0

Dr Božo Ilić

- Skripta I deo -

PRIMENJENE METODE MODELOVANJA RIZIKA / PRIMENJENE METODE

MODELOVANJA EKSPERIMENTA

Visoka tehnička škola strukovnih studija

u Novom Sadu, 2018

1

SADRŽAJ

SADRŽAJ .............................................................................................................................. 1

1. ISTRAŽIVANJA ........................................................................................................ 3

1.1. Faze istraživačkog rada ........................................................................................... 4

1.1.1. Izbor teme ........................................................................................................ 4

1.1.2. Proučavanje problematike ............................................................................... 5

1.1.3. Definisanje problema i postavljanje hipoteze ................................................. 5

1.1.4. Planiranje i modelovanje eksperimenta ........................................................... 6

1.1.5. Mere sigurnosti prilikom izvođenja eksperimenta .......................................... 6

1.1.6. Organizacija rezultata i analiza podataka ........................................................ 7

1.1.7. Prikazivanje rezultata ...................................................................................... 7

1.2. Metode istraživanja ................................................................................................. 7

1.2.1. Empirijska metoda ........................................................................................... 9

1.2.2. Metoda posmatranja ........................................................................................ 9

2. EKSPERIMENTALNA ISTRAŽIVANJA ............................................................... 10

3. ISTRAŽIVANJA METODOM MODELOVANJA .................................................. 12

3.1. Pojam modelovanje ............................................................................................... 12

3.2. Ciljevi modelovanja .............................................................................................. 13

3.3. Primeri upotrebe modelovanja .............................................................................. 13

3.4. Podele modela ....................................................................................................... 14

4. MATEMATIČKO MODELOVANJE ...................................................................... 19

4.1. Empirijski modeli .................................................................................................. 22

4.1.1. Prednosti empirijskih modela ........................................................................ 22

4.1.2. Nedostaci empirijskih modela ....................................................................... 22

4.1.3. Primeri upotrebe empirijskih modela ............................................................ 23

4.1.4. Primer eksperimentalne identifikacije sistema .............................................. 23

4.1.5. Teorija sličnosti ............................................................................................. 23

4.1.6. Dimenziona analiza ....................................................................................... 24

4.1.7. Empirijske korelacije ..................................................................................... 24

4.1.8. Korelacije – linearna i nelinearna regresija ................................................... 25

4.1.9. Eksperimentalna validacija modela ............................................................... 25

4.2. Deterministički (fundamentalni) modeli ............................................................... 26

4.2.1. Prednosti determinističkih (fundamentalnih) modela ................................... 27

4.2.2. Nedostaci determinističkih modela ............................................................... 27

4.2.3. Primeri upotrebe determinističkih (fundamentalnih) modela ....................... 27

4.2.4. Nivoi matematičkog opisa sistema i procesa ................................................ 27

4.3. Populacioni modeli ................................................................................................ 28

4.4. Stohastički modeli ................................................................................................. 29

4.4.1. Primena Monte Karlo metode u modelovanju stohastičkih procesa ............. 38

5. STATISTIČКA ISTRAŽIVANJA ............................................................................ 40

5.1. Primena računara u statističkoj analizi .................................................................. 42

2

5.2. Statistički skup ...................................................................................................... 42

5.3. Statističko obeležje ................................................................................................ 44

5.4. Statistički uzorak, reprezentativni uzorak i parametri skupa ................................ 45

5.5. Prosta korelaciona i regresiona analiza ................................................................. 46

5.6. Funkcionalna i stohastička veza ............................................................................ 47

5.7. Razlika između regresione i korelacione analize .................................................. 49

5.8. Dijagram raspršenosti ............................................................................................ 50

6. TEORIJA VEROVATNOĆE .................................................................................... 53

6.1. Klasična definicija verovatnoće ............................................................................ 53

6.2. Statistička definicija verovatnoće .......................................................................... 54

7. RAČUNARSKO MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA .......................... 57

7.1. Primena softverskog paketa MATLAB u računarskom modelovanju i simulaciji

procesa 58

8. EKOLOŠKO MODELOVANJE.............................................................................. 60

8.1. Faze (koraci) izrade ekološkog modela ................................................................. 60

8.1.1. Definisanje (identifikacija) problema koga korisnik modela želi da reši

korišćenjem tog modela ........................................................................................................ 63

8.1.2. Upoznavanje realnog sistema koji se istražuje (proučava) ........................... 63

8.1.3. Izrada konceptualnog modela ........................................................................ 64

8.1.4. Postavljanje (usvajanje) pretpostavki modela ............................................... 68

8.1.5. Izrada (formiranje) matematičkog modela, tj. formiranje jednačina koje na

adekvatan način opisuju ponašanje realnog sistema ............................................................. 68

8.1.6. Izrada računarskog modela ............................................................................ 71

8.1.7. Verifikacija računarskog modela (testiranje programa) ................................ 74

8.1.8. Validacija (vrednovanje) modela realnog sistema ........................................ 75

8.1.9. Praktična primena (implementacija) modela. ................................................ 75

9. RIZIK ........................................................................................................................ 76

9.1. Pojam rizik ............................................................................................................ 76

9.2. Procena rizika ........................................................................................................ 76

9.2.1. Kvantitativne metode procene rizika ............................................................. 78

9.2.2. Kvalitativne metode procene rizika ............................................................... 80

9.2.3. Identifikacija opasnosti ................................................................................. 82

9.3. Modelovanje sistema za kvantitativnu procenu (analizu) rizika ........................... 84

9.3.1. Neodređenost ................................................................................................. 84

9.3.2. Merenje neodređenosti .................................................................................. 84

9.3.3. Teorija verovatnoće ....................................................................................... 85

9.3.4. Rangiranje scenarija rizika ............................................................................ 85

9.4. Metode procene ekološkog rizika ......................................................................... 86

10. LITERATURA .......................................................................................................... 89

3

1. ISTRAŽIVANJA

Čovek je kroz istoriju nastojao da više sazna o stvarnosti koja ga okružuje, što ga je teralo

da stiče različita znanja o pojavama u prirodi i društvu. Metodološko sticanje znanja jeste nauka.

Nauka predstavlja skup svih sistematizovanih stečenih znanja (zakona, zakonitosti, teorija

itd.) o pojavama u prirodi i društvu do kojih se došlo primenom objektivnih naučnih metoda.

Osnovni cilj nauke jeste otkrivanje istine, odnosno utvrđivanje zakona i zakonitosti o

pojavama u prirodi i društvu.

Nauka se bavi proširivanjem i produbljivanjem saznanja o pojavama (fenomenima) u

prirodi i društvu iz prošlosti i sadašnjosti radi prognoziranja i predviđanja ponašanja tih pojava u

budućnosti.

S obzirom na to koje metode koriste, postoje:

neeksperimentalne nauke, kod njih se rezultati istraživanja uglavnom zasnivaju na

teoriji i

eksperimentalne nauke, kod njih se rezultati istraživanja uglavnom zasnivaju

eksperimentima.

S obzirom na to da li koriste opšta ili specifična znanja, postoje:

deduktivne nauke, koje pored opštih koriste i specifična znanja i

induktivne nauke, koje uglavnom koriste opšta znanja.

Istraživanja nastaju:

iz čovekove radoznalosti, odnosno iz čovekove potrebe da sazna više o stvarnosti

koja ga okružuje, i

iz čovekove potrebe za progresom, odnosno iz čovekove potrebe za poboljšanjem

uslova života i rada.

Istraživanja uvek ne doprinose progresu, postoje primeri zloupotrebe istraživanja.,

Osnovna uloga istraživanja je:

verifikacija (provera) postojećih saznanja,

proširivanje postojećih saznanja i

otkrivanje novih saznanja (zakona, zakonitosti, teorija i sl.).

Istraživanja mogu biti:

teorijska, zasnivaju se na teoriji i

empirijska, zasnivaju se na eksperimentima

S obzirom na funkciju istraživanja mogu biti:

Fundamentalna (neusmerena, slobodna, bazična) istraživanja, predstavljaju teorijski

ili eksperimentalni rad koji je usmeren na proširivanje opšteg fonda znanja a ne na

rešavanje praktičnih problema.

Primenjena (usmerena, strateška, aplikativna, operativna) istraživanja, predstavljaju

teorijski ili eksperimentalni rad koji je usmeren na rešavanje praktičnih problema, a

na osnovu rezultata fundamentalnih istraživanja.

4

Razvojna istraživanja, predstavljaju teorijski i eksperimentalni rad usmeren na

poboljšanje tehnoloških postupaka, izradu novih prototipova proizvoda i sl., a na

osnovu rezultata fundamentalnih i primenjenih istraživanja.

Razlika između fundamentalnih i primenjenih istraživanja je u tome što su fundamentalna

istraživanja usmerena na proširivanje opšteg fonda znanja, a ne na rešavanje praktičnih problema

(nemaju praktičnu primenu) kao što su primenjena istraživanja.

Nauka istraživački rad deli na naučni i stručni da bi otklonila problem pojave rezultata

istraživanja vrlo interesantnih i upotrebljivih u praksi, ali potpuno irelevantnih za nauku pa time i

suštinski ograničene naučne vrednosti. U naučna istraživanja spadaju fundamentalna istraživanja,

dok u stručna istraživanja spadaju primenjena i razvojna istraživanja.

U praksi se često metodologija stručnog istraživanja poistovećuje sa metodologijom

naučnog istraživanja. Međutim, razlika između ove dve metodologije je u tome što su u

stručnom istraživanju niži kvalitet i pojednostavljenije procedure nego u naučnom istraživanju.

Da bi istraživači mogli da kreiraju svoja naučna, naučno-stručna i stručna pisana dela, oni

moraju imati znanja:

o metodologiji naučnog istraživanja, tj. o naučnim metodama koje se mogu

primenjivati u naučnim istraživanjima i

o tehnologiji naučnog istraživanja, tj. o metodološkim postupcima transformacije

ideja u pisana dela.

1.1. Faze istraživačkog rada

Faze istraživačkog rada su:

1. izbor teme istraživanja,

2. proučavanje problematike,

3. definisanje problema i postavljanje hipoteza,

4. planiranje i modelovanje eksperimenta,

5. primena mera sigurnosti,

6. organizacija rezultata i analiza podataka i

7. prikazivanje rezultata.

1.1.1. Izbor teme

Prvi korak u započinjanju istraživanja je izbor teme istraživanja. On je vrlo važan korak u

naučnom radu, a istovremeno je i najkreativniji deo istraživanja.

Pri izboru teme za istraživanje obično se daje odgovor na sledeća pitanja:

1. Šta se želi istraživati?

2. Da li ima smisla to istraživati?

3. Da li je to važno?

4. Da li je to naučno zanimljivo i intrigantno?

Tema za istraživački rad se može pronaći sagledavanjem šta je aktuelni problem, šta je

trend i šta je važno u odabranoj naučno oblasti.

5

Prilikom izbora teme istraživanja razmatra se:

1. Relevantnost planiranog istraživačkog rada, kojom treba da se odredi relacija

očekivanih rezultata istraživanja sa naučnim saznanjima naučne grane i polja.

2. Naučni doprinos, koji daje odgovor na naučnost predloženog istraživanja. Ako

očekivani rezultati istraživanja ne znače nove metode i postupke, nove činjenice kojima

se potvrđuje ili opovrgava neka naučna hipoteza niti otvara novo područje istraživanja,

ukratko, ako nije moguće u jednoj rečenici odgovoriti čime novim istraživanje

doprinosi ljudskom znanju, onda se ne radi o naučno-istraživačkom radu nego o

stručno-istraživačkom radu.

3. Procena štetnosti (za ljude, životinje, životnu sredinu) planiranog istraživanja, koja se

odnosi na moguću štetnost postupaka istraživanja u toku istraživanja i

4. Procena etičnosti planiranog naučno-istraživačkog rada, danas je sve važnija posebno

sa stanovišta povećane mogućnosti nauke da ostvare rezultati koji se mogu

zloupotrebiti protiv čoveka i životne sredine.

1.1.2. Proučavanje problematike

Kvalitetnom istraživanju prethodi proučavanje problematike kojom se istraživač namerava

baviti. Nakon izvršenog prikupljanja literature ili paralelno s njim, prikupljene radove - reference

treba pročitati, proučiti i obraditi. Time se istraživač upoznaje sa stanjem nauke i naučnim

dostignućima, naučnim " backgroundom". Pri tome, najpre treba pročitati uopštene radove

(pregledne radove) koji daju uvid u širu problematiku u području teme. Potom se može nastaviti

s čitanjem radova koji tretiraju užu problematiku.

Brojni su izvori naučnih i stručnih informacija, ali u naučnom radu najvažniji je izvor

informacija literatura. Primarni izvori podataka su originalni naučni radovi i izveštaji o izvršenim

originalnim naučnim istraživanjima. Sekundarni izvori podataka su izvori koji se zasnivaju na

primarnim izvorima (enciklopedije, udžbenici, monografije, pregledni radovi).

1.1.3. Definisanje problema i postavljanje hipoteze

Uspešno sprovođenje naučnog istraživanja zahteva jasno definisanje njegove svrhe i

ciljeva, koje se zasniva na poznavanju problema, jer u suprotnom će se sakupiti velika količina

informacija, a neće biti ideje šta s njima. Zato treba definisati kako se planirana istraživanja

uklapaju u širu problematiku nauke, odrediti ključne parametre istraživanja, tako da se mogu

planirati metode za obradu uzoraka i analizu podataka.

Ako se radi o planiranju eksperimentalnih istraživanja, potrebno je odlučiti koje će se

varijable držati konstantnim ili kontrolisanim, a koje će biti promenljive. Ako naučno

istraživanje uključuje statističku obradu suštinsko je da se uzorkovanje izvrši slučajnim izborom

koristeći tabelu slučajnih brojeva.

Za određivanje načina za postizanje cilja potrebno je postavljati pitanja i time definisati

problem. Pitanja se definišu na osnovu saznanja istraživača o stanju nauke i naučnim rezultatima

te refleksije cilja istraživanja na naučna saznanja. Postupak postavljanja pitanja predstavlja jedan

oblik metode idealnih tipova, tj. zapravo je naučni oblik priželjkivanog mišljenja, i znači

pretpostavku posmatranja za postizanje željenog, očekivanog ili planiranog cilja. Svako od ovih

posmatranja, definisanih kao pitanje predstavlja privremena predhipotezu, pripremu hipoteze.

Postavljanjem potrebnog i dovoljnog broja pitanja, kojima su dobijeni odgovori na sva stanovišta

problema, definisan je dovoljan broj predhipoteza čijom sintezom se definiše jedna ili više

hipoteza.

6

1.1.4. Planiranje i modelovanje eksperimenta

Naučno istraživanje, nakon definisanja jedne ili više hipoteza, ulazi u fazu

potvrđivanja (verifikacije) ili opovrgavanja hipoteze (falsifikacije). U ovoj fazi sprovodi se,

saglasno usvojenoj hipotezi, postupak provere prognoze (predviđanja) rezultata budućeg

opažanja, eksperimenta ili simulacije, što znači predviđanje budućeg prirodnog događaja,

budućeg eksperimentalnog događaja ili rezultata simulacije.

Ako potvrđivanje hipoteze zahteva proveru prognoze eksperimentom, prvi korak u

planiranju eksperimenta je određivanje broja i vrste podataka kojima se proverava

hipoteza potvrdom ili opovrgavanjem prognoze. Ispravno modelovan eksperiment daje

relevantne podatke potrebne za potvrdu hipoteze i sastoji se samo od onih

eksperimentalnih aktivnosti potrebnih za dobijanje planiranog broja i planirane vrste

podataka. Podaci, koji nisu u funkciji potvrde prognoze, bez obzira na njihovu moguću

korisnost, suštinski su rezultat nepreciznog modelovanja eksperimenta ili nekorektnog

planiranja. Zato u planiranje, modelovanje i sprovođenje eksperimenta treba uključiti:

1. Izbor samo onih podataka vezanih za prognozu (podaci koji potvrđuju ili opovrgavaju

prognozu).

2. Modelovanje eksperimenta na osnovu traženih podataka.

3. Definiciju kontrolnog događaja.

4. Izbor metoda merenja, opažanja i beleženja onoga što se događa u svakoj fazi

eksperimenta.

5. Planiranje vremenskih rokova za svaku fazu eksperimenta.

6. Realizaciju eksperimenta. i

7. Analizu svih dobijenih rezultata (ne treba odbacivati negativne rezultate jer nema

negativnih rezultata eksperimenta već samo postoje rezultati koji u kontekstu

eksperimenta nisu ispravno interpretirani).

1.1.5. Mere sigurnosti prilikom izvođenja eksperimenta

U praksi naučnih istraživanja pojavljuju se i eksperimenti, koji zahtevaju i upotrebu

opasnih organizama, hemikalija ili opreme, pa u rukovanju s njima treba preduzeti sve propisane

mere bezbednosti i zdravlja na radu, kao i zaštite životne sredine. Pri planiranju eksperimenata

takvih naučnih istraživanja sve aktivnosti i procedure treba kontrolisati, uvažavajući moguće

opasnosti i štetnosti, koje mogu nastati zbog neprimenjivanja zaštitnih sredstava i opreme pri

ispravnom radu eksperimentalne opreme ili zbog kvara ili neispravnog rada opreme.

Potencijalne opasnosti tokom izvođenja različitih eksperimenata mogu biti:

1. Biološke kulture (bakterije, virusi, gljivice itd.).

2. Hemijske materije (toksične, agresivne).

3. Električni i mehanički aparati (struja, visoki napon, opasnost od mehaničkih povreda).

4. Opasnost od požara.

5. Izloženost radijaciji.

6. Izloženost od izlaganja laserskim zracima.

7. Izloženost UV svetlu.

8. Izloženost X-zračenju.

7

9. Izloženost mikrotalasnim zračenjima.

10. Izloženost poljima radiotalasa visokog intenziteta.

11. Izloženost radioaktivnom zračenju (β, γ).

1.1.6. Organizacija rezultata i analiza podataka

Tokom istraživanja vrlo je važno pažljivo beležiti dobijene rezultate u unapred definisanu

tabelu. Dobijene rezultate treba analizirati i ako je to potrebno i statistički obraditi. Na primer,

ako se dve ili više aritmetičkih sredina značajno statistički razlikuju primenom analize

Studentovim t-testom (u slučaju dve aritmetičke sredine) ili primenom analize varijansi (za

poređenje više od dve aritmetičke sredine), to je dokaz da polazna hipoteza nije dobro

postavljena. Najvažnija prepostavka za većinu osnovnih statističkih testova (parametarski

testovi) je normalna raspodela podataka (to znači da će vrednosti podataka nacrtane u odnosu na

njihovu frekvenciju dati karakterističnu krivu normalne raspodele). Ako podaci nisu normalno

raspodeljeni tada treba izbegavati parametarske testove i primeniti neparametarske testove.

Kod primene statističke obrade posebno je važno kontrolisati značajnost, statističkom

obradom, dobijenih rezultata. Osnovni statistički postupci s kojima se istraživači, u pretežnom

broju istraživanja, redovno susreću su:

aritmetička sredina,

raspon,

standardna devijacija,

varijansa,

standardna greška aritmetičke sredine,

granice pouzdanosti.

1.1.7. Prikazivanje rezultata

Za prikazivanje rezultata u istraživačkoj praksi najčešće se koriste:

tabele i

dijagrami.

Ako je informacije moguće izraziti tekstualno tada nema potrebe koristiti tabelu ili

dijagram.

1.2. Metode istraživanja

Razvijene su brojne metode koje nauka koristi u naučnim istraživanjima, da bi se istražio

naučni problem i da bi se došlo do naučnih saznanja.

Prema nivou opštosti, naučne metode (metode istraživanja) se dele na:

posebne naučne metode,

opšte naučne metode i

tehničke metode.

1. Posebne naučne metode

8

Neke posebne naučne metode se primenjuju u svim naučnim područjima a neke se

primenjuju samo u nekim naučnim područjima. Posebne naučne metode:

metoda analize i sinteze,

metoda apstrakcije i konkretizacije,

metoda generalizacije i specijalizacije,

metoda klasifikacije,

metoda indukcije i dedukcije,

metoda dokazivanja i opovrgavanja

aksiomatska metoda,

istorijska metoda,

metoda deskripcije,

metoda kompilacije,

dijalektička metoda,

genetička metoda,

metoda merenja,

metoda mozaika itd.

2. Opšte naučne metode

Opšte (osnovne) naučne metode se primenjuju bez obzira na naučno područje, naučno

polje, naučnu granu, naučnu disciplinu ili interdisciplinarno naučno područje. Opšte naučne

metode su:

empirijska metoda,

metoda modelovanja,

statistička metoda,

metoda crne kutije,

matematička metoda,

komparativna metoda,

kibernetička metoda,

metoda teorije sistema,

analitičko-deduktivna metoda itd.

3. Tehničke metode

Tehničke metode, su:

metoda posmatranja (opažanja),

eksperimentalna metoda,

metoda naučnog ispitivanja:

o metoda intervjuisanja,

9

o metoda anketiranja,

o metoda brojanja,

informatička metoda,

metoda studije slučaja itd.

1.2.1. Empirijska metoda

Empirijska metoda se zasniva na iskustvu, radi objašnjavanja nekih pojava, sudova i

zaključaka. Ona omogućava pristup istraživanjima i izvođenje eksperimenta bez postavljanja

hipoteze ili nastojanja da se ona dokaže. Kao nepotpuna eksperimentalna metoda, često se u

literaturi pominje empirijska metoda, u kojoj pristupamo istraživanju bez postavljanja naučne

hipoteze.

Istraživanja koja se sprovode ovom metodom smatraju se prethodnim eksperimentima, na

osnovu kojih se mogu postavljati radne hipoteze i preduzimati nova naučna istraživanja kako bi

se te hipoteze verifikovale. Može se recimo, koristiti u poljoprivredi, ako se, na primer, želi da

ispita prinos novih vrsta biljaka, ili u farmaceutskoj industriji prilikom testiranja novih lekova

itd.

Rezultati do kojih se dolazi ovom metodom su vrlo važni, pre svega za praktičnu primenu,

ali i za nauku, jer oni najčešće predstavljaju fazu prikupljanja naučnih činjenica na osnovu kojih

se utvrđuju zakonitosti.

1.2.2. Metoda posmatranja

Metoda posmatranja je organizovano posmatranje u cilju otkrivanja novih činjenica ili

proveravanja naučnih hipoteza. Naučno posmatranje kao metoda može da prethodi svakoj drugoj

metodi, a pre svih eksperimentalnoj metodi. Pažljivo posmatranje je neizbežno kao samostalan

čin u prirodnim uslovima, zatim prilikom eksperimentisanja, kao i u uslovima koje stvara

praktičan život. Može se primeniti u svim naučnim područjima i naučnim disciplinama u

kombinaciji s drugim naučnim metodama.

Da bi posmatranje bilo naučno-saznajno vredno, mora biti:

što objektivnije,

što svestranije i što potpunije,

što preciznije i što strože,

što sistematičnije.

Naučno posmatranja može biti:

neposredno (direktno) posmatranje

indirektno posmatranje,

sveobuhvatno posmatranje (predmet posmatranja je neka složena i dugotrajna

pojava),

masovno posmatranje (predmet posmatranja je neka masovna pojava),

pojedinačno posmatranje (predmet posmatranja je neka pojedinačna pojava – redak i

jedinstven fenomen),

sistemsko posmatranje.

10

2. EKSPERIMENTALNA ISTRAŽIVANJA

Eksperiment je latinska reč (experimentium) što u prevodu znači ogled (opit, pokus ili

proba).

Eksperimnet je jedna od najvažnijih, najobjektivnijih i najegzaktnijih naučnih metoda, tako

da saznanja zasnovana na njemu imaju visok naučni značaj.

Eksperiment je metod naučnog istraživanja u kojem se namerno i sistematski menja neka

pojava, da bi se izazivala, a onda posmatrala i merila neka druga pojava, dok se ostali relevantni

uslovi (promenjive) kontrolišu ili pak izoluju.

Eksperimentalna metoda je postupak organizovanog posmatranja, kojim se predmet

istraživanja izlaže više puta različitim uslovima u pogledu temperature, pritisaka i drugih

fizičkih, hemijskih i ostalih uticaja, uz pomno beleženje promena koje se pri tome

dešavaju. Faktori koji utiču na eksperiment, a ne uzimaju se u obzir nazivaju se spoljni faktori

(eliminišu se ili drže konstantnim). Spoljni faktori remete uticaj osnovnih faktora smanjujući

tačnost rezultata.

Eksperimentalna metoda se često koristiti sa drugim naučnim metodama, naročito sa

metodom posmatranja.

Eksperiment je analitički postupak za proučavanje uzročno-posledičnih veza. Eksperiment

u osnovi predstavlja pokušaj i posmatranje.

Postoji više vrsta eksperimenata, a najpoznatiji su:

eksperimenti u laboratorijskim uslovima,

eksperimenti u prirodnim uslovima,

veštački (ispitivanje inteligencije ljudi pomoću testova),

eksperimenti (simulacije) na računaru itd.

Bitna saznajna uloga eksperimenta je u:

proveravanju činjenica koje su ranije utvrđene, ali koje nisu potpuno pouzdane

(proveravanju hipoteza, naučnih zakona, stavova i teorija),

otkrivanju novih naučnih činjenica o pojavama koje se istražuju (postavljanju novih,

konkretnijih, adekvatnijih i specijalnijih hipoteza).

U svim slučajevima eksperiment je tako organizovan postupak stručnog i/ili naučnog

istraživanja, da dobijeni rezultat nesumljivo i nedvosmisleno potvrđuje ili odbacuje postavljenu

hipotezu. Eksperiment kojim se razrešava protivrečnost između dve različite hipoteze naziva se

krucijalni (putokazni) eksperiment.

Hipoteza je razumna pretpostavka zasnovana na prethodnim opažanjima i stečenim

znanjima, koju treba dokazati. Cilj eksperimenta je da pruži odgovor na ne istraženo pitanje.

Naučni eksperiment je metoda praktično-teorijskog saznanja, čiju strukturu čine:

eksperimentator (pojedinac ili grupa istraživača koji vrše eksperiment),

predmet eksperimenta (realni sistemi, pojave i procesi, njihovi kvaliteti, kvantiteti,

mere, načini nastanka, promene itd.),

sredstva eksperimenta (materijali eksperimenta, instrumenti, uređaji, mašine,

postrojenja itd.),

11

postupci eksperimenta (odabiranje vrste ogleda, izdvajanje ogledne grupe, teorijsko-

praktične operacije, postavljanje hipoteza i njihova provera),

eksperimentalni proces (uslovi eksperimentalne situacije, fizički i hemijski procesi i

drugo),

rezultati eksperimenta, i

interpretacija rezultata eksperimenta i izvođenje naučnih pretpostavki i zakona.

Obrada rezultata eksperimenta je završni deo rada eksperimentalnog istraživanja i sastoji

se iz:

provere podataka,

određivanje greške eksperimenta ili njenog merila,

provere hipoteze,

sređivanje rezultata u obliku prikazivanja.

Rezultati eksperimenta moraju dati što više verodostojnih informacija. U inženjerskim

eksperimentima najčešće se zahteva kvantitativno prikazivanje rezultata u obliku funkcija ili

grafikona.

Planiranje naučnog eksperimenta je podešavanje pojava tako da eksperimentalni proces

“odgovori” na postavljeno pitanje i da se izvrši organizovanje ogleda.

Prvi korak u eksperimentalnom istraživanju može da bude uspešno mehaničko shvatanje

po kome jedan uzrok ima jednu posledicu. U najvećem broju slučajeva i u različitim oblastima

istraživanja koriste se tzv. test funkcije na ulazu u sistem. Sledeći koraci u istraživanju mogu da

budu usmereni na upoznavanje funkcionisanja sistema. Zadatak različitih, više ili manje

razrađenih i primenljivih metoda eksperimentalnog istraživanja jeste upućivanje istraživača na

moguće postupke eliminacije.

Eksperimentalna metoda se primenjuje široko u gotovo svim oblastima nauke. Danas je u

primeni veliki broj eksperimentalnih metoda u tehničkoj dijagnostici za procenu stanja tehničkih

sistema.

Ovde treba reći da se kao deo svakog eksperimenta mora tretirati postupak merenja.

Obično struktura postupaka merenja sadrži: merni objekat - nosilac merne veličine, merni signal

– primarni signal, prijemnik signala, merni signal (preslikani signal), korekturni član – računski

element, korigovani preslikani signal, optički instrument – pokazivač, merna vrednost,

registrovanje, memorisanje, obrada podataka (računar), i očitavanje i dr.

12

3. ISTRAŽIVANJA METODOM MODELOVANJA

3.1. Pojam modelovanje

Direktna istraživanja na velikim i složenim sistemima (kao što su: tehnički, poslovni,

ekonomski, vojni itd.) po pravilu su vrlo skupa (zahtevaju puno resursa i vremena), teško, a

ponekad i nemoguće izvodljiva, naročito u fazi njihovog planiranja, projektovanja i uvođenja u

rad. Da bi se olakšala istraživanja (proučavanja) ovakvih sistema često se ona vrše metodom

modelovanja.

Istraživanje realnog sistema metodom modelovanja podrzumeva da se realni sistem

predstavi (zameni) modelom, tako da se umesto na realnom sistemu istraživanja vrše na

njegovom modelu, a zatim se dobijeni rezultati sa modela prenose na realni sistem (pojavu), pri

tome se istraživanja na modelu mogu vršiti eksperimentalno ili simulacijom na računaru.

Model je na pojednostavljen (uprošćen) način predstavljen (prikazan) neki realni sistem

(fenomen ili proces). Model nikada potpuno verno ne predstavlja realni (stvarni) sistem, već je

uvek u nekoj meri pojednostavljen. Koliko će model biti pojednostavljen (odnosno složen) zavisi

od njegove namene. Nalaženje prave mere pojednostavljenja (apstrakcije) realnog sistema često

nije jednostavno, i tu u punoj meri do izražaja dolazi inženjerska veština i intuicija (znanje

stečeno iskustvom).

Nivo pojednostavljenja (apstrakcije) realnog sistema utiče na validnost modela. Validnost

modela pokazuje koliko je verno (uspešno) realni sistem predstavljen preko modela. S jedne

strane model treba da bude složen kako bi dovoljno verno predstavljao (opisivao) realni sistem,

dok sa druge strane model treba da bude što jednostavniji kako bi se sastojao od jednostavnijih

algoritama, a time bio jeftiniji i lakši za istraživanja, a simulacije se brže izvodile na računaru.

Prilikom izrade modela realnog sistema nikada se u model ne ugrađuju sve karakteristike

realnog sistema, nego samo one koje su bitne za njegovo proučavanje (nebitne karakteristike se

zanemaruju). Tako da je model u bitnim karakteristikama analogan sa realnim sistemom

(predmetom modelovanja), što omogućava da se do određenih saznanja o realnom sistemu (o

ponašanju, efikasnosti i drugim bitnim karakteristikama) dođe preko modela, tj. na osnovu

rezultata istraživanja na modelu. Prilikom prenosa dobijenih rezultata istraživanja sa modela na

realni sistem treba voditi računa o pretpostavkama i zanemarenjima, uz koje je formiran model

realnog sistema, jer samo uz te pretpostavke i zanemarenja vrede dobijeni rezultati istraživanja.

Model treba da se pod istim pretpostavkama ponaša kao realni sistem.

Strukturu modelovanja čine:

predmet modelovanja, je realni sistem koji se istražuje (proučava),

13

model, je predmet koji zamenjuje realni sistema sa kojim je analogan u bitnim

karakteristikama i

čovek (prisutna svest).

Prilikom istraživanja realnog sistema metodom modelovanja mogu nastati dve teškoće:

da li je model validna predstava realnog sistema (pojave) i

ispravnost prenošenja dobijenih rezultata sa modela na realni sistem (pojavu).

Modeli mogu biti:

jednostavni (fizički model aviona u aerodinamičkom tunelu) i

veoma složeni matematički modeli (optimizacioni i simulacioni modeli strateškog

sistema odbrane, planiranja realizacije složenih objekata, sistema i procesa).

3.2. Ciljevi modelovanja

Istraživanje realnih sistema metodom modelovanja omogućava da se:

bolje razumeju realni sistemi (fizički, biološki i društveni itd.) sa kojima je model u

bitnim karakteristikama analogan;

bolje razumeju i planiraju eksperimenti;

steknu nova saznanja o realnim sistemima preko njihovih modela, čime se smanjuju

nesigurnosti vezane za realne sisteme (fenomene ili procese) koje se model

predstavlja;

predvidi ponašanje realnih sistema (fenomena ili procesa) u budućnosti;

obave različite simulacije, koje mogu od biti velike pomoći prilikom donošenja

određenih odluka. Modeli omogućavaju da se postavljaju pitanja „šta ako“, koja su

vezana za moguće promene u stanju ili funkcionisanju sistema (fenomena ili procesa)

u određenim uslovima;

projektuju uređaji i postrojenja;

ispitaju postojeći uređaji;

izvrši optimizacija i efikasnije upravljanje realnim sistemima;

kontrolišu neželjeni događaji;

izbegnu opasnosti koje mogu uzrokovati eksperimenti nad realnim sistemima;

reše različiti problemi u tekućoj proizvodnji;

osvoje nove tehnologije ili proizvodi;

kreiraju novi (originalni) tehnološki postupci, tehnološki sistemi, oprema, uređaji,

inovacije itd.

3.3. Primeri upotrebe modelovanja

Istraživanja realnih sistema metodom modelovanja se koriste u različitim oblastima, kao

što su:

Marketing: Ako je cena proizvoda porasla, koliko će potražnja opasti?

14

Nabavka: Ako postoji više izvora sirovina i više postrojenja, kako rasporediti sirovine

po postrojenjima?

Sinteza: Кoji procesi su neophodni za proizvodnju željenog proizvoda?

Projektovanje: Кoji tipovi uređaja i kojih dimenzija su neophodni za produkciju

proizvoda?

Proizvodnja: Кoji operativni uslovi će dati maksimalni prinos proizvoda?

Upravljanje: Кako se izlazna veličina može održavati na željenoj vrednosti pomoću

manipulativne promenjive?

Bezbednost: Ako se dogodi otkaz uređaja kako će to uticati na operatera i ostalu

opremu?

Životna sredina: Кoliko će trajati razgradnja opasnog otpada u zagađenom zemljištu?

3.4. Podele modela

Prema ulozi čoveka u nastanku predmeta modelovanja, modeli se dele na:

modele prirodnih sistema (mikrofizičke, makrofizičke), i

modele veštačkih sistema, koji se dele na:

o modele tehničkih sistema i

o modele društvenih sistema.

Prema obliku postojanja, modeli se dele na:

materijalne (realne, fizičke) modele (hemijska struktura molekula, model aviona), i

apstraktne (idealne, misaone) modele, koji se dele na:

o govorne (verbalne) modele,

o opisne modele,

o grafičke modele (geometrijske, simboličke (konceptualne, matematičke,

računarske)), i

o formalne modele (matematičke, logičke).

Prema nameni modeli se dele na:

saznajne modele,

demonstracione modele,

konstrukcione modele i

modele optimizacije i upravljanja.

Prema svojstvu predmeta modelovanja modeli se dele na:

modele funkcije,

modele ponašanja i

modele građe.

Prema nameni, modeli se dele na:

deskriptivne,

15

prediktivne ili

normativne.

Deskriptivni modeli – uglavnom opisuju postojeće ili prošlo stanje sistema. Na taj način

oni omogućavaju predstavljanje sistema bez mogućnosti prognoziranja budućih stanja, odnosno

pružanja eksplicitnih informacija o normativnom upravljanju sistemom. Tipični predstavnici

deskriptivnih modela su: geografske mape, organizacione šeme, završni račun preduzeća i slično.

Кao što se može zaključiti, ova vrsta modela ne pruža ništa više od opisa postojećeg stanja

sistema, ali omogućava bolje sagledavanje interakcija objekata u sistemu.

Prediktivni modeli – služe za analizu posledica različitih strategija upravljanja sistemom.

Pomoću njih se može predvideti rezultat donesenih odluka. Tipično, ova vrsta modela povezuje

zavisne i nezavisne promenljive vrednosti koje opisuju stanja sistema na taj način da se mogu

dobiti prognozirane vrednosti zavisnih promenljivih na osnovu pretpostavljenih vrednosti

nezavisno promenljivih. Sa ovom vrstom modela se može dobiti odgovor na pitanje “šta – ako”,

tj. šta će se desiti sa vrednostima zavisnih promenljivih, ako nezavisno promenljive uzmu zadate

vrednosti. U ovu vrstu modela spada većina simulacionih modela kao regresivni modeli, modeli

simultanih jednačina, PERT modeli, modeli redova čekanja i slično.

Normativni modeli – služe da pruže informacije kako treba upravljati sistemom da se

postigli željeni ciljevi. Ovi modeli omogućavaju da se izabere optimalno rešenje iz skupa

mogućih rešenja. Osnovni problem kod ovih modela je izbor jedne ili više funkcija cilja koje

treba optimizirati. Tipični normativni modeli su: modeli linearnog programiranja i uopšte modeli

matematičkog programiranja, modeli upravljanja zalihama i slično.

Prema tome da li se promenljive menjaju tokom vremena, modeli se dele na:

statičke i

dinamičke.

Кod statičkih modela relacije među objektima se ne menjaju sa vremenom, dok kod

dinamičkih modela zavisnost od vremena postoji. Može se zaključiti da su u opštem slučaju,

dinamički modeli složeniji od statičkih, ali i da su u većini slučajeva bliži realnom sistemu.

Prema tome da li postoji faktor slučajnosti, modeli se dele na:

determinističke modele,

modele rizika,

modele neizvesnosti i

konfliktne modele.

Deterministički modeli – se karakterišu odsustvom slučajnog faktora. Drugim rečima,

verovatnoća realizacije bilo kog stanja okoline (a samim tim i sistema) kod ovih modela je

jednaka jedinici.

Кod modela rizika – poznata su stanja okoline i mogu se opisati odgovarajućim

verovatnoćama. Prema tome, promenljive modela su slučajne promenljive čije su raspodele

verovatnoća poznate.

Modeli neizvesnosti – se karakterišu nepoznavanjem budućih stanja okoline i

odgovarajućih raspodela verovatnoća i najbliži su većini realnih situacija. Međutim, njihova

snaga je relativno ograničena s obzirom da su u opštem slučaju nerešivi. Uvođenjem koncepta

subjektivnih verovatnoća ovi modeli se prevode u modele rizika sa poznatom procedurom

rešavanja.

16

Кod konfliktnih modela – koji čine osnovu teorije igara, stanja okoline su pod kontrolom

drugog igrača (ili više ostalih igrača) koji čine oponenciju ili konkurenciju prvom igraču

(donosiocu odluka). Sve igre uključujući i ratne, mehanizam konkurencije na tržištu i slično se

mogu opisivati ovom vrstom modela, kao što je slučaj sa svim modelima planiranja i

predviđanja.

Prema stepenu opštosti, modeli se dele na:

specijalizovane i

opšte.

Opštost se odnosi na mogućnost primene modela na različite situacije. Opšti modeli se

mogu koristiti za rešavanje različitih tipova problema. Primeri opštih modela su: linearno

programiranje, modeli redova čekanja i slično.

Specijalizovani modeli se prave za rešavanje određenog pojedinačnog problema i ne

mogu se prenositi na druge situacije. U dosta slučajeva opšti modeli ne obezbeđuju efikasno

rešavanje postavljenog problema i tada se pribegava gradnji specijalizovanih modela koji su po

pravilu ekonomičniji.

Prema strukturi, modeli se dele na:

ikoničke,

analogne i

simboličke.

Ikonički modeli – su slika “u malom” ili “u velikom” sistema koji predstavljaju i

zadržavaju određene fizičke osobine sistema. Po svojoj suštini ova klasa modela je

najjednostavnija za razumevanje i obezbeđuje stepen korisnosti koji nije prisutan kod ostalih

vrsta modela. Oni vizuelno liče na realni sistem koji predstavljaju i veoma su ograničeni u

mogućnosti istraživanja uzročno-posledičnih relacija u sistemu. Tipični ikonički modeli su:

modeli aviona u vazdušnom tunelu, modeli hidrograđevinskih objekata (brane itd.), modeli

atoma i slično.

Analogni modeli – koriste osobine jednog fizičkog sistema (modela) da bi se predstavile

osobine drugog fizičkog sistema (realnog sistema). Na taj način se uspostavlja analogija između

raznorodnih fizičkih veličina (npr. analogija tokova struja sa vodenim tokovima). Elementi i

relacije u realnom sistemu se zamenjuju elementima i relacijama u analognom modelu koga je

jednostavnije analizirati nego realni sistem. U modelu postoji jaka korespondencija između

njegovih elemenata i elemenata realnog sistema. Tipični analogni modeli su: graf sistema u

kome se dužine koriste da predstave međusobne relacije elemenata, PERT mreže, modelovanje

na analognom računaru i slično, vezano za proces planiranja i predviđanja.

Simbolički modeli - češće se nazivaju matematički modeli – objekte i relacije realnog

sistema zamenjuju odgovarajućim simbolima koji se vezuju za osobine objekata i koje nazivamo

promenljivima, i simbolima koji predstavljaju relacije među promenljivima i koje nazivamo

operatorima. Ova vrsta modela je visokog stepena opštosti i apstrakcije i njima se uvodi

matematički način rezonovanja u analizi sistema.

Prema sličnosti i analogiji modela s predmetom modelovanja modeli se dele na:

slične modele i

analogni modele

17

Pri ovome treba napomenuti da su sve pojave (ili svi predmeti) slične ako su iste prirode

(dve pumpe za vodu), a analogne, ukoliko su različite prirode (prelaz toplote – diferencijalna

jednačina).

Fizička sličnost modela i predmeta modelovanja obuhvata:

geometrijsku sličnost (geometrijska sličnost granica i sličnost položaja),

kinematičku sličnost (odnos vektora brzina i ubrzanja) i

dinamičku sličnost (odnosi vektora sila i tenzora napona u prostorno-vremenskim

tačkama za celo područje moraju biti konstantni).

Potpunu fizičku sličnost je teško postići, jer koeficijenti sličnosti pojedinih fizičkih veličina

nisu međusobno nezavisni, uslovljeni su fizičkim zakonima.

Fizička analogija. - U slučaju da se žele rezultati ispitivanja fizičkih pojava, s jednog

područja fizike, preslikati na pojave drugačije prirode, to nije moguće učiniti na osnovu fizičke

sličnosti. U tom slučaju se radi o traženju analogija između posmatranih pojava. U fizici se

koristi fizička analogija.

U oblasti tehničkih sistema značajna je matematička analogija. Različite dimenzije

pojava obuhvaćene matematičkom analogijom obrazuju matematičku analošku grupu.

Prema stepenu kvantifikacije modeli se dele na:

kvalitativne i

kvantitativne.

Кvalitativni modeli se odnose na sisteme kod kojih nije moguće uvesti merenje

karakterističnih veličina ili nije moguće uraditi matematički model. Кao takvi, kvalitativni

modeli su manje precizni, manje racionalni i manje konzistentni od kvantitativnih modela.

Međutim, veoma često oni su jedini mogući način opisa realnosti.

Dok kvantitativni modeli – koriste matematičke relacije i rezultate iskazuju numerički,

kvalitativni modeli ne izražavaju se formalnim jezicima i rezultati nisu numerički.

Кvalitativni modeli uzimaju u obzir i prisustvo ljudskog faktora u sistemima koji se po

pravilu zanemaruju kod kvantitativnih modela. Кvalitativni modeli se mogu podeliti na:

mentalne i

verbalne.

Кvantitativni modeli se iskazuju formalnim matematičkim jezikom uz pretpostavku da se

svi atributi objekta sistema koji se modeluje mogu meriti. Кvantitativni modeli su tipični za

prirodne i tehničke nauke, ali je sve veća njihova upotreba u društvenim naukama, naročito u

ekonomiji, planiranju i vojnim naukama. Osnovni nedostatak kvantitativnih modela leži u

činjenici da veći broj promenljivih, karakteristični za dati problem ne podleže merenju, kao i da

složenost relacija realnog sistema često nije moguće iskazati odgovarajućim matematičkim

relacijama modela.

Postoji:

neformalni opis modela i

formalni opis modela.

Neformalni opis modela, daje osnovne pojmove o modelu i najčešće nije potpun i

precizan. Neformalni opis je dosta brz i lak te zbog toga može biti nekompletan (ne sadrži sve

situacije koje mogu da nastupe), nekonzistentan (predviđanje dva ili više pravila za istu

18

situaciju – kontradiktorne akcije), nejasan (ako nije definisan redosled akcija). Ovakve situacije

se prevazilaze pravilima i konvencijama u komuniciranju zvanim formalizmi.

Formalni opis modela, treba da obezbedi veću preciznost, potpunost u opisivanju modela.

Omogućava i formalizovanje nekompletnosti, nekonzistentnosti i nejasnosti kao i usmeravanje

pažnje na karakteristike objekata koje su od najvećeg značaja za istraživanje (apstrakcija).

Osnovne vrste modela su:

mentalni (misaoni) modeli,

verbalni (govorni) modeli,

fizički modeli,

konceptualni modeli,

matematički modeli i

računarski modeli.

Mentalne (misaone) modele konstruiše ljudski um i na osnovu toga deluje. Omogućavaju

komunikaciju među ljudima, planiranje aktivnosti itd. Mentalni modeli su prvi nivo apstrakcije

nekog problema ili situacije. Кad god neko nešto misli o nečemu to je mentalni model. Prema

tome, po definiciji različiti ljudi poseduju različite mentalne modele o istoj pojavi.

Verbalni (govorni) modeli su direktna posledica mentalnih modela i predstavljaju njihov

izraz u govornom jeziku. Obično se predstavljaju u govornom obliku i spadaju u klasu

neformalnih modela. Na taj način se prevazilazi inherentna nekomunikativnost mentalnih modela

koji su svojina isključivo jednog čoveka.

Konceptualni modeli se formiraju na osnovu strukture i logike rada sistema. Zovu se još i

strukturni modeli pošto u grafičkom obliku ukazuju na strukturu sistema te su pogodno sredstvo

za komunikaciju. Predstavljaju osnovu za izradu matematičkih modela. Sastoje se od blok

dijagrama ili dijagrama tokova (predstavljaju grafički prikaz povezanosti elemenata sistema na

način kako se formiraju kola povratnog dejstva i onako kako se kola sprežu stvarajući sistem).

Fizički modeli predstavljaju umanjene ili uvećane predstave realnih sistema. Ponašaju se

kao njihovi originali a prave se na osnovu sličnosti sa realnim sistemom ili fizičkih zakona.

Analiza fizičkih svojstava na manjem modelu i relacije sa većim objektom – analiza sličnosti.

Matematički modeli predstavljaju skup matematičkih (analitičkih) jednačina (izraza,

relacija) koje opisuju ponašanje realnog sistema. Matematički modeli imaju veću preciznost od

verbalnih modela.

Računarski predstavljaju prikaz matematičkih modela u obliku računarskih programa

korišćenjem programskih jezika i usko su vezani za razvoj računarske nauke.

Postupak izrade modela nekog realnog sistema se sastoji u izradi mentalnog modela i

njegovoj transformaciji u konceptualni, zatim u transformaciji konceptualnog u matematički, a

potom matematičkog u računarski model, sve dok se ne izradi željeni model.

19

4. MATEMATIČKO MODELOVANJE

Matematički modeli predstavljaju skup matematičkih (analitičkih) jednačina (izraza,

relacija) koje opisuju ponašanje realnog sistema.

Matematički modeli se formiraju postavljanjem odgovarajućih matematičkih jednačina

(diferencijalnih, algebarskih ili logičkih) koje opisuju ponašanje realnog sistema u stacionarnom

(ustaljenom) ili u dinamičkom (prelaznom) stanju.

Matematčke (analitičke) jednačine koje opisuju ponašanje realnog sistema mogu biti:

Linearne jednačine:

Nelinearne jednačine:

Algebarske jednačine:

Diferencijalne jednačine:

Integralne jednačine:

Prilikom postavljanja matematičkih jednačina koriste se zakoni fizike (kao što su: zakon o

održanju mase i energije, impulsu kretanja, Bernulijeva jednačina, itd.). Za električne sisteme od

posebnog značaja su: Kirhofovi zakoni, Omov zakon, zakon elektromagnetne indukcije,

Maksvelove jednačine itd.

Matematički modeli se koriste još od vremena kada su razvijene diferencijalne jednačine.

Međutim, njihov značaj dolazi do punog izražaja tek sa razvojem računara na kojima se mogu

vršiti simulacije ponašanja realnih sistema.

Svaki matematički model je zasnovan na određenim pretpostavkama koje pojednostavljuju

matematički model. Pretpostavke zavise od ciljeva istraživanja realnog sistema i treba da budu

realne (zasnovane na teorijskim osnovama, eksperimentalnim saznanjima, iskustvu i osećaju

inženjera) i da ne unose dodatne greške u model.

Matematički modeli se mogu rešavati:

analitički i

numerički.

Rešavanje matematičkih modela analitički se vrši primenom matematičke teorije,

teorema, zakona i sl. Koristi se kada su u pitanju jednostavniji problemi, kao što su: algebarske i

jednostavnije diferencijalne jednačine. Rešavanjem matematičkih modela analitički dobija se

tačniji rezultat.

20

Rešavanje matematičkih modela numerički se vrši primenom numeričkih metoda i

upotrebom programskih jezika (često upotrebom gotovih programskih paketa) i digitalnih

računara. Koristi se za rešavanje složenijih jednačina. Tačnost rešavanja matematičkih modela

numerički zavisi od preciznosti upotrebljene numeričke metode.

Tačnost matematičkih modela se najadekvatnije proverava poređenjem rezultata

istraživanja dobijenih na modelu sa rezultatima dobijenim odgovarajućim eksperimentima.

Tačnost modela se najčešće kvantifikuje pomoću srednje greške (apsolutne, relativne, razlike

kvadrata, standardne devijacije itd.).

Model se može verifikovati i na osnovu fizičke konzistentnosti (proverom zakona o

održanju mase i energije, eliminacijom zbog fizičkih nemogućih rezultata, npr. negativna

temperatura, zapremina i dr.). Način validacije modela i interpretacije greške zavisi od ciljeva

modela i načina rešavanja. Validnost modela zavisi i od utroška računarskog vremena i resursa.

Uzroci grešaka matematičkih modela su:

Pogrešne (nerealne) pretpostavke.

Preveliko pojednostavljenje problema.

Pogrešna matematička formulacija problema.

Pogrešne vrednosti konstanti (ulaznih) podataka.

Izbor neadekvatne numeričke metode.

Pogrešan redosled postupaka u algoritmu.

Velika tolerancija u numeričkoj metodi.

Prema tome na koji način se promenljive modela menjaju tokom vremena, modeli se

dele na:

Diskretne modele, u njima se promenljive menjaju samo u pojedinim tačkama tokom

vremena, nema kontinualne promene stanja. Te promene se nazivaju događaji.

Kontinualne modele, u njima se promenljive menjaju kontinualno tokom vremenu.

Na digitalnim računarima se ne mogu izvoditi kontinualne promene veličina već se

moraju aproksimirati skupom diskretnih vrednosti.

Kontinualno-diskretne modele, sadrže i kontinualne i diskretne promenljive.

Postoji veliki broj matematičkih modela koji se mogu koristiti za proučavanje ekoloških

sistema. Postoji više načina prema kojima se matematički modeli mogu podeliti, kao što su:

U kojoj meri se modeli zasnivaju na teoriji ili observacijama – teorijski nasuprot

empirijskim modelima.

U kojoj meri nasumični (slučajni) događaji i efekti imaju značajnu ulogu u

proučavanom sistemu, a samim tim i u modelu – deterministički nasuprot

stohastičkim modelima.

U kojoj meri se raspolaže znanjem o proučavanom sistemu koji model treba da

predstavlja – model crne kutije (Black box) nasuprot modelu bele kutije (White box).

Da li se model bavi realnim procesima koji su statični ili dinamični u odnosu na

prostor i vreme – statički nasuprot dinamičkim modelima.

Da li se model bavi realnim procesima za koje se uzima da funkcionišu na

kontinualan ili diskretan način – kontinualni nasuprot diskretnim modelima.

21

Kako su prostorno uređeni podaci modela – modeli sa raspodeljenim parametrima

nasuprot modelima sa grupisanim parametrima.

1. Model crne kutije (Black box) i model bele kutije (White Box)

S obzirom na to koliko su poznati struktura, sastav i način funkcionisanja proučavanog

realnog sistema, matematički modeli se dele na:

modele crne kutije (Black box) (providni),

modele bele kutije (White Box) (zatamnjeni) i

modele sive kutije (Gray box)

Pod modelom crne kutije podrazumeva se model realnog sistema (pojava) koji se istražuje

i koji se posmatra kao zatvorena kutija čija se strukturna građa ne poznaje (slika 2.3.).

Pojednostavljeno rečeno, bez otvaranja kutije, praćenjem šta se dešava na ulazu i izlazu, težimo

da saznamo šta se nalazi u zatvorenoj kutiji i kako se ona ponaša. Ponašanje modela se istražuje

delovanjem na taj model i proučavanjem reakcija na ta delovanja. Model crne kutije se koristi za

istraživanje nepoznatih ili vrlo složenih dinamičkih sistema. Model crne kutije se koristi prilikom

konstruisanja novih proizvoda, pri tome se polazi od nepoznatog realnog sistema, crne kutije.

Cilj istraživanja na modelu crne kutije jeste da se jasno i precizno definišu način funkcionisanja,

zakonitosti ponašanja i strukturna građa tog realnog sistema, odnosno da se izvrši transformacija

modela crne kutije (proučavanog realnog sistema) u model bele kutije.

Slika 2.3. Grafički prikaz modela crne kutije

Analogno pojmu model crne kutije uveden je pojam model bele kutije, kod koga su poznati

zakoni ponašanja i procesi u njemu kao dinamičkom sistemu. Način funkcionisanja proučavanog

sistema je u potpunosti poznat, komletno shvaćen i jasno prenesen na model bele kutije.

U bilo kom modelu bele kutiji uvek ostaje nešto neobjašnjeno i nepoznato. Zbog toga se

koristi model sive kutije. U praksi, većina realnih sistema se predstavlja modelom sive kutije.

2. Statički i dinamički modeli

Statički (stacionarni) modeli se koriste za sisteme koji se ne menjaju, ili bar ne menjaju

značajno tokom vremena. Ova vrsta modela se fokusira na procese ili sile koje održavaju sistem

u stanju ravnoteže:

Dinamički (nestacionarni) modeli, nasuprot tome, se koriste za sisteme koji se menjau

tokom vremena, što je mnogo češći slučaj kod realnih sistema:

3. Modeli sa raspodeljenim parametrima i modeli sa grupisanim (nagomilanim)

parametrima

22

Realni sistemi često pokazuju značajnu prostornu heterogenost kada su u pitanju njihovi

elementi i procesi koji ih kontrolišu. Neki modeli uzimaju u obzir ove prostorne varijacije tokom

matematičke formulacije. To se postiže deljenjem geografske oblasti, na koju se odnosi model,

na određeni broj razdvojenih prostornih jedinica, kao što su poligoni, mreže ili nepravilno

oblikovani prostorni objekti. Modeli koji dodeljuju različite vrednosti sistemskim parametrima i

promenljivim posebno za svaku prostornu jedinicu se nazivaju modeli sa raspodeljenim

parametrima. Međutim, ovaj pristup nije uvek moguć zbog računarskih ograničenja ili zbog

nedostatka odgovarajućih prostornih podataka. U tom slučaju neophodno je dodeliti jednu,

„grupisanu“ vrednost za celu prostornu oblast modela. Takvi modeli se nazivaju modeli sa

grupisanim parametrima.

4.1. Empirijski modeli

Empirijski modeli se uglavnom zasnivaju na analizi rezultata eksperimenata. U

empirijskim modelima se veze između ulaznih i izlaznih veličina postavljaju na osnovu rezultata

merenja u eksperimenima. U eksperimentima se najčešće menjaju odabrane (značajne) ulazne

veličine, a mere se izlazne veličine. Oblik svake od tih veza se definiše matematičkom

funkcijom. Odluka o tome koje će se matematičke funkcije koristiti je obično kompromis između

toga koliko dobro se određene funkcije uklapaju u postojeće podatke i relativne jednostavnosti

njihovih matematičkih oblika. Empirijski modeli su često veoma korisni kada se donose neka

predviđanja vezana za konkretan slučaj za koji je model razvijen.

Ranije su se ovi modeli više koristili, ali sa napretkom teorijskih istraživanja i razvojem

računara se sve manje koriste.

Empirijski modeli se najčešće ne zasnovaju na teorijskoj analizi. Zbog toga emirijskim

modelima često nedostaje dovoljno opštosti, pa se ne mogu primeniti za neke druge situacije sa

sličnom problematikom. Kada su potrebni širi i opštiji modeli, onda se ti modeli zasnivaju na

teoriji (a ne na eksperimentima) i nazivaju se teorijski modeli.

4.1.1. Prednosti empirijskih modela

Složeni realni sistemi se često ne mogu opisati teorijski, ili se deterministički

(fundamentalni) modeli ne mogu rešiti, pa empirijski modeli omogućavaju da se predvidi

ponašanje tih sistema. Empirijski modeli se mogu koristiti sa relativno velikom pouzdanošću

predviđanja ako se predviđa ponašanje istog ili sličnog sistema u opsegu vrednosti parametara za

koje je predhodno izvršena analiza i razvoj modela. Najčešće su jednostavni za upotrebu

(rešavanje).

4.1.2. Nedostaci empirijskih modela

Nedostaci empirijskih modela su:

ne doprinese boljem razumevanju realnih sistema, jer se ne zasnivaju na teoriji

(model crne kutije);

postoji mogućnost da se neki od značajnih parametara ne uključi u analizu, pošto

nisu zasnovani na teoriji;

primena im je ograničena samo na slične sisteme i na opseg parametara kojii je

korišćen prilikom izrade modela;

ekstrapolacija pri primeni empirijskog modela nije dozvoljena! Na slici je prikazan

primer greške pri ekstrapolaciji.

23

4.1.3. Primeri upotrebe empirijskih modela

Primeri upotrebe empirijskih modela su:

Predviđanje fizičkih, hemijskih, termodinamičkih veličina za jedinjenja ili smeše u

određenim uslovima.

Predviđanja ponašanja realnih sistema u različitim uslovima.

Kalibracija (baždarenje) instrumenata (uređaja) za merenje, analizu, monitoring itd.

4.1.4. Primer eksperimentalne identifikacije sistema

Postavljanje empirijskih modela na osnovu dinamičkih eksperimenata u realnom (ili pilot)

sistemu – identifikacija dinamike procesa ili načina strujanja.

4.1.5. Teorija sličnosti

Teorija sličnosti definiše matematičke odnose između fizički sličnih sistema različitih

veličina. Predstavlja osnovu za uvećanje (smanjenje) razmera (scale-up) uređaja i procesa.

Kriterijumi sličnosti se mogu definisati pomoću diferencijalnih jednačina ili pomoću dimenzione

analize. Bezdimenzione grupe dobijene pomoću kriterijuma sličnosti predstavljaju osnovu za

24

izgradnju većine empirijskih korelacija. Kriterijumi sličnosti su: geometrijska sličnost,

kinematička sličnost, termička sličnost i hemijska sličnost.

4.1.6. Dimenziona analiza

Dimenzionom analizom se opisuje fizički sistem sa minimalno potrebnim brojem

nezavisno promenjivih. Promenjive se grupišu u bezdimenzione grupe koje ne zavise od mernih

jedinica. Određivanje tačnog broja relevantnih promenjivih je esencijalno - sistem se mora

dobro poznavati.

Primer: Pomoću dimenzione analize utvrditi koje su bezdimenzione grupe potrebne za

korelisanje eksperimentalnih rezultata za prinudnu konvekciju u dugačkom cilindru.

Rešenje: Problem je definisan sa bilansom količine kretanja i bilansom energije za

diferencijalni element zapremine. Za pojednostavljenje usvajaju se pretpostavke:

Uspostavljeno je stacionarno stanje i bilansi po x pravcu.

Gravitacioni član i gradijent pritiska u bilansu KK se zanemaruju.

Član generisanja toplote u energetskom bilansu je 0.

Granični uslovi:

u0=u, q0 = hT

Pod datim pretpostavkama diferencijalne jednačine modela:

Promenjive i konstante – n=7:

Osnovne jedinice – m = 4:

Broj bezdimenzionih grupa:

n – m = 3

4.1.7. Empirijske korelacije

Za predviđanje veličina (koeficijenata) pod različitim uslovima često se koriste empirijske

korelacije. Korelacije su najčešće bezdimenzione, oblika stepene funkcije:

, npr.:

25

Izbor bezdimenzionih grupa se vrši na različite načine: teorijskom analizom, teorijom

sličnosti, eksperimentalnom opservacijom i iskustvom itd.

Koeficijenti i stepeni u korelacijama se dobijaju na osnovu većeg broja eksperimentalnih

rezultata.

Empirijske korelacije dobijene regresijom eksperimentalnih podataka.

4.1.8. Korelacije – linearna i nelinearna regresija

Koeficijenti u korelacijama se često dobijaju metodom najmanjih kvadrata – linearna i

nelinearna regresija eksperimentalnih rezultata.

Linearna zavisnost:

gde su:

x1, x2 i x3 - vektori promenjivih (parametara)

y - vektor veličine koja se koreliše

Jednačina (1) se može predstaviti u matričnom obliku:

gde je:

X - matrica:

I - jedinični vektor

Koeficijenti korelacije a0 , a1, a2, ... se konačno mogu dobiti pomoću matrične operacije:

ili

gde je:

yeks - vektor eksperimentalnih vrednosti

4.1.9. Eksperimentalna validacija modela

Matematički modeli se najpouzdanije provravaju pomoću eksperimentalnih rezultata.

Poređenje rezultata modela sa rezultatima eksperimenta se vrši grafički ili tabelarno. Izračunata

greška modela u odnosu na eksperimente kvantitativno određuje kvalitet modela i verifikuje ga.

Pre poređenja neophodno je usaglasiti veličine dobijene modelom sa onim iz eksperimenata!

26

Interpretacija greške zavisi od ciljeva modelovanja, sistema koji se modeluje i metoda

rešavanja.

Greške empirijskih modela

Srednja apsolutna greška:

Srednja relativna greška:

Suma kvadrata odstupanja:

Srednje kvadratno odstupanje:

4.2. Deterministički (fundamentalni) modeli

Deterministički modeli su modeli čije se ponašanje može predvideti, tj. novo stanje je

potpuno određeno prethodnim. Deterministički model je model čiji su rezultati jedinstveni i

određeni inputima (ulaznim parametrima). Ovakvi modeli uvek funkcionišu na isti način i uvek

daju potpuno iste rezultate za iste zadate vrednosti inputa. Deterministički modeli su obično

zasnovani na pretpostavkama, teoriji ili znanju o prirodi i oblužilu veza između ključnih

elemenata proučavanog sistema. Deterministički (fundamentalni) modeli se zasnivaju na

osnovnim zakonima fizike i hemije, kao što su:

bilansi materije, energije, količine kretanja;

brzina hemijske reakcije;

brzina prenosa mase i toplote itd.

27

Bilansi se postavljanju na različitim dimenzionim skalama, u zavisnosti od veličine sistema

i/ili željenog nivoa detaljnosti opisa.

Deterministički modeli se matematički opisuju pomoću diferencijalnih (običnih i

parcijalnih) i algebarskih jednačina na osnovu bilansa i brzine procesa.

4.2.1. Prednosti determinističkih (fundamentalnih) modela

Prednosti determinističkih (fundamentalnih) modela su:

mogu da doprinesu boljem razumevanju realnih sistema (pojava), jer teorijski opisuju

te realne sisteme;

pomoću njih se može predvideti ponašanje realnih sistema u različitim uslovima,

mogu se koriste se za projektovanje uređaja i upravljanje procesima;

njihovom primenom se smanjuje ili eliminiše potreba za izgradnjom pilot uređaja;

mogu pomoći prilikom planiranja eksperimenata i smanjenju broja eksperimenata;

4.2.2. Nedostaci determinističkih modela

Nedostaci determinističkih (fundamentalnih) modela su:

realni sistem koji se modeluju moraju se vrlo dobro poznavati pre izrade modela, što

zahteva raznovrsna i specifična znanja i veštine inženjera (istraživača);

ponekad izrađeni modeli mogu biti vrlo složeni pa se ili ne mogu rešiti postojećim

metodama ili je potrebno mnogo (računarskog) vremena i resursa.

Napomena: Modele, čak iako su vrlo detaljni (precizni), je neophodno verifikovati

poređenjem sa eksperimentima, pre verifikacije se modeli ne mogu upotrebljavati sa dovoljnom

pouzdanošću.

4.2.3. Primeri upotrebe determinističkih (fundamentalnih) modela

Deterministički (fundamentalni) modeli se upotrebljavaju za:

Predviđanje profila brzina u reaktoru sa pregradama u cilju optimalnog dizajna

uređaja po pitanju pada pritiska.

Korišćenje matematičkih modela u prediktivnom upravljanju u cilju smanjenja

potrošnje pare u destilacionoj koloni.

4.2.4. Nivoi matematičkog opisa sistema i procesa

Postoje četiri nivoa matematičkog opisa sistema i procesa:

Mikroskopski nivo opisa, se upotrebljava za:

o molekulski nivo,

o hemijsku kinetiku,

o molekulsku termodinamiku,

o kvantnu mehaniku.

Mezoskopski nivo opisa, se upotrebljava za:

28

o opis strujanja na nivou vrtloga (turbulencija),

o prenos mase i toplote na nivou čestice.

Makroskopski nivo opisa, se upotrebljava za:

o režime strujanja,

o operacije i uređaje,

o procese i postrojenja

Megaskopski nivo opisa, se upotrebljava za:

o Planiranje proizvodnje i lanca nabavke za više fabrika.

o Analizu uticaja proizvoda na životnu sredinu tokom njegovog životnog ciklusa.

o Procenu uticaja novih projekata na životnu sredinu.

o Predviđanje scenarija zagađenja i disperzije štetnih materija u životnu sredinu.

Kod megaskopskog nivoa opisa, nivo opisa je širi od procesa i postrojenja, osim tehničko-

tehnoloških, uključuje društvene aspekte: ekonomske, pravne, zaštitu životne sredine itd. Modeli

su složeni, sadrže navedene aspekte, pa zavise od razvoja i potreba datog društva i njihovih

normativnih akata (ali nisu detaljni po pitanju fizičkih i hemijskih pojava).

4.3. Populacioni modeli

Populacioni modeli se koriste za opisivanje ponašanja populacije elemenata (čestica) i

njihovog okruženja na osnovu ponašanja pojedinačnog elementa u njegovom lokalnom

okruženju. Koriste se u različitim naučnim disciplinama, kao što su: hemijsko inženjerstvo,

astrofizika, biologija, geofizika itd.

Populacioni modeli u hemijskom inženjerstvu se koristi za opisivanje realnog proticanja

u sudovima, jer se detaljni fundamentalni (mezoskopski, CFD) modeli teže rešavaju u dužem

vremenskom periodu.

Populaciono bilansni modeli koriste funkcije verovatnoće (raspodele, gustine raspodele),

eksperimentalne rezultate i teorijske osnove iz fizike, predstavljaju kombinaciju stohastičkog,

empirijskog i fundamentalnog pristupa.

Prvi je funkcije raspodele vremena boravka fluida u sudu definisao hemijski inženjer

Danckwerts.

Raspodela starosti fluida koji napušta sud E(t)

Funkcija verovatnoće, gustina raspodele:

E(t) jedinice:

29

U bezdimenzionom obliku, za bezdimenziono vreme:

Raspodela vremena zadržavanja fluida F(t)

Verovatnoća da element fluida na izlazu ima vreme zadržavanja manje od t:

Dobija se sabiranjem svih udela na izlazu u vremenu između 0 i t.

4.4. Stohastički modeli

Stohastički modeli se koriste za opisivanje realnih sistema u kojima se veličine menjaju

nepredvidljivo, odnosno slučajno. Koriste se za opisivanje procesa u kojima se veličine na izlazu

(i/ili posle određenog vremena) ne mogu jednoznačno odrediti na osnovu stanja sistema na ulazu

(ili u predhodnom (početnom) trenutku), tj. izlazne veličine nisu jednoznačno određene ulazom.

30

Stohastički modeli su modeli čije se ponašanje ne može unapred predvideti, ali se mogu

predvideti verovatnoće promena stanja. Za stohastičke modele je karakteristično slučajno

ponašanje, postojanje slučajnih promenljivih. Ovaki modeli se mogu koristiti za predstavljanje

procesa igara na sreću, ili nekih sportskih simulacija kao što su košarka ili tenis.

Stohastički modeli se koriste kada realni sistemi (procesi) imaju složenu unutrašnju

strukturu koja se ne može analitički (deterministički) opisati.

Stohastički modeli predviđaju ishod slučajnih procesa, ali sa izvesnom neodređenošću,

koja se opisuje raspodelom verovatnoće - zasnovani su na teoriji i zakonitostima verovatnoće I

statistike.

Nasuprot determinističkom, stohastički model je model kod koga slučajni događaji i efekti

imaju značajnu ulogu. Kod ovakvih modela promenljive koje se koriste nemaju jednu vrednost

već se one opisuju uz pomoć raspodele (distribucije) verovatnoće. Ishod toga je da će rezultat

ovakvog modela varirati od simulacije do simulacije, iako su početne vrednosti ulaza (imputa)

uvek iste. Ova vrsta modela je pogodna za primenu kada postoje očigledne slučajne fluktuacije u

proučavanom sistemu. Ove fluktuacije mogu biti posledica nekih prirodnih procesa koji su po

svojoj prirodi slučajni ili mogu biti pseudo-slučajni, što znači da je naše znanje o nekom procesu

nedovoljno ili neadekvatno, pa ne možemo uočiti uzročno-posledične veze, i iz tog razloga ga

tretiramo kao slučajni proces.

Kontinualne i diskretne funkcije

Kontinualne funkcije, kontinualne promenjive mogu uzeti bilo koju vrednost unutar

inervala. Primeri: brzina kretanja čestice, temperaturni profil u reaktoru, gustina smeše itd.

Diskretne funkcije, diskretne promenjive mogu uzeti samo jednu različitu vrednost u

intervalu (polju). Primeri: dnevne temperature u mesecu, uzorci fluida za merenje koncentracije

itd.

Slučajna veličina i stohastički procesi

31

Slučajna veličina X, ako se pri ponovljenim merenjima najčešće dobijaju različite vrednosti

date veličine. Familija vremenskih funkcija slučajnih veličina 1(t), 2(t), 3(t), ... predstavlja

stohastički proces.

Osnovne karakteristike stohastičkih veličina i procesa su:

srednja vrednost,

varijansa (disperzija),

autokorelaciona funkcija i

uzajamna korelaciona funkcija,

stacionarnost itd.

Primeri slučajnih veličina i procesa:

mikroskopski nivo: rast kristala, oblik i rast prskotine u materijalu, rast ćelija u tkivu,

emisija elektrona sa katode, kretanje i sudari molekula gasa,

mezoskopski nivo: kretanje čestica pri transportu, raspored čestica katalizatora pri

nasipanju u kolonu,

makroskopski nivo: vreme rada uređaja do kvara, vreme remonta, šum izmerene

veličine.

Raspodela verovatnoće slučajne promenjive X(t)

Svojstva raspodele:

1.

2.

3.

Gustina raspodele verovatnoće veličine X(t)

32

Svojstvo gustine:

Drugi red:

Srednja vrednost i varijansa

Srednja vrednost slučajne veličine (matematičko očekivanje ):

Srednja vrednost definiše položaj centra slučajne veličine.

Srednja vrednost stohastičkog procesa:

Svojstvo aditivnosti srednje vrednosti:

Srednja vrednost = prvi moment.

Varijansa slučajne veličine (rasipanje, disperzija) oko srednje vrednosti:

Dve slučajne veličine ili dva procesa mogu imati istu srednju vrednost, a različitu

varijansu.

Varijansa stohastičkog procesa:

Varijansa = drugi centralni

Primer: Na ispitu iz predmeta Modelovanje i simulacija procesa raspored broja studenata

po intervalu osvojenih poena je dat u tabeli. Izračunati srednju vrednost i varijansu (disperziju)

za rezultate ispita.

33

Srednja vrednost poena:

Varijansa:

Autokorelaciona funkcija, predstavlja zavisnost X(t) u vremenu t1 od vrednosti u drugom

vremenu t2:

Autokorelaciona funkcija pokazuje da li se X(t) menja brzo ili sporo.

Autokorelaciona funkcija za stohastički proces:

Uzajamna korelaciona funkcija, predstavlja zavisnost jedne slučajne veličine X(t) od druge

Y(t):

Uzajamna korelaciona funkcija pokazuje koliko su dve stohastičke funkcije zavisne.

Uzajamna korelaciona funkcija za stohastički proces:

Stacionarnost i ergodičnost stohastičkih procesa

Stohastički proces je stacionaran ako su raspodele verovatnoće identične:

34

Stacionarnost u širem smislu (slaba stacionarnost) ako:

- ne zavisi od t,

2 ne zavisi od t

r() r() su funkcije jedne promenjive (dužine vremenskog intervala).

Stacionaran stohastički proces je ergodičan ako prosečne vrednosti dobijene na osnovu

jednog niza opažanja mogu da se smatraju aproksimacijama prosečnih vrednosti procesa u celini

(svaka realizacija ili uzorak nosi tipične, zajedničke osobine za ceo proces).

i 2 procesa se mogu odrediti na osnovu jednog uzorka.

Markov-ljev lanac

Pojam Markovljev lanac se koristi za diskretna stanja, dok se pojam Markov-ljev proces

koristi za kontinualne promenjive.

Markov-ljev lanac: stanje slučajne veličine (ili procesa) u budućem vremenu zavisi samo

od stanja u sadašnjem vremenu, a ne od stanja u prošlim vremenima:

Pri svakom koraku, sistem može da se promeni u novo stanje ili da ostane u trenutnom

stanju, po određenoj raspodeli verovatnoće – verovantnoća tranzicije.

Primer Markov-ljevog lanca: slučajno kretanje (random walk) - prostor stanja je dijagram;

u jednom tranzicionom koraku verovatnoća kretanja od datog elementa ka bilo kom susednom

elementu je jednaka, bez obzira na istoriju kretanja.

Primene modela slučajnog kretanja:

U fizici: Brown-ovo kretanje, kretanje molekula u gasu ili tečnosti, agregacija čestica

itd.

U hemiji: opis polimernog lanca (3D ili 2D model).

U biologiji: kretanje populacije životinja, genetička varijabilnost itd.

U informacionim tehnologijama: procena veličine interneta itd.

U ekonomiji: modelovanje cena deonica, modelovanje kockanja itd.

Modelovanje diskretnih raspodela

Binomna raspodela se koristi kod uzimanja uzoraka u eksperimentima, provere obrazaca

itd.

Uslovi:

postoji utvrđen broj ishoda n,

ishod je ili povoljan ili nepovoljan,

verovatnoća povoljnog ishoda p, a nepovoljnog (1-p),

eksperimenti nezavisni.

Funkcija raspodele verovatnoće:

Srednja vrednost:

35

Varijansa:

Poisson-ova raspodela se koristi kod radioaktivnog raspada, procesa čekanja i dolazaka,

komunikacionih mreža itd. Uslovi: događaji nezavisni i retki.

Funkcija raspodele verovatnoće:

Srednja vrednost:

Varijansa:

Primer: Izveštaji iz fabrike pokazuju da se na svakih 10000 proizvoda javlja 25

neispravnih. Kolika je verovatnoća da će 1000 proizvoda sadržati najviše 3 defektna?

Rešenje: U pitanju je diskretna raspodela. Pošto je frekvencija pojavljivanja neispravnih

proizvoda mala, možemo koristiti Poisson-ovu raspodelu:

Verovatnoća pojave defekta:

Broj ishoda:

Ukupna verovatnoća za tri neispravna proizvoda jednaka je zbiru verovatnoća:

Koristeći Poisson-ovu raspodelu dobija se:

Polinomna raspodela se koristi kod uzimanja uzorka, opšta binomna raspodela.

Verovatnoća prvog ishoda x1 je p1, verovatnoća drugog ishoda x2 je p2 itd., pri čemu je p1 + p2 +

... + pk = 1.

Uslov: svaki eksperiment nezavisan, verovatnoća svakog ishoda konstantna i predstavlja

broj kombinacija c(n, x).

Funkcija raspodele verovatnoće:

Srednja vrednost:

36

Varijansa:

Hipergeometrijska raspodela se koristi kod uzimanja probe bez povraćaja - detekcija

defektnog uzorka.

Modelovanje kontinualnih raspodela

Normalna (Gauss-ova) raspodela se koristi za opisivanje greške merenja.

Gustina normalne raspodele verovatnoće:

Ako se uvede smena za normiranu veličinu u:

Gustina normirane raspodele:

Funkcija normirane raspodele:

Srednja vrednost normirane raspodele:

Varijansa normirane raspodele:

Funkcija normirane normalne raspodele P(u) se može dobiti numeričkom integracijom,

rešavanjem tzv. Laplaceove funkcije, odnosno integrala:

37

rešenja ovog integrala za x > 0 se mogu naći u tablicama, dok za x < 0 važi:

(-x) = - (x)

jer je neparna f-ja.

Shodno pravilu 3, verovatnoća za slučajnu promenjivu x, sa srednjom vrednošću x i

varijansom x, u intervalu a < x < b se računa:

Primer: Za određivanje gustine trokomponentne smeše izveden je veliki broj

eksperimenata. Utvrđeno je da se greška merenja (slučajna veličina x) može prikazati pomoću

normalne raspodele, a da je srednja vrednost greške 5 promila, a varijansa 1. Kolika je

verovatnoća da će greška merenja gustine smeše imati vrednost u intervalu od 4 do 7?

Rešenje: Primenom predhodne jednačine, za x = 5 i x = 1, dobija se:

Pri rešavanju se koristi svojstvo neparnosti Laplace-ove funkcije (-x) = -(x). Rešenje je

dobijeno pomoću tablica za (2) i (1).

Logaritamska normalna raspodela, se koristi kod modelovanja raspodele veličina čestica

(kondenzacija, aerosoli, granulometrija itd.). Primenjuje se kada nekoliko nezavisnih faktora

utiče na ishod događaja.

Gustina logaritamske normalne raspodele verovatnoće:

gde je:

Srednja vrednost:

Varijansa:

Ostale raspodele su:

gama,

eksponecijalna,

beta,

38

Hi-kvadrat itd.

4.4.1. Primena Monte Karlo metode u modelovanju stohastičkih procesa

Monte Karlo metoda koristi slučajne veličine kako bi se opisalo ponašanje sistema koje je

toliko složeno da se ne može tačno opisati pomoću klasičnih determinističkih modela. Monte

Karlo metoda se zasniva na generisanju slučajnih veličina i iterativnim postupcima - za

proračune se koriste računari.

Problem se, pomoću Monte Karlo metode, rešava tako što se repetativno generišu slučajni

brojevi i posmatra se raspodela udela brojeva koji se pokoravaju određenom pravilu ili skupu

pravila. Metoda je tačnija što su brojevi uniformnije raspoređeni u polju od interesa i što se više

puta postupak ponavlja.

Postoji veći broj algoritama za Monte Karlo metodu, često se primenjuje Metropolis-

Hastings-ov algoritam.

Monte Karlo metoda je opšteg karaktera i danas se primenjuje za najrazličitije proračune u

prirodnim, tehničkim i društvenim naukama.

Osnovne oblasti stohastičkih proračuna gde se tradicionalno primenjuje Monte Karlo

metoda:

numerička integracija za višedimenzione integrale u matematici;

simulacija slučajnog kretanja u statističkoj mehanici i fizici;

praćenju kretanja čestica i radioaktivnosti;

fizičko-hemijski fenomeni i procesi,

biološko-medicinske pojave: epidemije virusa i bakterija, rast populacije, migracije

insekata i ptica, širenje radioaktivnosti i tumora u organizmu,

geološko-sredinske pojave i procesi: erozija tla, širenje požara, klimatske promene,

disperzije polutanata;

optimizacija i dinamičke simulacije: nabavka sirovina, transport ljudi i proizvoda;

finasije i ekonomija: procena vrednosti firmi, rast tržišta i berze, kvote osiguranja;

matematika;

razvoj software i

zabavne igre.

Opšti algoritam Monte Karlo metode:

1. Definisanje domena.

2. Generisanje slučajnih vrednosti u domenu.

3. Izvršavanje determinističkog proračuna koristeći slučajne vrednosti.

4. Uvrštavanje rezultata pojedinačnih proračuna u ukupan rezultat.

Jednostavan opis principa igra podmornice

A – Slučajni brojevi: Prvo igrač slučajno gađa u polje bitke.

B – Primena pravila: Na osnovu pogotka, igrač postavlja mogući raspored

podmornica od četiri tačke.

39

C – Zaključak: Na osnovu slučajnih gađanja i primene pravila igrač donosi zaključak

o položaju podmornice protivnika.

Primer upotrebe Monte Karlo metode za simulaciju Efekta staklene bašte (klimatskih

promena) primenom aplikacije NetLogo

Stohastička simulacija uticaja koncentracije CO2 i količine oblaka na temperaturu

atmosfere. Oblaci blokiraju sunčeve zrake, a CO2 blokira emisiju infracrvenih zraka sa zemlje

izazivajući efekat staklene bašte.

40

5. STATISTIČКA ISTRAŽIVANJA

Statistika se prvobitno odnosila samo na numeričke podatke o stanju posmatrane pojave.

Osnovni zadatak statističkih istraživanja svodio se u početku na prikupljanje podataka o

brojnom stanju stanovnika, vojnika, poreskih obveznika, imovine jer su tadašnji vladari želeli da

znaju kolika je njihova i vojna moć u odnosu na svoje protivnike. Prvi popis stanovništva prema

nekim podacima bio u Egiptu 2500. godina p.n.e.

U početku su razvijena dva pristupa obradi podataka. Prema prvom pristupu akcenat je bio

stavljen na to da je zadatak statistike, sistematizacija podataka o stanovništvu i privredi u cilju

vođenja državne politike, bez pretenzija na otkrivanje zakonitosti.

Zadatak drugog pristupa prema statistici bio je fokusiran na matematičku obradu statistički

podataka i otkivanje zakonitosti u ponašanju posmatranih pojava, čime su postavljeni temelji

razvoja savremene statistike.

Nagli napredak u statistici osetio se pronalaskom i razvojem računara. Izuzetno brza i

pouzdana obrada podataka skratila je vreme izračunavanja statističara umnogome nekoliko puta.

Danas se razlikuje:

teorijska i

primenjena statistika.

Teorijska (matematička) statistika pronalazi nove statističke metode, objašnjava ih,

dokazuje i usavršava. Ona se može smatrati delom primenjene matematike.

Primenjena statistika podrazumeva statističke metode prikupljanja, obrade i analize

podataka, kao i donošenje zaključaka i formulisanje zakonitosti ponašanja posmatranih pojmova.

Primenjena statistika može se podeliti u dve gupe:

deskriptivnu i

inferencijalnu statistiku.

Deskriptivna statistika obuhvata prikupljanje i obradu podataka i njihovo prikazivanje u

obliku tabela, grafikona i sumarnih deskriptivnih mera. Njan domen je ograničen samo na

raspoložive podatke.

Inferencijalna statistika podrazumeva primenu statističkih metoda (kreiranih u okviru

teorijske statistike) koji nam omogućavaju da zaključke o pojavi koja se ispoljava na velikom

broju sličajeva (u skupu) donesemo samo na odnovu jednog dela podataka (dela skupa). Stoga je

njen domen znatno širi od deskriptivne statistike. Zaključci dobijeni primenom metoda

inferencijalne statistike baziraju se na rezultatima teorijske statistike i teorije verovatnoće.

Teorijska statistika se može smatrati delom primenjene matematike, dok je primenjena

statistika naučna oblast koja se bavi analizim podataka.

Кako bi se predmet statistike lakše shavatio uveden je pojam varijabilana pojava.

Varijabilitet (odnosno raznovrsnost, raznolikost) je univerzalno prisutan oko nas. Primer za

varijabilitet su privredna društva (firme) u Republici Srbiji, one se razlikuju po broju zaposlenih,

delatnosti, lokaciji, brojem pokazatelja uspešnosti poslovanja, da li su i na koji način prisutni na

Internetu itd.

Varijabilna pojava je ona koja uzima različite vrednosti od jednog do drugog slučaja

svoga ispoljavanja. Na varijabilnu pojavu često deluje veći broj faktora ( čije individualne i

41

združene uticaje nije moguće unapred odrediti), zbog čega se i pojedinačne vrednosti varijabilne

pojave ne mogu sa sugurnošću predvideti.

Iz gore navedene dofinicije može se zaključiti da 2000 litara destilovane vode nije

varijabilna pojava jer su jedinice iz kojih se ona sastoji identične. Ovakve, apsolutno homogene

pojave ne zanimaju statistiku. Varijabilnost neke pojave nema nikakve veze sa brojem slučajeva

(masovnošću) na kojima se ta pojava iskazuje.

S druge stane posmatrajući grupu on npr. pedeset studenata, može se zaključiti da postoji

varijabilna pojava. Jer posmatrana grupa studenata pokazuje varijacije po visini. Takođe ako

bismo u obzir uzeli jednog studenta, ne bi bilo moguće unapred utvrditi visinu jer ne postoji

varijabilna pojava na jednom primerku. Recimo, u medicini bez izučavanja varijacija bilo bi

skoro nemoguće postaviti dijagnozu. Ovde se polazi od vrednosti indikatora zdravih osoba koje

se smatraju referentnim (normalnim), a zatim se definišu dozvoljena odstupanja od te normale,

kao i ona koja sa sugurnošću ukazuju na postojanje problema.

U ekonomiji pri što boljem pozicioniranju na tržištu proizvodna firma mora da prati brojne

indikatore sa tržišta i shodno varijacijama pojedinih pokazatelja menja svoju proizvodnu ili

prodajnu strategiju. Generalno, skoro u svim naučnim disciplinama varijacije posmatranih

pojava se analiziraju, pomoću posebnog metodološkog aparata. Na osnovu toga što je rečeno

može se zaključiti da je statistika neizostavna po pitanju zanačajnosti u ekonomiji. Da bi se

došlo do odrećenih zaključaka i donošenja nekih hipoteza mora se proći kroz niz postupaka koji

su zastupljeni u obradi statističkih podataka.

Pitanje koje se često postavlja vezano za statistiku jeste to kako se statistika suočava sa

podacima u realnosti i sa njihovom varijabilnošću. S obzirom na to da se statistika definiše kao

nauka o podacima (podaci su brojevi ili reči sa odgovarajućim kontekstom).

Statistika se pre svega bavi globalnim podacima, dok oni pojedinačni ostaju „anonimni“.

Ako se pokaže da neki podaci previše odstupaju od ostalih prema današnjem shvatanju

statistike i oni spadaju u predmet interesovanja za statistiku. Takvi podaci se danas nazivaju

ekstremnim podacima (eng. outliers). Ekstremni podatak je onaj podatak koji znatno odstupa

od vrednosti svih ostalih podataka, bilo zato što je veći ili znatno manji. Nekada se smatralo da

ekstremna vrednost nastaje kao greška u merenjima ili unosu podataka. Međutim, ekstremna

vrednost može biti i signal da se nešto neuobičajeno događa sa posmatranom pojavom. Tipičan

primer za to je otkrivanje ozonskih rupa – trebalo je da prođe nekoliko godina da bi ekstremni

podaci, koje je kompjuterski softver instaliran u satelitima ignorisao, istraživačima ukazali da se

nešto novo događa sa atmosferom iznad Antarktika. Značaj ekstremnih podataka je toliko veliki

da se posebna grana statistike bavi isključivo njome (Extremevaluetheory).

Statistika je veoma osetljiva na netačne ili nepotpune podatke, koji se koriste pri

analiziranju, na osnovu statističkih analiza moguće je otkriti neku pravilnost ili nepravilnost koja

bi bez njene pomoći bila gotovo nemoguća. Primer koji se sreće često u domaćim, a pogotovu u

stranim literaturama je: Očekivano trajanje života kod muškaraca i žena. Prema podacima

objavljenim od strane Ujedinjenih nacija za period od 2005 do 2010. godine prikazani su u

tabeli 1.

42

Tabela 1. Očekivano trajanje života živorođenih u periodu od 2005 do 2010. za

najrazvijenije, najnerazvijenije zemlje na svetu i Republiku Srbiju

Muškarci Žene Oba pola

Najnerazvijenije zemlje 53,4 55,8 54,6

Najrazvijenije zemlje 72,9 80,2 76,5

Republika Srbije 71,7 76,3 74,0

Prema gore navedenim podacima, može se sa sigurnošću utvrditi da žene žive duže od

muškaraca. Кada se ide još dalje u razmatranje ovog pitanja dođe se do podatka da se devojčice

ipak ređe rađaju od dečaka. Prema nekim podacima na 100 devojčica rodi se 106 dečaka. Ove

pojave nazivaju se statističkim zakonitostima. Oni se mogu podeliti na dve bitne karakteristike:

Važe samo u masi slučajeva;

Pojedinačni slučajevi mogu da pokažu odstupanja od opšte tendencije.

Statističke zakonitosti moramo tumačiti strogo vodeći računa o navedena dva

ograničenja.

U primeru sa očekivanim trajanjima života, zakonitost tumačimo da žene žive duže od

muškaraca, a nikako da svaka žene živi duže od muškarca, pa se može na osnovu ovoga

zaključiti da neće svako dete u Srbiji, rođeno posle 2005. godine, živeti do 76,3. godine.

Zanimljiv je podatak da su stari Grci procenjivali da je prosečan životni vek biti oko 28 godina.

Verovatno se uzimalo u obzir to što je postojala velika opasnost po život usled čestog ratovalja,

bolesti i gladi. Međutim, Sokrat je živeo 70, Platon 80, a Aristotel 62. godine.

5.1. Primena računara u statističkoj analizi

Otkriće računara sredinom XX veka donosi sa sobom potpuno novu dimenziju u svere

obrade podataka, analizu podataka itd. Značajni napredak koji se dogodio u proteklih dvadeset

godina imao je za posledicu razvoj aplikacija na računare koji su sposobni da potpuno

samostalno izvršavaju složene statističke proračune kao i druge funkcije bitne za statistiku, a

pritom sve te funkcije obavljaju se izuzetno brzo i pouzdano.

U današnje vreme posredstvom odgovarajućih programa veoma jednostavno se obavljaju

varijabilne projave. Više nema potrebe za ručnim izračunavanjem koje je uvek praćeno manjim

ili većim greškama.

Danas postoji veliki broj programskih paketa koji su veoma korisni u analizi statističkih

podataka. Neki od njih su: SPSS, Minitab, SAS, Statgraphics, S – Plus, JMP, SATA itd.

Statističari su formulisali i posebne programske jezike od kojih je najpoznatiji jezik koji se

naziva R i koji može da se skine potpuno besplatno sa interneta.

5.2. Statistički skup

Predmet statističkog istrživanja su varijabilne pojave. Da bi se tačno sagledale pravilnosti u

njegovom ponašanju neophodno je obuhvatiti sve slučajeve na kojima se ona pojavljuje. Iz tog

razloga dolazi se do termina statistički skup.

Skup svih elemenata na kojima se izvesna varijabilna pojava ispoljava i statistički

posmatra naziva se statističkim skupom ili osnovni skup ili, jednostavno, skup.

43

Na osnovu definicije je jasno da neki skup mora ispunjavati određene uslove da bi mogao

da se nazove statističkim skupom.

Statistički skup mora da obuhvati sve elemente koju su predmet posmatranja;

Elementi tog skupa moraju imati bar jednu zajedničku osobinu na osnovu koje se i

deklarišu kao pripadnici toga supa;

Na elementima takvog skupa se posmatra neka varijabilna pojava. Iz ovoga sledi da ti

elementi moraju imati bar jednu karakterisiku po kojoj se mogu razlikovati, odnosno

koja je varijabilna.

U zavisnosti od cilja istraživanja, osnovni skup se može sastojati od ljudi, bića, predmeta

ili događaja. Tako na primer, satistički skup mogu činiti svi stanovnici grada ili zemlje, svi

studenti fakulteta, ali i stočni fond u nekoj državi, sva preduzeća u jednom gradu ili pokrajini,

itd.

Sve jedinice nekog skupa analiziramo u izabranom momentu i određujemo strukturu skupa

po izabranim karakteristikama. Jedinica skupa predstavlja pojedinačni element iz kojeg se skup

sastoji. Može se još nazvati i jedinicom posmatranja.

Može se zaključiti da sve jedinice osnovnog skupa moraju imati barem jednu zajedničku

osobinu. Sa porastom broja jedinica skupa osnovni skup postaje homogeniji. Ipak, jedinice ne

smeju biti među sobom identične jer tada one nisu predmet statističkog posmatranja. Predmet

statističkog istraživanja su varijabilne pojave zbog čega pažnju usmeravamo samo na one

karakteristike po kojima se jedinice skupa među sobom razlikuju.

Jedinice koje se smatraju deo skupa u praksi obično nisu jednostavne. One pre svega

zavise od cilja i domena istaživanja. Zbog toga je potrebno da statistički skup precizno

odredimo, definišemo:

sadržinski,

prostorno i

vremenski.

Sadržinski odrediti neki statistički skup zahteva jasno definisanje osobine koju mora da

poseduje svaka jedinica da bi bila predmet posmatranja. Tako, na primer, skup mogu da čine svi

studenti u državi, ali (u zavisnosti od cilja istraživanja), i uže grupe, kao što su svi studenti

privatnih univerziteta, svi sudenti Viših fakulteta, svi studenti prve godine Višeg fakulteta, itd.

Prostorno odrediti osnovni skup znači precizirati teritoriju u okviru koje će se posmatrati

data varijabilna pojava. Posmatranja se najčešće sprovode na administrativnim jedinicama kao

što su opštine, distrikti, republike ili države, a u nekim slučajevima ona obuhvata zajednice

država (npr. Evropska unija), pojedine kontinente, pa i svet u celini.

Vremenski odrediti skup znači precizno odrediti jedan momenat ili vremenski interval u

kojem ćemo izmeriti nivo pojave. Snimanje pojave u trenutku ili u intervalu vremena zavisi od

njene prirode, ali je veoma bitno precizno ih odrediti. Momenat u kojem se snima neki statistički

skup je, po pravilu, određen potrebama istraživanja ili je propisan od strane zvaničnog

statističkog organa. S druge strane, u cilju praćenja proizvidnje, i izvoza ili potrošnje moramo

odrediti vremensko razdoblje, unutar koga ćemo vršiti kumuliranje podataka i tako odrediti

vremenske pojave. Tako ćemo, u zavisnosti od potreba istraživanja, formirati dnevne, mesečne,

kvartalne i godišnje podatke.

44

5.3. Statističko obeležje

Jedinice osnovnog skupa se mogu među sobom razlikovati po brojevima karakteristikama,

koje nas u konkretnom istraživanju mogu, ali ne moraju, sve interesovati. U zavisnosti od cilja

istraživanja, pažnju po pravilu usmeravamo na jednu, dve ili veći broj ovakvih osobina. Takve

karakteristike nazivamo statističkim obeležjima.

Osobine po kojima se jedinice skupa među sobom razlikuju, a koje su predmet statističkog

istraživanja, nazivamo obeležjima (promenljivim ili varijabilnim).

Sva obeležja u statistici možemo klasifikovati u dve osnovne grupe:

atributivna (kvalitativna, kategorijska) i

numerička (kvantitativna).

Atributivna obeležja se izražavaju opisno (rečima), a varijabilitet se ispoljava kroz

pripadnost elemenata različitim kategorijama datog obeležja. Na primer, u statističkom skupu

svih zaposlenih u JP „Putevi Srbije“, atributivna obeležja mogu biti: pol, školska sprema, boja

kose ili očiju, itd. Statistika svih prodatih „TAG“ uređaja za prolazak na naplatnim stanicama

bez zaustavljanja u 2016. godini itd.

Različiti vidovi u kojima se jedno obeležje može javiti nazivaju se modalitetima ili

vrednostima tog obeležja. Broj modaliteta varira od prirode obeležja. Na primer, pol ima samo

dva modaliteta: muški i ženski, kao i kvalitet proizvoda: isparavan i neispravan. Obeležje

bračnog stanja ima četiri modaliteta: neoženjen – neudata, oženjen – udata, razveden –

razvedena, udovac – udovica. Sa druge strane obeležja kao što su zanimanja, nacionalnost i šifra

obavljanja delatnosti firme mogu imati veoma veliki broj različitih pojava oblika.

Numerička obeležja su takve karakteristike skupa koje se mogu iskazati brojevima.

Izdvajaju se dve karakteristične grupe:

prekidna (ili diskretna) numerička obeležja, i

neprekidna (ili kontinuirana) numerička obeležja.

Suštinska razlika između ove dve grupe je u tome što prekidna obeležja svoje vrednosti

(modalititete) dobijaju na osnovu prebrojavanja, a neprekidna na osnovu merenja. Prekidna se

usled toga iskazuju celim brojevima, a neprekidna u mernim jedinicama.

Prekidna obeležja su numeričke karakteristike koje mogu uzmati samo izolovane

vrednosti na nekoj skali. Na osnovu toga se domaćinstva između sebe razlikuju po broju dece ili

broju telefona, opštine se razlikuju prema broju stanovnika, kulturnih znamenja ili drugih stvari,

fakulteti po broju studenata, studijskih programa itd. S obzirom na to da navedena obeležja imaju

različite opsege i broj mogućih vrednosti, zajedničko im je ipak da njihovi modaliteti mogu biti

samo celi brojevi.

Neprekidna obeležja predstavljaju numeričke karakteristike jedinica skupa koje mogu

uzeti bilo koju vrednost unutar nekog intervala. Ovoj grupi pripadaju, na primer, visina

studenata, težina prizvoda, vreme dostavljanja pošiljke itd. S obzirom na to da svako merenje

možemo preciznije izmeriti drugim i trećim merenjem. Može se zaključiti da svako neprekidno

numeričko obeležje teorijski može imati beskonačno mnogo modaliteta.

Iz dosada napisanog, obeležje predstavlja ono po čemu se jedinice skupa razlikuju, a ne

ono po čemu su slične. Slika 2.4. prikazuje šemu pojma obeležja.

45

Sl. 2.4. Кlasifikacija obeležja (varijabli) u statistici

5.4. Statistički uzorak, reprezentativni uzorak i parametri skupa

U prethodnim odeljcima pomenuto je da statistika ispituje varijabilne pojave na osnovu

svih podataka statističkog skupa (metod popisa) ili na osnovu dela toga skupa – uzorka.

Statistički uzorak predstavlja deo statističkog skupa na osnovu čijih osobina donosimo

statističke zaključke o odgovarajućim karakterima populacije iz koje je izabran.

Važno je međutim napomenuti da uzorak nikada ne uzimamo da bismo saznali njegove

karakteristike, već isključivo da bismo, uopštavanjem dobijenih informacija iz uzoraka, došli do

informacije o nepoznatim karakterima skupa u celini. Da bi zaključci o karakteristikama celog

statističkog skupa na osnovu samo jednog njegovog dela bili validni, neophodno je da uzorak

bude reprezentativan.

Uzorak je reprezentativan ako svojim osobinama verno oslikava osobine statističkog

skupa iz kojeg je izabran. Uzorak, sam po sebi, nije cilj, već samo sredstvo da se dođe do željene

informacije o skupu. Uzorak sa sobom nosi bitnu informaciju numeričkog karaktera. Takve

informacije sveobuhvatno nose naziv parametri skupa.

Parametri skupa predstavljaju sumirane karakteristike statističkog skupa. Na osnovu gore

navedenog vidimo da je parametar neki broj koji se odnosi na skup. Prema svojoj statističkoj

prirodi parametar je neka konstanta, a ne promenljiva. Jedini način da se neki parametar izračuna

je putem popisa.

Reprezentativni uzorak predstavlja, kao što je rečeno, deo osnovnog skupa prema kojem

se može odrediti struktura osnovnog skupa, međutim u praksi gotovo nikada nema savršenog

reprezentativnog uzorka, pa se na osnovu toga može zaključiti da će njegove vrednosti uvek

pokazati menje ili veće oscilacije, odnosno, fluktacije naspram čitavog skupa.

Cilj statističkog zaključivanja je da na osnovu statistike uzoraka dođemo do informacije o

parametru skupa. Ovaj postupak prikazan je na slici 2.5.

46

Sl. 2.5. Postupak statističkog zaključivanja

5.5. Prosta korelaciona i regresiona analiza

U prethodnim poglavljima upoznali smo se sa metodama statističkog zaključivanja,

odnosno kako se na osnovu informacije iz uzorka donose zaključci (putem ocenjivanja ili

testiranja hipoteza) o nepoznatim karakteristikama osnovnog skupa. Sada ćemo naše

interesovanje usmeriti na istraživanje međusobnih veza i uticaja dve ili više pojava. Tako, na

primer, može nas interesovati da ispitamo zavisnost između vremena proveđenog u spremanju

statistike i ocene na ispitu, dohotka i izdataka za kulturu domaćinstava, između zarada

zaposlenih i godina školovanja, kamatne stope i ponude novca, izdataka za propagandu i prodaje,

troškova za istraživanje i profita firme, broja kriminalnih dela sa jedne strane i stope

nezaposlenosti i stope inflacije sa druge strane, itd. U svakom od navedenih slučajeva analizu

sprovodimo pomoću dva, verovatno najpoznatija statistička metoda, korelacije i regresije.

Kao i do sada, naše zaključivanje zasnivaće se na uzorku. Ali sada ćemo na osnovu uzorka

ispitivati kako su varijacije jedne pojave (ili grupe od dve ili više pojava) povezane sa

varijacijama neke druge pojave. Cilj našeg istraživanja neće se naravno odnositi na uzorak, već

na osnovni skup iz koga je uzorak izvučen.

U ekonomiji i društvenim naukama preovladavaju stohastičke veze između pojava. Dok

kod funkcionalnih veza za svaku vrednost nezavisne promenljive X uvek postoji samo jedna

vrednost zavisne promenljive Y, kod stohastičkih veza za jednu vrednost X postoji čitav niz

mogućih vrednosti Y. Stohastičke veze u stvarnosti opisujemo pomoću stohastičkih modela. Ovi

modeli uključuju slučajnu grešku kojom obuhvatamo uticaje svih faktora koje nismo uključili u

model.

Prilikom ispitivanja međuzavisnosti varijacija dve ili više promenljivih u statistici se

primenjuju regresiona i korelaciona analiza. Ukoliko analiziramo samo dve pojave govorimo o

prostoj regresiji ili korelaciji. U slučaju analize više od dve pojave, jednu od njih označavamo

kao zavisno promenljivu i primenjujemo višestruku korelaciju ili regresiju.

Pomoću korelacije ispitujemo da li između dve ili više pojava postoji kvantitativno

slaganje, i ako postoji, kog je intenziteta. Pirsonov koeficijent se označava sa r i pokazuje da

47

li između dve numeričke promenljive u uzorku postoji linearna veza. Da bi se ispitalo da li i u

osnovnom skupu postoji linearna veza njegovu vrednost moramo da testiramo pomoću

Studentovog t testa. Pirsonov koeficijent spada u grupu parametarskih pokazatelja jer se zasniva

na pretpostavci da je zajednički skup dve posmatrane promenljive normalan.

Dok kod korelacije nije bitno koju smo promenljivu označili kao zavisnu a koju kao

nezavisnu, kod regresione analize najpre mora da se izvrši identifikacija promenljivih. Cilj

regresije je da se kroz ocenu parametara regresionog modela izvrši ocenjivanje prosečne

vrednosti Y i predvide pojedinačne vrednosti Y. Zavisnost između dve pojave u prostoj

linearnoj regresiji opisujemo kroz prost linearni regresioni model. Ukoliko su pretpostavke tog

modela ispunjene tada metod najmanjih kvadrata, po Gaus-Markovljevoj teoremi, daje

najbolje nepristrasne linearne ocene. Ideja metode najmanjih kvadrata kod proste linearne

regresije je da se dođe do najbolje prave linije, odnosno one koja će najbolje reprezentovati vezu

između dve pojave. To se postiže minimiziranjem sume kvadrata reziduala.

Kod proste linearne regresije ocenjujemo dva parametra regresionog modela: odsečak i

nagib. Ocenjena vrednost odsečka pokazuje ocenu prosečne vrednosti zavisne promenljive kada

je objašnjavajuća promenljiva X jednaka 0. U praksi je daleko važnija ocena nagiba. Ona

pokazuje ocenu prosečne promene Y kada se X poveća za svoju jedinicu.

Da bismo sagledali da li regresioni model na zadovoljavajući način opisuje zavisnost dve

pojave u realnosti koristimo dve mere reprezentativnosti. Prva je standardna greška regresije i

ona je apsolutna mera, odnosno iskazana je u istim mernim jedinicama kao i Y. Druga mera se

mnogo češće koristi i naziva koeficijentom determinacije. Ovaj koeficijent pokazuje udeo

objašnjenog varijabiliteta u ukupnom. Dok koeficijent korelacije može uzimati vrednosti u

intervalu [−1, +1], koeficijent determinacije nikad ne može biti negativan. Njegova maksimalna

vrednost je +1 i javlja se samo u slučaju da između dve pojave postoji funkcionalna veza, pa se

sve empirijske tačke nalaze na pravoj liniji.

Prilikom korišćenja regresionog modela u cilju predviđanja mora se voditi računa da je (a)

koeficijent determinacije relativno visok, (b) da je ocena nagiba statistički značajna i (d) da nema

prekomerne ekstrapolacije.

Ekstrapolacija se javlja ako prilikom predviđanja Y uzimamo one vrednosti objašnjavajuće

promenljive X koje su ili manje od minimalne ili veće od maksimalne u uzorku.

5.6. Funkcionalna i stohastička veza

Međusobne veze između pojava (promenljivih) možemo podeliti u dve grupe:

funkcionalne i

stohastičke.

Funkcionalna (deterministička, egzaktna) veza javlja u slučaju kada jednoj vrednosti

nezavisne promenljive X odgovara samo jedna, tačno određena, vrednost zavisne promenljive Y.

Tako, na primer, površina kvadrata izračunava se pomoću formule P = a2. Za bilo koju željenu

vrednost stranice kvadrata a, možemo egzaktno izračunati površinu P, jednostavnom zamenom

numeričke vrednosti na desnoj strani jednakosti. Funkcionalne (determinističke) veze se retko

sreću u društvenim naukama i ekonomiji.

Posmatrajmo sada međuzavisnost dve ekonomske pojave, recimo, izdatke za propagandu

(oglašavanje) računarske opreme (kao nezavisne promenljive) i prihod od prodaje te opreme

(kao zavisne promenljive). Prvo pitanje koje se ovde postavlja je: da li postoji funkcionalna veza

između ove dve pojave? Drugačije rečeno, da li na osnovu poznavanja izdataka za propagandu

možemo egzaktno da predvidimo nivo prihoda od prodaje, na primer, u vidu relacije:

48

Prihod od prodaje = 5 · Troškovi reklamiranja (1.11)

koja bi važila za sve firme u Srbiji? To bi praktično značilo da ako neka firma uloži 1000

evra u reklamiranje, prihod od prodaje bi iznosio tačno 5000 evra. Složićemo se da je odgovor

negativan i to iz više razloga.

Prodaja računarske opreme ne zavisi samo od propagande, već i od niza drugih faktora,

kao što su:

cena opreme,

cena konkurentskih proizvoda,

dohotka potencijalnih kupaca itd.

Čak i kad bismo u model uključili veliki broj faktora od kojih zavisi prodaja, ne bi bilo

moguće predvideti egzaktnu vrednost prodaje. Zbog čega? Zbog toga što na pojave u društvu i

ekonomiji deluju specifični nepredvidljivi uticaji psihološke prirode, kao i različiti slučajni

uticaji. Zato nismo u stanju da na osnovu poznavanja pojedinih vrednosti nezavisne promenljive

u potpunosti odredimo vrednosti zavisne promenljive. Ipak, očekujemo da postoji određena

pozitivna veza između propagande i prodaje, u smislu: veći izdaci za propagandu − veća prodaja.

Ovakva veza je slabija od funkcionalne i naziva se stohastička1 (eng. stochastical) veza.

1Termin "stohastički" potiče od starogrčke reči στοχαστικός, što znači ciljati ili pogađati.

Kod stohastičkih veza jednoj vrednosti nezavisne promenljive odgovara čitav niz mogućih

vrednosti zavisne promenljive. U našoj formuli, odnosno modelu, (11.1), kod različitih firmi, za

isti nivo izdataka za propagandu očekivali bismo različiti nivo prodaje. Drugim rečima, takav

model ne samo da je suviše jednostavan, nego bi u praksi pokazivao manje ili veće greške. Kako

onda da modeliramo veze između pojava u ekonomiji, koje su po svojoj prirodi stohastičke?

Stohastičke veze između dve pojave modeliraćemo tako što ćemo u model, pored zavisne i

nezavisne promenljive, uključiti još jednu komponentu, koja će obuhvatiti sve ostale faktore

(osim X) koji utiču na Y. Bez uključivanja te komponente jasno je da bi naš model (11.1) za

različite vrednosti X davao pogrešne vrednosti Y. Ta komponenta deluje na nepredvidljiv,

slučajan način na Y. Kako da nazovemo tu komponentu koja na sasvim slučajan način dovodi do

greške pri predviđanju u model (11.1)? Nazvaćemo je stohastički član ili slučajna greška modela,

i već smo imali prilike da je upoznamo kod modela analize varijanse. Dakle, umesto relacije

(11.1) međuzavisnost posmatrane dve pojave se neuporedivo bolje opisuje modelom

Prihod od prodaje = 5 · Izdaci za propagandu + Slučajna greška (11.2)

Ovakav model dozvoljava da za razne vrednosti X imamo više različitih vrednosti Y.

Generalno, stohastički model (generalna forma stohastičkog modela), odnosno veza, može

se prikazati na sledeći način:

Y = Deterministički član + stohastički član (11.3)

Posmatranjem modela (11.3) nameće se logično pitanje: kako je uopšte moguće analizirati

takav model, ako on uključuje potpuno nepredvidljivu komponentu, preciznije rečeno, slučajnu

promenljivu? Statističari su pokazali da se takvi modeli ipak mogu koristiti tako što će se uvesti

određene pretpostavke o stohastičkom članu modela. Za sada ukažimo samo na jednu od njih.

Budući da stohastički član u različitim situacijama deluje na slučajan način, nekada tako što utiče

pozitivno na Y, nekada negativno, pretpostavićemo da se ti uticaji u zbiru potiru, odnosno da je u

proseku njegov uticaj jednak nuli.

Kako je stohastički član, u stvari, slučajna promenljiva, koji statistički pokazatelj označava

prosek te slučajne promenljive? Podsetimo se, to je, očekivana vrednost E(X). Dakle,

E(stohastičkog člana) = 0.

49

Ako je u modelu (11.3) zavisna promenljiva Y funkcija stohastičkog člana, a ovaj je po

svojoj prirodi slučajna promenljiva, koja je statistička priroda Y? Iz glave 4 znamo da je svaka

funkcija slučajne promenljive i sama slučajna promenljiva. Zaključujemo stoga da je i Y slučajna

promenljiva. Ostaje još samo da odredimo čemu je jednak prosek, tj. očekivana vrednost Y.

Prosek Y, na osnovu relacije (11.3), biće jednak proseku zbira determinističkog i stohastičkog

člana. Kako je prosek stohastičkog člana jednak nuli, zaključujemo da je:

Prosek Y = Deterministički član.

Da sumiramo: u ekonomiji stohastički model mnogo bolje opisuje realnost od

determinističkog. On uvek u sebi uključuje bar jednu slučajnu promenljivu. Usled toga se u

literaturi u poslednje vreme reči "stohastički" i "slučajni" shvataju kao sinonimi.

Veze kod kojih porastû (opadanju) vrednosti nezavisne promenljive X istovremeno

odgovara porast (opadanje) zavisne promenljive Y nazivamo direktnim vezama. Tipičan primer

je odnos između primenjene količine određenog veštačkog đubriva i prinosa neke poljoprivredne

kulture. Sa druge strane, ako porastû jedne promenljive odgovara opadanje druge, radi se o

inverznim vezama (na primer, sa porastom cene avionskih karata opada broj putnika, uz

konstantni realni dohodak). Naravno, ukoliko se ustanovi da sa promenama vrednosti jedne

pojave druga promenljiva ostaje konstantna, zaključićemo da između njih ne postoji nikakva

zavisnost.

U stvarnosti, između dve ili više pojava moguće je postojanje najrazličitijih oblika veza,

počev od onih koje se matematički mogu iskazati jednostavnom formulom, pa do onih veoma

kompleksnih. Najjednostavniji oblik veze između pojava je linearna veza i u ovoj knjizi

zadržaćemo se samo na takvim vezama.

5.7. Razlika između regresione i korelacione analize

Prilikom istraživanja međuzavisnosti varijacija dve ili više pojava u statistici se primenjuju

metode regresione i korelacione analize. Iako su ovi statističke metode u bliskoj vezi i

međusobno se dopunjuju, između njih postoje i značajne razlike.

Kod korelacije, pri analizi dve pojave svejedno je koja se od njih označava kao nezavisna,

a koja kao zavisna promenljiva - dobija se identičan rezultat. Međutim, kao što ćemo videti u

sledećoj glavi, pri ispitivanju korelacione veze između tri ili više pojava prethodno jedna od njih

se mora definisati kao zavisna promenljiva, dok ostale dobijaju ulogu nezavisnih promenljivih.

Cilj korelacione analize je da se ispita da li između varijacija posmatranih pojava postoji

kvantitativno slaganje i, ako postoji, u kom stepenu.

Kod regresione analize nužno je unapred identifikovati koja pojava će imati ulogu

zavisne promenljive, a koja nezavisne promenljive. U statistici se kod regresije najčešće ne

koristi termin "nezavisna promenljiva"3, već objašnjavajuća promenljiva ili regresor. Naziva se

objašnjavajuća jer pomoću nje pokušavamo da objasnimo varijacije zavisne promenljive. Koja

promenljiva će biti izabrana za objašnjavajuću utvrđuje se na osnovu prethodnih teorijskih ili

empirijskih saznanja, ili pretpostavki o prirodi analiziranih pojava.

3Kod regresije se izbegava izraz “nezavisna promenljiva“ jer to implicira da je X uzrok, a Y

posledica. Međutim, regresionom analizom je nemoguće dokazati uzročnu vezu između pojava.

Svrha regresije jeste da se utvrdi oblik veze, odnosno zavisnosti između posmatranih

pojava. To se postiže pomoću odgovarajućeg regresionog modela. Regresioni model je takav

stohastički model koji kroz matematičku formulu i niz odgovarajućih pretpostavki najbolje

opisuje kvantitativnu zavisnost između varijacija posmatranih pojava u realnosti. Regresioni

50

model nije sam po sebi cilj regresije, već sredstvo koje nam služi da ocenimo i predvidimo

vrednosti zavisne promenljive za željene vrednosti objašnjavajuće promenljive.

Cilj regresione analize je da se odredi onaj regresioni model koji najbolje opisuje vezu

između pojava i da se na osnovu toga modela ocene i predvide vrednosti zavisne promenljive Y

za odabrane vrednosti objašnjavajuće promenljive X.

Na osnovu navedenog jasno je da regresiona analiza ima daleko veći značaj u praktičnim

istraživanjima od korelacije.

Važno je napomenuti da pomoću regresije i korelacije nismo u stanju da otkrijemo da li

između pojava postoji uzročno-posledična veza, u smislu da je jedna pojava uzrok, a druga

posledica. To se može utvrditi drugim metodima kvantitativne ili pomoću kvalitativne analize.

Prilikom istraživanja međusobnih veza dve promenljive primenjuju se metodi proste (eng.

simple) regresione i korelacione analize, a u slučaju posmatranja više promenljivih, metodi

višestruke (eng. multiple) regresije i korelacije. Reč "prosta" znači samo to da su u pitanju dve

pojave, a nikako da je analiza jednostavna. U ovoj knjizi zadržaćemo se samo na prostoj

korelaciji i regresiji.

5.8. Dijagram raspršenosti

Dijagram raspršenosti (engl. scatter diagram) je dijagram kojim se prikazuje veza između

dve kvantitativne promenljive. Bitno je shvatiti da se vrednosti ovih promenljivih dobijaju na

osnovu merenja na istim jedinicama posmatranja (na primer istim studentima, istim firmama

itd.). Na osnovu merenja dolazi se do uređenih parova podataka (x1,y1), (x2, y2), ... itd.

Pretpostavimo da nas interesuje da li između visine i težine studenata Vašeg univerziteta

postoji kvantitativno slaganje. Kod svakog studenta morali bismo da izmerimo visinu i težinu i

na taj način formirali bismo uređenu listu parova podataka. Svaki od tih parova sastojao bi se od

dva broja – jednog koji bi označavao težinu određenog studenta i drugi koji bi se odnosio na

njegovu visinu, na primer, (75 kg ; 185 cm). Osnovni skup u ovom slučaju čine svi parovi

vrednosti (xi, yi), pa kažemo da on sadrži sve realizovane vrednosti dvodimenzionalne

promenljive. Dijagram raspršenosti nema smisla koristiti ako nemamo uređene parove podataka,

na primer nema smisla grafički prikazivati podatke za visinu 10 studenata u Kragujevcu i težinu

10 studenata u Subotici. Ovo ujedno važi i za regresionu i korelacionu analizu.

Dijagram raspršenosti se konstruiše u pravouglom koordinatnom sistemu. Pri tome se na

apscisnu osu nanose jedinice pojave koju smo označili nezavisnom (u regresionoj analizi

objašnjavajućom) promenljivom X, a na ordinatnu osu jedinice zavisne promenljive Y.

Ucrtavanjem svih empirijskih parova podataka može se dobiti važna slika o eventualnom

postojanju, obliku, smeru i jačini veze između posmatranih pojava.

Primer 11.1: Uzmimo podatke Tabele 11.1, koja pokazuje izdatke za propagandu (u

milionima dinara) i prihod od prodaje (u 100 miliona dinara), deset, na slučaj odabranih

računarskih firmi u Srbiji.

Tabela 11.1 Izdaci za propagandu i prihod od prodaje 10 računarskih firmi, na osnovu

slučajnog uzorka

Koju promenljivu označiti kao X, a koju kao Y? Odgovor zavisi od toga da li sprovodimo

korelacionu ili regresionu analizu. Ako istražujemo vezu između posmatrane dve pojave,

51

potpuno je svejedno da li ćemo na X osu nanositi vrednosti prve ili druge promenljive. Međutim,

ako želimo da ispitamo da li se na osnovu ulaganja u propagandu mogu objasniti varijacije

prodaje, kao objašnjavajuću promenljivu odabraćemo izdatke za propagandu. Budući da ćemo

podatke Tabele 11.1 koristiti i u regresionoj analizi, izdatke za propagandu ćemo označiti kao X,

a prodaju kao Y. Podatke uzorka prikazaćemo grafički pomoću dijagrama raspršenosti na Slici

11.1.

Slika 11.1 Dijagram raspršenosti za podatke из Tabele 11.1

Dijagram raspršenosti na Slici 11.1 pokazuje da između varijacija posmatranih pojava

postoji kvantitativno slaganje. Naime, sa porastom ulaganja u propagandu raste i prihod od

prodaje. Dakle, vidimo da se radi o direktnoj vezi između pojava. Takođe, raspored tačaka se

približno grupiše u vidu prave linije, što nam govori da je u pitanju linearna veza. Međutim, sve

tačke se ne nalaze na samoj pravoj liniji, jer bi se onda radilo o funkcionalnom slaganju, što je

izuzetno redak slučaj u ekonomiji. U pitanju je, dakle, stohastička veza, kod koje individualni

slučajevi pokazuju odstupanja od opšte pravilnosti. Ukoliko su tačke više raspršene u odnosu na

pravu liniju, utoliko je i slabija međuzavisnost dve pojave, i obrnuto. U slučaju kada je raspored

tačaka sasvim raspršen zaključuje se da ne postoji nikakvo kvantitativno slaganje varijacija dve

pojave.

Na Slici 11.2 prikazane su različite mogućnosti povezanosti varijacija dve pojave na

odgovarajućim dijagramima raspršenosti.

Od navedenih grafičkih prikaza obratimo pažnju na onaj pod i) zbog njegove posebne

važnosti u daljem izlaganju. Iako na prvi pogled izgleda da postoji pravolinijska funkcionalna

veza između pojava, to nije tačno, jer za bilo koje vrednosti promenljive X promenljiva Y ostaje

konstantna. Takođe, upozorimo na jednu specifičnost dijagrama raspršenosti na Slici 11.1 u

odnosu na dijagrame sa Slike 11.2. Naime, ranije smo naveli da kod stohastičke veze za svaku

vrednost X postoji čitav niz vrednosti Y, a to se ne može uočiti na Slici 11.1 (izuzev što za

vrednosti X = 3 i X = 5 imamo po dve vrednosti Y). Razlog je u tome što u našem primeru

raspolažemo sa relativno malim uzorkom od samo 10 firmi.

52

Slika 11.2. Primeri različitih oblika veza na dijagramima raspršenosti

Na osnovu svega navedenog možemo zaključiti da dijagramom raspršenosti grafički

prikazujemo varijacije dve pojave u cilju sagledavanja:

1) da li između njih postoji kvantitativno slaganje,

2) ako slaganje postoji, koji je njegov oblik (linearni ili krivolinijski),

3) koji je smer slaganja (direktni ili inverzni), i

4) koja je jačina slaganja.

Bez dijagrama raspršenosti često se u praksi mogu dobiti potpuno nevalidni zaključci;

stoga preporučujemo da se obavezno, pre bilo kakve kvantitativne analize, podaci prikažu na

ovom dijagramu.

53

6. TEORIJA VEROVATNOĆE

Teorija verovatnoće proučava zakonitosti koje važe za slučajne pojave i slučajne

eksperimente, tj. pojave čiji se tok ne može sa sigurnošću predvideti, odnosno eksperimente čiji

se rezultati ne mogu sa sigurnošcu predvideti. Razlika između pojave i eksperimenta je ta što

pojavu samo pratimo dok eksperiment izvodimo.

Primeri slučajnih pojava su:

kretanje temperature vazduha u nekom mestu tokom vremena,

pojava neispravnih proizvoda u procesu proizvodnje,

promena sastava prirodnih sirovina itd.

Primeri slučajnih eksperimenata su:

bacanje kocke ili novčića,

eksperimenti koje izvodimo u laboratorijama radi proučavanja nekih slučajnih pojava

u hemijsko-tehnološkim procesima.

Pod slučajnim eksperimentom ili opitom u teoriji verovatnoće podrazumeva se

eksperiment koji se može neograničen broj puta obaviti pod istim uslovima, ali čiji ishod se ne

može sa sigurnošću predvideti. Rezultate (ishode) takvog eksperimenta zvaćemo slučajnim

događajima. Uzmimo popularan primer slučajnog eksperimenta: bacanje kocke sa brojevima 1 –

6. Neki slučajni događaji koji mogu nastupiti u tom slučajnom eksperimentu su recimo:

dobijanje parnog broja,

pojavljivanje broja manjeg od 5,

dobijanje šestice.

Prva dva događaja u datom primeru se mogu ostvariti na više načina. Tako se prvi

realizuje ako je rezultat bacanja 2, 4 ili 6, dok se drugi realizuje ako je rezultat 1, 2, 3 ili 4.

Dakle, prvom događaju odgovara skup {2, 4, 6}, dok drugom možemo da dodelimo skup {1, 2,

3, 4}. Za razliku od prva dva događaja, treći se može ostvariti samo na jedan način i zato ga

zovemo elementaran događaj i odgovara mu jednočlani skup {6}. Prva dva događaja možemo

zvati složenim. Složenom događaju odgovaraju višečlani skupovi 2 čiji su elementi pojedini

elementarni događaji, čije nastupanje povlači ili uključuje ostvarivanje datog složenog

događaja.

Uopšte, ako neki događaj (elementaran ili složen) povlači realizaciju nekog drugog

događaja, znači da je skup elementarnih ishoda, koji odgovara prvom događaju, podskup

skupa elementarnih ishoda za drugi događaj. Na primer, događaj da se bacanjem kocke dobije

1 ili 3, kome odgovara skup {1, 3}, povlači ostvarivanje događaja da se bacanjem kocke dobija

neparan rezultat, kome odgovara skup {1, 3, 5}. Veza između skupova je: {1, 3} {1, 3, 5}.

6.1. Klasična definicija verovatnoće

Skup svih mogućih elementarnih događaja za neki eksperiment zvaćemo prostor

elementarnih događaja.

Klasična definicija verovatnoće je primenljiva na slučajne eksperimente kod kojih je prostor

elementarnih događaja konačan, tj. sadrži n elementarnih događaja i pri tome svaki od njih

ima jednaku mogućnost da nastupi. Tipični primeri su bacanje kocke ili novčića bez ikakvih

“trikova” sa ciljem dobijanja željenog rezultata.

54

Zamislimo dakle neki eksperiment kod koga je podjednako moguće nastupanje bilo kog od

ukupno n elementarnih događaja. Verovatnoća nastupanja nekog događaja A jednaka je

količniku broja povoljnih ishoda m, tj. broja elementarnih događaja koji povlače ostvarenje

događaja A, i broja svih mogućih ishoda n .

Primer 1a. Kolika je verovatnoća dobijanja parnog broja pri bacanju kocke?

Rešenje: Elementarni događaji koji povlače nastupanje posmatranog složenog događaja A

su dobijanje 2, 4 ili 6 ima ih 3, m = 3.Ukupan broj svih elementarnih događaja ovde je 6, n = 6.

Prema formuli:

Primer 1b. Slučajni eksperiment se sastoji u izvlačenju jedne od kuglica iz kese koja

sadrži 64 kuglice, od toga:

8 crvenih

15 belih

24 crne

17 narandžastih

Kolika je verovatnoća događaja A - izvlačenje crvene kuglice?

Rešenje: Broj povoljnih događaja, izvlačenja bilo koje crvene kuglice, jednak je broju

crvenih kuglica m = 8. Ukupan broj mogućih ishoda je 64:

Vidimo da događajima koji se češće javljaju kao ishod eksperimenta pripada i veća

verovatnoća. Tako, verovatnoću nekog događaja možemo da posmatramo kao meru mogućnosti

da taj događaj nastupi. Iz samog značenja bojeva m i n sledi da je m _ n , što kao posledicu ima:

0 ≤ P(A) ≤1

Ako je neki događaj nemoguć, odgovara mu prazan skup elementarnih događaja tj.

imamo m = 0 i njegova verovatnoća – mogućnost da nastupi, jednaka je nuli: P(Ф) = 0, gde smo

sa Ф označili nemoguć događaj.

Naprotiv, ako svaki od n mogućih ishoda povlači ostvarenje nekog događaja, kažemo da je

on siguran događaj, E i pošto je m = n, njegova verovatnoća je jednaka jedinici: P(E) = 1.

Da bi se računala verovatnoća po klasičnoj definiciji (1.1), u složenijim slučajevima,

neophodno je poznavanje kombinatorike.

6.2. Statistička definicija verovatnoće

Kod mnogih slučajnih pojava ili eksperimenata nije moguće unapred – apriori, pomoću

klasične definicije (1.1) odrediti verovatnoću nekog događaja. Na primer, u nekom tehnološkom

procesu ne može se teorijski, tj. unapred odrediti verovatnoća pojave škarta.

Posmatrajmo sada poznati eksperiment bacanja kocke. Formula (1.1) za verovatnoću

događaja A da se pri bacanju kocke pojavi, recimo, broj 6 daje:

55

To znači, da ako bacamo kocku n puta, možemo da očekujemo da ćemo šesticu dobiti

približno m = n/6 puta. Na primer, u n = 600 bacanja očekujemo da čemo šesticu dobiti oko 100

puta.

Broj ostvarivanja nekog događaja m u n ponovljenih eksperimenata zvaćemo

(apsolutna) učestalost ili frekvenca događaja. U posmatranom primeru, u n ponovljenih

eksperimenata, očekivana frekvenca dobijanja šestice jednaka je n/6. Isto tako, ako zamislimo da

smo nekako došli do verovatnoće pojave neispravnog proizvoda p, u nekoj serijskoj proizvodnji,

recimo p = 0.1, tada u uzorku od 100 komada možemo očekivati 10 neispravnih, ali stvarno taj

broj može biti 8, 9, 10, 12 itd., dakle neki broj “oko” broja 10. Dakle, očekivana učestalost

pojave škarta u uzorku od 100 komada je m = 10.

Količnik učestalosti m i broja ponavljanja eksperimenta, n naziva se relativna

učestalost (frekvenca) događaja A:

Možemo očekivati da ce relativna učestalost dobijanja šestice pri bacanju kocke biti

približno 1/6, odnosno _(A) _ P(A). Naravno, u nekih n bacanja kocke _ će imati jednu vrednost,

a u n narednih bacanja neku drugu vrednost. Ono što iskustvo pokazuje je da ako je n dovoljno

veliko, relativne učestalosti nekog događaja u različitim serijama od po n izvođenja

eksperimenata malo se razlikuju među sobom. Šta više, kada n raste, frekvence ostvarene u

pojedinim serijama se sve manje među sobom razlikuju. Tako, ako bi kocku bacali 600, 6000,

60000 i 120000 puta, mogli bi dobiti sledeće učestalosti pojavljivanja šestice:

105, 983, 10150, 20215

odnosno relativne učestalosti:

0.175, 0.164, 0.170, 0.168

Primećujemo da se relativna učestalost približava “teorijskoj” verovatnoći posmatranog

događaja (1/6 _0.168) kada se n uvećava.

Svojstvo relativnih frekvenci slučajnog događaja da se grupišu oko nekog broja kada

se broj ponavljanja slučajnih eksperimenata neograničeno povećava, u skladu je sa tzv.

zakonom velikih brojeva, i omogućuje da se verovatnoća slučajnog događaja definiše preko

relativnih frekvenci, budući da je broj oko koga se relativne frekvence grupišu upravo jednak

verovatnoći:

(n veliko)

Daćemo, bez dokaza, Bernulijev (Bernulli) zakon velikih brojeva, na kome se zasniva

formula (1.7) za određivanje verovatnoće događaja nakon realizacije eksperimenata

(aposteriori). Kada n ∞,relativna učestalost događaja A, (A) = m/ n teži po verovatnoći

stvarnoj verovatnoći događaja:

=1

za proizvoljno mali broj . U kraćoj notaciji:

56

Znači da ce za dovoljno veliko n, relativna učestalost (gotovo) sigurno biti, dobra

aproksimacija stvarne verovatnoće događaja P(A).

Primer 1.10 U dužem vremenskom intervalu utvrđeno je da mašina za automatsko

pakovanje hrane daje 2% paketa ispod propisane težine. Kontrolor je uzeo slučajan uzorak od 50

paketa. Odrediti očekivani broj neispravnih paketa.

Rešenje: Podatak 0.02 (2%) predstavlja relativnu frekvencu pojave defektnog paketa (A) I

u skladu sa (1.7) usvojićemo ga kao procenu verovatnoće pojave defektnog paketa:

Očekivani broj defektnih paketa u n = 50 komada biće jednak apsolutnoj frekvenci:

57

7. RAČUNARSKO MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA

Računarski modeli predstavljaju prikaz matematičkih modela u obliku računarskih

programa korišćenjem programskih jezika i usko su vezani za razvoj računarske nauke.

Računarsko modelovanje i simulacija procesa imaju značajnu ulogu u nastavi prirodnih i

tehničkih predmeta, jer pomažu studentima da lakše shvate bitne karakteristike nekog realnog

sistema ili princip rada mašina i uređaja. Znanja studenata se produbljuju i proširuju korišćenjem

računarskog modelovanja i simulacije procesa, kao što su animacije, apleti i sopstveni

simulacioni programi urađeni u pogodnim programima, kao što su: Matlab, Electronics

Workbench, Power World Simulator itd.

Prilikom izrade (formiranja) računarskog modela treba se pridržavati sledećih preporuka:

granice modela treba odabrati tako da on obuhvata samo pojave od interesa,

model ne sme biti suviše složen ni detaljan,

model ne sme biti suviše pojednostavljen,

model se može rastaviti na više modula radi lakše izrade i provere,

za razvoj algoritama i programa treba koristiti neku od proverenih metoda,

treba proveriti logičku i kvantitativnu ispravnost i modela i modula.

Analiza i projektovanje realnih sistema ne mogu se zamisliti bez simulacije ponašanja tih

realnih sistema na računaru. Simulacijom ponašanja realnog sistema na računaru mogu se

istraživati ne samo prelazne pojave nego i uticaji pojedinih parametara elemenata na te pojave.

Na taj način moguće je odabrati element s takvim karakteristikama koje, zajedno s

karakteristikama ostalih elemenata realnog sistema, daju optimalno ponašanje čitavog realnog

sistema.

Povezivanjem modela sa realnim sistemom omogućeno je istraživanje i podešavanje tih

sistema u uslovima rada, koji su veoma bliski realnim. Takođe, mogu se simulirati i istraživati

ponašanja realnih sistema u raznim normalnim i nenormalnim režimima koja mogu nastati u

pogonu. Takav način eksperimentisanja je u pravilu jednostavniji, brži i jeftiniji nego

eksperimentisanje na realnom sistemu.

Metoda simulacije omogućava uz upotrebu savremenih računara, teorijsko simuliranje

(oponašanje) realnih sistema (stvarnih pojava i procesa) kako bi se između velikog broja

mogućih rešenja pronašlo ono najpovoljnije. Problem simulacije je u verodostojnosti geneze

simulacijskog fenomena.

Simulacijom se uspostavlja veza između modela i računara. Verifikacijom programa se

provera da li program verno prenosi model na računar i na tačnost kojom računar vrši instrukcije.

Simulacije ponašanja realnih sistema na računaru omogućavaju "eksperimentisanje" na

računaru umesto na realnom sistemu što je posebno važno u fazi projektovanja realnih sistema.

Simulacija predstavlja izvršenje modela i formiranje određenih rezultata. Prednosti

simulacija su u tome što je to ekonomičniji način dobijanja odgovora na postavljeno pitanje u

odnosu na sprovođenje eksperimenata. Eksperimenti predstavljaju skup ali dragocen izvor

informacija i rezultata, naročito kada se rade u realnim uslovima. Na osnovu rezultata simulacija

mogu se formirati analize tipa “Šta ako”. Samo svojstvo simulacija da omogućavaju menjanje

ulaznih i izlaznih podataka modela, omogućava boljem razumevanju kako funkcioniše modela, a

time i realni sistem koga model predstavlja (zamenjuje).

58

Modelovanje i simulacije predstavljaju složenu aktivnost koja sadrži tri elementa:

1) Realni sistem, je uređen skup elemenata koji formiraju jednu celinu i deluju zajednički

kako bi ostvarili zadati cilj. Realni sistem predstavlja izvor podataka za izradu modela.

2) Model, je na pojednostavljen (apstraktan) način prikazan neki realni sistem, koji

prikazuje strukturu, komponente i njihovo uzajamno delovanje u realnom sistemu.

Računarski model predstavlja program koji opisuje ponašanje simuliranog realnog

sistema. Model ima svoje elemente koji su opisani atributima i promenljivima.

3) Računar, je uređaj na kome se izvršava program modela i koji daje određene rezultate

tokom vremena na osnovu ulaznih podataka.

Računarsko modelovanje i simulacija procesa se koristi kod:

pravljenje prototipova,

predstavljanje određenih procesa u edukativne svrhe,

predstavljanje novih uslova i sredina,

distribucija vode, struje, gasa,

službi za hitne intervencije,

računarskih sistema,

saobraćajnih sistema (raskrsnica, luka itd.),

proizvodnih pogona,

banki, pošta, samoposluga itd.

7.1. Primena softverskog paketa MATLAB u računarskom modelovanju i

simulaciji procesa

Programski paket MATLAB je namenjen za rešavanje različitih problema iz linearne i

vektorske algebre korišćenjem prevashodno numeričkih metoda.

Matrični proračuni predstavljaju osnovu MATLAB-a, jednostavno i brzo se izvode, te je na

ovom polju MATLAB vodeći svetski programski paket. Operacije sa matricama su od posebnog

značaja, jer se realni sistemi sa više ulaza, promenjivih i izlaza zadaju pomoći matrica.

MATLAB se može koristiti za rešavanje i drugih tipova matematičkih problema kao što su

određeni integrali, nelinearne jednačine, diferencijalne jednačine i dr. Ove probleme MATLAB

59

rešava pomoću optimizovanih numeričkih metoda koje su inkorporirane u programski paket i

pokreću se pomoću određenih naredbi.

Na taj način MATLAB omogućava jednostavno rešavanje inženjerskih problema i

dobijene rezultate prikazuje na jasan i pregledan način, pomoću grafika i tabela (matrica

rezultata).

U MATLAB-u se mogu rešavati različiti problemi pomoću posebnih dodatnih modula za:

regulaciju procesa (Control System Toolbox),

formiranje procesnih šema, odnosno blok dijagrama (Simulink),

robustno upravljanje (Robust Control Toolbox).

Osim ovih modula u MATLABu postoji niz drugih, koji služe za rešavanje različitih

inženjerskih problema:

parcijalnih diferencijalnih jednačina (Partial Differential Equation Toolbox),

optimizaciju (Optimization Toolbox),

formiranje neuronskih mreža (Neural Network Toolbox),

obradu podataka:

o digitalnu obradu signala (Signal Processing Toolbox),

o akviziciju podataka (Data Acquisition Toolbox),

o statističku obradu podataka (Statistics Toolbox),

o baze podataka (Database Toolbox) itd.

MATLAB sadrži biblioteku rutina (MAPLE) za simboličko rešavanje problema. Na taj

način se mogu dobiti analitička rešenja sistema linearnih jednačina, diferencijalnih jednačina,

određenih i neodređenih integrala. Iz oblasti automatskog upravljanja značajno je određivanje

Laplasove i Furijeove transformacije različitih funkcija.

1. Pokretanje programa

Korišćenjem miša u Windows Desktop-u treba izabrati Start/Programs/Matlab/Matlab. Na

taj način otvara se osnovni prozor MATLAB-a koji se po default-u sasatoji od: komandnog

prozora, prozora istorije komandi i prozora tekućih direktorijuma. Kao i ostali Windows

programi MATLAB pri vrhu prozora sadrži spisak svih menija (File, Edit, View, ...) i bar za

standardno formiranje. Pregledati menije i promeniti raspored osnovnog prozora pomoću

View/Desktop Layout/Simple koji se sastoji samo od komandnog prozora i prozora istorije

komandi.

2. Osnovne operacije

MATLAB koristi komandni jezik jednostavne sintakse. Komande u MATLAB-u se

upisuju u poslednju, aktivnu, liniju komandnog prozora koja počinje sa oznakom >>. Operacije

se upisuju u komandnu liniju i izvršavaju pomoću tastera Enter.

3. Korišćenje pomoći (Help-a)

Informacije o pojedinim naredbama se mogu dobiti primenom naredbe Help. Na primer:

>> help laplace

prikazuje opis naredbe laplace. Detaljnije informacije o pojedinim mogućnostima

programa mogu se naći i korišćenjem opcija iz menija Help u osnovnom MATLAB prozoru.

60

8. EKOLOŠKO MODELOVANJE

Zaštita životne sredine svakim danom postaje sve aktuelnija tema kojom se bavi sve veći

broj ljudi. Klimatske promene, kisele kiše, ekološki akcidenti, gubitak biodiverziteta i problem

otpada samo su neki od ekoloških problema kojim se bavi ekologija (nauka o zaštiti životne

sredine). Svi ovi problemi su veoma različiti po pitanju vremenskog i prostornog opsega.

Vremenski opseg može biti veoma dugačak, kao kod klimatskih promena, ili sasvim

kratak, što je slučaj kod nekih ekoloških akcidenata.

Prostorni opseg može biti ograničen na užu lokalnu oblast, na primer kod poplava, ili može

imati širi pa čak i globalni karakter, što je slučaj sa podizanjem nivoa mora i okeana.

Pored toga važno je naglasiti da ovi ekološki problemi mogu imati jedan uzrok ili što je

mnogo češće slučaj mogu biti uzrokovani delovanjem više međusobno povezanih faktora u

životnoj sredini.

Istraživanja ekoloških problema mogu biti skupa, teška a ponekad i nemoguća zbog toga se

ova ispativanja često vrše metodom ekološkog modelovanja, odnosno istraživanja se vrše na

ekološkim modelima a zatim se dobijeni rezultati istraživanja sa ekoloških modela prenose na

realne (ekološke) sisteme.

Ekološko modelovanje ima velike mogućnosti tako da se koristi u različitim oblatima

ekologije, kao što su:

Klimatologija, koja se bavi proučavanjem klimatskih promena.

Okeanografija, koja se bavi proučavanjem uticaja promena temperature morskih

struja na veremenske prilike.

Procena rizika od hazardnih situacija, koja se bavi proučavanjem verovatnoće

nastanka poplava i predviđanja mogućih negativvnih posledica koje mogu uzrokovati

(ugrožavanja bezbednosti ljudi i životne sredine, oštećenja objekata itd.).

Populaciona biologija, koja se bavi proučavanjem stanja i brojnosti populacije

određene vrste i promena tih parametara usled različitih antropogenih aktivnosti.

Ekologija, koja se bavi modelovanjme stanja biotičkih i abiotičkih faktora i njihovim

promenama uzrokovanim antropogenim uticajima.

Procena uticaja na životnu sredinu proizvoda koji tek treba da se proizvedu.

Ekološka epidemiologija, proučavanje uticaja vazdušnog zagađenja na pojavu

respiratornih oboljenja kao što je astma.

Ekološko zakonodavstvo, uz pomoć modela se mogu odrediti metodologije uzimanja

uzoraka kako bi se ispoštovali svi relevatni zakoni i vršio adekvatan monitoring

životne sredine.

8.1. Faze (koraci) izrade ekološkog modela

Pravilan postupak izrade modela obezbeđuje da model bude validna predstava realnog

sistema koji se istražuje, da ga je moguće lako istraživati (i to uglavnom uz pomoć računara), da

se izradi unutar troškovnih i vremenskih ograničenja i da se može efikasno primenjivati.

Da bi ekološki model mogao da verodostojno (uspešno) simulira (oponaša, predstavlja)

neki realni sistem potrebno je pridržavati se određene metodologije prilikom njegove izrade.

61

Nakon što se izvrši primena ekološkog modela važno je da se na neki način sam model

verifikuje.

Ekološki mideli se mogu izrađivati na različite načune, a u nastavku je prikazan jedan od

mogućih postupaka.

Izrada (formiranje, razvoj) ekološkog modela, kao i svakog drugog modela realnog

sistema, se izvodi kroz više faza (koraka), slika 1:

1. Definisanje (identifikacija) problema koga korisnik modela želi da reši korišćenjem tog

modela.

2. Upoznavanje realnog sistema koji se istražuje (proučava).

3. Izrada konceptualnog modela.

4. Postavljanje (usvajanje) pretpostavki modela.

5. Izrada (formiranje, razvoj) matematičkog modela, tj. formiranje jednačina koje na

adekvatan način opisuju ponašanje realnog sistema.

6. Izrada računarskog modela:

o izbor odgovarajuće nameričke metode i programskog jezika u kome će se rešavati

matematički model i

o formiranje algoritma za rešavanje matematičkog modela i izrada programa

(programiranje).

7. Verifikacija računarskog modela (testiranje programa) - provera da li računarski model

verno predstavlja matematički model i

8. Validacija (vrednovanje) modela realnog sistema – provera da li model verno

predstavlja realni sistem.

9. Praktična primena (implementacija) modela.

62

Slika 1. Faze izrade (formiranja) ekološkog modela

Definisanje (identifikacija) problema

Upoznavanje realnog sistema

Postavljanje (usvajanje) pretpostavki

Izrada računarskog modela

Da li računarski

model verno

predstavlja

matematički

model

Da li model

verno predstavlja

realni sistem

Praktična primena modela

Izrada matematičkog modela

Da

Da

Ne

Ne

Izrada koncepualnog modela

63

U praksi, granice između ovih faza nisu uvek precizno definisane i prelaz iz jedne u drugu

fazu je retko kad „oštar“ kao što je na šemi prikazano. Bez obzira na to ova šema predstavlja

koristan okvir za razumevanje osnovnih principa izrade modela.

Prvo treba ostvariti prelaz sa realnog sistema na konceptualni model, zatim sa

konceptualnog na matematički model i sa matematičkog na računarski model. Potom

simulacijama na računaru treba izvršiti proveru ispravnosti rada programa i modela.

Izrada modela je najčešće proces koji zahteva ponavljanje i isprobavanje različitih rešenja

i ispravljanje uočenih grešaka. Model se obično pravi kroz više faza (koraka) koji povećavaju

njegovu kompleksnost sve dok ne bude u stanju da uspešno oponaša realni (stvarni) sistem koji

se istražuje (proučava). Kada se takav model uradi onda se koristi za simulaciju ponašanja

realnog sistema.

Za realizaciju svake od navedenih faza potrebna su različita znanja i veštine. Malo je osoba

koje imaju sposobnost da uspešno realizuju sve navedene faza razvoja modela. Zbog toga izrada

modela zahteva formiranje tima, pri čemu je važno ostvariti koordinaciju i komunikaciju između

članova tima. Modeli izrađeni od strane različitih autora ili različitih timova uvek se razlikuju,

tako da će n različitih osoba ili timova formirati n različitih modela.

8.1.1. Definisanje (identifikacija) problema koga korisnik modela želi da reši

korišćenjem tog modela

Prva faza izrade modela jeste definisanje (identifikacija) problema koga korisnik modela

želi da reši korišćenjem tog modela. Problem treba da bude jasno i precizno definisan, kako bi

korisnik modela korišćenjem tog modela mogao doći do rešenja problema. Ako se problem ne

definiše jasno i precizno proces izrade modela može biti težak, složen i oduzeti puno vremena i

što je najgore može se desiti da model ne predstavlja verodostojnu zamenu za realni sistem

(predmet modelovanja).

Prilikom definisanja problema treba obratiti pažnju na opseg samog modela. Treba

razgraničiti elemente naučnog pitanja kojima model treba da se bavi i one kojima ne treba da se

bavi. Opseg modela treba ograničiti na različite načine kako bi se dobilo pogodno rešenje. Na

primer, nekad će treba izraditi model tako da on predstavlja deo ekološkog sistema, određenu

prostornu oblast ili određeni vremenski period. Pri tome postavljeni ciljevi ne treba da budu

suviše uski, ali ni suviše široki. Izrada modela treba da bude u skladu sa zadatim vremenskim,

troškovnim i kadrovskim ograničenjima.

8.1.2. Upoznavanje realnog sistema koji se istražuje (proučava)

Upoznavanje (posmatranje, opažanje) realnog sistema (predmeta modelovanja) koji se

istražuje (proučava) se vrši sa ciljem da se identifikuju njegove ključne komponente, zatim

njegovi ulazni i izlazni parametri, odnosi između njih, procesi i struktura koji upravljaju

njihovim interakcijama.

64

8.1.3. Izrada konceptualnog modela

Sledeća faza (korak) je izrada (formiranje, razvoj) konceptualnog modela koji treba da na

verodostojan način opiše realni sistem. Konceptualni model se uglavnom pravi u obliku

dijagrama.

Ova faza je od fundamentalnog značaja za uspeh modelovanja. Ovom fazom se

obezbeđuju svi potrebni podaci za fazu izradu matematičkog modela, kao i smernice za budući

rad.

Prvi zadatak ove faze je odluka da li je potrebno dati realni sistem podeliti na određeni broj

manjih podsistema, koji se dalje mogu rešavati ili jedan po jedan ili paralelno Zatim treba

postaviti primarne veze između elementa i promenjivih putem pažljive analize i detaljne

observacije. Jedan od načina da se ovo postigne je i praćenje sledećih koraka:

definisanje granica realnog sistema koji se modeluje,

odabir ključnih komponenti, na primer promenljivih,

procena brojčanih vrednosti promenljivih,

verbalno, statističko ili analitičko definisanje veza između promenljivih.

Najčešće je suština izrade konceptualnog modela izrada dijagrama koji predstavlja ključne

elemente proučavanog realnog sistema (fenomena, procesa), kao i sve bitne odnose između tih

elemenata. Ovi dijagrami, u zavisnosti od posmatranog problema, mogu biti prosti ili veoma

složeni. Konceptualni dijagrami su ustvari skupovi odgovarajućih simbola koji su prikazani na

odgovarajući način. Postoji veliki broj već postojećih simbola koji imaju poznato značenje koji

se mogu koristiti u tu svrhu. Osim toga moguće je i formiranje novih, sopstvenih simbola.

Odabir simbola koji će se koristiti zavisi i od problematike i zadatka koji model treba da ispuni.

Za problematiku modelovanja ekoloških sistema često se koriste simboli iz Forrester-ovih

dijagrama. Na Slici 2 dat je prikaz nekih od simbola iz Forrester-ovih dijagrama.

65

Slika 2. Neki od simbola iz Forrester-ovih dijagrama

Treba naglasiti u određenim programskim paketima za modelovanje, kao što je na primer

VENSIM, već postoje odgovarajući simboli i metodologija koja se koriste za izradu dijagrama.

Svaki simbol čini jedan element ekološkog modela. U elemente nekog ekološkog modela

spadaju različiti entiteti, a neki od najzastupljenijih su prikazani u tabeli 1.

Tabela 1. Ključni elementi ekološkog sistema

66

1. Izrada referentnog grafika

2. Izrada dijagrama sa rezervama i protocima (stock and flow diagram)

67

3. Izrada dijagrama uzročne petlje (causal loop diagram)

68

8.1.4. Postavljanje (usvajanje) pretpostavki modela

Svaki model se zasnova na pretpostavkama. Pretpostavke mogu biti postavljene u cilju

pojednostavljivanja kompleksnih ekoloških modela (tj. postavljanja što manjeg broja jednačina),

što je često potrebno da bi se mogao izraditi funkcionalan model, ili zbog ograničenosti naših

znanja o posmatranom ekološkom sistemu. Za neke od pretpostavki koje se postave na početku

izrade modela se kasnije može ispostaviti da su netačne, i tada je često neophodno izvršiti

određene korekcije na samom modelu. Sa druge strane, za neke pretpostavke se od početka zna

da su netačne, ali se bez obzira na to one zadržavaju, jer su neophodne radi jednostavnosti i

efikasnosti samog modela, a nemaju značajan uticaj na rezultat samog modela. Ono što je važno

je da svaka pretpostavka koja se koristi u modelu treba da bude prepoznatljiva, razumljiva i

jasna. Glavni razlog za ovo je da se razjasne priroda, svrha i ograničenja samog modela, a pored

toga i da se potencijalnim korisnicima omogući razumevanje samog modela.

8.1.5. Izrada (formiranje) matematičkog modela, tj. formiranje jednačina koje na

adekvatan način opisuju ponašanje realnog sistema

Realni sistem definisan kao uređaj ili proces koji ima jedan ili više ulaza odnosno jedan ili

više izlaza, može da se modeluje na više načina. Matematički model ima brojne prednosti u

odnosu na ostale modele, između ostalog omogućava:

jasno definisanje promenljivih,

eksplicitno izražavanje pretpostavki,

određivanje izlaznih promenljivih na osnovu kompleksnosti realacija modela.

Generalno, linearne modele je lakše rešavati nego nelinearne, obične diferencijalne

jednačine je lakše je rešavati nego parcijalne diferencijalne jednačine, analitičke funckije lakše je

rešavati nego beskonačne nizove, Beselove funkcije i sl. Takođe, determinističke modele je lakše

rešavati nego stohastički.

Opšta metodologija izrade matematičkog modela se sastoji od četiri koraka:

deifinisanja sistema,

određivanja ulaznih veličina sistema,

određivanja izlaznih veličina sistema,

određivanja relacija između ulaznih veličina, izlaznih veličina i parametara sistema.

U prvom koraku potrebno je jasno definisati šta je realni sistem, koji se istražuje

(proučava), u kakvom su odnosu delovi sistema (ponekad povezanost delova sistema nije od

izrazite važnosti za problem koji se rešava), koji se cilj želi postići itd.

Postupak modelovanja zahteva jasno definisanje ulaznih i izlaznih veličina. Za obe grupe

veličina važno je uočiti sledeće:

identifikovati ih,

po mogućnosti meriti ih,

kroz iterativni postupak analize i modelovanja odrediti koje su veličine značajne i

konačno, u kakvom su odnosu.

Neke od ulaznih veličina mogu da budu kontrolabilne i poželjne, dok druge mogu da budu

nekotrolabilne i nepoželjne. Vremenski uslovi, kao što su: temperatura, vlaga, brzina vetra,,

predstavljaju nekontrolabilne ulazne veličine prilikom formiranja matematičkog modela.

69

Ozbiljne teškoće u postupku modelovanja nastaju kada spoljašnji nekontrolabilni faktori imaju

veliki uticaj na analiziranu pojavu ili proces.

Određivanje relacija između ulaznih veličina, izlaznih veličina i parametara sistema

predstavlja najteži korak u formiranju modela. Suština dobrog modelovanja se sastoji u

određivanju značajnih promenljivih i formiranju relacija koje opisuju kako su one međusobno

povezane.

Generalni principi dobrog matematičkog modelovanja su:

modelovanje započeti onim što je poznato,

složene modele razvijati modularno,

koristiti iterativni postupak,

modelovati samo potrebne elemente,

formirati pretpostavke

navesti ograničenja,

formirati ekvivalente pogodne za inženjersku praksu.

Modelovanje započeti onim što je poznato

U modelovanju je potrebno koristiti fundamentalne zakone.

Složene modele razvijati modularno

Modularni pristup podrazumeva postepeno proširenje modela. Ovakav postupak

omogućava prelazak sa jednostavnih konfiguracija ka složenim konfiguracijama uz najefikasnije

eliminisanje nedostataka koje sa sobom donosi modelovanje složenih sistema.

Koristiti iterativni postupak

Iterativni postupak pretpostavlja ponovni pokušaj, poželjan nakon određene modifikacije

modela. Strukturna blok šema prikazana na slici 1. jasno ukazuje na važne petlje u procesu

modifikacije. Unutar svakog bloka postoji mogućnost za manje iterativne petlje.

Simulacije pomoću računara sadrže sledeće faze:

formiranje rezultata proračuna,

upoređivanje ovih rezultata sa očekivanim rezultatima za poznat slučaj

poboljšanje modela do postizanja zadovoljavajuće tačnosti.

Izuzetno je redak slučaj da se iz prvog pokušaja dobiju rezultati koji su sasvim

zadovoljavajući i koji kao takvi ne zahtevaju poboljšaanje. Čak i autori najuspešnijih

programskoh alata navode da bi u slučaju ponovnog modelovanja nekog problema to trebalo

raditi drugačije, na još bolji način.

Modelovanje je učenje. Iterativni postupak za poboljšanje modela jeste suština procesa

modelovanja.

Modelovati samo potrebne elemente

Formiranje matematičkih jednačina koje na verodostojan način opisuju ponašanje realnog

siustema često je prava umetnost. Potpuno korektno modelovanje svih elemenata sistema često

dovodi do problema, s obzirom na veliki broj dodatnih detalja vezanih za ulazne i izlazne

promenljive, kao i predugo vreme simulacije. Prema tome za modelovanje je neophodno veliko

70

inženjersko znanje u cilju uključivanja potrebnih elemenata, i u isto vreme, eliminisanje

nepotrebnih elemenata.

Modelovanje samo potrebnih karakteristika od velikog je značaja iz dva razloga:

Sledeći korak u procesu izrade (formiranja) modela je formiranje matematičkog modela,

koje obuhvata prevođenje konceptualnog modela u matematiči jezik (tj. postavljanje jednačina

modela). Često ova faza predstavlja najizazovniji deo celokupnog procesa izrade modela.

Nekada, zbog neophodnosti primene komplikovanih matematičih metoda. Međutim, češće zbog

toga što postoji više načina kojim se matematički može predstaviti proučavani realni sistem, a

nije očigledno koji od tih načina je najbolje primeniti. Zbog toga je postavljanje odgovarajuće

matematičke formulacije modela, često, proces koji se zasniva na sistemu pokušaja i grešaka.

U ovoj fazi se izrađuje matematički model, pri čemu se definiše preslikavanje funkcija

između bitnih karakteristika predmeta modelovanja i modela za koje je utvrđena sličnost ili

analogija.

Definišu se veze između promenjivih i parametara u matematičkim formulacijama, provera

određenosti i konzistentnosti modela.

Pogodno je funkcionalnu zavisnost promenljivih kategorisati kao:

definicione,

empirijske i

normativne relacije.

Definicione relacije predstavljaju, većinom, balanse koji proističu iz fizičke prirode

problema ili recimo nekih konvencija koje su uvedene u problem.

Empirijske relacije su bazirane na istorijskim podacima, eksperimentalnim rezultatima,

široko prihvaćenom rezonu i slično. Nedostatak empirijskih relacija može biti nepogodnost

korišćenja podataka i zaključaka iz prošlog ponašanja sistema za buduće ponašanje. Promene u

budućnosti se mogu ticati kako promena parametara već postojećih relacija tako i promene

strukture relacija. Isto tako, empirijske relacije mogu da predstavljaju niži nivo performansi

starog sistema te prema tome mogu biti neadekvatne za opis novog sistema.

Treći tip relacija su normativne relacije u tom smislu da one predstavljaju način kako treba

povezati promenljive da bi se postigla optimalna vrednost zadatog kriterijuma.

Postoji veliki broj matematičkih modela koji se mogu koristiti za proučavanje ekoloških

sistema. Postoji više načina po kojima ovi modeli mogu da se podele, a neki od njih su:

U kojoj meri se modeli zasnivaju na teoriji ili observacijama – teorijski nasuprot

empirijskim modelima

U kojoj meri nasumični (slučajni) događaji i efekti imaju značajnu ulogu u

proučavanom sistemu, a samim tim i u modelu – deterministički nasuprot

stohastičkim modelima

U kojoj meri se raspolaže znanjem o proučavanom sistemu koji model treba da

predstavlja – model crne kutije („Black box) nasuprot modelu bele kutije (White

box).

Da li se model bavi ekološkim procesima koji su statični ili dinamični u odnosu na

prostor i vreme – statični nasuprot dinamičnim modelima

Da li se model bavi eklološkim procesima za koje se uzima da funkcionišu na

kontinualan ili diskretan način – kontinualni nasuprot diskretnim modelima

71

Kako su prostorno uređeni podaci modela – modeli sa raspodeljenim parametrima

nasuprot modelima sa grupisanim parametrima

8.1.6. Izrada računarskog modela

Ovde je potrebno odlučiti da li će na primer biti usvojen simulacioni ili optimizacioni

pristup, da li će promenljive modela biti stohastičke ili determinističke, da li će model biti

nelinearan ili linearan, da li je moguće primeniti neki od već postojećih postupaka rešavanja.

Veoma često se prilikom izbora načina rešavanja matematičkog modela izbor se svodi na

sledeće dve alternative:

nalaženje optimalnog rešenja uprošćene verzije problema i

nalaženje približnog rešenja tačne formulacije problema.

Može se zaključiti da je u praktičnoj primeni druga alternativa mnogo pogodnija i to

uglavnom što je nalaženje optimalnog rešenja u praktičnim problemima skoro nemoguć zadatak.

Кompletna predstava važnih faktora problema čak i da rešenje nije optimalno je vredniji od

optimalnog rešenja osiromašenog problema.

Analitičko i numeričko rešavanje matematičkog modela (formiranog sistema jednačina)

zahteva odgovarajuće znanje iz teorijske matematike i računarskih metoda.

Nakon izbora numeričkog načina rešavanja sledi implementacija na računaru, što zahteva

odgovarajuću veštinu programiranja. Prilikom formiranja programa potrebno je voditi računa o

njegovoj verifikaciji sa odgovarajućim matematičkim modelom. Pri tome je potrebno tako

koncipirati model da omogući dobijanje rezultata koji se slažu sa rezultatima dobijenim na

realnim sistemima. Uloga računara eksplicitno je uključena u faze formiranja i verifikacije

programa. Međutim, razvoj matematičkog modela implicitno uključuje ulogu računara. Osoba

iskusna u modelovanju i programiranju automatski teži onim matematičkim modelima koji se na

najlakši i najefikasniji način rešavaju pomoću računara.

U ovoj fazi potrebno je izabrati način na koji će biti rešen matematički model: numerički

ili analitički i oceniti da li ga je moguće realizovati na računaru.

Ako se izabere numerički način rešavanja matematičkog modela potrebno je:

izabrati odgovarajuće nameričke metode i programski jezik u kome će se rešavati

matematički model i

formirati algoritam za rešavanje matematičkog modela i izraditi program

(programirati).

Kada su postavljene matematičke jednačinei bitne za model potrebno je izvršiti

konvretovanje tih jednačina i formula u neki software (program), koji može obaviti simulacije

modela uz pomoć računara. Postoji ogroman broj programskih jezika koji se mogu koristiti

za modelovanje na računaru. Izbor određenog programskog jezika zavisi od dostupnosti, cene,

prethodnog iskustva, lakoće rukovanja, očekivanih rezultata, početnih ciljeva, dostupnih

podataka, prilagođenosti podataka određenom programu i drugih parametara. Kada su u pitanju

programska rešenja moguće je izvršiti podelu na sledeće kategorije:

1. Programi za rad sa tabelama (Spreadsheets), u koje spadaju na primer: Calc, Excel,

Gnumeric i Kspread.

2. Integrisana programska okruženja koja se mogu koristiti i za modelovanje, u koje

spadaju na primer: R, IDL, MATLAB, Octave i druga.

72

3. Programski jezici koji se mogu koristiti i za modelovanje, u koje spadaju na primer:

C++, BASIC, PASCAL, FORTRAN, VB i JAVA.

4. Specijalizovana programska okruženja za modelovanje, u koje spadaju na primer:

MODELMAKER, POWERSIM, SIMILE, STELLA i VENSIM.

5. Usko specijalizovni programi za ekološko modelovanje, u koje spadaju na primer:

AEROMOD View, EcoRisk View, IRAP-h View, SVOffice, SADA, FRAMES i drugi.

6. Alati za modelovanje u okviru GIS programa, obuhvataju dodatke za GIS programe

koji se mogu koristiti za ekološko modelovanje.

1. Programi za rad sa tabelama

Činjenica je da je rad sa programima koji koriste tabele mnogo lakši nego, na primer,

korišćenje programskih jezika. Programi za rad sa tabelama su široko rasprostranjeni u primeni,

što znači da su poznati velikom broju korisnika. Većina ovih programa poseduje određene

dodatke koji omogućavaju vizuelizaciju podataka ili statističku analizu. Njihova primena u

ekološkom modelovanju je često vezana za populacionu ekologiju i konzervacionu biologiju.

Iako postoji veliki broj korisnika koji može da se služi ovim programima, oni poseduju suštinska

ograničenja koja predstavljaju veliki problem kad je potrebno konstruisati kompleksniji i

sofisticiraniji ekološki model i kada je za dostizanje pravog rešenja potrebno vršiti iteraciju.

Pored toga ovi programi ne podstiču strukturni pristup prilikom formiranja ekoloških modela.

2. Integrisana programska okruženja koja se mogu koristiti i za modelovanje

Integisana programska okruženja predstavljaju kompleksne programske pakete koji se, na

osnovu svojih funkcija, koriste u različitim oblastima. Na primer, programski paket „R“ je

moćan alat za statističku obradu, dok se MATLAB veoma puno koristi u primenjenoj

matematici. Međutim, s obzirom na veliki broj opcija i funkcija, kao i mogućnost rešavanja

kompleksnih problema, koje ovakva vrsta programskih paketa poseduje, oni su našli svoju

primenu i u ekološkom modelovanju. Jedan od takvih primera je i MATLAB koji se primenjuje

za modelovanje različitih ekoloških procesa biološke, fizičke i hemijske prirode. Postoji jako

veliki broj ovakvih procesa koji se mogu modelovati uz pomoć MATLAB-a, a neki od njih su:

reprodukcija organizama, radioaktivni raspad elemenata, hemijske transformacije polutanata u

životnoj sredini, difuzija, disperzija, sorpcija, kinetičke i termodinamičke reakcije i mnogi drugi

procesi. U programu MATLAB se ovakvi procesi predstavljaju matematičkim terminima. Taj

pristup često dovodi do upotrebe diferencijalnih jednačina koje služe za predstavljanje promene

različitih uslova u kojima se nalaze određene promenljive, kao što su koncentracija nekog

polutanta ili gustina određene populacije, u prostoru i vremenu. Generalno, cilj je da se osnovni

koncepti određenog ekološkog problema transformišu u matematičke formulacije.

3. Programski jezici koji se mogu koristiti za modelovanje

Ogromna većina modela realnih problema se konačno predstavlja u vidu programa za

računar. U tom smislu je potrebno izvršiti izbor odgovarajućeg programskog jezika koji je

najviše prilagođen modelu. Međutim, izbor programskog jezika je najčešće diktiran njegovom

raspoloživošću. Vrlo često postoje standardni programski paketi koji se mogu direktno koristiti

za rešavanje modela kao što je program Microsoft Project (rešava probleme Simplex, PERT,

CPM itd. metoda).

Programski jezici za programiranje predstavljaju još jednu opciju kojom se mogu napraviti

ekološki modeli. Programski jezici se inače koriste za izradu programa određene namene. Iako

oni zahtevaju poznavanje komplikovanih komandi, gramatike i sintakse, vezanih za određeni

programski jezik, ali može se reći da oni pružaju najveću fleksibilnost prilikom izrade ekoloških

modela.

73

Postoji više različitih programskih jezika koji se mogu efikasno koristiti za ekološko

modelovanje. Neki od njih, kao što su Basic i Fortran, su relativno jedonostavniji za

savladavanje, dok drugi, kao što su C++ i Java, zahtevaju daleko više znanja i veštine kako bi se

adekvatno primenjivali. Olakšavajuća okolnost je što dosta programskih jezika koji se trenutno

primenjuju ima sličan set osnovnih komandi, pa će poznavanje jednog često značiti lakše

snalaženje u nekom drugom programskom jeziku.

Bez obzira o kom programskom jeziku se radi princip izrade modela se zasniva na

„prevođenju“ određenog ekološkog problema ili sistema u određeni programski jezik. Ovaj

proces se donekle može uporediti sa prevođenjem sa jednog jezika na drugi. Imajući to u vidu

jasno je da se obično za konkretnu situaciju obično mogu naći više „tačnih“ rešenja. Kao krajnji

rezultat dobija se gotov program pomoću koga se vrši modelovanje određenog ekološkog

fenomena, procesa ili sistema. Ovakve gotove, napisane programe mogu koristiti i drugi

korisnici koji ne moraju da poznaju programske jezike, već je samo dovoljno da unesu ulazne

parametre vezane za specifičnu problematiku. Glavno ograničenje primene programskih jezika je

vreme koje je potrebno da bi se jedan programski jezik savladao na adekvatan način i u

dovoljnoj meri da se može primenjivati za ekološko modelovanje. Pored toga sam proces pisanja

programa i ispravaljanja grešaka je isto veoma vremenski zahtevan.

4. Specijalizovana programska okruženja za modelovanje

Specijalizovana programska okruženja za modelovanje su programski paketi čija je

osnovna namena modelovanje različitih fenomena, procesa ili sistema, pa se samim tim mogu

primenjivati i za ekološko modelovanje. Oni pružaju veliki broj važnih pogodnosti, od kojih je

najznačajnija mogućnost konstruisanja modela uz pomoć grafičkog interfejsa pravljenjem

dijagrama. Osim toga u okviru ovih programskih paketa nalazi se veliki broj ugrađenih analitičih

i numeričkih funkcija, kao i opcija za vizuelizaciju podataka. Njihova glavna prednost je da

formalizuju proces modelovanja unutar svog programskog okvira.

Prvaljenje modela i modelovanje se u ovakvim programima odvija po principu koji je

veoma sličan upravo vrsti metodologije ekološkog modelovanja koja je opisana u ovom tekstu.

Nakon što se (definiše identifikuje) određeni ekološki problem prisupa se izradi konceptualnog

modela, što se u ovoj vrsti programa izvodi „crtanjem“ dijagrama uz pomoć odgovarajućih alata.

Nakon toga se pomoću sakupljenih podataka i pretpostavki formiraju matematičke veze između

pojedinih elemenata dijagrama koji predstavljaju određene ekološke entitete. Na osnovu tako

formiranog modela program obavlja simulaciju i daje rezultate.

Ovakvi programski paketi sadrže specijalne alate koji olakšavaju svaki od ovih koraka u

metodologiji modelovanja. Glavna mana ovih programa je da u određenoj meri ograničavaju

proces modelovanja svojim formalističkim pristupom. Ekološki entiteti se u ovim programima

predstavljaju kao određene „rezerve“ (npr. broj stabala u šumi), čija se promena u vremenu

prikazuje putem „tokova“ (npr. broj stabala posečenih u toku jedne godine). Problem je što se ne

mogu svi ekološki problemi tretirati na ovaj način, pogotovo kada je potrebno prikazati prostorne

promene. Bez obzira na svoja ograničenja specijalizovana programska okruženja sve više nalaze

primenu u raznovorsnim problemima koji su vezani za životnu sredinu.

5. Usko specijalizovni programi za ekološko modelovanje

Kako se vremenom modelovanje sve više razvijalo, shvaćeno je da se mnogi ekološki

problemi mogu predstaviti i rešiti upravo uz pomoć modelovanja. To je dovelo do nastanka prvih

programa koji su bili usko specijalizovani za rešavanje određenog ili više sličnih ekoloških

problema. Ovi programi su se često zasnivali na statističkoj obradi podataka. Kasnije se, naglim

razvojem ekološkog menadžmenta, ukazala potreba da modeli pruže podršku u odlučivanju i

odabiru najbolje moguće alternative. Usled toga se formira nova grana ekološkog modelovanja

koja se bavi „menadžmentskim“ modelima za donošenje odluka. Paralelno sa njima razvijali su

74

se i „naučni“ modeli koji su sve bolje oponašali fizičke, hemijske i biološke procese (kao što su

dinamika fluida ili biogeohemija) i reprezentovali celokupne sisteme vezane za životnu sredinu.

Njihova glavna uloga je bila sticanje novih saznanja i predviđanje na osnovu poznatih

parametara. Danas postoji veliki broj programa koji se veoma detaljno bave određenim

problemom vezanim za životnu sredinu. Oni obično poseduju veliki broj korisnih alata i već

postojeće baze podataka vezane za problematiku kojom se specifični program bavi. Pored toga

obično podržavaju i prostornu komponentu. Primer takvih programa su AEROMOD View koji

se koristi za modelovanje zagađenja vazduha, ili EcoRisk View koji ima primenu u proceni

rizika u životnoj sredini. Ovakva uska specijalizacija, ovakvih programa, na određeni ekološki

problem je svakako pozitivna prilikom izučavanja tog problema. Međutim, s obzirom na njihovu

različitost, poznavanje funkcija i alata u jednom programu obično nije od velike pomoći prilikom

rada u programu koji se bavi drugačijim ekološkim modelom.

6. Alati za modelovanje u okviru GIS programa

Razvojem geografskih informacionih sistema, a i pratećih tehnologija kao što je daljinska

detekcija, postoji sve više geografskih baza podataka sa obilnim informacijama o životnoj sredini

(na primer, pošumljenost terena, digitalni elevacioni model). Relativno skoro je shvaćeno da se

ovi podaci mogu koristiti i za ekološko modelovanje, pa su u skladu sa tim počeli da se

pojavljuju posebni alati, u obliku dodataka za postojeće GIS programske pakete, koji se mogu

koristi u te svrhe. Njihova glavna prednost je prostorna kompontneta. Odnosno često se koriste

za prikazivanje eventualnih promena na nekoj teritoriji u zavisnosti od vrste potencijalnog

korišćenja tog prostora. Pored toga mogu se koristiti i za prostorno prikazivanje kretanja i

transformacija zagađujućih materija u životnoj sredini.

8.1.7. Verifikacija računarskog modela (testiranje programa)

Ocena rezultata dobijenih simulacijom na računaru

Nakon što se određeni ekološki model u potpunosti formira i zatim izvrši njegova

implementacija u okviru odabranog programskog paketa, vrši se njegova simulacija pomoću

računara, čime se ujedno i vrši provera da li uopšte model funkcioniše. Prilikom pravljenja

modela postoji veliki broj mogućih grešaka koje će imati takav efekat da uopšte neće moći da se

obavi simulacija modela. Kada se takve greške isprave, ako uopšte i postoje, može se pristupiti

oceni rezultata dobijenih simulacijom modela.

Prva provera rezultata ima za cilj da se ustanovi da li se rezultati uopšte nalaze u okviru

mogućih vrednosti.

Ukoliko su dobijeni rezultati „nemogući“ može se zaključiti da je došlo do neke veće

greške tokom izrade modela, matematičke formulacije i/ili računarske implementacije, pa je

potrebno detaljno preispitati model i ispraviti sve greške. Treba izvršiti poboljšanje i korekciju

modela, tj. treba uraditi ispravke u pretpostavkama ili/i u modelu ili/i u algoritmu i ponovne

simulacije.

Ako se rezultati nalaze u okviru mogućih vrednosti pristupa se drugoj proveri modela koja

se sastoji od verifikacija i validacije.

Verifikacijom računarskog modela se proverava da li računarski model (program) verno

predstavlja matematički model.

Testiranje programa se svodi na formalnu verifikaciju ispravnog rada programa sa

odgovarajućim test podacima. S obzirom da složeni modeli imaju programe sa više hiljada pa i

desetine hiljada programskih naredbi, problem kreiranja konkretnih programa odnosno njihovog

testiranja može biti izuzetno složen zadatak.

75

U ovoj fazi se prikupljaju podaci potrebni kako za testiranje programa u prethodnoj fazi

tako i za praktičnu primenu modela u fazi implementacije. Problem tačnosti ulaznih podataka je

značajan za konačnu validnost modela. Međutim, zahtevana tačnost nije ista za sve ulazne

podatke. Rezultati modela mogu biti više osetljivi na promene nekih podataka, a manje na

promene drugih. Analogno tome, potrebno je voditi računa i o zahtevanoj tačnosti ulaznih

podataka.

8.1.8. Validacija (vrednovanje) modela realnog sistema

Validacijom (vrednovanjem) modela se proverava da li model verno (uspešno) predstavlja

realni sistem (da li je model dovoljno dobra apstrakcija realnog sistema), odnosno proverava se

podudarnost bitnih karakteristika realnog sistema (predmeta modelovanja) i modela. Proverava

se da li se rezultati istraživanja na modelu slažu sa rezultatima istraživanja na realnom sistemu,

koji su dobijeni opservacijom (posmatranjem) ili eksperimentalno. U tom smislu potrebno je

proveriti konzistentnost, osetljivost i primenljivost modela. Кonzistentnost modela se proverava

tako što se provarava da li su rezultati logični pri promeni parametara modela do ekstremnih

vrednosti. Osetljivost modela, se proverava na male promene ulaznih podataka. Ovaj korak

obično uključuje numeričko eksperimentisanje na modelu. Na taj način se zaključuje o

osetljivosti modela na pojedine ulazne podatke odnosno može se zaključivati o zahtevanoj

tačnosti ulaznih podataka i tačnosti rezultata modela.

Ako rezultati zadovoljavaju onda su ciljevi modelovanja ostvareni. Odabir

reprezentativnih rezultata, poređenjem sa eksperimentima, detekcija uzroka greške.

Prenos saznanja (rezultata) sa modela na realni sistem (predmet modelovanja), predstavlja

inverzno preslikavanje u odnosu na formiranje modela.

Model se testira (ispituje) u istim, sličnim ili analognim situacijama prema kojima je i

formiran.

Eksperimentisanje na modelu i prikupljanje podataka se izvodi primenom eksperimentalne

metode i neophodne opreme, ako je predmet eksperimenta matematički model, onda se ova

aktivnost svodi na simulaciju na računaru.

Zaključci i preporuke.

8.1.9. Praktična primena (implementacija) modela.

Uvođenje modela u praktičnu primenu je konačna faza izrade modela i očigledno kritična

za konačan uspeh modela. Uspeh ove faze veoma zavisi od kooperacije korisnika modela.

76

9. RIZIK

9.1. Pojam rizik

Rizik podrazumeva potencijalnu opasnost po ljude i materijalna dobra.

Rizik se može posmatrati kao funkcija verovatnoće nastanka nekog neželjenog događaja i

negativnih posledica koje može uzrokovanih taj neželjeni događaj (opasnosti po živote i zdravlje

ljudi i životinja, životnu sredinu i materijalna dobra itd.):

R = f(V, P)

gde je:

R - rizik

V - verovatnoća nastanka neželjenog događaja

P – negativne posledice koje može uzrokovati neželjeni događaj

Rizik se može smanjiti smanjenjem verovatnoće nastanka neželjenog događaja V ili

smanjenjem negativnih posledica koje može uzrokovati neželjeni događaj P ili smanjujem i

jednog i drugog.

Pod pojmom rizik podrazumeva se verovatnoća (mogućnost) nastanka nekog neželjenog

događaja koji može uzrokovati različite negativne posledice (kao što su: opasnosti po živote i

zdravlje ljudi i životinja, materijalna dobra i životnu sredinu, opasnost od novčanih gubitaka u

poslovanju i sl.). Postoje različite vrste rizika, kao što je: zdravstveni, finansijski, tehnološki,

ekološki itd. Rizik može biti: nepredvidivi i predvidiv

Postavljanjem pitanja "Koliki je rizik?", realno se postavljaju tri pitanja:

Koji neželjeni događaj se može dogoditi?

Koliko često se dešava taj neželjeni događaj?

Ukoliko se dogodi taj neželjeni događaj kakve negativne posledice može uzrokovati?

Pod pojmom rizik od šumskog požara podrazumeva se verovatnoća da na određenom

prostoru pod šumom nastane požar, koji može uzrokovati različite negativne posledice (koje

mogu biti materijalne i nematerijalne, kao što su npr.: izgorela drvna masa, ekološke posledice,

posledice po atmosferu, biosveru i hidrosferu, životinjski svet, narušavanje performansi sistema,

ugrožavanje materijalnih i prirodnih dobara, bezbednosti i zdravlja ljudi, narušavanje ekološke

ravnoteže, odnosno odstupanje od stalnih kvaliteta sistema i unapred definisanih vrednosti.

9.2. Procena rizika

Procena rizika je veoma subjektivan proces. Međutim, ako se pridržava određenih principa,

prilikom procene rizika subjektivnost se može smanjiti na najmanji mogući nivo.

S obzirom kriterijume na osnovu kojih se vrši procena rizika, metode koje se koriste za

procenu rizika se mogu podeliti na:

kvantitativne i

kvalitativne.

Procena rizika nekog neželjenog događaja se može vršiti na osnovu:

77

kvantitavne ili kvalitativne procene verovatnoće nastanka tog neželjenog događaja

(tabela 6.1) i

kvantitavno ili kvalitativno procene negativnih posledica (šteta) koje može uzrokovati

taj neželjeni događaj (tabela 6.2).

Tabela 6.1. Procena verovatnoća nastanka neželjenog događaja

Tabela 6.2. Procena negativnih posledica koje može uzrokovati neželjeni događaj

Pravilan izbor metode procene rizika omogućava da se primene adekvatne mere koje će

obezbediti bezbednije radno mesto i radnu okolinu, kao i manju verovatnoća da može doći do

profesionalnih oboljenja i povreda zaposlenih.

Procena rizika na radnom mestu je sistematsko evidentiranje i procenjivanje svih opasnosti

u procesu rada koji mogu uzrokovati nastanak povreda na radu, oboljenja ili oštećenja zdravlja i

utvrđivanje mogućnosti, odnosno načina sprečavanja, otklanjanja ili smanjenja rizika. Procena

rizika je prevashodno empirijski proces donošenja inženjerskih odluka na osnovu znanja i

iskustva u cilju povišenja bezbednosti i zdravlja na radu.

Pristup upravljanja rizikom podrazumeva njegovu identifikaciju, procenu i kontrolu.

Postoje tri mogućnosti delovanja koje nisu međusobno isključive:

smanjenje rizika,

prenos rizika,

prihvatanje rizika.

Smanjenje rizika predstavlja proces u kojem se na osnovu sprovedene analize rizika

nastoje sprovesti odgovarajuće protivmere i uvesti sigurnosni nadzor da bi se zaštitili resursi

organizacije. U tom postupku nastoji se smanjiti verovatnoća opasnosti i/ili njen uticaj na proces.

78

Ukoliko se pokaže isplativijim, rizik je moguće preneti na treću stranu (npr. osiguravajuće

društvo).

Isto tako moguće je da implementacija protivmera ili prenos rizika nisu isplativi. U tom

slučaju preduzeće može odlučiti da prihvati rizik, odnosno troškove koji iz toga proizilaze.

Jedini pristup koji u upravljanju rizikom nije prihvatljiv je ignorisanje ili zanemarivanje

rizika. Treba znati da je upravljanje rizikom kontinualan proces te da se odnos vrednosti resursa,

ranjivosti i opasnosti s vremenom menja.

Procena rizika od zagađenja životne sredine obuhvata:

Identifikaciju opasnosti (hazarda), identifikacija negativnih posledica (efekata) koje

zagađujuća susptanca može uzrokovati i

Određivanje doze (primljenu koncentraciju zagađivača) i procena očekivanih efekata

(odgovora na intoksikaciju) što obuhvata odnos unete doze koja je u funkciji od

izloženosti (ekspozicije) i pojave, odnosno ozbiljnosti, negativnih efekata.

9.2.1. Kvantitativne metode procene rizika

Kvantitativni kriterijumi procene rizika koriste numeričke vrednosti kako bi opisali

verovatnoću i posledice događaja.

Kvantitativna procena rizika znači predstavlja konačnu, tačnu brojnu vrednost rizika.

Primeri za ovakvu procenu u oblasti bezbednosti i zdravlja na radu mogu biti vezani za procenu

rizika od buke i drugih fizičkih ili hemijskih štetnosti i slično gde je jasno određen nivo

dozvoljenog izlaganja, kao i povećanog izlaganja.

Da bi se definisale verovatnoće i posledice kao brojne vrednosti neophodno je sprovesti

dublje analize, posedovati odgovarajuće statističke podatke o akcidentima itd., što predstavlja

suviše složen proces za masovniju primenu pa je u oblasti bezbednosti i zdravlja na radu prioritet

dat kvalitativnoj proceni rizika, dok se kvantitativna primenjuje pre svega u slučajevima visokih

rizika. Međutim treba napomenuti da najnovija iskustva i preporuke razvijenih zemalja EU

ukazuju na to da bi kvantitativnu procenu rizika trebalo uvesti gde je god moguće i dati joj

mnogo veći značaj i primenu. Postoji već i niz novih obrazaca, preporuka i tabela koje ukazuju

na koji način se može relativno efikasno i jednostavno vršiti kvantitativna procena rizika u

oblasti bezbednosti i zdravlja na radu. Tako su recimo sve posledice unifikovano izražene preko

broja izgubljenih radnih dana i postoje razrađene tabele i uputstva za to.

Kvantitativna analiza podrazumeva iskazivanje rizika u očekivanim novčanim troškovima

na godišnjem nivou. Neke organizacije preferiraju ovakav način analize pošto im je tako

omogućeno planiranje novčanih sredstava, a upravi se omogućava da bez tehničkih pojedinosti

može doneti odgovarajuće odluke. Pri tom treba imati na umu da vrednost nekih resursa nije

uvek moguće iskazati novčano, a kao rezultat toga mogu se pojaviti i brojke koje ne

predstavljaju stvarno stanje.

Metode koje se koriste u proceni rizika su često kvantitativne, mada stepen zahtevanog

ulaska u detalje za pripremu procene zavisi od specifične aplikacije. Analiza frekventnosti se

koristi za procenu verovatnoće svakog identifikovanog neželjenog događaja. Postoje tri opšta

pristupa koja se upotrebljavaju za određivanje frekventnosti događaja:

korišćenje relevantnih istorijskih podataka,

izvođenje pomoću analitičkih ili simulacionih tehnika,

korišćenje ekspertne procene.

79

Potpuna kvantitativna procena nije uvek moguća u slučaju nedostatka informacija o

sistemu ili aktivnostima koje se analiziraju, nepotpunih podataka o otkazima, uticaju ljudskog

faktora itd. Neki elementi rizika ne mogu da se kvantifikuju verovatnoćom distribucije. Njihov

značaj se onda procenjuje kvantitativno razmatranjem prirode onoga što se štiti (ljudstvo,

okolina), ozbiljnošću povreda ili oštećenja (neznatno, ozbiljno, katastrofalno) ili stepenom štete

(jedna ili više osoba). Takođe treba napomenuti da se veličina nastale štete može definisati

različito u zavisnosti od situacije.

Analiza posledica procenjuje verovatnoće uticaja ukoliko se neželjeni događaj desi tj.

procenjuje uticaj na ljude, okolinu ili imovinu. Posledice različitog tipa rizika se generalno

izražavaju sigurnosnim (npr. fatalno, štetno), zdravstvenim, finansijskim, ekološkim terminima.

Predviđanje posledica obično je posao za eksperte iz oblasti u kojoj je identifikovana moguća

opasnost.

Konačno, rizik se mora izraziti u odgovarajućoj formi. Neki od najčešće korišćenih

izlaznih formi u proračunu rizika su: frekvencija nasuprot posledica, statističko očekivanje

gubitaka u funkciji ekonomskih troškova itd.

Kvantitativna procena rizika se vrši tako što se verovatnoća nastanka neželjenog događaja

pomnoži sa posledica uzrokovanih tim neželjenim događajem:

R = V × P

gde je:

R - rizik

V - verovatnoća nastanka neželjenog događaja

P – negativne posledice koje može uzrokovati neželjeni događaj

pri čemu je potrebno da oba uticajna faktora (verovatnoća i negativne posledice) budu

iskazane kao brojne vrednosti. U tom slučaju je i rezultujući rizik brojna vrednost odnosno rizik

je potpuno kvantifikovan.

Uglavnom se verovatnoća događaja prestavlja kao njegova učestalost po jedinici vremena

ili aktivnost, dok su posledice predstavljene kao brojčani gubitak (finansijski, izgubljeni radni

dani i sl.).

Metodologija se odvija u sledećim koracima:

Adresiranje svakog neželjenog događaja (rizične situacije) na osnovu pojedinačnih

formi za određivanje rizika.

Determinisanje kvantitativne vrednosti verovatnoće pojave neželjenog događaja P na

podesan način i na osnovu realnog kriterijuma. Verovatnoća se izražava kao

decimalni broj od 0 do 1, pri čemu 0 označava nemoguć događaj, a 1 događaj koji će

se realizovati sa verovatnoćom 100%. U tabeli 6.2 prikazani su tipični kriterijumi za

ustanovljavanje kvantitativnih vrednosti verovatnoća.

Determinisanje kvantitativnih vrednosti posledica pojave svakog neželjenog događaja

P na podesan način i na osnovu realnog kriterijuma. U tabeli 6.2 prikazani su tipični

kriterijumi za ustanovljavanje kvantitativnih vrednosti posledica.

Korišćenjem formule: R = V × P, determiniše se faktor rizika za svaki identifikovani

neželjeni događaj.

Na osnovu dobijenih vrednosti određuje se nivo rizika za svaki identifikovani

neželjeni događaj.

80

9.2.2. Kvalitativne metode procene rizika

Kvalitativna analiza rizika predstavlja subjektivniji pristup pri kojem se resursi, rizici i

protivmere posmatraju relativno s obzirorn na sistem. Za sprovođenje kvalitativne analize nije

potrebno egzaktno poznavanje materijalnih vrednosti pojedinih resursa, već je za njihovo

vrednovanje potrebno poznavati važnost za pojedine poslovne procese.

Rezultat kvalitativne analize iskazuje samo relativan odnos vrednosti šteta nastalih

delovanjem neke opasnosti i uvođenja protivmera. Pri tome treba imati na umu da je ta procena

subjektivne prirode, te je stoga podložna greškama.

Kvalitativne metode za procenu rizika baziraju se na osnovu ličnog iskustva i rasuđivanja

učesnika u timu za procenu rizika i/ili korišćenju raspoloživih kvalitativnih, nenumeričkih

podataka. Ovakav pristup ne zahteva podatke o prethodnim štetnim događajima, uzrocima i

posledicama, ali uslovljava da krajnji rezultat procene rizika bude opisno, kvalitativno iskazana

veličina rizika (npr. visoki rizik, umereni rizik i sl.).

Kako bi opisali verovatnoću nastanka nekog neželjenog događaja kvalitativni kriterijumi

procene rizika koriste reči kao što su:

retko, neverovatno, moguće, verovatno ili skoro sigurno ili

verovatno, moguće, često, retko.

Kako bi opisali negativne posledice koje može biti uzrokovati neki neželjeni događaj

kvalitativni kriterijumi procene rizika koriste reči kao što su:

kobne, ozbiljne, male ili zanemarljive ili

neznatno, katastrofalno itd.

U kvalitativnim metodama za procenu rizika najčešće se koriste subjektivni kriterijumi,

koji se mere u kvalitativnim skalama. Procena je subjektivne prirode pa je zbog toga podložna

greškama. U praksi se optimalno koriste kvalitativne skale sa tri do sedam kvalitativna opisa, što

zahteva izražen stručni pristup analizi potencijalnih opasnosti/štetnosti. Metode sa manje od tri

kvalitativna opisa za faktore rizika nisu zanimljive, jer nisu precizne, a sa više od sedam dovode

do značajnih poteškoća subjektivnog karaktera, povezanih sa nemogućnošću učesnika u timu za

procenu rizika da dosta precizno prepozna kvalitativni opis faktora rizika.

1. Metoda matrice rizika

Procena rizika kvalitativnim metodama podrazumeva korišćenje nenumeričkih, odnosno

kvalitativno opisanih podataka. U kvalitativne metode za procenu rizika spada i metoda matrice

rizika (matrica za rangiranje rizika).

Rangiranje rizika se zasniva na matrici, koja za svoje ose ima rangove posledice i rangove

verovatnoće. Učesnici u timu za procenu rizika često koriste u radu matricu rizika za

uspostavljanje logičke povezanosti posledica i verovatnoće u procenjivanju rizika za prethodno

identifikovane opasnosti/štetnosti. Takođe, koriste se kao jednoobrazno definisan način

određivanja stepena, odnosno nivoa pojedinih rizika koji se procenjuju. Matrica rizika (slika 34)

se formira tako što se na x-osu nanose rangovi verovatnoće (korak 1), a na y-osu rangovi

posledica (korak 2) i zatim određuje rang rizika (korak 3).

81

Slika 34. Formiranje matrice rizika

Tipične kvalitativne metode za procenu rizika su:

matrica rizika 4×6 (MIL-STD-882C),

matrica rizika 5×5 (AS/NZS 4360: 2004) i

matrica rizika 3×3 (OHSAS standard).

Metoda matrice rizika započinje dodeljivanjem kvalitativnih vrednosti verovatnoćama

događaja i posledica koje se kasnije koriste pri determinisanju kvalitativnog faktora rizika.

Ključne karakteristike ovog metoda su da:

omogućava nezavisno određivanje verovatnoća i posledica rizika i

obezbeđuje kvalitativno definisanje rizika i njegove težine

Metodologija se odvija u sledećim koracima:

Adresiranje svakog neželjenog događaja (rizične situacije) na osnovu pojedinačnih

formi za određivanje rizika.

Determinisanje kvalitativnih vrednosti verovatnoće nastanka neželjenog događaja V

na podesan način i na osnovu realnog kriterijuma. U tabeli 6.1. prikazani su tipični

kriterijumi za ustanovljavanje kvalitativnih vrednosti verovatnoća.

Determinisanje kvalitativnih vrednosti posledica pojave svakog neželjenog događaja

P na podesan način i na osnovu realnog kriterijuma. U tabeli 6.2 su prikazani tipični

kriterijumi za ustanovljavanje kvalitativnih vrednosti posledica.

Određivanje nivoa rizika na bazi preseka kvalitativnih vrednosti za verovatnoće nastanka

neželjenog događaja V i posledica uzrokovanih tim neželjenim događajem P u matrici rizika 5×4

prikazano je u tabeli 6.3.

Tabela 6.3. Matrica rizika

82

U zavisnosti od aktivnosti i sposobnosti da se izdiferencira nivo rizika, mogu se

konstruisati matrice različitih nivoa rizika. Na primer u tabeli 6.3. izvršena je kategorizacija na

tri nivoa rizika (nizak, srednji i visok).

9.2.3. Identifikacija opasnosti

Opasnost se može definisati kao skup uslova koji mogu uzrokovati neki neželjeni događaj

(povred e ili štete).

Opasnost može biti različitog porekla prirodna, tehnološka (strukture), sociološka (rat),

način života (pušenje).

Identifikacija opasnosti i scenarija opasnosti je od krucijalnoj značaja za analizu rizika,

zahteva detaljno ispitivanje i razumevanje sistema, sa razvojem tehnologija dobija na složenosti.

Cilj analize i broj raspoloživih informacija o sistemu treba da upute na izbor adekvatne

metode procene rizika.

Kada se izabere metoda procene rizika, onda treba identifikovati opasnosti i opisati

moguće sekvence neželjenih događaja i faktore koji mogu dovesti do toga. Metoda determiniše

proces identifikacije opasnosti. Neke od metoda su kvalitativne, dok druge mogu da pruže i

kvantitativnu estimaciju.

Postoje dva različita pristupa analizi i identifikaciji opasnosti:

indukcioni i

dedukcioni.

Indukcioni pristup se zasniva na razmatranju od pojedinačnog slučaja do generalnog

zaključivanja, dok dedukcioni ide u suprotnom smeru od generalnog do specifičnog.

U globalu, induktivne metode se primenjuju da determinišu koja su stanja sistema moguća,

počev od inicijalnog događaja - definišu se posledice.

Deduktivne metode se koriste da determinišu kako posmatrano stanje može da se realizuje

počev od neželjenog događaja-definišu se uzroci.

PHA (Preliminary Hazard Analisys) je gruba induktivna i kvalitativna metoda za

identifikaciju potencijalne opasnosti. Liste praćenja potencijalnih opasnih elemenata i situacija

pružaju pomoć pri sprovođenju PHA. Za uspešno izvođenje analize neophodno je formiranje

tima sastavljenog od eksperata koji su "familijarni" sa datim sistemom.

Svaki identifikovani neželjeni događaj se posebno analizira kako bi se opisali mogući

uzroci, posledice i verovatnoće. Posledice mogu takođe biti izdvojene npr. u one koje imaju

uticaja na okolinu, zdravlje ljudi i ekonomiju i shodno tome se različito ocenjuju. Nakon toga,

posledice i verovatnoće se rangiraju prema svojoj težini. Analiza proizvodi preliminarni

kvalitativni dokument o mogućim neželjenim događajima s obzirom na identifikovane izvore

rizika.

83

PHA ne identifikuje specifične komponente koje mogu da prouzrokuju štete većih razmera,

ali može poslužiti kao osnova za buduću analizu sa nekom od metoda (FMEA, FMECA i

HAZOP).

HAZOP (Hazard and Operability Analisys) je kvalitativna i induktivna metoda za

sistematičnu analizu načina na koji mogu da nastanu devijacije u sistemu, odnosno za analizu

potencijala rizika te devijacije. Bazirana na dijagramu toka sistema, i skupu vodećih reči ili

scenarija, analiza rezultuje u identifikaciji opasnosti ili operacionalnih problema.

Metoda Procene verovatnoće rizika PRA (Probabilistic risk assessment) jedna je od

najznačajnijih analitičkih metoda za identifikaciju i analizu rizika projekata i kompleksnih

sistema. Proces PRA započinje identifikacijom seta inicijalnih događaja koji "pokreću" sistem.

Za svaki takav događaj, analiza determiniše sledeći događaj koji vodi ka realizaciji neželjenog

(vršnog) događaja. Tada se određuju magnitude posledica za scenarije, kao i njihove verovatnoće

pojavljivanja. Konačno, one se integrišu i reprezentuju profil rizika za dati sistem. Na slici 6.6.

prikazana je pomenuta metodologija.

Slika 6.6. Implementacija koncepta rizika u PRA

Određivanje ukupnog rizika na osnovu skupa scenarija, omogućava polaznu osnovu za

identifikaciju i rangiranje udela rizika.

U procesnoj industriji menadžment rizika je tradicionalno fokusiran na razmatranje

verovatnoće specifičnih događaja ili havarijskih situacija. Uveden je struktuirani pristup za

identifikaciju scenarija otkaza i koncipiranje matematičkih alatki u numeričkom procenjivanju

rizika - PSA (probabilistic safety assessment - Procena verovatnoće rizika). Sistemi u procesnoj

industriji su obično dobro definisani i omogućavaju primenu sofisticiranih sredstava za analizu.

Metode koje se koriste za identifikaciju kritičnih događaja ili sekvenci događaja su FMEA

(Failure mode and effect analysis), HAZOP (Hazard and Operability study), matrica rizika.

Metode za određivanje verovatnoće događaja i efekata potencijalnih aktivnosti uključuju

analizu stabla otkaza i stabla događaja. Takođe, neka od mera važnosti komponenti (Fussell-

Vesely, Birnbaum) su veoma korisne u pokušaju da se poveća pouzdanost sistema.

84

9.3. Modelovanje sistema za kvantitativnu procenu (analizu) rizika

9.3.1. Neodređenost

Da bi se uradila kvantitativna analiza rizika, mora se uraditi model realnog sistema. Model

je na pojednostavljen način prikazan realni sistem i sadrži opise relacija između posmatranih

kvantiteta.

Postoji nekoliko različitih metoda za modelovanje sistema, u cilju proračuna njegove

pouzdanosti. Dve od tih metoda su funkcionalno i hardversko modelovanje.

Funkcionalni model realnog sistema je model koji prvo opisuje, a zatim logički povezuje

funkcije neophodne za operacioni rad sistema.

Hardversko modelovanje koristi opremu koja je potrebnu za rad sistema kako bi prikazao

logičke veze između individualnih komponenti i opisuje funkcije neophodne za funkcionisanje

sistema. Često se ove dve metode modelovanja kombinuju.

U kvantitativnoj analizi rizika interesuje nas verovatnoća pojave neželjenog događaja. U tu

svrhu razvijeni su modeli npr. stablo otkaza, sa verovatnoćama osnovnih događaja kao

parametrima. Ove verovatnoće su subjektivne i izražavaju neizvesnost kvantiteta. Razvojem i

korišćenjem probabilističkih modela moguće je udruživanje neizvesnosti sa svakom slučajnom

promenljivom u modelu.

9.3.2. Merenje neodređenosti

Analiza neodređenosti omogućava da se izračuna neodređenost u verovatnoći (frekvenciji)

pojave vršnog događaja kao rezultat neodređenosti u verovatnoćama (frekvencijama) pojave

osnovnih događaja. Za izvođenje analize potrebno je poznavanje pouzdanosti i raspodela

događaja.

Vršni događaj se obično izražava u zavisnosti od MSO. Ove sekvence se sastoje iz niza

događaja, od kojih je svaki definisan pomoću parametara. Pretpostavimo da je osnovni događaj

sa verovatnoćom pojave p. Ova vrednost nije poznata egzaktno već je estimirana na osnovu

podataka ili ekspertnog znanja. Neizvesnost p je kvantifikovana raspodelom verovatnoće:

srednja vrednost je najbolja estimacija za p, disperzija raspodele je mera neodređenosti za p, tj.

veća ili manja neodređenost reflektuje respektivno veću ili manju neodređenost vrednosti

verovatnoće p.

Za sve osnovne događaje, slučajni uzorci verovatnoća se uzimaju na bazi neodređenosti

raspodela. Ove vrednosti verovatnoća se tada koriste za proračun verovatnoće vršnog događaja.

Ukoliko se ovi uzorci i vršni događaj proračunavaju više puta, raspodela neodređenosti vršnog

događaja se može odrediti empirijski. Srednja vrednost raspodele indukuje verovatnoću vršnog

događaja, a disperzija kvantifikuje neodređenost verovatnoće. Za opisivanje analize pomoću

višestrukog ponavljanja slučajnog uzorkovanja koristi se Monte Karlo metoda. Korišćcnjem

generatora slučajnih brojeva, realizuje se višestruko kvantifikovanje vršnog događaja.

Za analizu neodređenosti potrebno je poznavanje raspodela verovatnoća (lognormalna,

eksponencijalna, normalna, beta itd.)

Kvantifikacija neodređenosti na nivou tehničkog sistema mora biti deo procesa finalnog

donošenja odluka. Poznavanje neodređenosti (neizvesnosti) u celokupnom riziku je veoma važno

radi odlučivanja na osnovu više informacija.

85

9.3.3. Teorija verovatnoće

U matematičkoj teoriji verovatnoće, verovatnoća događaja A, P(A) zadovoljava sledeći

Kolmogorov aksiom:

0< P(A) < 1, P(izvesnog događaja) = 1 (1)

Pomenućemo jednu od poznatih interpretacija verovatnoće na osnovu relativne-

frekvencije: zamislimo veliki broj n ponavljanja eksperimenta pri čemu je A jedan od mogućih

ishoda. Ako se A desio k puta, tada je relativna frekvencija k/n. Verovatnoća događaja A se može

predstaviti u obliku:

n

kAP

n lim (2)

Bayes je razradio metodu odlučivanja pri riziku, na bazi uslovne verovatnoće. Obeležimo

dva očekivana događaja sa A i B i njihove verovatnoće nastupanja sa P(A) i P(B), respektivno.

Uslovnu verovatnoću nastupanja događaja A pod pretpostavkom da je nastao događaj B

označavamo sa P(A/B). Ukoliko je P(B＞0), onda je:

)(

)(/

BP

ABPBAP (3)

gde je P(AB) verovatnoća nastanka događaja A i B.

Ako su A1, A2, ...., AN događaji od kojih će jedan i samo jedan nastupiti, a B je drugi

događaj, tada je po Bayesu:

N

i

ii

ii

i

ABPAP

ABPAPBAP

1

)/()(

)/()(/ (4)

gde je:

P(Ai) > 0, i = l, ..., N

P(B) > 0

P(Ai) je a priori verovatnoća i izražava verovatnoću nastupanja događaja Ai, kada još ne

znamo da li je nastupio događaj B, dok je P(Ai/B) verovatnoća a posteriori i izražava

verovatnoću nastanka događaja Ai nakon nastanka događaja B.

U praktičnim primenama teorije verovatnoće značajnu ulogu ima zakon velikih brojeva i

on znači da pri velikom broju slučajeva, pojava njihovih srednjih rezultata praktično prestaje da

bude slučajan i može se predvideti sa velikom pouzdanošću, odnosno u određenim uslovima

slučajne promenljive postaju neslučajne. To je veoma važno prilikom određivanja načina

upravljanja rizikom.

9.3.4. Rangiranje scenarija rizika

Rangiranje scenarija rizika na osnovu njihovih frekvencija pojavljivanja omogućava nam

ograničen uvid u celokupnu raspodelu rizika s obzirom na važnost udela individualnih događaja

kao i otkaza komponenti u ukupnom riziku. Rangiranje scenarija pruža nam uvid u važnost grupe

otkaza, ali ne i otkaza pojedinih komponenti. Događaj (npr. otkaz komponente X ) koji se desio u

strukturi scenarija male verovatnoće pojave, može biti zanemaren u definisanju dominantnog

scenarija rizika. Ukoliko je udeo scenarija male verovatnoće pojave u ukupnom riziku uporedljiv

86

sa manje dominantnim scenarijem rizika, tada rangiranje scenarija neće obuhvatiti važnost rizika

komponente X.

Iz tog razloga na raspolaganju nam stoji nekoliko kvantitativnih merenja značaja

individualnih događaja odnosno parametara u PRA. Suština ovih merenja je da definišu promene

u kvantitativnoj matrici rizika prouzrokovane promenom u verovatnoći pojave događaja u

modelu rizika. Na osnovu izračunatih mera značaja, događaji jednog modela rizika se rangiraju

na osnovu njihovih relativnih vrednosti mera značaja.

Informacije koje se generišu na osnovu ovog procesa se često koriste u donošenju odluka

na osnovu rizika i služe kao polazište aktivnostima i naporima na redukovanju rizika, kao što su

redizajn hardverskih komponenti, dodatna redundancija itd.

Mere značaja su striktno formulisane za određivanje osetljivosti metrike rizika na promene

verovatnoća pojave osnovnih događaja. Pri tome metrika rizika ima sledeću formu:

R = f(x1, x2, ... xi, xj, ..., xn) (5)

gde je xi=osnovni događaj i sa verovatnoćom pojave pi.

9.4. Metode procene ekološkog rizika

Procena ekološkog rizika omogućava da se smanje posledice ekoloških katastrofa velikih

razmera i predstavlja osnovu za planiranje preventivnih akcija, kako lokalnih uprava tako i

državnih službi.

Na makro organizacionom nivou procene ekoloških rizika mogu značajno doprineti

smanjenju dalje degradacije životne sredine primenom integrisanog pristupa planiranju i

praćenju životnog ciklusa proizvoda. Praćenje ekoloških efekata životnog ciklusa proizvoda

predstavlja imperativ ekološki odgovornog poslovanja. Takođe, procena ekološkog rizika je

značajna u procesu odabira materijala u nanotehnologijama kao jedne od najbrže rastućih

proizvodnih grana.

Mogućnosti primene pojedinih metoda procene rizika u različitim fazama procene rizika se

mogu oceniti kao: izuzetno primenljive, primenljive i neprimenljive, kao što je navedeno u

tabeli 1.

Tabela 1. Mogućnosti primene pojedinih metoda procene rizika u različitim fazama

procene rizika

87

88

U tabeli 1 su navedene samo metode procene rizika, koje se najčešće koriste, kao i one na

osnovu kojih su nastale mnoge druge metode koje koriste isti ili sličan pristup u proceni rizika.

89

10. LITERATURA

[1] Nikola Nikačević, Modelovanje i simulacija procesa, Tehnološko-metalurški fakultet

Univerzitet u Beogradu.2012.

[2] Primena ekološkog modelovanja, skripta, Fakultet za primenjenu ekologiju, Univerzitet

u Beogradu,

[3] Simendić, B.: Primenjene metode modelovanja eksperimenta, predavanja, Visoka

tehnička škola strukovnih studija u Novom Sadu, 2017.

[4] Adamović, Ž., Ilić, B., Nauka o održavanju tehničkih sistema, Srpski akademski centar,

Novi Sad, 2013.

[5] Segedinac, T.: Teorija inženjerskog eksperimenta, 1.deo, Metodologija pripreme, izrade

i odbrane završnog rada, Visoka tehnička škola strukovnih studija u Novom Sadu,

2012.

[6] Petrić, M.:Statistika, Visoka tehnička škola strukovnih studija u Novom Sadu, 2015.

[7] Ivana Kovačević, Verovatnoća i statistika sa zbirkom zadataka, Univerzitet

Snigidunum, Beograd, 2018.

[8] Dolević V.,Primenjena statistika, Naučna knjiga, Beograd 1993.

[9] Bakrač, S., Milanović, M., Marić, M., Marković, S. (2012). Procena ekološkog rizika u

funkciji zaštite životne sredine. Vojnotehnički glasnik, broj 4, godina LX, oktobar-

decembar, 165-178.

[10] Ćirović, M., Petrović, N., Makajić-Nikolić, D. (2016). Procena rizika u

ekološkom menadzmentu. Zbornik radova sa konferencije Symopis-2016. 49-52.

[11] Mišović, M., Đurović, B. (2000). Glavna ekološka žarišta - osnovni podaci.

Zbornik radova sa stručnog skupa "Ekološki aspekti radioaktivne i hemijske

kontaminacije tokom agresije NATO pakta na SRJ". 19- 26.

[12] Pavlović, V. (2012). Ekologija i rat, Izveštaj nezavisnih eksperata o NATO

bombardovanju SRJ. Beograd: CEPOR, FPN.

[13] Suter, GW. 2006. Ecological risk assessment, Second Edition. Boca Raton-

Florida: CRC Pres.

[14] T. Rinne, J. Hietaniemi, S. Hostikka, Experimental Validation of the FDS

Simulations of Smoke and Toxsic Gas Concentrations, VTT Finland, 2007.

[15] J. D. Motorigin, Matematičskoe modelirovanie procesov vozniknovenija i

razvitija požarov, Sankt Peterburg 2011.

[16] Špoljarić, M., Raspoloživost i rizik rada vjetroelektrana, Fakultet elektrotehnike i

računarstva, Zagreb, 2011.

[17] Le Fox R., Ziegler J. A., "Reworking the Swiss Chesse Model", Human

Dimensions of Wildland Fire conference in Fort Collins, Colorado, October, 2007

[18] Leath S., "Fire Safety Guedilines", Department of Environmental Health and

Safety, Iowa State University, 2012.

[19] Pravilnik о načinu i postupku procene riziku na radnom mestu i u radnoj okolini,

Službeni glasnik RS br. 72/2006 оd 29.8.2006. godine.