Unidad I Numeros Complejos

Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Unidad Culhuacán

Unidad I Números Complejos

Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca


1 Unidad I Números Complejos

Contenido Bienvenida. ........................................................................................................................ 2

Introducción. ...................................................................................................................... 3

Valor real e Imaginario de un número complejo ................................................................. 5

Representaciones de un número complejo. ....................................................................... 6

Operaciones. ................................................................................................................... 10

Operaciones Básicas. .................................................................................................. 10

Suma y resta. ........................................................................................................... 10

Multiplicación de forma escalar. ................................................................................ 10

Multiplicación de forma polar. ................................................................................... 11

División de forma escalar. ......................................................................................... 11

División de forma polar. ............................................................................................ 12

Potencias. .................................................................................................................... 14

Valores de las potencias de 𝑖 ....................................................................................... 14

Potencias de un número complejo zn. .......................................................................... 15

Potencias con valores escalares. .............................................................................. 15

Potencias con valores polares. ................................................................................. 16

Raíces de números complejos. .................................................................................... 17

Logaritmos de números complejos. .............................................................................. 20

Fórmulas de Euler y Moivre. ............................................................................................ 23

Formula de Moivre. ...................................................................................................... 23

Formula de Euler. ......................................................................................................... 24

Números complejos elevado a otro número complejo. ................................................. 25

Fasores............................................................................................................................ 26

Desfase entre fasores. ................................................................................................. 26

Introducción a Variable compleja. .................................................................................... 27



Bienvenida.

Bienvenido al curso de Fundamentos de Algebra, el contenido de este curso es

importante a tu introducción a la ingeniería. Estos te brindaran herramientas las cuales

serán de utilidad en unidades aprendizaje futuras en tu carrera.

Esta materia es paralela a Unidades de Aprendizaje tales como:

Cálculo Diferencial e Integral.

Física Clásica.

Los conocimientos previos que debes de tener para esta unidad de aprendizaje son:

Algebra básica.

Trigonometría.

Geometría Analítica.

Las unidades de aprendizaje de matemáticas consecutivas a esta unidad son:

Ecuaciones Diferenciales.

Calculo Vectorial.

Probabilidad y Estadística.

Esperamos que este curso sea de gran utilidad en esta etapa inicial de tus estudios a

nivel Licenciatura.

Para este curso y futuros nos permitimos aconsejarte que utilices calculadoras de los

modelos sugeridos.

Fx-991ES Plus de CASIO

TI-84 Plus Texas Instruments

TI-Nspire CAS Texas Instruments

Recuerda que solo son recomendaciones.

También Software como:

Microsoft Matemáticas (Gratuito).

MATLab Ver 2010 a o superior

Wolfram Mathematica V.8 o superior.

Los dos últimos tienen costo por lo cual son solamente sugerencias.



Introducción.

Como anteriormente has estudiado existe el campo del conjunto de los números

reales, en este curso se analizara el campo del conjunto de números complejos los cuales

están conformado por una parte real y otra imaginaria como se presenta:

𝑧 = 𝛼 + 𝑖𝛽

Donde 𝛼 es la parte real e 𝑖𝛽 representa la parte imaginaria del número. El valor de

𝑖, surge hace unos 200 años para representar el valor de la √−1, por lo cual entonces

tenemos que el valor de 𝑖2 = −1.

Un ejemplo donde podemos identificar la existencia del campo de los números

complejos es a partir del cálculo de las raíces de una ecuación de segundo grado de la

forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, a partir de la formula genera de su solución como te mostramos a

continuación.

𝑥2 − 3𝑥 + 4 = 0

Utilizamos la formula general.

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Donde entonces

𝑎 = 1

𝑏 = −3

𝑐 = 4

𝑥 =−(−3) ± √(−3)2 − 4(1)(4)

2(1)

𝑥 =3 ± √9 − 16

2

𝑥 =3 ± √−7

2



𝑥 =3 ± √7 ∗ −1

2

𝑥 =3 ± √7 ∗ √−1

2

𝑥 =3

2±

√7

2𝑖

Entonces podemos apreciar que el resultado de esta ecuación de segundo grado

sus soluciones corresponden a un número complejo, por lo cual también podemos deducir

que entonces sus raíces no tocan el eje de las abscisas en valor de 𝑦 = 0, como se muestra

en la gráfica.



Valor real e Imaginario de un número complejo

Ahora bien introduciremos el concepto de conjugado de un número complejo el cual

se representa sí 𝑧 = 𝛼 + 𝑖𝛽 como 𝑧̅ = 𝛼 − 𝑖𝛽, o sí 𝑧 = 𝛼 − 𝑖𝛽 como 𝑧̅ = 𝛼 + 𝑖𝛽. Este valor

podemos utilizarlo en una serie de operaciones que en la siguiente parte de esta unidad

explicaremos, por lo pronto será utilizado para comprobar la parte real imaginaria de un

número complejo por medio de las siguientes formulas:

𝑅𝑒(𝑧) =𝑧 + 𝑧̅

2 𝐼𝑚(𝑧) =

𝑧 − 𝑧̅

2𝑖

Ejemplo:

𝑧 = 3 + 2𝑖

𝑧̅ = 3 − 2𝑖

𝑅𝑒(𝑧) =3 + 2𝑖 + 3 − 2𝑖

2=

6

2= 3

𝐼𝑚(𝑧) =3 + 2𝑖 − (3 − 2𝑖)

2𝑖=

3 + 2𝑖 − 3 + 2𝑖

2𝑖=

4𝑖

2𝑖= 2

A partir de este concepto se verifica la igualdad de dos números complejos donde:

𝑅𝑒(𝑧1) = 𝑅𝑒(𝑧2)

𝐼𝑚(𝑧1) = 𝐼𝑚(𝑧2)



Representaciones de un número complejo.

La forma de un número complejo puede se ser comparada con la forma de una

cantidad vectorial de dos dimensiones como podemos ver en la figura.

Donde el extremo de la línea representa el punto el número complejo, la línea

representa el valor absoluto o modulo del número complejo, como podemos apreciar

entonces también existe el valor de un ángulo. Por lo cual podemos entonces deducir que

al igual que un vector un número complejo también tiene una representación escalar y otra

polar.

Por lo cual la forma simple de un número complejo de 𝑧 = 𝛼 + 𝑖𝛽 es su

representación escalar. Ahora bien determinaremos la forma polar, apoyándonos en las

fórmulas que se utilizan en vectores de dos dimensiones.

|𝑧| = √𝛼2 + 𝛽2 (1)

Entonces con la formula (1) obtenemos el valor del módulo o también conocido como valor

absoluto.

El ángulo será entonces dado por:

𝜃 = tan−1 (𝛽

𝛼) (2)

La forma de escribir un número complejo en su forma polar se puede dar obteniendo una

similitud con las cantidades de un vector.

𝛼 = |𝑧|𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝛽 = |𝑧| sin(𝜃)

𝑧 = |𝑧|𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑖|𝑧| sin(𝜃)

𝑧 = |𝑧|[𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜃)] (3)



Introduciendo el concepto de un exponencial elevado a un número imaginario

tenemos que

𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜃) (4)

Al integrar 4 en 3, podemos escribir finalmente que la forma polar de un número

complejo se puede escribir como:

𝑧 = |𝑧|𝑒𝑖𝜃

Nota: En los ejemplos se usara la unidad angular en radianes en vez de usar

degragecimales.

Ejemplo (1)

Obtenga la representación polar del número complejo 𝑧 = 3 − 2𝑖.

|𝑧| = √32 + (−2)2 = √9 + 4 = √13

𝜃 = tan−1 (−2

3) = −0.5880

El valor del ángulo nos da negativo debido a la posición del número complejo que se

encuentra en el cuarto cuadrante como se muestra en la figura.

Por lo que podemos escribir su forma polar de dos formas tomando la diferencia que existe

en el giro completo de 360° o 2𝜋.

2𝜋 − 0.588 = 5.6951

Entonces el resultado puede darse como:

𝑧 = √13𝑒−0.588𝑖

𝑧 = √13𝑒5.6951𝑖



Ejemplo (2).

Obtenga la forma polar del número complejo 𝑧 = −1

3−

1

3𝑖

|𝑧| = √(−1

3)

2

+ (−1

3)

2

= √1

9+

1

9= √

2

9=

√2

3

𝜃 = tan−1 (−

13

−13

) =𝜋

4

En este caso a pesar de que directamente el ángulo se muestra en forma positiva

nuevamente debemos de considerar la posición del número complejo en el tercer cuadrante

como se muestra en la figura.

Por lo cual el ángulo debe de ser tomado por la suma de los 180° o 𝜋 más el ángulo

obtenido.

𝜋 +𝜋

4=

5𝜋

4

Por lo que el resultado entonces será.

𝑧 =√2

3𝑒

5𝜋4

𝑖



Ejemplo (3)

Obtenga lo forma escalar del número complejo 𝑧 = 6𝑒𝜋𝑖.

Tomaremos en cuenta que 𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜃), por lo que entonces podremos obtener

las cantidades escalares del número complejo realizando el producto del módulo por la

descomposición del exponencial.

𝑧 = 6(cos(𝜋) + 𝑖 sin(𝜋))

𝑧 = 6(−1 + 0𝑖)

𝑧 = −6

Con este resultado podemos decir que el número determinado solo tiene una cantidad real

y su valor imaginario es cero.

Ejemplo (4)

Obtenga lo forma escalar del número complejo 𝑧 = 12𝑒𝜋

3𝑖.

𝑧 = 12 (cos (𝜋

3) + 𝑖 sin (

𝜋

3))

𝑧 = 12 (1

2+

√3

2𝑖)

𝑧 = 6 + 6√3𝑖



Operaciones.

Operaciones Básicas.

Suma y resta.

Al realizar la suma y la resta de los número complejos recordaremos un principio

básico que aprendimos en algebra básica. Al realizar la suma o resta de variables la regla

principal es que solo se pueden sumar o restar términos semejantes, en este caso también

los podemos aplicar a los números complejos por lo tanto solo entre cantidades reales su

pueden sumar y/o restar, así como con las cantidades imaginarias.

Entonces podemos plantear lo siguiente:

𝑧1 = 𝛼1 + 𝛽1𝑖

𝑧2 = 𝛼2 + 𝛽2𝑖

Suma 𝑧1 + 𝑧2 = (𝛼1 + 𝑖𝛽1) + (𝛼2 + 𝑖𝛽2) = (𝛼1 + 𝛼2) + 𝑖(𝛽1 + 𝛽2)

Resta 𝑧1 − 𝑧2 = (𝛼1 + 𝑖𝛽1) − (𝛼2 + 𝑖𝛽2) = (𝛼1 − 𝛼2) + 𝑖(𝛽1 − 𝛽2)

Esta par de modelos nos permitirán realizar las operaciones de Suma y Resta.

Multiplicación de forma escalar.

La multiplicación también responde a las propiedades que se aplican el álgebra

básica, esto quiere decir que podemos aplicar la propiedad distributiva, a continuación

desarrollaremos una multiplicación para generar un modelo matemático para realizar esta

operación.

𝑧1 = 𝛼1 + 𝛽1𝑖

𝑧2 = 𝛼2 + 𝛽2𝑖

𝑧1 · 𝑧2 = (𝛼1 · 𝛼2) + (𝛼1 · 𝛽2𝑖) + (𝛼2 · 𝛽1𝑖) + (𝛽1 · 𝛽2 · 𝑖2)

𝑧1 · 𝑧2 = (𝛼1 · 𝛼2) + (𝛼1 · 𝛽2 + 𝛼2 · 𝛽1)𝑖 − (𝛽1 · 𝛽2)

𝑧1 · 𝑧2 = (𝛼1 · 𝛼2 − 𝛽1 · 𝛽2) + (𝛼1 · 𝛽2 + 𝛼2 · 𝛽1)𝑖

Este último resultado nos plantea un modelo matemático que podemos utilizar en el

producto de dos números complejos.



Multiplicación de forma polar.

Con anterioridad estudiamos que los números complejos también tienen su forma

de representación polar, por lo cual podemos utilizar esta para poder realizar su

multiplicación de la siguiente forma.

Sea 𝑧1 = |𝑧1|𝑒𝜃1𝑖y 𝑧2 = |𝑧2|𝑒𝜃2𝑖 su producto estará determinado por:

𝑧1 · 𝑧2 = |𝑧1|𝑒𝜃1𝑖 · |𝑧2|𝑒𝜃2𝑖

𝑧1 · 𝑧2 = |𝑧1| · |𝑧2|𝑒(𝜃1+𝜃2)𝑖

División de forma escalar.

Como anteriormente se había introducido el concepto del conjugado de un número

complejo, este valor se utiliza en el procedimiento de la obtención de la división de dos

números complejos. En este caso entonces el cociente será multiplicado en ambas partes

por el conjugado del divisor.

𝑧1 = 𝛼1 + 𝛽1𝑖

𝑧2 = 𝛼2 + 𝛽2𝑖

𝑧2̅ = 𝛼2 − 𝛽2𝑖

𝑧1

𝑧2=

𝑧1

𝑧2·

𝑧2̅

𝑧2̅=

𝑧1 · 𝑧2̅

𝑧1 · 𝑧2̅

𝑧1

𝑧2=

(𝛼1 + 𝛽1𝑖) · (𝛼2 − 𝛽2𝑖)

(𝛼2 + 𝛽2𝑖) · (𝛼2 − 𝛽2𝑖)

𝑧1

𝑧2=

(𝛼1 · 𝛼2) + (𝛼1 · −𝛽2𝑖) + (𝛼2 · 𝛽1𝑖) + (𝛽1 · −𝛽2 · 𝑖2)

𝛼22 + (𝛼2 · 𝛽2𝑖) + (𝛼2 · −𝛽2𝑖) + (−𝛽2

2 · 𝑖2)

𝑧1

𝑧2=

(𝛼1 · 𝛼2) + (𝛼2 · 𝛽1 − 𝛼1𝛽2)𝑖 + (𝛽1 · 𝛽2)

𝛼22 + (𝛼2 · 𝛽2 − 𝛼2 · 𝛽2)𝑖 + 𝛽2

2

𝑧1

𝑧2=

(𝛼1 · 𝛼2 + 𝛽1 · 𝛽2) + (𝛼2 · 𝛽1 − 𝛼1𝛽2)𝑖

𝛼22 + 𝛽2

2

𝑧1

𝑧2=

(𝛼1 · 𝛼2 + 𝛽1 · 𝛽2)

𝛼22 + 𝛽2

2 +(𝛼2 · 𝛽1 − 𝛼1𝛽2)

𝛼22 + 𝛽2

2 𝑖

Pues ahora bien con este último resultado obtenemos un modelo para obtener la división

de dos números complejos.



División de forma polar.

De misma forma que en la multiplicación, para la división se puede utilizar la forma

polar de los números complejos como se muestra.

𝑧1

𝑧2=

|𝑧1|𝑒𝜃1𝑖

|𝑧2|𝑒𝜃2𝑖

𝑧1

𝑧2=

|𝑧1|

|𝑧2|𝑒(𝜃1−𝜃2)𝑖

Ejemplos Operaciones Básicas:

1. 𝑧1 = 3 + 5𝑖 y 𝑧2 = 2 + 4𝑖

a. Suma 𝑧1 + 𝑧2 = (3 + 2) + 𝑖(5 + 4) = 5 + 9𝑖

b. Resta 𝑧1 − 𝑧2 = (3 − 2) + 𝑖(5 − 4) = 1 + 𝑖

c. Multiplicación 𝑧1 ∗ 𝑧2 = (3 ∗ 2) − (5 ∗ 4) + 𝑖[(3 ∗ 4) + (2 ∗ 5)] =

= 6 − 20 + 𝑖(12 + 10) = −14 + 22𝑖

d. Multiplicación de forma polar.

𝑧1 = √34𝑒1.03𝑖

𝑧2 = 2√5𝑒1.107𝑖

𝑧1 · 𝑧2 = √34 · 2√5𝑒(1.03+1.107)𝑖 = 2√170𝑒2.137𝑖

𝑧1 · 𝑧2 = 2√170[cos(2.137) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(2.137)] = −14 + 22𝑖

e. División forma escalar.

𝑧1

𝑧2=

3+5𝑖

2+4𝑖=

(3∗2)+(5∗4)+𝑖[(2∗5)−(3∗4)]

22+42 =6+20+𝑖(10−12)

4+16=

26−2𝑖

20=

13

10−

1

10𝑖

f. División forma polar.

𝑧1 = √34𝑒1.03𝑖

𝑧2 = 2√5𝑒1.107𝑖

𝑧1

𝑧2=

√34

2√5𝑒(1.03−1.107)𝑖 =

1

2√

34

5𝑒−0.077𝑖

𝑧1

𝑧2=

1

2√

34

5[cos(0.077) − isin(0.077)] =

13

10−

1

10𝑖



2. 𝑧1 = −6 − 3𝑖 y 𝑧2 = 5 + 7𝑖

a. Suma 𝑧1 + 𝑧2 = (−6 + 5) + 𝑖(−3 + 7) = −1 + 4𝑖

b. Resta 𝑧1 − 𝑧2 = (−6 − 5) + 𝑖(−3 − 7) = −11 − 10𝑖

c. Multiplicación 𝑧1 ∗ 𝑧2 = (−6 ∗ 5) − (−3 ∗ 7) + 𝑖[(−6 ∗ 7) + (5 ∗ −3)] =

= −30 + 21 + 𝑖(−42 − 15) = −9 − 57𝑖

d. División 𝑧1

𝑧2=

−6−3𝑖

5+7𝑖=

(−6∗5)+(−3∗7)+𝑖[(5∗−3)−(−6∗7)]

52+72 =−30−21+𝑖(−15+42)

25+49=

−51+27𝑖

74= −

51

74−

1

74𝑖



Potencias.

Valores de las potencias de 𝑖

Ahora bien tocaremos el tema de las potencias, primero analizaremos el valor de

𝑖 = √−1, por lo que definimos anteriormente que 𝑖2 = −1, que a partir de este concepto

analizaremos este tema.

Las potencias del valor imaginario 𝑖, son el primer punto a analizar como se muestra

en los ejemplo que a continuación te presentamos, donde a partir de la ley del producto de

números base con diferente exponente 𝑥𝑚 · 𝑥𝑛 = 𝑥𝑚+𝑛, desglosamos.

a) 𝑖3 = 𝑖2 · 𝑖 = −1 · 𝑖 = −𝑖

b) 𝑖4 = 𝑖2 · 𝑖2 = −1 · −1 = 1

c) 𝑖5 = 𝑖4 · 𝑖 = 1 · 𝑖 = 𝑖

d) 𝑖6 = 𝑖3 · 𝑖3 = −𝑖 · −𝑖 = 𝑖2 = −1

Como se puede observar entonces partiendo los valores de las potencias del valor

imaginario 𝑖, podemos determinar el valor de sus potencias.



Potencias de un número complejo zn.

Potencias con valores escalares.

Ahora bien la forma que se presenta en un número complejo 𝑧 = 𝛼 + 𝛽𝑖, algebraicamente corresponde a la de un binomio, por lo cual en base al producto notable

de un binomio podemos determinar el valor de sus potencias.

Por ejemplo recordaras la regla de un binomio al cuadrado (𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2, que a

partir de él y las potencias del valor imaginario 𝑖, podemos entonces determinar el valor de

un número complejo elevado al cuadrado como primer ejemplo.

(3 + 4𝑖)2 = 9 + 2(3)(4𝑖) + 16𝑖2

= 9 + 24𝑖 + 16(−1)

= 9 − 16 + 24𝑖

= −7 + 24𝑖

Ahora bien el siguiente ejemplo será con el cubo.

(5 − 2𝑖)3 = 125 − 3(25)(2𝑖) + 3(5)(4𝑖2) − 8𝑖3

= 125 − 150𝑖 + 60(−1) − 8(−𝑖)

= 125 − 60 + (−150 + 8)𝑖

= 65 − 142𝑖



Potencias con valores polares.

Los ejemplos anteriores nos llevarían desarrollos muy extensos si propusiéramos

potencias mayores al cubo, pero como con anterioridad introducimos La representación

polar de un número complejo 𝑧 = |𝑧|𝑒𝜃𝑖, podemos determinar de una forma más directa sus

potencias utilizando el valor polar como se muestra.

𝑧 = |𝑧|𝑒𝜃𝑖

𝑧𝑛 = (|𝑧|𝑒𝜃𝑖)𝑛

𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛𝑒𝜃𝑛𝑖

𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛[cos(𝜃𝑛) + 𝑖 sin(𝜃𝑛)]

Con el modelo matemático antes planteado podemos realizar esta operación, ahora

retomaremos los ejemplos anteriores.

a) Determine (3 + 4𝑖)2, usando el valor polar.

𝑧 = 3 + 4𝑖

|𝑧| = √9 + 16 = 5

𝜃 = tan−1 (4

3) = 0.9273

(3 + 4𝑖)2 = 52{cos[. 9273(2)] + 𝑖 sin[. 9273(2)]}

(3 + 4𝑖)2 = 25(−0.28 + .96𝑖)

= −7 + 24𝑖

b) Determinar (5 − 2𝑖)3, usando el valor polar.

𝑧 = 5 − 2𝑖

|𝑧| = √25 + 4 = √29

𝜃 = tan−1 (−2

5) = 5.9027

(5 − 2𝑖)3 = (√29)3

{cos[5.9027(3)] + 𝑖 sin[5.9027(3)]}

(5 − 2𝑖)2 = 29√29(0.4162 − 0.9093𝑖)

= 65 − 142𝑖



Raíces de números complejos.

Es importante analizar la forma en la que determinamos los valores de la raíces de

un número complejo. Este análisis lo podemos realizar a partir del concepto polar de un

número complejo elevado a una n potencia.

𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛[cos(𝜃𝑛) + 𝑖 sin(𝜃𝑛)]

Recordaremos que el valor de una raíz también es equivalente a una potencia √𝑧𝑛

= 𝑧1

𝑛, por

lo que podemos sustituir de la siguiente forma.

√𝑧𝑛

= √|𝑧|𝑛

[cos (𝜃

𝑛) + 𝑖 sin (

𝜃

𝑛)]

Pero este modelo matemático solo nos entregara el resultado de un raíz, pero al igual que

en los número reales se pueden tener la cantidad de resultados según sea el valor de la

raíz, por lo cual se debe tomar en cuenta los giros del número polar en 360° o los 2𝜋𝑟, por

lo cual se debe incluir los giros en la formula.

Entonces incluiremos el valor 2𝑘𝜋, donde será 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛

√𝑧𝑛

= √|𝑧|𝑛

[cos (𝜃 + 2𝑘𝜋

𝑛) + 𝑖 sin (

𝜃 + 2𝑘𝜋

𝑛)]

Con este nuevo modelo se pueden obtener todas las raíces de un número complejo.

Ejemplos.

1. Determinar las 3 raíces de 𝑧 = 297 − 54𝑖

|𝑧| = √2972 + 542 = √91125

𝜃 = tan−1−54

297= 6.103332

𝜔0 = √√911253

[𝑐𝑜𝑠 (6.103332

3) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (

6.103332

3)] = −3 + 6𝑖

𝜔1 = √√911253

[𝑐𝑜𝑠 (6.103332 + 2𝜋

3) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (

6.103332 + 2𝜋

3)] = −3.692 − 5.5981𝑖

𝜔2 = √√911253

[𝑐𝑜𝑠 (6.103332 + 4𝜋

3) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (

6.103332 + 4𝜋

3)] = 6.696152 − 0.40192𝑖



2. Determinar las 5 raíces de 𝑧 = −41 − 38𝑖

|𝑧| = √412 + 382 = 25√5

𝜃 = tan−1−38

−41= 3.88903

𝜔0 = √25√55

[𝑐𝑜𝑠 (3.88903

5) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (

3.88903

5)] = 1.5930 + 1.5691𝑖

𝜔1 = √25√55

[𝑐𝑜𝑠 (3.88903 + 2𝜋

5) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (

3.88903 + 2𝜋

5)] = −1 + 2𝑖

𝜔2 = √25√55

[𝑐𝑜𝑠 (3.88903 + 4𝜋

5) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (

3.88903 + 4𝜋

5)] = −2.2111 − 0.33302𝑖

𝜔3 = √25√55

[𝑐𝑜𝑠 (3.88903 + 6𝜋

5) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (

3.88903 + 6𝜋

5)] = −0.36655 − 2.20582𝑖

𝜔4 = √25√55

[𝑐𝑜𝑠 (3.88903 + 8𝜋

5) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (

3.88903 + 8𝜋

5)] = 1.9846 − 1.03025𝑖



Ejemplo programa Calculadora TI-84 Plus

El siguiente ejemplo que se te muestra es un programa realizado para una

calculadora Texas Instruments, Modelo TI-84, se muestra el código principal y el de una

subrutina que realiza la corrección en el argumento o ángulo del número complejo.

Código Principal Subrutina de Corrección



Logaritmos de números complejos.

Con anterioridad introducimos la forma polar de un número complejo, a partir de esta

forma determinaremos un modelo que nos permita obtener el valor del logaritmo de un

número complejo.

𝑧 = |𝑧|𝑒𝑖𝜃

Entonces aplicaremos la operación del logaritmo en el valor polar de un número complejo.

ln(𝑧) = ln(|𝑧|𝑒𝑖𝜃)

En el cual entonces aplicaremos las propiedades de los logaritmos tal como se muestra

ln(𝑧) = ln(|𝑧|) + ln(𝑒𝑖𝜃)

ln(𝑧) = ln(|𝑧|) + 𝑖𝜃

Este último modelo ya nos permite obtener el valor del logaritmo de un número complejo

pero aun así está incompleto y solo nos retornara un valor conocido como valor principal,

debido a la naturaleza de un número complejo, este puede tener variaciones en los giros

de 360° o los 2𝜋𝑟. Por lo cual incluiremos a este modelo el valor de 2𝑛𝜋 donde 𝑛, nos dará

los demás valores si es deseado su cálculo, nuestro modelo entonces adquiere la forma:

ln(𝑧) = ln(|𝑧|) + 𝑖(𝜃 + 2𝑛𝜋)

Donde cuando n sea igual a cero nos entrega el valor principal del logaritmo.

Ejemplos:

a) Determinar la forma 𝑎 + 𝑖𝑏 del ln 𝑧 usando valor principal.

a. ln(3 + 4𝑖) = ln|3 + 4𝑖| + 𝑖[0.9273] = 1.6094 + 0.9273𝑖

b. ln(−3 + 𝑖) = ln|3 + 4𝑖| + 𝑖[2.8198] = 1.5129 + 2.8198𝑖

c. ln(7 − 8𝑖) = ln|3 + 4𝑖| + 𝑖[5.431218] = 2.3637 + 5.431218𝑖

d. ln(12𝑖) = ln|3 + 4𝑖| + 𝑖 [𝜋

2] = 2.4849 +

𝜋

2𝑖



Ahora los ejemplos siguientes serán de logaritmos de productos y cocientes de números

complejos.

i. ln(𝑧1 · 𝑧2)

ln(𝑧1 · 𝑧2) = ln(𝑧1) +ln(𝑧2)

= ln(|𝑧1|) + (𝜃1 + 2𝑛𝜋)𝑖 + ln(|𝑧2|) + (𝜃2 + 2𝑛𝜋)𝑖

= ln(|𝑧1| · |𝑧2|) + (𝜃1 + 𝜃2 + 4𝑛𝜋)𝑖

ii. ln (𝑧1

𝑧2)

ln (𝑧1

𝑧2) = ln(𝑧1) −ln(𝑧2)

= ln(|𝑧1|) + (𝜃1 + 2𝑛𝜋)𝑖 − [ln(|𝑧2|) + (𝜃2 + 2𝑛𝜋)𝑖]

= ln (|𝑧1|

|𝑧2|) + (𝜃1 − 𝜃2)𝑖

Con este par de modelo podemos hacer las operaciones requeridas.

Ejemplo: Determine del logaritmo de valor principal de los números complejos según sea

su caso.

z1 = 2 − 3i = √13𝑒5.3𝑖

z2 = 8 + 12i = 4√13𝑒0.9828𝑖

i. ln(𝑧1 · 𝑧2)

ln[(2 − 3𝑖) · (8 + 12𝑖)] = ln(√13 · 4√13) + (5.3 + 0.9828)𝑖

= ln(52) + 2𝜋𝑖

= 3.9512 + 2𝜋𝑖



ii. ln (𝑧1

𝑧2)

ln (2 − 3𝑖

8 + 12𝑖) = ln (

√13

4√13) + (5.003 − 0.9828)𝑖

= ln (1

4) + 4.3176𝑖

= −1.3863 + 4.3176𝑖



Fórmulas de Euler y Moivre.

Formula de Moivre.

Cuando se introdujo el concepto de la forma polar de un número complejo

introducimos el concepto de la fórmula de Moivre es surge a partir de:

[cos(𝜃) + 𝑖 sin(𝜃)]𝑛 = cos(𝑛𝜃) + 𝑖 sin(𝑛𝜃)

Que propiamente se iguala al valor del exponencial elevado a una cantidad imaginaria.

𝑒𝑖𝜃 = cos(𝜃) + 𝑖 sin(𝜃)

Pero también existe la posibilidad de que esa cantidad imaginaria sea negativa.

𝑒−𝑖𝜃 = cos(−𝜃) + 𝑖 sin(−𝜃)

En la cual podemos usar algunas igualdades del coseno y el seno tales como:

cos(𝜃) = cos(−𝜃)

sin(−𝜃) = − sin(𝜃)

Por lo cual si sustituimos estos valore la formula será:

𝑒−𝑖𝜃 = cos(𝜃) − 𝑖 sin(𝜃)

Estas dos fórmulas resultan de gran utilidad en unidades de aprendizaje futuras.



Formula de Euler.

Pero entonces que sucede cuando el valor del exponente no es solo una cantidad

imaginaria si no que es un número complejo completo.

𝑧 = 𝛼 ± 𝑖𝛽

𝑒𝑧 = 𝑒𝛼±𝑖𝛽

Para analizar este concepto nuevamente podemos basarnos en la ley de exponentes:

𝑥𝑚 · 𝑥𝑛 = 𝑥𝑚+𝑛

Por lo cual podemos entonces separar de la siguiente forma y utilizar la fórmula de Moivre:

𝑒𝛼±𝑖𝛽 = 𝑒𝛼 · 𝑒±𝑖𝛽

𝑒𝛼±𝑖𝛽 = 𝑒𝛼[cos(𝛽) ± 𝑖 sin(𝛽)]

Este último concepto resulta de gran utilidad en varios campos de estudio de las

matemáticas.

Ejemplos:

a. 𝑒−3+2𝑖 = 𝑒−3[cos(2) + isen(2) ] = −0.2072 + 0.04527𝑖

b. 𝑒3+4𝑖 = 𝑒3[cos(4) + isen(4) ] = −13.1288 − 15.2008𝑖

c. 𝑒4−8𝑖 = 𝑒4[cos(8) − isen(8) ] = −7.944 − 54.01713𝑖

d. 𝑒−1−6𝑖 = 𝑒−1[cos(6) − isen(6) ] = 0.35323 + 0.10279𝑖



Números complejos elevado a otro número complejo.

Anteriormente se explicó las potencias de un número complejo, pero no el caso de

cuando se eleva un número complejo a otro. Antes de introducir este valor era importante

introducir los conceptos, de producto de números complejos, de logaritmo de un número

complejo y la ecuación de Euler.

Si entonces tenemos:

𝑧1 = 𝛼1 + 𝑖𝛽1

𝑧2 = 𝛼2 + 𝑖𝛽2

𝑧1𝑧2

Lo primero que haremos es aplicar el logaritmo a la expresión y aplicaremos las

propiedades de los logaritmos como ln(𝑎)𝑛 = 𝑛 ln(𝑎).

ln(𝑧1𝑧2) = 𝑧2 ln(𝑧1)

Ahora aplicaremos la operación del exponencial para regresar al término original.

𝑒ln(𝑧1𝑧2) = 𝑒𝑧2 ln(𝑧1)

𝑧1𝑧2 = 𝑒𝑧2 ln(𝑧1)

Entonces este modelo nos permite determinar este caso de potencias.

Ejemplo:

a. (1 + 𝑖)3𝑖 = 𝑒3𝑖[ln(1+𝑖)] = 𝑒3𝑖{ln|1+𝑖|+𝑖[tan−1(

1

1)]}

= 𝑒3𝑖(0.34657+

𝜋

4𝑖)

= 𝑒−3𝜋

4+1.03972𝑖 =

𝑒−3𝜋

4 [𝑐𝑜𝑠(1.03972) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(1.03972)] = 0.048 + 0.08173𝑖



Fasores.

Fasor es una magnitud de naturaleza compleja cuyo argumento aumenta uniformemente

con el tiempo. En su representación geométrica, puede interpretarse como un “número

complejo rotatorio”.

El argumento del fasor será de la forma 𝜙 = (𝜔𝑡 + 𝜙0). Normalmente se le representan en

el instante 𝑡 = 0.

La notación fasorial es muy adecuada para la representación de la amplitud y de la fase

de una oscilación. Así:

𝑦(𝑡) = 𝑌 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) → 𝑦 = 𝐼𝑚(𝕐)

Desfase entre fasores. En muchas ocasiones, estamos interesados en el estudio de oscilaciones que tienen todas las mismas frecuencias. En estas circunstancias, solo estaremos interesados en los desfases relativos entre ellas, por lo que consideraremos una “instantánea” de las oscilaciones (v.g., t = 0), de modo que trabajaremos con fasores de la forma:

𝕐 = 𝑌𝑒𝑖𝜙0 = 𝑌𝜙0= 𝑌[cos(𝜙0) + 𝑖 sin(𝜙0)]

Y el desfase entre dos Fasores será: 𝑦1 = 𝑌1 sin(𝜔𝑡 + 𝜙1)

𝑦2 = 𝑌2 sin(𝜔𝑡 + 𝜙2) = |𝜙1 − 𝜙2|

𝑌𝑒(𝜔𝑡+𝜑0)

𝕐 = 𝑌(𝜔𝑡+𝜑0)

𝑌[cos(𝜔𝑡 + 𝜙0) + 𝑖 sin(𝜔𝑡 + 𝜙0)]



Introducción a Variable compleja.

Con anterioridad haz estudiado Algebra básico, donde los valores de las variables

corresponden a números reales, en este caso la funciones de variable compleja están en

función de números complejos. Pero el análisis de estas funciones corresponde de misma

forma a las de variable real.

Tocar el tema de Variable compleja en realidad toma el estudio de una unidad temática

completa, ya que en ella por mencionar también se analizan entre algunos tópicos los

siguientes:

Operaciones básicas de funciones de Variable compleja.

Limites.

Diferenciales.

Integrales

Series.

Estos temas son muy amplios y de gran utilidad en unidades temáticas de ingeniería

aplicada e incluso algunas otras unidades temáticas de las mismas matemáticas.



Ejercicios.

1. Transforme s su forma polar los siguientes números complejos.

a. 𝑧 = 2 + 4𝑖

b. 𝑧 = −1 − 8𝑖

c. 𝑧 = 12 − 100𝑖

d. 𝑧 = −8 + 15𝑖 2. Transforme a su forma escalar los siguientes números complejos.

a. 𝑧 = 5√2𝑒𝜋

4𝑖

b. 𝑧 = 12𝑒1.70𝑖

c. 𝑧 = √24𝑒3.99𝑖

d. 𝑧 = 4√2𝑒𝜋

2𝑖

3. Realice las sumas y restas de números complejos.

a. (2 + 3𝑖) + (−6 + 9𝑖)

b. (−6 + 7𝑖) − (−18 + 3𝑖)

c. (−12 + 7𝑖) + [(1

2−

4

5𝑖) − (−10 + 8𝑖)]

d. [(−10 +3

4𝑖) − (

1

8+

7

4𝑖)] − [(12 + 9𝑖) + (−27 − 32𝑖)]

4. Realice las siguientes multiplicaciones y divisiones, de forma escalar.

a. (3 − 6𝑖) · (7 − 8𝑖)

b. [(4 − 6𝑖) · (8 + 7𝑖)] · (12 − 10𝑖)

c. 10−5𝑖

−12+12𝑖

d. (13−8𝑖)+(78−8𝑖)

4𝑒𝜋2

𝑖

e. (4+10𝑖)·(−14−7𝑖)

(8−9𝑖)−(16+18𝑖)

5. Realice las siguientes divisiones y multiplicaciones, de forma polar.

a. (2 − 6𝑖) · (−1 − 𝑖)

b. (−1

4+

3

4𝑖) · (

1

8+

1

8𝑖)

c. (−13+17𝑖)·(−16−18𝑖)

7−7𝑖

d. −15𝑖

10+10𝑖

e. 2√2𝑒5𝑖·(7+10𝑖)

−12

6. Eleve los siguientes números complejos a las potencias solicitadas.

a. (4 + 5𝑖)2

b. (−10 − 12𝑖)3

c. (8 + 8𝑖)4

d. (2

3+

1

3𝑖)

5

7. Determine las todas las raíces según sea el caso.

a. √−96 + 40𝑖

b. √−2 − 2𝑖3

c. √−32752 − 59136𝑖4

d. √−316 − 12𝑖5



8. Determine los valores principales de los logaritmos naturales de los números

complejos.

a. −1 − 5𝑖

b. 12 + 3𝑖

c. 100𝑖

d. −75 + 75𝑖 9. Determine los siguientes valores.

a. 𝑒−2+3𝑖

b. 𝑒−𝜋𝑖

c. 𝑒√4+𝜋

3𝑖

d. 𝑒1−2𝜋𝑖

10. Eleve los siguientes complejos a otros complejos.

a. (−3 − 6𝑖)4𝑖

b. (−5 + 7𝑖)2−8𝑖

c. (9𝑖)7𝑖

d. (−15 + 20𝑖)5+15𝑖

Unidad I Numeros Complejos

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