Unidad 1 Numeros Complejos 1.1 Definicio

7/24/2019 Unidad 1 Numeros Complejos 1.1 Definicio

1/27

ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS

UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS

1.1 DEFINICIN Y ORIGEN DE LOS NMEROS COMPLEJOS

La primera referencia conocida a race c!adrada de n"mero ne#a$i%o pro%iene de&$ra'a(o de &o ma$em)$ico #rie#o* como +er,n de A&e(andra en e& i#&o I an$e de

Cri$o* como re!&$ado de !na impoi'&e ecci,n de !na pir)mide. Lo comp&e(o e-icieron m) pa$en$e en e& Si#&o /I* c!ando &a '"0!eda de f,rm!&a 0!e dieran &arace eac$a de &o po&inomio de #rado 2 3 4 f!eron encon$rada por ma$em)$icoi$a&iano como 5ar$a#&ia* Cardano.

A!n0!e ,&o e$a'an in$ereado en &a race rea&e de e$e $ipo de ec!acione* eencon$ra'an con &a neceidad de &idiar con race de n"mero ne#a$i%o. E& $6rminoima#inario para e$a can$idade f!e ac!7ado por Decar$e en e& Si#&o /II 3 e$) ende!o. La ei$encia de n"mero comp&e(o no f!e comp&e$amen$e acep$ada -a$a &am) a'a(o mencionada in$erpre$aci,n #eom6$rica 0!e f!e decri$a por 8ee& en 19::*redec!'ier$a a!no a7o dep!6 3 pop!&ari;ada por Ga!. La imp&emen$aci,n m)forma&* con pare de n"mero rea&e f!e dada en e& Si#&o I.

Lo ae'ri$a de &o i#&oXV3XVI* a& '!car !na o&!ci,n para a!na ec!acione

de e#!ndo #rado* por e(emp&o x2+1=0 , e encon$raron con x=1 .

Afirma'an 0!e &a ec!acione no $enan o&!ci,n* 3a 0!e no -a3 nin#"n n"mero rea& c!3oc!adrado ea !n n"mero ne#a$i%o. E$e -ec-o imp&ica'a &a con%eniencia de !e eprearemo como= x=610. i2 =35.i

Se &&ama n"mero comp&e(o a $oda eprei,n de &a forma z=a+b .i donde a 3 b

on n"mero rea&e? ie &a !nidad &&amada ima#inaria* definida por &a ec!acione :

1


2/27


i=1 o i2=1 ; a e &a part ra! 3 " e &a part #$a%#&ar#a de& n"mero

comp&e(o.

Si a = 'e& n"mero comp&e(o ' + b.i = b.i,e !n n"mero ima#inario p!ro? i b '* eo'$iene e& n"mero rea&

a +'.i = a

Do n"mero comp&e(o on i#!a&e i: (a + b.i) = (c + d.i) a = c; b = d e decir* i on

i#!a&e ! par$e rea&e e ima#inaria por eparado.

Un n"mero comp&e(o e i#!a& a cero i= a + b.i ='a = 0; b =0

Ejercicios 1.1

1)

Graficamenteel afijo del numerocomplejo

z1+z

2

2=

x1+x

2

2+i

y1+y

2

2

representael punto medio del vector queuneel origen conel afijo

del numerocomplejo z1+z

2

los puntosde laforma Az1+z

2son los puntos dela recta

z1+ z

2=(1 )z

1+ z

2=z

1+ (z2z1 )

es decir, larectaque pasa por z1y cuyo vector director es z

2z

1

*)

2


3/27


z3z

1

z2z1=z

3z

1eiarg (z3z1)

z2z

1eiarg (z3z1)=e

3i

z1z

2

z3z2=z

1z

2eiarg (z1z2)

z3z

2eiarg (z3z1)

=e

3i

Ya +,

arg (z3z1)=arg (z2z1 )+

3

arg (z3z2 )+

3=arg(z1z2)

Por !o ta&to

z3z

1

z2z1=

z1z

2

z3z2! z

32z

1z

3z

2z

3+z

2z

1=z

22z

12+z

1z

2!

! z1

2+z22+z

32=z1z2+z1z3+z2z3

-)

3


4/27


Lo a&%,!o +, /or$a& * !a0o 0 ,& tr#a&%,!o +,#!atro o& 0

3

ra0#a& !,%o a2 +,# a3a&4ar

2+

3=

2

3. Por !o ta&to 5o$o ,&o 0 !o

* 3rt#5 z1=1=e2i , t#& +,

z2=e2i e

2i

3 =e2i

3 =cos2

3+isen

2

3=12+ 3

2i

z3=e2i e

2i

3 e2i

3 =e4i

3 =cos4

3+isen

4

3=12+ 3

2i

So& !o otro 0o. E& /or$a "#&o$#5a

(1,0 )(12 , 32) ,(12 ,32)

1.2 OPERACIONES @UNDAMEN5ALES CON NMEROS COMPLEJOS.

ADICCIN

Dado &o comp&e(o

Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). S 0/#&Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)

SUS6RACCIN

Se o'$iene !mando a& min!endo e& op!e$o de& !$raendo:

4


5/27


Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a c ; b-d)

MUL6IPLICACIN

Dado &o comp&e(o

Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)

PO6ENCIACIN

La po$enciaci,n de !n n!mero comp&e(o con po$encia na$!ra&* e re!e&%e como !nam!&$ip&icaci,n rei$erada: Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2 (a ; b)naociado de a dopare &o pare ordenado.

FORMA 7INOMICA

La forma Binomica de !n n!mero comp&e(o e= Z = a + bi

OPERACIONES DE NMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA 7INOMICA:

La !ma 3 diferencia de n!mero comp&e(o e rea&i;a !mando 3 re$ando par$e rea&een$re i 3 par$e ima#inaria en$re i.

+(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i

-(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i

MUL6IPLICACIN CON NMEROS COMPLEJOSE& prod!c$o de &o n"mero comp&e(o e rea&i;a ap&icando &a propiedad di$ri'!$i%a de&prod!c$o repec$o de &a !ma 3 $eniendo en c!en$a 0!e i2 = -1 (a + bi) (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i

DI8ISIN CON NMEROS COMPLEJOS

E& cocien$e de n"mero comp&e(o e -ace raciona&i;ando e& denominador? e$o e*m!&$ip&icando n!merador 3 denominador por e& con(!#ado de e$e.

a+bic+di

=( a+bi ) (cdi )(c+di ) (cdi )

=(ac+bd) (bcad ) i

c2+d2

=ac+bd

c2+d2

+bdadi

c2+d2

5


6/27


(3+2 i)+87i=(37)+(2 ii)=4+ i

(5+3 i )+{ (1+2 i )+ (75 i )}

(5+3 i )+{ (1+7 )+ (2i5 i )}

(5+3 i )+ (63 i )

(5+6 )+(3 i3 i )

11

E9r5#5#o:

1)

2 i2

1

(3+2i ) (1+2 i )(12i ) (1+2 i )

=3+6 i+2 i+4 i2

3+8i41+4

=15+8

5i

6


7/27


*)

(2+3 i) (22 i )=(2+3 i )2+(2+3 i ) (2 i)

4+6 i4 i+6 i2

A%r,pa&0o !o $#$o tr$#&o 2 ap!#5a&0o !a prop#0a0 i2=1 o"t&$o

4+6 i4 i+6

10+2i

-)

1i ](8+4 i)"

[(8+4 i)(1+ i)] " [(1i)(1+i)]

[8+4 i+8i+4 i2 ]" [1i+ii2 ]

+(4+12 i) " (2 )

2+6 i

7


8/27


1.- PO6ENCIAS DE I


9/27


8ALOR A7SOLU6OE& %a&or a'o&!$o* m,d!&o o ma#ni$!d de !n n"mero comp&e(o ; %iene dado por &ai#!ien$e eprei,n= Si penamo en ; como !n p!n$o en e& p&ano? podemo %er* por e&$eorema de Pi$)#ora* 0!e e& %a&or a'o&!$o de !n n"mero comp&e(o coincide con &adi$ancia e!c&dea dede e& ori#en de& p&ano. Si e& comp&e(o e$) ecri$o en forma po&ar ;

r ei* en$once ; r. Podemo compro'ar con faci&idad e$a $re impor$an$epropiedade de& %a&or a'o&!$o para c!a&0!ier comp&e(o ; 3 F. Por definici,n* &a f!nci,ndi$ancia 0!eda como i#!e d;* FH ; F 3 no pro%ee de !n epacio m6$rico con &ocomp&e(o #racia a& 0!e e p!ede -a'&ar de &mi$e 3 con$in!idad. La !ma* &a re$a* &am!&$ip&icaci,n 3 &a di%ii,n de comp&e(o on operacione con$in!a. Si no e dice &ocon$rario* e a!me 0!e 6$a e &a m6$rica !ada en &o n"mero comp&e(o.

zzz=a2+b2

E(ercicio 1.41H

i4 5 i2=i2=1

i22=

i22=1

2)

i4 6 i3=i3=1

i27

=

i27=i

9


10/27


)

z1=5+5 i seencuentraen el1cuadrante

|z1|=25+25=50=52

a=arg tg55=45#

z2=44 i ( seencuentra en el4 cuadrante )

|z2|=16+16=32=42

a=arg tg4

4=45#=315#

z3=(12 +32 i)(seencuentraen el2 cuadrante)

|z3|= 14 + 34=1=1

a=arctg (32 : 12 )=60 # !120 #

10


11/27


z

z215

z

33

propiedaddel modulo z=

4215

13

215

29

415415 26 56

526

|z|=

!or "ro"iedad de# ar$%&en'o

arg z=6.45#+15.315 #3.120 #

arg z=4095 # $lo que esiguala11vueltas y 135 #

z=234256

(cos135#+sen135 # i )=234256

(22 + 22 i)=234

56 +

234

56

i

11


12/27


1.= FORMA POLAR Y E>PONENCIAL DE UN NMERO COMPLEJO.

FORMA POLAR

E& prod!c$o de do n"mero comp&e(o diferen$e de cero e$) dado en &a forma po&ar por e&prod!c$o de ! %a&ore a'o&!$o 3 &a !ma de ! ar#!men$o. E& cocien$e de don"mero comp&e(o diferen$e de cero e$) dado por e& cocien$e de ! %a&ore a'o&!$o3 &a diferencia de ! ar#!men$o.

ARGUMEN6O DE UN NMERO COMPLEJO

E& ar#!men$o de !n n"mero comp&e(o e e& )n#!&o 0!e forma e& %ec$or con e& e(e rea&. Sedei#na porar$( ).

12


13/27


a=arc tgb

a

{+ba

=

+b+a

=a

180 #a

b

a=180 #+a

b+a

=360 #a

FORMA E>PONENCIAL

A %ece* 3 por imp&e comodidad e prefiere $ra'a(ar con &a forma $ri#onom6$rica en %e;de con &a forma 'inomica= Sea !n n"mero comp&e(o c!a&0!iera ! repreen$aci,n prdraepereare de &a i#!ien$e manera=

z=x+iy=% (cos& )=% e i&

@orma @orma @orma Binomica $ri#onome$rica eponencia&

Do&0{x={x=p cos&y=p sen&

Y

%sen&2

%cos&2+

%=|z|=x2+y2!

Y tan&=y

x

E(ercicio 1.

1H

13


14/27


sea z1=1+cosx+isenx=1+

eix+eix

2+i

eixeix

2 i =

1+e2 ix+12e

ix +

e2 ix12e

ix =1+eix

z1=1+cosxisenx=1+ e

ix

+eix

2ie

ix

eix

2 i =

1+e2 ix+12e

ix

e2ix12e

ix =1+eix

z1

z1

n=( 1+eix

1+eix )n=( eix (1+eix )( eix+1 )) n=e inx

por lo tanto z=

*)

se tieneque

z+1

2=2cos t ! z2+1=2z cost !22(2cost)z+1=0!

14


15/27


2cos4co s2 t4=cost co s2t1=costisent

! z=1

2

porlo tanto , z

n

=cosnt isent . por otro lado,

1

2=

1

cost isent=

cost isent

co s2

t+se n2t=cos sent!

1

zn=costnsentn

'a expresionque nos piden simplificar sera

zn+

1

zn=cosnt isen nt+cosnt isennt!zn+

1

zn=2cos nt

-)

1+i={m=12+12=2

(=arc tan1=

4}=24

1.? 6EOREMA DE DE MOI8RE PO6ENCIAS Y E>6RACCIN DE RA@CES DE UNNMERO COMPLEJO.

6EOREMA DE DEMOI8RE Y PO6ENCIAS

15


16/27


Repreen$aci,n po&ar de !n n"mero comp&e(o

Donde &a form!&a e !a c!andoz=)=r (cos(+isen()

En e$e caoz

2=r2 (cos2(+isen( ) ,2

z3=z z2 .

2(+isen2(cos .

r (cos(+isen() r2

r3(cos3(+ isen3()

En #enera&* para c!a&0!ier o$ro proi$i%o K.

z*=r*(cos*(+isen*() .

a e$o e &e conoce como 5eorema de DeMoi%re ap&ica'&e a mimo a &a po$encia den"mero comp&e(o

16


17/27


RA@CES DE UN NMERO COMPLEJO

Dado !n n"mero comp&e(o 0!e e define $a& 0!e i21. U$i&i;ando e$a no$aci,n podemopenar en i como &a ra; c!adrada de 1* pero no$amo 0!e $am'i6n $enemo i2H2i21*a 0!e iH e $am'i6n !na ra; c!adrada de 1. Seme(an$emen$e a &o n"mero rea&e*decimo 0!e &a ra; c!adrada principa& de 1 e i* o* en #enera&* i e c!a&0!ier n"mero

rea& poi$i%o* en$once en &a ra; c!adrada principa& de e c!mp&e &a i#!ien$e i#!a&dad=

x=1x=i x

e decir* &a ra; c!adrada de !n n"mero ne#a$i%o e neceariamen$e ima#inario. Eo e

de'ido a 0!e i2=1 ,por &o 0!e en$once=

ix2=i2x2=(1)x=x

Si e deea encon$rar &a ra; de !n n"mero ima#inario e poi'&e demo$rar &a i#!a&dad

ix=x2 ix2Por &o ar#!men$o dado* i no p!ede er ni poi$i%o ni ne#a$i%o. E$o crea !n pro'&ema=para e& n"mero comp&e(o ;* no podemo definir para er &a ra; c!adrada poi$i%a de .

Para cada n"mero comp&e(o diferen$e a cero ; ei$en eac$o do n"mero 8 $a&e0!e F2 . Por e(emp&o* &a race c!adrada de i on=

i=22

(1+i ) 2.

i=2

2(1+i ) .

La definici,n #enera& de e$) in$rod!ciendo e& i#!ien$e p!n$o de rama= i = r ei erepreen$ado en coordenada po&are con Q * dep!6 fi(amo e& %a&or principa&

a=

z=r ei

2

A definido* &a f!nci,n de &a ra; e -o&omorfa en $oda par$e ecep$o en &o n"merorea&e no poi$i%o* donde no e inc&!o con$in!a. La an$edic-a erie de 5a3&or para

17


18/27


1+x i#!e iendo %)&ida para e& re$o de &o n"mero comp&e(o con 1.

En #enera&* para !n n"mero comp&e(o epreado en forma rec$an#!&ar* e o'$iene=

x+iy=|x+iy|+x

2

|x+ iy|x2

Donde |x+iy|=x2+y2 e& %a&or a'o&!$o o m,d!&o de& n"mero comp&e(oH* 3 e& i#no de

&a par$e ima#inaria de &a ra; coincide con e& i#no de &a par$e ima#inaria de& radicando.

E(ercicio 1.

calculando sumodulo y suargumento

r=|z|=1+3=2

=arg (z )=arctg 31

=3

se tieneque sus raices sextas son

z*=62 z

3+2*r

6

*=0,1,2,3,4,5

'as raices nenesimas dela unidad son dela forma:

18


19/27


z*=ei2 *

n *=0,1,+ . , n1

porlo tanto ,

*=0

n1

z*=*=0

n1

ei2 *

n =1+ei2

n +ei4

n +++ei 2

n1n

Esta es la suma de los nprimeros trminos de una progresin

geomtrica de razn e2

ni

y primer trmino 1 es decir

*=0

n1

z*=1e2i

1e2

n i=0

4H

Coniderando a-ora e& prod!c$o

*=0

n1

z*=1ei2

n ei4

n +ei2

n1n

=e(0+i2 n +i

4

n+++i2n1

n)=e

2

ni

*=0

n1

*

como,*=0

n1

*=n (n1 )

2

setiene

19


20/27


1 sin par1 sinimpar

z*=e

(n+1)i=

*=0

n1

1. ECUACIONES POLINMICAS.

Lo n"mero comp&e(o !r#en an$e &a impoi'i&idad de -a&&ar $oda &a o&!cione de &aec!acione po&in,mica de $ipo

anxn+an1xn1+ +a1x+aa=0

Dado &o %a&ore apropiado de &o coeficien$e anaa0 * e$a ec!aci,n $endr) n

o&!cione rea&e i 0!e permi$ir)n reecri'ir e& po&inomio de &a i#!ien$e forma=(xsn ) (xsn1 ) (xs1 )=0

20


21/27


Sin em'ar#o* ec!acione inc&!o $an enci&&a como 2 1 T deafan e$a re#&a* 3a0!e ! o&!ci,n* 0!e $e,ricamen$e %endra dada por

x1,2=1

0!e no ei$e en e& campo de &o rea&e 3a 0!e &a ra; c!adrada no e$) definida para

ar#!men$o ne#a$i%o.

Lo n"mero comp&e(o in em'ar#o permi$en amp&iar a"n m) e& concep$o de


22/27


1.

seaz=a+bi debemosencontrar a y b de formaque:

abi2+( a+bi )(abi )+9=0a+bi2+2

a2b2+2abi+2a22b24 abi+2bi+9=0

(3a23b2+9 )+i (2ab+2b )=0{3a23b2+9=0

2ab+2b=0

b -0, entonces a=+1,y sustituyendo en la primeraecuacion

3b212! b=2

los numeros complejos son :

z1=+1+2i z

2=+12 i

2.

a sea (z )=a0+a1z+++anzn

an -0,entonces como suscoeficientes sonreales

22


23/27


(z )=a0+a

1z+++anz

n=(a0+a1z++ anzn )=(z ) luego ,

(23 i )=(23 i )=1i=1+i

benel caso deque los coeficientesde (z )no sean todosreales no sedetermina el valor de (abi )co

2+3 i2=i (4+12i9 )=i (5+12 i )=125 i(2+3i )=i

23 i2=i (412i9 )=i (512i )=125 i(23i )=i

4.

sean z1

, z2

lasraices . expresandolas en forma exponencial seran

z1=%1 e&i

z2=%2 e&i

Como

(zz1 ) (zz2)=z2(z1+z2)z+z1z2=z

2+ (a+bi )z+( c+di)

Se c!mp&e 0!e

z1z

2=c+di y z

1+z

2=(a+bi ) . por lo tanto ,

23


24/27


z1z2=c+d i !%1+%2 e2&i=c+di

z1+z2=(%1+%2 ) e&i

z1+z2( a+bi ) {! (%1+%2 ) e

&i

=abi

L!e#o*

%1%

2cos2&=c

%1%

2cos2&=d

%2

1+%

cos&=a

De donde*

tg2&=d

ctg&=

b

a

De re&acionar &a $an#en$e de& an#!&o do'&e con &a $an#en$e eencon$rara &a rer&acion en$re &o coeficien$e como

tg2&=sen2&

cos2&=

2 sen&cos&

cos2

&sen 2 &=

2tg&

1tg 2 &

En$once

d

c=2

ba

1b2

a2

=2 ab

a2b2

La re&aci,n '!cada e

24


25/27


d

c=2

ab

a2b2

si a2

- b2

E(ercicio

1z=1+3 i

25


26/27


32

12+

|z|=

a=arc tg +3+1

=60#

z=260

2! "i#isin

z1=12

135#z2=345 #

z1

z2=

12135 #

345 #=( 123) .135 #45 #=490#

3! $aices

3

8,30# !{ /odulode las raices !r=

38! r=3

23=2

Argumentos! a=30#+360# *

3!{

*=0! a0=

30#+360# 03

=10#

*=1! a1=

30#+360# 13

=130#

*=2! a2=

30#+360# 23

=250#

soluciones ! z0=210# , z1=2130 # , z2=2250 #

26


27/27


Unidad 1 Numeros Complejos 1.1 Definicio

Documents

Transcript of Unidad 1 Numeros Complejos 1.1 Definicio