

an menggun

al untuk ka

unjukkan m

pada Gamb

ecara linier

sebagai (f

dalam Gam

0

'( )m ,'( )

f xg x→

ntuk fungsi fmemenuhi

oleh hasil beasi aturan l

0, hingga d

3 .7

| 5

nakan

asus 0/0

mengapa

bar 1,

r sehing-

( )x px=

mbar 1.

fungsi

erbentuk ’Hôpital, iperoleh

Bent

M o d u

1.2

tuk Tak Tent

u l M a t e m

Ben

tu dan Integ

m a t i k a

ntuk-Be

gral Tak Waj

D a s a r A

Bentuk T

PenyelesaDengan mehasil beriku

Walaupundigunakan,dipecahkanseperti pad Contoh 4

Carilah nila

Penyelesa

limx→∞

Dengan myang diper

cara lain u

modifikasi a

Perhatikan Untuk meberbentuk

ntuk Tak

Bentuk T

Dari Conto

dari lim2

x

x

ex

−

−→∞

jar

A 2 U

Tak Tentu ∞

Bent

aian enggunakanut,

20

sinlim2x

x xx→

−+

tidak ada, kadang kan setelah ada Contoh 4

ai dari lim2x

e→∞

aian

1 lim2 2

x

x

ex

−

− →∞=

menggunakaroleh sema

untuk mene

aljabar pad

bahwa paenentukan

/∞ ∞ akan d

k Tentu

Tak Tent

h 4 pada Su

1 lim2

x

xx

xe− →∞

=

U n i v e r s i

∞ ∞ , Bentu

uk Tak Ten

n aturan l’H

0

coslim2x

x xx→

=

a batasan ala dijumpaaturan l’Hôp4 berikut ini.

1 .xe

x

−

−

2 lim2 4

x

x

e ex x

−

− →∞=

an aturan lkin komple

entukan nila

a masalah

1lim l2

x

x x

ex

−

−→∞=

ada Contohpenyelesa

di bahas pa

yang La

tu ∞ ∞

ubbab 1.1 s

.∞=∞

t a s I n d

k Tak Tentu

ntu 0 00 , , 1∞∞

Hôpital dua k

0

1 slim2xx →

− −=

berapa kaai soal yangpital diguna.

3 ...x

x

−

− =

’Hôpital dueks. Sehing

ai dari limx→∞

hingga dipe

lim .2 xx

xe→∞

h 4 limitnyaian dari

ada Subbab

ain

sebelumnya

o n e s i a

u 0.∞ dan ∞∞

kali akan di

in 0.2

x=

ali aturan g tetap tidaakan berula

ua kali makga perlu d

12

xex

−

− yaitu

eroleh

a berbentulimit fungs

b 1.2.

a diperoleh

| 6

∞ −∞

peroleh

l’Hôpital ak dapat ang kali

ka hasil ilakukan

dengan

k / .∞ ∞ si yang

nilai

Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar

M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A 2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 7

Pada subbab ini akan dibahas aturan l’Hôpital yang dapat digunakan untuk bentuk / .∞ ∞ Secara intuisi hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut: Misalkan ( )f x dan ( )g x menyatakan posisi dari dua mobil pada sumbu-t di waktu t. Misalkan kedua mobil sedang melakukan perjalanan jauh dengan kecepatan masing-masing

( )f x′ dan ( )g x′ . Jika diketahui '( )lim'( )t

f x Lg x→∞

= berarti pada

akhirnya kecepatan mobil f akan L lebih cepat dari kecepatan mobil g. Sehingga akan masuk akal jika disimpulkan bahwa pada akhirnya mobil f akan menempuh jarak L kali lebih jauh

dari mobil g. Hal ini dapat dinyatakan sebagai ( )lim .( )t

f x Lg x→∞

=

Berikut adalah teorema dari aturan l’Hôpital untuk bentuk / .∞ ∞

Contoh 1

Carilah nilai dari 1lim .2

x

x

ex

−

−→∞ Penyelesaian

1

1lim lim lim 0.2 2 2

x

x xx x x

e xx e e

−

−→∞ →∞ →∞= = =

Contoh 2

Carilah nilai dari lnlim .nx

xx→∞

Penyelesaian

1 11 1 1

1 1

ln 1lim lim lim lim lim 0.1

n nn nx x x x x

n

x x n x n x nx xx

n

⎛ ⎞− − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

→∞ →∞ →∞ →∞ →∞−= = = = =

TEOREMA 1.2 Aturan l’Hôpital untuk Bentuk / .∞ ∞

Misalkan lim ( ) lim ( ) .

x u x uf x g x

→ →= =∞ Jika [ ]lim '( ) / '( )

x uf x g x

→ ada

baik hingga maupun tak hingga, maka

(6) ( ) '( )lim lim( ) '( )x u x u

f x f xg x g x→ →

=

dengan u dapat mewakili simbol-simbol seperti , , , ,a a a− + −∞

atau +∞ .

Jika pada saat menngerjakan soal

kita memperoleh nilai yang makin kompleks

atau tidak menjadi lebih sederhana setelah aturan

l’Hôpital digunakan beberapa kali, maka gunakan alternatif

penyelesaian masalah dengan

mencoba menggunakan

modifikasi aljabar

Ingat !

Bent

M o d u

tuk Tak Tent

u l M a t e m

tu dan Integ

m a t i k a

gral Tak Waj

D a s a r A

Coba kalian

Sekarang pngan sebel Bentuk T Selain bennya, ada be Contoh 3Carilah nila

PenyelesaKarena

0limx→

sehingga adapat langdigunakan bagian seh Transforma

oleh

yang meme

0limx −→

maka atura

0limx −→

Coba kalian

Berikutnya

.∞ −∞ Contoh 4Carilah nila

Penyelesa

lx

Untuk men

(0

lim csx→

sehingga a

jar

A 2 U

n tentukan

perhatikan lumnya.

Tak Tent

tuk-bentuk entuk tak te

ai dari 0

limx

x−→

aian

0m 0x

−= dan

aturan l’Hôgsung digmaka tran

hingga atura

asi 0

lim lnx

x x−→

enuhi atura

0m ln lim

xx

− −→=

an l’Hôpital

0m ln lim

xx x

− −→=

n tentukan

diberikan c

ai dari (0

lim cx→

aian

(0

lim csc cox

x→

−

yelesaikann

)sc cotx x− =

aturan l’Hôp

U n i v e r s i

nilai lim5x

xx→∞

contoh den

tu 0 ⋅∞ da

tak tentu yentu lain yai

ln .x x

0lim lnx

x−→

= −∞

ôpital untukunakan. Asformasika

an l’Hôpital

x ke bentu

0lim lnx

x x−→

=

n l’Hôpital. 1/ x = ∞

dapat digun

0

ln lim1 x

xx −→=

−

nilai (0

limlnx→

contoh untu

)csc cotx x−

)0

ot limsx

x→

⎛= ⎜⎝

nya, ubah s

0

1limsinx x→

⎛= −⎜⎝

pital diperole

t a s I n d

sin .cos

x xx x++

ngan kasus

an ∞ −∞

yang telah tu 0 ⋅∞ da

,∞ maka lx

k bentuk 0Agar aturan soal keddapat digun

k pembagia

0

lnlim1x

xx−→

Karena

nakan sehin

( )2 0

1 lim1 x

xx →

=−

( )cos .cotx x

k kasus ben

.

1 cossin sin

xx x

⎞−⎠

soal ke bentcos limsin x

xx →

⎞− =⎟⎠

eh

o n e s i a

yang berb

dipelajari sn ∞ −∞

0lim ln li

xx x

−→ →=

0/0 dan ∞an l’Hôpitadalam bentunakan.

an sehingg

ngga dipero

( )m 0.x−− =

x .

ntuk tak ten

.⎞ = ∞ −∞⎟⎠

tuk pembag

0

1 cosmsin

xx→

−=

| 8

beda de-

ebelum-

0im 0.

−→−∞

/∞ tidak l dapat uk pem-

ga diper-

oleh

ntu

gian 0 .0

Bent

M o d u

tuk Tak Tent

u l M a t e m

tu dan Integ

m a t i k a

gral Tak Waj

D a s a r A

Carilah nila

Bentuk T Selain bententu lain ybentuk ini bcontoh-con Contoh 5 Carilah nila

Penyelesa

0lim x

xx

→ mem

Dengan memaka diper

ln yy e= dan

0 0lim limex x

y→ →

=

Carilah nila

Contoh 6 Carilah nila

PenyelesaSoal ini me

Untuk menpembagian

Bentuk ini al’Hôpital da

lx

jar

A 2 U

ai lim lnx

x→∞

+

Tak Tent

ntuk tak tenyaitu 0 00 ,∞biasanya dintoh berikut

Bentuk ai dari

0lim x

xx

→

aian miliki bentuk

0limlx→

enggunakanroleh

0limlnx

y→

n ( ) xf x e= a

exp(ln ) exy =

ai sin

0lim .x

xx

→

Bentuk ai dari lim(ln

x→∞

aian emiliki bentu

limx→∞

yelesaikannn sebagai be

lim lnx

y→∞

=

adalah bentapat diguna

lim ln limx x

y→∞ →∞

=

0

1 climsix→

−

U n i v e r s i

3

29xx

+ .

tu 0 00 , ,1∞

ntu yang te0 ,1∞ . Untukigunakan atini.

k tak tentu 00.x

k 00. Misalka

0ln lim ln

xy x

→=

n aturan l’H

0lim lnx

y x x→

=

adalah fung

( )0xp limln

xy

→

k tak tentu ∞1/n ) .xx

uk 0.∞ Misaln lim(1/

xy

→∞=

nya nyatakaerikut:

lim(1 / ) lnx

x→∞

=

tuk tak tentkan menjad

m(1/ ) lnx

x x∞

=

0

cos limin x

xx →

−=

t a s I n d

1∞

lah dipelajak menyelesturan logari

0

an ,xy x= m

0

lnn lim1/x

xxx→

=

Hôpital untuk0x = (lihat C

gsi kontinu m

exp0 1.= =

0∞

alkan (lny =/ ) ln 0.x x = ∞

an soal ke d

lnn limx

xxx→∞

=

u ∞ ∞ , sehdi

lnlim limx x

xx→∞ →

=

( sin ) 0cos

xx

− −=

o n e s i a

ari, ada besaikan soal itma. Perha

maka

.

k bentuk ∞ontoh 3). K

maka dipero

)1/n ,xx mak.∞

dalam bentu

.∞=∞

hingga atura

1/m 0.1x

→∞=

0.

| 9

ntuk tak dengan

atikanlah

/∞Karena

oleh

ka

uk

an

Bent

M o d u

1.3

tuk Tak Tent

u l M a t e m

Int

tu dan Integ

m a t i k a

tegral T

gral Tak Waj

D a s a r A

Karena y =

diperoleh lx

Coba kalian

Contoh 7 Carilah nila

PenyelesaSoal ini me

ditulis seba1/(1 )y p= +

lip

Bentuk ini adigunakan

Jadi 0

limlnp

y→

Karena y =

diperoleh lx

Coba kalian

Tak Waja Pada definyang didefpada masekonomi dbatas intesentasikan gunakan ddengan notersebut d

integral ber

jar

A 2 U

Satu Ba Kedua B

ln ye= dan f

lim lim exx x

y→∞ →∞

=

n tentukan

Bentuk ai dari (lim 1

x→∞

aian emiliki bentu

agai (lim 1x→∞

+

,p maka

0 0imln lim(

py

→ →=

adalah bentaturan l’Hô

0lim(1/ )p

y p→

=

ln ye= dan f

0 0im limex

x xy

→ →=

n tentukan

ar : Bata

isi integral inisikan padalah-masal

dan lain-lainerval yang

masalah tengan men

otasi tak hapat meng

rikut ini: a

f∞

∫

U n i v e r s i

atas IntegraBatas Integ

( ) xf x e= ada

xp(ln ) expy =

nilai (limx

e→∞

k tak tentu 1)1 1/ .xx+

uk 1 .∞ Misal

) (0

1/ limx

px

→=

(1 / ) ln(1p +

tuk tak tentôpital.

ln(1 ) lp

p+ =

( ) xf x e= ada

xp(ln ) expy =

nilai lim cox→∞

⎛⎜⎝

as Integ

tentu, dimisda sebuah ah aplikasn, banyak

tak hingtersebut, pnggunakan hinga ( −∞ aggunakan s

( ) , (b

f x dx f−∞∫

t a s I n d

asi Tak Hinggrasi Tak Hi

alah fungsi k

( )p lim lnx

y→∞

=

)1 .xxe

∞

kan 1p x=

( )1/1 .pp+ M

0

ln(1) limp

p→

=

u 0 0 , sehi

0

ln(1 )limp

pp→

+

alah fungsi k

( )0p limln

xy

→=

4

2

1os .x

x⎞⎟⎠

grasi Tak

salkan f adainterval teri di bidanmasalah ya

gga. Untukpenggunaan

batas inteatau ∞ ). Ssalah satu

)x dx atau ∞

−∫

o n e s i a

gga, ngga

kontinu mak

exp0 1.= =

, maka soa

Misalkan pu

1 ) 0 .0

pp+

=

ngga bisa

0

1lim1p p→

= =+

kontinu mak

exp(1) .e= =

k Hingga

alah sebuartutup [a,b]. ng statistikang memb

k dapat mn integral derval a danSehingga m

dari notas

( ) .f x dx∞

−∞∫

| 1 0

ka

al dapat

la

1.=

ka

a

h fungsi Namun

k, fisika, utuhkan

merepre-dapat di-n/atau b masalah si-notasi

Bent

M o d u

tuk Tak Tent

u l M a t e m

tu dan Integ

m a t i k a

gral Tak Waj

D a s a r A

Satu Bat Contoh 1

Carilah nila

PenyelesaKarena

31

x

a

xe−∫Maka,

1

xe−∞∫

Kita kataka

Jelaskan m

nilainya un

Sekarang,

Kedua B

DEFINIS

Jika limit-berhinggakonvergehal lain, in

DEFINIS

Jika 0

f−∞∫

adalah ko

Dalam ha

jar

A 2 U

tas Integ

ai dari 1

xe−

−∞∫

aian

113

x

a

dx e−= − ∫

31

limx

aa

e dx−

→∞= ∫

an integral d

mengapa i

tuk berapap

coba jelask

Batas Int

SI 1.1 b

−∞∫

a

f∞

∫

-limit di ruaa, maka n dan nilainntegral dika

SI 1.2

( )x dx dan

onvergen da

(f x∞

−∞∫

al lain, (f∞

−∞∫

U n i v e r s i

grasi Ta

3x dx− jika ad

( )3

3x xdx− =

3

limx

axe dx−

→=∫

di atas konv

integral 0

a

e∫pun nilai b y

kan mengap

tegrasi T

( ) lima

f x dx→−

=

( ) limb

f x dx→∞

=

as kanan aintegral t

nya sesuai datakan diver

0

( )f x dx∞

∫ k

an memiliki 0

) (x dx f x−∞

= ∫

)x dx diverge

t a s I n d

k Hingga

a.

311

3x

a

e−⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦

11 1m3 3

e−

→∞

⎡− +⎢⎣

vergen dan

xe dx− selalu

yang diberik

pa integral ∞

∫

Tak Hing

m ( )b

a

f x dx−∞ ∫

( )mb

a

f x dx∞∫

ada dan meak wajar dengan nilargen

konvergen,

nilai

0

) ( )dx f x d∞

+ ∫

en.

o n e s i a

a

11 13 3

e e−= − +

31 13 3

aee

− ⎤ = −⎥⎦

nilainya 3

−

dapat dit

kan.

0

cos xdx∞

∫ div

gga

emiliki nilaidi atas d

ai limitnya. D

maka f∞

−∞∫

.dx

| 1 1

3ae−

.e

1 .3e

tentukan

vergen.

yang isebut Dalam

( )f x dx

Bent

M o d u

1.4

tuk Tak Tent

u l M a t e m

Int

tu dan Integ

m a t i k a

tegral T

gral Tak Waj

D a s a r A

IntegrandInte

Contoh 2

Hitunglah −

PenyelesaKarena keDefinisi 1.2dua integra

Dengan mpenyelesai

Karena ke

konvergen

∞

−∫

Coba kaliakonvergen

1. xe∞

−

−∞∫

2. cos∞

−∞∫

Tak Waja Sebelum pkan kembaFakta ini di

TEOREM Jika f adapada seju[a,b]. Sec[a,b], mak

jar

A 2 U

d Tak Hinggegrand Tak

2xxe dx∞

−

−∞∫ jik

aian dua batas

2 di atas, inal sebagai b

xxe∞

−

−∞∫

menggunakan Contoh

20

xxe d−

−∞∫

dua integ

dan memili

20

xxe dx∞

−

−∞ −

=∫ ∫

an tentukanatau diverg

4

.x dx−

.x dx

ar : Inte

embahasanali mengenanyatakan d

MA 1.3 Ke

alah fungsi umlah hinggcara khususka f dapat d

U n i v e r s i

ga pada Sak Hingga pa

a konverge

integral takntegral akanberikut:

20

x xdx xe−

−∞

= ∫

an cara 1, maka dip

12

dx = − da

gral konverg

iki nilai

20

0

xxe dx∞

−

−∞

+∫ ∫

n apakah ngen.

egrand T

n integral taai kapan suaalam Teore

eintegralan

terbatas paga titik, maks, jika f koiintegralkan

t a s I n d

lah Satu Titda Titik dala

n.

k hingga man dibagi me

2 2

0

x xdx xe∞

−+ ∫

yang seruperoleh

an 2

0

xxe dx∞

−∫

gen, maka

2

2xxe dx− = −∫

nilai integra

Tak Hing

ak wajar jenatu fungsi dema 1.3 ber

ada [a,b] daka f dapat dontinu padan pada [a,b]

o n e s i a

tik Batas Intam Interval

aka, sesuai enjadi penju

.dx

upa sepert

1 .2

=

integral ∞

−∞∫

1 1 0.2 2+ =

al tak wajar

gga

nis ini, akandapat diinterikut:

n kontinu, kdiintegralkana seluruh in.

| 1 2

terval,

dengan umlahan

ti pada

2xxe dx∞

−

∞∫

r berikut

diingat-egralkan.

kecuali n pada nterval

Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar

M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A 2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 1 3

Berdasarkan Teorema 1.3 maka fungsi-fungsi yang dapat diintegralkan pada setiap interval tertutup [a,b] adalah 1. Fungsi-fungsi polinomial 2. Fungsi sinus dan cosinus 3. Fungsi-fungsi rasional, dengan syarat pada interval [a,b]

fungsi tidak mengandung titik dengan penyebut 0. Pembahasan pada subtopik ini terdiri dari dua materi, yaitu: 1. Integrand tak hingga pada salah satu titik batas interval. 2. Integrand tak hingga pada titik dalam interval. Integrand Tak Hingga pada Salah Satu Titik Batas Interval Definisi 1.3 di atas berlaku untuk integral dengan batas atas tak hingga. Untuk integral dengan batas bawah tak hingga, definisinya analog dengan Definisi 1.3. Contoh 1

Tunjukkan bahwa 1

0

1p dx

x∫ konvergen jika 1p < , namun divergen

jika 1.p ≥ Penyelesaian Untuk p = 1.

Karena 0 0

1lim | ( ) | lim ,x x

f xx+ +→ →

= = ∞ maka

1 11

0 0 00

1 1lim lim[ln ] lim[ ln ] .aa a a

a

dx dx x ax x+ + +→ → →

= = = − = ∞∫ ∫

Berarti untuk p = 1, 1

0

1p dx

x∫ divergen.

Untuk 1,p ≠

DEFINISI 1.3 Misal f kontinu pada selang setengah terbuka [ ),a b dan misalkan lim ( ) .

x bf x

−→= ∞ Maka,

( ) ( )limb t

t ba a

f x ds f x dx−→

=∫ ∫

dengan syarat limitnya ada dan hingga. Dalam hal ini kita nyatakan sebagai integral yang konvergen. Dalam hal lainnya, integral divergen.

Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar

M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A 2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 1 4

1 1

00

10

1 lim

1 1 1lim1 1

1 jika 1, atau 1

jika 1.

pp a

a

pa

dx x dxx

p p t

pp

p

+

+

−

→

−→

=

⎡ ⎤= −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

= ≠−

= ∞ >

∫ ∫

Integrand Tak Hingga pada Titik dalam Interval

Perhatikan kembali Contoh 1 di atas, yaitu 1

21

1 .dxx−∫ Integral ini

merupakan integral tak wajar pada saat x = 0, dengan x adalah sebuah titik dalam interval [-1,1]. Berikut adalah definisi terkait dengan masalah ini. . Contoh 2

Tunjukkan bahwa 1

21

1 .dxx−∫ divergen.

Penyelesaian

Karena 20 0

1lim ( ) limx x

f xx→ →

= divergen, maka

1 0 1

2 2 21 1 0

1 1 1 .dx dx dxx x x− −

= +∫ ∫ ∫

Namun dari Contoh 1, untuk 1p > , integral ke dua di ruas

kanan adalah divergen. Sehingga menurut Definisi 1.4 1

21

1 dxx−∫

juga divergen.

DEFINISI 1.4 Misalkan f kontinu pada [ ],a b kecuali pada sebuah bilangan

c, dimana ,a c b< < dan misalkan lim ( ) .x c

f x→

=∞ Maka

didefinisikan

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

dengan syarat ke dua integral di ruas kanan konvergen.

Dalam hal lain dikatakan ( )b

a

f x dx∫ divergen.