Om JEPIOS - Cristina Banfi

Om JEPIOSDE MATEMATICA

PARA EL MAESTRO

EL PROFESOR

EL ESTUDIANTE

La matemática como

teoría y como lenguajeEn este número:

Pág.Pág.I3 El lenguaje y el pensamiento mate

mático (G, Kirsch) .............4

Enseñar matemática en 1980.. desafío (F. Toranzos)---- ••

^ La experiencia (N. V. Di C. de Esper) .........................................

El Congreso de Berkeley 44Geometría (A. Z. Krygoivska) .... 20 Pesos babilónicos (fotografía) ... 46

Carta al lector 29Fotografía de B. Russell .............

La matemática como teoría y como lenguaje (E. Agazzi) ............. ••

Matemáticas vacías y matemáticas significativas (J. Dieudonné) .. 11

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Hombres y mujeres que dedican su esfuerzo diario a una tarea común de gran trascendencia económica y social.Ledesma, operado por dirigentes, técnicos y obreros argentinos, constituye un factor fundamental en el desarrollo del noroeste argentino.i

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PROBLEMAS DE LA ENSEÑANZA

DE LA MATEMATICA

DE MATEMATICA

AÑO XIV — Abril - Mayo • Junio 1980 — N° 54CONCEPTOS DE MATEMATICAPUBLICACION TRIMENSUAL

Redacción y Administración: Paraguay 1949. Piso 6o Depto. A. 1121 Buenos Aires.

CARTA AL LECTOR

* “Conceptos de matemática” continúa en la brega ardorosamente, tal como si se tratara de la aparición del primer número. Y ya próximo a cumplir quince años de vida, se complace en presentar a sus lectores un material de primerísima calidad debido a la pluma de importantes pensadores de nuestra disciplina de todas partes del mundo.* Hemos estado ¡unto con los profesores César A. Trejo, Jorge E. Bosch y Thomas Simpson en la ciudad de San Francisco, Provincia de Córdoba participando de un Coloquio que reunió alrededor de un centenar de docentes de esa ciudad y de otras —a veces bastante alejadas— de esa provincia y de la vecina provincia de Santa Fé. Creemos que se trató de una reunión memorable en que el estusiasmo que desplegamos en nuestras charlas, fue sensiblemente superado por la inquietud de los docentes participantes, sólo comparable con su exquisita cordialidad. Se repite, pues, la circunstancia anotada el año pasado cuando visitáramos otras ciudades de nuestro país.* Queremos anotar un hecho singular que puede ser aprovechado por otros docentes argentinos. En San Francisco funciona un Centro de Profesores de matemática y física —que fue el organizador de nuestra visita— que no dudamos ha de realizar una interesante labor que, no se dude, ha de resultar muy útil para todos los docentes de su zona de influencia. No abundan en nuestro país instituciones de esa clase y su ejemplo es digno de ser imitado.* Los saluda cordialmente

Director - Editor JOSE BANFIcontiene los siguientes artículos:que

La polémica sobre la enseñanza conjuntista.

Comentarios semánticos sobre números y conceptos.

Aprendizaje de la matemática en la escuela primaria.

Problemas de la enseñanza de la matemática.

Jorge E. BOSCH

Tomás M. SIMSON Suscripción Anual: Argentina S 40.000. Exterior 20 dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros pósteles o bancarios sobre Bs. As. deben ser extendidos a nombre de CONCEPTOS DE MATEMATICA.

Lucrecia IGLESIAS

César A. TREJO

Experiencias en la enseñanza de la matemática moderna en la República Federal de Alemania.

Reflexiones de un profesor de matemática.

La matemática en la enseñanza dé la física.

Panorama general de la enseñanza de la matemática.

Franz J. MEHR

Ejemplar suelto: S. 12.000 Ejemplar atrasado: $ 13.000 Exterior: $ 6 dólares.Para colaboraciones, números

atrasados, suscripciones y avisos, dirigirse directamente al editor.

José BANFI

Heraclio A. RUIVAL

!Luis A. SANTALOiiJ:V

Precio del ejemplar: S 25.000 Reserve el suyo

Giro postal o bancario a:Registro de la Propiedad

Intelectual N° 1.037.530

Impreso en COGTAL Rivadavia 767, CapitalCONCEPTOS DE MATEMATICA”

Paraguay 1949 — 6o A — 1121 Buenos Aires

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INTERES GENERAL Concesión N° 8205Haga conocer la aparición del libro en su medio para que pueda llegar a quienes

aún no son nuestros sucriptores. u <3? S <

FRANQUEO PAGADO Concesión N° 2687

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a matemática como teoría

y como lenguaje¡

Evandro AGAZZI (Italia)

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1. En este trabajo me propongo examinar algo asi' como una especie de naturaleza doble que parece que debe reconocerse a la matemática y que se podría expresar diciendo según el punto de vista que se adopte, puede ser considerada como un complejo de teorías o como un lenguaje (sea en el sentido de un gran lenguaje articulado, sea en el sentido de un sistema de lenguajes separados).

Cuando hablo, de la matemática como com- piejo de teorías entiendo a ese término en.su acepción más general e incluso genérica, según la cual una teoría es un lenguaje L que se refiere a cierto universo de objetos U cuya estructura se trata de describir. Se sobrentiende, pues, que*ía concepción que considera a la matemática como sistema de teorías encierra, de manera explícita o implícita, la convicción de que existen objetos matemáticos hacia los cuales dirigen sus esfuerzos de investigación las diferentes teorías, en tanto que ninguna concepción parecida acompaña a la concepción según la cual la matemática es esencialmente un lenguaje.

Se puede también observar que esta doble perspectiva con respecto a la matemática es un producto de su evolución histórica, en el sentido de que la concepción clásica se caracteriza por el hecho de considerarla como teoría en tanto que la concepción moderna parece asignar privilegio a su naturaleza de lenguaje. En verdad, no es nada difícil advertir que el pensamiento tradicional se inclina a considerar a la aritmética, la geometría, el análisis, etc., como disciplinas que se refieren a entes matemáticos bien determinados y diferenciados, tales como los números naturales, los entes geométricos, los números reales o complejos, y al asunto todavía se aclara más si se observa que, de acuerdo con este pensamiento, las proposiciones matemáticas se catalogan como verda

deras. Ahora bien, la verdad es una característica que se atribuye a las proposiciones cuando expresan fielmente la realidad tal como es, o si se prefiere, una proposición no es jamás verdadera (o falsa) en sí, sino con respecto a algo. Por consiguiente, la verdad de las proposiciones matemáticas, implica que se refieren a objetos de los cuales enuncian una verdad.

2. Como bien se sabe, la crisis de esta forma de pensar, que estaba muy generalizada entre los matemáticos y los filósofos, se produjo en la primera mitad del siglo pasado como consecuencia de la construcción de las geometrías no euclidianas. Estas ofrecían ejemplos de teorías matemáticas no manejables por la intuición pero que, al no ser contradictorias, parecían no poder ser rehusadas en el interior del dominio matemático. Pero, una vez admitidas como teorías matemáticas legítimas, provocaron de inmediato una segunda crisis, después de la de la intuición: en efecto, si se considerador ejemplo, el* enunciado relativo a la suma de los ángulos del triángulo, se encuentra que la geometría euclidiana, la geometría no euclidiana hiperbólica y la geometría no euclidiana elíptica dan tres valores diferentes e incompatibles. He ahí la cuestión: si el triángulo existe como ente matemático, la suma de sus ángulos no podrá tener más que un valor determinado y, entonces, una sola de las tres geometrías será la verdadera, y las otras serán lógicamente no contradictorias, pero falsas. Pero se sabe que no hay ninguna posibilidad de discriminar las tres geometrías sobre una base empírica inmediata y que además se muestran encadenadas por vínculos lógicos profundos y muy interesantes, lo que impide aceptar una sola y rechazar las otras. Es necesario, pues, hacerles un lugar a todas, pero, entonces, como no es posible de declarar a la vez verdaderas a las tres, se dirá que no son ni

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:te: estando del todo de acuerdo en que la matemática construye también los lenguajes ¿podemos pensar en nuestros días que no es otra cosa que lenguajes, o bien debemos salvar en alguna medida, la antigua convicción de que todavía es un conjunto de teorías en el sentido de que poseen objetos propios de los que se ocupan? Y en ese caso ¿cuál es el punto de vista diferente que permite conside-

la matemática tanto desempeñando el

verdaderas ni falsas, puesto que toda geome- tría se reduce a un discurso hipotético-deductivo que podrá revelarse verdadero o falso según los casos particulares en que se lo inter-

Vale la pena subrayar que, por ello, se

co punto que está verdaderamente en discusión es saber si de alguna forma se puede descubrir, debajo de ese lenguaje, por decirlo así, una estructura de objetos a los que se refiere! y esto podría ser posible si se llegara a poner en evidencia posibles discordancias entre el lenguaje y esa estructura. Es bien comprensible, en verdad, que si se pudiera encontrar tales discordancias, si el lenguaje apareciera como capaz de cubrir totalmente la estructura de objetos, se podría, a justo título, comenzar a preguntarse si la existencia de esa estructura no es una suerte de representación inútil y si no sería una actitud más crítica aquélla que reduce enteramente al lenguaje todo lo que se puede afirmar objetivamente mediante teoría matemática.

8. Ahora bien, es importante decir que la lógica matemática nos permite descubrir efectivamente discordancias del género que se acaba de mencionar: una cuestión clásica que se plantea cuando se presenta un sistema de axiomas para una teoría matemática formalizada es el de su completitud semántica que, en forma intuitiva, se puede presentar así: ¿Tienen los axiomas posibilidades de permitirnos alcanzar, mediante deducciones formales correctas, todas las proposiciones verdaderas de la teoría considerada? Hay casos en que se debe responder negativamente a esta exigencia, notoriamente el teorema de Gódel de 1931 nos muestra un ejemplo de proposición matemática que se debe reconocer como verdadera para los números naturales, pero que no es deduci- ble de los axiomas de la aritmética. En ese caso se debe, pues, concluir que la teoría, concebida como lenguaje, no domina completamente el dominio de objetos al cual se pretende referirla, porque deja fuera de sus posibilidades de control proposiciones que son verdaderas en ese dominio. Lo interesante es que eso ocurre no por debilidad del instrumento deductivo que se emplea, sino precisamente como algo intrínseco de la misma teoría. En efecto, el teorema de Gódel ya vale para una aritmética formulada en la lógica del primer orden, que es semánticamente completa en sí misma. Esto significa que, una vez dado un ejemplo de expresiones formuladas en el lenguaje de primer orden, uno de los cálculos usualmente empleados para obtener deducciones en ese orden basta deducir todas las consecuencias lógicas, es decir todas las proposiciones que son verdaderas en todos los posibles modelos de ese conjunto de expresiones. El resultado de Gódel nos propone, pues, dos

consideraciones distintas: que hay proposiciones formuladas en el lenguaje de la aritmética y que no son verdaderas en todos los modelos posibles, los axiomas de Peano, por ejemplo, sino sólo en aquél que se puede dominar modelo natural o modelo "standard" de esos axiomas,1 en segundo término, que ese tipo de proposiciones no es controlable con los instrumentos puros de la l^ica formal. Este resultado, desde luego, es sumamente interesante porque nos indica la existencia de modelos no estandarizados de la aritmética, pero podemos decir que es aún más interesante porque nos confirma la legitimidad de hablar de un modelo estandarizado de la aritmética, que posee su legitimidad y que muestra su independencia del lenguaje que se habla en ella y que no llega a decirnos todo lo que en ella es verdad. En efecto, el medio por el cual se llega a establecer la verdad de las proposiciones no dedu- cibles de la aritmética es una reflexión meta- teórica, que podría compararse con una circunstancia feliz que nos permite echar una ojeada indirecta sobre el dominio de los números naturales sin tener que pasar por la teoría formal de la aritmética. Por tanto, nos podemos considerar autorizados a decir: los números naturales existen de cierta manera y gozan de ciertas propiedades que no comparten con otras estructuras posibles que pueden proporcionar los modelos de axiomas de la matemática formalizada. Esto se encuentra en situación de poder establecer gran número de situaciones que valen para los números naturales tanto como para otras estructuras no estandarizadas, pero dice demasiado poco sobre los números naturales y deja escapar parte de la verdad que les concierne.

9. Otra cosa interesante es que los lenguajes formales se pueden revelar no del todo adecuados con respecto a los objetos matemáticos no sólo por defecto, sino también por exceso. Para precisar intuitivamente esta cuestión, podremos subrayar que, si se desea caracterizar fielmente una cosa cualquiera, debemos intentar decir algo específico para evitar que la descripción que damos no pueda aplicarse también a otras cosas muy diferentes. Llevado al plano de la matemática, esto equivale a decir que, si queremos caracterizar cierta estructura de objetos, se deberá dar una descripción que la determine si son iso- mórficamente y que no puede valer para estructuras que no son isomórficas con respecto a aquéllas que se desea caracterizar. Cuando un sistema de expresiones formales goza de

prete.renunció a atribuir objetos propios a la geometría, y se la concibió como un lenguaje simple y puro (o como un sistema de lenguajes), susceptible de ser interpretado sobre diferentes dominios de objetos, pero no ligado a ninguno de ellos como su dominio propio y por decirlo

rar aprimer papel como el segundo?

5. Para responder en forma suficientemente objetiva a cuestiones de este tipo, no se puede apelar simplemente a convicciones personales de índole filosófica, ni acudir a la denominada experiencia matemática, que siempre es subjetiva y discutible. Propongo, más bien, considerar ciertos planos de investigación y ciertos resultados de la lógica matemática en los cuales me parece, se pueden encontrar indicaciones para el problema que nos interesa.

6. En primer término, se puede subrayar que en la lógica, matemática hay una dimensión explícita para cada uno de los dos puntos de vista, dado que la sintaxis se ocupa de toda teoría formalizada únicamente en lo que concierne a la estructura de su lenguaje, mientras

así, natural.3. Ante este resultado, acaso se pudiera pen

sar que no se ha producido nada particularmente nuevo, dado que la matemática ha desempeñado el papel de lenguaje desde hace mucho tiempo y especialmente desde las épocas de Galileo, Descartes y Newton, quienes lo consagraron domo lenguaje de la física y, quizás, incluso de la ciencia en general. Por esta razón, el hecho de reconocer que la geometría euclidiana se presta convenientemente para la descripción de los fenómenos del mundo macroscópico ordinario, en tanto que una geometría riemanniana es mas bien capaz de encuadrar el mundo de la teoría de la relatividad, no haría más que recordar una situación bien conocida en la historia de las ciencias, a saber, que cada rama de la física se ha podido desarrollar cuando teorías matemáticas apropiadas les ofrecieron lenguajes convenientes.

Todo esto es bien cierto, pero queda oculto un rasgo esencial. Tradicionalmente se pensaba que toda teoría matemática tenía que ver, en primer término, con sus objetivos propios y que, además, también ocurría que podía prestarse a funcionar como lenguaje para las teorías empíricas particulares. En el caso de las geometrías que acabamos de ejemplificar, las teorías matemáticas, por lo contrario, parecen reducirse a la pura función de lenguaje y lo dicho para lás geometrías puede repetirse, incluso con mayor razón, para otras ramas de la Ynatemática. No hay necesidad de subrayar que la tendencia formalista, tan extendida en la matemática moderna, expresa justamente ese punto de vista: no admite que se puedan concebir objetos matemáticos independientes del lenguaje, pero concibe al lenguaje mismo como capaz, por así decir, de engendrar sus propios objetos: basta pensar en afirmaciones tales como la que pretende que los números naturales se construyan por los axiomas de Peano, o que los objetos geométricos se construyen por los axiomas de Hilbert.

4. La cuestión que se plantea es la siguien-

una

que la semántica toma en consideración las posibilidades que existen para interpretar tal lenguaje de manera de hacerlo hablar con respecto a universos de objetos arbitrarios que se supone dados en forma independiente del lenguaje mismo. La teoría de los modelos, que constituye el desarrollo técnico de la semántica se esfuerza por precisar los diferentes tipos de estructura de los objetos que se prestan a una discusión mediante lenguajes dados y, para ello, proporciona precisiones esenciales sobre la consideración de la matemática como teoría. Una vez aclarado esto, es necesario comprender que la presencia de esos puntos de vista distintos no basta todavía para justificar la afirmación según la cual la matemática se ocupa de objetos propios. En efecto, la presencia de esos dos puntos de vista nos ofrece instrumentos para investigar la cuestión, pero no nos da ninguna indicación sobre el resultado final de esa investigación ¿Cómo imaginar, pues, la forma de emplear el instrumento sintáctico y el instrumento semántico para deducir algunas conclusiones sobre nuestra cuestión?

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7. Una primera indicación de investigación parece ser la siguiente: dado que no se puede poner en duda que toda teoría matemática se presenta bajo la forma de un lenguaje, el úni-

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tica, en la medida en que aseguran una expli- citación de la significación de los conceptos que desempeñan un papel en la teoría, des- cpmponiendo esta significación por así decirlo, en sus elementos constitutivos y mostrando las relaciones subsistentes entre esos diferentes elementos. En otros términos, los axiomas guran un análisis de Ia significación de importancia fundamental, pero nunca .asegurarían a una teoría la denominada significación física que, al contrario, está ligada a las operaciones de medida empírica y que sería mejor calificar como denotación física.

13. En contraste, si consideramos las teorías matemáticas que se han denominado abstractas, fácilmente podemos darnos cuenta que son, en efecto, lenguajes puros porque, incluso cuando hablan de estructuras, en realidad se entiende a esas estructuras como una especie de mundos posibles, sin diferenciar nada concreto: son totalmente genéricas y representan la ¡dea de una posibilidad teórica de ver con- cretizadas las condiciones impuestas por las estipulaciones lingüísticas contenidas en los axiomas. Esto se verifica totalmente cuando nos proponemos interpretar las denominadas estructuras sobre verdaderas estructuras concretas (que todavía son estructuras matemáticas) tales como las de los números naturales, reales, complejos, etc, que han sido pensadas como ejemplos que cumplen efectivamente la genericidad de estructuras abstractas.

14. Lo dicho hasta aquí nos ha llevado a reconocer, en el dominio de la matemática, la existencia de disciplinas que se configuran como teorías en sentido propio, junto a otras que, más bien, se dejan caracterizar como lenguajes. Pero también queremos ver cómo las mismas teorías se prestan a ser empleadas como lenguajes y, al respecto, la idea de for- malización nos proporcionará una solución muy simple. Ya hemos comprobado cómo esta ¡dea nos pudo conducir muy lejos, es decir, a pensar que se puede hacer desaparecer completamente a los objetos matemáticos; pero un uso apropiado de esta ¡dea nos permite comprobar muy simplemente que, incluso en el caso de las teorías matemáticas concretas, el lenguaje que se refiere a sus objetos no está indisolublemente ligado a estos. Se puede, en efecto, examinar la posibilidad de considerar a ese lenguaje en forma de la estructura matemática para describirla cual había sido creado.

15. En otros términos, las teorías matemáticas concretas pueden comportarse como teorías abstractas cuando se hace abstracción de

que a su vez están ligados a manipulacio- procedimientos de carácter operatorio y

sus contenidos matemáticos específicos. En ese momento su lenguaje queda en libertad de ser interpretado sobre otros universos de objetos que pueden ser, por ejemplo, entes físicos, y se podrá revelar capaz de expresar gran cantidad de verdades sobre esos nuevos objetos.Si además, ocurre que la estructura de los nuevos objetos es isomorfa con respecto a los objetos matemáticos de que se ocupa la teoría, resultará que todos los teoremas matemáticos de dicha teoría siguen siendo verdaderos para la nueva teoría.

16. El ejemplo más conocido de un hecho parecido lo ofrece la teoría de las magnitudes en las ciencias empíricas, especialmente en física. Bien se sabe que la posibilidad de introducir magnitudes en ciertos dominios de objetos naturales no es del todo inmediata ni elemental: es necesario primero encontrar una propiedad de dichos objetos que permita compararlos e introducir en ellos un orden quasi serial, es decir, un orden lineal total con la posibilidad de que diversos objetos ocupen el mismo lugar en la cadena. En seguida, es necesario metrizar ese orden hallando un procedimiento. fundamental de medida, que nos permita ubicar un escalón al cual vincular la unidad de medida, pero eso también depende del hecho de que existe una operación de composición física que se comporta aditivamente con respecto a esa cantidad que se desea medir. Sólo cuando están satisfechas esas condiciones se puede pasar a la introducción de una verdadera magnitud, a saber, de una función que asigna a todo objeto del dominio material un número real que representa la medida con respecto a la magnitud considerada. Esta condición es la que introduce una homomorfia *entre el dominio de objetos materiales y el dominio de los números reales positivos, que transforman al lenguaje del análisis (es decir, de la teoría cohcreta de los números reales) en un lenguaje capaz de hablar con verdad y fidelidad de esos objetos físicos, considerados como portadores de tal magnitud.

17. A menudo se han interpretado a esta posibilidad de aplicación fecunda de la matemática al estudio de fenómenos físicos como consecuencia y prueba de que la realidad física posee una estructura matemática y se ha invocado a Pitágoras y Platón como precursores de una intuición tal sobre la cual descansaría la iluminación de las ciencias modernas. Otros, por lo contrario, afirmaron que la matematización constituye simplemente un

cierta propiedad, en lógica matemática se lo denomina categórico y de él se dice que admi-

solo modelo. Ahora bien, se sabe realmente que la propiedad de la categoricidad no

cualidad del todo común a los sistemas

nes, ines, aconstructivo. Parece, pues, que la perspectiva más fértil al respecto sea el del punto de vista constructivista que nos proporciona medios

dar los objetos matemáticos, los cuales.

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es unaformales sino que, al contrario, depende estrictamente del lenguaje empleado (en el primer orden, ello no ocurre más que en sentidos muy estrechos) Y, incluso teniendo esto en cuenta, no es el privilegio de todas las teorías matemáticas interesantes. Esta es la conclu-

paraestando suficientemente bien determinados, no coinciden con el lenguaje de las teorías matemáticas y determinan, más bien* ciertas condiciones de fidelidad.

11. Vale la pena observar que, aceptando esta concepción constructuvista y operatoria del pensamiento matemático, no hay ninguna necesidad de renunciar a las grandes conquistas intelectuales representadas por la denominada revolución axiomática con tal que se establezca también en matemática una distinción entre el problema de la significación y el problema de la denotación, mientras que el sentido de esta revolución a menudo es todavía realmente interpretado como ligado al pro- belma de la denotación. En efecto, muy a menudo se oye afirmar, por ejemplo, que el punto, la recta, el plano, etc., no son entes que existen en alguna parte, sino que son simplemente lo que afirman los axiomas de Peano, etc. Con formas de hallar como las que acaba de mencionar se quiere dar la sensación de que los sistemas de axiomas constituyen o crean los entes matemáticos, en tanto que todo lo que se podría afirmar correctamente es que precisan en forma rigurosa y exacta, si bien implícita, la significación de esos conceptos. En otros términos, el verdadero alcance de la revolución axiomática es el de haber aclarado, al lado de la función sintáctica de los axiomas ya reconocida en los Elementos de Euclides, una función semántica que poseen y que consiste en no' admitir en las teorías matemáticas únicamente los elementos significativos explicitados en la compleja red de las proposiciones primitivas. Esto de ninguna manera implica, al contrario, que los axiomas posean una especie de función ontológica y el hecho de atribuírselas es pura y simplemente una toma de posición filosófica adicional, que se afirma sin fundamento verdadero.

12. La cuestión todavía se puede aclarar más si se reflexiona sobre el hecho de que las axiomatizaciones se han vuelto usuales incluso

ase

sión: con respecto a los objetos matemáticos, los lenguajes de las teorías formalizadas a veces dicen menos de lo que sería de desear, y a veces más, lo que nos lleva a admitir que siempre se tiene la posibilidad de verificar esa diferencia entre el objeto y lenguaje de que hablamos antes. Esta conclusión nos autoriza, por tanto, a considerar las situaciones de las teorías matemáticas como susceptibles de una bipartición: ciertamente hay teorías que se presentan explícitamente como teniendo por objeto proporcionar encuadramientos muy generales, susceptibles de referirse a estructuras cualesquiera, incluso no isomórficas entre sí, podemos calificar de abstractas a esas teorías y reconocer que son esencialmente lenguajes de alcance muy general. A su lado, siempre existen teorías concretas, que se supone se refieren a una estructura específica de objetos matemáticos y que, desde ese punto de vista, merecen que se las considere como teorías con contenido, en un sentido que ya no se aleja del sentido de las teorías de las ciencias empíricas.

TO. Esta conclusión origina problemas filosóficos bastante interesantes, pues de inmediato nos lleva a la cuestión de la posibilidad efectiva de indicar esos objetos de manera que, acaso no siendo del todo independientes del lenguaje usado, no llegue a coincidir con él. A primera vista se podría creer que la conclusión denominada platónica posee ventajas sobre ese punto, porque concibe a los entes matemáticos como entes en sí, dotados de existencia autónoma que nos recuerda bastante bien la ¡dea de los objetos físicos, que existen antes de nuestras investigaciones enpincas y teóricas para descubrir sus propiedades. Pero; pese a esa primera impresión, las cosas no son así: en efecto, incluso en física (y, en general,, en las ciencias empíricas), nunca nos preocupamos por las cosas ordinarias de nuestra experiencia cotidiana, sino más bien de cortes de esas cosas, y lo hacemos mediante el establecimiento de ciertos predicados y funcio-

1

en el dominio de las ciencias empíricas (especialmente en física), y su función en esas ciencias, es, en parte, de naturaleza sintáctica, en la medida en que los axiomas permitan un esclarecimiento de la estructura deductiva de esas disciplinas, pero, sobre todo, es semán-

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y más fiel que se puede emplear para describir cierta estructura objetiva.

instrumento cómodo pero convencional gracias al cual organizamos nuestros conocimientos, sin que eso pueda indicar presencia alguna de una estructura matemática subyacente en la realidad física.

18. Una querella tal nunca podría llevar a nada satisfactorio porque ambas posiciones importan un equívoco, a saber: conciben a las ciencias como discursos que afrontan las realidad de las cosas, por así decirlo, en si, pero ninguna ciencia exacta hace eso. Ya aludimos el hecho de que toda ciencia se ocupa sólo de cierto corte de la realidad, que se obtiene colocándose en cierto punto de vista, que se concreta en la elección de un número limitado de predicados y de funciones de base por medio de las cuales se habla de la realidad. Acábanos de recordar, en los breves párrafos explicativos que hemos consagrado a las magnitudes y a la medida, que el establecimiento de esos predicados y de esas funciones no es del todo elemental ni inmediato, sino que requiere la intervención de diversas manipulaciones operativas bien estudiadas y capaces de hacer surgir un homomorfismo con respecto a la estructura de los reales positivos. Entonces se comprende bien que las cosas brutas de la realidad cotidiana, sino que realmente haces de predicados y funciones, introducidos por métodos operativos que muy a menudo tiene por objetivo explícito llegar a determinar una estructura concreta que sea isomorfa, o al menos homomorfa, con respecto a la estructura de los números reales o alguna otra estructura matemática. Pero, entonces, si los objetos de una teoría empírica son entes semejantes, tenemos realmente el derecho de decir que poseen efectivamente una estructura matemática: se trata de la estructura que hemos introducido mediante nuestras manipulaciones operativas, pero es objetiva y real y, con respecto a ella, el discurso matemático no tiene más que la función de una pura y simple herramienta convencional - para ordenar nuestras ideas; constituye una descripción fiel de ellas. Naturalmente, jamás podríamos pretender que ese discurso determine en forma exhaustiva la estructura de la realidad, porque esta es más rica que ese trozo particular que se ha cortado de ella mediante nuestras manipulaciones operativas, pero esto no nos impide reconocer que para todas las cituaciones comparables con la que se acaba de mencionar, la matemática constituye el lenguaje más exacto

Matemáticas vacías y

matemática significativas*19. La experiencia histórica nos muestra

que el uso de la matemática como lenguaje se produjo primero mediante el empleo lingüístico de ciertas teorías matemáticas concretas, como el análisis y la geometría. La cosa no nos asombra. La riqueza de los conocimientos acumulados en estas teorías es lo que permite usar su lenguaje como fuente maravillosa de herramientas para tratar los problemas de las ciencias físicas. Pero ahora se impone una reflexión más natural: si resultados tan fecundos se han obtenido empleadon el lenguaje de teorías que en sí mismas no eran lenguajes puros, con mayor razón podríamos esperar obtener éxito explotando las teorías matemáticas que son, por su misma naturaleza, lenguajes, a saber las teorías que hemos llamado abstractas. Esto podrá ocurrir según dos enfoques diferentes: quizás se pudieran utilizar lenguajes abstractos ya listos y bien desarrollados, que se muestran directamente aplicables a ciertos dominios de investigación empírica (esto ocurrió, por ejemplo, cuando se aplicó la teoría de grupos a la mecánica cuántica). Pero también se puede examinar la posibilidad de construir nuevos lenguajes matemáticos, esto es, teorías abstractas nuevas, para hablar adecuadamente de estructuras empíricas que todavía no se ha llegado a dominar la facilidad de lenguajes abstracto, que no actúa como una especie de proyección de estructura particular y que, por tanto, está abierto a toda interpretación posible, le garantiza posibilidades de éxito en la explotación de nuevos dominios de investigaciones que acaso no puedan ofrecer los lenguajes tradicionales. Por esta razón, la polémica contra la medida y la cantidad, que hoy se escucha a menudo entre los que las consideran como prejuicios que se debería rehusar, por ejemplo, en el dominio de las ciencias humanas, no puede significar un rechazo de la matemática. La medida y la cantidad corresponden a un empleo de la matemática como lenguaje basado sobre la utilización de sólo uno o de un número limitado de lenguajes efectivamente contenidos en la matemática semántica, notoriamente los lenguajes de ciertas teorías concretas. Pero la matemática abstracta posee posibilidades de tratar las cuestiones que, siendo todavía exactas, no son necesariamente cuantitativas.

Jean DIEUDONNE (Francia)

El título de mi conferencia es polémico, así lo creo; pero, al reflexionar, me ha parecido que era mejor que la conferencia no fuera polémica. .. a menos que me forcéis a ello. Lo que diré es esencialmente la introducción de un libro que estoy por escribir y que se intitulará: Panorama de /as matemáticas bourbáquicas. En el último tercio de mi conferencia intentaré explicar qué entiendo por matemáticas bourbáquicas y eso corresponderá, en cierto sentido, a la parte polémica de mi antigua conferencia, pudiendo mi propósito ac- > tual, entiéndase bien, convertirse en polémico en cualquier momento.

Pero antes de deciros qué son las matemáticas bourbáquicas creo que acaso no sea inútil, sobre todo para aquellos de ustedes que no son matemáticos profesionales, tratar de explicar cómo los matemáticos ven actualmente a la matemática. Por una parte, trataré de mostraros el estado actual de las matemáticas; por otra parte, lo que constituirá la mayor parte de mi conferencia, trataré de hacer ver cómo han evolucionado los problemas. Esta mañana Levy-Leblond ha observado que en verdad no se puede comprender una ciencia ignorando del todo su evolución. Os repito que esta no es una conferencia polémica y que puedo apoyar con citas y referencias todo lo que os diré; no diré nada que no haya sido reconocido e impreso en alguna parte.

También Levy-Leblond subrayó que la física, que se había portado muy bien de 1900 a 1940, actualmente agitaba un poco las alas. Y bien, en matemáticas eso no es del todo verdad; las matemáticas nunca se portaron mejor, cuantitativa y cualitativamente.

Primero cuantitativamente: he aquí un número de Mathematical fíeview, que se publica mensualmente, digo bien, todos los meses, no todos los años. En sus comienzos, en 1940,

esta íhisma revista publicaba un volumen anual de 300 páginas, hoy 300 páginas corresponden a un volumen mensual. No creeréis que allí estén, in extenso, todas las matemáticas que se producen: son notas o informes sobre trabajos matemáticos, más o menos —según la importancia del trabajo— proporcionales- a su longitud. Cada página de ese volumen in quar- to comprende en dos columnas un promedio de cinco a seis informes. He aquí, por ejemplo, una memoria de 41 páginas cuyo informe ocupa media columna. En resumen, se puede .decir que ese volumen representa entre un séptimo y un décimo de la longitud de las matemáticas in extenso; es decir, todos los meses se publican en el mundo alrededor de 2000 a 2500 páginas de textos matemáticos. Esto con respecto al punto de vista cuantitativo.

Pero las matemáticas no se evalúan por el peso del papel y, como ayer lo dijo Apery, hay que hacer distinciones. No hablaré de ellas porque podrían ser polémicas. De cualquier modo, digamos que los matemáticos más competentes están de acuerdo en pensar que de esa enorme producción cuantitativa hay una pequeña parte que también es excelente desde el punto de vista cualitativo. Creo que podemos decir que nunca se encontraron tantos resultados nuevos e importantes como ahora y creo, sin exageración que se ha producido más matemática fundamental desde 1940 que la que se produjo entre Tales y 1940. Esto es perfectamente probable haciendo una lista de las cuestiones que habían permanecido abiertas durante decenas de años, a veces de siglos,

que goza un

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•Esta conferencia fue pronunciada el 11 de junio de 1976 en el Coloquio Internacional organizado por el Centro Universitario de Luxemburgo y fue redactada por los organizadores de acuerdo con la versión magnetofónica.

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po. Recuerdo haber oído decir a mi maestro Polya, que la obtuvo de Alexandroff, que éste había trabajado durante un año en la demostración de la hipótesis del continuo, y que entonces se había detenido porque sentía que se volvía loco. Hizo bien. Entonces, cuando Gódel y Cohén nos dijeron que era inútil estrujarnos las meninges y que jamás demostraríamos ni la hipótesis del continuo ni tradicción, hemos dicho: iUff! Qué suerte. No tendremos que ocuparnos más de ese abominable problema!

Lo mismo ocurre también con el segundo problema de Hilbert sobre la resolución de los problemas diofánticos, recientemente resuelto por Matiasevich. Pienso, por otra parte, que, a pesar de mi enorme admiración por ese matemático de primera magnitud que fue Hilbert, nunca he comprendido como pudo creer que una máquina podría dar automáticamente todas las respuestas a todos los problemas diofánticos. Entonces me enteré que Matiasevich había demostrado que eso era imposible, lo que la mayoría de los matemáticos, creo, consideraron como algo de simple buen sentido. El cerebro, no se reemplaza con una máquina. Eso se sabe.

Para terminar con la lógica, es necesario decir que todas esas cuestiones, por interesantes y todo lo filosóficamente interesantes que sean, no tocan, como oportunamente veremos, más que una parte muy débil de las matemáticas, en particular, de las matemáticas bourbá- quicas. Incluso diré que están ausentes de las matemáticas bourbáquicas que nunca encuentran un ejemplo de las matemáticas donde se tenga que aplicar el axioma de elección general o la hipótesis del continuo, porque nunca necesitan más que el axioma de elección numerable. No se puede hacer el análisis real sin el axioma de elección numerable, y eso todo el mundo lo admite. Pero es muy raro que se necesite realmente el axioma de elección general, no numerable, y no interviene nunca en lo que voy a describir. ¿Por qué? Pues porque siempre nos ocupamos de espacios que son generalmente metrisables y separables, y en esos espacios las buenas series de papá son más que suficientes. Entonces, en realidad, hay allí un paso hacia atrás de muchos de los matemáticos. Pero ¿por qué ¿se paso hacia atrás? En mi juventud, todos estábamos muy entusiasmados con la escuela de Cantor y con todo lo que le había seguido, el axioma de elección, de Zermelo; se colocaba a Zermelo en todas las salsas e incluso se había encontrado la ma

los constructivistas americanos, comoparte,Bishop y sus alumnos, que han sido fuertemente perturbados por las dificultades de las relaciones de las matemáticas con lo real, etc.,

todas que los matemáticos, el 95% res-

nera de ponerlo, aunque no hubiera necesidad, para hacer rabiar a los viejos, a quienes eso no les gustaba. Luego terminamos dándonos cuenta de que los viejos también gozaban de una sagrada intuición porque, careciendo de medios para juzgar, no dejaba de invadirlos la sensación de que eso andaba mal. Después de Gódel y Cohén sabemos ahora que hay una especie de centro de la matemática que se apoya sobre Zermelo-Fraenkel -¡atención! Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección general, pero con el axioma de elección numerable— y nada más. He ahí un bloque de axiomas al.que no podemos renunciar so pena de no poder hacer ni análisis, ni ninguna otra cosa. Más allá, ¿qué ocurre? Cohén y Gódel nos dicen que más allá hay tantas matemáticas como se quiera. Podéis declarar que el continuo es aleph 36, a no ser que sea aleph 64 o cualquier otra cosa. Entonces ¿por qué habría de ser aleph 1?

Mejor todavía En el curso de los últimos años se ha observado que, siempre que se consienta en balancear el axioma de elección no numerable, conservando naturalmente el axioma de elección numerable, se podrían hacer cosas notables con otros axiomas en los cuales nadie había pensado nunca. Un ejemplo, que enternece el corazón de todos los analistas es el axioma de Solovay. Desde Lebesque se sabe que, infortunadamente, en principio, la mayoría de los conjuntos que encontramos sobre la recta no son mensurables... y eso es muy molesto. En cierto sentido, es incluso idiota. Idiota, porque se sabe —no estoy seguro que, desde el punto de vista lógico, eso sea del todo demostrable— pero se sabe que nunca fabricamos conjuntos no mensurables más que con el axioma de elección no numerable. Es decir que es necesario fabricarlos. Ahora bien, en análisis encontramos constantemente conjuntos que no están del todo fabricados por ejemplo, conjuntos de soluciones de ecuaciones, que aparecen en forma natural y de los cuales se necesita saber que son mensurables. Entonces, estando del todo seguros que el conjunto de que se trata es mensurable, uno se devana los sesos para saber por qué, y, para demostrar esta estupidez, nos lanzamos a una demostración que puede llenar 2, 3 o 4 páginas. Si se supiera que todos los conjuntos son mensurables, nos sentiríamos bastante tranquilos y no tendríamos que demostrar cosas de las que sabemos de antemano que son verdaderas. En verdad, Solovay mostró que se puede fabricar un sistema tan consistente como el Zermelo-

que han sido resueltas desde 1940. Entonces, desde todos los puntos de vista se puede decir

las matemáticas gozan actualmente de ' prosperidad extraordinaria.

Como muchos de vosotros se inclinan hacia la filosofía o la lógica, insisto en primer término sobre esto; los filósofos y los lógicos tienen

tendencia, perfectamente natural y sable, a creer que la matemática se interesa mucho por lo que ellos hacen. Y bien, volved del

así. El 95 por ciento de los mate-

íunaque

cosastante se mofan de ello.

Siempre hay lógicos que trabajan incluso que trabajan mucho y bien. Esencialmente, ¿qué hacen? ¿Cómo vemos su trabajo nosotros los matemáticos? Bien, por una parte, expió

las posibilidades de nuestro sistema lógico, ése con el cual trabajamos, el de Zermelo- Fraenkel; por otra parte, -y eso nos interesa mucho menos- elaboran y exploran una cantidad de otros sistemas lógicos. Su actividad ciertamente es interesante desde el punto de vista intelectual, pero su interés es del todo limitado desde el punto de vista de los matemáticos porque nosotros no trabajamos con sistemas lógicos de ese género sino con Zermelo-Fraenkel. Entonces, cuando se nos habla de la lógica de primer y de segundo orden, de las funciones recursivas y de los modelos, nosotros, los matemáticos no tenemos nada que objetar a quien se ocupa de ello, pero nos quedamos enteramente fríos.

Sin embargo, quedan uno o dos comentarios por hacer. En primer término hay personas que os dicen: ¿Qué hacéis con el análisis no estandardizado? ¡Ah! He ahí una bella invención, que data de una decena de años y que, hasta dónde yo puedo juzgar, nos llega de los lógicos. Históricamente, los lógicos son los que han inventado este método, han obtenido algunos buenos resultados y todavía no se ha recalcado lo suficiente que en manos de personas muy astutas no originará algo mejor todavía. Pero, en realidad, se trata simplemente de un método matemático como cual-

I

excu-una su con-

ranerror; no es máticos se despreocupan totalmente de lo que pueden hacer todos los lógicos y todos los filósofos. Eso no les interesa absolutamente nada. Entiéndase bien, hay una parte de la lógica, que se denomina lógica matemática que ha tomado considerable desarrollo desde hace 50 años y que tiene en su haber éxitos extraordinarios que los lógicos que hay entre ustedes conocen tanto como yo. Pero para daros una ¡dea de la proporción de los trabajos de lógica matemática con respecto a los trabajos de matemática que nada tienen que ver con la lógica, comprobemos simplemente que sobre las 300 páginas de este número de febrero, sólo 8 están consagradas a la lógica matemática.

¿Por qué los matemáticos no se interesan en aboluto por ¡a lógica? Hubo, efectivamente, un período —la famosa crisis de los fundamentos—, que comienza hacia 1895, y continúa hasta 1930 más o menos, en que muchos matemáticos estaban muy perturbados por las paradojas y las dificultades de razonamiento que parecían surgir de todos lados. Creo que todos los matemáticos de esa generación y de la mía —que es posterior— han pasado por una crisis personal; durante todo un año he ocupado mi tiempo fabricando un juego lógico que me satisfaciera —no lo he publicado, quedaos tranquilos— pues me sentía perturbado hasta el punto de tener necesidad de probarme a mí mismo que se podía hacer matemática de manera absolutamente coherente. El sistema que actualmente satisface, digamos, al 95 por ciento de los matemáticos por lo menos, es el bien conocido sistema de Zermelo-Fraenkel. Ese sis-

1quier otro, basado sobre la noción de ultrapro-

_ ducto. Se lo puede hacer entrar de inmediato y sin dificultades en el sistema Zermelo-Fraenkel admitiendo el axioma de elección. Digamos que se ha convertido en una parte de la matemática pero las aplicaciones que de él hemos hecho en nuestras matemáticas no tienen nada que ver con la lógica.

El segundo comentario se refiere a las recaídas en lo que hacen los lógicos, inspirados, por otra parte, por problemas surgidos de las matemáticas. Lo que nos interesa mucho como para ponernos en guardia son las pruebas de indecibilidad y de imposibilidad. Hay matemáticos que pasan años de su vida intentando demostrar la hipótesis del continuo, problema que los ha atormentado durante mucho tiem-

I

tema responde exactamente a las necesidades de todos los matemáticos, excepto, con toda la seguridad, los lógicos y todos aquellos cuyas actitudes filosóficas les impiden aceptar las premisas de un sistema semejante, esto es, los matemáticos denominados intuicionistas o constructivistas. Por una parte, están los constructivistas rusos -ellos hacen matemática que denominan constructiva, pero que no tiene nada que ver con los fundamentos— y por otra

1312 ¡

física. Creo que hay razón para decir que es la ciencia la que en verdad se ha adaptado a la aplicación de la matemática. Estas aplicaciones, muy numerosas y muy variadas, plantean constantemente, problemas a la matemática; los han planteado incesantemente y continúan planteándolos, y desempeñan una función considerable en el desarrollo de las matemáticas puras. ¿Por qué? Un matemático, que recibe un problema de urt colega de ciencias naturales, trata primero de formularlo de una manera de poder comprenderlo (lo que no siempre ocurre). A renglón seguido, cuando lo ha comprendido y puesto en forma puramente matemática, trata de resolverlo, lo que le plantea multitud de cuestiones que debe salvar para obtener resultados a menudo muy notables. No hay ninguna duda que toda la teoría de las ecuaciones funcionales, de las ecuaciones diferenciales para comenzar, en derivadas parciales a continuación, integrales, integro-diferenciales, etc., ha sido desde hace 300 años una fuente de inspiración constante para los matemáticos, y esto no sdlo por los problemas que ha originado sino también a veces por los métodos. Los físicos tienen, sin duda, ideas propias sobre los problemas que plantean. Como conocen su ciencia mucho mejor que nosotros, tienen razones para creer ciertas leyes, por ejemplo, los principios de máxima y mínima, deben cumplirse y la solución del problema debe volver máxima o mínima a tal cantidad, denominada energía o de otra manera. Ello inspira entonces al matemático que se dice: Para encontrar una solución, tomemos una fundón que da un mínimo; acaso abremos encontrado la solución. Este procedimiento, exitoso en muchos casos, es u/i ejemplo típico en que la física de alguna manera inspira a la matemática, no sólo por los problemas, sino

. por los métodos revelando así un vínculo muy estrecho de los matemáticos con la física y sus aplicaciones. Y además, desde hace unos cincuenta o cien años, han aparecido las estadísticas, los ordenadores; y el álgebra, lo mismo que la teoría de las probabilidades, a su vez, se han podido aplicar de inmediato a multitud de cuestiones en donde antes no intervenían las matemáticas. Todo esto para reconocer que sería ridículo decir que las matemáticas actuales no tienen ninguna relación con la realidad. Pero la inversa también es totalmente ridicula. Decir que el resto de la matemática no tiene importancia y nunca ha tenido ningún tipo de interés es algo que la historia contradice totalmente.

Fraenkel actual, no agregando naturalmente e axioma de elección general sino el axioma de Solovay que dice que todos los subconjuntos de Rn son mensurables en el sentido de Le- besgue. Para muchos analistas eso sería mucho mas agradable que el axioma de elección general. Todo esto para deciros que más allá del núcleo central de la matemática, digamos bourbáquicas, hay infinidad de posibilidades. Por el momento me parece que no hay ningún tipo de razón para preferir una u otra. Cuando

haya trabajado suficientemente con las posi- biliddes abiertas por sistemas de axiomas variados, quizás dentro de 20 años, acaso 50, acaso 200 años, los matemáticos, un buen día volverán a coincidir para estimar que un sistema les agrada más que los otros, para incorporarlo a las matemáticas y, a partir de ese momento, no hacer matemática sino con ese sistema. También puede ser que eso no ocurra nunca, y que a partir de ahora haya tantos sistemas subsidiarios del central como posibilidades haya, según el tipo de matemáticos. Sólo el porvenir puede decirlo.

Creo que esto rige la cuestión de las relaciones entre las matemáticas y la lógica. Por ello, a partir de ahora, no hablaré más de lógi-

A veces se os ha dicho: Si no fueron las aplicaciones las que han suscitado las matemáticas ¿quién ha sido? Algunos invocan sociológicas. Aunque me esfuerce nunca he visto nada muy convincente en ese sentido. Es evidente y totalmente trivial que no se pueda hacer matemáticas cuando el nivel social no deja cierta libertad y cierta posición social a aquéllos que necesitan mucho tiempo flexionar y para resolver su problema. Es sario, pues, procurar a los matemáticos tencia cierto nivel de vida que les permita consagrarle enormes esfuerzos y concentrarse en su investigación sin que siempre deban preocuparse por saber si comerán dentro de tres días o de dos horas. Pero esta afirmación no ha explicado nada. Es una de las trivialidades que se suelen formular. He aquí un pequeño problema para aquellos que se interesen: En 1796, al joven Gauss, que tenía 18 o 19 años, se le había metido en la cabeza encontrar una construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. A quién me explique porqué el medio social de los pequeños cursos alemanes del siglo XVIII en que vivía Gauss, debía inevitablemente conducirlo a ocuparse de la construcción del polígono regular de 17 lados le daré gustoso una medalla de chocolate. Pero tratemos de ser serios y volvamos a la cuestión de saber qué es lo que hace desatarse a las matemáticas. Creo que no se puede examinar algo totalmente trivial y visible a todo nuestro alrededor. He tenido niños y niñitos y he visto al gozo de ellos empleando su tiempo proponiendo adivinanzas y ejerciendo su capacidad de y su curiosidad precipitándose sobre los enigmas, los "puzzles" y las palabras cruzadas con contagiosa alegría. Es un hecho universal que se observa en todos los países y en todas las épocas. Dicho de otra manera: Hay una cierta curiosidad innata y natural del ser humano por resolver adivinanzas i No busquéis más! Nueve décimos de las matemáticas, fuera de las que fueron suscitadas por necesidades prácticas, consiste en la resolución de adivinanzas. Si no lo creéis, he aquí algunos ejemplos.

es de Plutarco— que estaba avergonzado de las famosas máquinas que había construido para el sitio de Siracusa, que nunca hubiera osado consagrarles un artículo porque eran una aplicación y él despreciaba profundamente a los que eran tan viles para ocuparse de tales cosas. Ninguna duda, pues: La ¡dea de que las matemáticas provienen de las necesidades técnicas es sumamente reciente y, como os lo he dicho, enteramente falsa. Comencemos por ejemplos sacados de la antigüedad dado que, justamente, los griegos comenzaron, desde el siglo V a J.C., e incluso antes, con Pitágoras, a plantearse problemas a los cuales es visiblemente imposible asignarles eventuales orígenes prácticos. La mayoría de los problemas sobre números los conocemos por el tratado de Dio- fanto, que es posterior. No entraré en detalle —Diofanto representa una tradición algo heterodoxa— pero he aquí dos de sus problemas (hay entre 100 y 200, todos del mismo tipo) que ¡lustran el tipo de cuestiones que interesaban a los griegos:

1) Hallar tres números x1# X2 y x3 tales que x, Xj + X| + Xj sea un cuadrado, y esto para las tres combinaciones posibles de dos números. (Diofanto llama números a todos los números racionales, no necesariamente enteros y, sobre todo, no irracionales).

2) Hallar un triángulo rectáculo de lados a. b y c (a es la hipotenusa) tales que a — c y b — c sean cubos.

razones

para re- nece

en pose

ca.Un segundo punto sobre el cual acaso sea

necesario extenderse algo más, es la cuestión de la utilidad, de la aplicabilidad, ets., de las matemáticas puras, esto es, las matemáticas aplicadas. Se han dicho al respecto enormes tonterías en los dos sentidos, y quisiera intentar poner las cosas en orden, permaneciendo sobre el tema tan objetivo como sea posible. ¿Qué vemos al mirar las matemáticas y sus aplicaciones actuales? .

Primero, no hay ninguna duda, de que, históricamente, las matemáticas se originan en problemas de índole práctica: numeraciones, medidas de figuras... Una serie de documentos atestiguan el origen, digamos sensible, de las matemáticas en lo real. Mucho menos inteligente es la actitud de los que pretenden que siempre ha sido así; dicho de otra manera, que jamás hubo otras motivaciones en las matemáticas que la aplicación a diversos problemas del mundo real, de la ciencia aplicada, ahora de la ciencia pura —que ha sido desde el siglo XVIII una ciencia matemática. Y bien, es tan absurdo afirmar eso como negarlo.

Desde el Renacimiento, y sobre todo desde el cálculo infinitesimal una parte importante de las matemáticas tiene aplicaciones directas a las ciencias de la naturaleza, sobre todo a la

Estaréis convencidos, creo, que las posibilidades de un origen técnico de esos dos problemas son absolutamente impensables. Son adivinanzas que se perpetúan en las ramas de las matemáticas actuales tales como la teoría de números, la combinatoria y la teoría de grupos. La resolución de todos esos problemas exige generalmente enorme ingenio. El matemático húngaro Paul Erdós es verdaderamente el rey de los problemas ingeniosos y difíciles: en su existencia resolvió más de mil. He aquí dos ejemplos estraídos de sus obras:

El primero no es de él; es un problema que planteó Sylvester sin poder resolverlo y que fue resuelto por un amigo de Erdós.

En el plano se dan n puntos al alzar, no todos alineados. Es necesario demostrar que siempre hay una recta que pasa exactamente por dos de esos puntos.

Otro problema de ese género: En un círculo de radio 2 ¿cómo podréis ubicar puntos de manera tal que un punto esté en el centro, los otros no importa dónde, con la condición de

1

Primero, hacia 1700, nadie habría osado nunca sostener la creencia un poco estúpida de que sólo la técnica está en el origen de la matemática. Los griegos pertenecían exactamente al nivel opuesto. Los textos de Platón y de Arquímedes desprecian abiertamente los infortunados que usan la matemática para las viles necesidades del cálculo o de la medida. El mismo Arquímedes dijo —creo que la cita

1415

fútiles en apariencia- que al ser am-un pocopijamente analizados han revelado posibilidades completamente insospechadas y han abierto el camino a aplicaciones también del todo insospechadas. ¿Cuántos de esos paraísos de la matemática hay? Infortunadamente no

existan millares de problemas de

señaló el camino. Sabéis que el número de raíces de una ecuación polinómica es, en general, igual a su grado; que se pueden per-

raíces y que entonces ciertas funciones son invariantes. Analizando esta ¡dea, Lagrange terminó percibiendo que el éxito de los métodos de Cartan y otros para la resolución de las ecuaciones de 3er y 4° grado residía en la existencia de ciertas funciones no simétricas de raíces que poseían ciertas propiedades de invariancia por permutaciones. Poco

la cuestión central de las preocupacio-

que

axioma 36 bis, lo que, a la postre, produce una nueva teoría. Cuando se les pregunta las razones, responden: ¿Por qué? ¿Cómo? Para escribir un papel

Si hablé de razones sociológicas es porque hay países, cada vez hay más, en que la promoción de los universitarios se hace por el peso del papel. De modo que, entiéndase bien, es necesario producir, y, cuando rre eso, nos ponemos a modificar el axioma

número 36 bis. De cualquier modo, lo que ocurre. Se trata de lo que puede denominarse matemática no motivada o diluida. Acaso se me objete que el axioma 36 bis dificado puede un día ser tan fundamental la noción de grupo. Efectivamente, eso no está excluido y en mi vida he visto uno o dos casos en que una teoría condiderada como absolutamente carente de interés, bruscamente se la encontraba adherida a algo que os hacía comprender el fondo de las cosas. Pero eso es del todo excepcional y el resto se acumula en los innumerables papeles que se escriben, publican, de los cuales se hacen informes y de los cuales nadie en lo sucesivo jamás hablará, salvo aquellos, entiéndase bien, que diluyen lo diluíble, eso que, en apariencia, se deja prolongar indefinidamente.

Finalmente, existen teoría que se olvidan progresivamente, que se mueren con toda dulzura, no porque las matemáticas se vuelvan menos ingeniosas —por el contrario, quizás lo son más— sino porque los problemas tratados se vuelven cada vez más especiales, se aísla y terminan no teniendo relación con la misma teoría. En tanto que, lo que excita mucho a los matemáticos es el hecho de que un problema tenga relaciones con otras teorías.

Después de haber intentado daros cuenta de como evolucionan los problemas matemáticos, puedo ahora deciros muy fácilmente que son las matemáticas bourbáquicas. Son esencialmente las que se ocupan de las teorías vivas, descansan sobre una estructura y, hasta cierto punto, las que dependen de un método. El epíteto bourbáquico significa que se trata de teorías expuestas en el seminario Bourbaki. Ese seminario es una institución, creada hacia 1948, que se presenta de la siguiente manera: Tres veces por año se exponen seis memorias en el curso de seis sesiones que se realizan en París un sábado y el domingo y el lunes siguiente. Esas memorias son elegidas por un

grupo de miembros del equipo Bourbaki —yo nunca participé en la elección de los textos; puedo, pues, hablar con toda imparcialidad- son distribuidos a personas que tienen el deseo de exponerlos, son expuestos en el seminario y luego difundidos; durante mucho tiempo la difusión fue asegurada por Benjamín; ahora por Springer. Actualmente existen unas 500 exposiciones que prácticamente cubren, creo, todas las matemáticas que entran en esas categorías.

Es necesario no confundir el seminario Bourbaki con el tratado Bourbaki que tiene otro objetivo del todo distinto, a saber, exposición de la parte elemental de las estructuras, la parte que debe conocer todo matemático que quiera hacer matemáticas serias. Pero las grandes aplicaciones no figuran en el tratado; justamente se las expone en las Memorias del Seminario; faltan en el tratado simplemente porque son dificilísimas de exponer en libros destinados, más o menos, a la enseñanza, a la enseñanza de cierto nivel, pero de cualquier modo la enseñanza. El libro de Bourbaki contiene los rudimentos de lo que son las matemáticas bourbáquicas, que son las que se exponen en el seminario. Se puede hacer una clasificación de esas matemáticas ordenándolas según la densidad bourbáquica que es grosso modo, la relación entre un número de exposiciones y el número de trabajos publicados sobre esa teoría. Algunas teorías tienen una densidad muy grande: la topología algebraica y diferencial, la teoría de los grupos de Lie y de sus representaciones de dimensión infinita, la geometría algebraica (es decir, la teoría de funciones de varias variables complejas), la teoría de números, están entre las de mayor densidad bourbáquica. A continuación vienen las teorías cuya densidad bourbáquica es menor: el análisis armónico conmutativo, el álgebra homológica, la teoría de las álgebras de von Neumann. Se habla un poco de lógica y de probabilidades, pero no mucho. Después llegan teorías de las que se hablan muy poco: el álgebra conmutativa, por ejemplo, los espacios vectoriales topológicos (creo que en veinte años se ha hablado dos veces de ellos); de álgebra general, de la teoría de los conjuntos ordenados, de los cardinales y ordinales, de todo eso ni una palabra.

He ahí el panorama que he querido esbo-

mutar esasmu

chos; aunque _ ese género, no se si se llegará a encontrar una docena que originen teorían tan grandiosas,

fundamentales y tan profundas, que hacen comprender el sentido de las cosas de las que acabo de hablar. Por tanto, consti-

verdaderamente la excepción y no la re

tancomo esas

a pocones de esos algebristas ha resultado la siguiente: ¿Qué ocurrirá cuando se permutan las raíces de una ecuación? En unos 60 años eso origi

no ocu-tuyengla. con eso es¿Qué ocurre a continuación? Bien, se necesita un tiempo enorme, uno o dos siglos en general, para desenredar todas las ¡deas y po-

bajo forma asimilable para todo el mundo lo que vieron los genios mucho antes, tiempo. Algunos escritos de Galois y de Rie-

casi no fueron comprendidos durante 50 años. Eran especies de visionarios, gozaban de

golpe de vista mucho más amplio que sus contemporáneos, reducidos a una lectura mecánica y a tentativas de análisis destinadas al fracaso. Después, progresivamente, se tuvo éxito y se llegó a comprender lo que los genios querían decir, y cuando se llegó a comprender sus ideas, y a enseñarlas y a usarlas donde quiera, se ha entrado verdaderamente en el paraíso. Sin embargo, ese paraíso todavía evoluciona para engendrar lo que se denominan las estructuras. Los matemáticos saben hoy decir de manera técnica qué es una estructura. Hay una buena veintena de estructuras fundamentales (Estructura de grupo, de espacio vectorial, del álgebra...) y además muchas otras por combinación. Si se desea saber usar todo lo que revela el estudio de las estructuras, es indispensable estudiarlas y aprender a manejarlas cada vez mejor, lo que implica, inevitablemente, una abstracción aumentada.

Actualmente, por ejemplo, lo que importa no es saber si tal grupo es un grupo de permutaciones o un grupo de transformaciones de un cubo o el grupo de los enteros racionales, sino, más bien, saber si es finito, conmutativo, simple, etc. Entonces cuando después de largos años de pacientes estudios, se llega por fin a una teoría bien hecha, bien enseñable, bien utilizable, parecería que las cosas debería detenerse allí. ¡Pero no! No se detienen porque algunas personas, por razones variadas, sociológicas o de otros tipo, se dicen: "¿Qué ocurriría si se modificara uno de los axiomas de dicha teoría?" y helos ahí, modificando el

nó lo que se denomina teoría de grupos, porque fue la primera vez que se comenzó a pensar en una operación. Es muy difícil pensar en una operación, pues es algo bastante abstracto que no se ve sobre el pizarrón, que no se puede representar. Actualmente se intenta hacer entrar en la conciencia de los niños, lo más rápidamente posible, la ¡dea de que una operación es también un objeto por más que no se vea (se lo representa con flechas). Pero esta ¡dea tardó un tiempo inverosímil en ser concebida por los matemáticos, y a partir de esta idea de operación, luego de composición de operaciones, de inversión de operaciones se ha llegado al concepto de grupos. Todavía se necesitó casi un siglo para que ese concepto adquiriera su verdadera naturaleza; es decir, abandonar al origen fortuito de la operación, de la transformación, para convertirse en una operación que se hace sobre los objetos de un conjunto. Y esto ha constituido un engrandecimiento prodigioso de todas las matemáticas porque hemos percibido progresivamente que había grupos donde quiera, desde la artimética más abstracta hasta la teoría de los quanta pasando por todo lo que se pueda imaginar, la relatividad y todo el análisis, para no hablar de la geometría, etc. Y cada vez que se descubre un nuevo grupo en una teoría matemática, esta ha hecho un avance prodigioso. El grupo es una de esas nociones primeras que están en todas partes y que nosotros, los matemáticos, buscamos en todos los dominios. Casi lo mismo ocurrió con las integrales elípticas. Gracias a matemáticos como Abel, Jacobi, Weiertrass y sobre todo Riemann, nació la geometría algebraica. Se trata, también de una disciplina que invade progresivamente casi todas las matemáticas.

mo- unaner comoen su

mann

un

j

He aquí, pues, dos ejemplos típicos de problemas -acaso problemas un poco estúpidos,

zar.18 19

!

La interacción entre el "formalismo" y la intuición primitiva lograda a través de la visión, conduce a una intuición matemática más fina, que ha sido llamada intuición

Geometría euclidiana. Considerando la geometría euclidiana como un tópico que debe ser presentado en la escuela en forma axiomática, puede definirse como el estudio de cierto espacio métrico (en el sentido topológico), o como un estudio basado en axiomas afines, ampliado luego por la introducción de nuevos axiomas hasta llegar métrica euclidiana. Puede definirse también como el estudio de un'espacio en el cual actúa un grupo particular de transformaciones o como el estudio de un espacio cartesiano, etc.

Todas estas definiciones y el desarrollo correspondiente, son puntos de vista distintos del sintético tradicional, puesto que colocan a la geometría elemental en el marco de las estructuras de la matemática contemporánea. Todas ellas conducen a un concepto de la geometría completamente diferente del de la clásica geometría euclidiana sintética. La geometría moderna introduce al alumno en un campo muy extenso de nuevas ¡deas, le libera la imaginación y la intuición y le abre nuevas perspectivas. En este sentido, puede decirse que la topología y las transformaciones revitalizan el papel de la geometría en la educación, haciéndola comparable con el álgebra.

En consecuencia, la enseñanza moderna de la matemática no debe eliminar a la geometría, puesto que los nuevos puntos de vista la hacen más rica que antes. El grito "abajo Euclides" se refiere únicamente a la presentación clásica, actualmente fuera de moda. La geometría ha pasado a tener un sentido mucho más amplio que el simple estudio del espacio euclidiano. Existen otros espacios importantes. Este punto de vista puede aclararse por la siguiente descripción

A la pregunta ¿tiene sentido en el día de hoy considerar que existe una parte independiente de la matemática que se llama geometría? La respuesta es: Como matemática yo contesto definitivamente no, pero a la pregunta ¿Debemos enseñar geometría? yo contesto sí. La aparente contradicción se explica consi-

• derando tres ideas distintas: situación, modelo y teoría. La situación es una parte de una investigación matemática, el modelo es un esquema matemático y ambas cosas, junto con el estudio de la estructura subyacente, conducen a la construcción de una teoría matemática abstracta. Hablando de geometría, en cada momento debe definirse claramente una situación perceptible en el espacio, un modelo de esta situación y la posible teoría.

Muchas teorías matemáticas importantes tiene su origen en la abstracción de modelos

prolongada(Bouligand) o intuición refinada (F. Klein). Claros ejemplos de este tipo de ¡ntución se

las investigaciones sobre topología general o sobre teoría de conjuntos que tuvieron lugar en la primera mitad del presente siglo. En estas investigaciones intervienen objetos geométricos completamente nuevos, diferentes de los conocidos en la geometría clásica, pero sin embargo accesibles imaginación geométrica, por ejemplo, el de una curva que llena el espacio. Esto hace que en matemática, las fronteras entre lo intuitivo y lo no intuitivo sean difíciles de establecer. La topología continua ha enrriquecedo y ampliado nuestra intuición geométrica. Por otra parte, las ideas como homotopía y grupos, a pesar de su aspecto algebraico, han sido creadas y desarrolladas a partir de intuiciones geométricas subyacentes.

El estudio y el conocimiento de la interacción y el desarrollo formal y la motivación geométrica, puede eliminar la confusión referente al carácter de la intuición. Cuando en matemática se hacen intervenir imágenes y estructuras espaciales, se puede hablar de intuición geométrica. Un matemático ha dicho que "¡as imágenes que acompañan una creación matemática, se parecen más a un cuadro de Picasso que a dibujos ejecutados mediante instrumentos mecánicos". En efecto, estas imágenes intervienen más bien como indicadoras de acciones posibles que como recuerdo de objetos concretos y, además, la geometría no es su única fuente. Sin embargo, no es posible negar la existencia de esta intuición matemática prolongada o refinada.

A. Z. KRYGOWSKA (Polonia)

encuentran ena una

matemático contemporáneo, está claramente expresada en las siguientes frases de Bourbaki

"Elementos de Historia de la Matemá-

Uno de los puntos que más han debatido en los últimos cincuenta años los matemáticos y educadores, ha sido el contenido de los estudios geométricos en la escuela secundaria. Ha habido muchas conferencias al respecto,

han conducido esencialmente a dos posiciones, a saber: la de los partidarios de conser-

parte de la geometría sintética axio-

en sustica'" a nuestra

caso"Se admite que la importancia de la geome

tría clásica en el desarrollo de la matemática es indiscutible. Hoy, sin embargo, para el matemático profesional, la mina está agotada, puesto que no existen más problemas estructurales en ella, susceptibles de repercutir en otras partes de la matemática".

Naturalmente para quienes continúan investigando los fundamentos de la geometría, la geometría sintética de Euclides sigue siendo de valor. Por otra parte, quedan todavía algunos problemas clásicos de geometría que no han sido resueltos. Pero estas investigaciones, en

y otro caso, quedan fuera de la corriente predominante en la matemática contemporá-

que

var granmática de Euclides, y la de los partidarios de la reestructuración total en el estudio del espacio. No existe hasta ahora acuerdo entre ambas posiciones y las experiencias que se están llevando a cabo muestran distintas tendencias. En este artículo vamos a pasar revista a los diferentes criterios sobre la naturaleza misma de la geometría para luego describir algunos de los programas que se están desarrollando.

unoI. Introducción

Las discusiones, propuestas y reformas realizadas acerca de la enseñanza de la geornetría, han alcanzado un nivel en que que ya es posible hacer una útil comparación entre las distintas tendencias. Al hacer esta comparación, no intentaremos presentar en detalle los distintos programas, sino más bien presentar un resumen de los enfoques más significativos e ¡lustrarlos con ejemplos seleccionados.

nea.

III. Lenguaje geométrico e intuiciónLa importancia histórica de la geometría

clásica proviene del hecho de que ella ha sido una de las fuentes de las estructuras algebraicas y de la topología, que actualmente son fundamentales en la matemática. Las razones de la omnipresencia del lenguaje geométrico en la matemática actual se deben, sin embargo, no sólo a la tradición histórica, sino al hecho de que el lenguaje geométrico va unido a la creación conceptual. La terminología geométrica que aparece en álgebra y en análisis muestra hasta qué punto la intuición geométrica penetra en toda la matemática. ¿A qué se debe que la intuición geométrica conserve su vitalidad, aún en dominios que aparentemente no tienen nada que ver con la geometría? Evidentemente, la intuición geométrica- puede sugerir lo importante, accesible e interesante, y puede, a su vez, orientar al matemático y evitar que se pierda en un fárrago de problemas, ¡deas y métodos.

En este sentido, sin embargo, debe quedar bien entendido que la intuición geométrica no puede reducirse a la visión del espacio físico.

II. Geometría euclidiana y matemática contemporánea

Las preguntas: ¿cuál es el lugar de la geometría en la matemática contemporánea?, ¿existe todavía la geometría?, pueden ser contestadas de la siguiente manera: "En el sistema bourbakista, la geometría no existe más. En las revistas de críticas bibliográficas, lo que se incluye bajo el nombre de geometría, comprende menos del 5Ve del total de artículos de investigación registrados. En los programas universitarios de todo el mundo, la palabra geometría es apenas mencionada y los investigadores que podrían llamarse a sí mismos "geómetras", evitan el término por parecer/es fuera de moda". La razón de esta ausencia formal de la geometría clásica en el mundo

Delimitar claramente los senderos que llevan de la intuición concreta de los elementos en el espacio físico a los más altos niveles de la intuición geométrica, a través de dibujos, modelos u otros simbolismos, es un problema del mayor interés pedagógico. Estos senderos existen, y uno de los objetivos de la enseñanza de la geometría debe ser encontrarlos, y a través de ellos prolongar y refinar las primitivas intuiciones espaciales, de manera que lleguen a ser instrumentos efectivos para el pensamiento matemático.

IV. ¿Qué es la geometría euclidiana elemental?

Existen muchas definiciones de geometríaí20

21

cas y topológicas como preparación para el estudio del análisis contemporáneo.

Una cuestión, todavía en debate, es si la geometría debe ser la fuente para introducir los espacios afines y vectoriales, o bien si, al revés, debe ser presentada como una aplicación de los mismos. Actualmente, parece que el primer camino es el más indicado. Sin embargo, siguen existiendo partidarios de la introducción directa de. los espacios vectoriales, a través de las siguientes etapas: (1) Grupos finitos. El grupo infinito (Z, +). (2) Congruencias módulo n. Anillos y cuerpos finitos. Anillos y cuerpos infinitos (Z, + , .) y (Q, + , .). (3) Ejemplos de módulos sobre anillos finitos. Ejemplos de espacios vectoriales sobre cuerpos finitos. (4) Introducción a las aplicaciones lineales. Con estos conocimientos, es posible presentar el concepto de espacio vectorial por sus axiomas y después construir sin dificultades, una bien fundada geometría.

Todavía no hay experiencias suficientes para decidir sobre este último método. De todas maneras lo que resulta evidente es que la geometría actual es, al mismo tiempo, una fuente y un campo de aplicaciones del álgebra lineal. Precisamente uno de los objetivos principales de la enseñanza de la geometría, al nivel secundario, consiste en sacar provecho de estas características y utilizarlas.

C. Iniciación en ios aspectos formales del razonamiento matemático

En otros tiempos, la geometría sintética euclidiana era considerada como el único modelo para introducir y ejercitar en la escuela secundaria la precisión y el razonamiento lógico. Actualmente la geometría ha perdido esta posición de privilegio, e incluso sabemos que la presentación clásica no es la más conveniente para esta misión, a pesar de que subsiste la opinión general de que uno de los objetivos principales de la enseñanza de la geometría es precisamente iniciar a los alumnos en la lógica matemática.

Puesto que la geometría requiere cierta disciplina mental, resulta muy adecuada para hacer entender y ejercitar el método deductivo. Por ejemplo, el alumno comprende, con ejemplos geométricos, la importancia de las definiciones para fijar el conocimiento intuitivo de los objetos, que casi siempre supera a las propiedades establecidas en las definiciones. El alumno empieza a comprender qué es exactamente una demostración en el momento en que debe distinguir conscientemente entre la

astronomía, geografía, tecnología), precisan y aplican directamente muchos conceptos geométricos. En algunos países la ''geometría descriptiva" figura como parte de la enseñanza técnica, pero no es tratada, sin embargo, como "objeto técnico", sino como aplicación directa y pura de teoremas geométricos. Un objetivo importante de la enseñanza de la geometría [es la preparación para ciertas aplicaciones prácti-

Entre la posición que enfatiza este objetivo práctico y la que desea reducir la enseñanza de la geometría a un estricto desarrollo matemático, hay posicisiones intermedias. La solución consiste en no limitar las aplicaciones a las propias del arquitecto o del artesano, sino prestar atención al estudio de problemas derivados de situaciones mecánicas y cinemáticas concretas que pueden ser matematizadas, dando lugar a deducciones locales y a una verdadera actividad matemática.

Es evidente que el espacio físico no puede ni debe ser la única fuente para desarrollar el proceso matemático en el alumno, pero la importancia de eata fuente no puede ser menospreciada. Esto no quiere decir, sin embargo, que no haya quien opine que la geometría nada tiene .que ver con el mundo físico.

B. Iniciación en el estudio de las estructuras fundamentales de la matemática contemporánea y el refinamiento de la intuición geométrica.

Este es un nuevo e importante objetivo de la geometría. Durante los últimos cien años se ha visto de manera evidente que la geometría puede servir tanto para el estudio de las estructuras algebraicas (grupos, por ejemplo) como para el estudio de3la estructura topológica del espacio. En particular, el espacio afín y el espacio vectorial son estructuras importantes cuya interpretación geométrica puede ayudar mucho a aclarar y entender su significado. Queda, como un caso aislado, la tradicional geometría sintética, que conserva su forma a pesar del desarrollo de las estructuras modernas, por lo cual ha quedado fuera de las corrientes actuales de la matemática.

La iniciación en las estructuras algebraicas y topológicas puede actualmente llevarse a cabo dentro de la geometría. La enseñanza de la geometría de acuerdo con esta perspectiva, sirve tanto para refinar la intuición del alumno como para desarrollar en el mismo el hábito del razonamiento formal. Un importante objetivo de la geometría debe ser desarrollar el concepto y la operatoria con las estructuras algebrai-

verdad intuitiva y la obtenida por razonamiento. Si bien el estudio de las estructuras no puede sustituirse por la investigación geométrica, ellas son tal vez demasiado metodológicamente puras para poner en guardia al pensamiento sobre posibles errores. Gracias a la particular conexión entre la intuición y la formación que ofrece la geometría, y no el álgebra, la primera sigue llevando ventaja en cuanto al objetivo de introducirnos en la axiomática y en la deducción.

geométricos; entre ellas podemos citar: álgebra lineal, espacios de Hilbert, topología, teoría de la medida, teoría de grupos, teoría de retícula- dos, geometría diferencial, geometría algebraica. Cada una de estas teorías tienen su aspecto geométrico, pero ninguna es completa en este único aspecto. De aquí que el término "geométrico" debe aplicarse a situaciones y a modelos más bien que a teorías. El uso razonable de estas ideas, situaciones, modelos y teorías, con referencia a la enseñanza de la matemática en general y de la geometría en particular, evita muchas veces confusiones y discusiones estériles.

cas.

Vi: Geometría elemental y proyectos utilizados para su enseñanza

Los objetivos de la enseñanza de la geometría que hemos mencionado son generalmente aceptados a pesar de que existen marcadas diferencias en la apreciación de su importancia relativa y en su interpretación. Sin embargo, la ¡dea de utilizar el método geométrico para i niciar a los alumnos en las estructuras fundamentales, está prácticamente fuera de discusión. Todos los programas reformados coinciden sobre la importancia del estudio de los. espacios afines y vectoriales y la importancia de la geometría en la construcción de estas estructuras.

V. Objetivos de la enseñanza de la geometríaActualmente hay una fuerte tendencia a

integrar la geometría con las estructuras de la matemática elemental basadas en los conjuntos. De aquí que los objetivos generales de la enseñanza de la matemática sean también objetivos de la enseñanza de la geometría. A ese nivel la enseñanza de los objetos que estudia la geometría no difiere, desde el punto de vista de su estructura matemática de la enseñanza de los objetos que estudia el resto de la matemática elemental. Así, la geometría, lo mismo que toda la matemática, estudia conjuntos, transformaciones, grupos, relaciones de orden y de equivalencia, etc. Lá manera de razonar en geometría elemental no difiere, tampoco, desde el punto de vista formal, de la manera de razonar en otros capítulos de la matemática.

Sin embargo, hay ciertas particularidades y factores psicológicos en el tratamiento geométrico de las estructuras matemáticas que conducen a distinguir objetivos especiales de la enseñanza de la geometría. Entre ellos podemos señalar los siguientes:

A. Simple matematización del espacio físico y aplicaciones directas de ello.

La geometría euclidiana elemental se fue desarrollando junto con la organización conceptual del espacio físico. Esta organización local sigue siendo válida para las actividades diarias del hombre. Durante toda su vida, el alumno se encontrará con objetos concretos, relaciones concretas y transformaciones concretas, que pueden ser representadas esquemáticamente como objetos geométricos, relaciones geométricas y transformaciones geométricas. El alumno debe ser capaz de esquematizar geométricamente las situaciones reales.

Muchas otras disciplinas que se estudian en la escuela secundaria en muchos países (física,

Aparte esta coincidencia general, los diferentes proyectos, experiencias, programas y textos presentan posiciones diferentes acerca de los restantes objetivos de la geometría. Vamos a ilustrar estas distintas posiciones, mencionando algunos ejemplos típicos de programas y métodos de enseñanza de la geometría en la escuela secundaria, es decir, para alumnos de 12 a 18 años de edad. Esto no quiere decir que la enseñanza de la geometría en la escuela elemental no tenga interés. Por lo contrario, es muy probable que al intensificarse la reforma en la enseñanza primaria, la enseñanza secundaria deberá sufrir nuevos cambios difíciles de predecir.

i

A. Problemas del tratamiento axiomático

Desde el punto de vista metodológico y pedagógico, pueden mencionarse por lo menos tres posiciones básicas referentes al tratamiento axiomático de la geometría a nivel secundario:

(1) Eliminación a priori de toda construcción axiomática cualquiera sea el nivel de enseñanza (siempre dentro de la escuela secundaria).

(2) Construcción axiomática desde el principio (alumnos de 12 años).

i22 23

experiencia en axiomática. Si el alumno ha aprendido a axioma tizar algún sistema simple, al enfrentarse con un sistema complicado contrará ciertas analogías que le permitirán descifrarlo y comprenderlo como si él mismo Io hubiera construido. Pero si el alumno ensayó axiomatizar por su cuenta, todo sistema axiomático de la geometría le parecerá un conjunto de enunciados Imposible de digerir'".

La tercera posición, en la cual la enseñanza de la geometría se divide en dos ciclos, el primero de carácter intuitivo, con varios sistemas locales organizados de manera semiformal, y el segundo de carácter axiomático global (a la edad de 15 años), refleja la tendencia a armonizar las dos posiciones extremas anteriores, evitando algunos de los inconvenientes señalados. Las tres posiciones se están ensayando en varias escuelas de distintos países, haciendo investigaciones pedagógicas y evaluaciones que reflejarán las dificultades, los éxitos o fracasos, y las reacciones de los alumnos.

8. Prioridad de la estructura afínLa enseñanza de la geometría a través de

sistemas locales utiliza estructuras diferentes que se van introduciendo paralelamente en varias etapas. En la tercera posición señalada en el párrafo precedente, el siguiente punto de vista es el sustentado en todos los programas desarrollados de acuerdo con ella. En el primer ciclo de la enseñanza secundaria es preferible enseñar la geometría por distintos caminos, pero siempre procurando que conduzcan de manera progresiva a la noción de espacio vectorial definido axiomáticamente, con lo que empezará el ciclo superior. Los argumentos en favor del tratamiento a través del espacio afín, pueden resumirse así:

(1) La geometría afín forma un conjunto autónomo dentro de la geometría euclidiana, pero esta autonomía es difícil de percibir cuando se llega a la geometría afín a partir del conocimiento previo de la geometría euclidiana. El concepto de grupo de invariancia de una propiedad geométrica es muy importante, especialmente desde el punto de vista pedagógico, puesto que permite seleccionar el método de demostración que más se adapta al carácter de la cuestión (afín, métrico o pro- yectivo).

(2) Como modelo matemático, la geometría afín es útil a la física, dentro de la cual hay capítulos, como la termodinámica, en los que el espacio afín es el instrumento básico. A muchos problemas de la física en que intervienen matrices, es conveniente considerarlos

edad si se lleva a cabo con métodos pedagógicos convenientes. En particular, conviene no introducir los axiomas de golpe y de manera arbitraria, sino dejar que los alumnos partid-

elaboración, naturalmente bajo la

dentro del marco de la geometría afín.(3) Desde el punto de vista pedagógico, la

geometría afín puede introducirse más simplemente que la geometría métrica. Puesto que las reglas del juego son menos numerosas en geometría afín que en geometría métrica, es más fácil permanecer dentro de sus límites sin hacer, inconscientemente, deducciones basadas en la intuición física.

(4) La geometría afín proporciona la más lúcida construcción de la ¡dea de espacio vectorial y el más eficiente tratamiento de los números reales. Por este método resulta claramente distinguible, de modo pedagógicamente profundo, el espacio métrico y euclidiano.

Estos argumentos son difíciles de refutar* la experiencia en varios países tiende a confirmar las ventajas de este tratamiento de la geometría. Sin embargo, quienes se oponen al tratamiento afín de la geometría en el primer ciclo de la enseñanza secuendaria, presentan los siguientes argumentos:

(1) La geometría afín que puede enseñarse en los primeros años de la escuela secundaria, es conceptual mente demasiado pobre para desarrollar la imaginación e intuición geométrica del alumno. Al respecto se plantea la siguiente pregunta: A las edades del primer ciclo secundario (12 a 15 años) ¿es más importante la simplicidad conceptual y el acceso al razonamiento formal o el enriquecimiento del mundo de las figuras y de las transformaciones que aparecen en la actividad geométrica de todos los días?

La noción de distancia es muy familiar de 12 a 15 años. En la geometría afín, sin embargo, en el momento de presentar los conceptos de transformación y sus variantes, el alumno queda limitado a transformaciones que conservan la colinealidad y que conservan —usando una expresión extramatemática— la forma visual de las figuras. Desde el punto de vista psicológico, se sabe que la condición esencial para entender bien la estructura, es adquirirla a base de ejemplos y contra-ejemplos. El carácter afín de las traslaciones, dilataciones y homotecias debe confrontarse con el de las transformaciones que no conservan la colinealidad, lo cual no es fácil a esa edad.

(2) En el tratamiento afín deben eliminarse muchos problemas geométricos (como los que incluyen la medida) que son interesantes y particularmente adaptados a la edad de los alumnos del primer ciclo de enseñanza secundaria. Al llegar ai ciclo superior, en que la geometría debe establecerse sobre la base de la geometría afín, puede ocurrir que los alumnos hayan per-

(3) Construcción en dos etapas: (a) Organización de experiencias y educación de la intuición geométrica en el primer ciclo de la escuela secundaria (alumnos de 12 a 15 años de edad), con breves sistemas axiomáticos y deducciones locales, (b) Construcción axiomática de los conceptos adquiridos en el primer ciclo, profundizando y completando estos conceptos (desde los 15 años en adelante).

La primera posición se justifica sobre todo por razones pedagógicas. La organización local de los conocimientos geométricos sin necesidad de una construcción axiomática a priori u otros requerimientos formales, puede favorecer el rápido desarrollo de muchas actividades y situaciones geométricas. Se pueden introducir muchos y variados conceptos que ayudan al estudio de la geometría, tanto del plano como del espacio. Se crean situaciones favorables a la matematización y el desarrollo del razonamiento deductivo en cuestiones mucho más relacionadas con la vida diaria que las que puedan aparecer al operar con sistemas formales, en apariencia arbitrarios.

La segunda posición: introducir la axiomática desde el principio, es defendida por algunos matemáticos con argumentos diversos. El primero es que la axiomática sirve no solamente para la matemática misma, sino también para las aplicaciones. Una estructura axiomática no es solamente una organización a poste- riori de una teoría ya desarrollada, sino que a su vez constituye uno de los métodos más importantes de la actividad matemática, puesto que define y estudia nuevos modelos matemáticos. Por tanto, la iniciación de los alumnos en el método axiomático no debe eliminarse en ninguna etapa de la enseñanza de la matemática. Al contrario, debe presentarse lo antes posible y de manera correcta.

En segundo lugar, se sostiene que la claridad de una situación metodológica en un sistema deductivo es favorable al aprendizaje del razonamiento y al desarrollo de la precisión en la manera de pensar, al mismo tiempo que evita que el pensamiento se pierda en el inmenso desierto de probabilidades y caminos abiertos. Además, el método axiomático ayuda, más que ningún otro, a distinguir claramente una situación física concreta de un modelo y el modelo de la teoría matemática, evitando la posibilidad de equivocación o de peligrosa confusión.

En tercer lugar, el tratamiento axiomático, según han demostrado experiencias recientes, es accesible a alumnos de 12 o 13 años de

en-

pen en su discreta guía del profesor.

Finalmente, como razón pedagógica de hecho, hay que tener en cuenta que la presentación de la geometría a partir de un sistema axiomático formal es más fácil para el profesor medio. Resulta más fácil evitar errores matemáticos y pedagógicos que con la enseñanza basada en la intuición geométrica del alumno. El método axiomático usado desde

principio tiene la ventaja de la continuidad, evitando posteriores cambios de puntos de vista y el aprendizaje de tópicos fragmentados, sin una única estructura subyacente.

Naturalmente que estas razones no están libres de crítica, e incluso matemáticos que

partidarios del método axiomático, al lle- cierto nivel de la enseñanza objetan su

nunca

un

songar ainiciación demasiado prematura. Quizás quien ha expresado mejor este punto de vista haya sido H. Freudenthal, al comparar el sistema axiomático global de la geometría con la axiomática de los vectores. Dice:

"Mi objeción a un sistema axiomático global de la geometría no es tanto por su complejidad como por ¡a manera como se lo presenta a los alumnos. En general-se les enseña a usar el sistema para hacer deducciones mecánicamente, lo que es una actividad que el autor honestamente rechaza por considerar que no tiene ningún valor. El valor esencial de un sistema axiomático es para el propio autor, al organizar primero todo el material geométrico que se trata de ax¡omatizar, desprenderse luego de las conexiones entre el sistema axiomático y dicho material geométrico, para volver finalmente a estas conexiones a/ seguir desarrollando el sistema. Si el alumno no realiza todas estas actividades, el aprendizaje de un sistema axiomático carece de sentido. Sin embargo, es poco frecuente que se instruya a los alumnos desde este punto de vista, sea porque el profesor considere que la axiomatización debe reservarse para matemáticos ya formados, sea porque, recordando su propia experiencia, lo juzgue demasiado difícil. En efecto, el alumno que no haya tratado de organizar algunos materiales que aparecen a nivel local, no puede saber como actuar a un nivel global.

Los sistemas axiomáticos prefabricados tienen sus ventajas. Constituyen un tema de estudio aceptable para quienes ya poseen cierta.

24 25

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determinadas convenciones: el color grupo en algunas de ellas, pero sin mencionar explícitamente la ¡dea de grupo.

El contenido de la enseñanza es extenso y variado: las transformaciones y su álgebra, desde la simetría axial hasta el grupo de las afinidades; los sistemas de coordenadas en el plano y en el espacio; los vectores, con su cálculo geométrico y algebraico; la medida de Jordán en el plano y en el espacio; las funciones trigonométricas; algunas proyecciones, etc.

Otra concepción original de la manera de presentar la geometría elemental (niños entre 12 y 14 años) en conexión directa con la experiencia física y con los fenómenos del espacio ambiente, se debe a Emma Castelnuovo, en Italia. El método es interesante y se ha experimentado en el primer ciclo de la enseñanza secundaria. Se vincula con las transformaciones afines, haciendo hincapié en la noción de baricentro y llegando, mediante el uso de instrumentos concretos a, problemas simples de programación lineal.

do concumple un papel importante como factor simbólico y también para dar valor estético a muchas configuraciones afines que de otro modo aparecerían monótonas y menos interesantes, (b) El uso de diferentes esquemas para representar objetos o relaciones, así como para esquematizar razonamientos, (c) El uso de convencio-

gráficas (diagramas de Venn, grafos y dibujos tradicionales) que recuerdan la interpretación física intuitiva de ciertas situaciones al mismo tiempo que conserva su forma abstracta, * facilitando de esta manera la conservación de estos dos aspectos de la geometría durante los

dido el interés por este tipo de problemas, de manera que toda la parte de la geometría vinculada con el concepto de medida no encuentra lugar en la segunda enseñanza.

(3) No es seguro que el alumno medio de 12 a 15 años esté en condiciones de comprender las razones por las que la geometría debe edificarse sobre la base afín. Aún si el alumno se acostumbra posteriormente a los razonamientos a partir de las definiciones puramente afines, puede muy bien ocurrir que al pasar a la geometría métrica no sea capaz de entender claramente la* distinción entre propiedades de ambas geometrías. Cuando el alumno aplica los teoremas de su geometría a la física o al análisis, lo más probable es que lo haga sin pensar en los axiomas básicos de la misma, lo cual, por otra parte, tampoco es necesario en la mayoría de los casos.

(4) La rtoción de distancia es parte de los conocimientos comunes a los niños de 12 a 15 años de edad, por lo cual tratan de usarla espontáneamente. Esto hace que el retraso en la introducción de la geometría métrica sea considerado por muchos profesores como opuesto a la tendencia natural del alumno para el cual el concepto de distancia precede en mucho al de razón ximple.

Vemos, pues, que los argumentos en favor y en contra tienen todos sus fundamentos y los partidarios de una y otra tendencia tienen donde apoyarse. Sin embargo, un balance imparcial, parece indicar que actualmente predomina la tendencia de ir dando a la geometría, en la escuela secundaria, un aspecto afín desde sus comienzos.

En el panorama del S.S.M.C.I.S., la enseñanza' de la geometría empieza con reticulados de puntos. Se supone que las figuras elementales, círculos, cuadrados, triángulos, y las nociones intuitivas de paralelismo y perpendicularidad son conocidas desde la escuela elemental. Se representan figuras en el plano y se tratan sus transformaciones, empezando con una ejercita- ción activa a base de doblar papel, mediciones, construcciones geométricas, uso de espejos,... Merecen especial consideración las isometrías (transformaciones que conservan las distancias).

Con esta base, se pasa al estudio de algunos elementos de lógica y a una introducción a la geometría sintética axiomática. Esta intoduc- ción consiste en una geometría afín del plano con sólo tres axiomas y algunas defininiciones, con lo cual se pueden probar hasta 16 teoremas, mencionando también algunos modelos no geométricos de los axiomas estudiados. Los autores del proyecto consideran que con esto los alumnos pueden darse cuenta de que todo sistema deductivo debe partir de algunos conceptos primitivos y axiomas y que, además, un mismo sistema puede ser interpretado de distintas maneras. Por otra parte, procediendo de esta manera, resulta que se puede enseñar a los alumnos un sistema geométrico completo en menos de un año, que es el tiempo usual dedicado a la geometría euclidiana en la mayoría de las escuelas secundarias de los Estados Unidos de Norteamérica.

A partir de estos fundamentos, la geometría del S.S.M.C.I.S. se desarrolla teniendo en cuenta que ''geometría" quiere decir estudio del espacio y que, en la escuela secundaria, los espacios vectoriales son los más importantes. De acuerdo con ello en los cursos sucesivos se usan indistintamente los métodos de la geometría sintética, de la geometría con coordenadas o de la geometría vectorial, según convenga para el fin específico considerado. En muchos casos se muestran caminos diversos para estudiar el mismo problema. Por ejemplo, una vez definido el espacio vectorial, como resultado de la experiencia de los alumnos con polimonios, matrices, números complejos y aritmética con pares o ternas de números, se estudian los conceptos y figuras más importantes del plano y del espacio utilizando distintas técnicas. El resultado es que, para los alumnos, la geometría es mucho más que la tradicional geometría sintética de Euclides.

El proyecto S.S.M.C.I.S.|completa el estudio de la geometría con el de las aplicaciones lineales. Los alumnos estudian las aplicaciones linea-

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nes

razonamientos.

Vil. Diferentes conceptos acerca de la enseñanza de la geometría

A. Organización localEl método de organización local es seguido

en muchas escuelas inglesas en las que se enseña geometría según programas reformados, por ejemplo, en las que componen el "School Mathe- matics Profect" o el "Midlands Mathemati- cal Experiment" o el "School Educado nal Group", entre muchas otras. La geometría es introducida por caminos diversos: transformaciones y sus invariantes, cálculo vectorial, elementos de geometría analítica, elementos de topología plana, estudio del espacio tridimensional, etc. Todos estos tópicos se enseñan relacionados con ejemplos prácticos (por ejemplo, en el iVlid/ands Mathemadcal Experiment, el cálculo vectorial se desarrolla en conexión con ■ problemas de navegación), sin pensar en ningún momento en una posterior síntesis axiomática.

Otros ejemplos de geometría basada sobre deducciones locales son las experiencias realizadas en Holanda en diez escuelas del primer ciclo de enseñanza secundaria. El programa de estos cursos es el siguiente:

El curso empieza con un estudio, casi totalmente intuitivo, de figura y transformaciones, con algunas deducciones. Poco a poco se va completando la estructura definitiva, pero* sin llegar nunca a una organización global de la geometría, limitándose únicamente a establecer sistemas locales. Las proposiciones no evidentes se hacen depender y se deducen de manera razonada a partir de otras proposiciones que se consideran evidentes, pero sin formular estas últimas como axiomas. Se trata de que los alumnos reconozcan propiedades de las figuras geométricas y de sus transformaciones hasta llegar a poner de manifiesto la estructura de

B. Organización local de la geometría en el ciclo inferior para un tratamiento axiomático del álgebra y de la geometría en el ciclo superior de la enseñanza secundaria.

Un ejemplo típico de la ¡dea de organizar la enseñanza de la geometría de esa manera y sin una estructura única en el ciclo inferior (12 a 14 años), pero con una consciente orientación hacia un estudio axiomático que tendrá lugar en el ciclo superior (14a 18) es el proyecto S.S.M. C.I.S. (Matemática Moderna Unificada: "School Mathematics Curriculum Improvement Study", Teachers College, New York), llevado a cabo en los Estados Unidos. Las ¡deas básicas del proyecto son las siguientes:

La geometría debe ser concebida como el estudio de los espacios. Toda la geometría es un par (conjunto, estructura) ¡ en el cual los elementos del conjunto se llaman puntos y la estructura es un conjunto de axiomas, incluyendo las definiciones necesarias, que establecen relaciones entre los puntos y ciertos subconjuntos del conjunto dado. Según este concepto, la geometría se parece mucho al álgebra y a sus estructuras, y por esta razón su enseñanza debe conducirse de manera que muestre y permita ejercitar las estructuras algebraicas y sus técnicas. Este el el espíritu moderno, según el cual es muy importante desarrollar i a geometría de manera que su estudio contribuya a entender las ideas fundamentales del álgebra lineal y de los espacios lineales.

C. Presentación gráfica de las situaciones geométricas

El modelo del espacio ambiente y los dibujos correspondientes, han desempeñado siempre un papel importante en la enseñanza de la geometría. Los modelos concretos de cada situación •geométrica han sido muy utilizados por todos los profesores que no desean separar demasiado los conceptos abstractos de la visión del espacio. Pero aparte de estos medios, la enseñanza moderna de la matemática dispone de técnicas nuevas para las representaciones gráficas de conjuntos y de fas relaciones geométricas. Estas representaciones son usadas actualmente en casi todos los países, tanto en los libros de texto como en la labor diaria de profesores y alumnos en el aula. Los elementos a que nos referimos son, entre otros: (a) El uso de colores de acuer-

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]

métrica se basa en ciertos axiomar referentes a la perpendicularidad y simetría axial que cambian ligeramente según los autores y programas. Los cursos de geometría en el ciclo inferior culminan, según Papy, con la presentación de ia estructura del plano vectorial euclidiano y su uso sistemático.

El tratamiento afín de la geometría que acabamos de considerar es esencialemente el inverso del tratamiento clásico. En el tratamiento afín, los alumnos van adquiriendo cada vez más la ¡dea de que para "hacer geometría" basta recordar los axiomas y definiciones referentes a los números reales y los referentes a la estructura de plano vectorial afín. La geometría estudiada antes de este enfoque puede ser considerada como pre-geometría y su objetivo es desarrollar la intuición y suministrar motivaciones para un mejor estudio del álgebra lineal y los espacios vectoriales. Ello es especialmente útil para el estudio de las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales, funciones estructurales y fórmulas entre ellas, números complejos, el grupo aditivo de los ángulos, etc. El estudio de la geometría en la escuela secundaria termina con el estudio de los espacios vectoriales de dimensión finita, partiendo del espacio vectorial de tres dimensiones {alumnos de 16 a 18 años). Con ello, el modelo pedagógico belga intenta armonizar sus ¡deas con las de G. Choquet en su libro "Enseñanza de la Geometría" y con las de J. Dieudonné en su "Algebra lineal y Geometría elemental".

En los nuevos programas franceses, el estudio de la geometría empieza con dos años preparatorios (11 a 13 años de edad), en los cuales se hace un estudio intuitivo del plano y del espacio así como de sus vinculaciones con el cuerpo de los números reales. La diferencia esencial entre los programas belga y francés consiste en que el primero no construye los números reales a partir de la geometría, sino que al contrario, la estructura axiomática de la geometría afín define, ab initio, la recta real. De esta manera se tienen de entrada las coordenadas de la recta y del plano, lo que facilita la construcción de las respectivas geometrías.»En la geometría afín así construida, el álgebra lineal de los vectores y de las traslaciones se puede desarrollar en su significado geométrico. El pasaje al espacio métrico se hace mediante axiomas que definen una particular relación in- .volutoria; (ortogonal¡dad) entre los conjuntos de direcciones y una función de distancia vinculada con esta relación. Se consigue así un trata-

(Sigue en pág. 37)

les entre espacios vectoriales con el objeto de comprender mejor estos espacios, en general, y el espacio euclidiano en particular. La ¡dea de aplicación lineal vuelve a aparecer en varios cursos posteriores de análisis (diferencial, integral, como operador, etc.), probabilidades y geometría.

C. Organización axiomática de la geometría en el ciclo inferior de la enseñanza secundaria.

Un ejemplo de organización axiómatica de la geometría desde el comienzo de la escuela secundaria, ha sido elaborado por el belga Geor- ges Papy en varios textos y publicaciones. El mismo esquema fundamental, con algunas modificaciones, ha sido presentado también por W. Serváis en varias de su publicaciones. A pesar de que presentan algunas diferencias, las dos metodologías pueden caracterizarse por una base común que comprende los siguientes aspectos: (a) El niño de 12 años posee ya un lenguaje geométrico y un conocimiento implícito de muchas ideas geométricas que ha adquirido en la escuela primaria, posiblemente a la manera tradicional, que debe ser el punto de partida de una mate- matización consciente de las intuiciones geométricas al iniciar la escuela secundaria, (b) La geometría afín debe tener prioridad como base para construir la geometría métrica, (c) La geometría plana afín es apropiada para el primer año de la escuela secundaría (12 a 13 años), tratada después que los alumnos conocen los elementos de conjuntos y relaciones, (d) Las nociones sobre conjuntos, axiomática y el método de las ciencias experimentales, son usados simultáneamente, con pequeñas diferencias metodológicas. Por ejemplo, un autor usa modelos finitos del plano para que los alumnos tomen mejor conciencia del método axiomático, mientras que otro rechaza, en principio, cualquier modelo no natural, (e) Los axiomas de la geometría afín se van introduciendo progresivamente dentro del esquema mancionado; las traslaciones y homotecias se defienden simultáneamente de manera geométrica, comenzando con la graduación de la línea recta; se entra después, sucesivamente, en el estudio del cuerpo de los números reales, el espacio lineal de los vectores (traslaciones) y el plano vectorial real, y el espacio lineal de los vectores con un punto fijo.

La geometría métrica (distancia, producto escalar) se introduce en el tercer año de la escuela secundaria. El grupo de las isometríasy sus subgrupos se construye por extensión de la geometría afín ya desarrollada en los años anteriores. La transición de la geometría afín a la

El lenguaje y el

pensamiento matemáticoGuy KIRSCH

(Bélgica)

Es bastante difícil proponerse estudiar el papel del lenguaje y del pensamiento en cualquier dominio sin detenerse un instante en el problema de la dependencia entre el pensamiento y el lenguaje: ¿cómo se presentaría un pensamiento que no dispusiera de un lenguaje para expresarlo? No sólo sería necesariamente incomunicable, sino que también podríamos comunicarnos cómo se reconocería ese mismo pensamiento en ausencia de todo signo que se pudiera asociar al pensamiento fugitivo, pero, por otra parte, no podría evidentemente existir un lenguaje que fuera anterior a todo pensamiento, y el lenguaje no ha podido crearse más que en función de una actividad del pensamiento. Hay allí, pues, un campo de interacciones enmarañadas y sucesivas sobre el cual discutió cierto número de filósofos. Por mi parte, estaré dispuesto a buscar la solución en el camino mostrado por Wittgenstein con su teoría de los juegos de lenguaje prolongándola, sin embargo, para tener en cuenta las calificaciones de los compañeros del juego afín de no disociar el lenguaje de su función esencial que es el transporte de información; pero no tendremos que analizar aquí esos problemas pues nuestro propósito concierne al lenguaje matemático; ahora bien, la matematización es un proceso mental a la vez abstracto y general, que va más allá de lo que permite alcanzar el simple buen sentido y, por consiguiente, presupone la existencia de un lenguaje ya elabora-

No nos parece necesario precisar aquí qué entendemos por Pensamiento matemático, pues hay un consenso bastante amplio al respecto. Sin duda, todos los matemáticos no estarán siempre de acuerdp sobre el valor de dicho pensamiento y no ubicarán en el mismo lugar la línea de división entre matemáticas vacías y matemáticas significativas, pero no

nos detendremos en esa distinción pues la historia de la matemática muestra que ella es desplazada a veces de manera inesperada, y no tenemos la intención de arriesgarnos a profecías. Análogamente, sí ciertas investigaciones son consideradas por algunos matemáticos como dependientes de las matemáticas mientras que otros las atribuyen más bien a otras disciplinas (como la lógica, por ejemplo), eso carece de importancia para nuestro propósito, pues las mismas observaciones se aplicarán igualmente bien en esos diversos dominios.

La noción de lenguaje matemático se nos presenta bajo diversos aspectos que será preciso examinar con cierta atención pues si algunas de esas acepciones son fácilmente reconocibles, otras, por lo contrario, no revelarán su importancia hasta después de una reflexión más profunda.

En ciertos casos, en efecto, el empleo de un lenguaje particular y propio de las matemáticas (o más bien de ciertas partes de ellas) aparece de inmediato, especialmente si ese lenguaje usa nociones o símbolos que no pertenecen al lenguaje corriente. Basta citar la escritura algebraica, en general, o comparar, por ejemplo, una demostración geométrica con la misma demostración utilizando las notaciones y las fórmulas de la trigonometría.

Se puede hablar de lenguaje matemático cuando se emplean términos en sentido preciso para designar nociones matemáticas. Muy corrientemente, esos términos son tomados del lenguaje corriente y reciben un sentido técnico más o menos emparentado con el que tienen en dicho lenguaje corriente; los ejemplos son numerosos; recordaré simplemente los términos límite o grupo cuyo sentido técnico es bien conocido. Sólo en el curso de las últimas décadas, los matemáticos, quizás inspirados por el (mal) ejemplo.de los biólogos, se pusie-

do.

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resolución de ecuaciones) y un álgebra simbólica, es decir, la ciencia de las combinaciones de las operaciones cuya naturaleza lo mismo que la de los entes sobre los cuales operan no están precisadas. Un ejemplo de esto ya había sido dado por Peacock con la fórmula del binomio que, en su origen, se refería a exponentes enteros y que se convierte en una herramienta poderosa (especialmente en manos de Newton) cuando se la aplica a exponentes cualesquiera. Esto ilustra el principio de permanencia, que fue formulado por algebristas ingleses y que, por otra parte, ya había sido inconsciente empleado mucho antes cuando se aplicó a números cualesquiera, por una extención de las notaciones habituales, las fórmulas habituales en el caso de los números naturales.

Los problemas planteados por el estudio de las series ilustran también el papel que puede desempeñar una notación en el estudio de las nociones nuevas y dan al mismo tiempo una aplicación notable del principio de permanencia. Se sabe bien, en verdad, que las series infinitas constituyeron, cuando se las comenzó a emplear, un lenguaje matemático fecundo que estaba adelantado sobre el pensamiento correspondiente, puesto que el estudio de la convergencia sólo se impone progresivamente. Por otra parte, la consideración de las series de variable complejas, de las cuales Euler hizo un uso tan brillante como aplicación del principio de permanencia, no podía ser antes del siglo XIX más que un lenguaje incompletamente apuntalado por un pensamiento matemático, puesto que los mismos números complejos habían estado rodeados de misterio hasta la época de Cauchy. Retomando los términos que Gastón Bachelard aplicó a la teoría de la relatividad, seguramente se tiene el derecho de hablar de un poder inductivo de la matemática, y en particular del lenguaje matemáti-

La historia de las matemáticas ejemplos de situaciones bastante diversas, disponiendo el pensamiento matemático, disponiendo, de un lenguaje adecuado, o incluso habiéndose desarrollado el lenguaje sin apoyarse sobre el pensamiento apropiado. No detendremos mucho sobre el caso en que el pensamiento se apoya sobre el lenguaje matemático correspondiente por ser la situación que se podría calificar de normal; en todo caso es la que se expresa muy a menudo por medio de publicaciones. Decir que ese estado de cosas es normal no significa necesariamente que es el que se presenta más a menudo, pues los otros casos tienen muchas más posibilidades de quedar ignorados lo que no permite estimar su frecuencia relativa. Si Liouville pudo salvar el olvido, quince años después de la muerte del autor, los trabajos de Evaristo Ga- lois que habían sido extraviados o rehusados por los eruditos a quienes los habían sometido, no es posible negar a priori que otras mentes geniales cuyo lenguaje era poco accesible a sus contemporáneos no han podido encontrar su Liouville. (Otro ejemplo, menos sorprendente sin embargo, lo proporciona la teoría cinética de los gases, donde Maxwell y Boltzman tuvieron como precursores a Herapath y Wa- terston que chocaron con la incomprensión, y a veces la hostilidad, de aquellos que pidieron hacer conocer la importancia de sus trabajos).

Sólo mencionaré al pasar el caso de los matemáticos que decidieron presentar sus trabajos en un lenguaje que no convenía a la disciplina considerada, esta situación aparece, por ejemplo, en Galileo e incluso en Newton que se esforzaban por imitar la forma adoptada por Euclides en sus Elementos, que no es evidentemente la más satisfactoria para expresar resultados de la mecánica.

Tendremos ocasión de ver más adelante casos en los que un pensamiento matemático se encuentra bloqueado por no encontrar un lenguaje conveniente, y otros en los que un lenguaje matemático no está apuntalado por un pensamiento suficientemente profundo,^ pero quisiera, primeramente, describir con algún detalle un ejemplo de las situaciones aparentemente paralógicas donde no encontramos pensamiento ni lenguaje matemáticos. Evidentemente, la paradoja sólo es evidente, porque los matemáticos de épocas posteriores descubrirán la ausencia de pensamiento y de lenguaje comprobando que algunos matemáticos, y no de los menores, se han visto confrontados, sin ninguna reacción aparente, con situaciones

matemáticas cuya gran importancia fue reconocida por sus sucesores. Un ejemplo instructivo nos lo proporciona Euler que (con motivo de investigaciones sobre procedimientos de aproximación de integrales definidas) menciona las funciones que sufren una variación infinitamente pequeña cuando es infinitamente pequeño el crecimiento de la variable. Reconocemos allí nuestra definición actual de funciones continuas. Euler no las denomina así, primeramente porque en su época una función continua es simplemente una función descrita por una misma función analítica en todo el dominio de su definición, es decir, en suma, una función que se deja continuar en ese dominio (Verdaderamente, es Cauchy quien llegará a la nueva acepción de la continuidad). Pero Euler no sólo no estudia las propiedades de esas funciones que considera, sino que no le da ningún nombre a la misma propiedad. Esto no es del todo excepcional en su época en que ningún lenguaje se ha creado para describir propiedades. La matemática del siglo XVIII tenía en efecto los caracteres de una

presentaron a formar términos que, sin duda, permiten economizar algunos adjetivos pero vuelven más difícil el acceso a las teorías y plantean problemas a los traductores que no siempre se sortean de manera satisfactoria.

o no

nosPor otra parte, ramas diferentes de las ma

temáticas hacen uso de lenguajes más o menos diferentes, caracterizadas notoriamente por el empleo de vocabularios propios; esto resulta evidente cuando se expresan los resultados de una de esas disciplinas mediante una terminología tomada de otra parte de las matemáticas. Así, sabemos, por ejemplo, que el análisis o el análisis funcional usan voluntariamente un lenguaje geométrico o topológico. En el mismo orden de ¡deas, la física cuántica se vale del lenguaje de los espacios de Hilbert.

Finalmente, se puede también distinguir en el seno de las matemáticas diversos estilos que exigen una forma de lenguaje apropiada. Los ejemplos más sorprendentes están proporcionados, sin duda, por las imitaciones del estilo de Euclides usadas en el decurso de los siglos por cierto número de matemáticos que se esforzaron por presentar resultados a partir de axiomas o de postulados seguidos por un encadenamiento de teoremas; esa forma de expresión está ¡lustrada, entre otras, tanto por la teoría de la palanca de Arquímedes como por los Principia de Newton. También éste es el estilo matemático que se desea emplear en diversos dominios que se pueden reunir con la bien conocida expresión more geométrico, usada notoriamente por Spinoza para describir el estilo del que entendía hacer uso para expresar puntos de vista filosóficos.

Tendremos ocasión de ver, mediante cierto número de ejemplos que nos aporta la historia de la matemática, como la presencia o la ausencia de un lenguaje pudo favorecer o entorpecer el progreso del pensamiento matemático.

Una primera observación no deja de imponérsenos: ocurre, en matemática, que el lenguaje suscita el pensamiento. En particular, el uso de una notación incita a plantear ciertos problemas, y la situación hace nacer una reflexión más profunda que puede originar métodos o teorías nuevas. La fórmula de Leibniz para el desarrollo de un producto aparece así como una consecuencia bastante natural de la notación diferencial. La escuela inglesa de álgebra a comienzos del siglo XIX toma como punto de partida el álgebra aritmetizada, decir, el cálculo algebraico aplicado a los números (como se presenta, por ejemplo, en la

ciencia natural,1 en tanto que su colega naturalista describía y registraba plantas y animales, el matemático trataba de manera análoga a losnúmeros, las funciones, las figuras que encontraba en sus investigaciones. Las propiedades se introducían de manera natural sin que el matemático sintiera la necesidad de definirlas con precisión o de dar un nombre a las propiedades que todavía no había podido considerar. Sólo hacia fines del siglo XVII y los principios del siglo XIX comenzó el interés por las propiedades y sobre todo por las relaciones entre las propiedades, esto es, entre las clases de entes matemáticos. Los primeros ejemplos se presentaron, pues, bastante naturalmente, y ellos son, sin duda, los criterios de convergencia de las series que los suscitado. Pero los matemáticos no tardaron en plantearse cuestiones de manera más sistemática y en constituir entes matemáticos que no se vuel-

a encontrar nunca, a la manera de los objetos de las ciencias naturales. Un ejemplo típico es el proporcionado por las funciones continuas no diferenciales construidas por Bol-

(trabajos que no encontraron ningún

co.

Podemos también señalar que el lenguaje, es decir, la existencia de una notación apropiada, puede orientar o desviar el pensamiento matemático. Henri Lebergue ha hecho observar que la función de conjunto es más primitiva que la de función de punto, pero, sin bargo, es ésta la que se impuso primero; seguramente es necesario ver en ello la consecuencia de las facilidades que aportaba para su expresión el uso del simbolismo del álgebra que conduce en forma del todo natural a la consideración de funciones donde la variable número o una coordenada.

ven

zanoeco) y por Weierstrass. Se trataba de saber si la continuidad implica necesariamente la deri- vabilidad, y esta investigación de relaciones entre propiedades caracteriza los nuevos desarrollos que caracterizarían los desarrollos del siglo XIX para desembocar, en los años finiseculares

la concepción hipotético-deductiva de esa

em-

eses un en

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ssio formarum, que podemos traducir aproximadamente como aumento y disminución de la intensidad de las cualidades. Oresme pone una interpretación geométrica, que vuelve a representar la extensión en abscisa y la intensidad de la cualidad considerada sobre perpendiculares elevadas en cada punto. Esta representación gráfica de la variación de las funciones, ha permitido ver en Oresme un precursor de la Geometría Analítica de Descartes (Uno de los casos tratados por Oresme es el del movimiento; el tiempo es colocado como abscisa y la intensidad de la velocidad como ordenada. En el caso de movimiento uniforme, Oresme mide el espacio recorrido por el área de la figura ubicada bajo la recta que representa el movimiento en el diagrama, lo que ha llevado a algunos a ver allí también la primera forma del teorema fundamental del cálculo Infinitesimal que vincula la cuadratura y la derivación).

Quisiera dedicar un párrafo a la geometría analítica de Descartes que se presenta efectivamente como un lenguaje matemático destinado a describir entes geométricos. El uso inverso, es decir, la representación geométrica de las variaciones de las funciones, aparece más bien como un corolario. No es, sin embargo, la única relación entre la geometría analítica y nuestro tema del lenguaje matemático. Descartes, se lo sabe, ha empleado su método de las cordenadas para proponer una clasificación de las curvas de acuerdo con el grado de su ecuación. Es claro que en este caso su método le proporciona un lenguaje y que ese nuevo lenguaje plantea en forma del todo natural problemas (naturalmente vinvulados con la forma de ecuación) que no podían plantearse antes de la llegada del lenguaje y que desembocan en resultados que superan el marco de aquél (como, por ejemplo, el número de puntos de intersección de dos curvas, que concierne evidentemente a las curvas mismas y no a su descripción en el lenguaje nuevo aportado por Descartes). Por otra parte, es divertido especular sobre lo que habría podido ocurrir si Descartes, en lugar de imaginar representar las curvas mediante ecuaciones en coordenadas que denominamos cartesianas, hubiera hecho uso de cordenadas polares. Con éstas, igualmente como con las cordenadas cartesianas, una relación entre las coordenadas define una figura, que es el conjunto de puntos en que las coordenadas verifican la relación; esas coordenadas polares permiten, pues, en principio, reemplazar, como lo quería Descartes, el estu-

miento entre la geometría, por una parte, el álgebra y la aritmética, por la otra). Kline ve allí uno de los grandes problemas de la historia de las matemáticas. Dado que esas diferencias de estilo se manifiestan entre los mismos matemáticos de primera magnitud, y que Ar- químedes no trata a la aritmética y al álgebra de la misma manera que a la geometría, me parece que el origen de esas diferencias debe buscarse en la misma naturaleza de las materias consideradas, y las observaciones de Platón, que ponen en evidencia el carácter de abstracción propias de las aserciones geométricas, explican, a mi manera de ver, porque los matemáticos griegos no usan el mismo estilo cuando se ocupan de geometría, o al contrario de álgebra o de aritmética, donde se puede verificar de inmediato los resultados.

No es posible examinar aquí porqué los griegos han podido expresar propiedades matemáticas abstractas, mientras no se encuentra ningún vestigio de ese tipo de preocupaciones en las matemáticas egipcias o babilónicas. Las diferencias entre el régimen político de las ciudades griegas y el de los estados fuertemente estructurados que constituían Egipto y la Me- sopotamia explican siquiera sea en parte la efervescencia de las ¡deas que parece caracterizar al pensamiento griego. Pero —y esto nos conduce a un tema que nos interesa aquí, el del lenguaje- es posible que el uso de una escritura algebraica en Grecia, se opusiera a la escritura silábica de los ideogramas tanto en Egipto como en Mesopotamia, explica porqué la abstracción pudo introducirse más fácilmente en el pensamiento griego. Experiencias recientes hechas en Nueva Guinea han mostrado en efecto que la abstracción es más difícil para los niños cuando la lengua incorpora un sistema de clasificación, y así ocurría en Egipto y en Mesopotamia en donde la escritura silábica va acompañada por signos determinativos que clasifican las palabras y permiten la distinción de los signos homónimos.

Este primer ejemplo, aportado por Euler, en el que vemos nociones matemáticas que pasan desapercibidas incluso para los más grandes matemáticos porque no aparecen ni en el pensamiento matemático ni en el lenguaje de la época, nos ha hecho volver dos siglos atrás. El ejemplo siguiente, en el que nos enfrentamos con un pensamiento desprovisto del lenguaje apropiado, es todavía más antiguo, pues corresponde a Oresme, en el siglo XIV. Los filósofos escolásticos, especialmente en Oxford, se estaban ocupando de intensis et remi-

dio de las figuras por el estudio de las relaciones correspondientes, pero nos podemos preguntar si Descartes habría intentado proponer una clasificación de las curvas basada sobre la forma de su ecuación en coordenadas polares...

ciencia (Muy pronto se haría un paso más en esa dirección con el surgimiento de propiedades e hipótesis que voluntariamente denominaría ideológicas pues son introducidas con la única finalidad de convalidar la conclusión de un teorema. Un ejemplo típico es el de la convergencia uniforme que permite asegurar —contrariamente a lo que Cauchy había creído poder demostrar sin dicha hipótesis— la continuidad del límite de una serie convergente de funciones o la integración término a térmi-

se pro-

Retornando a Oresme y a su papel de precursor, un examen un poco más detallado de sus trabajos obliga a adoptar una opinión más matizada. Se comprueba, en efecto, que Oresme aplica su procedimiento de representación a situaciones muy diversas, no sólo al caso de la velocidad como lo hemos visto, sino también al calor y la temperatura, la blancura, el gusto y aun las virtudes; la forma de la figura explica para él ciertas propiedades, correspondiendo, por ejemplo, al gusto picante de la pimienta. Había, pues, en Oresme la ¡dea de una representación figurada, pero no una representación gráfica tal como la entendemos después de Descartes. Las longitudes que aparecen en sus representaciones no expresan propiedades precisas, como las abscisas y las ordenadas en una verdadera representación gráfica, pero sirven para dar una impresión general que pude ser más o menos vaga; desde ese punto de vista, son comparables a los árboles genealógicos mediante los cuales se escribe actualmente en filum en biología, por ejemplo: las distancias que se distinguen en él permiten comprobar hasta qué punto ¡as ramas son vecinas o no (en la filogénesis representada), pero la relación exacta de esas distancias está evidentemente desprovista de toda significación, y podría sin inconvenientes ser modificado arbitrariamente. Oresme carecía del lenguaje matemático adecuado para expresar las variaciones de una variable y de una función; los ejemplos que presenta muestrasn que las cualidades son consideradas en un sentido muy aristotélico, en el que se oponen contrarios (movimiento-reposo, calor-frío, lento-rápi- do,...) y no como variables susceptibles de expresarse numérica y continuamente. La ausencia de este lenguaje matemático que hubiera permitido dar una significación precisa a dicha representación figurada, explica porqué la ¡dea de Oresme ha permanecido casi estéril y porqué la de Descartes, que dispondrá notoriamente de las notaciones algebraicas (que, por otra parte, había contribuido a introducir) constituye el origen de progresos significativos.

Sería muy interesante intentar comprender mejor el alcance exacto de la contribución de Oresme a las matemáticas y a la mecánica, pe-

trata de una empresa muy incómoda

no.Veo en ese pasaje al estudio de relaciones

entre propiedades una de las evoluciones características de la matemática hacia una nueva forma de abstracción. La primera de esas evo- Icuiones se pierde en la noche de los tiempos; es la concepción del número abstracto que permite sustituir y generan con un cálculo abstracto y general la consideración de múltiples ejemplos concretos. La segunda etapa se encuentra, a mi parecer, en los comienzos de la matemática griega que enuncia, con Tales, las propiedades afirmadas, mientras que, en todos los textos que nos han llegado, las matemáticas egipcias o babilónicas se presentan bajo la forma de problemas en los cuales la respuesta, incluso si a veces sobrentiende la aplicación de propiedades, se expresa mediante una simple verificación; no siempre ocurre así con la afirmación de una propiedad, muy especialmente en geometría donde una propiedad se puede manifestar en infinitas figuras diferentes. Esta abstracción inherente a la geometría es subrayada por Platón, en la República, en donde hace notar que cuando los geómetras han dibujado una figura, no es ella el objeto verdadero sino el cuadrado en sí o Ia diagonal en sí.

El tratamiento diferente de la geometría, por una parte, y del álgebra y la aritmética, por la otra, se traduce en los textos matemáticos griegos por el uso de lenguajes o, más bien, de estilos diferentes. Esto es subrayado por Morris Kline, en su monumental obra Ma- thematica! Thought from Ancient to Modern Times, que hace notar que los trabajos de He- rón, Nicómaco, Diofanto y también Arquíme- des, referentes a aritmética, están redactados en el estilo de la matemática pragmática (o deón- tíca) de los egipcios y babilonios, renunciando aparentemente a las demostraciones deductivas que dan Euclides, Apolonio y el mismo Arquí- medes cuando se ocupan de geometría (Kline va un poco más lejos, con respecto a la matemática árabe, sobre esta diferencia de trata- ro se

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nica. Los escolásticos no deseaban oponerse a la filosofía, y especialmente a la Física de Aristóteles, pero las contradicciones inherentes a la mecánica de esta última, no les permitirán asirse a ella. De esto resulta que términos co-

impetus o velocidad no siempre tienen un sentido claro, preciso y constante.

Por otra parte, se debe comprobar que las conclusiones de Aristóteles tuvieron un efecto bastante negativo sobre el progreso de la mate- matización. La matemática griega testimonia una extraordinaria predilección por lo que ten-

carácter estático y (acaso como reacción a las paradojas de Zenón) parece evitar todo lo que evoque la idea de variación y de función. (Sin embargo, es bastante curioso comprobar que el empleó de las clepsidras constituye un ejemplo simple de una cantidad que depende continuamente del tiempo). Esto es todavía reforzado por la manera cómo Aristóteles ve las cualidades, tal como lo hemos visto más arriba, como par de contrarios. Hay tentativas de matematización que se apoyan en concepciones que no podrían ser fecundas. Encontramos un ejemplo en Walter de Oddington que, alrededor de medio siglo antes de Oresme, intentaba describir en términos cuantitativos la intensio et remissio formarum y aplicarla a la alquimia, distinguiendo cuatro grados (cada uno dividido a su vez en sesenta minutos) en las cuatro cualidades primarias, calor y frío, húmedo y seco, que explican la constitución de los elementos tierra, aire, agua y fuego, y las compone con diferentes grados para describir las propiedades de los metales. Resulta muy claro que esas tentativas, que ignoraban por definición el lenguaje matemático de las funciones, sólo podían estar destinadas al fracaso. Además, podemos preguntarnos en qué medida se descubre en esas situaciones, independientemente del lenguaje inadecuado, un verdadero pensamiento matemático.

Volvemos a encontrar de nuevo la influencia de Aristóteles en una situación que nos presenta lo que podemos denominar un lenguaje (matemático) que no se apoya sobre un pensamiento preciso.. En efecto, está en cierto sentido más cercano del de la filosofía medieval que del concepto matemático que Galileo, a comienzos del siglo XVII, emplea para las nociones de velocidad y aceleración. En 1604, queriendo expresar matemáticamente el movimiento uniformemente acelerado (uniformiter difformis, expresión ya usada en la Edad Media) de la caída de los cuerpos, hace crecer la velocidad proporcionalmente al espacio reco

rrido (lo que es una forma posible de movimiento uniformemente acelerado y conduciría- a una ley exponencial que la matemática del tiempo de Galileo no hubiera de ninguna ma-' ñera podido expresar o explotar); pero en 1638, el mismo Galileo rechaza esa conclusión porque a sus ojos implica una contradicción. Esta contradicción no se presenta más que sí se admite que la velocidad media es proporcional al espacio; y para nosotros, hoy resulta muy claro que la ley que Galileo consideraba no podía concernir más que a la velocidad instantánea; pero ésto no había sido definido claramente, y Galileo, todavía en 1638, no reconocía la diferencia entre velocidad media y velocidad instantánea y usa, con los términos velocidad o aceleración, un lenguaje que no corresponde a un pensamiento matemático correspondiente.

La definición de la velocidad instantánea, que la paradoja de la flecha de Zenón parecía declarar imposible, sólo se haría con motivo del surgimiento del cálculo infinitesimal, es decir, con Newton y Leibniz. Esta última afirmación debe surgir de algún matiz, pues, no disponiendo de la noción de límite, Newton debía explicar la derivada mediante la velocidad, en tanto que un siglo más tarde se haría exactamente lo contrario. Pero, por lo menos, se puede afirmar que Newton concebía realmente la velocidad en el marco adecuado del cálculo infinitesimal, no disponiendo todavía de la técnica adecuada para describirla; para él, la velocidad ha dejado de ser una cualidad, en el sentido aristotélico, para convertirse en una cantidad numérica medible.

la de las clases de homología de ciclos de dimensión que expresa para nosotros que el primer grupo de homología es el grupo fundamental convertido en abeliano.

Dedicaremos en primer término algunos instantes de la primera observación. El grupo fundamental es, en general, un grupo no conmutativo, y es presentado mediante generadores y relaciones; la elección de esos generadores es, en una medida bastante amplia, arbitraria. Podemos preguntarnos co’mo se puede reconocer si dos grupos así presentados son iso- morfos o no. (La cuestión fue planteada en 1908 por Tietze con respecto al grupo fundamental). Se trata, pues, de dar un método general que permitía decidir la isomorfia de los dos grupos dados, lo que desemboca en la cuestión de la existencia de un método general semejante.

(Una cuestión análoga se planteó con el. 10° Problema de Hllbertfse trata de una serie de 23 problemas que Hilbert propuso en 1900 al Congreso Internacional con la creencia de que su tratamiento haría progresar a las matemáticas), en ese 10° problema, Hilbert requería un método general que permitiera decidir, en un número finito de pasos, si una ecuación diofántica admite soluciones enteras racionales). Actualmente se ha determinado el sentido de los métodos generales de que tratamos aquí, y esos métodos son denominados ahora algoritmos; el estudio de algoritmos comenzó hacia 1935, y se ha podido establecer que existen problemas insolubles mediante algoritmos, lo que equivale a decir que no existe un método general que permita resolver esos problemas en un número finito de pasos. El problema del isomorfismo de los grupos, análogamente al 10° problema de Hilbert, pertenece a esta clase. En él resulta particularmente que no es posible esperar caracterizar un grupo no conmutativo por un número finito de invariantes numéricos (lo que es posible para los grupos conmutativos, con el rango de los coeficientes de torsión, etc.), y en el caso del grupo fundamental, Poincaré no tuvo más remedio que limitarse a darnos un grupo presentado mediante generadores y relaciones.

El problema así planteado y los desarrollos subsiguientes merecen que nos detengamos en ellos algunos instantes, pues volvemos a encontrar alguna situación típica de las matemáticas. Vemos cómo el lenguaje de los grupos permite formular y resolver ciertos problemas, pero también vemos que la reflexión sobre la naturaleza de los problemas que se plantean de*

•ipues no basta poder traducir el latín medieval de los escolásticos cuyo pensamiento, pese a las apariencias, no es siempre fiel a Aristóteles. Es mucho más difícil asegurarse que se da a los términos el significado que lé dan los que emplean, y ser capaces de exponer con suficiente aproximación, su inevitable evolución. Un largo estudio es evidentemente indispensable para reencontrar las formas de pensamiento de los filósofos y matemáticos de los cuales nos separan más de seis siglos, pero, incluso en el caso de pensadores mucho más cercanos a nosotros y cuyo lenguaje es aparentemente el nuestro, sería temerario creer que esos problemas no se plantean jamás. Un artículo de H. Freudenthal aparecido en 1957 (consagrado a la historia de los fundamentos de la geometría, con motivo de la publicación de la 8a edición de los Grund/agen der Geometrie de Hilbert), lo muestra de manera satisfactoria. Un texto de Henri Poincaré, publicado en 1891 y reimpreso en La Ciencia y la Hipótesis en 1902, presenta los axiomas de la geometría como convenciones y definiciones disfrazadas. Aparentemente, Poincaré es, por tanto, un precursor de Hilbert (cuya obra es publicada en 1899) y de sus definiciones implícitas; pero como lo observó Freudenthal, el conjunto de los trabajos de Poincaré y lo que sabemos de su filosofía muestran que no hay nada de eso; las convenciones de Poincaré no constituyen el punto de partida de un sistema hipotético-deductivo como los axiomas de Hilbert, pero conciernen a la elección de un sistema matemático (y, en esta circunstancia, se trata para Poincaré de elegir entre la geometría euclidiana y la geometría no euclidiana) para descubrir una realidad física dada, y es en ese sentido, es decir, como herramienta más o menos aporpiada (y, por otra parte, Poincaré la compara con el sistema métrico), que para Poincaré no se/puede hablar de la verdad de la geometría euclidiana (sino sólo de su comodidad). La conclusión de Freudenthal debe meditarse: cuando se observa con qué facilidad se puede interpretar el pensamiento de Poincaré en el sentido de Hilbert después de la publicación del libro de este último, se comprueba que el lenguaje es un extraño instrumento que, colocado en otro contexto histórico, un libro (como La Ciencia y la Hipótesis) puede tomar una significación bastante diferente de la que le dio su autor.

Estos problemas del lenguaje se manifiestan en particular en el caso de i a Edad Media e incluso en Galileo, cuando se ocupa de mecá-

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Más cerca de nosotros, a fines del último siglo, encontramos una situación muy instructiva al examinar cómo Poincaré introdujo o precisó, las primeras nociones de la topología algebraica. Le debemos a la vez la definición del grupo fundamental, o primer grupo de homomorfismo, todavía denominado grupode Poincaré, y también una descripción de la homología, que presenta mediante invariantes numéricos (números de Betti o coeficientes de torsión), que actualmente interpretamos, después de los trabajos de Heinz Hopf (a comienzos del segundo cuarto de siglo) como grupo de homología. Se observa, por una parte, que Poincaré no menciona la estructura de grupo de que se puede proveer al conjunto de las clases de homología, pero, sin embargo, enuncia la regla que permite pasar de la composición de los elementos del grupo fundamental a

i

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tivamente clara y no nos preocupamos nada por definirla; se sabía que una recta o un plano tenían respectivamente una o dos dimensiones, y por consiguiente una superficie tenían también respectivamente o dos, en virtud de su semejanza con la recta y el plano. A quién hubiera requerido más precisiones se podía responderle que la dimensión estaba definida por número de parámetros necesarios para fijar la posición de un punto; eran necesarios visiblemente uno sobre una recta o sobre una curva, dos sobre una superficie, tres en el espacio habitual. Esta manera de v.er era, sin embargo, muy simplista, y fue sacudida por un resultado inesperado (que su mismo autor al principio sólo acogió con escepticismo) de Georg Cantor, que estableció en 1877 una correspondencia biunívoca entre los puntos de un segmento y los puntos de un cuadrado. No obstante, esta correspondencia no era continua, como lo señaló Dedekind, a quien Cantor había anunciado el resultado. Se podía esperar, pues, que bastara agregar la exigencia de la continuidad para conservar la validez de la definición de dimensión por medio del número de parámetros. Esta nueva manera de definir se volverá bien pronto indefendible pues en 1890 Guiseppe Peano describió una

definición usando el principio del embaldosado, vale decir, en un recubrimiento cualquiera de un espacio de n dimensiones mediante abiertos de dimensión suficientemente pequeña, hay necesariamente puntos pertenecientes a n + 1 elementos del recubrimiento, por lo menos. Brouwer probó la equivalencia de las dos definiciones para las clases de espacio consideradas en la época.

Se observa, pues, que fue necesario cierto 'tiempo para que un pensamiento matemático suficientemente maduro viniera a precisar y apuntalar un lenguaje que ya estaba impuesto.

Quisiera hacer una breve historia de la función, que señala de manera significativa cómo el juego alternado del pensamiento y del lenguaje matemático contribuyó al progreso de la matemática. La noción matemática de función se origina, en el estadio que denominaré prematemático, en la noción de dependencia, que es mucho más antigua. El hombre prehistórico no podía ignorar que para abatir a un animal era necesario golpear tanto más fuerte cuanto más grande era el animal pero, hubiera tenido muchas dificultades para dar una expresión matemática de esa relación pues, sin duda, no hubiera podido reconocer cuando un animal era el doble del otro, y mucho menos todavía hubiera reconocido qué significa golpear dos veces más fuerte (Todavía en los albores de la mecánica clásica, la confusión entre el rol de la fuerza y el rol de la velocidad no había podido disiparse. No había todavía ni pensamiento ni lenguaje matemático. En la segunda mitad del siglo XVII, emerge la noción de función al paso que el pensamiento matemático se apodera de la noción primitiva de dependencia (esta matematización se manifiesta especialmente por la aplicación de la noción técnica de derivada). Este progreso del pensamiento matemático se ha de traducir en un progreso análogo del lenguaje, es decir, de las notaciones matemáticas que permiten la descripción de las funciones, y esto, muy pronto, exigirá una ampliación de la noción inicial. Está bien claro, en efecto, que para los que primeramente las habían introducido y explotado (especialmente Newton y Leibniz) esas funciones no podían ser más que lo que podríamos denominar funciones normales o no patológicas, y que se dejan describir mediante una expresión analítica, o reconocer suficientemente rápido para que entre las maneras posibles de describir una función sea necesario admitir la representación mediante series infinitas; cuando Daniel Bernoulli introdujo la re

semboca en pensamientos matemáticos nue- la noción de algoritmo y toda la teo-

presentación mediante series trigonométricas, sin saberlo abría la puerta a las funciones discontinuas que salen del marco donde, inconscientemente sus predecesores, habían colocado la definición de función. Resultaba indispensable restablecer la concordancia entre el pensamiento y el lenguaje, y se produjo una polémica de la cual fueron parte Euler, La- grange y Fournier, Dirichlet le dio término proponiendo la definición general de derivada mediante una correspondencia arbitraria entre dos variables y, en ese momento, el pensamiento mismo había, a su vez, superado las posibilidades del lenguaje matemático porque este último difícilmente podía dar la descripción de una correspondencia arbitraria.

Vemos, por esta breve exposición histórica, que las matemáticas sólo siguuen de lejos el esquema descrito por Thomas S. Kuhn en The Structure of Scientific fíevolutions. Sólo debido a tensiones internas las matemáticas se enriquecen con nuevas concepciones, pero, contrariamente a lo que ocurre en las otras ciencias, el paradigma no es rechazado, pero sólo encuentra * una prolongación. Sólo conozco un caso en matemática en que una teoría ha debido ser rechazada por ser incompatible con otras partes de la matemática (lo que en general ocurre corrientemente en el progreso de otras ciencias), y acaso existan otros dos casos dudosos. (Los casos dudosos son, por una parte, la teoría de los infinitésimos en los comienzos del análisis clásico y, por otra, la concepción pitagórica del papel de los números enteros. En este último caso, es lícito preguntarse si esta teoría pitagórica ha de concebirse como teoría matemática o como teoría física. Si es una teoría matemática, es evidentemente incompatible con los desarrollos de la matemática, como lo vieron los griegos al descubrir las magnitudes irracionales; pero si sólo se la considera como teoría aplicable al mundo físico, entonces no es más que una de las numerosas teorías aplicables al mundo físico -acaso la primera- que confrontada con los hechos ha resultado. En cuanto a los infinitésimos, es lícito pensar que, más que una incompatibilidad profunda con otras teorías matemáticas (en las cuales los desarrollos actuales del análisis no estandarizado muestran que puede ser evitada), es una ambigüedad y una impresión demasiado grandes que se deben eliminar del análisis matemático clásico). El único caso en que una contradicción ha sido introducida conscientemente en una teoría matemática es, a mi entender, la primera

vos conría de los problemas de decisión. Esta nueva reflexión, muy corrientemente, por otra parte, en el sentido de una abstracción más grande, constituye la marcha esencial hacia los progre-

fundamentales de las matemáticas, pues abre horizontes insospechados y presenta sin tardanza problemas nuevos cuya solución tendrá muy a menudo repercusiones en otros dominios de las matemáticas que continúan progresando a su alrededor.

Hemos visto porqué Poincaré no pudo tratar el grupo fundamental de la misma forma que la homología; ahora nos sentimos obligados a preguntarnos porqué, inversamente, no trató la homología como la homotopía, es decir, reconociendo que la estructura de grupo, como lo hacemos ahora, se apoya en segundo plano sobre los invariantes numéricos puestos en evidencia por Poincaré. Creo que aquí hay alguna razón múltiple: en primer término, en tiempos de Poincaré, todavía no se había subrayado la importancia de las estructuras y no era de esa forma cómo se trataba de expresar los resultados matemáticos. Pero hay, creo una razón más profunda ligada a lo que se entendía por grupo a fines del último siglo en el pensamiento de la mayoría de los matemáticos. Cayley dio, en 1854 y de nuevo en 1878, la descripción axiomática de los grupos que conocemos ahora; pero los grupos que los matemáticos habían encontrado eran grupos de operaciones, de sustituciones o transformaciones; los elementos de los grupos operaban sobre algo, por ejemplo, las raíces de una ecuación, las posiciones de una figura, lass figuras de una geometría.

Quisiera abrir un breve paréntesis sobre las geometrías. H. Wussing observó que Móbius, ya en 1827, en su Baryzentrische Calcul intentó establecer una gerarquía entre las geometrías, lo que realizaría Félix Klein cuarenta y cinco años más tarde en el Programa de Erla- gen. Hoy vemos claramente que lo que impidió a Móbius concluir exitosamente su proyecto, fue la ausencia de un lenguaje matemático apropiado para expresar sus ¡deas; ese lenguaje iba a serle proporcionado por la teoría de los grupos que Klein había aprendido a conocer y que todavía no existía en la época de las investigaciones de Móbius.

La historia de la topología nos da aún otro ejemplo de lenguaje al que le faltaba el pensamiento correspondiente. Durante largo tiempo, la noción de dimensión fue considerada intui-

curva o unauna

sos

curva que llenaba todo un cuadrado; esta aplicación del segmento sobre el cuadrado era realmente continua pero, esta vez contrariamente a la definición de Cantor no era biunívoca. Por tanto, se podía creer que no hay homomorfía entre un segmento y un cuadrado. Esto fue probado por L.E.F. Brouwer en 1911, estableciendo la invariancia topológica de la dimensión. Justificaba así el uso del lenguaje que atribuye una dimensión a las curvas, dos dimensiones a las superficies, etc., siendo la semejanza invocada oportunamente una homomorfia.

No se podía decir que el problema de la dimensión estaba completamente elucidado, pues sólo se podía atribuir una dimensión a los espacios localmente homeomorfos con respectos a los espacios euclidianos. En particular, el término dimensión era usado corrientemente, pero una definición no era cómoda, inspirándose sobre una ¡dea de Poincaré, Brouwer dio una definición en 1913 que se apoyaba sobre una inducción o sobre rrencia: en un espacio de n dimensiones, punto cualquiera puede estar incluido en un entorno tan pequeño como se quiera en el que la frontera tiene n — 1 dimensiones. Casi al mismo tiempo, Lebesgue había propuesto otra

i

una recu-un

3637

muestran ya de manera evidente. La geometría tiende cada día más a perder su tradicional aislamiento para integrarse con el resto de la matemática; puede decirse que ha sido liberada de la camisa de fuerza que la mantenía aislada,

convertida en el camino ideal para

(Viene de pég. 28)miento axiomático de la geometría métrica. Al pasar al segundo ciclo de la enseñanza secundaria, lo mismo que en el programa belga, se hace el estudio del álgebra lineal y de los espacios vectoriales tomando como modelo la teoría ya desarrollada. Estos conocimientos pueden servir después para construir nuevos modelos y teorías más elaboradas.

En la URSS los programas y textos para los alumnos de 12 años de edad, presentan la geometría en forma axiomática desde el comienzo, basándola sobre las nociones de distancia y lí-

recta cuya estructura se define a partir del concepto de distancia. La axiomática se introduce de manera que el alumno adquiera conciencia de su necesidad y tome activa participación en su formación. Un sistema similar se sigue en Polonia. En el marco de la geometría así concebida, se construye el espacio lineal de los vectores y se estudia el grupo de las semejanzas y sus subgrupos, tanto en el piano como en el espacio. También se incluyen ciertos aspectos topológicos de estos espacios. La medida de Jordán se aplica para introducir coordenadas en el plano y en el espacio.VIII. Conclusión

Aunque el informe anterior no es completo, de todos modos muestra cómo los métodos modernos para la enseñanza de la geometría en la escuela secundaria están todavía sujetos a discusión y necesitan cuidadosos estudios pedagógicos. La formulación de un programa de geometría para la escuela secundaria, aceptable para la mayoría de los matemáticos, es uno de los problemas más difíciles y urgentes que presenta la pedagogía matemática actual.

Sin embargo, independientemente de su organización actual, hay ciertas tendencias que se

Enseñar matemática

en Í980... ¡Un desafío!para serpasar de la exploración del espacio a las estructuras fundamentales de la matemática. Es posible que durante esta transformación se hayan perdido ciertos valores de la geometría tradicional. Hay que buscar los medios para reintegrar estos valores al mundo de la geometría moderna. En particular, muchos problemas sobre construcciones geométricas deberían ser trasladados al lenguaje matemático moderno y es posible que entonces, colocados bajo nuevas perspectivas, vuelvan a despertar interés. La geometría sintética euclidiana elemental, que se considera actualmente como una mina agotada para la investigación de la matemática, no está de ninguna manera agotada como fuente de investigaciones pedagógicas para la enseñanza de la matemática.

Fausto TORANZOS (Argentina)nea

La hora de la verdadCuando el tiempo del estudio y de la medi

tación ha pasado, cuando la hora de la planificación y el análisis ya se ha cumplido, ha llegado el momento de la acción. Es la hora de la verdad.

Repetto y Fesquet, Varela y Foncuberta y todos los demás, apenas se ven en lontananza. Trejo y BoscfyDieudonné y Papy son sólo telones de fondo. El centro de la escena es ocupado ahora por usted, profesora o profesor, y por esa treintena de mentes adolescentes cuyo desarrollo y maduración dependen de usted, de su empeño y entusiasmo, de su habilidad y responsabilidad como docente.

Ese acto sorprendente, con algo mágico y sobrenatural que es el proceso de enseñanza- aprendizaje, constituye en 1980 un grandioso desafío para nosotros los docentes. Porque estos chiquilines de doce, catorce o dieciséis años que hoy son nuestros alumnos, serán#los hombres y. mujeres de entre treinta y cuarenta años, es decir, los protagonistas, cuando llegue el nuevo siglo. Y nuestro país será grande y respetado si y solamente si ellos llegan a serlo como seres humanos.

un docente que concibe a la matemática como un gran edificio ya terminado, y que interpreta que su tarea consiste en acompañar a un grupo de turistas y hacerles conocer las bellezas y magnificencias de ese palacio. Y después de este contingente de turistas vendrá otro, y luego otro, y otro... Poco a poco, el aburrimiento y el tedio de una tarea rutinaria y poco emocionante comenzará a invadir sus funciones. Y las explicaciones se harán más mecánicas, y el tedio se contagiará a los turistas, que terminarán detestando al edificio y a su aburrido guía.

¿Cuál es la alternativa? "El docente es un partero de ideas" se dijo hace muchos siglos, y hoy más que nunca sigue siendo'verdad, sobre todo para profesores de matemática. "Un partero de ¡deas" significa que la misión del docente consiste en ayudar en el largo y laborioso proceso de nacimiento de ¡deas en las mentes de sus alumnos. No se trata entonces de describir minuciosamente ¡deas formuladas por otros, sino de algo más profundo y difícil, estimular y asistir en la formación de esas ideas ,en la cabeza de cada alumno. Dependerá de la dedicación y capacidad profesional del docente que esas ideas nazcan sanas y se desarrollen jugosas, ubérrimas y fructíferas, o bien que nazcan defectuosas o muertas.

La condición sine qua non para una correcta integración de los actuales puntos de vista sobre la matemática y la geometría a nivel secundario, es la comprensión clara, por parte de los profesores, de los diferentes aspectos que presenta el estudio del espacio y de los diferentes medios de que dispone la matemática actual para llevarlo a cabo, así como el reconocimiento de la importancia que ello tiene. En los planes de estudio de las carreras para los futuros profesores no sólo se descuida intensificar estos conocimientos, sino que muchas veces se desarrollan actitudes contrarias a la moc|prna enseñanza de la geometría. Por esto se plantean serios problemas referentes a la formación y actualización de ios profesores.

(Viene de pég. 27)definición que se dio del número cardinal de un conjunto. Se había propuesto, en efecto, definir ese número como el conjunto que tuviera ese número como cardinal, pero así se habría la puerta a una paradoja análoga o la del conjunto de todos los conjuntos, lo que llevaba al abandono de la definición propuesta.

En matemática, el origen de los desarrollos nuevos puede describirse más o menos así: una familiaridad suficiente con ciertos conceptos conduce a la consideración de ciertas abstracciones, y un lenguaje se crea (eventualmente con términos nuevos o empleando notacio

nes apropiadas); una reflexión sobre ese lenguaje y sobre los problemas que permite describir desemboca a su vez en una familiaridad suficiente para considerar nuevas abstracciones, y así sucesivamente, lo que permite ser optimistas en cuanto al porvenir de las matemáticas. Esto nos conduce también a considerar con cierta tolerancia los capítulos de la matemática que hoy nos parecen de interés bastante reducido, pues, a priori, no podemos excluir que, en esos capítulos, para responder a una cuestión aparentemente fútil, se elabo-

nuevas herramientas cuyas aplicaciones desbordarán ampliamente a esos capítulos.

Parteros, no guías de turismoMás de una vez, en reuniones de orienta

ción vocacional o en conversaciones privadas, me han preguntado qué hace un matemático profesional. Ante mi respuesta habitual ("Un matemático crea nueva matemática") surgen gestos de sorpresa y asombro. ¿Cómo puede ser? ¿Acaso no está hecha toda la matemática? Si Napier inventó los logaritmos y New- ton el cálculo diferencial, ¿qué queda por hacer? . Las personas que razonan así han entrado en contacto con la matemática de la mano de un docente-guía de. turismo, es decir,

Contenidos mínimos versus objetivos máximos

Por supuesto, sería utópico pretender que nuestros alumnos recreen en sus cinco o seis años de escuela secundaria todas las ¡deas matemáticas que la humanidad ha desarrollado a lo largo de milenios. ¿Cuáles de esos temas debemos estudiar, y de cuáles podemos prescindir? Esta pregunta, y otras que de ella de-

. rivan, parecen obsesionar a muchos espcialistas en enseñanza de la matemática. Tal vez esa

ran

38 39

i

valor formativo. Luego ¿Para qué de- La experienciaenormebemos enseñar matemática?, ¿Cómo debemos enseñarla? parecen ser preguntas más básicas e importantes aún que la referente a los contenidos.

preocupación sea excesiva, tal vez haya preguntas previas aún no contestadas.

Estamos acostumbrados a oir hablar en congresos y simposios de matemática de un

enfoque revolucionario en la enseñanza !nuevosecundaria", y descubrir que el "nuevo y revolucionario enfoque" consiste en enseñar con el trillado y remanido método expositivo, sólo que culminando la enseñanza con el teorema de Cantor-Bernstein en lugar de coronarla con el teorema de Tales o el de Pitágoras.

Dice Norberto Fava en el prólogo de su reciente libro ("El número", Ed. Docencia, Buenos Aires, 1979): "No hemos avanzado mucho si un curso que antes empezaba revelando que 'existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos' ahora comienza enseñando que 'hay dos maneras de definir un conjunto: por extensión y por comprensión'. Es el mismo monje con distinto hábito".

Norma V. Di C. de ESPER (Argentina)

Por eso, y haciendo gala de la ingenuidad del niño que se asombraba de que el rey estuviera desnudo, oso preguntar humildemente:

¿No será hora ya de que dejemos de obsesionarnos con ios "contenidos mímimos" y comencemos a preocuparnos por los "objeti-

máximos" de nuestra enseñanza?Sin intención taxativa o totalizadora, me

atrevo a enunciar algunos objetivos generales no instrumentales de la enseñanza secundaria de matemática:

(1) Desarrollo de procesos mentales de razonamiento lógico-deductivo.

. (2) Desarrollo del pensamiento crítico y autocrítico.

(3) Desarrollo y perfeccionamiento de la precisión en el lenguaje.

(4) Desarrollo de la capacidad mental de abstracción y generalización.

(5) Desarrollo de la "imaginación geométrica", es decir, la capacidad para percibir e interpretar la configuración o esquema gráfico subyacente en una situación o problema dado.

(6) Desarrollo de la habilidad y gusto para resolver problemas.Enseñanza expositiva versus enseñanza activa

iRESULTADOS DE EXPERIENCIAS CONCRETAS EN EL AREA DE LA EDUCACION DE LA MATEMATICA (Este tra! ajo fue presentado en la Reunión de Educación en la temática organizado por la Unión Matemática Argentina en Corrientes, 1979)TEMA: Importancia de la guía de estudio en la enseñanza de la geometría.PROFESORA^: Norma Victoria Di Césare de Esper.ESCUELA NACIONAL DE COMERCIO - PERGAMINO

Desde hace tres años dicto en una misma división (3er. año, Escuela de Comercio) las asignaturas Matemática y Elementos de Física y Química.

Comprobé que mientras el ^alumno en las clases de álgebra se sentía más interesado, decaía en las horas de geometría y a pesar de hacer uso de un interrogatorio adecuado, siempre quedaba parte del curso no integrado al aprendizaje.

Comencé por investigar las causas y entre otras encontré: temor a equivocarse ante sus compañeros, rechazo a ser observados, desinterés, dificultad en la concentración.

Esta situación se revertía con el mismo grupo al experimentar en el gabinete de física lo que me decidió a enfocar la enseñanza de la geometría de modo similar.

Comencé dedicándome a mejorar la expresión oral y escrita del alumno. Realizábamos observaciones y entre todos definíamos, enunciábamos conceptos, aceptando siempre la crítica que pudiera suscitarse.

De a poco los introduje en la lectura de textos; aprendimos a leer en forma comprensiva, separando lo fundamental de lo secundario. Los estimulé a formular preguntas que, en lo posible, ellos mismos contestaban.

Llevaban a clase su libro de texto, buscaban el tema, seleccionaban ejercicios. Para acostumbrarlos a la lectura, comenzamos a leer párrafos separando las palabras cuyo significado desconocían o del cual dudaban. A cpntinuación, cada uno resumía verbalmente lo leído, mientras el resto, atento, hacía las,

correcciones que estimaba necesarias; luego escribían en el cuaderno.

Como comprobé cierto rechazo en un 50% del alumnado, decidí encarar la tarea como un juego: "envío de telegramas". Así aprendieron a sintetizar con lenguaje propio y preciso. A’ veces les pedía frases o dibujos humorísticos relacionados con el tema y eso me permitía comprobar si Jo habían captado.

De este modo fue'desapareciendo el tem’or; además, no se los notaba tan agotados. El trabajo había empezado a ser una actividad interesante. Les hice ver que podíamos investigar ciertos temas de la misma manera que en física; y entonces aparecieron las primeras guías.

Para trabajar con ellas, permití que desde el comienzo los alumnos se agruparan con entera

•libertad siempre y cuando el número de integrantes del equipo no excediera de ocho.

Comprobé que en los grupos así formados estaban los amigos íntimos o compañeros de siempre, los que rodeaban al más capaz esperando recibirlo todo de él, los que siempre obtenían calificaciones bajas. A estos últimos nadie los quería y tenían una única razón para asociarse: la de ser rechazados por los demás.

No hice caso de la distribución, pero les recordé que el integrante de un equipo tenía un compromiso moral con el resto de los compañeros; si uno de ellos no trabajaba todo él equipo iba a fracasar. Al mismo tiempo me ofrecí para solucionar los problemas que se presentaran.

Igual que en los primeros intentos en las clases de física, observé en ellos gran nerviosismo que evidenciaron hablando o leyendo en voz alta, todos al mismo tiempo. En ningún momento pedí silencio y al cabo de diez minutos aproximadamente, la intensidad de sus voces había disminuido hasta transformarse en un murmullo. Comenzaron a leer, dialogaban para consultarse. Empezaron a llamarme casi todos al mismo tiempo. Por imitación, el grupo de alumnos considerados lentos, que en un primer instante se mostraba temeroso, quieto, comenzó a interrogarme.

Con las guías dispuse de más tiempo para

vos ma-

El ambiente argentino de enseñanza secundaria de matemática se ha sentido estremecido en este último tiempo ante dos altisonantes palabras: "contenidos mínimos". Todo el mundo discutía y tomaba partido a favor o en contra de los contenidos mínimos. En un reciente congreso de matemática, un representante provincial manifestó orgulloso: "En nuestra provincia, treinta colegios secundarios ya aplican los contenidos mínimos", lo que fue inmediatamente retrucado por otro participante: "En la nuestra todos los colegios aplican los contenidos mínimos". Gran triunfo, notable hazaña.

Para el profesor-guía de turismo cualquier discusión sobre métodos de enseñanza de la matemática es totalmente ociosa. Para él (o ella) basta y sobra con el tradicional método expositivo. No intente Ud. apartarlo del esquema hipótesis - tesis - demostración - ejercicios, porque invariablemente le responderá: "Eso es una pérdida |¡nútil de tiempo". En realidad tiene razón. Para sus limitados objetivos, esta metodología es satisfactoria y económica en tiempo y esfuerzo. El docente expone, con mayor o menor habilidad los "contenidos mínimos", es decir, muestra los distintos salones del gran palacio. Los alumnos atienden a la exposición, es decir, miran lo que se les muestra. Pero, ¡cuidado, se mira y no se toca! Ninguna invitación a la insólita aventura de pensar y resolver problemas por cuenta propia, ningún desafío a la imaginación creativa y al pensar fecundo; son "inútiles pérdidas de tiempo".

Solemos escuchar a estos profesores diciendo: "La clase de ayer me salió perfecta, impe-

(Sigue en pág. 43)

i

¿Cuál es la razón de esta sobrevaloración de la importancia de los contenidos de la enseñanza en desmedro de la consideración debida a los objetivos y métodos de dicha enseñanza? Creo que tiene que ver con las actitudes que comentamos en el pájrafo anterior. Para el profesor-guía de turismo, lo esencial es el contenido, es decir, la determinación exacta de las habitaciones, salas, pasillos y corredores que deben ser recorridos por los turistas, y por complemento, cuáles habitaciones deben ser cerradas con llave y olvidadas para siem-pre.

¿Es acaso pernicioso preguntarnos qué matemática debemos enseñar? No, de ninguna forma. Es innegable que la matemática tiene gran valor instrumental, y que nuestra selección de contenidos debe considerar la demanda de herramientas matemáticas para la ciencia y la técnica. Pero. también es cierto que la enseñanza secundaria de la matemática tiene

i

4140

'

dos. Estaban tan ocupados que ya no había motivo para conversar de cualquier cosa, leer otra asignatura o volar con su imaginación a temas ajenos.

Se sentían importantes por el trabajo realizado. Al mismo tiempo fueron desarrollando gran capacidad de crítica, que evidenciaban al elegir el autor a seguir en determinados temas.

Habían aprendido a oirse; al finalizar la tarea volcábamos los resultados en el pizarrón. Este era el momento más importante porque cada grupo aportaba lo mejor de sí mismo; aparecían semejanzas y diferencias y al final entre todos llegábamos a una elaboración más completa del tema.

Después de trabajar cuatro meses con guías disminuí el número de integrantes de cada grupo a tres. Los alumnos llevaron calculadoras para trabajar con más rapidez.

La guía me sirvió de instrumento de evaluación y pude formar una nota por bimestre por el trabajo en la clase. Tuve en cuenta para ello los siguientes tópicos:

a) Actuación del alumno en el grupo (es decir, modo de trabajar; nunca me preocupó la disciplina porque ellos tenían autoridad para rechazar, si lo deseaban,-al haragán, o al que molestaba a los demás).

b) Claridad en la expresión.c) Uso adecuado de útiles de geometría.d) Precisión en el cálculo.e) Interrogantes planteados.f) Originalidad en el trabajo.g) Prolijidad.

atender sus necesidades. Noté que eran cuidadosos detallistas y aunque respetaban a opinión de cada uno, discutían'antes de elaborar una conclusión.

Desde ese momento dejé de ser el centro de atención y en la clase los principales prota-

ellos mismos, sirviéndoles de

Dibújala

2. Coloca A" sobre la tira A haciendo coincidir los puntos o. Deja A en posición horizontal y gira A'. Marca con color el espacio recorrido, al desplazarse oa' e indica qué presenta en el plano.

Imagina que las tiras materializan las semirrectas oa y oa', de este modo, dejando fija oa y moviendo oa' tendrás una idea exacta de cómo se generan los ángulos en el plano.

¿Cuántos sentidos de rotación encuentras?

Por convención se ha establecido dar^signo positivo a los ángulos generados por una rotación contraria a las agujas del reloj. Por consiguiente. poseerán signo negativo los ángulos.

3 — Moviendo la tira A', forma los siguientes ángulos:

a) a =60° b) 0 = —90° c)7=180°

d) 5 = 0o e) e = -300°Representa cada ángulo en un sistema de ejes

cartesianos, haciendo coincidir el lado fijo con el semieje positivo de abscisas. (No olvides indicar el sentido de rotación)

4— Lee con atención y señala las proporciones verdaderas y corrige las falsas.

a) Cuando un ángulo mide 360°, el lado móvil coincide con el lado fijo, después de dar una vuelta completa.

b) Un ángulo de 35° se diferencia de uno de —35° porque fueron generados por rotaciones de sentido contrario.

c) Las semirrectas que forman un ángulo tienen igual dirección y sentido

d) Los lados de un ángulo de 90° son perpendiculares entre sí

e) Un ángulo de 0° tiene por lados semirrectas de igual dirección y.sentidos contrarios.

gonistas fueron guía cuando mi intervención fuera necesaria. Comenzamos trabajando con ejemplos concretos, para llegar luego a generalizar. Aplicamos todas las técnicas grupales posibles. La consig-

trabajar todos para bien del equipo (insistí en la práctica del compañerismo bien entendido).

Después de los primeros intentos, comencé a retirar los trabajos y fue grande mi sorpresa al encontrar alumnos con ciertas capacidades que no se manifestaban en la evaluación oral o escrita; al mismo tiempo observé que no siempre el alumno de 9 o 10 de la clase tradicional era realmente el mejor.

Al evaluar a los lentos la calificación osciló entre .6 y 8. Esto hizo que en clases sucesivas se organizasen nuevos grupos. Sin habérmelo propuesto cada grupo tenía jefe y secretario.

Se produjo entonces en la clase cierto equilibrio; todos intervenían aportando cada uno algo de sí mismo; así pude evaluarlos en todos los aspectos, no solamente en el cognoscitivo.

El entusiasmo fue tal que ellos mismos pidieron nuevas guías y llegaron a leer los textos a su alcance sin ningún tipo de presión exterior. Se sintieron más seguros, mejoraron en disciplina, perdieron el miedo de ser evalua-

na era

Relaciona esos sentidos con el movimiento de las agujas del reloj.

lado móvil

lado fijosentido

lado fijo

lado móvil

sentido

(Viene de pág. 39)cable, redondita....", y esto me recuerda el cuento del cirujano que comentaba a un colega: "La operación de ayer fue brillante, i Qué habilidad, qué técnica! ¿El paciente... ? Falleció treinta minutos después, pero eso no empaña la brillantez de la operación".

El profesor-partero, en cambio, debe luchar permanentemente, adaptar su metodología, renovar su enfoque, repensar su trabajo para estimular el interés, desafiar la creatividad y atraer la atención de sus alumnos. Sdló así puede conseguir la temperatura intelectual necesaria para que maduren y nazcan las ideas matemáticas en las mentes de sus alumos. Su principal arma será el trabajo, la actividad matemática. Esos adolescentes deben trabajar en matemática, actuar respecto de la matemática, no simplemente mirarla* Por supuesto, la actividad a que me refiero, nada tiene que ver con la actitud pasiva del espectador, con la repetición y copia de enunciados y demostraciones pre-establecidas, con la resolución mecánica de ejercicios-tipo, seudo actividades habituales de los alumnos de un profesor-guia de turismo. No, acá se trabaja en serio. Las situaciones

problemáticas propuestas por el docente desafían la imaginación y la creatividad de los chicos. Uno arriesga una solución, otro le enmienda y agrega su aporte, se discute y se piensa, se ejercita la facultad de razonar y el juicio autocrítico. Y atrás, un poco en segundo plano, el docente estimula, corrige, aprueba y conduce inteligentemente a esas mentes por el maravilloso camino de la heurística.

En un seminario-taller de actualización para profesores secundarios de matemática, realizado en la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad de Buenos Aires, una profesora participante preguntó algo angustiada: "¿Cómo puedo saber si estoy haciendo bien mi trabajo como docente? ". Mi respuesta fue "Conteste usted misma estas tres preguntas:

1. - ¿Trabajan mis alumnos en clase? ¿Su actitud general es activa o pasiva?

2. - ¿Disfrutan los alumnos de mi clase? ¿Les gusta actuar en matemática o la detestan?

3. - ¿Estoy cumpliendo con los objetivos que me fijé al comenzar el curso? (¿O es que no me fijé ninguno? )

Si las tres respuestas fueran afirmativas, i Felicitaciones y adelante!

i

EJEMPLO DE GUIA Generación de ángulos

i

MATERIAL: Dos tiras de papel milimetrado de 3 cm x 10; base de cartón o madera de 25 cm. x 25 cm , cubierta por cartulina blanca; 3 chinches; escuadra; transportador; lápices de colores.

como indica la figura, marcos los puntos o,a y o,a' a una distancia de 4 cm.

o a] A

a'oINTRODUCCION: Mediante este trabajo observarás como se generan los ángulos en el plano. Te recomiendo leer con atención la guía, realizar mediciones cuidadosas, pensar antes de contestar, consultar con tus compañeros.

PROCEDIMIENTO:1. Traza una recta sobre las tiras de papel y

E ] A' i

Sujeta sobre la base la tira A, mediante una chinche aplicada en o y efectúa una rotación completa.

¿Qué representa la trayectoria seguida por el punto?i

4342

i

Matemática y ciencias biológicos: implicaciones para su enseñanza.

Matemática, industria y tecnología.

¿Cómo continuar la educación matemática de los que se dedican a la industria?

Microcomputadores. La familia del computa-

y otro sobre enseñanza matemática secundaria organizado por el Consejo de Educadores de Matemática de Ohio, EE.UU.

En estos talleres se podrán examinar los materiales y discutir ¡deas educativas en forma informal con los colegas.

Grupos ya constituidos.Algunos grupos constituidos en reuniones

anteriores continuarán su trabajo: vinculación con otras disciplinas a nivel secundario, adiestramiento de los docentes primarios, aplicaciones, evaluación nacional e internacional de los logros en matemática, resolución de problemas, estrategias educativas y desarrollo conceptual, competencias matemáticas, psicología xlel aprendizaje de la matemática, relaciones entre la historia y la pedagogía de la matemática.

Revista matemáticas y películasDirigentes de organizaciones de educadores

matemáticos internacionales o nacionales y editores de revistas de educación matemática internacionales y nacionales realizarán diversas reuniones durante el Congreso.

Está prevista la exhibición de dichas revistas durante el desarrollo del Congreso, lo mismo que los libros, computadoras y otros materiales en el edificio de la Unión de Estudiantes Asociados.

i

El Congreso de Berkeley ;dor

Calculadoras de mano. T.V.

La profesión docente.

¿Qué es un educador profesional en matemá-enterarse de la situación actual de esasEn el N° 52 de "Conceptos de Matemática" informamos acerca de la realización del IV Con-

Internacional de Educación Matemática

pararamas. tica?

¿Qué debe enseñar el docente: lo que quiere o lo que el alumno necesita saber?

Antes de ingresar a la carrera docente y durante la época de servicio.

Entre los amplios temas que se han agrupado los muchos tópicos del Congreso, están los siguientes:

gresoque se celebrará en Berkeley, California, EE.UU. del 10 al 16 de agosto de 1980. La organización está a cargo de la Comisión Internacional para la Educación Matemática (ICMI) y los idiomas oficiales del Congreso son el inglés, el francés y el español.

El Congreso se realizará en el campus de Berkeley de la Universidad de California en las cercanías de las ciudades de San Francisco y

Educación universal¿Cómo debería ser el curriculum en matemá

tica de los sistemas escolares en que muchos estudiantes egresan a una edad muy temprano?

Problemas de la educación rural en matemá-

Diversos problemas.

Enseñanza de incapacitados.Matemática para el alumno bien dotado.

Evaluación.

Análisis de los errores de los niños en matemática.

Evaluaciones nacionales e internacionales de los logros en matemática.

Evaluación de los docentes y de su enseñan-

ticaOakland La enseñanza de la matemática a estudiantes

matemáticamente analfabetos.Programa de Congreso.

El acto de apertura se realizará el domingo 10 de agosto a las 15'y 45 con las ceremonias de bienvenida y la primera conferencia plenaria, seguidas por una recepción del Rector en el Museo de Arte de la Universidad y el acto de clausura tendrá lugar el 16 de agosto a las 12.

Estrategias de enseñanza

Problemas que se presentan en las clases en donde los estudiantes tienen diferentes habilidades en matemática.

¿Cómo se puede enseñar a resolver problemas en matemática?

Uso y abuso de los libros de texto en la enseñanza de la matemática

za. Autoridades del Congreso El presidente honorario del Congreso es el

destacado matemático George Polya,* el Comité Ejecutivo de la Comisión Internacional para la Educación Matemática lo integran: B. Christian- sen (Dinamarca), Vicepresidente; U'«D'Ambrosio (Brasil), Vicepresidente; P. J. Hilton (EE.UU.), secretario; S.H. Erwanger (Bostroa- na), B.H. Neumann (Australia), Z. Semadoni (Polonia) y es presidido por H. Whitney (EE.UU.); el Comité Internacional del prograhia para el IV Congreso sobre Educación Matemática está constituido por H. S. Alder (EE.UU.), M. S. Arora (India), B. Christiansen (Dinamarca), U. UAmbrosio (Brasil), J. C. Egsgard (Canadá), G. Gaulin (Canadá), H.B. Griffiths (Gran Bretaña}, S. A. Hill (EE.UU.); P. J. Hilton (EE.UU.), H. Hoghe-Nlend (Camerum), S. lya- naga (Japón), Y. Kawada (Japón), J. Kilpatrick (EE.UU.), L, D, Kudrjavcev (U.R.S.A.), B. H.

(Australia), A. Revuz (Francia), L. A. Santaló (Argentina), Z. Semandoni (Polonia), G. H. Shufelt (EE.UU.), G. S. Young (EE.UU.), actuando como presidente H. O. Po- Uak (EE.UU.) que también es presidente del Comité Ejecutivo para el IV Congreso internacional para la Enseñanza de la Matemática.

Desarrollo de las habilidades matemáticas en los niños.

Metodologías para la investigación en matemática.

Las exposicionesSu longitud y forma variarán con el tema. En

algunos casos habrá uno o dos expositores durante una hora; en otros un grupo de oradores hablará durante una hora y media o dos, y luego se discutirá el tema. Muchas sesiones admitirán la participación del auditorio usualmente mediante preguntas escritas.

Siempre se podrá disponer de la traducción simultánea de las sesiones incluyendo todas las plenarias. A veces, cuando no haya tiempo para ¿radudir, no habrá traducción simultánea, pero los participantes serán ayudados a sentarse jun: to a colegas multilingües.

Han sido invitadas a exponer personas de muchos países/para participar en paneles especiales y mi ni conferencias, charlas especiales, demostraciones de clases, etc.

Talleres de trabajo.Habrá un taller de trabajo continuo (taller

hablado) sobre enseñanza matemática primaria organizado por A. Me Intosh de Gran Brataña,

iConferencias plenarias. Serán las siguientes:

Hans Freudenthal, Holanda: Problemas principales de la educación matemática;

Hua Loo-King, República Popular de China: Aplicaciones de las matemáticas y de la educación matemática;

Seymour Pappert, Estados Unidos de América: Tecnología y educación matemática;

Hermine Sinclair, Suiza: Lenguaje y aprendizaje matemático.

Contenido matemático del curriculum.

¿Cuál es el sitio de la geometría en el curriculum?

¿Cómo afectaría al curriculum el amplio uso de calculadoras de mano? i

Matemática post-securídaria.

¿Debería continuar siendo el cálculo el único núcleo de la matemática post-secundaria.

¿Qué se puede hacer para ayudar a los nuevos docentes de matemática en el nivel de postsecundaria?

Otros temas.

El programa se planificó para unos 3000 participantes. Los tópicos fueron escogidos por el Comité del programa teniendo en cuenta recomendaciones de todo el mundo. Se ha hecho un gran esfuerzo para que los actuales educadores en matemática, presentes y futuros, expertos en planes de estudio, supervisores, matemáticos, expertos en desarrollo, psicólogos en aprendizaje matemático, etc., tengan amplia oportunidad para expresar sus inquietudes y

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Aplicaciones.

¿De qué materiales se dispone mundialmente pera realizar aplicaciones de matemática .dentro de la escuela?

¿Cómo preparar a los docentes de matemática para usar aplicaciones en el aula? 45

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Om JEPIOS - Cristina Banfi

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Transcript of Om JEPIOS - Cristina Banfi