Penerapan

I. Pokok Pembahasan

Integral tentu

Integral tak tentu

Sigma

II. Tujuan:

1. Mengetahui dan memahami bentuk-bentuk integral tentu dan integral tak tentu

2. Mengetahui dan memahami bentuk sigma

3. Menyelesaikan bentuk integral dan sigma dengan maple

4. menentukan hasil penyelesaian integral dan sigma dengan maplle

III. Landasan Teori

1. Integral Tentu dan Tak Tentu

Setelah kita memahami tentang integral tentu dan integral taktentu, baik pada materi Calculus yang dipelajari di ruang kelas maupun yang dipelajari pada bab lain dari perkuliahan matematika komputasi ini, maka pada kesempatan ini pengetahuan itu akan kita perluas pada penerapannya. Materi integral ini memang mendapat porsi yang besar karena adalah inti dari Calculus di samping turunan dan diferensial serta limit dan deret.

Program Maple dalam hal ini kita gunakan sebagai perangkat pendukung untuk memperdalam pengetahuan kita tentang integral dan melebih-nyatakan integral sehingga kita dengan mudah membangun suatu konstruksi pemahaman di dalam pikiran yang pada akhirnya dapat diingat lebih lama. Beberapa contoh akan kita uraikan sebagai kajian, dan untuk pengembangan diri, anda diharapkan menerapkannya pada contoh-contoh lain yang dapat anda jumpai pada textbook-texbook Calculus. Kita awali dengan pendalaman pada polynomial berpangkat 3.

Contoh 1 :

Carilah nilai-nilai a, b, c, dan d dari fungsi polynomial pangkat tiga di mana fungsi ini memiliki titik maksimum relative pada (1,7) dan titik minimum relative pada (8,-2). Perkenalkan fungsinya :

> f:=a*x^3+b*x^2+c*x+d;

> el:=subs(x=1,f)=7;

> e2:=subs(x=8,f)=-2;

Suatu kurva yang memiliki titik maksimum dan minimum, pada titik-titik tersebut nilai turunannya sama dengan nol. Sehingga fungsi tersebut dapat kita turunkan dan mensubstitusikan nilai titik-titik tersebut kemudian menyamakannya dengan 0.

Turunkan fungsi f(x) terhadap x :

> fdiff:=diff(f,x);

> e3:=subs(x=1,fdiff)=0;

> e4:=subs(x=8,fdiff)=0;

Kita telah mendapatkan 4 persamaan dengan empat variable yang tidak diketahui, yaitu variable a, b, c, dan d. Kita selesaikan ke-4 persamaan tersebut :

> q:=solve({e1,e2,e3,e4},{a,b,c,d});

Kemudian substitusikan nilai-nilai a, b, c dan d ke dalam persamaan awal untuk mendapatkan bentuk sempurna persamaan itu :

> f1:=subs(q,f);

Cara lain untuk menyelesaikan persoalan tersebut :

Dengean mengetahui titik-titik maksimum dan minimum kita dapat membangun suatu persamaan dan mengintegralkan persamaan ini untuk mendapatkan persamaan awal dengan beberapa konstanta yang belum dikatahui :

> fp:=c*(x-1)*(X-8);

> F:=int(fp,x)+d;

Substitusikan titik-titik maksimum dan minimum ke persamaan hasil integral :

> E1:=subs(x=1,F)=7;

> E2:=subs(x=8,f)=-2;

Kita mendapatkan dua persamaan dengan dua variable yang tidak diketahui, selesaikan kedua persamaan ini untuk mendapatkan nilai dua variable yang tidak diketahui tersebut :

> Q:=solve({E1,E2},{c,d});

Substitusikan hasilnya ke persamaan hasil integral :

> F1:=subs(Q,F);

Contoh 2 :

Carilah nilai-nilai a, b, c, dan d dari fungsi polynomial pangkat tiga di mana fungsi ini memiliki titik maksimum relative pada (8,4) dan titik minimum relative pada (5,1). > restart:> gp:=c*(x-5)*(x-8);

> g:=int(gp,x)+d;

> e1:=subs(x=5,g)=1;

> e2:=subs(x=8,g)=4;

> q1:=solve({e1,e2},{c,d});

> g1:=subs(q1,g);

Contoh 3 :

Carilah luas yang dibatasi oleh persamaan f(x) dan g(x) pada contoh 1 dan 2 .

Pertama-tama kira gambar dahulu kedua grafik dari persamaan tersebut untuk melihat luasan yang dimaksud. Hasilnya adalah :

> restart:> f1:=(18/343)*x^3-(243/343)*x^2+(432/343)*x+(2194/343);

> g1:=(-2/9)*x^3+(13/3)*x^2-(80/3)*x+(484/9);

> plot({f1,g1},x=3..10);

Dengan memperhatikan gambar di atas, maka luasan yang akan dicari tersebut adalah luasan yang dibatasi dari kira-kira pada harga x = 3 sampai x = kira-kira 10. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat titik potong kedua grafik tersebut.

> r:=fsolve(f1=g1,x);

Pada proses penghitungan luas yang dibatasi oleh dua kurfa mempersyaratkan agar kita membedakan antara kurva bagian atas dan kurva bagian bawah :

Dan hasil luas yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut adalah :

> value(q2);

18.41475281

Contoh 4 :

Carilah panjang kurfa grafik sinus x pada batas x = 0 sampai x = Pi.

> restart:

> with(student);

> f:=sin(x);

> fint:=Int(sqrt(1+diff(f,x)^2),x=0..Pi);

> evalf(fint);

3.820197789

Contoh 5 :

Suatu benda berosilasi pada suatu pegas dengan kecepatan. Pada saat t=0, benda tersebut berada 2 cm di bawah titik keseimbangannya yang ditentukan sebagai titik acuan. Carilah posisi sebagai fungsi waktu x(t) dari benda tersebut dan gambar grafik pola gerakannya pada batas t = 0 sampai t = 3Pi.

Karena kecepatan adalah turunan terhadap waktu dari posisi, maka kita dapat mencari posisi dengan mengintegralkan fungsi kecepatan. Akan tetapi kita membutuhkan suatu konstanta integrasi.

> restart:

Perkenalkan persamaan :

> v:=10*exp(-t)*sin(3*t);

Cari posisi benda dengan mengintegralkan kecepatan :

> x1:=int(v,t)+c;

Masukkan syarat batas untuk menentukan nilai c :

> x2:=subs(t=0,x1)=-2;

> solve(x2,c);

Substitusikan harga c ke dalam persamaan posisi :

> xt:=subs(c=1,x1);

Gambar grafik posisi :

> plot(xt,t=0..3*Pi);

2. Integral Tentu

Luasan Di Bawah Suatu Kurva

Bila digambarkan suatu persegi panjang pada suatu koordinat cartesius,luas persegi panjang tersebut dengan mudah dapat dicari. Perhatikan gambar 5.1 Luas persegi panjang adalah A=f(x)x.

Gambar 5.1

Bila jumlah persegi panjang kita perbanyak menjadi 4 dengan lebar yang sama namun tinggi f(x)-nya berbeda-beda maka keadaannya akan terlihat seperti gambar 5.2.

Gambar 5.2

Luas keseluruhan persegi panjang adalah :

A=A1+A2+A3+A4=f1(X) x + f2(x) x +f3(x) x +f4(x) x

xJika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 10 dengan tinggi f(x)-nya yang berbeda-beda dan dengan x nya kita perkecil. Hasilnya akan menjadi seperti ditunjukkan pada gambar 5.3.

Gambar 5.3

Luas totalnya dirumuskan sebagai :

Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 100 dengan tinggi f(x)-nya yang berbeda-beda dan dengan x nya kita perkecil lagi. Hasilnya akan menjadi seperti ditunjukkan pada gambar 5.4.

Gambar 5.4

Pada gambar 5.1 sampai gambar 5.4 secara tidak disadari kita telah membuat tinggi persegi panjang berubah memenuhi keteraturan mendekati pola persamaan :

. Bila jumlah persegi panjang kita tambah lagi menjadi , dan seiring dengan itu membuat , maka tinggi f(x) untuk setiap x berubah secara kontinu mengikuti persamaan : . Sehingga luas keseluruhan persegi panjangnya dinyatakan sebagai :

Jika kita membuat x mendekati 0, maka penulisan berubah menjadi dan x berubah menjadi dx. Sehingga selengkapnya ditulis menjadi :

Karena batas-batas pembuatan persegi panjang tadi kita sebar dari 0 sampai 1, maka batas-batas tersebut kita letakkan pada tanda dan ditulis seperti : . Tanda disebut sebagai integral atau lambang integral. Bila integralnya tidak dibatasi, maka integral itu disebut integral taktenu. Bila kita memberikan batasannya, seperti contoh di 10

atas di mana batas-batas integralnya adalah dari 0 sampai 1, maka tanda integralnya ditulis sebagai dan disebut sebagai integral tentu. 10

Fungsi f(x) pada contoh di atas adalah fungsi satu variable bebas, yaitu : variable x. Jika fungsi yang diintegralkan adalah fungsi satu variable bebas maka hasilnya adalah merupakan luasan (A) yang dibatasi oleh fungsi tersebut dengan sumbu-x. Maka untuk mencari suatu luasan yang berada di bawah kurva suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara integral.

Penggunaan MAPLE Untuk Menyelesaikan Integral

Untuk menghantarkan teori integral ke bentuk yang lebih nyata secara visual, agar mudah difahami, MAPLE digunakan sebagai perangkat lunak yang tepat. Teori integral yang terlihat seolah-olah semu dapat diperjelas dengan uraian gambar-gambar.

Defenisikan suatu fungsi persamaan yang dikehendaki :

> restart;

> with(student);

> f:=x^2+1;

:= f =x2 + 1

Menggambar persegi panjang persegi panjang yang tingginya memenuhi persamaan f=x2 + 1 dan lebarnya sebesar x.> leftbox(f,x=0..1);

> q:=leftsum(f,x=0..1);

q:=

> A:=value(q);

:A:=

> evalf(A);

1.218750000

Jumlah persegi panjang yang digambarkan adalah 4 yang tersebar dari batas-batas 0 sampai 1 pada sumbu-x, sehingga besar x = 0,25. Luas yang dihasilkan oleh penjumlahan luas seluruh persegi panjang tersebut tentulah belum sama dengan luas di bawah kurva f(x)=x2 + 1 sampai ke sumbu-x, karena masih tersisa ada empat seperti berbentuk segita yang berada di bagian atas persegi panjang yang luasnya belum termasuk ke dalam perhitungan. Agar luasan yang tidak terhitung ini menjadi kecil, maka cara yang dilakukan adalah memperkecil lebar x. Kita coba lakukan dengan menambah jumlah persegi panjang menjadi 10. Hasilnya ditunjukkan pada gambar 5.6

> leftbox(f,x=0..1,10);

Gambar 5.6

> q:=leftsum(f,x=0..1,10);

q:=

> A:=value(q);

A:=

> evalf(A);

1.285000000

Bila kita perhatikan gambar 5.6 dengan tiliti, maka masih didapatkan luasan di bawah kurfa yang belum terhitung, namun besarnya sudah semakin kecil dari yang sebelumnya. Untuk mempersingkat waktu, maka kita buat jumlah persegi panjangnya langsung 100. Hasilnya ditunjukkan pada gambar 5.7.

> leftbox(f,x=0..1,100);

> q:=leftsum(f,x=0..1,100);

q:=

> A:=value(q);

A:=

> evalf(A);

1.328350000

Tentu saja hasil pada gambar 5.7 lebih mendekati ke hasil yang sebenarnya bila dibandingkan dengan hasil-hasil sebelumnya. Dengan demikian, semakin kecil harga x dibuat, semakin dekat hasil luas yang diperoleh ke luas yang sebenarnya. Untuk tujuan tersebut, kita buat saja jumlah persegi panjangnya sebanyak n di mana n menuju takhingga.

> restart:

> with(student);

> f:=x^2+1;

> q:=leftsum(f,x=0..1,n);

> A:=value(q);

> limit(A,n=infinity);

> evalf(limit(A,n=infinity));

1.333333333

Dengan membuat jumlah persegi panjang sebanyak takhingga pada batas x = 0 sampai x = 1 sebagaimana dinyatakan oleh program terakhir ini kita dapat memanfaatkan konsep limit untuk menghitung hasilnya dan memberikan hasil yang sebenarnya. Pembuatan persegi panjang sebanyak takhingga pada selang x = 0 sampai x = 1 seperti di atas memaksa harga x mendekati 0 sehingga x berubah bentuk menjadi dx. Dengan demikian konsep integral dapat kita gunakan untuk mendapatkan hasil di atas dan kita mendapatkan hasil yang sebenarnya :

> restart:

> with(student);

> f:=x^2+1;

> A1:=Int(f,x=0..1);

> evalf(value(A1));

1.3333333

Setelah kita dihantarkan pada pemahaman tentang konsep integral tentu oleh uraian di atas, dalam ruang kuliah kita sering disuguhi fungsi-fungsi persamaan untuk diintegralkan. Batas-batas integral sering tidak dilibatkan untuk tujuan yang lebih umum. Persoalan seperti ini tentu lebih menantang untuk diselesaikan. Bila batas-batas integralnya tidak diketahui, maka integral semacam itu disebut integral taktentu. Berikut ini urusan semacam itu diuraikan dengan menggunakan program MAPLE.

Suatu fungsi persamaan tertentu disuguhi untuk diintegralkan, Contoh : > restart:

> with(student);

> f1:=x^2-2;

> f1gral:=Int(f1,x);

> f1lai:=value(f1gral);

Hasil terakhir ini adalah hasil integral dari persamaan fI=X2-2 . Tentu anda yang sudah mendapatkan materi kuliah Calculus sudah familiar dengan cara analitik integralnya. Sebagaimana kita ketahui bahwa integral adalah suatu antiturunan, itu berarti kita dapat mendapatkan ulang fungsi persamaan awal f1 dari hasil integralnya dengan proses turunan, yaitu : > diff(f1lai,x);

Contoh terkahir ini adalah contoh yang relative mudah difahami. Kita telusuri contoh yang sedikit lebih rumit :

> f2:=(x^3+4)^6*x^2;

> f2gral:=Int(f2,x);

> f2lai:=value(f2gral);

Kita ingin mencoba mengembalikan persamaan f2lai ke bentuk f2 dengan cara menurunkannya :

> f2run:= diff(f2lai,x);

Anda lihat, ternyata hasil yang didapatkan tidak persis sama dengan persamaan f2 (walaupun sebenarnya adalah sama bila factor pada f2 diuraikan). Agar hasilnya persis sama, maka harus kita lakukan :

> factor(f2run);

Hasil terakhir ini terlihat sudah persis sama dengan persamaan f2.

Kita perluas pemahaman kita untuk contoh yang melibatkan fungsi trigonometri.

> restart:

> with(student);

> f3:=sin(x)^2*cos(x)^2;

> f3gral:=Int(f3,x);

> f3lai:= value(f3gral);

> f3run:=diff(f3gral,x);

Integral Tentu

Beberapa contoh di atas telah mengajari kita bagaimana menyelesaikan integral taktentu dengan MAPLE. Berikut adalah cara bagaimana menyelesaikan integral tentu. Kita ambil contoh persamaan ()()xxcossin yang akan kita integralkan pada batas x = 0 sampai x = /2.

> restart:

> with(student);

> f4:=sin(x)*cos(x);

> f4gral1:=Int(f4,x=0..Pi/2);

> f4gral2:=int(f4,x);

> f4lai:=value(f4gral1);

Perhatikan perintah f4gral2:=int(f4,x); perintah ini kita berikan untuk menunjukkan hasil integralnya dalam bentuk variable. Artinya,.

Demikian uraian materi integral ini disajikan untuk menghantarkan anda ke pemahaman yang lebih baik sehingga dapat mengerti konsep integral dan juga dapat mengajarkannya dengan enak dan persuasive kepada khalayak ramai.

3. Notasi Sigma

Secara umum, pengertian notasi sigma adalah sebagai berikut.

Dibaca jumlah ak untuk k sama dengan 1 sampai n atau jumlah ak untuk k =1 sampai dengan k = n

Berikut ini sifat sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan.

1. ak = a1 + a2 + a3 + + an2. (ak + bk) = ak + bk3. cak = c ak 4. ak = ak p

5. c = (n m + 1)c

6. ak + ak = ak 7. ak = 0

8. (ak + bk)2 = ak2 + 2 ak bk + bk2Barisan Aritmetika

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, , Un-1, Un.Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika selisih untuk setiap suku ke-n (Un) dengan suku sebelumnya (Un-1) adalah tetap (konstan). Selisih tersebut dinamakan beda (b).

Misalkan suku pertama = a, beda b, maka

U1, U2, U3, ..., Un

a, a + b, a + 2b, , a+(n 1)b

Dengan demikian, rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah :

Suku Tengah ( Ut)

Jika bilangan berurutan a, b, c membemtuk barisan aritmatika, maka

terdapat hubungan.

2b = a + c atau

2 ( suku tengah ) = jumlah suku tepi

Contoh :

-4, 2, 8, 14, 20, 26, 32. merupakan barisan aritmatika karena

2.14 = 8 + 20 = 2 + 26 = -4 + 32

b. Jika empat bilangan berurutan a, b, c, d, membemtuk barisan aritmatik maka terdapat hubungan.

b + c = a + d atau

jumlah suku tengah = jumlah suku tepi

Contoh :

3, 7, 11, 15, 19, 23 merupakan barisan aritmatika karena

11 + 15 = 7 + 19 = 3 + 23

Contoh :

Deret Aritmatika ( Deret Hitung )

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika. Jika U1, U2, U3, ,Un adalah barisan aitmatika, maka U1 + U2 + U3 + ,Un merupaka deret aritmatika. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan Sn. Sn = U1 + U2 + U3 + ,Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, , Un-1, Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap. Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ), ditulis :

R =

Dimana r 0 atau r 1

Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka :

U1, U2, U3, ..., Un

a, ar, ar2 , ,arn 1

Dengan demikian, rumus suku ke n barisan geometri adalah :

Deret Geometri

Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku suku barisan geometri.

Jika U1, U2, U3, U4, , Un-1, Un adalah barisan geometri, maka U1 + U2 + U3 + ,Un

merupaka deret geometri. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn = U1 + U2 + , Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

Deret Geometri Takhingga

Jika suatu deret geometri, Sn = U1 + U2 + , Un-1 + Un dengan n

mendekati takhingga, maka deret geometri tersebut dikatakan sebagai deret

geometri tak hingga dan di tulis dengan

S = U1 + U2 + , Un-1 +

Jika

Jika

Sehingga,runus jumlah deret geometri takhingga untuk

IV. Teladan

Contoh integral tak tentu 1

> Int(3*x^10-2*x^4+16*x-12,x);

> value(%);

> Contoh integral tak tentu 2

> Int((12*x^3/5-x+3),x);

> value(%);

Contoh integral tentu 1

Int(x^2-x-6,x=0..2);

value(%);

contoh integral tentu 2

> Int(x^2-4*x+5,x=1..4);

value(%);

Contoh sigma 1

> with(student):> Sum(1/n^3,n=1..100);

> evalf(%);

Contoh sigma 2

> with(student):> Sum(sqrt(3*x^2/4*x-4),x=1..10);

> evalf(%);

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. Fungsi Invers. http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor Pendamping/Praweda/Matematika/0375%20Mat%201-4e.htmAnonim. Matriks. http://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_(matematika)Anonim. Invers dan Matriks. http://grid.ui.ac.id/files/manual-portal/node10.htmlAnonim. Mencari Fungsi Invers dan Matriks dengan Maple. http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0011.pdfDale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam; Penerbit Interaksara. EMBED Equation.3

Un = a+ (n -1)b

Sn = EMBED Equation.3

Sn = EMBED Equation.3

Un = arn-1

EMBED Equation.3

_1297536180.unknown

_1297536943.unknown

_1297537419.unknown

_1297538092.unknown

_1297538431.unknown

_1297538618.unknown

_1297539206.unknown

_1297538737.unknown

_1297538553.unknown

_1297538313.unknown

_1297538392.unknown

_1297538292.unknown

_1297537959.unknown

_1297538024.unknown

_1297537878.unknown

_1297537218.unknown

_1297537305.unknown

_1297537162.unknown

_1297536636.unknown

_1297536815.unknown

_1297536866.unknown

_1297536676.unknown

_1297536419.unknown

_1297536494.unknown

_1297536244.unknown

_1250480361.unknown

_1296495287.unknown

_1297535763.unknown

_1297536031.unknown

_1297536115.unknown

_1297535820.unknown

_1297535239.unknown

_1297535415.unknown

_1296495421.unknown

_1296494528.unknown

_1296495050.unknown

_1296495052.unknown

_1296494607.unknown

_1250480371.unknown

_1296475433.unknown

_1296494419.unknown

_1250480373.unknown

_1296475177.unknown

_1250480374.unknown

_1250480372.unknown

_1250480363.unknown

_1250480367.unknown

_1250480368.unknown

_1250480370.unknown

_1250480366.unknown

_1250480362.unknown

_1250480352.unknown

_1250480356.unknown

_1250480358.unknown

_1250480360.unknown

_1250480357.unknown

_1250480354.unknown

_1250480355.unknown

_1250480353.unknown

_1250480348.unknown

_1250480350.unknown

_1250480351.unknown

_1250480349.unknown

_1250480346.unknown

_1250480347.unknown

_1250480345.unknown

_1250480344.unknown