PRIMENJENE METODE MODELOVANJA RIZIKA ... -...
Transcript of PRIMENJENE METODE MODELOVANJA RIZIKA ... -...
0
- Skripta I deo -
PRIMENJENE METODE MODELOVANJA RIZIKA / PRIMENJENE METODE
MODELOVANJA EKSPERIMENTA
Visoka tehnička škola strukovnih studija
u Novom Sadu, 2018
1
SADRŽAJ
SADRŢAJ .............................................................................................................................. 1
1. ISTRAŢIVANJA ........................................................................................................ 3
1.1. Faze istraţivaĉkog rada ........................................................................................... 4
1.1.1. Izbor teme ........................................................................................................ 4
1.1.2. Prouĉavanje problematike ............................................................................... 5
1.1.3. Definisanje problema i postavljanje hipoteze ................................................. 5
1.1.4. Planiranje i modelovanje eksperimenta ........................................................... 6
1.1.5. Mere sigurnosti prilikom izvoĊenja eksperimenta .......................................... 6
1.1.6. Organizacija rezultata i analiza podataka ........................................................ 7
1.1.7. Prikazivanje rezultata ...................................................................................... 7
1.2. Metode istraţivanja ................................................................................................. 7
1.2.1. Empirijska metoda ........................................................................................... 9
1.2.2. Metoda posmatranja ........................................................................................ 9
2. EKSPERIMENTALNA ISTRAŢIVANJA ............................................................... 10
3. ISTRAŢIVANJA METODOM MODELOVANJA .................................................. 12
3.1. Pojam modelovanje ............................................................................................... 12
3.2. Ciljevi modelovanja .............................................................................................. 13
3.3. Primeri upotrebe modelovanja .............................................................................. 13
3.4. Podele modela ....................................................................................................... 14
4. MATEMATIĈKO MODELOVANJE ...................................................................... 19
4.1. Empirijski modeli .................................................................................................. 22
4.1.1. Prednosti empirijskih modela ........................................................................ 22
4.1.2. Nedostaci empirijskih modela ....................................................................... 22
4.1.3. Primeri upotrebe empirijskih modela ............................................................ 23
4.1.4. Primer eksperimentalne identifikacije sistema .............................................. 23
4.1.5. Teorija sliĉnosti ............................................................................................. 23
4.1.6. Dimenziona analiza ....................................................................................... 24
4.1.7. Empirijske korelacije ..................................................................................... 24
4.1.8. Korelacije – linearna i nelinearna regresija ................................................... 25
4.1.9. Eksperimentalna validacija modela ............................................................... 25
4.2. Deterministiĉki (fundamentalni) modeli ............................................................... 26
4.2.1. Prednosti deterministiĉkih (fundamentalnih) modela ................................... 27
4.2.2. Nedostaci deterministiĉkih modela ............................................................... 27
4.2.3. Primeri upotrebe deterministiĉkih (fundamentalnih) modela ....................... 27
4.2.4. Nivoi matematiĉkog opisa sistema i procesa ................................................ 27
4.3. Populacioni modeli ................................................................................................ 28
4.4. Stohastiĉki modeli ................................................................................................. 29
4.4.1. Primena Monte Karlo metode u modelovanju stohastiĉkih procesa ............. 38
5. STATISTIĈКA ISTRAŢIVANJA ............................................................................ 40
5.1. Primena raĉunara u statistiĉkoj analizi .................................................................. 42
2
5.2. Statistiĉki skup ...................................................................................................... 42
5.3. Statistiĉko obeleţje ................................................................................................ 44
5.4. Statistiĉki uzorak, reprezentativni uzorak i parametri skupa ................................ 45
5.5. Prosta korelaciona i regresiona analiza ................................................................. 46
5.6. Funkcionalna i stohastiĉka veza ............................................................................ 47
5.7. Razlika izmeĊu regresione i korelacione analize .................................................. 49
5.8. Dijagram raspršenosti ............................................................................................ 50
6. TEORIJA VEROVATNOĆE .................................................................................... 53
6.1. Klasiĉna definicija verovatnoće ............................................................................ 53
6.2. Statistiĉka definicija verovatnoće .......................................................................... 54
7. RAĈUNARSKO MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA .......................... 57
7.1. Primena softverskog paketa MATLAB u raĉunarskom modelovanju i simulaciji
procesa 58
8. EKOLOŠKO MODELOVANJE.............................................................................. 60
8.1. Faze (koraci) izrade ekološkog modela ................................................................. 60
8.1.1. Definisanje (identifikacija) problema koga korisnik modela ţeli da reši
korišćenjem tog modela ........................................................................................................ 63
8.1.2. Upoznavanje realnog sistema koji se istraţuje (prouĉava) ........................... 63
8.1.3. Izrada konceptualnog modela ........................................................................ 64
8.1.4. Postavljanje (usvajanje) pretpostavki modela ............................................... 68
8.1.5. Izrada (formiranje) matematiĉkog modela, tj. formiranje jednaĉina koje na
adekvatan naĉin opisuju ponašanje realnog sistema ............................................................. 68
8.1.6. Izrada raĉunarskog modela ............................................................................ 71
8.1.7. Verifikacija raĉunarskog modela (testiranje programa) ................................ 74
8.1.8. Validacija (vrednovanje) modela realnog sistema ........................................ 75
8.1.9. Praktiĉna primena (implementacija) modela. ................................................ 75
9. RIZIK ........................................................................................................................ 76
9.1. Pojam rizik ............................................................................................................ 76
9.2. Procena rizika ........................................................................................................ 76
9.2.1. Kvantitativne metode procene rizika ............................................................. 78
9.2.2. Kvalitativne metode procene rizika ............................................................... 80
9.2.3. Identifikacija opasnosti ................................................................................. 82
9.3. Modelovanje sistema za kvantitativnu procenu (analizu) rizika ........................... 84
9.3.1. NeodreĊenost ................................................................................................. 84
9.3.2. Merenje neodreĊenosti .................................................................................. 84
9.3.3. Teorija verovatnoće ....................................................................................... 85
9.3.4. Rangiranje scenarija rizika ............................................................................ 85
9.4. Metode procene ekološkog rizika ......................................................................... 86
10. LITERATURA .......................................................................................................... 89
3
1. ISTRAŽIVANJA
Ĉovek je kroz istoriju nastojao da više sazna o stvarnosti koja ga okruţuje, što ga je teralo
da stiĉe razliĉita znanja o pojavama u prirodi i društvu. Metodološko sticanje znanja jeste nauka.
Nauka predstavlja skup svih sistematizovanih steĉenih znanja (zakona, zakonitosti, teorija
itd.) o pojavama u prirodi i društvu do kojih se došlo primenom objektivnih nauĉnih metoda.
Osnovni cilj nauke jeste otkrivanje istine, odnosno utvrĊivanje zakona i zakonitosti o
pojavama u prirodi i društvu.
Nauka se bavi proširivanjem i produbljivanjem saznanja o pojavama (fenomenima) u
prirodi i društvu iz prošlosti i sadašnjosti radi prognoziranja i predviĊanja ponašanja tih pojava u
budućnosti.
S obzirom na to koje metode koriste, postoje:
neeksperimentalne nauke, kod njih se rezultati istraţivanja uglavnom zasnivaju na
teoriji i
eksperimentalne nauke, kod njih se rezultati istraţivanja uglavnom zasnivaju
eksperimentima.
S obzirom na to da li koriste opšta ili specifiĉna znanja, postoje:
deduktivne nauke, koje pored opštih koriste i specifiĉna znanja i
induktivne nauke, koje uglavnom koriste opšta znanja.
Istraţivanja nastaju:
iz ĉovekove radoznalosti, odnosno iz ĉovekove potrebe da sazna više o stvarnosti
koja ga okruţuje, i
iz ĉovekove potrebe za progresom, odnosno iz ĉovekove potrebe za poboljšanjem
uslova ţivota i rada.
Istraţivanja uvek ne doprinose progresu, postoje primeri zloupotrebe istraţivanja.,
Osnovna uloga istraţivanja je:
verifikacija (provera) postojećih saznanja,
proširivanje postojećih saznanja i
otkrivanje novih saznanja (zakona, zakonitosti, teorija i sl.).
Istraţivanja mogu biti:
teorijska, zasnivaju se na teoriji i
empirijska, zasnivaju se na eksperimentima
S obzirom na funkciju istraţivanja mogu biti:
Fundamentalna (neusmerena, slobodna, baziĉna) istraţivanja, predstavljaju teorijski
ili eksperimentalni rad koji je usmeren na proširivanje opšteg fonda znanja a ne na
rešavanje praktiĉnih problema.
Primenjena (usmerena, strateška, aplikativna, operativna) istraţivanja, predstavljaju
teorijski ili eksperimentalni rad koji je usmeren na rešavanje praktiĉnih problema, a
na osnovu rezultata fundamentalnih istraţivanja.
4
Razvojna istraţivanja, predstavljaju teorijski i eksperimentalni rad usmeren na
poboljšanje tehnoloških postupaka, izradu novih prototipova proizvoda i sl., a na
osnovu rezultata fundamentalnih i primenjenih istraţivanja.
Razlika izmeĊu fundamentalnih i primenjenih istraţivanja je u tome što su fundamentalna
istraţivanja usmerena na proširivanje opšteg fonda znanja, a ne na rešavanje praktiĉnih problema
(nemaju praktiĉnu primenu) kao što su primenjena istraţivanja.
Nauka istraţivaĉki rad deli na nauĉni i struĉni da bi otklonila problem pojave rezultata
istraţivanja vrlo interesantnih i upotrebljivih u praksi, ali potpuno irelevantnih za nauku pa time i
suštinski ograniĉene nauĉne vrednosti. U nauĉna istraţivanja spadaju fundamentalna istraţivanja,
dok u struĉna istraţivanja spadaju primenjena i razvojna istraţivanja.
U praksi se ĉesto metodologija struĉnog istraţivanja poistovećuje sa metodologijom
nauĉnog istraţivanja. MeĊutim, razlika izmeĊu ove dve metodologije je u tome što su u
struĉnom istraţivanju niţi kvalitet i pojednostavljenije procedure nego u nauĉnom istraţivanju.
Da bi istraţivaĉi mogli da kreiraju svoja nauĉna, nauĉno-struĉna i struĉna pisana dela, oni
moraju imati znanja:
o metodologiji nauĉnog istraţivanja, tj. o nauĉnim metodama koje se mogu
primenjivati u nauĉnim istraţivanjima i
o tehnologiji nauĉnog istraţivanja, tj. o metodološkim postupcima transformacije
ideja u pisana dela.
1.1. Faze istraživačkog rada
Faze istraţivaĉkog rada su:
1. izbor teme istraţivanja,
2. prouĉavanje problematike,
3. definisanje problema i postavljanje hipoteza,
4. planiranje i modelovanje eksperimenta,
5. primena mera sigurnosti,
6. organizacija rezultata i analiza podataka i
7. prikazivanje rezultata.
1.1.1. Izbor teme
Prvi korak u zapoĉinjanju istraţivanja je izbor teme istraţivanja. On je vrlo vaţan korak u
nauĉnom radu, a istovremeno je i najkreativniji deo istraţivanja.
Pri izboru teme za istraţivanje obiĉno se daje odgovor na sledeća pitanja:
1. Šta se ţeli istraţivati?
2. Da li ima smisla to istraţivati?
3. Da li je to vaţno?
4. Da li je to nauĉno zanimljivo i intrigantno?
Tema za istraţivaĉki rad se moţe pronaći sagledavanjem šta je aktuelni problem, šta je
trend i šta je vaţno u odabranoj nauĉno oblasti.
5
Prilikom izbora teme istraţivanja razmatra se:
1. Relevantnost planiranog istraţivaĉkog rada, kojom treba da se odredi relacija
oĉekivanih rezultata istraţivanja sa nauĉnim saznanjima nauĉne grane i polja.
2. Nauĉni doprinos, koji daje odgovor na nauĉnost predloţenog istraţivanja. Ako
oĉekivani rezultati istraţivanja ne znaĉe nove metode i postupke, nove ĉinjenice kojima
se potvrĊuje ili opovrgava neka nauĉna hipoteza niti otvara novo podruĉje istraţivanja,
ukratko, ako nije moguće u jednoj reĉenici odgovoriti ĉime novim istraţivanje
doprinosi ljudskom znanju, onda se ne radi o nauĉno-istraţivaĉkom radu nego o
struĉno-istraţivaĉkom radu.
3. Procena štetnosti (za ljude, ţivotinje, ţivotnu sredinu) planiranog istraţivanja, koja se
odnosi na moguću štetnost postupaka istraţivanja u toku istraţivanja i
4. Procena etiĉnosti planiranog nauĉno-istraţivaĉkog rada, danas je sve vaţnija posebno
sa stanovišta povećane mogućnosti nauke da ostvare rezultati koji se mogu
zloupotrebiti protiv ĉoveka i ţivotne sredine.
1.1.2. Proučavanje problematike
Kvalitetnom istraţivanju prethodi prouĉavanje problematike kojom se istraţivaĉ namerava
baviti. Nakon izvršenog prikupljanja literature ili paralelno s njim, prikupljene radove - reference
treba proĉitati, prouĉiti i obraditi. Time se istraţivaĉ upoznaje sa stanjem nauke i nauĉnim
dostignućima, nauĉnim " backgroundom". Pri tome, najpre treba proĉitati uopštene radove
(pregledne radove) koji daju uvid u širu problematiku u podruĉju teme. Potom se moţe nastaviti
s ĉitanjem radova koji tretiraju uţu problematiku.
Brojni su izvori nauĉnih i struĉnih informacija, ali u nauĉnom radu najvaţniji je izvor
informacija literatura. Primarni izvori podataka su originalni nauĉni radovi i izveštaji o izvršenim
originalnim nauĉnim istraţivanjima. Sekundarni izvori podataka su izvori koji se zasnivaju na
primarnim izvorima (enciklopedije, udţbenici, monografije, pregledni radovi).
1.1.3. Definisanje problema i postavljanje hipoteze
Uspešno sprovoĊenje nauĉnog istraţivanja zahteva jasno definisanje njegove svrhe i
ciljeva, koje se zasniva na poznavanju problema, jer u suprotnom će se sakupiti velika koliĉina
informacija, a neće biti ideje šta s njima. Zato treba definisati kako se planirana istraţivanja
uklapaju u širu problematiku nauke, odrediti kljuĉne parametre istraţivanja, tako da se mogu
planirati metode za obradu uzoraka i analizu podataka.
Ako se radi o planiranju eksperimentalnih istraţivanja, potrebno je odluĉiti koje će se
varijable drţati konstantnim ili kontrolisanim, a koje će biti promenljive. Ako nauĉno
istraţivanje ukljuĉuje statistiĉku obradu suštinsko je da se uzorkovanje izvrši sluĉajnim izborom
koristeći tabelu sluĉajnih brojeva.
Za odreĊivanje naĉina za postizanje cilja potrebno je postavljati pitanja i time definisati
problem. Pitanja se definišu na osnovu saznanja istraţivaĉa o stanju nauke i nauĉnim rezultatima
te refleksije cilja istraţivanja na nauĉna saznanja. Postupak postavljanja pitanja predstavlja jedan
oblik metode idealnih tipova, tj. zapravo je nauĉni oblik priţeljkivanog mišljenja, i znaĉi
pretpostavku posmatranja za postizanje ţeljenog, oĉekivanog ili planiranog cilja. Svako od ovih
posmatranja, definisanih kao pitanje predstavlja privremena predhipotezu, pripremu hipoteze.
Postavljanjem potrebnog i dovoljnog broja pitanja, kojima su dobijeni odgovori na sva stanovišta
problema, definisan je dovoljan broj predhipoteza ĉijom sintezom se definiše jedna ili više
hipoteza.
6
1.1.4. Planiranje i modelovanje eksperimenta
Naučno istraživanje, nakon definisanja jedne ili više hipoteza, ulazi u fazu
potvrđivanja (verifikacije) ili opovrgavanja hipoteze (falsifikacije). U ovoj fazi sprovodi se,
saglasno usvojenoj hipotezi, postupak provere prognoze (predviĊanja) rezultata budućeg
opaţanja, eksperimenta ili simulacije, što znaĉi predviĊanje budućeg prirodnog dogaĊaja,
budućeg eksperimentalnog dogaĊaja ili rezultata simulacije.
Ako potvrđivanje hipoteze zahteva proveru prognoze eksperimentom, prvi korak u
planiranju eksperimenta je određivanje broja i vrste podataka kojima se proverava
hipoteza potvrdom ili opovrgavanjem prognoze. Ispravno modelovan eksperiment daje
relevantne podatke potrebne za potvrdu hipoteze i sastoji se samo od onih
eksperimentalnih aktivnosti potrebnih za dobijanje planiranog broja i planirane vrste
podataka. Podaci, koji nisu u funkciji potvrde prognoze, bez obzira na njihovu moguću
korisnost, suštinski su rezultat nepreciznog modelovanja eksperimenta ili nekorektnog
planiranja. Zato u planiranje, modelovanje i sprovoĊenje eksperimenta treba ukljuĉiti:
1. Izbor samo onih podataka vezanih za prognozu (podaci koji potvrĊuju ili opovrgavaju
prognozu).
2. Modelovanje eksperimenta na osnovu traţenih podataka.
3. Definiciju kontrolnog dogaĊaja.
4. Izbor metoda merenja, opaţanja i beleţenja onoga što se dogaĊa u svakoj fazi
eksperimenta.
5. Planiranje vremenskih rokova za svaku fazu eksperimenta.
6. Realizaciju eksperimenta. i
7. Analizu svih dobijenih rezultata (ne treba odbacivati negativne rezultate jer nema
negativnih rezultata eksperimenta već samo postoje rezultati koji u kontekstu
eksperimenta nisu ispravno interpretirani).
1.1.5. Mere sigurnosti prilikom izvođenja eksperimenta
U praksi nauĉnih istraţivanja pojavljuju se i eksperimenti, koji zahtevaju i upotrebu
opasnih organizama, hemikalija ili opreme, pa u rukovanju s njima treba preduzeti sve propisane
mere bezbednosti i zdravlja na radu, kao i zaštite ţivotne sredine. Pri planiranju eksperimenata
takvih nauĉnih istraţivanja sve aktivnosti i procedure treba kontrolisati, uvaţavajući moguće
opasnosti i štetnosti, koje mogu nastati zbog neprimenjivanja zaštitnih sredstava i opreme pri
ispravnom radu eksperimentalne opreme ili zbog kvara ili neispravnog rada opreme.
Potencijalne opasnosti tokom izvoĊenja razliĉitih eksperimenata mogu biti:
1. Biološke kulture (bakterije, virusi, gljivice itd.).
2. Hemijske materije (toksiĉne, agresivne).
3. Elektriĉni i mehaniĉki aparati (struja, visoki napon, opasnost od mehaniĉkih povreda).
4. Opasnost od poţara.
5. Izloţenost radijaciji.
6. Izloţenost od izlaganja laserskim zracima.
7. Izloţenost UV svetlu.
8. Izloţenost X-zraĉenju.
7
9. Izloţenost mikrotalasnim zraĉenjima.
10. Izloţenost poljima radiotalasa visokog intenziteta.
11. Izloţenost radioaktivnom zraĉenju (β, γ).
1.1.6. Organizacija rezultata i analiza podataka
Tokom istraţivanja vrlo je vaţno paţljivo beleţiti dobijene rezultate u unapred definisanu
tabelu. Dobijene rezultate treba analizirati i ako je to potrebno i statistiĉki obraditi. Na primer,
ako se dve ili više aritmetiĉkih sredina znaĉajno statistiĉki razlikuju primenom analize
Studentovim t-testom (u sluĉaju dve aritmetiĉke sredine) ili primenom analize varijansi (za
poreĊenje više od dve aritmetiĉke sredine), to je dokaz da polazna hipoteza nije dobro
postavljena. Najvaţnija prepostavka za većinu osnovnih statistiĉkih testova (parametarski
testovi) je normalna raspodela podataka (to znaĉi da će vrednosti podataka nacrtane u odnosu na
njihovu frekvenciju dati karakteristiĉnu krivu normalne raspodele). Ako podaci nisu normalno
raspodeljeni tada treba izbegavati parametarske testove i primeniti neparametarske testove.
Kod primene statistiĉke obrade posebno je vaţno kontrolisati znaĉajnost, statistiĉkom
obradom, dobijenih rezultata. Osnovni statistiĉki postupci s kojima se istraţivaĉi, u preteţnom
broju istraţivanja, redovno susreću su:
aritmetiĉka sredina,
raspon,
standardna devijacija,
varijansa,
standardna greška aritmetiĉke sredine,
granice pouzdanosti.
1.1.7. Prikazivanje rezultata
Za prikazivanje rezultata u istraţivaĉkoj praksi najĉešće se koriste:
tabele i
dijagrami.
Ako je informacije moguće izraziti tekstualno tada nema potrebe koristiti tabelu ili
dijagram.
1.2. Metode istraživanja
Razvijene su brojne metode koje nauka koristi u nauĉnim istraţivanjima, da bi se istraţio
nauĉni problem i da bi se došlo do nauĉnih saznanja.
Prema nivou opštosti, nauĉne metode (metode istraţivanja) se dele na:
posebne nauĉne metode,
opšte nauĉne metode i
tehniĉke metode.
1. Posebne naučne metode
8
Neke posebne nauĉne metode se primenjuju u svim nauĉnim podruĉjima a neke se
primenjuju samo u nekim nauĉnim podruĉjima. Posebne nauĉne metode:
metoda analize i sinteze,
metoda apstrakcije i konkretizacije,
metoda generalizacije i specijalizacije,
metoda klasifikacije,
metoda indukcije i dedukcije,
metoda dokazivanja i opovrgavanja
aksiomatska metoda,
istorijska metoda,
metoda deskripcije,
metoda kompilacije,
dijalektiĉka metoda,
genetiĉka metoda,
metoda merenja,
metoda mozaika itd.
2. Opšte naučne metode
Opšte (osnovne) nauĉne metode se primenjuju bez obzira na nauĉno podruĉje, nauĉno
polje, nauĉnu granu, nauĉnu disciplinu ili interdisciplinarno nauĉno podruĉje. Opšte nauĉne
metode su:
empirijska metoda,
metoda modelovanja,
statistiĉka metoda,
metoda crne kutije,
matematiĉka metoda,
komparativna metoda,
kibernetiĉka metoda,
metoda teorije sistema,
analitiĉko-deduktivna metoda itd.
3. Tehničke metode
Tehniĉke metode, su:
metoda posmatranja (opaţanja),
eksperimentalna metoda,
metoda nauĉnog ispitivanja:
o metoda intervjuisanja,
9
o metoda anketiranja,
o metoda brojanja,
informatiĉka metoda,
metoda studije sluĉaja itd.
1.2.1. Empirijska metoda
Empirijska metoda se zasniva na iskustvu, radi objašnjavanja nekih pojava, sudova i
zakljuĉaka. Ona omogućava pristup istraţivanjima i izvoĊenje eksperimenta bez postavljanja
hipoteze ili nastojanja da se ona dokaţe. Kao nepotpuna eksperimentalna metoda, ĉesto se u
literaturi pominje empirijska metoda, u kojoj pristupamo istraţivanju bez postavljanja nauĉne
hipoteze.
Istraţivanja koja se sprovode ovom metodom smatraju se prethodnim eksperimentima, na
osnovu kojih se mogu postavljati radne hipoteze i preduzimati nova nauĉna istraţivanja kako bi
se te hipoteze verifikovale. Moţe se recimo, koristiti u poljoprivredi, ako se, na primer, ţeli da
ispita prinos novih vrsta biljaka, ili u farmaceutskoj industriji prilikom testiranja novih lekova
itd.
Rezultati do kojih se dolazi ovom metodom su vrlo vaţni, pre svega za praktiĉnu primenu,
ali i za nauku, jer oni najĉešće predstavljaju fazu prikupljanja nauĉnih ĉinjenica na osnovu kojih
se utvrĊuju zakonitosti.
1.2.2. Metoda posmatranja
Metoda posmatranja je organizovano posmatranje u cilju otkrivanja novih ĉinjenica ili
proveravanja nauĉnih hipoteza. Nauĉno posmatranje kao metoda moţe da prethodi svakoj drugoj
metodi, a pre svih eksperimentalnoj metodi. Paţljivo posmatranje je neizbeţno kao samostalan
ĉin u prirodnim uslovima, zatim prilikom eksperimentisanja, kao i u uslovima koje stvara
praktiĉan ţivot. Moţe se primeniti u svim nauĉnim podruĉjima i nauĉnim disciplinama u
kombinaciji s drugim nauĉnim metodama.
Da bi posmatranje bilo nauĉno-saznajno vredno, mora biti:
što objektivnije,
što svestranije i što potpunije,
što preciznije i što stroţe,
što sistematiĉnije.
Nauĉno posmatranja moţe biti:
neposredno (direktno) posmatranje
indirektno posmatranje,
sveobuhvatno posmatranje (predmet posmatranja je neka sloţena i dugotrajna
pojava),
masovno posmatranje (predmet posmatranja je neka masovna pojava),
pojedinaĉno posmatranje (predmet posmatranja je neka pojedinaĉna pojava – redak i
jedinstven fenomen),
sistemsko posmatranje.
10
2. EKSPERIMENTALNA ISTRAŽIVANJA
Eksperiment je latinska reĉ (experimentium) što u prevodu znaĉi ogled (opit, pokus ili
proba).
Eksperimnet je jedna od najvaţnijih, najobjektivnijih i najegzaktnijih nauĉnih metoda, tako
da saznanja zasnovana na njemu imaju visok nauĉni znaĉaj.
Eksperiment je metod nauĉnog istraţivanja u kojem se namerno i sistematski menja neka
pojava, da bi se izazivala, a onda posmatrala i merila neka druga pojava, dok se ostali relevantni
uslovi (promenjive) kontrolišu ili pak izoluju.
Eksperimentalna metoda je postupak organizovanog posmatranja, kojim se predmet
istraţivanja izlaţe više puta razliĉitim uslovima u pogledu temperature, pritisaka i drugih
fiziĉkih, hemijskih i ostalih uticaja, uz pomno beleţenje promena koje se pri tome
dešavaju. Faktori koji utiĉu na eksperiment, a ne uzimaju se u obzir nazivaju se spoljni faktori
(eliminišu se ili drţe konstantnim). Spoljni faktori remete uticaj osnovnih faktora smanjujući
taĉnost rezultata.
Eksperimentalna metoda se ĉesto koristiti sa drugim nauĉnim metodama, naroĉito sa
metodom posmatranja.
Eksperiment je analitiĉki postupak za prouĉavanje uzroĉno-poslediĉnih veza. Eksperiment
u osnovi predstavlja pokušaj i posmatranje.
Postoji više vrsta eksperimenata, a najpoznatiji su:
eksperimenti u laboratorijskim uslovima,
eksperimenti u prirodnim uslovima,
veštaĉki (ispitivanje inteligencije ljudi pomoću testova),
eksperimenti (simulacije) na raĉunaru itd.
Bitna saznajna uloga eksperimenta je u:
proveravanju ĉinjenica koje su ranije utvrĊene, ali koje nisu potpuno pouzdane
(proveravanju hipoteza, nauĉnih zakona, stavova i teorija),
otkrivanju novih nauĉnih ĉinjenica o pojavama koje se istraţuju (postavljanju novih,
konkretnijih, adekvatnijih i specijalnijih hipoteza).
U svim sluĉajevima eksperiment je tako organizovan postupak struĉnog i/ili nauĉnog
istraţivanja, da dobijeni rezultat nesumljivo i nedvosmisleno potvrĊuje ili odbacuje postavljenu
hipotezu. Eksperiment kojim se razrešava protivreĉnost izmeĊu dve razliĉite hipoteze naziva se
krucijalni (putokazni) eksperiment.
Hipoteza je razumna pretpostavka zasnovana na prethodnim opaţanjima i steĉenim
znanjima, koju treba dokazati. Cilj eksperimenta je da pruţi odgovor na ne istraţeno pitanje.
Nauĉni eksperiment je metoda praktiĉno-teorijskog saznanja, ĉiju strukturu ĉine:
eksperimentator (pojedinac ili grupa istraţivaĉa koji vrše eksperiment),
predmet eksperimenta (realni sistemi, pojave i procesi, njihovi kvaliteti, kvantiteti,
mere, naĉini nastanka, promene itd.),
sredstva eksperimenta (materijali eksperimenta, instrumenti, ureĊaji, mašine,
postrojenja itd.),
11
postupci eksperimenta (odabiranje vrste ogleda, izdvajanje ogledne grupe, teorijsko-
praktiĉne operacije, postavljanje hipoteza i njihova provera),
eksperimentalni proces (uslovi eksperimentalne situacije, fiziĉki i hemijski procesi i
drugo),
rezultati eksperimenta, i
interpretacija rezultata eksperimenta i izvoĊenje nauĉnih pretpostavki i zakona.
Obrada rezultata eksperimenta je završni deo rada eksperimentalnog istraţivanja i sastoji
se iz:
provere podataka,
odreĊivanje greške eksperimenta ili njenog merila,
provere hipoteze,
sreĊivanje rezultata u obliku prikazivanja.
Rezultati eksperimenta moraju dati što više verodostojnih informacija. U inţenjerskim
eksperimentima najĉešće se zahteva kvantitativno prikazivanje rezultata u obliku funkcija ili
grafikona.
Planiranje nauĉnog eksperimenta je podešavanje pojava tako da eksperimentalni proces
“odgovori” na postavljeno pitanje i da se izvrši organizovanje ogleda.
Prvi korak u eksperimentalnom istraţivanju moţe da bude uspešno mehaniĉko shvatanje
po kome jedan uzrok ima jednu posledicu. U najvećem broju sluĉajeva i u razliĉitim oblastima
istraţivanja koriste se tzv. test funkcije na ulazu u sistem. Sledeći koraci u istraţivanju mogu da
budu usmereni na upoznavanje funkcionisanja sistema. Zadatak razliĉitih, više ili manje
razraĊenih i primenljivih metoda eksperimentalnog istraţivanja jeste upućivanje istraţivaĉa na
moguće postupke eliminacije.
Eksperimentalna metoda se primenjuje široko u gotovo svim oblastima nauke. Danas je u
primeni veliki broj eksperimentalnih metoda u tehniĉkoj dijagnostici za procenu stanja tehniĉkih
sistema.
Ovde treba reći da se kao deo svakog eksperimenta mora tretirati postupak merenja.
Obiĉno struktura postupaka merenja sadrţi: merni objekat - nosilac merne veliĉine, merni signal
– primarni signal, prijemnik signala, merni signal (preslikani signal), korekturni ĉlan – raĉunski
element, korigovani preslikani signal, optiĉki instrument – pokazivaĉ, merna vrednost,
registrovanje, memorisanje, obrada podataka (raĉunar), i oĉitavanje i dr.
12
3. ISTRAŽIVANJA METODOM MODELOVANJA
3.1. Pojam modelovanje
Direktna istraţivanja na velikim i sloţenim sistemima (kao što su: tehniĉki, poslovni,
ekonomski, vojni itd.) po pravilu su vrlo skupa (zahtevaju puno resursa i vremena), teško, a
ponekad i nemoguće izvodljiva, naroĉito u fazi njihovog planiranja, projektovanja i uvoĊenja u
rad. Da bi se olakšala istraţivanja (prouĉavanja) ovakvih sistema ĉesto se ona vrše metodom
modelovanja.
Istraţivanje realnog sistema metodom modelovanja podrzumeva da se realni sistem
predstavi (zameni) modelom, tako da se umesto na realnom sistemu istraţivanja vrše na
njegovom modelu, a zatim se dobijeni rezultati sa modela prenose na realni sistem (pojavu), pri
tome se istraţivanja na modelu mogu vršiti eksperimentalno ili simulacijom na raĉunaru.
Model je na pojednostavljen (uprošćen) naĉin predstavljen (prikazan) neki realni sistem
(fenomen ili proces). Model nikada potpuno verno ne predstavlja realni (stvarni) sistem, već je
uvek u nekoj meri pojednostavljen. Koliko će model biti pojednostavljen (odnosno sloţen) zavisi
od njegove namene. Nalaţenje prave mere pojednostavljenja (apstrakcije) realnog sistema ĉesto
nije jednostavno, i tu u punoj meri do izraţaja dolazi inţenjerska veština i intuicija (znanje
steĉeno iskustvom).
Nivo pojednostavljenja (apstrakcije) realnog sistema utiĉe na validnost modela. Validnost
modela pokazuje koliko je verno (uspešno) realni sistem predstavljen preko modela. S jedne
strane model treba da bude sloţen kako bi dovoljno verno predstavljao (opisivao) realni sistem,
dok sa druge strane model treba da bude što jednostavniji kako bi se sastojao od jednostavnijih
algoritama, a time bio jeftiniji i lakši za istraţivanja, a simulacije se brţe izvodile na raĉunaru.
Prilikom izrade modela realnog sistema nikada se u model ne ugraĊuju sve karakteristike
realnog sistema, nego samo one koje su bitne za njegovo prouĉavanje (nebitne karakteristike se
zanemaruju). Tako da je model u bitnim karakteristikama analogan sa realnim sistemom
(predmetom modelovanja), što omogućava da se do odreĊenih saznanja o realnom sistemu (o
ponašanju, efikasnosti i drugim bitnim karakteristikama) doĊe preko modela, tj. na osnovu
rezultata istraţivanja na modelu. Prilikom prenosa dobijenih rezultata istraţivanja sa modela na
realni sistem treba voditi raĉuna o pretpostavkama i zanemarenjima, uz koje je formiran model
realnog sistema, jer samo uz te pretpostavke i zanemarenja vrede dobijeni rezultati istraţivanja.
Model treba da se pod istim pretpostavkama ponaša kao realni sistem.
Strukturu modelovanja ĉine:
predmet modelovanja, je realni sistem koji se istraţuje (prouĉava),
13
model, je predmet koji zamenjuje realni sistema sa kojim je analogan u bitnim
karakteristikama i
ĉovek (prisutna svest).
Prilikom istraţivanja realnog sistema metodom modelovanja mogu nastati dve teškoće:
da li je model validna predstava realnog sistema (pojave) i
ispravnost prenošenja dobijenih rezultata sa modela na realni sistem (pojavu).
Modeli mogu biti:
jednostavni (fiziĉki model aviona u aerodinamiĉkom tunelu) i
veoma sloţeni matematiĉki modeli (optimizacioni i simulacioni modeli strateškog
sistema odbrane, planiranja realizacije sloţenih objekata, sistema i procesa).
3.2. Ciljevi modelovanja
Istraţivanje realnih sistema metodom modelovanja omogućava da se:
bolje razumeju realni sistemi (fiziĉki, biološki i društveni itd.) sa kojima je model u
bitnim karakteristikama analogan;
bolje razumeju i planiraju eksperimenti;
steknu nova saznanja o realnim sistemima preko njihovih modela, ĉime se smanjuju
nesigurnosti vezane za realne sisteme (fenomene ili procese) koje se model
predstavlja;
predvidi ponašanje realnih sistema (fenomena ili procesa) u budućnosti;
obave razliĉite simulacije, koje mogu od biti velike pomoći prilikom donošenja
odreĊenih odluka. Modeli omogućavaju da se postavljaju pitanja „šta ako“, koja su
vezana za moguće promene u stanju ili funkcionisanju sistema (fenomena ili procesa)
u odreĊenim uslovima;
projektuju ureĊaji i postrojenja;
ispitaju postojeći ureĊaji;
izvrši optimizacija i efikasnije upravljanje realnim sistemima;
kontrolišu neţeljeni dogaĊaji;
izbegnu opasnosti koje mogu uzrokovati eksperimenti nad realnim sistemima;
reše razliĉiti problemi u tekućoj proizvodnji;
osvoje nove tehnologije ili proizvodi;
kreiraju novi (originalni) tehnološki postupci, tehnološki sistemi, oprema, ureĊaji,
inovacije itd.
3.3. Primeri upotrebe modelovanja
Istraţivanja realnih sistema metodom modelovanja se koriste u razliĉitim oblastima, kao
što su:
Marketing: Ako je cena proizvoda porasla, koliko će potraţnja opasti?
14
Nabavka: Ako postoji više izvora sirovina i više postrojenja, kako rasporediti sirovine
po postrojenjima?
Sinteza: Кoji procesi su neophodni za proizvodnju ţeljenog proizvoda?
Projektovanje: Кoji tipovi ureĊaja i kojih dimenzija su neophodni za produkciju
proizvoda?
Proizvodnja: Кoji operativni uslovi će dati maksimalni prinos proizvoda?
Upravljanje: Кako se izlazna veliĉina moţe odrţavati na ţeljenoj vrednosti pomoću
manipulativne promenjive?
Bezbednost: Ako se dogodi otkaz ureĊaja kako će to uticati na operatera i ostalu
opremu?
Ţivotna sredina: Кoliko će trajati razgradnja opasnog otpada u zagaĊenom zemljištu?
3.4. Podele modela
Prema ulozi čoveka u nastanku predmeta modelovanja, modeli se dele na:
modele prirodnih sistema (mikrofiziĉke, makrofiziĉke), i
modele veštaĉkih sistema, koji se dele na:
o modele tehniĉkih sistema i
o modele društvenih sistema.
Prema obliku postojanja, modeli se dele na:
materijalne (realne, fiziĉke) modele (hemijska struktura molekula, model aviona), i
apstraktne (idealne, misaone) modele, koji se dele na:
o govorne (verbalne) modele,
o opisne modele,
o grafiĉke modele (geometrijske, simboliĉke (konceptualne, matematiĉke,
raĉunarske)), i
o formalne modele (matematiĉke, logiĉke).
Prema nameni modeli se dele na:
saznajne modele,
demonstracione modele,
konstrukcione modele i
modele optimizacije i upravljanja.
Prema svojstvu predmeta modelovanja modeli se dele na:
modele funkcije,
modele ponašanja i
modele graĊe.
Prema nameni, modeli se dele na:
deskriptivne,
15
prediktivne ili
normativne.
Deskriptivni modeli – uglavnom opisuju postojeće ili prošlo stanje sistema. Na taj naĉin
oni omogućavaju predstavljanje sistema bez mogućnosti prognoziranja budućih stanja, odnosno
pruţanja eksplicitnih informacija o normativnom upravljanju sistemom. Tipiĉni predstavnici
deskriptivnih modela su: geografske mape, organizacione šeme, završni raĉun preduzeća i sliĉno.
Кao što se moţe zakljuĉiti, ova vrsta modela ne pruţa ništa više od opisa postojećeg stanja
sistema, ali omogućava bolje sagledavanje interakcija objekata u sistemu.
Prediktivni modeli – sluţe za analizu posledica razliĉitih strategija upravljanja sistemom.
Pomoću njih se moţe predvideti rezultat donesenih odluka. Tipiĉno, ova vrsta modela povezuje
zavisne i nezavisne promenljive vrednosti koje opisuju stanja sistema na taj naĉin da se mogu
dobiti prognozirane vrednosti zavisnih promenljivih na osnovu pretpostavljenih vrednosti
nezavisno promenljivih. Sa ovom vrstom modela se moţe dobiti odgovor na pitanje “šta – ako”,
tj. šta će se desiti sa vrednostima zavisnih promenljivih, ako nezavisno promenljive uzmu zadate
vrednosti. U ovu vrstu modela spada većina simulacionih modela kao regresivni modeli, modeli
simultanih jednaĉina, PERT modeli, modeli redova ĉekanja i sliĉno.
Normativni modeli – sluţe da pruţe informacije kako treba upravljati sistemom da se
postigli ţeljeni ciljevi. Ovi modeli omogućavaju da se izabere optimalno rešenje iz skupa
mogućih rešenja. Osnovni problem kod ovih modela je izbor jedne ili više funkcija cilja koje
treba optimizirati. Tipiĉni normativni modeli su: modeli linearnog programiranja i uopšte modeli
matematiĉkog programiranja, modeli upravljanja zalihama i sliĉno.
Prema tome da li se promenljive menjaju tokom vremena, modeli se dele na:
statiĉke i
dinamiĉke.
Кod statičkih modela relacije meĊu objektima se ne menjaju sa vremenom, dok kod
dinamiĉkih modela zavisnost od vremena postoji. Moţe se zakljuĉiti da su u opštem sluĉaju,
dinamički modeli sloţeniji od statiĉkih, ali i da su u većini sluĉajeva bliţi realnom sistemu.
Prema tome da li postoji faktor slučajnosti, modeli se dele na:
deterministiĉke modele,
modele rizika,
modele neizvesnosti i
konfliktne modele.
Deterministički modeli – se karakterišu odsustvom sluĉajnog faktora. Drugim reĉima,
verovatnoća realizacije bilo kog stanja okoline (a samim tim i sistema) kod ovih modela je
jednaka jedinici.
Кod modela rizika – poznata su stanja okoline i mogu se opisati odgovarajućim
verovatnoćama. Prema tome, promenljive modela su sluĉajne promenljive ĉije su raspodele
verovatnoća poznate.
Modeli neizvesnosti – se karakterišu nepoznavanjem budućih stanja okoline i
odgovarajućih raspodela verovatnoća i najbliţi su većini realnih situacija. MeĊutim, njihova
snaga je relativno ograniĉena s obzirom da su u opštem sluĉaju nerešivi. UvoĊenjem koncepta
subjektivnih verovatnoća ovi modeli se prevode u modele rizika sa poznatom procedurom
rešavanja.
16
Кod konfliktnih modela – koji ĉine osnovu teorije igara, stanja okoline su pod kontrolom
drugog igraĉa (ili više ostalih igraĉa) koji ĉine oponenciju ili konkurenciju prvom igraĉu
(donosiocu odluka). Sve igre ukljuĉujući i ratne, mehanizam konkurencije na trţištu i sliĉno se
mogu opisivati ovom vrstom modela, kao što je sluĉaj sa svim modelima planiranja i
predviĊanja.
Prema stepenu opštosti, modeli se dele na:
specijalizovane i
opšte.
Opštost se odnosi na mogućnost primene modela na razliĉite situacije. Opšti modeli se
mogu koristiti za rešavanje razliĉitih tipova problema. Primeri opštih modela su: linearno
programiranje, modeli redova ĉekanja i sliĉno.
Specijalizovani modeli se prave za rešavanje odreĊenog pojedinaĉnog problema i ne
mogu se prenositi na druge situacije. U dosta sluĉajeva opšti modeli ne obezbeĊuju efikasno
rešavanje postavljenog problema i tada se pribegava gradnji specijalizovanih modela koji su po
pravilu ekonomiĉniji.
Prema strukturi, modeli se dele na:
ikoniĉke,
analogne i
simboliĉke.
Ikonički modeli – su slika “u malom” ili “u velikom” sistema koji predstavljaju i
zadrţavaju odreĊene fiziĉke osobine sistema. Po svojoj suštini ova klasa modela je
najjednostavnija za razumevanje i obezbeĊuje stepen korisnosti koji nije prisutan kod ostalih
vrsta modela. Oni vizuelno liĉe na realni sistem koji predstavljaju i veoma su ograniĉeni u
mogućnosti istraţivanja uzroĉno-poslediĉnih relacija u sistemu. Tipiĉni ikoniĉki modeli su:
modeli aviona u vazdušnom tunelu, modeli hidrograĊevinskih objekata (brane itd.), modeli
atoma i sliĉno.
Analogni modeli – koriste osobine jednog fiziĉkog sistema (modela) da bi se predstavile
osobine drugog fiziĉkog sistema (realnog sistema). Na taj naĉin se uspostavlja analogija izmeĊu
raznorodnih fiziĉkih veliĉina (npr. analogija tokova struja sa vodenim tokovima). Elementi i
relacije u realnom sistemu se zamenjuju elementima i relacijama u analognom modelu koga je
jednostavnije analizirati nego realni sistem. U modelu postoji jaka korespondencija izmeĊu
njegovih elemenata i elemenata realnog sistema. Tipiĉni analogni modeli su: graf sistema u
kome se duţine koriste da predstave meĊusobne relacije elemenata, PERT mreţe, modelovanje
na analognom raĉunaru i sliĉno, vezano za proces planiranja i predviĊanja.
Simbolički modeli - ĉešće se nazivaju matematiĉki modeli – objekte i relacije realnog
sistema zamenjuju odgovarajućim simbolima koji se vezuju za osobine objekata i koje nazivamo
promenljivima, i simbolima koji predstavljaju relacije meĊu promenljivima i koje nazivamo
operatorima. Ova vrsta modela je visokog stepena opštosti i apstrakcije i njima se uvodi
matematiĉki naĉin rezonovanja u analizi sistema.
Prema sliĉnosti i analogiji modela s predmetom modelovanja modeli se dele na:
sliĉne modele i
analogni modele
17
Pri ovome treba napomenuti da su sve pojave (ili svi predmeti) sliĉne ako su iste prirode
(dve pumpe za vodu), a analogne, ukoliko su razliĉite prirode (prelaz toplote – diferencijalna
jednaĉina).
Fizička sličnost modela i predmeta modelovanja obuhvata:
geometrijsku sliĉnost (geometrijska sliĉnost granica i sliĉnost poloţaja),
kinematiĉku sliĉnost (odnos vektora brzina i ubrzanja) i
dinamiĉku sliĉnost (odnosi vektora sila i tenzora napona u prostorno-vremenskim
taĉkama za celo podruĉje moraju biti konstantni).
Potpunu fiziĉku sliĉnost je teško postići, jer koeficijenti sliĉnosti pojedinih fiziĉkih veliĉina
nisu meĊusobno nezavisni, uslovljeni su fiziĉkim zakonima.
Fizička analogija. - U sluĉaju da se ţele rezultati ispitivanja fiziĉkih pojava, s jednog
podruĉja fizike, preslikati na pojave drugaĉije prirode, to nije moguće uĉiniti na osnovu fiziĉke
sliĉnosti. U tom sluĉaju se radi o traţenju analogija izmeĊu posmatranih pojava. U fizici se
koristi fiziĉka analogija.
U oblasti tehniĉkih sistema znaĉajna je matematička analogija. Razliĉite dimenzije
pojava obuhvaćene matematiĉkom analogijom obrazuju matematiĉku analošku grupu.
Prema stepenu kvantifikacije modeli se dele na:
kvalitativne i
kvantitativne.
Кvalitativni modeli se odnose na sisteme kod kojih nije moguće uvesti merenje
karakteristiĉnih veliĉina ili nije moguće uraditi matematiĉki model. Кao takvi, kvalitativni
modeli su manje precizni, manje racionalni i manje konzistentni od kvantitativnih modela.
MeĊutim, veoma ĉesto oni su jedini mogući naĉin opisa realnosti.
Dok kvantitativni modeli – koriste matematiĉke relacije i rezultate iskazuju numeriĉki,
kvalitativni modeli ne izraţavaju se formalnim jezicima i rezultati nisu numeriĉki.
Кvalitativni modeli uzimaju u obzir i prisustvo ljudskog faktora u sistemima koji se po
pravilu zanemaruju kod kvantitativnih modela. Кvalitativni modeli se mogu podeliti na:
mentalne i
verbalne.
Кvantitativni modeli se iskazuju formalnim matematiĉkim jezikom uz pretpostavku da se
svi atributi objekta sistema koji se modeluje mogu meriti. Кvantitativni modeli su tipiĉni za
prirodne i tehniĉke nauke, ali je sve veća njihova upotreba u društvenim naukama, naroĉito u
ekonomiji, planiranju i vojnim naukama. Osnovni nedostatak kvantitativnih modela leţi u
ĉinjenici da veći broj promenljivih, karakteristiĉni za dati problem ne podleţe merenju, kao i da
sloţenost relacija realnog sistema ĉesto nije moguće iskazati odgovarajućim matematiĉkim
relacijama modela.
Postoji:
neformalni opis modela i
formalni opis modela.
Neformalni opis modela, daje osnovne pojmove o modelu i najĉešće nije potpun i
precizan. Neformalni opis je dosta brz i lak te zbog toga moţe biti nekompletan (ne sadrţi sve
situacije koje mogu da nastupe), nekonzistentan (predviĊanje dva ili više pravila za istu
18
situaciju – kontradiktorne akcije), nejasan (ako nije definisan redosled akcija). Ovakve situacije
se prevazilaze pravilima i konvencijama u komuniciranju zvanim formalizmi.
Formalni opis modela, treba da obezbedi veću preciznost, potpunost u opisivanju modela.
Omogućava i formalizovanje nekompletnosti, nekonzistentnosti i nejasnosti kao i usmeravanje
paţnje na karakteristike objekata koje su od najvećeg znaĉaja za istraţivanje (apstrakcija).
Osnovne vrste modela su:
mentalni (misaoni) modeli,
verbalni (govorni) modeli,
fiziĉki modeli,
konceptualni modeli,
matematiĉki modeli i
raĉunarski modeli.
Mentalne (misaone) modele konstruiše ljudski um i na osnovu toga deluje. Omogućavaju
komunikaciju meĊu ljudima, planiranje aktivnosti itd. Mentalni modeli su prvi nivo apstrakcije
nekog problema ili situacije. Кad god neko nešto misli o neĉemu to je mentalni model. Prema
tome, po definiciji razliĉiti ljudi poseduju razliĉite mentalne modele o istoj pojavi.
Verbalni (govorni) modeli su direktna posledica mentalnih modela i predstavljaju njihov
izraz u govornom jeziku. Obiĉno se predstavljaju u govornom obliku i spadaju u klasu
neformalnih modela. Na taj naĉin se prevazilazi inherentna nekomunikativnost mentalnih modela
koji su svojina iskljuĉivo jednog ĉoveka.
Konceptualni modeli se formiraju na osnovu strukture i logike rada sistema. Zovu se još i
strukturni modeli pošto u grafiĉkom obliku ukazuju na strukturu sistema te su pogodno sredstvo
za komunikaciju. Predstavljaju osnovu za izradu matematiĉkih modela. Sastoje se od blok
dijagrama ili dijagrama tokova (predstavljaju grafiĉki prikaz povezanosti elemenata sistema na
naĉin kako se formiraju kola povratnog dejstva i onako kako se kola spreţu stvarajući sistem).
Fizički modeli predstavljaju umanjene ili uvećane predstave realnih sistema. Ponašaju se
kao njihovi originali a prave se na osnovu sliĉnosti sa realnim sistemom ili fiziĉkih zakona.
Analiza fiziĉkih svojstava na manjem modelu i relacije sa većim objektom – analiza sliĉnosti.
Matematički modeli predstavljaju skup matematiĉkih (analitiĉkih) jednaĉina (izraza,
relacija) koje opisuju ponašanje realnog sistema. Matematiĉki modeli imaju veću preciznost od
verbalnih modela.
Računarski predstavljaju prikaz matematiĉkih modela u obliku raĉunarskih programa
korišćenjem programskih jezika i usko su vezani za razvoj raĉunarske nauke.
Postupak izrade modela nekog realnog sistema se sastoji u izradi mentalnog modela i
njegovoj transformaciji u konceptualni, zatim u transformaciji konceptualnog u matematiĉki, a
potom matematiĉkog u raĉunarski model, sve dok se ne izradi ţeljeni model.
19
4. MATEMATIČKO MODELOVANJE
Matematički modeli predstavljaju skup matematiĉkih (analitiĉkih) jednaĉina (izraza,
relacija) koje opisuju ponašanje realnog sistema.
Matematiĉki modeli se formiraju postavljanjem odgovarajućih matematiĉkih jednaĉina
(diferencijalnih, algebarskih ili logiĉkih) koje opisuju ponašanje realnog sistema u stacionarnom
(ustaljenom) ili u dinamiĉkom (prelaznom) stanju.
Matematĉke (analitiĉke) jednaĉine koje opisuju ponašanje realnog sistema mogu biti:
Linearne jednaĉine:
Nelinearne jednaĉine:
Algebarske jednaĉine:
Diferencijalne jednaĉine:
Integralne jednaĉine:
Prilikom postavljanja matematiĉkih jednaĉina koriste se zakoni fizike (kao što su: zakon o
odrţanju mase i energije, impulsu kretanja, Bernulijeva jednaĉina, itd.). Za elektriĉne sisteme od
posebnog znaĉaja su: Kirhofovi zakoni, Omov zakon, zakon elektromagnetne indukcije,
Maksvelove jednaĉine itd.
Matematiĉki modeli se koriste još od vremena kada su razvijene diferencijalne jednaĉine.
MeĊutim, njihov znaĉaj dolazi do punog izraţaja tek sa razvojem raĉunara na kojima se mogu
vršiti simulacije ponašanja realnih sistema.
Svaki matematiĉki model je zasnovan na odreĊenim pretpostavkama koje pojednostavljuju
matematiĉki model. Pretpostavke zavise od ciljeva istraţivanja realnog sistema i treba da budu
realne (zasnovane na teorijskim osnovama, eksperimentalnim saznanjima, iskustvu i osećaju
inţenjera) i da ne unose dodatne greške u model.
Matematiĉki modeli se mogu rešavati:
analitiĉki i
numeriĉki.
Rešavanje matematičkih modela analitički se vrši primenom matematiĉke teorije,
teorema, zakona i sl. Koristi se kada su u pitanju jednostavniji problemi, kao što su: algebarske i
jednostavnije diferencijalne jednaĉine. Rešavanjem matematiĉkih modela analitiĉki dobija se
taĉniji rezultat.
20
Rešavanje matematičkih modela numerički se vrši primenom numeriĉkih metoda i
upotrebom programskih jezika (ĉesto upotrebom gotovih programskih paketa) i digitalnih
raĉunara. Koristi se za rešavanje sloţenijih jednaĉina. Taĉnost rešavanja matematiĉkih modela
numeriĉki zavisi od preciznosti upotrebljene numeriĉke metode.
Tačnost matematičkih modela se najadekvatnije proverava poreĊenjem rezultata
istraţivanja dobijenih na modelu sa rezultatima dobijenim odgovarajućim eksperimentima.
Taĉnost modela se najĉešće kvantifikuje pomoću srednje greške (apsolutne, relativne, razlike
kvadrata, standardne devijacije itd.).
Model se moţe verifikovati i na osnovu fiziĉke konzistentnosti (proverom zakona o
odrţanju mase i energije, eliminacijom zbog fiziĉkih nemogućih rezultata, npr. negativna
temperatura, zapremina i dr.). Naĉin validacije modela i interpretacije greške zavisi od ciljeva
modela i naĉina rešavanja. Validnost modela zavisi i od utroška raĉunarskog vremena i resursa.
Uzroci grešaka matematiĉkih modela su:
Pogrešne (nerealne) pretpostavke.
Preveliko pojednostavljenje problema.
Pogrešna matematiĉka formulacija problema.
Pogrešne vrednosti konstanti (ulaznih) podataka.
Izbor neadekvatne numeriĉke metode.
Pogrešan redosled postupaka u algoritmu.
Velika tolerancija u numeriĉkoj metodi.
Prema tome na koji način se promenljive modela menjaju tokom vremena, modeli se
dele na:
Diskretne modele, u njima se promenljive menjaju samo u pojedinim taĉkama tokom
vremena, nema kontinualne promene stanja. Te promene se nazivaju dogaĊaji.
Kontinualne modele, u njima se promenljive menjaju kontinualno tokom vremenu.
Na digitalnim raĉunarima se ne mogu izvoditi kontinualne promene veliĉina već se
moraju aproksimirati skupom diskretnih vrednosti.
Kontinualno-diskretne modele, sadrţe i kontinualne i diskretne promenljive.
Postoji veliki broj matematiĉkih modela koji se mogu koristiti za prouĉavanje ekoloških
sistema. Postoji više naĉina prema kojima se matematiĉki modeli mogu podeliti, kao što su:
U kojoj meri se modeli zasnivaju na teoriji ili observacijama – teorijski nasuprot
empirijskim modelima.
U kojoj meri nasumiĉni (sluĉajni) dogaĊaji i efekti imaju znaĉajnu ulogu u
prouĉavanom sistemu, a samim tim i u modelu – deterministiĉki nasuprot
stohastiĉkim modelima.
U kojoj meri se raspolaţe znanjem o prouĉavanom sistemu koji model treba da
predstavlja – model crne kutije (Black box) nasuprot modelu bele kutije (White box).
Da li se model bavi realnim procesima koji su statiĉni ili dinamiĉni u odnosu na
prostor i vreme – statiĉki nasuprot dinamiĉkim modelima.
Da li se model bavi realnim procesima za koje se uzima da funkcionišu na
kontinualan ili diskretan naĉin – kontinualni nasuprot diskretnim modelima.
21
Kako su prostorno ureĊeni podaci modela – modeli sa raspodeljenim parametrima
nasuprot modelima sa grupisanim parametrima.
1. Model crne kutije (Black box) i model bele kutije (White Box)
S obzirom na to koliko su poznati struktura, sastav i naĉin funkcionisanja prouĉavanog
realnog sistema, matematiĉki modeli se dele na:
modele crne kutije (Black box) (providni),
modele bele kutije (White Box) (zatamnjeni) i
modele sive kutije (Gray box)
Pod modelom crne kutije podrazumeva se model realnog sistema (pojava) koji se istraţuje
i koji se posmatra kao zatvorena kutija ĉija se strukturna graĊa ne poznaje (slika 2.3.).
Pojednostavljeno reĉeno, bez otvaranja kutije, praćenjem šta se dešava na ulazu i izlazu, teţimo
da saznamo šta se nalazi u zatvorenoj kutiji i kako se ona ponaša. Ponašanje modela se istraţuje
delovanjem na taj model i prouĉavanjem reakcija na ta delovanja. Model crne kutije se koristi za
istraţivanje nepoznatih ili vrlo sloţenih dinamiĉkih sistema. Model crne kutije se koristi prilikom
konstruisanja novih proizvoda, pri tome se polazi od nepoznatog realnog sistema, crne kutije.
Cilj istraţivanja na modelu crne kutije jeste da se jasno i precizno definišu naĉin funkcionisanja,
zakonitosti ponašanja i strukturna graĊa tog realnog sistema, odnosno da se izvrši transformacija
modela crne kutije (prouĉavanog realnog sistema) u model bele kutije.
Slika 2.3. Grafiĉki prikaz modela crne kutije
Analogno pojmu model crne kutije uveden je pojam model bele kutije, kod koga su poznati
zakoni ponašanja i procesi u njemu kao dinamiĉkom sistemu. Naĉin funkcionisanja prouĉavanog
sistema je u potpunosti poznat, komletno shvaćen i jasno prenesen na model bele kutije.
U bilo kom modelu bele kutiji uvek ostaje nešto neobjašnjeno i nepoznato. Zbog toga se
koristi model sive kutije. U praksi, većina realnih sistema se predstavlja modelom sive kutije.
2. Statički i dinamički modeli
Statiĉki (stacionarni) modeli se koriste za sisteme koji se ne menjaju, ili bar ne menjaju
znaĉajno tokom vremena. Ova vrsta modela se fokusira na procese ili sile koje odrţavaju sistem
u stanju ravnoteţe:
Dinamiĉki (nestacionarni) modeli, nasuprot tome, se koriste za sisteme koji se menjau
tokom vremena, što je mnogo ĉešći sluĉaj kod realnih sistema:
3. Modeli sa raspodeljenim parametrima i modeli sa grupisanim (nagomilanim)
parametrima
22
Realni sistemi ĉesto pokazuju znaĉajnu prostornu heterogenost kada su u pitanju njihovi
elementi i procesi koji ih kontrolišu. Neki modeli uzimaju u obzir ove prostorne varijacije tokom
matematiĉke formulacije. To se postiţe deljenjem geografske oblasti, na koju se odnosi model,
na odreĊeni broj razdvojenih prostornih jedinica, kao što su poligoni, mreţe ili nepravilno
oblikovani prostorni objekti. Modeli koji dodeljuju razliĉite vrednosti sistemskim parametrima i
promenljivim posebno za svaku prostornu jedinicu se nazivaju modeli sa raspodeljenim
parametrima. MeĊutim, ovaj pristup nije uvek moguć zbog raĉunarskih ograniĉenja ili zbog
nedostatka odgovarajućih prostornih podataka. U tom sluĉaju neophodno je dodeliti jednu,
„grupisanu“ vrednost za celu prostornu oblast modela. Takvi modeli se nazivaju modeli sa
grupisanim parametrima.
4.1. Empirijski modeli
Empirijski modeli se uglavnom zasnivaju na analizi rezultata eksperimenata. U
empirijskim modelima se veze izmeĊu ulaznih i izlaznih veliĉina postavljaju na osnovu rezultata
merenja u eksperimenima. U eksperimentima se najĉešće menjaju odabrane (znaĉajne) ulazne
veliĉine, a mere se izlazne veliĉine. Oblik svake od tih veza se definiše matematiĉkom
funkcijom. Odluka o tome koje će se matematiĉke funkcije koristiti je obiĉno kompromis izmeĊu
toga koliko dobro se odreĊene funkcije uklapaju u postojeće podatke i relativne jednostavnosti
njihovih matematiĉkih oblika. Empirijski modeli su ĉesto veoma korisni kada se donose neka
predviĊanja vezana za konkretan sluĉaj za koji je model razvijen.
Ranije su se ovi modeli više koristili, ali sa napretkom teorijskih istraţivanja i razvojem
raĉunara se sve manje koriste.
Empirijski modeli se najĉešće ne zasnovaju na teorijskoj analizi. Zbog toga emirijskim
modelima ĉesto nedostaje dovoljno opštosti, pa se ne mogu primeniti za neke druge situacije sa
sliĉnom problematikom. Kada su potrebni širi i opštiji modeli, onda se ti modeli zasnivaju na
teoriji (a ne na eksperimentima) i nazivaju se teorijski modeli.
4.1.1. Prednosti empirijskih modela
Sloţeni realni sistemi se ĉesto ne mogu opisati teorijski, ili se deterministiĉki
(fundamentalni) modeli ne mogu rešiti, pa empirijski modeli omogućavaju da se predvidi
ponašanje tih sistema. Empirijski modeli se mogu koristiti sa relativno velikom pouzdanošću
predviĊanja ako se predviĊa ponašanje istog ili sliĉnog sistema u opsegu vrednosti parametara za
koje je predhodno izvršena analiza i razvoj modela. Najĉešće su jednostavni za upotrebu
(rešavanje).
4.1.2. Nedostaci empirijskih modela
Nedostaci empirijskih modela su:
ne doprinese boljem razumevanju realnih sistema, jer se ne zasnivaju na teoriji
(model crne kutije);
postoji mogućnost da se neki od znaĉajnih parametara ne ukljuĉi u analizu, pošto
nisu zasnovani na teoriji;
primena im je ograniĉena samo na sliĉne sisteme i na opseg parametara kojii je
korišćen prilikom izrade modela;
ekstrapolacija pri primeni empirijskog modela nije dozvoljena! Na slici je prikazan
primer greške pri ekstrapolaciji.
23
4.1.3. Primeri upotrebe empirijskih modela
Primeri upotrebe empirijskih modela su:
PredviĊanje fiziĉkih, hemijskih, termodinamiĉkih veliĉina za jedinjenja ili smeše u
odreĊenim uslovima.
PredviĊanja ponašanja realnih sistema u razliĉitim uslovima.
Kalibracija (baţdarenje) instrumenata (ureĊaja) za merenje, analizu, monitoring itd.
4.1.4. Primer eksperimentalne identifikacije sistema
Postavljanje empirijskih modela na osnovu dinamiĉkih eksperimenata u realnom (ili pilot)
sistemu – identifikacija dinamike procesa ili naĉina strujanja.
4.1.5. Teorija sličnosti
Teorija sliĉnosti definiše matematiĉke odnose izmeĊu fiziĉki sliĉnih sistema razliĉitih
veliĉina. Predstavlja osnovu za uvećanje (smanjenje) razmera (scale-up) ureĊaja i procesa.
Kriterijumi sliĉnosti se mogu definisati pomoću diferencijalnih jednaĉina ili pomoću dimenzione
analize. Bezdimenzione grupe dobijene pomoću kriterijuma sliĉnosti predstavljaju osnovu za
24
izgradnju većine empirijskih korelacija. Kriterijumi sliĉnosti su: geometrijska sliĉnost,
kinematiĉka sliĉnost, termiĉka sliĉnost i hemijska sliĉnost.
4.1.6. Dimenziona analiza
Dimenzionom analizom se opisuje fiziĉki sistem sa minimalno potrebnim brojem
nezavisno promenjivih. Promenjive se grupišu u bezdimenzione grupe koje ne zavise od mernih
jedinica. OdreĊivanje taĉnog broja relevantnih promenjivih je esencijalno - sistem se mora
dobro poznavati.
Primer: Pomoću dimenzione analize utvrditi koje su bezdimenzione grupe potrebne za
korelisanje eksperimentalnih rezultata za prinudnu konvekciju u dugaĉkom cilindru.
Rešenje: Problem je definisan sa bilansom koliĉine kretanja i bilansom energije za
diferencijalni element zapremine. Za pojednostavljenje usvajaju se pretpostavke:
Uspostavljeno je stacionarno stanje i bilansi po x pravcu.
Gravitacioni ĉlan i gradijent pritiska u bilansu KK se zanemaruju.
Ĉlan generisanja toplote u energetskom bilansu je 0.
Graniĉni uslovi:
u0=u, q0 = hT
Pod datim pretpostavkama diferencijalne jednaĉine modela:
Promenjive i konstante – n=7:
Osnovne jedinice – m = 4:
Broj bezdimenzionih grupa:
n – m = 3
4.1.7. Empirijske korelacije
Za predviĊanje veliĉina (koeficijenata) pod razliĉitim uslovima ĉesto se koriste empirijske
korelacije. Korelacije su najĉešće bezdimenzione, oblika stepene funkcije:
, npr.:
25
Izbor bezdimenzionih grupa se vrši na razliĉite naĉine: teorijskom analizom, teorijom
sliĉnosti, eksperimentalnom opservacijom i iskustvom itd.
Koeficijenti i stepeni u korelacijama se dobijaju na osnovu većeg broja eksperimentalnih
rezultata.
Empirijske korelacije dobijene regresijom eksperimentalnih podataka.
4.1.8. Korelacije – linearna i nelinearna regresija
Koeficijenti u korelacijama se ĉesto dobijaju metodom najmanjih kvadrata – linearna i
nelinearna regresija eksperimentalnih rezultata.
Linearna zavisnost:
gde su:
x1, x2 i x3 - vektori promenjivih (parametara)
y - vektor veliĉine koja se koreliše
Jednaĉina (1) se moţe predstaviti u matriĉnom obliku:
gde je:
X - matrica:
I - jediniĉni vektor
Koeficijenti korelacije a0 , a1, a2, ... se konaĉno mogu dobiti pomoću matriĉne operacije:
ili
gde je:
yeks - vektor eksperimentalnih vrednosti
4.1.9. Eksperimentalna validacija modela
Matematiĉki modeli se najpouzdanije provravaju pomoću eksperimentalnih rezultata.
PoreĊenje rezultata modela sa rezultatima eksperimenta se vrši grafiĉki ili tabelarno. Izraĉunata
greška modela u odnosu na eksperimente kvantitativno odreĊuje kvalitet modela i verifikuje ga.
Pre poreĊenja neophodno je usaglasiti veliĉine dobijene modelom sa onim iz eksperimenata!
26
Interpretacija greške zavisi od ciljeva modelovanja, sistema koji se modeluje i metoda
rešavanja.
Greške empirijskih modela
Srednja apsolutna greška:
Srednja relativna greška:
Suma kvadrata odstupanja:
Srednje kvadratno odstupanje:
4.2. Deterministički (fundamentalni) modeli
Deterministički modeli su modeli ĉije se ponašanje moţe predvideti, tj. novo stanje je
potpuno odreĊeno prethodnim. Deterministiĉki model je model ĉiji su rezultati jedinstveni i
odreĊeni inputima (ulaznim parametrima). Ovakvi modeli uvek funkcionišu na isti naĉin i uvek
daju potpuno iste rezultate za iste zadate vrednosti inputa. Deterministiĉki modeli su obiĉno
zasnovani na pretpostavkama, teoriji ili znanju o prirodi i obluţilu veza izmeĊu kljuĉnih
elemenata prouĉavanog sistema. Deterministiĉki (fundamentalni) modeli se zasnivaju na
osnovnim zakonima fizike i hemije, kao što su:
bilansi materije, energije, koliĉine kretanja;
brzina hemijske reakcije;
brzina prenosa mase i toplote itd.
27
Bilansi se postavljanju na razliĉitim dimenzionim skalama, u zavisnosti od veliĉine sistema
i/ili ţeljenog nivoa detaljnosti opisa.
Deterministiĉki modeli se matematiĉki opisuju pomoću diferencijalnih (obiĉnih i
parcijalnih) i algebarskih jednaĉina na osnovu bilansa i brzine procesa.
4.2.1. Prednosti determinističkih (fundamentalnih) modela
Prednosti deterministiĉkih (fundamentalnih) modela su:
mogu da doprinesu boljem razumevanju realnih sistema (pojava), jer teorijski opisuju
te realne sisteme;
pomoću njih se moţe predvideti ponašanje realnih sistema u razliĉitim uslovima,
mogu se koriste se za projektovanje ureĊaja i upravljanje procesima;
njihovom primenom se smanjuje ili eliminiše potreba za izgradnjom pilot ureĊaja;
mogu pomoći prilikom planiranja eksperimenata i smanjenju broja eksperimenata;
4.2.2. Nedostaci determinističkih modela
Nedostaci deterministiĉkih (fundamentalnih) modela su:
realni sistem koji se modeluju moraju se vrlo dobro poznavati pre izrade modela, što
zahteva raznovrsna i specifiĉna znanja i veštine inţenjera (istraţivaĉa);
ponekad izraĊeni modeli mogu biti vrlo sloţeni pa se ili ne mogu rešiti postojećim
metodama ili je potrebno mnogo (raĉunarskog) vremena i resursa.
Napomena: Modele, ĉak iako su vrlo detaljni (precizni), je neophodno verifikovati
poreĊenjem sa eksperimentima, pre verifikacije se modeli ne mogu upotrebljavati sa dovoljnom
pouzdanošću.
4.2.3. Primeri upotrebe determinističkih (fundamentalnih) modela
Deterministiĉki (fundamentalni) modeli se upotrebljavaju za:
PredviĊanje profila brzina u reaktoru sa pregradama u cilju optimalnog dizajna
ureĊaja po pitanju pada pritiska.
Korišćenje matematiĉkih modela u prediktivnom upravljanju u cilju smanjenja
potrošnje pare u destilacionoj koloni.
4.2.4. Nivoi matematičkog opisa sistema i procesa
Postoje ĉetiri nivoa matematiĉkog opisa sistema i procesa:
Mikroskopski nivo opisa, se upotrebljava za:
o molekulski nivo,
o hemijsku kinetiku,
o molekulsku termodinamiku,
o kvantnu mehaniku.
Mezoskopski nivo opisa, se upotrebljava za:
28
o opis strujanja na nivou vrtloga (turbulencija),
o prenos mase i toplote na nivou ĉestice.
Makroskopski nivo opisa, se upotrebljava za:
o reţime strujanja,
o operacije i ureĊaje,
o procese i postrojenja
Megaskopski nivo opisa, se upotrebljava za:
o Planiranje proizvodnje i lanca nabavke za više fabrika.
o Analizu uticaja proizvoda na ţivotnu sredinu tokom njegovog ţivotnog ciklusa.
o Procenu uticaja novih projekata na ţivotnu sredinu.
o PredviĊanje scenarija zagaĊenja i disperzije štetnih materija u ţivotnu sredinu.
Kod megaskopskog nivoa opisa, nivo opisa je širi od procesa i postrojenja, osim tehniĉko-
tehnoloških, ukljuĉuje društvene aspekte: ekonomske, pravne, zaštitu ţivotne sredine itd. Modeli
su sloţeni, sadrţe navedene aspekte, pa zavise od razvoja i potreba datog društva i njihovih
normativnih akata (ali nisu detaljni po pitanju fiziĉkih i hemijskih pojava).
4.3. Populacioni modeli
Populacioni modeli se koriste za opisivanje ponašanja populacije elemenata (ĉestica) i
njihovog okruţenja na osnovu ponašanja pojedinaĉnog elementa u njegovom lokalnom
okruţenju. Koriste se u razliĉitim nauĉnim disciplinama, kao što su: hemijsko inţenjerstvo,
astrofizika, biologija, geofizika itd.
Populacioni modeli u hemijskom inženjerstvu se koristi za opisivanje realnog proticanja
u sudovima, jer se detaljni fundamentalni (mezoskopski, CFD) modeli teţe rešavaju u duţem
vremenskom periodu.
Populaciono bilansni modeli koriste funkcije verovatnoće (raspodele, gustine raspodele),
eksperimentalne rezultate i teorijske osnove iz fizike, predstavljaju kombinaciju stohastiĉkog,
empirijskog i fundamentalnog pristupa.
Prvi je funkcije raspodele vremena boravka fluida u sudu definisao hemijski inţenjer
Danckwerts.
Raspodela starosti fluida koji napušta sud E(t)
Funkcija verovatnoće, gustina raspodele:
E(t) jedinice:
29
U bezdimenzionom obliku, za bezdimenziono vreme:
Raspodela vremena zadržavanja fluida F(t)
Verovatnoća da element fluida na izlazu ima vreme zadrţavanja manje od t:
Dobija se sabiranjem svih udela na izlazu u vremenu izmeĊu 0 i t.
4.4. Stohastički modeli
Stohastički modeli se koriste za opisivanje realnih sistema u kojima se veliĉine menjaju
nepredvidljivo, odnosno sluĉajno. Koriste se za opisivanje procesa u kojima se veliĉine na izlazu
(i/ili posle odreĊenog vremena) ne mogu jednoznaĉno odrediti na osnovu stanja sistema na ulazu
(ili u predhodnom (poĉetnom) trenutku), tj. izlazne veliĉine nisu jednoznaĉno odreĊene ulazom.
30
Stohastiĉki modeli su modeli ĉije se ponašanje ne moţe unapred predvideti, ali se mogu
predvideti verovatnoće promena stanja. Za stohastiĉke modele je karakteristiĉno sluĉajno
ponašanje, postojanje sluĉajnih promenljivih. Ovaki modeli se mogu koristiti za predstavljanje
procesa igara na sreću, ili nekih sportskih simulacija kao što su košarka ili tenis.
Stohastiĉki modeli se koriste kada realni sistemi (procesi) imaju sloţenu unutrašnju
strukturu koja se ne moţe analitiĉki (deterministiĉki) opisati.
Stohastiĉki modeli predviĊaju ishod sluĉajnih procesa, ali sa izvesnom neodreĊenošću,
koja se opisuje raspodelom verovatnoće - zasnovani su na teoriji i zakonitostima verovatnoće I
statistike.
Nasuprot deterministiĉkom, stohastički model je model kod koga sluĉajni dogaĊaji i efekti
imaju znaĉajnu ulogu. Kod ovakvih modela promenljive koje se koriste nemaju jednu vrednost
već se one opisuju uz pomoć raspodele (distribucije) verovatnoće. Ishod toga je da će rezultat
ovakvog modela varirati od simulacije do simulacije, iako su poĉetne vrednosti ulaza (imputa)
uvek iste. Ova vrsta modela je pogodna za primenu kada postoje oĉigledne sluĉajne fluktuacije u
prouĉavanom sistemu. Ove fluktuacije mogu biti posledica nekih prirodnih procesa koji su po
svojoj prirodi sluĉajni ili mogu biti pseudo-sluĉajni, što znaĉi da je naše znanje o nekom procesu
nedovoljno ili neadekvatno, pa ne moţemo uoĉiti uzroĉno-poslediĉne veze, i iz tog razloga ga
tretiramo kao sluĉajni proces.
Kontinualne i diskretne funkcije
Kontinualne funkcije, kontinualne promenjive mogu uzeti bilo koju vrednost unutar
inervala. Primeri: brzina kretanja ĉestice, temperaturni profil u reaktoru, gustina smeše itd.
Diskretne funkcije, diskretne promenjive mogu uzeti samo jednu razliĉitu vrednost u
intervalu (polju). Primeri: dnevne temperature u mesecu, uzorci fluida za merenje koncentracije
itd.
Slučajna veličina i stohastički procesi
31
Sluĉajna veliĉina X, ako se pri ponovljenim merenjima najĉešće dobijaju razliĉite vrednosti
date veliĉine. Familija vremenskih funkcija sluĉajnih veliĉina 1(t), 2(t), 3(t), ... predstavlja
stohastiĉki proces.
Osnovne karakteristike stohastiĉkih veliĉina i procesa su:
srednja vrednost,
varijansa (disperzija),
autokorelaciona funkcija i
uzajamna korelaciona funkcija,
stacionarnost itd.
Primeri sluĉajnih veliĉina i procesa:
mikroskopski nivo: rast kristala, oblik i rast prskotine u materijalu, rast ćelija u tkivu,
emisija elektrona sa katode, kretanje i sudari molekula gasa,
mezoskopski nivo: kretanje ĉestica pri transportu, raspored ĉestica katalizatora pri
nasipanju u kolonu,
makroskopski nivo: vreme rada ureĊaja do kvara, vreme remonta, šum izmerene
veliĉine.
Raspodela verovatnoće slučajne promenjive X(t)
Svojstva raspodele:
1.
2.
3.
Gustina raspodele verovatnoće veličine X(t)
32
Svojstvo gustine:
Drugi red:
Srednja vrednost i varijansa
Srednja vrednost sluĉajne veliĉine (matematiĉko oĉekivanje ):
Srednja vrednost definiše poloţaj centra sluĉajne veliĉine.
Srednja vrednost stohastiĉkog procesa:
Svojstvo aditivnosti srednje vrednosti:
Srednja vrednost = prvi moment.
Varijansa sluĉajne veliĉine (rasipanje, disperzija) oko srednje vrednosti:
Dve sluĉajne veliĉine ili dva procesa mogu imati istu srednju vrednost, a razliĉitu
varijansu.
Varijansa stohastiĉkog procesa:
Varijansa = drugi centralni
Primer: Na ispitu iz predmeta Modelovanje i simulacija procesa raspored broja studenata
po intervalu osvojenih poena je dat u tabeli. Izraĉunati srednju vrednost i varijansu (disperziju)
za rezultate ispita.
33
Srednja vrednost poena:
Varijansa:
Autokorelaciona funkcija, predstavlja zavisnost X(t) u vremenu t1 od vrednosti u drugom
vremenu t2:
Autokorelaciona funkcija pokazuje da li se X(t) menja brzo ili sporo.
Autokorelaciona funkcija za stohastiĉki proces:
Uzajamna korelaciona funkcija, predstavlja zavisnost jedne sluĉajne veliĉine X(t) od druge
Y(t):
Uzajamna korelaciona funkcija pokazuje koliko su dve stohastiĉke funkcije zavisne.
Uzajamna korelaciona funkcija za stohastiĉki proces:
Stacionarnost i ergodičnost stohastičkih procesa
Stohastiĉki proces je stacionaran ako su raspodele verovatnoće identiĉne:
34
Stacionarnost u širem smislu (slaba stacionarnost) ako:
- ne zavisi od t,
2 ne zavisi od t
r() r() su funkcije jedne promenjive (duţine vremenskog intervala).
Stacionaran stohastiĉki proces je ergodiĉan ako proseĉne vrednosti dobijene na osnovu
jednog niza opaţanja mogu da se smatraju aproksimacijama proseĉnih vrednosti procesa u celini
(svaka realizacija ili uzorak nosi tipiĉne, zajedniĉke osobine za ceo proces).
i 2 procesa se mogu odrediti na osnovu jednog uzorka.
Markov-ljev lanac
Pojam Markovljev lanac se koristi za diskretna stanja, dok se pojam Markov-ljev proces
koristi za kontinualne promenjive.
Markov-ljev lanac: stanje sluĉajne veliĉine (ili procesa) u budućem vremenu zavisi samo
od stanja u sadašnjem vremenu, a ne od stanja u prošlim vremenima:
Pri svakom koraku, sistem moţe da se promeni u novo stanje ili da ostane u trenutnom
stanju, po odreĊenoj raspodeli verovatnoće – verovantnoća tranzicije.
Primer Markov-ljevog lanca: sluĉajno kretanje (random walk) - prostor stanja je dijagram;
u jednom tranzicionom koraku verovatnoća kretanja od datog elementa ka bilo kom susednom
elementu je jednaka, bez obzira na istoriju kretanja.
Primene modela sluĉajnog kretanja:
U fizici: Brown-ovo kretanje, kretanje molekula u gasu ili teĉnosti, agregacija ĉestica
itd.
U hemiji: opis polimernog lanca (3D ili 2D model).
U biologiji: kretanje populacije ţivotinja, genetiĉka varijabilnost itd.
U informacionim tehnologijama: procena veliĉine interneta itd.
U ekonomiji: modelovanje cena deonica, modelovanje kockanja itd.
Modelovanje diskretnih raspodela
Binomna raspodela se koristi kod uzimanja uzoraka u eksperimentima, provere obrazaca
itd.
Uslovi:
postoji utvrĊen broj ishoda n,
ishod je ili povoljan ili nepovoljan,
verovatnoća povoljnog ishoda p, a nepovoljnog (1-p),
eksperimenti nezavisni.
Funkcija raspodele verovatnoće:
Srednja vrednost:
35
Varijansa:
Poisson-ova raspodela se koristi kod radioaktivnog raspada, procesa ĉekanja i dolazaka,
komunikacionih mreţa itd. Uslovi: dogaĊaji nezavisni i retki.
Funkcija raspodele verovatnoće:
Srednja vrednost:
Varijansa:
Primer: Izveštaji iz fabrike pokazuju da se na svakih 10000 proizvoda javlja 25
neispravnih. Kolika je verovatnoća da će 1000 proizvoda sadrţati najviše 3 defektna?
Rešenje: U pitanju je diskretna raspodela. Pošto je frekvencija pojavljivanja neispravnih
proizvoda mala, moţemo koristiti Poisson-ovu raspodelu:
Verovatnoća pojave defekta:
Broj ishoda:
Ukupna verovatnoća za tri neispravna proizvoda jednaka je zbiru verovatnoća:
Koristeći Poisson-ovu raspodelu dobija se:
Polinomna raspodela se koristi kod uzimanja uzorka, opšta binomna raspodela.
Verovatnoća prvog ishoda x1 je p1, verovatnoća drugog ishoda x2 je p2 itd., pri ĉemu je p1 + p2 +
... + pk = 1.
Uslov: svaki eksperiment nezavisan, verovatnoća svakog ishoda konstantna i predstavlja
broj kombinacija c(n, x).
Funkcija raspodele verovatnoće:
Srednja vrednost:
36
Varijansa:
Hipergeometrijska raspodela se koristi kod uzimanja probe bez povraćaja - detekcija
defektnog uzorka.
Modelovanje kontinualnih raspodela
Normalna (Gauss-ova) raspodela se koristi za opisivanje greške merenja.
Gustina normalne raspodele verovatnoće:
Ako se uvede smena za normiranu veliĉinu u:
Gustina normirane raspodele:
Funkcija normirane raspodele:
Srednja vrednost normirane raspodele:
Varijansa normirane raspodele:
Funkcija normirane normalne raspodele P(u) se moţe dobiti numeriĉkom integracijom,
rešavanjem tzv. Laplaceove funkcije, odnosno integrala:
37
rešenja ovog integrala za x > 0 se mogu naći u tablicama, dok za x < 0 vaţi:
(-x) = - (x)
jer je neparna f-ja.
Shodno pravilu 3, verovatnoća za sluĉajnu promenjivu x, sa srednjom vrednošću x i
varijansom x, u intervalu a < x < b se raĉuna:
Primer: Za odreĊivanje gustine trokomponentne smeše izveden je veliki broj
eksperimenata. UtvrĊeno je da se greška merenja (sluĉajna veliĉina x) moţe prikazati pomoću
normalne raspodele, a da je srednja vrednost greške 5 promila, a varijansa 1. Kolika je
verovatnoća da će greška merenja gustine smeše imati vrednost u intervalu od 4 do 7?
Rešenje: Primenom predhodne jednaĉine, za x = 5 i x = 1, dobija se:
Pri rešavanju se koristi svojstvo neparnosti Laplace-ove funkcije (-x) = -(x). Rešenje je
dobijeno pomoću tablica za (2) i (1).
Logaritamska normalna raspodela, se koristi kod modelovanja raspodele veliĉina ĉestica
(kondenzacija, aerosoli, granulometrija itd.). Primenjuje se kada nekoliko nezavisnih faktora
utiĉe na ishod dogaĊaja.
Gustina logaritamske normalne raspodele verovatnoće:
gde je:
Srednja vrednost:
Varijansa:
Ostale raspodele su:
gama,
eksponecijalna,
beta,
38
Hi-kvadrat itd.
4.4.1. Primena Monte Karlo metode u modelovanju stohastičkih procesa
Monte Karlo metoda koristi sluĉajne veliĉine kako bi se opisalo ponašanje sistema koje je
toliko sloţeno da se ne moţe taĉno opisati pomoću klasiĉnih deterministiĉkih modela. Monte
Karlo metoda se zasniva na generisanju sluĉajnih veliĉina i iterativnim postupcima - za
proraĉune se koriste raĉunari.
Problem se, pomoću Monte Karlo metode, rešava tako što se repetativno generišu sluĉajni
brojevi i posmatra se raspodela udela brojeva koji se pokoravaju odreĊenom pravilu ili skupu
pravila. Metoda je taĉnija što su brojevi uniformnije rasporeĊeni u polju od interesa i što se više
puta postupak ponavlja.
Postoji veći broj algoritama za Monte Karlo metodu, ĉesto se primenjuje Metropolis-
Hastings-ov algoritam.
Monte Karlo metoda je opšteg karaktera i danas se primenjuje za najrazliĉitije proraĉune u
prirodnim, tehniĉkim i društvenim naukama.
Osnovne oblasti stohastiĉkih proraĉuna gde se tradicionalno primenjuje Monte Karlo
metoda:
numeriĉka integracija za višedimenzione integrale u matematici;
simulacija sluĉajnog kretanja u statistiĉkoj mehanici i fizici;
praćenju kretanja ĉestica i radioaktivnosti;
fiziĉko-hemijski fenomeni i procesi,
biološko-medicinske pojave: epidemije virusa i bakterija, rast populacije, migracije
insekata i ptica, širenje radioaktivnosti i tumora u organizmu,
geološko-sredinske pojave i procesi: erozija tla, širenje poţara, klimatske promene,
disperzije polutanata;
optimizacija i dinamiĉke simulacije: nabavka sirovina, transport ljudi i proizvoda;
finasije i ekonomija: procena vrednosti firmi, rast trţišta i berze, kvote osiguranja;
matematika;
razvoj software i
zabavne igre.
Opšti algoritam Monte Karlo metode:
1. Definisanje domena.
2. Generisanje sluĉajnih vrednosti u domenu.
3. Izvršavanje deterministiĉkog proraĉuna koristeći sluĉajne vrednosti.
4. Uvrštavanje rezultata pojedinaĉnih proraĉuna u ukupan rezultat.
Jednostavan opis principa igra podmornice
A – Sluĉajni brojevi: Prvo igraĉ sluĉajno gaĊa u polje bitke.
B – Primena pravila: Na osnovu pogotka, igraĉ postavlja mogući raspored
podmornica od ĉetiri taĉke.
39
C – Zakljuĉak: Na osnovu sluĉajnih gaĊanja i primene pravila igraĉ donosi zakljuĉak
o poloţaju podmornice protivnika.
Primer upotrebe Monte Karlo metode za simulaciju Efekta staklene bašte (klimatskih
promena) primenom aplikacije NetLogo
Stohastiĉka simulacija uticaja koncentracije CO2 i koliĉine oblaka na temperaturu
atmosfere. Oblaci blokiraju sunĉeve zrake, a CO2 blokira emisiju infracrvenih zraka sa zemlje
izazivajući efekat staklene bašte.
40
5. STATISTIČКA ISTRAŽIVANJA
Statistika se prvobitno odnosila samo na numeriĉke podatke o stanju posmatrane pojave.
Osnovni zadatak statistiĉkih istraţivanja svodio se u poĉetku na prikupljanje podataka o
brojnom stanju stanovnika, vojnika, poreskih obveznika, imovine jer su tadašnji vladari ţeleli da
znaju kolika je njihova i vojna moć u odnosu na svoje protivnike. Prvi popis stanovništva prema
nekim podacima bio u Egiptu 2500. godina p.n.e.
U poĉetku su razvijena dva pristupa obradi podataka. Prema prvom pristupu akcenat je bio
stavljen na to da je zadatak statistike, sistematizacija podataka o stanovništvu i privredi u cilju
voĊenja drţavne politike, bez pretenzija na otkrivanje zakonitosti.
Zadatak drugog pristupa prema statistici bio je fokusiran na matematiĉku obradu statistiĉki
podataka i otkivanje zakonitosti u ponašanju posmatranih pojava, ĉime su postavljeni temelji
razvoja savremene statistike.
Nagli napredak u statistici osetio se pronalaskom i razvojem raĉunara. Izuzetno brza i
pouzdana obrada podataka skratila je vreme izraĉunavanja statistiĉara umnogome nekoliko puta.
Danas se razlikuje:
teorijska i
primenjena statistika.
Teorijska (matematiĉka) statistika pronalazi nove statistiĉke metode, objašnjava ih,
dokazuje i usavršava. Ona se moţe smatrati delom primenjene matematike.
Primenjena statistika podrazumeva statistiĉke metode prikupljanja, obrade i analize
podataka, kao i donošenje zakljuĉaka i formulisanje zakonitosti ponašanja posmatranih pojmova.
Primenjena statistika moţe se podeliti u dve gupe:
deskriptivnu i
inferencijalnu statistiku.
Deskriptivna statistika obuhvata prikupljanje i obradu podataka i njihovo prikazivanje u
obliku tabela, grafikona i sumarnih deskriptivnih mera. Njan domen je ograniĉen samo na
raspoloţive podatke.
Inferencijalna statistika podrazumeva primenu statistiĉkih metoda (kreiranih u okviru
teorijske statistike) koji nam omogućavaju da zakljuĉke o pojavi koja se ispoljava na velikom
broju sliĉajeva (u skupu) donesemo samo na odnovu jednog dela podataka (dela skupa). Stoga je
njen domen znatno širi od deskriptivne statistike. Zakljuĉci dobijeni primenom metoda
inferencijalne statistike baziraju se na rezultatima teorijske statistike i teorije verovatnoće.
Teorijska statistika se moţe smatrati delom primenjene matematike, dok je primenjena
statistika nauĉna oblast koja se bavi analizim podataka.
Кako bi se predmet statistike lakše shavatio uveden je pojam varijabilana pojava.
Varijabilitet (odnosno raznovrsnost, raznolikost) je univerzalno prisutan oko nas. Primer za
varijabilitet su privredna društva (firme) u Republici Srbiji, one se razlikuju po broju zaposlenih,
delatnosti, lokaciji, brojem pokazatelja uspešnosti poslovanja, da li su i na koji naĉin prisutni na
Internetu itd.
Varijabilna pojava je ona koja uzima razliĉite vrednosti od jednog do drugog sluĉaja
svoga ispoljavanja. Na varijabilnu pojavu ĉesto deluje veći broj faktora ( ĉije individualne i
41
zdruţene uticaje nije moguće unapred odrediti), zbog ĉega se i pojedinaĉne vrednosti varijabilne
pojave ne mogu sa sugurnošću predvideti.
Iz gore navedene dofinicije moţe se zakljuĉiti da 2000 litara destilovane vode nije
varijabilna pojava jer su jedinice iz kojih se ona sastoji identiĉne. Ovakve, apsolutno homogene
pojave ne zanimaju statistiku. Varijabilnost neke pojave nema nikakve veze sa brojem sluĉajeva
(masovnošću) na kojima se ta pojava iskazuje.
S druge stane posmatrajući grupu on npr. pedeset studenata, moţe se zakljuĉiti da postoji
varijabilna pojava. Jer posmatrana grupa studenata pokazuje varijacije po visini. TakoĊe ako
bismo u obzir uzeli jednog studenta, ne bi bilo moguće unapred utvrditi visinu jer ne postoji
varijabilna pojava na jednom primerku. Recimo, u medicini bez izuĉavanja varijacija bilo bi
skoro nemoguće postaviti dijagnozu. Ovde se polazi od vrednosti indikatora zdravih osoba koje
se smatraju referentnim (normalnim), a zatim se definišu dozvoljena odstupanja od te normale,
kao i ona koja sa sugurnošću ukazuju na postojanje problema.
U ekonomiji pri što boljem pozicioniranju na trţištu proizvodna firma mora da prati brojne
indikatore sa trţišta i shodno varijacijama pojedinih pokazatelja menja svoju proizvodnu ili
prodajnu strategiju. Generalno, skoro u svim nauĉnim disciplinama varijacije posmatranih
pojava se analiziraju, pomoću posebnog metodološkog aparata. Na osnovu toga što je reĉeno
moţe se zakljuĉiti da je statistika neizostavna po pitanju zanaĉajnosti u ekonomiji. Da bi se
došlo do odrećenih zakljuĉaka i donošenja nekih hipoteza mora se proći kroz niz postupaka koji
su zastupljeni u obradi statistiĉkih podataka.
Pitanje koje se ĉesto postavlja vezano za statistiku jeste to kako se statistika suoĉava sa
podacima u realnosti i sa njihovom varijabilnošću. S obzirom na to da se statistika definiše kao
nauka o podacima (podaci su brojevi ili reĉi sa odgovarajućim kontekstom).
Statistika se pre svega bavi globalnim podacima, dok oni pojedinaĉni ostaju „anonimni“.
Ako se pokaţe da neki podaci previše odstupaju od ostalih prema današnjem shvatanju
statistike i oni spadaju u predmet interesovanja za statistiku. Takvi podaci se danas nazivaju
ekstremnim podacima (eng. outliers). Ekstremni podatak je onaj podatak koji znatno odstupa
od vrednosti svih ostalih podataka, bilo zato što je veći ili znatno manji. Nekada se smatralo da
ekstremna vrednost nastaje kao greška u merenjima ili unosu podataka. MeĊutim, ekstremna
vrednost moţe biti i signal da se nešto neuobiĉajeno dogaĊa sa posmatranom pojavom. Tipiĉan
primer za to je otkrivanje ozonskih rupa – trebalo je da proĊe nekoliko godina da bi ekstremni
podaci, koje je kompjuterski softver instaliran u satelitima ignorisao, istraţivaĉima ukazali da se
nešto novo dogaĊa sa atmosferom iznad Antarktika. Znaĉaj ekstremnih podataka je toliko veliki
da se posebna grana statistike bavi iskljuĉivo njome (Extremevaluetheory).
Statistika je veoma osetljiva na netaĉne ili nepotpune podatke, koji se koriste pri
analiziranju, na osnovu statistiĉkih analiza moguće je otkriti neku pravilnost ili nepravilnost koja
bi bez njene pomoći bila gotovo nemoguća. Primer koji se sreće ĉesto u domaćim, a pogotovu u
stranim literaturama je: Oĉekivano trajanje ţivota kod muškaraca i ţena. Prema podacima
objavljenim od strane Ujedinjenih nacija za period od 2005 do 2010. godine prikazani su u
tabeli 1.
42
Tabela 1. Oĉekivano trajanje ţivota ţivoroĊenih u periodu od 2005 do 2010. za
najrazvijenije, najnerazvijenije zemlje na svetu i Republiku Srbiju
Muškarci Ţene Oba pola
Najnerazvijenije zemlje 53,4 55,8 54,6
Najrazvijenije zemlje 72,9 80,2 76,5
Republika Srbije 71,7 76,3 74,0
Prema gore navedenim podacima, moţe se sa sigurnošću utvrditi da ţene ţive duţe od
muškaraca. Кada se ide još dalje u razmatranje ovog pitanja doĊe se do podatka da se devojĉice
ipak reĊe raĊaju od deĉaka. Prema nekim podacima na 100 devojĉica rodi se 106 deĉaka. Ove
pojave nazivaju se statistiĉkim zakonitostima. Oni se mogu podeliti na dve bitne karakteristike:
Vaţe samo u masi sluĉajeva;
Pojedinaĉni sluĉajevi mogu da pokaţu odstupanja od opšte tendencije.
Statistiĉke zakonitosti moramo tumaĉiti strogo vodeći raĉuna o navedena dva
ograniĉenja.
U primeru sa oĉekivanim trajanjima ţivota, zakonitost tumaĉimo da ţene ţive duţe od
muškaraca, a nikako da svaka ţene ţivi duţe od muškarca, pa se moţe na osnovu ovoga
zakljuĉiti da neće svako dete u Srbiji, roĊeno posle 2005. godine, ţiveti do 76,3. godine.
Zanimljiv je podatak da su stari Grci procenjivali da je proseĉan ţivotni vek biti oko 28 godina.
Verovatno se uzimalo u obzir to što je postojala velika opasnost po ţivot usled ĉestog ratovalja,
bolesti i gladi. MeĊutim, Sokrat je ţiveo 70, Platon 80, a Aristotel 62. godine.
5.1. Primena računara u statističkoj analizi
Otkriće raĉunara sredinom XX veka donosi sa sobom potpuno novu dimenziju u svere
obrade podataka, analizu podataka itd. Znaĉajni napredak koji se dogodio u proteklih dvadeset
godina imao je za posledicu razvoj aplikacija na raĉunare koji su sposobni da potpuno
samostalno izvršavaju sloţene statistiĉke proraĉune kao i druge funkcije bitne za statistiku, a
pritom sve te funkcije obavljaju se izuzetno brzo i pouzdano.
U današnje vreme posredstvom odgovarajućih programa veoma jednostavno se obavljaju
varijabilne projave. Više nema potrebe za ruĉnim izraĉunavanjem koje je uvek praćeno manjim
ili većim greškama.
Danas postoji veliki broj programskih paketa koji su veoma korisni u analizi statistiĉkih
podataka. Neki od njih su: SPSS, Minitab, SAS, Statgraphics, S – Plus, JMP, SATA itd.
Statistiĉari su formulisali i posebne programske jezike od kojih je najpoznatiji jezik koji se
naziva R i koji moţe da se skine potpuno besplatno sa interneta.
5.2. Statistički skup
Predmet statistiĉkog istrţivanja su varijabilne pojave. Da bi se taĉno sagledale pravilnosti u
njegovom ponašanju neophodno je obuhvatiti sve sluĉajeve na kojima se ona pojavljuje. Iz tog
razloga dolazi se do termina statistiĉki skup.
Skup svih elemenata na kojima se izvesna varijabilna pojava ispoljava i statistiĉki
posmatra naziva se statistiĉkim skupom ili osnovni skup ili, jednostavno, skup.
43
Na osnovu definicije je jasno da neki skup mora ispunjavati odreĊene uslove da bi mogao
da se nazove statistiĉkim skupom.
Statistiĉki skup mora da obuhvati sve elemente koju su predmet posmatranja;
Elementi tog skupa moraju imati bar jednu zajedniĉku osobinu na osnovu koje se i
deklarišu kao pripadnici toga supa;
Na elementima takvog skupa se posmatra neka varijabilna pojava. Iz ovoga sledi da ti
elementi moraju imati bar jednu karakterisiku po kojoj se mogu razlikovati, odnosno
koja je varijabilna.
U zavisnosti od cilja istraţivanja, osnovni skup se moţe sastojati od ljudi, bića, predmeta
ili dogaĊaja. Tako na primer, satistiĉki skup mogu ĉiniti svi stanovnici grada ili zemlje, svi
studenti fakulteta, ali i stoĉni fond u nekoj drţavi, sva preduzeća u jednom gradu ili pokrajini,
itd.
Sve jedinice nekog skupa analiziramo u izabranom momentu i odreĊujemo strukturu skupa
po izabranim karakteristikama. Jedinica skupa predstavlja pojedinaĉni element iz kojeg se skup
sastoji. Moţe se još nazvati i jedinicom posmatranja.
Moţe se zakljuĉiti da sve jedinice osnovnog skupa moraju imati barem jednu zajedniĉku
osobinu. Sa porastom broja jedinica skupa osnovni skup postaje homogeniji. Ipak, jedinice ne
smeju biti meĊu sobom identiĉne jer tada one nisu predmet statistiĉkog posmatranja. Predmet
statistiĉkog istraţivanja su varijabilne pojave zbog ĉega paţnju usmeravamo samo na one
karakteristike po kojima se jedinice skupa meĊu sobom razlikuju.
Jedinice koje se smatraju deo skupa u praksi obiĉno nisu jednostavne. One pre svega
zavise od cilja i domena istaţivanja. Zbog toga je potrebno da statistiĉki skup precizno
odredimo, definišemo:
sadrţinski,
prostorno i
vremenski.
Sadržinski odrediti neki statistiĉki skup zahteva jasno definisanje osobine koju mora da
poseduje svaka jedinica da bi bila predmet posmatranja. Tako, na primer, skup mogu da ĉine svi
studenti u drţavi, ali (u zavisnosti od cilja istraţivanja), i uţe grupe, kao što su svi studenti
privatnih univerziteta, svi sudenti Viših fakulteta, svi studenti prve godine Višeg fakulteta, itd.
Prostorno odrediti osnovni skup znaĉi precizirati teritoriju u okviru koje će se posmatrati
data varijabilna pojava. Posmatranja se najĉešće sprovode na administrativnim jedinicama kao
što su opštine, distrikti, republike ili drţave, a u nekim sluĉajevima ona obuhvata zajednice
drţava (npr. Evropska unija), pojedine kontinente, pa i svet u celini.
Vremenski odrediti skup znaĉi precizno odrediti jedan momenat ili vremenski interval u
kojem ćemo izmeriti nivo pojave. Snimanje pojave u trenutku ili u intervalu vremena zavisi od
njene prirode, ali je veoma bitno precizno ih odrediti. Momenat u kojem se snima neki statistiĉki
skup je, po pravilu, odreĊen potrebama istraţivanja ili je propisan od strane zvaniĉnog
statistiĉkog organa. S druge strane, u cilju praćenja proizvidnje, i izvoza ili potrošnje moramo
odrediti vremensko razdoblje, unutar koga ćemo vršiti kumuliranje podataka i tako odrediti
vremenske pojave. Tako ćemo, u zavisnosti od potreba istraţivanja, formirati dnevne, meseĉne,
kvartalne i godišnje podatke.
44
5.3. Statističko obeležje
Jedinice osnovnog skupa se mogu meĊu sobom razlikovati po brojevima karakteristikama,
koje nas u konkretnom istraţivanju mogu, ali ne moraju, sve interesovati. U zavisnosti od cilja
istraţivanja, paţnju po pravilu usmeravamo na jednu, dve ili veći broj ovakvih osobina. Takve
karakteristike nazivamo statističkim obeležjima.
Osobine po kojima se jedinice skupa meĊu sobom razlikuju, a koje su predmet statistiĉkog
istraţivanja, nazivamo obeležjima (promenljivim ili varijabilnim).
Sva obeleţja u statistici moţemo klasifikovati u dve osnovne grupe:
atributivna (kvalitativna, kategorijska) i
numeriĉka (kvantitativna).
Atributivna obeležja se izraţavaju opisno (reĉima), a varijabilitet se ispoljava kroz
pripadnost elemenata razliĉitim kategorijama datog obeleţja. Na primer, u statistiĉkom skupu
svih zaposlenih u JP „Putevi Srbije“, atributivna obeleţja mogu biti: pol, školska sprema, boja
kose ili oĉiju, itd. Statistika svih prodatih „TAG“ ureĊaja za prolazak na naplatnim stanicama
bez zaustavljanja u 2016. godini itd.
Razliĉiti vidovi u kojima se jedno obeleţje moţe javiti nazivaju se modalitetima ili
vrednostima tog obeleţja. Broj modaliteta varira od prirode obeleţja. Na primer, pol ima samo
dva modaliteta: muški i ţenski, kao i kvalitet proizvoda: isparavan i neispravan. Obeleţje
braĉnog stanja ima ĉetiri modaliteta: neoţenjen – neudata, oţenjen – udata, razveden –
razvedena, udovac – udovica. Sa druge strane obeleţja kao što su zanimanja, nacionalnost i šifra
obavljanja delatnosti firme mogu imati veoma veliki broj razliĉitih pojava oblika.
Numerička obeležja su takve karakteristike skupa koje se mogu iskazati brojevima.
Izdvajaju se dve karakteristiĉne grupe:
prekidna (ili diskretna) numeriĉka obeleţja, i
neprekidna (ili kontinuirana) numeriĉka obeleţja.
Suštinska razlika izmeĊu ove dve grupe je u tome što prekidna obeleţja svoje vrednosti
(modalititete) dobijaju na osnovu prebrojavanja, a neprekidna na osnovu merenja. Prekidna se
usled toga iskazuju celim brojevima, a neprekidna u mernim jedinicama.
Prekidna obeležja su numeriĉke karakteristike koje mogu uzmati samo izolovane
vrednosti na nekoj skali. Na osnovu toga se domaćinstva izmeĊu sebe razlikuju po broju dece ili
broju telefona, opštine se razlikuju prema broju stanovnika, kulturnih znamenja ili drugih stvari,
fakulteti po broju studenata, studijskih programa itd. S obzirom na to da navedena obeleţja imaju
razliĉite opsege i broj mogućih vrednosti, zajedniĉko im je ipak da njihovi modaliteti mogu biti
samo celi brojevi.
Neprekidna obeležja predstavljaju numeriĉke karakteristike jedinica skupa koje mogu
uzeti bilo koju vrednost unutar nekog intervala. Ovoj grupi pripadaju, na primer, visina
studenata, teţina prizvoda, vreme dostavljanja pošiljke itd. S obzirom na to da svako merenje
moţemo preciznije izmeriti drugim i trećim merenjem. Moţe se zakljuĉiti da svako neprekidno
numeriĉko obeleţje teorijski moţe imati beskonaĉno mnogo modaliteta.
Iz dosada napisanog, obeleţje predstavlja ono po ĉemu se jedinice skupa razlikuju, a ne
ono po ĉemu su sliĉne. Slika 2.4. prikazuje šemu pojma obeleţja.
45
Sl. 2.4. Кlasifikacija obeleţja (varijabli) u statistici
5.4. Statistički uzorak, reprezentativni uzorak i parametri skupa
U prethodnim odeljcima pomenuto je da statistika ispituje varijabilne pojave na osnovu
svih podataka statistiĉkog skupa (metod popisa) ili na osnovu dela toga skupa – uzorka.
Statistički uzorak predstavlja deo statistiĉkog skupa na osnovu ĉijih osobina donosimo
statistiĉke zakljuĉke o odgovarajućim karakterima populacije iz koje je izabran.
Vaţno je meĊutim napomenuti da uzorak nikada ne uzimamo da bismo saznali njegove
karakteristike, već iskljuĉivo da bismo, uopštavanjem dobijenih informacija iz uzoraka, došli do
informacije o nepoznatim karakterima skupa u celini. Da bi zakljuĉci o karakteristikama celog
statistiĉkog skupa na osnovu samo jednog njegovog dela bili validni, neophodno je da uzorak
bude reprezentativan.
Uzorak je reprezentativan ako svojim osobinama verno oslikava osobine statistiĉkog
skupa iz kojeg je izabran. Uzorak, sam po sebi, nije cilj, već samo sredstvo da se doĊe do ţeljene
informacije o skupu. Uzorak sa sobom nosi bitnu informaciju numeriĉkog karaktera. Takve
informacije sveobuhvatno nose naziv parametri skupa.
Parametri skupa predstavljaju sumirane karakteristike statistiĉkog skupa. Na osnovu gore
navedenog vidimo da je parametar neki broj koji se odnosi na skup. Prema svojoj statistiĉkoj
prirodi parametar je neka konstanta, a ne promenljiva. Jedini naĉin da se neki parametar izraĉuna
je putem popisa.
Reprezentativni uzorak predstavlja, kao što je reĉeno, deo osnovnog skupa prema kojem
se moţe odrediti struktura osnovnog skupa, meĊutim u praksi gotovo nikada nema savršenog
reprezentativnog uzorka, pa se na osnovu toga moţe zakljuĉiti da će njegove vrednosti uvek
pokazati menje ili veće oscilacije, odnosno, fluktacije naspram ĉitavog skupa.
Cilj statistiĉkog zakljuĉivanja je da na osnovu statistike uzoraka doĊemo do informacije o
parametru skupa. Ovaj postupak prikazan je na slici 2.5.
46
Sl. 2.5. Postupak statistiĉkog zakljuĉivanja
5.5. Prosta korelaciona i regresiona analiza
U prethodnim poglavljima upoznali smo se sa metodama statistiĉkog zakljuĉivanja,
odnosno kako se na osnovu informacije iz uzorka donose zakljuĉci (putem ocenjivanja ili
testiranja hipoteza) o nepoznatim karakteristikama osnovnog skupa. Sada ćemo naše
interesovanje usmeriti na istraživanje međusobnih veza i uticaja dve ili više pojava. Tako, na
primer, moţe nas interesovati da ispitamo zavisnost izmeĊu vremena proveĊenog u spremanju
statistike i ocene na ispitu, dohotka i izdataka za kulturu domaćinstava, izmeĊu zarada
zaposlenih i godina školovanja, kamatne stope i ponude novca, izdataka za propagandu i prodaje,
troškova za istraţivanje i profita firme, broja kriminalnih dela sa jedne strane i stope
nezaposlenosti i stope inflacije sa druge strane, itd. U svakom od navedenih sluĉajeva analizu
sprovodimo pomoću dva, verovatno najpoznatija statistiĉka metoda, korelacije i regresije.
Kao i do sada, naše zakljuĉivanje zasnivaće se na uzorku. Ali sada ćemo na osnovu uzorka
ispitivati kako su varijacije jedne pojave (ili grupe od dve ili više pojava) povezane sa
varijacijama neke druge pojave. Cilj našeg istraţivanja neće se naravno odnositi na uzorak, već
na osnovni skup iz koga je uzorak izvuĉen.
U ekonomiji i društvenim naukama preovladavaju stohastiĉke veze izmeĊu pojava. Dok
kod funkcionalnih veza za svaku vrednost nezavisne promenljive X uvek postoji samo jedna
vrednost zavisne promenljive Y, kod stohastiĉkih veza za jednu vrednost X postoji ĉitav niz
mogućih vrednosti Y. Stohastiĉke veze u stvarnosti opisujemo pomoću stohastiĉkih modela. Ovi
modeli ukljuĉuju sluĉajnu grešku kojom obuhvatamo uticaje svih faktora koje nismo ukljuĉili u
model.
Prilikom ispitivanja meĊuzavisnosti varijacija dve ili više promenljivih u statistici se
primenjuju regresiona i korelaciona analiza. Ukoliko analiziramo samo dve pojave govorimo o
prostoj regresiji ili korelaciji. U sluĉaju analize više od dve pojave, jednu od njih oznaĉavamo
kao zavisno promenljivu i primenjujemo višestruku korelaciju ili regresiju.
Pomoću korelacije ispitujemo da li izmeĊu dve ili više pojava postoji kvantitativno
slaganje, i ako postoji, kog je intenziteta. Pirsonov koeficijent se oznaĉava sa r i pokazuje da
47
li izmeĊu dve numeriĉke promenljive u uzorku postoji linearna veza. Da bi se ispitalo da li i u
osnovnom skupu postoji linearna veza njegovu vrednost moramo da testiramo pomoću
Studentovog t testa. Pirsonov koeficijent spada u grupu parametarskih pokazatelja jer se zasniva
na pretpostavci da je zajedniĉki skup dve posmatrane promenljive normalan.
Dok kod korelacije nije bitno koju smo promenljivu oznaĉili kao zavisnu a koju kao
nezavisnu, kod regresione analize najpre mora da se izvrši identifikacija promenljivih. Cilj
regresije je da se kroz ocenu parametara regresionog modela izvrši ocenjivanje prosečne
vrednosti Y i predvide pojedinačne vrednosti Y. Zavisnost izmeĊu dve pojave u prostoj
linearnoj regresiji opisujemo kroz prost linearni regresioni model. Ukoliko su pretpostavke tog
modela ispunjene tada metod najmanjih kvadrata, po Gaus-Markovljevoj teoremi, daje
najbolje nepristrasne linearne ocene. Ideja metode najmanjih kvadrata kod proste linearne
regresije je da se doĊe do najbolje prave linije, odnosno one koja će najbolje reprezentovati vezu
izmeĊu dve pojave. To se postiţe minimiziranjem sume kvadrata reziduala.
Kod proste linearne regresije ocenjujemo dva parametra regresionog modela: odseĉak i
nagib. Ocenjena vrednost odseĉka pokazuje ocenu proseĉne vrednosti zavisne promenljive kada
je objašnjavajuća promenljiva X jednaka 0. U praksi je daleko vaţnija ocena nagiba. Ona
pokazuje ocenu proseĉne promene Y kada se X poveća za svoju jedinicu.
Da bismo sagledali da li regresioni model na zadovoljavajući naĉin opisuje zavisnost dve
pojave u realnosti koristimo dve mere reprezentativnosti. Prva je standardna greška regresije i
ona je apsolutna mera, odnosno iskazana je u istim mernim jedinicama kao i Y. Druga mera se
mnogo ĉešće koristi i naziva koeficijentom determinacije. Ovaj koeficijent pokazuje udeo
objašnjenog varijabiliteta u ukupnom. Dok koeficijent korelacije moţe uzimati vrednosti u
intervalu [−1, +1], koeficijent determinacije nikad ne moţe biti negativan. Njegova maksimalna
vrednost je +1 i javlja se samo u sluĉaju da izmeĊu dve pojave postoji funkcionalna veza, pa se
sve empirijske taĉke nalaze na pravoj liniji.
Prilikom korišćenja regresionog modela u cilju predviĊanja mora se voditi raĉuna da je (a)
koeficijent determinacije relativno visok, (b) da je ocena nagiba statistiĉki znaĉajna i (d) da nema
prekomerne ekstrapolacije.
Ekstrapolacija se javlja ako prilikom predviĊanja Y uzimamo one vrednosti objašnjavajuće
promenljive X koje su ili manje od minimalne ili veće od maksimalne u uzorku.
5.6. Funkcionalna i stohastička veza
MeĊusobne veze izmeĊu pojava (promenljivih) moţemo podeliti u dve grupe:
funkcionalne i
stohastiĉke.
Funkcionalna (deterministička, egzaktna) veza javlja u sluĉaju kada jednoj vrednosti
nezavisne promenljive X odgovara samo jedna, taĉno odreĊena, vrednost zavisne promenljive Y.
Tako, na primer, površina kvadrata izraĉunava se pomoću formule P = a2. Za bilo koju ţeljenu
vrednost stranice kvadrata a, moţemo egzaktno izraĉunati površinu P, jednostavnom zamenom
numeriĉke vrednosti na desnoj strani jednakosti. Funkcionalne (deterministiĉke) veze se retko
sreću u društvenim naukama i ekonomiji.
Posmatrajmo sada meĊuzavisnost dve ekonomske pojave, recimo, izdatke za propagandu
(oglašavanje) raĉunarske opreme (kao nezavisne promenljive) i prihod od prodaje te opreme
(kao zavisne promenljive). Prvo pitanje koje se ovde postavlja je: da li postoji funkcionalna veza
izmeĊu ove dve pojave? Drugaĉije reĉeno, da li na osnovu poznavanja izdataka za propagandu
moţemo egzaktno da predvidimo nivo prihoda od prodaje, na primer, u vidu relacije:
48
Prihod od prodaje = 5 · Troškovi reklamiranja (1.11)
koja bi vaţila za sve firme u Srbiji? To bi praktiĉno znaĉilo da ako neka firma uloţi 1000
evra u reklamiranje, prihod od prodaje bi iznosio taĉno 5000 evra. Sloţićemo se da je odgovor
negativan i to iz više razloga.
Prodaja raĉunarske opreme ne zavisi samo od propagande, već i od niza drugih faktora,
kao što su:
cena opreme,
cena konkurentskih proizvoda,
dohotka potencijalnih kupaca itd.
Ĉak i kad bismo u model ukljuĉili veliki broj faktora od kojih zavisi prodaja, ne bi bilo
moguće predvideti egzaktnu vrednost prodaje. Zbog ĉega? Zbog toga što na pojave u društvu i
ekonomiji deluju specifiĉni nepredvidljivi uticaji psihološke prirode, kao i razliĉiti sluĉajni
uticaji. Zato nismo u stanju da na osnovu poznavanja pojedinih vrednosti nezavisne promenljive
u potpunosti odredimo vrednosti zavisne promenljive. Ipak, oĉekujemo da postoji odreĊena
pozitivna veza izmeĊu propagande i prodaje, u smislu: veći izdaci za propagandu − veća prodaja.
Ovakva veza je slabija od funkcionalne i naziva se stohastička1 (eng. stochastical) veza.
1Termin "stohastiĉki" potiĉe od starogrĉke reĉi στοχαστικός, što znaĉi ciljati ili pogaĊati.
Kod stohastiĉkih veza jednoj vrednosti nezavisne promenljive odgovara ĉitav niz mogućih
vrednosti zavisne promenljive. U našoj formuli, odnosno modelu, (11.1), kod razliĉitih firmi, za
isti nivo izdataka za propagandu oĉekivali bismo razliĉiti nivo prodaje. Drugim reĉima, takav
model ne samo da je suviše jednostavan, nego bi u praksi pokazivao manje ili veće greške. Kako
onda da modeliramo veze izmeĊu pojava u ekonomiji, koje su po svojoj prirodi stohastiĉke?
Stohastiĉke veze izmeĊu dve pojave modeliraćemo tako što ćemo u model, pored zavisne i
nezavisne promenljive, ukljuĉiti još jednu komponentu, koja će obuhvatiti sve ostale faktore
(osim X) koji utiĉu na Y. Bez ukljuĉivanja te komponente jasno je da bi naš model (11.1) za
razliĉite vrednosti X davao pogrešne vrednosti Y. Ta komponenta deluje na nepredvidljiv,
sluĉajan naĉin na Y. Kako da nazovemo tu komponentu koja na sasvim sluĉajan naĉin dovodi do
greške pri predviĊanju u model (11.1)? Nazvaćemo je stohastiĉki ĉlan ili sluĉajna greška modela,
i već smo imali prilike da je upoznamo kod modela analize varijanse. Dakle, umesto relacije
(11.1) meĊuzavisnost posmatrane dve pojave se neuporedivo bolje opisuje modelom
Prihod od prodaje = 5 · Izdaci za propagandu + Sluĉajna greška (11.2)
Ovakav model dozvoljava da za razne vrednosti X imamo više razliĉitih vrednosti Y.
Generalno, stohastiĉki model (generalna forma stohastiĉkog modela), odnosno veza, moţe
se prikazati na sledeći naĉin:
Y = Deterministiĉki ĉlan + stohastiĉki ĉlan (11.3)
Posmatranjem modela (11.3) nameće se logiĉno pitanje: kako je uopšte moguće analizirati
takav model, ako on ukljuĉuje potpuno nepredvidljivu komponentu, preciznije reĉeno, sluĉajnu
promenljivu? Statistiĉari su pokazali da se takvi modeli ipak mogu koristiti tako što će se uvesti
odreĊene pretpostavke o stohastiĉkom ĉlanu modela. Za sada ukaţimo samo na jednu od njih.
Budući da stohastiĉki ĉlan u razliĉitim situacijama deluje na sluĉajan naĉin, nekada tako što utiĉe
pozitivno na Y, nekada negativno, pretpostavićemo da se ti uticaji u zbiru potiru, odnosno da je u
proseku njegov uticaj jednak nuli.
Kako je stohastiĉki ĉlan, u stvari, sluĉajna promenljiva, koji statistiĉki pokazatelj oznaĉava
prosek te sluĉajne promenljive? Podsetimo se, to je, oĉekivana vrednost E(X). Dakle,
E(stohastiĉkog ĉlana) = 0.
49
Ako je u modelu (11.3) zavisna promenljiva Y funkcija stohastiĉkog ĉlana, a ovaj je po
svojoj prirodi sluĉajna promenljiva, koja je statistiĉka priroda Y? Iz glave 4 znamo da je svaka
funkcija sluĉajne promenljive i sama sluĉajna promenljiva. Zakljuĉujemo stoga da je i Y sluĉajna
promenljiva. Ostaje još samo da odredimo ĉemu je jednak prosek, tj. oĉekivana vrednost Y.
Prosek Y, na osnovu relacije (11.3), biće jednak proseku zbira deterministiĉkog i stohastiĉkog
ĉlana. Kako je prosek stohastiĉkog ĉlana jednak nuli, zakljuĉujemo da je:
Prosek Y = Deterministiĉki ĉlan.
Da sumiramo: u ekonomiji stohastiĉki model mnogo bolje opisuje realnost od
deterministiĉkog. On uvek u sebi ukljuĉuje bar jednu sluĉajnu promenljivu. Usled toga se u
literaturi u poslednje vreme reĉi "stohastiĉki" i "sluĉajni" shvataju kao sinonimi.
Veze kod kojih porastû (opadanju) vrednosti nezavisne promenljive X istovremeno
odgovara porast (opadanje) zavisne promenljive Y nazivamo direktnim vezama. Tipiĉan primer
je odnos izmeĊu primenjene koliĉine odreĊenog veštaĉkog Ċubriva i prinosa neke poljoprivredne
kulture. Sa druge strane, ako porastû jedne promenljive odgovara opadanje druge, radi se o
inverznim vezama (na primer, sa porastom cene avionskih karata opada broj putnika, uz
konstantni realni dohodak). Naravno, ukoliko se ustanovi da sa promenama vrednosti jedne
pojave druga promenljiva ostaje konstantna, zakljuĉićemo da izmeĊu njih ne postoji nikakva
zavisnost.
U stvarnosti, izmeĊu dve ili više pojava moguće je postojanje najrazliĉitijih oblika veza,
poĉev od onih koje se matematiĉki mogu iskazati jednostavnom formulom, pa do onih veoma
kompleksnih. Najjednostavniji oblik veze izmeĊu pojava je linearna veza i u ovoj knjizi
zadrţaćemo se samo na takvim vezama.
5.7. Razlika između regresione i korelacione analize
Prilikom istraţivanja meĊuzavisnosti varijacija dve ili više pojava u statistici se primenjuju
metode regresione i korelacione analize. Iako su ovi statistiĉke metode u bliskoj vezi i
meĊusobno se dopunjuju, izmeĊu njih postoje i znaĉajne razlike.
Kod korelacije, pri analizi dve pojave svejedno je koja se od njih oznaĉava kao nezavisna,
a koja kao zavisna promenljiva - dobija se identiĉan rezultat. MeĊutim, kao što ćemo videti u
sledećoj glavi, pri ispitivanju korelacione veze izmeĊu tri ili više pojava prethodno jedna od njih
se mora definisati kao zavisna promenljiva, dok ostale dobijaju ulogu nezavisnih promenljivih.
Cilj korelacione analize je da se ispita da li izmeĊu varijacija posmatranih pojava postoji
kvantitativno slaganje i, ako postoji, u kom stepenu.
Kod regresione analize nužno je unapred identifikovati koja pojava će imati ulogu
zavisne promenljive, a koja nezavisne promenljive. U statistici se kod regresije najĉešće ne
koristi termin "nezavisna promenljiva"3, već objašnjavajuća promenljiva ili regresor. Naziva se
objašnjavajuća jer pomoću nje pokušavamo da objasnimo varijacije zavisne promenljive. Koja
promenljiva će biti izabrana za objašnjavajuću utvrĊuje se na osnovu prethodnih teorijskih ili
empirijskih saznanja, ili pretpostavki o prirodi analiziranih pojava.
3Kod regresije se izbegava izraz “nezavisna promenljiva“ jer to implicira da je X uzrok, a Y
posledica. MeĊutim, regresionom analizom je nemoguće dokazati uzroĉnu vezu izmeĊu pojava.
Svrha regresije jeste da se utvrdi oblik veze, odnosno zavisnosti izmeĊu posmatranih
pojava. To se postiţe pomoću odgovarajućeg regresionog modela. Regresioni model je takav
stohastiĉki model koji kroz matematiĉku formulu i niz odgovarajućih pretpostavki najbolje
opisuje kvantitativnu zavisnost izmeĊu varijacija posmatranih pojava u realnosti. Regresioni
50
model nije sam po sebi cilj regresije, već sredstvo koje nam sluţi da ocenimo i predvidimo
vrednosti zavisne promenljive za ţeljene vrednosti objašnjavajuće promenljive.
Cilj regresione analize je da se odredi onaj regresioni model koji najbolje opisuje vezu
izmeĊu pojava i da se na osnovu toga modela ocene i predvide vrednosti zavisne promenljive Y
za odabrane vrednosti objašnjavajuće promenljive X.
Na osnovu navedenog jasno je da regresiona analiza ima daleko veći znaĉaj u praktiĉnim
istraţivanjima od korelacije.
Vaţno je napomenuti da pomoću regresije i korelacije nismo u stanju da otkrijemo da li
između pojava postoji uzročno-posledična veza, u smislu da je jedna pojava uzrok, a druga
posledica. To se moţe utvrditi drugim metodima kvantitativne ili pomoću kvalitativne analize.
Prilikom istraţivanja meĊusobnih veza dve promenljive primenjuju se metodi proste (eng.
simple) regresione i korelacione analize, a u sluĉaju posmatranja više promenljivih, metodi
višestruke (eng. multiple) regresije i korelacije. Reĉ "prosta" znaĉi samo to da su u pitanju dve
pojave, a nikako da je analiza jednostavna. U ovoj knjizi zadrţaćemo se samo na prostoj
korelaciji i regresiji.
5.8. Dijagram raspršenosti
Dijagram raspršenosti (engl. scatter diagram) je dijagram kojim se prikazuje veza izmeĊu
dve kvantitativne promenljive. Bitno je shvatiti da se vrednosti ovih promenljivih dobijaju na
osnovu merenja na istim jedinicama posmatranja (na primer istim studentima, istim firmama
itd.). Na osnovu merenja dolazi se do ureĊenih parova podataka (x1,y1), (x2, y2), ... itd.
Pretpostavimo da nas interesuje da li izmeĊu visine i teţine studenata Vašeg univerziteta
postoji kvantitativno slaganje. Kod svakog studenta morali bismo da izmerimo visinu i teţinu i
na taj naĉin formirali bismo ureĊenu listu parova podataka. Svaki od tih parova sastojao bi se od
dva broja – jednog koji bi oznaĉavao teţinu odreĊenog studenta i drugi koji bi se odnosio na
njegovu visinu, na primer, (75 kg ; 185 cm). Osnovni skup u ovom sluĉaju ĉine svi parovi
vrednosti (xi, yi), pa kaţemo da on sadrţi sve realizovane vrednosti dvodimenzionalne
promenljive. Dijagram raspršenosti nema smisla koristiti ako nemamo ureĊene parove podataka,
na primer nema smisla grafiĉki prikazivati podatke za visinu 10 studenata u Kragujevcu i teţinu
10 studenata u Subotici. Ovo ujedno vaţi i za regresionu i korelacionu analizu.
Dijagram raspršenosti se konstruiše u pravouglom koordinatnom sistemu. Pri tome se na
apscisnu osu nanose jedinice pojave koju smo oznaĉili nezavisnom (u regresionoj analizi
objašnjavajućom) promenljivom X, a na ordinatnu osu jedinice zavisne promenljive Y.
Ucrtavanjem svih empirijskih parova podataka moţe se dobiti vaţna slika o eventualnom
postojanju, obliku, smeru i jaĉini veze izmeĊu posmatranih pojava.
Primer 11.1: Uzmimo podatke Tabele 11.1, koja pokazuje izdatke za propagandu (u
milionima dinara) i prihod od prodaje (u 100 miliona dinara), deset, na sluĉaj odabranih
raĉunarskih firmi u Srbiji.
Tabela 11.1 Izdaci za propagandu i prihod od prodaje 10 raĉunarskih firmi, na osnovu
sluĉajnog uzorka
Koju promenljivu oznaĉiti kao X, a koju kao Y? Odgovor zavisi od toga da li sprovodimo
korelacionu ili regresionu analizu. Ako istraţujemo vezu izmeĊu posmatrane dve pojave,
51
potpuno je svejedno da li ćemo na X osu nanositi vrednosti prve ili druge promenljive. MeĊutim,
ako ţelimo da ispitamo da li se na osnovu ulaganja u propagandu mogu objasniti varijacije
prodaje, kao objašnjavajuću promenljivu odabraćemo izdatke za propagandu. Budući da ćemo
podatke Tabele 11.1 koristiti i u regresionoj analizi, izdatke za propagandu ćemo oznaĉiti kao X,
a prodaju kao Y. Podatke uzorka prikazaćemo grafiĉki pomoću dijagrama raspršenosti na Slici
11.1.
Slika 11.1 Dijagram raspršenosti za podatke из Tabele 11.1
Dijagram raspršenosti na Slici 11.1 pokazuje da izmeĊu varijacija posmatranih pojava
postoji kvantitativno slaganje. Naime, sa porastom ulaganja u propagandu raste i prihod od
prodaje. Dakle, vidimo da se radi o direktnoj vezi izmeĊu pojava. TakoĊe, raspored taĉaka se
pribliţno grupiše u vidu prave linije, što nam govori da je u pitanju linearna veza. MeĊutim, sve
taĉke se ne nalaze na samoj pravoj liniji, jer bi se onda radilo o funkcionalnom slaganju, što je
izuzetno redak sluĉaj u ekonomiji. U pitanju je, dakle, stohastiĉka veza, kod koje individualni
sluĉajevi pokazuju odstupanja od opšte pravilnosti. Ukoliko su taĉke više raspršene u odnosu na
pravu liniju, utoliko je i slabija meĊuzavisnost dve pojave, i obrnuto. U sluĉaju kada je raspored
taĉaka sasvim raspršen zakljuĉuje se da ne postoji nikakvo kvantitativno slaganje varijacija dve
pojave.
Na Slici 11.2 prikazane su razliĉite mogućnosti povezanosti varijacija dve pojave na
odgovarajućim dijagramima raspršenosti.
Od navedenih grafiĉkih prikaza obratimo paţnju na onaj pod i) zbog njegove posebne
vaţnosti u daljem izlaganju. Iako na prvi pogled izgleda da postoji pravolinijska funkcionalna
veza izmeĊu pojava, to nije taĉno, jer za bilo koje vrednosti promenljive X promenljiva Y ostaje
konstantna. TakoĊe, upozorimo na jednu specifiĉnost dijagrama raspršenosti na Slici 11.1 u
odnosu na dijagrame sa Slike 11.2. Naime, ranije smo naveli da kod stohastiĉke veze za svaku
vrednost X postoji ĉitav niz vrednosti Y, a to se ne moţe uoĉiti na Slici 11.1 (izuzev što za
vrednosti X = 3 i X = 5 imamo po dve vrednosti Y). Razlog je u tome što u našem primeru
raspolaţemo sa relativno malim uzorkom od samo 10 firmi.
52
Slika 11.2. Primeri razliĉitih oblika veza na dijagramima raspršenosti
Na osnovu svega navedenog moţemo zakljuĉiti da dijagramom raspršenosti grafiĉki
prikazujemo varijacije dve pojave u cilju sagledavanja:
1) da li izmeĊu njih postoji kvantitativno slaganje,
2) ako slaganje postoji, koji je njegov oblik (linearni ili krivolinijski),
3) koji je smer slaganja (direktni ili inverzni), i
4) koja je jaĉina slaganja.
Bez dijagrama raspršenosti ĉesto se u praksi mogu dobiti potpuno nevalidni zakljuĉci;
stoga preporuĉujemo da se obavezno, pre bilo kakve kvantitativne analize, podaci prikaţu na
ovom dijagramu.
53
6. TEORIJA VEROVATNOĆE
Teorija verovatnoće prouĉava zakonitosti koje vaţe za sluĉajne pojave i sluĉajne
eksperimente, tj. pojave ĉiji se tok ne moţe sa sigurnošću predvideti, odnosno eksperimente ĉiji
se rezultati ne mogu sa sigurnošcu predvideti. Razlika izmeĊu pojave i eksperimenta je ta što
pojavu samo pratimo dok eksperiment izvodimo.
Primeri sluĉajnih pojava su:
kretanje temperature vazduha u nekom mestu tokom vremena,
pojava neispravnih proizvoda u procesu proizvodnje,
promena sastava prirodnih sirovina itd.
Primeri sluĉajnih eksperimenata su:
bacanje kocke ili novĉića,
eksperimenti koje izvodimo u laboratorijama radi prouĉavanja nekih sluĉajnih pojava
u hemijsko-tehnološkim procesima.
Pod sluĉajnim eksperimentom ili opitom u teoriji verovatnoće podrazumeva se
eksperiment koji se moţe neograniĉen broj puta obaviti pod istim uslovima, ali ĉiji ishod se ne
može sa sigurnošću predvideti. Rezultate (ishode) takvog eksperimenta zvaćemo slučajnim
dogaĊajima. Uzmimo popularan primer sluĉajnog eksperimenta: bacanje kocke sa brojevima 1 –
6. Neki sluĉajni dogaĊaji koji mogu nastupiti u tom sluĉajnom eksperimentu su recimo:
dobijanje parnog broja,
pojavljivanje broja manjeg od 5,
dobijanje šestice.
Prva dva dogaĊaja u datom primeru se mogu ostvariti na više naĉina. Tako se prvi
realizuje ako je rezultat bacanja 2, 4 ili 6, dok se drugi realizuje ako je rezultat 1, 2, 3 ili 4.
Dakle, prvom dogaĊaju odgovara skup {2, 4, 6}, dok drugom moţemo da dodelimo skup {1, 2,
3, 4}. Za razliku od prva dva dogaĊaja, treći se moţe ostvariti samo na jedan naĉin i zato ga
zovemo elementaran dogaĊaj i odgovara mu jednočlani skup {6}. Prva dva dogaĊaja moţemo
zvati sloţenim. Složenom dogaĊaju odgovaraju višečlani skupovi 2 ĉiji su elementi pojedini
elementarni događaji, ĉije nastupanje povlaĉi ili ukljuĉuje ostvarivanje datog sloţenog
dogaĊaja.
Uopšte, ako neki dogaĊaj (elementaran ili sloţen) povlaĉi realizaciju nekog drugog
dogaĊaja, znaĉi da je skup elementarnih ishoda, koji odgovara prvom događaju, podskup
skupa elementarnih ishoda za drugi događaj. Na primer, dogaĊaj da se bacanjem kocke dobije
1 ili 3, kome odgovara skup {1, 3}, povlaĉi ostvarivanje dogaĊaja da se bacanjem kocke dobija
neparan rezultat, kome odgovara skup {1, 3, 5}. Veza izmeĊu skupova je: {1, 3} {1, 3, 5}.
6.1. Klasična definicija verovatnoće
Skup svih mogućih elementarnih dogaĊaja za neki eksperiment zvaćemo prostor
elementarnih dogaĊaja.
Klasiĉna definicija verovatnoće je primenljiva na sluĉajne eksperimente kod kojih je prostor
elementarnih događaja konačan, tj. sadrţi n elementarnih dogaĊaja i pri tome svaki od njih
ima jednaku mogućnost da nastupi. Tipiĉni primeri su bacanje kocke ili novĉića bez ikakvih
“trikova” sa ciljem dobijanja ţeljenog rezultata.
54
Zamislimo dakle neki eksperiment kod koga je podjednako moguće nastupanje bilo kog od
ukupno n elementarnih dogaĊaja. Verovatnoća nastupanja nekog dogaĊaja A jednaka je
koliĉniku broja povoljnih ishoda m, tj. broja elementarnih dogaĊaja koji povlaĉe ostvarenje
dogaĊaja A, i broja svih mogućih ishoda n .
Primer 1a. Kolika je verovatnoća dobijanja parnog broja pri bacanju kocke?
Rešenje: Elementarni dogaĊaji koji povlaĉe nastupanje posmatranog sloţenog dogaĊaja A
su dobijanje 2, 4 ili 6 ima ih 3, m = 3.Ukupan broj svih elementarnih dogaĊaja ovde je 6, n = 6.
Prema formuli:
Primer 1b. Sluĉajni eksperiment se sastoji u izvlaĉenju jedne od kuglica iz kese koja
sadrţi 64 kuglice, od toga:
8 crvenih
15 belih
24 crne
17 narandţastih
Kolika je verovatnoća dogaĊaja A - izvlaĉenje crvene kuglice?
Rešenje: Broj povoljnih dogaĊaja, izvlaĉenja bilo koje crvene kuglice, jednak je broju
crvenih kuglica m = 8. Ukupan broj mogućih ishoda je 64:
Vidimo da dogaĊajima koji se ĉešće javljaju kao ishod eksperimenta pripada i veća
verovatnoća. Tako, verovatnoću nekog dogaĊaja moţemo da posmatramo kao meru mogućnosti
da taj dogaĊaj nastupi. Iz samog znaĉenja bojeva m i n sledi da je m _ n , što kao posledicu ima:
0 ≤ P(A) ≤1
Ako je neki dogaĊaj nemoguć, odgovara mu prazan skup elementarnih dogaĊaja tj.
imamo m = 0 i njegova verovatnoća – mogućnost da nastupi, jednaka je nuli: P(Ф) = 0, gde smo
sa Ф oznaĉili nemoguć dogaĊaj.
Naprotiv, ako svaki od n mogućih ishoda povlaĉi ostvarenje nekog dogaĊaja, kaţemo da je
on siguran dogaĊaj, E i pošto je m = n, njegova verovatnoća je jednaka jedinici: P(E) = 1.
Da bi se raĉunala verovatnoća po klasiĉnoj definiciji (1.1), u sloţenijim sluĉajevima,
neophodno je poznavanje kombinatorike.
6.2. Statistička definicija verovatnoće
Kod mnogih sluĉajnih pojava ili eksperimenata nije moguće unapred – apriori, pomoću
klasiĉne definicije (1.1) odrediti verovatnoću nekog dogaĊaja. Na primer, u nekom tehnološkom
procesu ne moţe se teorijski, tj. unapred odrediti verovatnoća pojave škarta.
Posmatrajmo sada poznati eksperiment bacanja kocke. Formula (1.1) za verovatnoću
dogaĊaja A da se pri bacanju kocke pojavi, recimo, broj 6 daje:
55
To znaĉi, da ako bacamo kocku n puta, moţemo da oĉekujemo da ćemo šesticu dobiti
pribliţno m = n/6 puta. Na primer, u n = 600 bacanja oĉekujemo da ĉemo šesticu dobiti oko 100
puta.
Broj ostvarivanja nekog dogaĊaja m u n ponovljenih eksperimenata zvaćemo
(apsolutna) uĉestalost ili frekvenca dogaĊaja. U posmatranom primeru, u n ponovljenih
eksperimenata, oĉekivana frekvenca dobijanja šestice jednaka je n/6. Isto tako, ako zamislimo da
smo nekako došli do verovatnoće pojave neispravnog proizvoda p, u nekoj serijskoj proizvodnji,
recimo p = 0.1, tada u uzorku od 100 komada moţemo oĉekivati 10 neispravnih, ali stvarno taj
broj moţe biti 8, 9, 10, 12 itd., dakle neki broj “oko” broja 10. Dakle, oĉekivana uĉestalost
pojave škarta u uzorku od 100 komada je m = 10.
Koliĉnik uĉestalosti m i broja ponavljanja eksperimenta, n naziva se relativna
uĉestalost (frekvenca) dogaĊaja A:
Moţemo oĉekivati da ce relativna uĉestalost dobijanja šestice pri bacanju kocke biti
pribliţno 1/6, odnosno _(A) _ P(A). Naravno, u nekih n bacanja kocke _ će imati jednu vrednost,
a u n narednih bacanja neku drugu vrednost. Ono što iskustvo pokazuje je da ako je n dovoljno
veliko, relativne uĉestalosti nekog dogaĊaja u razliĉitim serijama od po n izvoĊenja
eksperimenata malo se razlikuju meĊu sobom. Šta više, kada n raste, frekvence ostvarene u
pojedinim serijama se sve manje meĊu sobom razlikuju. Tako, ako bi kocku bacali 600, 6000,
60000 i 120000 puta, mogli bi dobiti sledeće uĉestalosti pojavljivanja šestice:
105, 983, 10150, 20215
odnosno relativne uĉestalosti:
0.175, 0.164, 0.170, 0.168
Primećujemo da se relativna uĉestalost pribliţava “teorijskoj” verovatnoći posmatranog
dogaĊaja (1/6 _0.168) kada se n uvećava.
Svojstvo relativnih frekvenci sluĉajnog dogaĊaja da se grupišu oko nekog broja kada
se broj ponavljanja sluĉajnih eksperimenata neograniĉeno povećava, u skladu je sa tzv.
zakonom velikih brojeva, i omogućuje da se verovatnoća sluĉajnog dogaĊaja definiše preko
relativnih frekvenci, budući da je broj oko koga se relativne frekvence grupišu upravo jednak
verovatnoći:
(n veliko)
Daćemo, bez dokaza, Bernulijev (Bernulli) zakon velikih brojeva, na kome se zasniva
formula (1.7) za odreĊivanje verovatnoće dogaĊaja nakon realizacije eksperimenata
(aposteriori). Kada n ∞,relativna uĉestalost dogaĊaja A, (A) = m/ n teži po verovatnoći
stvarnoj verovatnoći dogaĊaja:
=1
za proizvoljno mali broj . U kraćoj notaciji:
56
Znaĉi da ce za dovoljno veliko n, relativna uĉestalost (gotovo) sigurno biti, dobra
aproksimacija stvarne verovatnoće dogaĊaja P(A).
Primer 1.10 U duţem vremenskom intervalu utvrĊeno je da mašina za automatsko
pakovanje hrane daje 2% paketa ispod propisane teţine. Kontrolor je uzeo sluĉajan uzorak od 50
paketa. Odrediti oĉekivani broj neispravnih paketa.
Rešenje: Podatak 0.02 (2%) predstavlja relativnu frekvencu pojave defektnog paketa (A) I
u skladu sa (1.7) usvojićemo ga kao procenu verovatnoće pojave defektnog paketa:
Oĉekivani broj defektnih paketa u n = 50 komada biće jednak apsolutnoj frekvenci:
57
7. RAČUNARSKO MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA
Računarski modeli predstavljaju prikaz matematiĉkih modela u obliku raĉunarskih
programa korišćenjem programskih jezika i usko su vezani za razvoj raĉunarske nauke.
Raĉunarsko modelovanje i simulacija procesa imaju znaĉajnu ulogu u nastavi prirodnih i
tehniĉkih predmeta, jer pomaţu studentima da lakše shvate bitne karakteristike nekog realnog
sistema ili princip rada mašina i ureĊaja. Znanja studenata se produbljuju i proširuju korišćenjem
raĉunarskog modelovanja i simulacije procesa, kao što su animacije, apleti i sopstveni
simulacioni programi uraĊeni u pogodnim programima, kao što su: Matlab, Electronics
Workbench, Power World Simulator itd.
Prilikom izrade (formiranja) raĉunarskog modela treba se pridrţavati sledećih preporuka:
granice modela treba odabrati tako da on obuhvata samo pojave od interesa,
model ne sme biti suviše sloţen ni detaljan,
model ne sme biti suviše pojednostavljen,
model se moţe rastaviti na više modula radi lakše izrade i provere,
za razvoj algoritama i programa treba koristiti neku od proverenih metoda,
treba proveriti logiĉku i kvantitativnu ispravnost i modela i modula.
Analiza i projektovanje realnih sistema ne mogu se zamisliti bez simulacije ponašanja tih
realnih sistema na raĉunaru. Simulacijom ponašanja realnog sistema na raĉunaru mogu se
istraţivati ne samo prelazne pojave nego i uticaji pojedinih parametara elemenata na te pojave.
Na taj naĉin moguće je odabrati element s takvim karakteristikama koje, zajedno s
karakteristikama ostalih elemenata realnog sistema, daju optimalno ponašanje ĉitavog realnog
sistema.
Povezivanjem modela sa realnim sistemom omogućeno je istraţivanje i podešavanje tih
sistema u uslovima rada, koji su veoma bliski realnim. TakoĊe, mogu se simulirati i istraţivati
ponašanja realnih sistema u raznim normalnim i nenormalnim reţimima koja mogu nastati u
pogonu. Takav naĉin eksperimentisanja je u pravilu jednostavniji, brţi i jeftiniji nego
eksperimentisanje na realnom sistemu.
Metoda simulacije omogućava uz upotrebu savremenih raĉunara, teorijsko simuliranje
(oponašanje) realnih sistema (stvarnih pojava i procesa) kako bi se izmeĊu velikog broja
mogućih rešenja pronašlo ono najpovoljnije. Problem simulacije je u verodostojnosti geneze
simulacijskog fenomena.
Simulacijom se uspostavlja veza izmeĊu modela i raĉunara. Verifikacijom programa se
provera da li program verno prenosi model na raĉunar i na taĉnost kojom raĉunar vrši instrukcije.
Simulacije ponašanja realnih sistema na raĉunaru omogućavaju "eksperimentisanje" na
raĉunaru umesto na realnom sistemu što je posebno vaţno u fazi projektovanja realnih sistema.
Simulacija predstavlja izvršenje modela i formiranje odreĊenih rezultata. Prednosti
simulacija su u tome što je to ekonomiĉniji naĉin dobijanja odgovora na postavljeno pitanje u
odnosu na sprovoĊenje eksperimenata. Eksperimenti predstavljaju skup ali dragocen izvor
informacija i rezultata, naroĉito kada se rade u realnim uslovima. Na osnovu rezultata simulacija
mogu se formirati analize tipa “Šta ako”. Samo svojstvo simulacija da omogućavaju menjanje
ulaznih i izlaznih podataka modela, omogućava boljem razumevanju kako funkcioniše modela, a
time i realni sistem koga model predstavlja (zamenjuje).
58
Modelovanje i simulacije predstavljaju sloţenu aktivnost koja sadrţi tri elementa:
1) Realni sistem, je ureĊen skup elemenata koji formiraju jednu celinu i deluju zajedniĉki
kako bi ostvarili zadati cilj. Realni sistem predstavlja izvor podataka za izradu modela.
2) Model, je na pojednostavljen (apstraktan) naĉin prikazan neki realni sistem, koji
prikazuje strukturu, komponente i njihovo uzajamno delovanje u realnom sistemu.
Raĉunarski model predstavlja program koji opisuje ponašanje simuliranog realnog
sistema. Model ima svoje elemente koji su opisani atributima i promenljivima.
3) Raĉunar, je ureĊaj na kome se izvršava program modela i koji daje odreĊene rezultate
tokom vremena na osnovu ulaznih podataka.
Raĉunarsko modelovanje i simulacija procesa se koristi kod:
pravljenje prototipova,
predstavljanje odreĊenih procesa u edukativne svrhe,
predstavljanje novih uslova i sredina,
distribucija vode, struje, gasa,
sluţbi za hitne intervencije,
raĉunarskih sistema,
saobraćajnih sistema (raskrsnica, luka itd.),
proizvodnih pogona,
banki, pošta, samoposluga itd.
7.1. Primena softverskog paketa MATLAB u računarskom modelovanju i
simulaciji procesa
Programski paket MATLAB je namenjen za rešavanje razliĉitih problema iz linearne i
vektorske algebre korišćenjem prevashodno numeriĉkih metoda.
Matriĉni proraĉuni predstavljaju osnovu MATLAB-a, jednostavno i brzo se izvode, te je na
ovom polju MATLAB vodeći svetski programski paket. Operacije sa matricama su od posebnog
znaĉaja, jer se realni sistemi sa više ulaza, promenjivih i izlaza zadaju pomoći matrica.
MATLAB se moţe koristiti za rešavanje i drugih tipova matematiĉkih problema kao što su
odreĊeni integrali, nelinearne jednaĉine, diferencijalne jednaĉine i dr. Ove probleme MATLAB
59
rešava pomoću optimizovanih numeriĉkih metoda koje su inkorporirane u programski paket i
pokreću se pomoću odreĊenih naredbi.
Na taj naĉin MATLAB omogućava jednostavno rešavanje inţenjerskih problema i
dobijene rezultate prikazuje na jasan i pregledan naĉin, pomoću grafika i tabela (matrica
rezultata).
U MATLAB-u se mogu rešavati razliĉiti problemi pomoću posebnih dodatnih modula za:
regulaciju procesa (Control System Toolbox),
formiranje procesnih šema, odnosno blok dijagrama (Simulink),
robustno upravljanje (Robust Control Toolbox).
Osim ovih modula u MATLABu postoji niz drugih, koji sluţe za rešavanje razliĉitih
inţenjerskih problema:
parcijalnih diferencijalnih jednaĉina (Partial Differential Equation Toolbox),
optimizaciju (Optimization Toolbox),
formiranje neuronskih mreţa (Neural Network Toolbox),
obradu podataka:
o digitalnu obradu signala (Signal Processing Toolbox),
o akviziciju podataka (Data Acquisition Toolbox),
o statistiĉku obradu podataka (Statistics Toolbox),
o baze podataka (Database Toolbox) itd.
MATLAB sadrţi biblioteku rutina (MAPLE) za simboliĉko rešavanje problema. Na taj
naĉin se mogu dobiti analitiĉka rešenja sistema linearnih jednaĉina, diferencijalnih jednaĉina,
odreĊenih i neodreĊenih integrala. Iz oblasti automatskog upravljanja znaĉajno je odreĊivanje
Laplasove i Furijeove transformacije razliĉitih funkcija.
1. Pokretanje programa
Korišćenjem miša u Windows Desktop-u treba izabrati Start/Programs/Matlab/Matlab. Na
taj naĉin otvara se osnovni prozor MATLAB-a koji se po default-u sasatoji od: komandnog
prozora, prozora istorije komandi i prozora tekućih direktorijuma. Kao i ostali Windows
programi MATLAB pri vrhu prozora sadrţi spisak svih menija (File, Edit, View, ...) i bar za
standardno formiranje. Pregledati menije i promeniti raspored osnovnog prozora pomoću
View/Desktop Layout/Simple koji se sastoji samo od komandnog prozora i prozora istorije
komandi.
2. Osnovne operacije
MATLAB koristi komandni jezik jednostavne sintakse. Komande u MATLAB-u se
upisuju u poslednju, aktivnu, liniju komandnog prozora koja poĉinje sa oznakom >>. Operacije
se upisuju u komandnu liniju i izvršavaju pomoću tastera Enter.
3. Korišćenje pomoći (Help-a)
Informacije o pojedinim naredbama se mogu dobiti primenom naredbe Help. Na primer:
>> help laplace
prikazuje opis naredbe laplace. Detaljnije informacije o pojedinim mogućnostima
programa mogu se naći i korišćenjem opcija iz menija Help u osnovnom MATLAB prozoru.
60
8. EKOLOŠKO MODELOVANJE
Zaštita ţivotne sredine svakim danom postaje sve aktuelnija tema kojom se bavi sve veći
broj ljudi. Klimatske promene, kisele kiše, ekološki akcidenti, gubitak biodiverziteta i problem
otpada samo su neki od ekoloških problema kojim se bavi ekologija (nauka o zaštiti ţivotne
sredine). Svi ovi problemi su veoma razliĉiti po pitanju vremenskog i prostornog opsega.
Vremenski opseg moţe biti veoma dugaĉak, kao kod klimatskih promena, ili sasvim
kratak, što je sluĉaj kod nekih ekoloških akcidenata.
Prostorni opseg moţe biti ograniĉen na uţu lokalnu oblast, na primer kod poplava, ili moţe
imati širi pa ĉak i globalni karakter, što je sluĉaj sa podizanjem nivoa mora i okeana.
Pored toga vaţno je naglasiti da ovi ekološki problemi mogu imati jedan uzrok ili što je
mnogo ĉešće sluĉaj mogu biti uzrokovani delovanjem više meĊusobno povezanih faktora u
ţivotnoj sredini.
Istraţivanja ekoloških problema mogu biti skupa, teška a ponekad i nemoguća zbog toga se
ova ispativanja ĉesto vrše metodom ekološkog modelovanja, odnosno istraţivanja se vrše na
ekološkim modelima a zatim se dobijeni rezultati istraţivanja sa ekoloških modela prenose na
realne (ekološke) sisteme.
Ekološko modelovanje ima velike mogućnosti tako da se koristi u razliĉitim oblatima
ekologije, kao što su:
Klimatologija, koja se bavi prouĉavanjem klimatskih promena.
Okeanografija, koja se bavi prouĉavanjem uticaja promena temperature morskih
struja na veremenske prilike.
Procena rizika od hazardnih situacija, koja se bavi prouĉavanjem verovatnoće
nastanka poplava i predviĊanja mogućih negativvnih posledica koje mogu uzrokovati
(ugroţavanja bezbednosti ljudi i ţivotne sredine, oštećenja objekata itd.).
Populaciona biologija, koja se bavi prouĉavanjem stanja i brojnosti populacije
odreĊene vrste i promena tih parametara usled razliĉitih antropogenih aktivnosti.
Ekologija, koja se bavi modelovanjme stanja biotiĉkih i abiotiĉkih faktora i njihovim
promenama uzrokovanim antropogenim uticajima.
Procena uticaja na ţivotnu sredinu proizvoda koji tek treba da se proizvedu.
Ekološka epidemiologija, prouĉavanje uticaja vazdušnog zagaĊenja na pojavu
respiratornih oboljenja kao što je astma.
Ekološko zakonodavstvo, uz pomoć modela se mogu odrediti metodologije uzimanja
uzoraka kako bi se ispoštovali svi relevatni zakoni i vršio adekvatan monitoring
ţivotne sredine.
8.1. Faze (koraci) izrade ekološkog modela
Pravilan postupak izrade modela obezbeĊuje da model bude validna predstava realnog
sistema koji se istraţuje, da ga je moguće lako istraţivati (i to uglavnom uz pomoć raĉunara), da
se izradi unutar troškovnih i vremenskih ograniĉenja i da se moţe efikasno primenjivati.
Da bi ekološki model mogao da verodostojno (uspešno) simulira (oponaša, predstavlja)
neki realni sistem potrebno je pridrţavati se odreĊene metodologije prilikom njegove izrade.
61
Nakon što se izvrši primena ekološkog modela vaţno je da se na neki naĉin sam model
verifikuje.
Ekološki mideli se mogu izraĊivati na razliĉite naĉune, a u nastavku je prikazan jedan od
mogućih postupaka.
Izrada (formiranje, razvoj) ekološkog modela, kao i svakog drugog modela realnog
sistema, se izvodi kroz više faza (koraka), slika 1:
1. Definisanje (identifikacija) problema koga korisnik modela ţeli da reši korišćenjem tog
modela.
2. Upoznavanje realnog sistema koji se istraţuje (prouĉava).
3. Izrada konceptualnog modela.
4. Postavljanje (usvajanje) pretpostavki modela.
5. Izrada (formiranje, razvoj) matematiĉkog modela, tj. formiranje jednaĉina koje na
adekvatan naĉin opisuju ponašanje realnog sistema.
6. Izrada raĉunarskog modela:
o izbor odgovarajuće nameriĉke metode i programskog jezika u kome će se rešavati
matematiĉki model i
o formiranje algoritma za rešavanje matematiĉkog modela i izrada programa
(programiranje).
7. Verifikacija raĉunarskog modela (testiranje programa) - provera da li raĉunarski model
verno predstavlja matematiĉki model i
8. Validacija (vrednovanje) modela realnog sistema – provera da li model verno
predstavlja realni sistem.
9. Praktiĉna primena (implementacija) modela.
62
Slika 1. Faze izrade (formiranja) ekološkog modela
Definisanje (identifikacija) problema
Upoznavanje realnog sistema
Postavljanje (usvajanje) pretpostavki
Izrada raĉunarskog modela
Da li raĉunarski
model verno
predstavlja
matematiĉki
model
Da li model
verno predstavlja
realni sistem
Praktiĉna primena modela
Izrada matematiĉkog modela
Da
Da
Ne
Ne
Izrada koncepualnog modela
63
U praksi, granice izmeĊu ovih faza nisu uvek precizno definisane i prelaz iz jedne u drugu
fazu je retko kad „oštar“ kao što je na šemi prikazano. Bez obzira na to ova šema predstavlja
koristan okvir za razumevanje osnovnih principa izrade modela.
Prvo treba ostvariti prelaz sa realnog sistema na konceptualni model, zatim sa
konceptualnog na matematiĉki model i sa matematiĉkog na raĉunarski model. Potom
simulacijama na raĉunaru treba izvršiti proveru ispravnosti rada programa i modela.
Izrada modela je najĉešće proces koji zahteva ponavljanje i isprobavanje razliĉitih rešenja
i ispravljanje uoĉenih grešaka. Model se obiĉno pravi kroz više faza (koraka) koji povećavaju
njegovu kompleksnost sve dok ne bude u stanju da uspešno oponaša realni (stvarni) sistem koji
se istraţuje (prouĉava). Kada se takav model uradi onda se koristi za simulaciju ponašanja
realnog sistema.
Za realizaciju svake od navedenih faza potrebna su razliĉita znanja i veštine. Malo je osoba
koje imaju sposobnost da uspešno realizuju sve navedene faza razvoja modela. Zbog toga izrada
modela zahteva formiranje tima, pri ĉemu je vaţno ostvariti koordinaciju i komunikaciju izmeĊu
ĉlanova tima. Modeli izraĊeni od strane razliĉitih autora ili razliĉitih timova uvek se razlikuju,
tako da će n razliĉitih osoba ili timova formirati n razliĉitih modela.
8.1.1. Definisanje (identifikacija) problema koga korisnik modela želi da reši
korišćenjem tog modela
Prva faza izrade modela jeste definisanje (identifikacija) problema koga korisnik modela
ţeli da reši korišćenjem tog modela. Problem treba da bude jasno i precizno definisan, kako bi
korisnik modela korišćenjem tog modela mogao doći do rešenja problema. Ako se problem ne
definiše jasno i precizno proces izrade modela moţe biti teţak, sloţen i oduzeti puno vremena i
što je najgore moţe se desiti da model ne predstavlja verodostojnu zamenu za realni sistem
(predmet modelovanja).
Prilikom definisanja problema treba obratiti paţnju na opseg samog modela. Treba
razgraniĉiti elemente nauĉnog pitanja kojima model treba da se bavi i one kojima ne treba da se
bavi. Opseg modela treba ograniĉiti na razliĉite naĉine kako bi se dobilo pogodno rešenje. Na
primer, nekad će treba izraditi model tako da on predstavlja deo ekološkog sistema, odreĊenu
prostornu oblast ili odreĊeni vremenski period. Pri tome postavljeni ciljevi ne treba da budu
suviše uski, ali ni suviše široki. Izrada modela treba da bude u skladu sa zadatim vremenskim,
troškovnim i kadrovskim ograniĉenjima.
8.1.2. Upoznavanje realnog sistema koji se istražuje (proučava)
Upoznavanje (posmatranje, opaţanje) realnog sistema (predmeta modelovanja) koji se
istraţuje (prouĉava) se vrši sa ciljem da se identifikuju njegove kljuĉne komponente, zatim
njegovi ulazni i izlazni parametri, odnosi izmeĊu njih, procesi i struktura koji upravljaju
njihovim interakcijama.
64
8.1.3. Izrada konceptualnog modela
Sledeća faza (korak) je izrada (formiranje, razvoj) konceptualnog modela koji treba da na
verodostojan naĉin opiše realni sistem. Konceptualni model se uglavnom pravi u obliku
dijagrama.
Ova faza je od fundamentalnog znaĉaja za uspeh modelovanja. Ovom fazom se
obezbeĊuju svi potrebni podaci za fazu izradu matematiĉkog modela, kao i smernice za budući
rad.
Prvi zadatak ove faze je odluka da li je potrebno dati realni sistem podeliti na odreĊeni broj
manjih podsistema, koji se dalje mogu rešavati ili jedan po jedan ili paralelno Zatim treba
postaviti primarne veze izmeĊu elementa i promenjivih putem paţljive analize i detaljne
observacije. Jedan od naĉina da se ovo postigne je i praćenje sledećih koraka:
definisanje granica realnog sistema koji se modeluje,
odabir kljuĉnih komponenti, na primer promenljivih,
procena brojĉanih vrednosti promenljivih,
verbalno, statistiĉko ili analitiĉko definisanje veza izmeĊu promenljivih.
Najĉešće je suština izrade konceptualnog modela izrada dijagrama koji predstavlja kljuĉne
elemente prouĉavanog realnog sistema (fenomena, procesa), kao i sve bitne odnose izmeĊu tih
elemenata. Ovi dijagrami, u zavisnosti od posmatranog problema, mogu biti prosti ili veoma
sloţeni. Konceptualni dijagrami su ustvari skupovi odgovarajućih simbola koji su prikazani na
odgovarajući naĉin. Postoji veliki broj već postojećih simbola koji imaju poznato znaĉenje koji
se mogu koristiti u tu svrhu. Osim toga moguće je i formiranje novih, sopstvenih simbola.
Odabir simbola koji će se koristiti zavisi i od problematike i zadatka koji model treba da ispuni.
Za problematiku modelovanja ekoloških sistema ĉesto se koriste simboli iz Forrester-ovih
dijagrama. Na Slici 2 dat je prikaz nekih od simbola iz Forrester-ovih dijagrama.
65
Slika 2. Neki od simbola iz Forrester-ovih dijagrama
Treba naglasiti u odreĊenim programskim paketima za modelovanje, kao što je na primer
VENSIM, već postoje odgovarajući simboli i metodologija koja se koriste za izradu dijagrama.
Svaki simbol ĉini jedan element ekološkog modela. U elemente nekog ekološkog modela
spadaju razliĉiti entiteti, a neki od najzastupljenijih su prikazani u tabeli 1.
Tabela 1. Kljuĉni elementi ekološkog sistema
66
1. Izrada referentnog grafika
2. Izrada dijagrama sa rezervama i protocima (stock and flow diagram)
67
3. Izrada dijagrama uzročne petlje (causal loop diagram)
68
8.1.4. Postavljanje (usvajanje) pretpostavki modela
Svaki model se zasnova na pretpostavkama. Pretpostavke mogu biti postavljene u cilju
pojednostavljivanja kompleksnih ekoloških modela (tj. postavljanja što manjeg broja jednaĉina),
što je ĉesto potrebno da bi se mogao izraditi funkcionalan model, ili zbog ograniĉenosti naših
znanja o posmatranom ekološkom sistemu. Za neke od pretpostavki koje se postave na poĉetku
izrade modela se kasnije moţe ispostaviti da su netaĉne, i tada je ĉesto neophodno izvršiti
odreĊene korekcije na samom modelu. Sa druge strane, za neke pretpostavke se od poĉetka zna
da su netaĉne, ali se bez obzira na to one zadrţavaju, jer su neophodne radi jednostavnosti i
efikasnosti samog modela, a nemaju znaĉajan uticaj na rezultat samog modela. Ono što je vaţno
je da svaka pretpostavka koja se koristi u modelu treba da bude prepoznatljiva, razumljiva i
jasna. Glavni razlog za ovo je da se razjasne priroda, svrha i ograniĉenja samog modela, a pored
toga i da se potencijalnim korisnicima omogući razumevanje samog modela.
8.1.5. Izrada (formiranje) matematičkog modela, tj. formiranje jednačina koje na
adekvatan način opisuju ponašanje realnog sistema
Realni sistem definisan kao ureĊaj ili proces koji ima jedan ili više ulaza odnosno jedan ili
više izlaza, moţe da se modeluje na više naĉina. Matematiĉki model ima brojne prednosti u
odnosu na ostale modele, izmeĊu ostalog omogućava:
jasno definisanje promenljivih,
eksplicitno izraţavanje pretpostavki,
odreĊivanje izlaznih promenljivih na osnovu kompleksnosti realacija modela.
Generalno, linearne modele je lakše rešavati nego nelinearne, obiĉne diferencijalne
jednaĉine je lakše je rešavati nego parcijalne diferencijalne jednaĉine, analitiĉke funckije lakše je
rešavati nego beskonaĉne nizove, Beselove funkcije i sl. TakoĊe, deterministiĉke modele je lakše
rešavati nego stohastiĉki.
Opšta metodologija izrade matematiĉkog modela se sastoji od ĉetiri koraka:
deifinisanja sistema,
odreĊivanja ulaznih veliĉina sistema,
odreĊivanja izlaznih veliĉina sistema,
odreĊivanja relacija izmeĊu ulaznih veliĉina, izlaznih veliĉina i parametara sistema.
U prvom koraku potrebno je jasno definisati šta je realni sistem, koji se istraţuje
(prouĉava), u kakvom su odnosu delovi sistema (ponekad povezanost delova sistema nije od
izrazite vaţnosti za problem koji se rešava), koji se cilj ţeli postići itd.
Postupak modelovanja zahteva jasno definisanje ulaznih i izlaznih veliĉina. Za obe grupe
veliĉina vaţno je uoĉiti sledeće:
identifikovati ih,
po mogućnosti meriti ih,
kroz iterativni postupak analize i modelovanja odrediti koje su veliĉine znaĉajne i
konaĉno, u kakvom su odnosu.
Neke od ulaznih veliĉina mogu da budu kontrolabilne i poţeljne, dok druge mogu da budu
nekotrolabilne i nepoţeljne. Vremenski uslovi, kao što su: temperatura, vlaga, brzina vetra,,
predstavljaju nekontrolabilne ulazne veliĉine prilikom formiranja matematiĉkog modela.
69
Ozbiljne teškoće u postupku modelovanja nastaju kada spoljašnji nekontrolabilni faktori imaju
veliki uticaj na analiziranu pojavu ili proces.
OdreĊivanje relacija izmeĊu ulaznih veliĉina, izlaznih veliĉina i parametara sistema
predstavlja najteţi korak u formiranju modela. Suština dobrog modelovanja se sastoji u
odreĊivanju znaĉajnih promenljivih i formiranju relacija koje opisuju kako su one meĊusobno
povezane.
Generalni principi dobrog matematiĉkog modelovanja su:
modelovanje zapoĉeti onim što je poznato,
sloţene modele razvijati modularno,
koristiti iterativni postupak,
modelovati samo potrebne elemente,
formirati pretpostavke
navesti ograniĉenja,
formirati ekvivalente pogodne za inţenjersku praksu.
Modelovanje započeti onim što je poznato
U modelovanju je potrebno koristiti fundamentalne zakone.
Složene modele razvijati modularno
Modularni pristup podrazumeva postepeno proširenje modela. Ovakav postupak
omogućava prelazak sa jednostavnih konfiguracija ka sloţenim konfiguracijama uz najefikasnije
eliminisanje nedostataka koje sa sobom donosi modelovanje sloţenih sistema.
Koristiti iterativni postupak
Iterativni postupak pretpostavlja ponovni pokušaj, poţeljan nakon odreĊene modifikacije
modela. Strukturna blok šema prikazana na slici 1. jasno ukazuje na vaţne petlje u procesu
modifikacije. Unutar svakog bloka postoji mogućnost za manje iterativne petlje.
Simulacije pomoću raĉunara sadrţe sledeće faze:
formiranje rezultata proraĉuna,
uporeĊivanje ovih rezultata sa oĉekivanim rezultatima za poznat sluĉaj
poboljšanje modela do postizanja zadovoljavajuće taĉnosti.
Izuzetno je redak sluĉaj da se iz prvog pokušaja dobiju rezultati koji su sasvim
zadovoljavajući i koji kao takvi ne zahtevaju poboljšaanje. Ĉak i autori najuspešnijih
programskoh alata navode da bi u sluĉaju ponovnog modelovanja nekog problema to trebalo
raditi drugaĉije, na još bolji naĉin.
Modelovanje je uĉenje. Iterativni postupak za poboljšanje modela jeste suština procesa
modelovanja.
Modelovati samo potrebne elemente
Formiranje matematiĉkih jednaĉina koje na verodostojan naĉin opisuju ponašanje realnog
siustema ĉesto je prava umetnost. Potpuno korektno modelovanje svih elemenata sistema ĉesto
dovodi do problema, s obzirom na veliki broj dodatnih detalja vezanih za ulazne i izlazne
promenljive, kao i predugo vreme simulacije. Prema tome za modelovanje je neophodno veliko
70
inţenjersko znanje u cilju ukljuĉivanja potrebnih elemenata, i u isto vreme, eliminisanje
nepotrebnih elemenata.
Modelovanje samo potrebnih karakteristika od velikog je znaĉaja iz dva razloga:
Sledeći korak u procesu izrade (formiranja) modela je formiranje matematiĉkog modela,
koje obuhvata prevoĊenje konceptualnog modela u matematiĉi jezik (tj. postavljanje jednaĉina
modela). Ĉesto ova faza predstavlja najizazovniji deo celokupnog procesa izrade modela.
Nekada, zbog neophodnosti primene komplikovanih matematiĉih metoda. MeĊutim, ĉešće zbog
toga što postoji više naĉina kojim se matematiĉki moţe predstaviti prouĉavani realni sistem, a
nije oĉigledno koji od tih naĉina je najbolje primeniti. Zbog toga je postavljanje odgovarajuće
matematiĉke formulacije modela, ĉesto, proces koji se zasniva na sistemu pokušaja i grešaka.
U ovoj fazi se izraĊuje matematiĉki model, pri ĉemu se definiše preslikavanje funkcija
izmeĊu bitnih karakteristika predmeta modelovanja i modela za koje je utvrĊena sliĉnost ili
analogija.
Definišu se veze izmeĊu promenjivih i parametara u matematiĉkim formulacijama, provera
odreĊenosti i konzistentnosti modela.
Pogodno je funkcionalnu zavisnost promenljivih kategorisati kao:
definicione,
empirijske i
normativne relacije.
Definicione relacije predstavljaju, većinom, balanse koji proistiĉu iz fiziĉke prirode
problema ili recimo nekih konvencija koje su uvedene u problem.
Empirijske relacije su bazirane na istorijskim podacima, eksperimentalnim rezultatima,
široko prihvaćenom rezonu i sliĉno. Nedostatak empirijskih relacija moţe biti nepogodnost
korišćenja podataka i zakljuĉaka iz prošlog ponašanja sistema za buduće ponašanje. Promene u
budućnosti se mogu ticati kako promena parametara već postojećih relacija tako i promene
strukture relacija. Isto tako, empirijske relacije mogu da predstavljaju niţi nivo performansi
starog sistema te prema tome mogu biti neadekvatne za opis novog sistema.
Treći tip relacija su normativne relacije u tom smislu da one predstavljaju naĉin kako treba
povezati promenljive da bi se postigla optimalna vrednost zadatog kriterijuma.
Postoji veliki broj matematiĉkih modela koji se mogu koristiti za prouĉavanje ekoloških
sistema. Postoji više naĉina po kojima ovi modeli mogu da se podele, a neki od njih su:
U kojoj meri se modeli zasnivaju na teoriji ili observacijama – teorijski nasuprot
empirijskim modelima
U kojoj meri nasumiĉni (sluĉajni) dogaĊaji i efekti imaju znaĉajnu ulogu u
prouĉavanom sistemu, a samim tim i u modelu – deterministiĉki nasuprot
stohastiĉkim modelima
U kojoj meri se raspolaţe znanjem o prouĉavanom sistemu koji model treba da
predstavlja – model crne kutije („Black box) nasuprot modelu bele kutije (White
box).
Da li se model bavi ekološkim procesima koji su statiĉni ili dinamiĉni u odnosu na
prostor i vreme – statiĉni nasuprot dinamiĉnim modelima
Da li se model bavi eklološkim procesima za koje se uzima da funkcionišu na
kontinualan ili diskretan naĉin – kontinualni nasuprot diskretnim modelima
71
Kako su prostorno ureĊeni podaci modela – modeli sa raspodeljenim parametrima
nasuprot modelima sa grupisanim parametrima
8.1.6. Izrada računarskog modela
Ovde je potrebno odluĉiti da li će na primer biti usvojen simulacioni ili optimizacioni
pristup, da li će promenljive modela biti stohastiĉke ili deterministiĉke, da li će model biti
nelinearan ili linearan, da li je moguće primeniti neki od već postojećih postupaka rešavanja.
Veoma ĉesto se prilikom izbora naĉina rešavanja matematiĉkog modela izbor se svodi na
sledeće dve alternative:
nalaţenje optimalnog rešenja uprošćene verzije problema i
nalaţenje pribliţnog rešenja taĉne formulacije problema.
Moţe se zakljuĉiti da je u praktiĉnoj primeni druga alternativa mnogo pogodnija i to
uglavnom što je nalaţenje optimalnog rešenja u praktiĉnim problemima skoro nemoguć zadatak.
Кompletna predstava vaţnih faktora problema ĉak i da rešenje nije optimalno je vredniji od
optimalnog rešenja osiromašenog problema.
Analitiĉko i numeriĉko rešavanje matematiĉkog modela (formiranog sistema jednaĉina)
zahteva odgovarajuće znanje iz teorijske matematike i raĉunarskih metoda.
Nakon izbora numeriĉkog naĉina rešavanja sledi implementacija na raĉunaru, što zahteva
odgovarajuću veštinu programiranja. Prilikom formiranja programa potrebno je voditi raĉuna o
njegovoj verifikaciji sa odgovarajućim matematiĉkim modelom. Pri tome je potrebno tako
koncipirati model da omogući dobijanje rezultata koji se slaţu sa rezultatima dobijenim na
realnim sistemima. Uloga raĉunara eksplicitno je ukljuĉena u faze formiranja i verifikacije
programa. MeĊutim, razvoj matematiĉkog modela implicitno ukljuĉuje ulogu raĉunara. Osoba
iskusna u modelovanju i programiranju automatski teţi onim matematiĉkim modelima koji se na
najlakši i najefikasniji naĉin rešavaju pomoću raĉunara.
U ovoj fazi potrebno je izabrati naĉin na koji će biti rešen matematiĉki model: numeriĉki
ili analitiĉki i oceniti da li ga je moguće realizovati na raĉunaru.
Ako se izabere numeriĉki naĉin rešavanja matematiĉkog modela potrebno je:
izabrati odgovarajuće nameriĉke metode i programski jezik u kome će se rešavati
matematiĉki model i
formirati algoritam za rešavanje matematiĉkog modela i izraditi program
(programirati).
Kada su postavljene matematiĉke jednaĉinei bitne za model potrebno je izvršiti
konvretovanje tih jednaĉina i formula u neki software (program), koji moţe obaviti simulacije
modela uz pomoć raĉunara. Postoji ogroman broj programskih jezika koji se mogu koristiti
za modelovanje na računaru. Izbor odreĊenog programskog jezika zavisi od dostupnosti, cene,
prethodnog iskustva, lakoće rukovanja, oĉekivanih rezultata, poĉetnih ciljeva, dostupnih
podataka, prilagoĊenosti podataka odreĊenom programu i drugih parametara. Kada su u pitanju
programska rešenja moguće je izvršiti podelu na sledeće kategorije:
1. Programi za rad sa tabelama (Spreadsheets), u koje spadaju na primer: Calc, Excel,
Gnumeric i Kspread.
2. Integrisana programska okruţenja koja se mogu koristiti i za modelovanje, u koje
spadaju na primer: R, IDL, MATLAB, Octave i druga.
72
3. Programski jezici koji se mogu koristiti i za modelovanje, u koje spadaju na primer:
C++, BASIC, PASCAL, FORTRAN, VB i JAVA.
4. Specijalizovana programska okruţenja za modelovanje, u koje spadaju na primer:
MODELMAKER, POWERSIM, SIMILE, STELLA i VENSIM.
5. Usko specijalizovni programi za ekološko modelovanje, u koje spadaju na primer:
AEROMOD View, EcoRisk View, IRAP-h View, SVOffice, SADA, FRAMES i drugi.
6. Alati za modelovanje u okviru GIS programa, obuhvataju dodatke za GIS programe
koji se mogu koristiti za ekološko modelovanje.
1. Programi za rad sa tabelama
Ĉinjenica je da je rad sa programima koji koriste tabele mnogo lakši nego, na primer,
korišćenje programskih jezika. Programi za rad sa tabelama su široko rasprostranjeni u primeni,
što znaĉi da su poznati velikom broju korisnika. Većina ovih programa poseduje odreĊene
dodatke koji omogućavaju vizuelizaciju podataka ili statistiĉku analizu. Njihova primena u
ekološkom modelovanju je ĉesto vezana za populacionu ekologiju i konzervacionu biologiju.
Iako postoji veliki broj korisnika koji moţe da se sluţi ovim programima, oni poseduju suštinska
ograniĉenja koja predstavljaju veliki problem kad je potrebno konstruisati kompleksniji i
sofisticiraniji ekološki model i kada je za dostizanje pravog rešenja potrebno vršiti iteraciju.
Pored toga ovi programi ne podstiĉu strukturni pristup prilikom formiranja ekoloških modela.
2. Integrisana programska okruženja koja se mogu koristiti i za modelovanje
Integisana programska okruţenja predstavljaju kompleksne programske pakete koji se, na
osnovu svojih funkcija, koriste u razliĉitim oblastima. Na primer, programski paket „R“ je
moćan alat za statistiĉku obradu, dok se MATLAB veoma puno koristi u primenjenoj
matematici. MeĊutim, s obzirom na veliki broj opcija i funkcija, kao i mogućnost rešavanja
kompleksnih problema, koje ovakva vrsta programskih paketa poseduje, oni su našli svoju
primenu i u ekološkom modelovanju. Jedan od takvih primera je i MATLAB koji se primenjuje
za modelovanje razliĉitih ekoloških procesa biološke, fiziĉke i hemijske prirode. Postoji jako
veliki broj ovakvih procesa koji se mogu modelovati uz pomoć MATLAB-a, a neki od njih su:
reprodukcija organizama, radioaktivni raspad elemenata, hemijske transformacije polutanata u
ţivotnoj sredini, difuzija, disperzija, sorpcija, kinetiĉke i termodinamiĉke reakcije i mnogi drugi
procesi. U programu MATLAB se ovakvi procesi predstavljaju matematiĉkim terminima. Taj
pristup ĉesto dovodi do upotrebe diferencijalnih jednaĉina koje sluţe za predstavljanje promene
razliĉitih uslova u kojima se nalaze odreĊene promenljive, kao što su koncentracija nekog
polutanta ili gustina odreĊene populacije, u prostoru i vremenu. Generalno, cilj je da se osnovni
koncepti odreĊenog ekološkog problema transformišu u matematiĉke formulacije.
3. Programski jezici koji se mogu koristiti za modelovanje
Ogromna većina modela realnih problema se konaĉno predstavlja u vidu programa za
raĉunar. U tom smislu je potrebno izvršiti izbor odgovarajućeg programskog jezika koji je
najviše prilagoĊen modelu. MeĊutim, izbor programskog jezika je najĉešće diktiran njegovom
raspoloţivošću. Vrlo ĉesto postoje standardni programski paketi koji se mogu direktno koristiti
za rešavanje modela kao što je program Microsoft Project (rešava probleme Simplex, PERT,
CPM itd. metoda).
Programski jezici za programiranje predstavljaju još jednu opciju kojom se mogu napraviti
ekološki modeli. Programski jezici se inaĉe koriste za izradu programa odreĊene namene. Iako
oni zahtevaju poznavanje komplikovanih komandi, gramatike i sintakse, vezanih za odreĊeni
programski jezik, ali moţe se reći da oni pruţaju najveću fleksibilnost prilikom izrade ekoloških
modela.
73
Postoji više razliĉitih programskih jezika koji se mogu efikasno koristiti za ekološko
modelovanje. Neki od njih, kao što su Basic i Fortran, su relativno jedonostavniji za
savladavanje, dok drugi, kao što su C++ i Java, zahtevaju daleko više znanja i veštine kako bi se
adekvatno primenjivali. Olakšavajuća okolnost je što dosta programskih jezika koji se trenutno
primenjuju ima sliĉan set osnovnih komandi, pa će poznavanje jednog ĉesto znaĉiti lakše
snalaţenje u nekom drugom programskom jeziku.
Bez obzira o kom programskom jeziku se radi princip izrade modela se zasniva na
„prevoĊenju“ odreĊenog ekološkog problema ili sistema u odreĊeni programski jezik. Ovaj
proces se donekle moţe uporediti sa prevoĊenjem sa jednog jezika na drugi. Imajući to u vidu
jasno je da se obiĉno za konkretnu situaciju obiĉno mogu naći više „taĉnih“ rešenja. Kao krajnji
rezultat dobija se gotov program pomoću koga se vrši modelovanje odreĊenog ekološkog
fenomena, procesa ili sistema. Ovakve gotove, napisane programe mogu koristiti i drugi
korisnici koji ne moraju da poznaju programske jezike, već je samo dovoljno da unesu ulazne
parametre vezane za specifiĉnu problematiku. Glavno ograniĉenje primene programskih jezika je
vreme koje je potrebno da bi se jedan programski jezik savladao na adekvatan naĉin i u
dovoljnoj meri da se moţe primenjivati za ekološko modelovanje. Pored toga sam proces pisanja
programa i ispravaljanja grešaka je isto veoma vremenski zahtevan.
4. Specijalizovana programska okruženja za modelovanje
Specijalizovana programska okruţenja za modelovanje su programski paketi ĉija je
osnovna namena modelovanje razliĉitih fenomena, procesa ili sistema, pa se samim tim mogu
primenjivati i za ekološko modelovanje. Oni pruţaju veliki broj vaţnih pogodnosti, od kojih je
najznaĉajnija mogućnost konstruisanja modela uz pomoć grafiĉkog interfejsa pravljenjem
dijagrama. Osim toga u okviru ovih programskih paketa nalazi se veliki broj ugraĊenih analitiĉih
i numeriĉkih funkcija, kao i opcija za vizuelizaciju podataka. Njihova glavna prednost je da
formalizuju proces modelovanja unutar svog programskog okvira.
Prvaljenje modela i modelovanje se u ovakvim programima odvija po principu koji je
veoma sliĉan upravo vrsti metodologije ekološkog modelovanja koja je opisana u ovom tekstu.
Nakon što se (definiše identifikuje) odreĊeni ekološki problem prisupa se izradi konceptualnog
modela, što se u ovoj vrsti programa izvodi „crtanjem“ dijagrama uz pomoć odgovarajućih alata.
Nakon toga se pomoću sakupljenih podataka i pretpostavki formiraju matematiĉke veze izmeĊu
pojedinih elemenata dijagrama koji predstavljaju odreĊene ekološke entitete. Na osnovu tako
formiranog modela program obavlja simulaciju i daje rezultate.
Ovakvi programski paketi sadrţe specijalne alate koji olakšavaju svaki od ovih koraka u
metodologiji modelovanja. Glavna mana ovih programa je da u odreĊenoj meri ograniĉavaju
proces modelovanja svojim formalistiĉkim pristupom. Ekološki entiteti se u ovim programima
predstavljaju kao odreĊene „rezerve“ (npr. broj stabala u šumi), ĉija se promena u vremenu
prikazuje putem „tokova“ (npr. broj stabala poseĉenih u toku jedne godine). Problem je što se ne
mogu svi ekološki problemi tretirati na ovaj naĉin, pogotovo kada je potrebno prikazati prostorne
promene. Bez obzira na svoja ograniĉenja specijalizovana programska okruţenja sve više nalaze
primenu u raznovorsnim problemima koji su vezani za ţivotnu sredinu.
5. Usko specijalizovni programi za ekološko modelovanje
Kako se vremenom modelovanje sve više razvijalo, shvaćeno je da se mnogi ekološki
problemi mogu predstaviti i rešiti upravo uz pomoć modelovanja. To je dovelo do nastanka prvih
programa koji su bili usko specijalizovani za rešavanje odreĊenog ili više sliĉnih ekoloških
problema. Ovi programi su se ĉesto zasnivali na statistiĉkoj obradi podataka. Kasnije se, naglim
razvojem ekološkog menadţmenta, ukazala potreba da modeli pruţe podršku u odluĉivanju i
odabiru najbolje moguće alternative. Usled toga se formira nova grana ekološkog modelovanja
koja se bavi „menadţmentskim“ modelima za donošenje odluka. Paralelno sa njima razvijali su
74
se i „nauĉni“ modeli koji su sve bolje oponašali fiziĉke, hemijske i biološke procese (kao što su
dinamika fluida ili biogeohemija) i reprezentovali celokupne sisteme vezane za ţivotnu sredinu.
Njihova glavna uloga je bila sticanje novih saznanja i predviĊanje na osnovu poznatih
parametara. Danas postoji veliki broj programa koji se veoma detaljno bave odreĊenim
problemom vezanim za ţivotnu sredinu. Oni obiĉno poseduju veliki broj korisnih alata i već
postojeće baze podataka vezane za problematiku kojom se specifiĉni program bavi. Pored toga
obiĉno podrţavaju i prostornu komponentu. Primer takvih programa su AEROMOD View koji
se koristi za modelovanje zagaĊenja vazduha, ili EcoRisk View koji ima primenu u proceni
rizika u životnoj sredini. Ovakva uska specijalizacija, ovakvih programa, na odreĊeni ekološki
problem je svakako pozitivna prilikom izuĉavanja tog problema. MeĊutim, s obzirom na njihovu
razliĉitost, poznavanje funkcija i alata u jednom programu obiĉno nije od velike pomoći prilikom
rada u programu koji se bavi drugaĉijim ekološkim modelom.
6. Alati za modelovanje u okviru GIS programa
Razvojem geografskih informacionih sistema, a i pratećih tehnologija kao što je daljinska
detekcija, postoji sve više geografskih baza podataka sa obilnim informacijama o ţivotnoj sredini
(na primer, pošumljenost terena, digitalni elevacioni model). Relativno skoro je shvaćeno da se
ovi podaci mogu koristiti i za ekološko modelovanje, pa su u skladu sa tim poĉeli da se
pojavljuju posebni alati, u obliku dodataka za postojeće GIS programske pakete, koji se mogu
koristi u te svrhe. Njihova glavna prednost je prostorna kompontneta. Odnosno ĉesto se koriste
za prikazivanje eventualnih promena na nekoj teritoriji u zavisnosti od vrste potencijalnog
korišćenja tog prostora. Pored toga mogu se koristiti i za prostorno prikazivanje kretanja i
transformacija zagaĊujućih materija u ţivotnoj sredini.
8.1.7. Verifikacija računarskog modela (testiranje programa)
Ocena rezultata dobijenih simulacijom na računaru
Nakon što se odreĊeni ekološki model u potpunosti formira i zatim izvrši njegova
implementacija u okviru odabranog programskog paketa, vrši se njegova simulacija pomoću
raĉunara, ĉime se ujedno i vrši provera da li uopšte model funkcioniše. Prilikom pravljenja
modela postoji veliki broj mogućih grešaka koje će imati takav efekat da uopšte neće moći da se
obavi simulacija modela. Kada se takve greške isprave, ako uopšte i postoje, moţe se pristupiti
oceni rezultata dobijenih simulacijom modela.
Prva provera rezultata ima za cilj da se ustanovi da li se rezultati uopšte nalaze u okviru
mogućih vrednosti.
Ukoliko su dobijeni rezultati „nemogući“ moţe se zakljuĉiti da je došlo do neke veće
greške tokom izrade modela, matematiĉke formulacije i/ili raĉunarske implementacije, pa je
potrebno detaljno preispitati model i ispraviti sve greške. Treba izvršiti poboljšanje i korekciju
modela, tj. treba uraditi ispravke u pretpostavkama ili/i u modelu ili/i u algoritmu i ponovne
simulacije.
Ako se rezultati nalaze u okviru mogućih vrednosti pristupa se drugoj proveri modela koja
se sastoji od verifikacija i validacije.
Verifikacijom raĉunarskog modela se proverava da li raĉunarski model (program) verno
predstavlja matematiĉki model.
Testiranje programa se svodi na formalnu verifikaciju ispravnog rada programa sa
odgovarajućim test podacima. S obzirom da sloţeni modeli imaju programe sa više hiljada pa i
desetine hiljada programskih naredbi, problem kreiranja konkretnih programa odnosno njihovog
testiranja moţe biti izuzetno sloţen zadatak.
75
U ovoj fazi se prikupljaju podaci potrebni kako za testiranje programa u prethodnoj fazi
tako i za praktiĉnu primenu modela u fazi implementacije. Problem taĉnosti ulaznih podataka je
znaĉajan za konaĉnu validnost modela. MeĊutim, zahtevana taĉnost nije ista za sve ulazne
podatke. Rezultati modela mogu biti više osetljivi na promene nekih podataka, a manje na
promene drugih. Analogno tome, potrebno je voditi raĉuna i o zahtevanoj taĉnosti ulaznih
podataka.
8.1.8. Validacija (vrednovanje) modela realnog sistema
Validacijom (vrednovanjem) modela se proverava da li model verno (uspešno) predstavlja
realni sistem (da li je model dovoljno dobra apstrakcija realnog sistema), odnosno proverava se
podudarnost bitnih karakteristika realnog sistema (predmeta modelovanja) i modela. Proverava
se da li se rezultati istraţivanja na modelu slaţu sa rezultatima istraţivanja na realnom sistemu,
koji su dobijeni opservacijom (posmatranjem) ili eksperimentalno. U tom smislu potrebno je
proveriti konzistentnost, osetljivost i primenljivost modela. Кonzistentnost modela se proverava
tako što se provarava da li su rezultati logiĉni pri promeni parametara modela do ekstremnih
vrednosti. Osetljivost modela, se proverava na male promene ulaznih podataka. Ovaj korak
obiĉno ukljuĉuje numeriĉko eksperimentisanje na modelu. Na taj naĉin se zakljuĉuje o
osetljivosti modela na pojedine ulazne podatke odnosno moţe se zakljuĉivati o zahtevanoj
taĉnosti ulaznih podataka i taĉnosti rezultata modela.
Ako rezultati zadovoljavaju onda su ciljevi modelovanja ostvareni. Odabir
reprezentativnih rezultata, poreĊenjem sa eksperimentima, detekcija uzroka greške.
Prenos saznanja (rezultata) sa modela na realni sistem (predmet modelovanja), predstavlja
inverzno preslikavanje u odnosu na formiranje modela.
Model se testira (ispituje) u istim, sliĉnim ili analognim situacijama prema kojima je i
formiran.
Eksperimentisanje na modelu i prikupljanje podataka se izvodi primenom eksperimentalne
metode i neophodne opreme, ako je predmet eksperimenta matematiĉki model, onda se ova
aktivnost svodi na simulaciju na raĉunaru.
Zakljuĉci i preporuke.
8.1.9. Praktična primena (implementacija) modela.
UvoĊenje modela u praktiĉnu primenu je konaĉna faza izrade modela i oĉigledno kritiĉna
za konaĉan uspeh modela. Uspeh ove faze veoma zavisi od kooperacije korisnika modela.
76
9. RIZIK
9.1. Pojam rizik
Rizik podrazumeva potencijalnu opasnost po ljude i materijalna dobra.
Rizik se moţe posmatrati kao funkcija verovatnoće nastanka nekog neţeljenog dogaĊaja i
negativnih posledica koje moţe uzrokovanih taj neţeljeni dogaĊaj (opasnosti po ţivote i zdravlje
ljudi i ţivotinja, ţivotnu sredinu i materijalna dobra itd.):
R = f(V, P)
gde je:
R - rizik
V - verovatnoća nastanka neţeljenog dogaĊaja
P – negativne posledice koje moţe uzrokovati neţeljeni dogaĊaj
Rizik se moţe smanjiti smanjenjem verovatnoće nastanka neţeljenog dogaĊaja V ili
smanjenjem negativnih posledica koje moţe uzrokovati neţeljeni dogaĊaj P ili smanjujem i
jednog i drugog.
Pod pojmom rizik podrazumeva se verovatnoća (mogućnost) nastanka nekog neţeljenog
dogaĊaja koji moţe uzrokovati razliĉite negativne posledice (kao što su: opasnosti po ţivote i
zdravlje ljudi i ţivotinja, materijalna dobra i ţivotnu sredinu, opasnost od novĉanih gubitaka u
poslovanju i sl.). Postoje razliĉite vrste rizika, kao što je: zdravstveni, finansijski, tehnološki,
ekološki itd. Rizik moţe biti: nepredvidivi i predvidiv
Postavljanjem pitanja "Koliki je rizik?", realno se postavljaju tri pitanja:
Koji neţeljeni dogaĊaj se moţe dogoditi?
Koliko ĉesto se dešava taj neţeljeni dogaĊaj?
Ukoliko se dogodi taj neţeljeni dogaĊaj kakve negativne posledice moţe uzrokovati?
Pod pojmom rizik od šumskog poţara podrazumeva se verovatnoća da na odreĊenom
prostoru pod šumom nastane poţar, koji moţe uzrokovati razliĉite negativne posledice (koje
mogu biti materijalne i nematerijalne, kao što su npr.: izgorela drvna masa, ekološke posledice,
posledice po atmosferu, biosveru i hidrosferu, ţivotinjski svet, narušavanje performansi sistema,
ugroţavanje materijalnih i prirodnih dobara, bezbednosti i zdravlja ljudi, narušavanje ekološke
ravnoteţe, odnosno odstupanje od stalnih kvaliteta sistema i unapred definisanih vrednosti.
9.2. Procena rizika
Procena rizika je veoma subjektivan proces. MeĊutim, ako se pridrţava odreĊenih principa,
prilikom procene rizika subjektivnost se moţe smanjiti na najmanji mogući nivo.
S obzirom kriterijume na osnovu kojih se vrši procena rizika, metode koje se koriste za
procenu rizika se mogu podeliti na:
kvantitativne i
kvalitativne.
Procena rizika nekog neţeljenog dogaĊaja se moţe vršiti na osnovu:
77
kvantitavne ili kvalitativne procene verovatnoće nastanka tog neţeljenog dogaĊaja
(tabela 6.1) i
kvantitavno ili kvalitativno procene negativnih posledica (šteta) koje moţe uzrokovati
taj neţeljeni dogaĊaj (tabela 6.2).
Tabela 6.1. Procena verovatnoća nastanka neţeljenog dogaĊaja
Tabela 6.2. Procena negativnih posledica koje moţe uzrokovati neţeljeni dogaĊaj
Pravilan izbor metode procene rizika omogućava da se primene adekvatne mere koje će
obezbediti bezbednije radno mesto i radnu okolinu, kao i manju verovatnoća da moţe doći do
profesionalnih oboljenja i povreda zaposlenih.
Procena rizika na radnom mestu je sistematsko evidentiranje i procenjivanje svih opasnosti
u procesu rada koji mogu uzrokovati nastanak povreda na radu, oboljenja ili oštećenja zdravlja i
utvrĊivanje mogućnosti, odnosno naĉina spreĉavanja, otklanjanja ili smanjenja rizika. Procena
rizika je prevashodno empirijski proces donošenja inţenjerskih odluka na osnovu znanja i
iskustva u cilju povišenja bezbednosti i zdravlja na radu.
Pristup upravljanja rizikom podrazumeva njegovu identifikaciju, procenu i kontrolu.
Postoje tri mogućnosti delovanja koje nisu meĊusobno iskljuĉive:
smanjenje rizika,
prenos rizika,
prihvatanje rizika.
Smanjenje rizika predstavlja proces u kojem se na osnovu sprovedene analize rizika
nastoje sprovesti odgovarajuće protivmere i uvesti sigurnosni nadzor da bi se zaštitili resursi
organizacije. U tom postupku nastoji se smanjiti verovatnoća opasnosti i/ili njen uticaj na proces.
78
Ukoliko se pokaţe isplativijim, rizik je moguće preneti na treću stranu (npr. osiguravajuće
društvo).
Isto tako moguće je da implementacija protivmera ili prenos rizika nisu isplativi. U tom
sluĉaju preduzeće moţe odluĉiti da prihvati rizik, odnosno troškove koji iz toga proizilaze.
Jedini pristup koji u upravljanju rizikom nije prihvatljiv je ignorisanje ili zanemarivanje
rizika. Treba znati da je upravljanje rizikom kontinualan proces te da se odnos vrednosti resursa,
ranjivosti i opasnosti s vremenom menja.
Procena rizika od zagaĊenja ţivotne sredine obuhvata:
Identifikaciju opasnosti (hazarda), identifikacija negativnih posledica (efekata) koje
zagaĊujuća susptanca moţe uzrokovati i
OdreĊivanje doze (primljenu koncentraciju zagaĊivaĉa) i procena oĉekivanih efekata
(odgovora na intoksikaciju) što obuhvata odnos unete doze koja je u funkciji od
izloţenosti (ekspozicije) i pojave, odnosno ozbiljnosti, negativnih efekata.
9.2.1. Kvantitativne metode procene rizika
Kvantitativni kriterijumi procene rizika koriste numeriĉke vrednosti kako bi opisali
verovatnoću i posledice dogaĊaja.
Kvantitativna procena rizika znaĉi predstavlja konaĉnu, taĉnu brojnu vrednost rizika.
Primeri za ovakvu procenu u oblasti bezbednosti i zdravlja na radu mogu biti vezani za procenu
rizika od buke i drugih fiziĉkih ili hemijskih štetnosti i sliĉno gde je jasno odreĊen nivo
dozvoljenog izlaganja, kao i povećanog izlaganja.
Da bi se definisale verovatnoće i posledice kao brojne vrednosti neophodno je sprovesti
dublje analize, posedovati odgovarajuće statistiĉke podatke o akcidentima itd., što predstavlja
suviše sloţen proces za masovniju primenu pa je u oblasti bezbednosti i zdravlja na radu prioritet
dat kvalitativnoj proceni rizika, dok se kvantitativna primenjuje pre svega u sluĉajevima visokih
rizika. MeĊutim treba napomenuti da najnovija iskustva i preporuke razvijenih zemalja EU
ukazuju na to da bi kvantitativnu procenu rizika trebalo uvesti gde je god moguće i dati joj
mnogo veći znaĉaj i primenu. Postoji već i niz novih obrazaca, preporuka i tabela koje ukazuju
na koji naĉin se moţe relativno efikasno i jednostavno vršiti kvantitativna procena rizika u
oblasti bezbednosti i zdravlja na radu. Tako su recimo sve posledice unifikovano izraţene preko
broja izgubljenih radnih dana i postoje razraĊene tabele i uputstva za to.
Kvantitativna analiza podrazumeva iskazivanje rizika u oĉekivanim novĉanim troškovima
na godišnjem nivou. Neke organizacije preferiraju ovakav naĉin analize pošto im je tako
omogućeno planiranje novĉanih sredstava, a upravi se omogućava da bez tehniĉkih pojedinosti
moţe doneti odgovarajuće odluke. Pri tom treba imati na umu da vrednost nekih resursa nije
uvek moguće iskazati novĉano, a kao rezultat toga mogu se pojaviti i brojke koje ne
predstavljaju stvarno stanje.
Metode koje se koriste u proceni rizika su ĉesto kvantitativne, mada stepen zahtevanog
ulaska u detalje za pripremu procene zavisi od specifiĉne aplikacije. Analiza frekventnosti se
koristi za procenu verovatnoće svakog identifikovanog neţeljenog dogaĊaja. Postoje tri opšta
pristupa koja se upotrebljavaju za odreĊivanje frekventnosti dogaĊaja:
korišćenje relevantnih istorijskih podataka,
izvoĊenje pomoću analitiĉkih ili simulacionih tehnika,
korišćenje ekspertne procene.
79
Potpuna kvantitativna procena nije uvek moguća u sluĉaju nedostatka informacija o
sistemu ili aktivnostima koje se analiziraju, nepotpunih podataka o otkazima, uticaju ljudskog
faktora itd. Neki elementi rizika ne mogu da se kvantifikuju verovatnoćom distribucije. Njihov
znaĉaj se onda procenjuje kvantitativno razmatranjem prirode onoga što se štiti (ljudstvo,
okolina), ozbiljnošću povreda ili oštećenja (neznatno, ozbiljno, katastrofalno) ili stepenom štete
(jedna ili više osoba). TakoĊe treba napomenuti da se veliĉina nastale štete moţe definisati
razliĉito u zavisnosti od situacije.
Analiza posledica procenjuje verovatnoće uticaja ukoliko se neţeljeni dogaĊaj desi tj.
procenjuje uticaj na ljude, okolinu ili imovinu. Posledice razliĉitog tipa rizika se generalno
izraţavaju sigurnosnim (npr. fatalno, štetno), zdravstvenim, finansijskim, ekološkim terminima.
PredviĊanje posledica obiĉno je posao za eksperte iz oblasti u kojoj je identifikovana moguća
opasnost.
Konaĉno, rizik se mora izraziti u odgovarajućoj formi. Neki od najĉešće korišćenih
izlaznih formi u proraĉunu rizika su: frekvencija nasuprot posledica, statistiĉko oĉekivanje
gubitaka u funkciji ekonomskih troškova itd.
Kvantitativna procena rizika se vrši tako što se verovatnoća nastanka neţeljenog dogaĊaja
pomnoţi sa posledica uzrokovanih tim neţeljenim dogaĊajem:
R = V × P
gde je:
R - rizik
V - verovatnoća nastanka neţeljenog dogaĊaja
P – negativne posledice koje moţe uzrokovati neţeljeni dogaĊaj
pri ĉemu je potrebno da oba uticajna faktora (verovatnoća i negativne posledice) budu
iskazane kao brojne vrednosti. U tom sluĉaju je i rezultujući rizik brojna vrednost odnosno rizik
je potpuno kvantifikovan.
Uglavnom se verovatnoća dogaĊaja prestavlja kao njegova uĉestalost po jedinici vremena
ili aktivnost, dok su posledice predstavljene kao brojĉani gubitak (finansijski, izgubljeni radni
dani i sl.).
Metodologija se odvija u sledećim koracima:
Adresiranje svakog neţeljenog dogaĊaja (riziĉne situacije) na osnovu pojedinaĉnih
formi za odreĊivanje rizika.
Determinisanje kvantitativne vrednosti verovatnoće pojave neţeljenog dogaĊaja P na
podesan naĉin i na osnovu realnog kriterijuma. Verovatnoća se izraţava kao
decimalni broj od 0 do 1, pri ĉemu 0 oznaĉava nemoguć dogaĊaj, a 1 dogaĊaj koji će
se realizovati sa verovatnoćom 100%. U tabeli 6.2 prikazani su tipiĉni kriterijumi za
ustanovljavanje kvantitativnih vrednosti verovatnoća.
Determinisanje kvantitativnih vrednosti posledica pojave svakog neţeljenog dogaĊaja
P na podesan naĉin i na osnovu realnog kriterijuma. U tabeli 6.2 prikazani su tipiĉni
kriterijumi za ustanovljavanje kvantitativnih vrednosti posledica.
Korišćenjem formule: R = V × P, determiniše se faktor rizika za svaki identifikovani
neţeljeni dogaĊaj.
Na osnovu dobijenih vrednosti odreĊuje se nivo rizika za svaki identifikovani
neţeljeni dogaĊaj.
80
9.2.2. Kvalitativne metode procene rizika
Kvalitativna analiza rizika predstavlja subjektivniji pristup pri kojem se resursi, rizici i
protivmere posmatraju relativno s obzirorn na sistem. Za sprovoĊenje kvalitativne analize nije
potrebno egzaktno poznavanje materijalnih vrednosti pojedinih resursa, već je za njihovo
vrednovanje potrebno poznavati vaţnost za pojedine poslovne procese.
Rezultat kvalitativne analize iskazuje samo relativan odnos vrednosti šteta nastalih
delovanjem neke opasnosti i uvoĊenja protivmera. Pri tome treba imati na umu da je ta procena
subjektivne prirode, te je stoga podloţna greškama.
Kvalitativne metode za procenu rizika baziraju se na osnovu liĉnog iskustva i rasuĊivanja
uĉesnika u timu za procenu rizika i/ili korišćenju raspoloţivih kvalitativnih, nenumeriĉkih
podataka. Ovakav pristup ne zahteva podatke o prethodnim štetnim dogaĊajima, uzrocima i
posledicama, ali uslovljava da krajnji rezultat procene rizika bude opisno, kvalitativno iskazana
veliĉina rizika (npr. visoki rizik, umereni rizik i sl.).
Kako bi opisali verovatnoću nastanka nekog neţeljenog dogaĊaja kvalitativni kriterijumi
procene rizika koriste reĉi kao što su:
retko, neverovatno, moguće, verovatno ili skoro sigurno ili
verovatno, moguće, ĉesto, retko.
Kako bi opisali negativne posledice koje moţe biti uzrokovati neki neţeljeni dogaĊaj
kvalitativni kriterijumi procene rizika koriste reĉi kao što su:
kobne, ozbiljne, male ili zanemarljive ili
neznatno, katastrofalno itd.
U kvalitativnim metodama za procenu rizika najĉešće se koriste subjektivni kriterijumi,
koji se mere u kvalitativnim skalama. Procena je subjektivne prirode pa je zbog toga podloţna
greškama. U praksi se optimalno koriste kvalitativne skale sa tri do sedam kvalitativna opisa, što
zahteva izraţen struĉni pristup analizi potencijalnih opasnosti/štetnosti. Metode sa manje od tri
kvalitativna opisa za faktore rizika nisu zanimljive, jer nisu precizne, a sa više od sedam dovode
do znaĉajnih poteškoća subjektivnog karaktera, povezanih sa nemogućnošću uĉesnika u timu za
procenu rizika da dosta precizno prepozna kvalitativni opis faktora rizika.
1. Metoda matrice rizika
Procena rizika kvalitativnim metodama podrazumeva korišćenje nenumeriĉkih, odnosno
kvalitativno opisanih podataka. U kvalitativne metode za procenu rizika spada i metoda matrice
rizika (matrica za rangiranje rizika).
Rangiranje rizika se zasniva na matrici, koja za svoje ose ima rangove posledice i rangove
verovatnoće. Uĉesnici u timu za procenu rizika ĉesto koriste u radu matricu rizika za
uspostavljanje logiĉke povezanosti posledica i verovatnoće u procenjivanju rizika za prethodno
identifikovane opasnosti/štetnosti. TakoĊe, koriste se kao jednoobrazno definisan naĉin
odreĊivanja stepena, odnosno nivoa pojedinih rizika koji se procenjuju. Matrica rizika (slika 34)
se formira tako što se na x-osu nanose rangovi verovatnoće (korak 1), a na y-osu rangovi
posledica (korak 2) i zatim odreĊuje rang rizika (korak 3).
81
Slika 34. Formiranje matrice rizika
Tipiĉne kvalitativne metode za procenu rizika su:
matrica rizika 4×6 (MIL-STD-882C),
matrica rizika 5×5 (AS/NZS 4360: 2004) i
matrica rizika 3×3 (OHSAS standard).
Metoda matrice rizika zapoĉinje dodeljivanjem kvalitativnih vrednosti verovatnoćama
dogaĊaja i posledica koje se kasnije koriste pri determinisanju kvalitativnog faktora rizika.
Kljuĉne karakteristike ovog metoda su da:
omogućava nezavisno odreĊivanje verovatnoća i posledica rizika i
obezbeĊuje kvalitativno definisanje rizika i njegove teţine
Metodologija se odvija u sledećim koracima:
Adresiranje svakog neţeljenog dogaĊaja (riziĉne situacije) na osnovu pojedinaĉnih
formi za odreĊivanje rizika.
Determinisanje kvalitativnih vrednosti verovatnoće nastanka neţeljenog dogaĊaja V
na podesan naĉin i na osnovu realnog kriterijuma. U tabeli 6.1. prikazani su tipiĉni
kriterijumi za ustanovljavanje kvalitativnih vrednosti verovatnoća.
Determinisanje kvalitativnih vrednosti posledica pojave svakog neţeljenog dogaĊaja
P na podesan naĉin i na osnovu realnog kriterijuma. U tabeli 6.2 su prikazani tipiĉni
kriterijumi za ustanovljavanje kvalitativnih vrednosti posledica.
OdreĊivanje nivoa rizika na bazi preseka kvalitativnih vrednosti za verovatnoće nastanka
neţeljenog dogaĊaja V i posledica uzrokovanih tim neţeljenim dogaĊajem P u matrici rizika 5×4
prikazano je u tabeli 6.3.
Tabela 6.3. Matrica rizika
82
U zavisnosti od aktivnosti i sposobnosti da se izdiferencira nivo rizika, mogu se
konstruisati matrice razliĉitih nivoa rizika. Na primer u tabeli 6.3. izvršena je kategorizacija na
tri nivoa rizika (nizak, srednji i visok).
9.2.3. Identifikacija opasnosti
Opasnost se moţe definisati kao skup uslova koji mogu uzrokovati neki neţeljeni dogaĊaj
(povred e ili štete).
Opasnost moţe biti razliĉitog porekla prirodna, tehnološka (strukture), sociološka (rat),
naĉin ţivota (pušenje).
Identifikacija opasnosti i scenarija opasnosti je od krucijalnoj znaĉaja za analizu rizika,
zahteva detaljno ispitivanje i razumevanje sistema, sa razvojem tehnologija dobija na sloţenosti.
Cilj analize i broj raspoloţivih informacija o sistemu treba da upute na izbor adekvatne
metode procene rizika.
Kada se izabere metoda procene rizika, onda treba identifikovati opasnosti i opisati
moguće sekvence neţeljenih dogaĊaja i faktore koji mogu dovesti do toga. Metoda determiniše
proces identifikacije opasnosti. Neke od metoda su kvalitativne, dok druge mogu da pruţe i
kvantitativnu estimaciju.
Postoje dva razliĉita pristupa analizi i identifikaciji opasnosti:
indukcioni i
dedukcioni.
Indukcioni pristup se zasniva na razmatranju od pojedinaĉnog sluĉaja do generalnog
zakljuĉivanja, dok dedukcioni ide u suprotnom smeru od generalnog do specifiĉnog.
U globalu, induktivne metode se primenjuju da determinišu koja su stanja sistema moguća,
poĉev od inicijalnog dogaĊaja - definišu se posledice.
Deduktivne metode se koriste da determinišu kako posmatrano stanje moţe da se realizuje
poĉev od neţeljenog dogaĊaja-definišu se uzroci.
PHA (Preliminary Hazard Analisys) je gruba induktivna i kvalitativna metoda za
identifikaciju potencijalne opasnosti. Liste praćenja potencijalnih opasnih elemenata i situacija
pruţaju pomoć pri sprovoĊenju PHA. Za uspešno izvoĊenje analize neophodno je formiranje
tima sastavljenog od eksperata koji su "familijarni" sa datim sistemom.
Svaki identifikovani neţeljeni dogaĊaj se posebno analizira kako bi se opisali mogući
uzroci, posledice i verovatnoće. Posledice mogu takoĊe biti izdvojene npr. u one koje imaju
uticaja na okolinu, zdravlje ljudi i ekonomiju i shodno tome se razliĉito ocenjuju. Nakon toga,
posledice i verovatnoće se rangiraju prema svojoj teţini. Analiza proizvodi preliminarni
kvalitativni dokument o mogućim neţeljenim dogaĊajima s obzirom na identifikovane izvore
rizika.
83
PHA ne identifikuje specifiĉne komponente koje mogu da prouzrokuju štete većih razmera,
ali moţe posluţiti kao osnova za buduću analizu sa nekom od metoda (FMEA, FMECA i
HAZOP).
HAZOP (Hazard and Operability Analisys) je kvalitativna i induktivna metoda za
sistematiĉnu analizu naĉina na koji mogu da nastanu devijacije u sistemu, odnosno za analizu
potencijala rizika te devijacije. Bazirana na dijagramu toka sistema, i skupu vodećih reĉi ili
scenarija, analiza rezultuje u identifikaciji opasnosti ili operacionalnih problema.
Metoda Procene verovatnoće rizika PRA (Probabilistic risk assessment) jedna je od
najznaĉajnijih analitiĉkih metoda za identifikaciju i analizu rizika projekata i kompleksnih
sistema. Proces PRA zapoĉinje identifikacijom seta inicijalnih dogaĊaja koji "pokreću" sistem.
Za svaki takav dogaĊaj, analiza determiniše sledeći dogaĊaj koji vodi ka realizaciji neţeljenog
(vršnog) dogaĊaja. Tada se odreĊuju magnitude posledica za scenarije, kao i njihove verovatnoće
pojavljivanja. Konaĉno, one se integrišu i reprezentuju profil rizika za dati sistem. Na slici 6.6.
prikazana je pomenuta metodologija.
Slika 6.6. Implementacija koncepta rizika u PRA
OdreĊivanje ukupnog rizika na osnovu skupa scenarija, omogućava polaznu osnovu za
identifikaciju i rangiranje udela rizika.
U procesnoj industriji menadţment rizika je tradicionalno fokusiran na razmatranje
verovatnoće specifiĉnih dogaĊaja ili havarijskih situacija. Uveden je struktuirani pristup za
identifikaciju scenarija otkaza i koncipiranje matematiĉkih alatki u numeriĉkom procenjivanju
rizika - PSA (probabilistic safety assessment - Procena verovatnoće rizika). Sistemi u procesnoj
industriji su obiĉno dobro definisani i omogućavaju primenu sofisticiranih sredstava za analizu.
Metode koje se koriste za identifikaciju kritiĉnih dogaĊaja ili sekvenci dogaĊaja su FMEA
(Failure mode and effect analysis), HAZOP (Hazard and Operability study), matrica rizika.
Metode za odreĊivanje verovatnoće dogaĊaja i efekata potencijalnih aktivnosti ukljuĉuju
analizu stabla otkaza i stabla dogaĊaja. TakoĊe, neka od mera vaţnosti komponenti (Fussell-
Vesely, Birnbaum) su veoma korisne u pokušaju da se poveća pouzdanost sistema.
84
9.3. Modelovanje sistema za kvantitativnu procenu (analizu) rizika
9.3.1. Neodređenost
Da bi se uradila kvantitativna analiza rizika, mora se uraditi model realnog sistema. Model
je na pojednostavljen naĉin prikazan realni sistem i sadrţi opise relacija izmeĊu posmatranih
kvantiteta.
Postoji nekoliko razliĉitih metoda za modelovanje sistema, u cilju proraĉuna njegove
pouzdanosti. Dve od tih metoda su funkcionalno i hardversko modelovanje.
Funkcionalni model realnog sistema je model koji prvo opisuje, a zatim logiĉki povezuje
funkcije neophodne za operacioni rad sistema.
Hardversko modelovanje koristi opremu koja je potrebnu za rad sistema kako bi prikazao
logiĉke veze izmeĊu individualnih komponenti i opisuje funkcije neophodne za funkcionisanje
sistema. Ĉesto se ove dve metode modelovanja kombinuju.
U kvantitativnoj analizi rizika interesuje nas verovatnoća pojave neţeljenog dogaĊaja. U tu
svrhu razvijeni su modeli npr. stablo otkaza, sa verovatnoćama osnovnih dogaĊaja kao
parametrima. Ove verovatnoće su subjektivne i izraţavaju neizvesnost kvantiteta. Razvojem i
korišćenjem probabilistiĉkih modela moguće je udruţivanje neizvesnosti sa svakom sluĉajnom
promenljivom u modelu.
9.3.2. Merenje neodređenosti
Analiza neodreĊenosti omogućava da se izraĉuna neodreĊenost u verovatnoći (frekvenciji)
pojave vršnog dogaĊaja kao rezultat neodreĊenosti u verovatnoćama (frekvencijama) pojave
osnovnih dogaĊaja. Za izvoĊenje analize potrebno je poznavanje pouzdanosti i raspodela
dogaĊaja.
Vršni dogaĊaj se obiĉno izraţava u zavisnosti od MSO. Ove sekvence se sastoje iz niza
dogaĊaja, od kojih je svaki definisan pomoću parametara. Pretpostavimo da je osnovni dogaĊaj
sa verovatnoćom pojave p. Ova vrednost nije poznata egzaktno već je estimirana na osnovu
podataka ili ekspertnog znanja. Neizvesnost p je kvantifikovana raspodelom verovatnoće:
srednja vrednost je najbolja estimacija za p, disperzija raspodele je mera neodreĊenosti za p, tj.
veća ili manja neodreĊenost reflektuje respektivno veću ili manju neodreĊenost vrednosti
verovatnoće p.
Za sve osnovne dogaĊaje, sluĉajni uzorci verovatnoća se uzimaju na bazi neodreĊenosti
raspodela. Ove vrednosti verovatnoća se tada koriste za proraĉun verovatnoće vršnog dogaĊaja.
Ukoliko se ovi uzorci i vršni dogaĊaj proraĉunavaju više puta, raspodela neodreĊenosti vršnog
dogaĊaja se moţe odrediti empirijski. Srednja vrednost raspodele indukuje verovatnoću vršnog
dogaĊaja, a disperzija kvantifikuje neodreĊenost verovatnoće. Za opisivanje analize pomoću
višestrukog ponavljanja sluĉajnog uzorkovanja koristi se Monte Karlo metoda. Korišćcnjem
generatora sluĉajnih brojeva, realizuje se višestruko kvantifikovanje vršnog dogaĊaja.
Za analizu neodreĊenosti potrebno je poznavanje raspodela verovatnoća (lognormalna,
eksponencijalna, normalna, beta itd.)
Kvantifikacija neodreĊenosti na nivou tehniĉkog sistema mora biti deo procesa finalnog
donošenja odluka. Poznavanje neodreĊenosti (neizvesnosti) u celokupnom riziku je veoma vaţno
radi odluĉivanja na osnovu više informacija.
85
9.3.3. Teorija verovatnoće
U matematiĉkoj teoriji verovatnoće, verovatnoća dogaĊaja A, P(A) zadovoljava sledeći
Kolmogorov aksiom:
0< P(A) < 1, P(izvesnog događaja) = 1 (1)
Pomenućemo jednu od poznatih interpretacija verovatnoće na osnovu relativne-
frekvencije: zamislimo veliki broj n ponavljanja eksperimenta pri ĉemu je A jedan od mogućih
ishoda. Ako se A desio k puta, tada je relativna frekvencija k/n. Verovatnoća dogaĊaja A se moţe
predstaviti u obliku:
n
kAP
n lim (2)
Bayes je razradio metodu odluĉivanja pri riziku, na bazi uslovne verovatnoće. Obeleţimo
dva oĉekivana dogaĊaja sa A i B i njihove verovatnoće nastupanja sa P(A) i P(B), respektivno.
Uslovnu verovatnoću nastupanja dogaĊaja A pod pretpostavkom da je nastao dogaĊaj B
oznaĉavamo sa P(A/B). Ukoliko je P(B>0), onda je:
)(
)(/
BP
ABPBAP (3)
gde je P(AB) verovatnoća nastanka dogaĊaja A i B.
Ako su A1, A2, ...., AN dogaĊaji od kojih će jedan i samo jedan nastupiti, a B je drugi
dogaĊaj, tada je po Bayesu:
N
i
ii
ii
i
ABPAP
ABPAPBAP
1
)/()(
)/()(/ (4)
gde je:
P(Ai) > 0, i = l, ..., N
P(B) > 0
P(Ai) je a priori verovatnoća i izraţava verovatnoću nastupanja dogaĊaja Ai, kada još ne
znamo da li je nastupio dogaĊaj B, dok je P(Ai/B) verovatnoća a posteriori i izraţava
verovatnoću nastanka dogaĊaja Ai nakon nastanka dogaĊaja B.
U praktiĉnim primenama teorije verovatnoće znaĉajnu ulogu ima zakon velikih brojeva i
on znaĉi da pri velikom broju sluĉajeva, pojava njihovih srednjih rezultata praktiĉno prestaje da
bude sluĉajan i moţe se predvideti sa velikom pouzdanošću, odnosno u odreĊenim uslovima
sluĉajne promenljive postaju nesluĉajne. To je veoma vaţno prilikom odreĊivanja naĉina
upravljanja rizikom.
9.3.4. Rangiranje scenarija rizika
Rangiranje scenarija rizika na osnovu njihovih frekvencija pojavljivanja omogućava nam
ograniĉen uvid u celokupnu raspodelu rizika s obzirom na vaţnost udela individualnih dogaĊaja
kao i otkaza komponenti u ukupnom riziku. Rangiranje scenarija pruţa nam uvid u vaţnost grupe
otkaza, ali ne i otkaza pojedinih komponenti. DogaĊaj (npr. otkaz komponente X ) koji se desio u
strukturi scenarija male verovatnoće pojave, moţe biti zanemaren u definisanju dominantnog
scenarija rizika. Ukoliko je udeo scenarija male verovatnoće pojave u ukupnom riziku uporedljiv
86
sa manje dominantnim scenarijem rizika, tada rangiranje scenarija neće obuhvatiti vaţnost rizika
komponente X.
Iz tog razloga na raspolaganju nam stoji nekoliko kvantitativnih merenja znaĉaja
individualnih dogaĊaja odnosno parametara u PRA. Suština ovih merenja je da definišu promene
u kvantitativnoj matrici rizika prouzrokovane promenom u verovatnoći pojave dogaĊaja u
modelu rizika. Na osnovu izraĉunatih mera znaĉaja, dogaĊaji jednog modela rizika se rangiraju
na osnovu njihovih relativnih vrednosti mera znaĉaja.
Informacije koje se generišu na osnovu ovog procesa se ĉesto koriste u donošenju odluka
na osnovu rizika i sluţe kao polazište aktivnostima i naporima na redukovanju rizika, kao što su
redizajn hardverskih komponenti, dodatna redundancija itd.
Mere znaĉaja su striktno formulisane za odreĊivanje osetljivosti metrike rizika na promene
verovatnoća pojave osnovnih dogaĊaja. Pri tome metrika rizika ima sledeću formu:
R = f(x1, x2, ... xi, xj, ..., xn) (5)
gde je xi=osnovni dogaĊaj i sa verovatnoćom pojave pi.
9.4. Metode procene ekološkog rizika
Procena ekološkog rizika omogućava da se smanje posledice ekoloških katastrofa velikih
razmera i predstavlja osnovu za planiranje preventivnih akcija, kako lokalnih uprava tako i
drţavnih sluţbi.
Na makro organizacionom nivou procene ekoloških rizika mogu znaĉajno doprineti
smanjenju dalje degradacije ţivotne sredine primenom integrisanog pristupa planiranju i
praćenju ţivotnog ciklusa proizvoda. Praćenje ekoloških efekata ţivotnog ciklusa proizvoda
predstavlja imperativ ekološki odgovornog poslovanja. TakoĊe, procena ekološkog rizika je
znaĉajna u procesu odabira materijala u nanotehnologijama kao jedne od najbrţe rastućih
proizvodnih grana.
Mogućnosti primene pojedinih metoda procene rizika u razliĉitim fazama procene rizika se
mogu oceniti kao: izuzetno primenljive, primenljive i neprimenljive, kao što je navedeno u
tabeli 1.
Tabela 1. Mogućnosti primene pojedinih metoda procene rizika u razliĉitim fazama
procene rizika
87
88
U tabeli 1 su navedene samo metode procene rizika, koje se najĉešće koriste, kao i one na
osnovu kojih su nastale mnoge druge metode koje koriste isti ili sliĉan pristup u proceni rizika.
89
10. LITERATURA
[1] Nikola Nikaĉević, Modelovanje i simulacija procesa, Tehnološko-metalurški fakultet
Univerzitet u Beogradu.2012.
[2] Primena ekološkog modelovanja, skripta, Fakultet za primenjenu ekologiju, Univerzitet
u Beogradu,
[3] Simendić, B.: Primenjene metode modelovanja eksperimenta, predavanja, Visoka
tehniĉka škola strukovnih studija u Novom Sadu, 2017.
[4] Adamović, Ţ., Ilić, B., Nauka o odrţavanju tehniĉkih sistema, Srpski akademski centar,
Novi Sad, 2013.
[5] Segedinac, T.: Teorija inţenjerskog eksperimenta, 1.deo, Metodologija pripreme, izrade
i odbrane završnog rada, Visoka tehniĉka škola strukovnih studija u Novom Sadu,
2012.
[6] Petrić, M.:Statistika, Visoka tehniĉka škola strukovnih studija u Novom Sadu, 2015.
[7] Ivana Kovaĉević, Verovatnoća i statistika sa zbirkom zadataka, Univerzitet
Snigidunum, Beograd, 2018.
[8] Dolević V.,Primenjena statistika, Nauĉna knjiga, Beograd 1993.
[9] Bakraĉ, S., Milanović, M., Marić, M., Marković, S. (2012). Procena ekološkog rizika u
funkciji zaštite ţivotne sredine. Vojnotehniĉki glasnik, broj 4, godina LX, oktobar-
decembar, 165-178.
[10] Ćirović, M., Petrović, N., Makajić-Nikolić, D. (2016). Procena rizika u
ekološkom menadzmentu. Zbornik radova sa konferencije Symopis-2016. 49-52.
[11] Mišović, M., Đurović, B. (2000). Glavna ekološka ţarišta - osnovni podaci.
Zbornik radova sa struĉnog skupa "Ekološki aspekti radioaktivne i hemijske
kontaminacije tokom agresije NATO pakta na SRJ". 19- 26.
[12] Pavlović, V. (2012). Ekologija i rat, Izveštaj nezavisnih eksperata o NATO
bombardovanju SRJ. Beograd: CEPOR, FPN.
[13] Suter, GW. 2006. Ecological risk assessment, Second Edition. Boca Raton-
Florida: CRC Pres.
[14] T. Rinne, J. Hietaniemi, S. Hostikka, Experimental Validation of the FDS
Simulations of Smoke and Toxsic Gas Concentrations, VTT Finland, 2007.
[15] J. D. Motorigin, Matematiĉskoe modelirovanie procesov vozniknovenija i
razvitija poţarov, Sankt Peterburg 2011.
[16] Špoljarić, M., Raspoloţivost i rizik rada vjetroelektrana, Fakultet elektrotehnike i
raĉunarstva, Zagreb, 2011.
[17] Le Fox R., Ziegler J. A., "Reworking the Swiss Chesse Model", Human
Dimensions of Wildland Fire conference in Fort Collins, Colorado, October, 2007
[18] Leath S., "Fire Safety Guedilines", Department of Environmental Health and
Safety, Iowa State University, 2012.
[19] Pravilnik о naĉinu i postupku procene riziku na radnom mestu i u radnoj okolini,
Sluţbeni glasnik RS br. 72/2006 оd 29.8.2006. godine.