CONCEPTOS - Cristina Banfi€¦ · í LIBRERIA DE LAS NACIONE i (antigua LIBRERIA DEL COLEGIO...

-CONCEPTOSDE MATEMATICA

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PARA EL MAESTRO

EL PROFESOR□r□ □ EL ESTUDIANTE■ n_n_GznEn este número:

Los libros de matemáticas-

El elemento humano en la matemática.

La probabilidad y su medida.

Balance y futuro de las experiencias.

Un curioso ejemplar de octopus.

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LIBRERIA DE LAS NACIONEi

(antigua LIBRERIA DEL COLEGIO remozada]

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ALSINA y BOLIVAR - Bs. As. Tel. 33-0071 al 73ENSEÑANZA PRIMARIAI

Bandet J. y otrosí Los comienzos del cálculo.............................Breard, C. y Colbert: Mi primer cuaderno de cálculo ......Dienes, Z. P.: La matemática moderna en la escuela primariaDienes, Z. P. y Golding E.?Lógica y juegos lógicos ..............

Conjuntos, número y potencias ..............................................Exploración del espacio y práctica de la medida .......

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Fichas para la enseñanza individualizada de la aritmética .. .Sabbatiello, Elsa E.: El geoplano ..................................................Zeperovich, R. W. de. Matemática moderna

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ENSEÑANZA SECUNDARIACeci A. M. E. y otros, Matemática,: Tomo I, Aritmética, .. .

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Ldia E. Alcántara. Raquel T. Lomazzi y Félix MinaTRIGONOMETRIA, para 5to. año bachillerato. Nueva edición actualizada de acuerdo con los nuevos programas.

N° 14Abril-Mayo-Junio 1970Año 4CONCEPTOSDE MATEMATICAPUBLICACION TRIMESTRAL

Redacción y Administración:Paraguay 1949, Piso 6o Depto. A.

Depósito:Fernández Blanco 1045 • Bs. As.

Director - EditorJOSE BANFI

Carlos M. Varsavsky

ASTRONOMIA, para 5to. año bachillerato. Primera edición de acuerdo con los nuevos programas. CARTA AL LECTOR

Aldonza F. de Ferrari y Elena T. de Lagomarsino

GREGORIO SUMA, para 1er. grado. Nuevo texto para la enseñanza de la matemática moderna.

W. H. Dutton Asesores: José Babini, Juan I. Blaquier, Frédérique Papy, Geor- ges Papy, Luis A. Santaló.

Redactores: Raúl A. Chiappa, Emilio De Ceceo, Juan C. Dalmasso, Haydée Fernández, Atilio Piaña, Elsa Sabbattiello, Andrés'Valeírás y Cristina Verdaguer de Banfi.

Dibujante: Arq. Julio R. Juan. Suscripción Anual: Argentina $ 10

Ley 18.188 (m$n. 1.000.-). Exterior, 4 dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales o sobre bancos de Buenos Aires, deben ser exten- didos'a nombre de CONCEPTOS DE MATEMATICA.

Ejemplar suelto: $ 3 Ley 18.188. Número atrasado: $ 3,50 Ley

18.188.Lugares de venta: En nuestra sede,

Fernández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Alsina, Perú 127; Librería y Editorial El Ateneo, Florida 340; Librería del Colegio, Alsina y Bolí-

Librería General de Tomás Pardo, Maipú 618; Librería Resio, Callao 621; Librería Santa Fe, Santa Fe 2427, Buenos Ai-

Librería del Azul, San Martín 472, Azul; Librería "Eras- mo", San Martín 3330, Mar del Plata; Librería El Universitario, H. Yrigoyen y San Juan, Corrientes.

Para colaboraciones, números atrasados, suscripciones y avisos, dirigirse directamente al editor.

Registro de la Propiedad Intelectual: NO 1.037.530.

Impreso en COGTAL Rivadavia 767, Capital

EN EL PROXIMO NUMERO: Significados de la palabra relación.— Las fichas en la enseñan-

COMO EVALUAR EL APRENDIZAJE DE LA MATEMATICA Nadie duda hoy que la enseñanza primaria constituye un campo de acción privilegiado, no tanto por sus dificultades particulares sino también porque los primeros elementos forma ti vos que~reciben los niños influyen sobre su desarrollo individual y el florecimiento de sus capacidades. Por eso la investigación pedagógica debe integrarse con la formación de los maestros para lograr la metodología adecuada. Como tribución de nuestra revista a esos fines, publicamos hoy sendos artículos del profesor argentino Emilio De Ceceo y del estadounidense James VJ. Heddens que, sin duda, han de tar con el beneplácito de nuestros lectores.

Nicole Picard

LA MATEMATICA MODERNA EN LOS PRIMEROS GRADOS A. M. Ceci y O. M. de Paglilla

MATEMATICA MODERNA: Ejercicios para 1ro., 2do. y 3er. grado.

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TITULOS DE MATEMATICA * Muy variado es el conjunto de los demás artículos. El destacadísimo profesor belga y divulgador de los conceptos modernos, ZVilly Serváis, hace interesantísimas declaraciones a nuestra redactora Elsa Sabbatiel/o; J. De fíies se pregunta si es inútil la matemática moderna, Gattegno aborda el problema del elemento humano, Chevallier analiza minuciosamente ¡as definiciones de ángulo, Noel-Roca se refiere a los lugares geométricos y, finalmente, André Revuz analiza el presente y el futuro de la expe-

!

BARRY: Introducción a las transformaciones geométricas . . . BRITTON: Matemáticas Universitarias (2 Tomos) c/tomo . . .H ALMOS: Teoría intuitiva de los conjuntos (R) ......................HEIMER: Curso de álgebra contemporánea — T. 1 al 5 c/tomo HEIMER: Curso de estudio para el maestro — T. 1 al 5 c/tomo JOHNSON: Algebra lineal ..............KAUFMANN: Curso de matemáticas ..............KEMENY: Introducción a las matemáticas finitas ...................MEHLENBACHER: Fundamentos de las matemáticas modernasNICHOLS: Algebra moderna elemental .........................................NICHOLS: Algebra moderna ............................................................SUPPES: Introducción a la lógica simbólica ..............................SWOKOWSKI: Algebra universitaria ..............................................WILLERDING: Conceptos matemáticos: Enfoque histórico . .

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I

var;

nuevas

res;rienda francesa.

* Recordemos que 1970 ha sido declarado año internacional de la educación y hagámoslo reiterando nuestro firme propósito de ser útiles a los docentes, los alumnos y al público en general. En la enseñanza, particularmente en la de la matemática, estamos enfrentando nuevas situaciones y nuevos problemas que no se pueden resolver mediante simples retoques de los enfoques tradicionales porque el clima social del mundo es otro y la educación influye cada vez más en dominios cada vez más dilatados. Será, pues, necesario evaluar criteriosamente la situación y proceder en consecuencia, con prisa pero sin pausa.

Sepamos cumplir con ese desafío de nuestro tiempo.

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FRANQUEO PAGADO Concesión N? 2687 Los saluda atentamente

EL DIRECTOR

3

los alumnos pueden emplear en otros campos, por ejemplo, en el de la lingüistica. Existe en Bruselas una experiencia, en el Ate-

Real Adolfo Max, dirigida por el profesor Van Hout, que muestra aspectos muy interesantes en las estructuras gramaticales del francés moderno, al ser tratadas con método matemático.

pertenezco al Centro, soy miembro del Centro, y no concuerdo con él en muchos puntos. Los programas a que me he referido se están ajustando de acuerdo con los resultados de las experiencias realizadas; se trata de aunar criterios más que de seguir tal o cual línea reformista.

queLA ENTREVISTA

Willy Serváis neo

P. — ¿Desde cuándo se ha introducido Ia matemática moderna en ia enseñanza superior y en Ia media?

R. - En la escuela superior se introdujo progresivamente desde antes de la guerra; actualmente en todos los cursos universitarios se hace matemática moderna. En la escuela media, las experiencias de modernización se iniciaron hace más de 10 años con la creación de la Asociación de Profesores de Matemática. En un momento dado entramos en la reforma, cada vez más convencidos de su necesidad. Si hubiera que mencionar un "pionero" de la modernización belga de la enseñanza de la matemática, sería el profesor Libois quien, desde antes de la guerra, ya trataba temas modernos en sus cursos de la universidad.

P. — Se ha iniciado Ia enseñanza de la matemática moderna en ia escuela elemental?

R. — Allí estamos en pleno período de ensayos; no hay experiencias totalmente organizadas. Para el año en curso, el ministerio de educación ha decidido la participación de 20 escuelas neerlandesas en el movimiento vanguardista, y también el establecimiento de grupos experimentales tanto en la escuela secundaria como en la primaria de habla francesa. En estos núcleos, se trataría de poner profesores secundarios a disposición de sus colegas primarios para trabajar juntos en sus clases. En el último año lectivo se han hecho algunas experiencias de este tipo que mostraron la riqueza que se puede extraer del material de Djenes o del de Cuisenaire en el escuela elemental.

P. - ¿Se ha podido observar, profesor, mayor aprovechamiento de los alumnos con la introducción de temas de matemática moderna en la enseñanza?

R. — Con respecto al aprovechamiento de los alumnos se ha podido observar mayor interés y vivacidad para encarar situaciones y extraer conclusiones. Pienso que el fundamento

que actualmente se construye el edificio matemático en en la mente del alumno no sólo es importante para él sino que comporta, en cierto modo, una actitud espiritual

ELSA SABBATIELLO (Argentina) P. - ¿Qué es lo más importante de una

reforma?

R. — Lo más importante es la información de los docentes sin lo cual no hay reforma posible. Esa información debe ser proporcionada tanto matemática como pedagógicamente, pues si lo primero es fundamental, lo segundo no lo es menos, pues proporciona los procedimientos y medios que pueden usarse en el aula para un aprendizaje más rápido y efectivo. No menos importante es la redacción de manuales que complementa cualquier puesta ¿n marcha de un programa moderno. Pero, será necesario llegar a una enseñanza más individualizada de la matemática. El manual es útil por el momento, pero ya estamos ensayando las fichas, con las cuales el alumno trabaja más i ndepend ientemente.

Hay un cambio de fondo más: es la manera de hacer vivir la matemática a los niños.

Comúnmente, los profesores oficiales, como sacerdotes de la matemática, peroran dogmáticamente y se sienten más satisfechos cuando más silenciosamente escuchan los alumnos. Los errores de los alumnos eran considerados casi como injuriosos, como un pecado, "el pecado del error". Hoy se ha operado un cambio en la conciencia del profesor, el error ya no es pecado, es una ventana abierta a la comprensión, y por lo tanto conviene aclararlo. Es bueno tener alumnos que se equivoquen porque eso origina discusiones y debates constructivos. Sabemos que hay errores universales que, por lo general, se deben a la forma de organizar nuestra enseñanza. Para mí todo error es provechoso, pues obliga al replanteamiento del problema. Una vez pregunté a los alumnos: "Si digo espacio, ¿de qué estoy hablando? " Algunos alumnos contestaron; "Del interior de la clase", y otros: "Del espacio con las estrellas". Entonces advertí en qué medida muchas de las cosas que decimos y que nos parecen del todo naturales no lo son y tam bién que nuestros oyentes toman una acepción muy diferente de lo que decimos.

para el cuarto curso y, por tanto, ya se tienen completamente modernizados los programas de los tres primeros en toda la enseñanza secundaria, pero en el ciclo superior el programa es todavía experimental. El Centro Belga de Pedagogía de la Matemática propuso programas que fueron llevados a la práctica en diferentes escuelas por profesores modernistas. A su vez, la Comisión de Matemática pidió y obtuvo del Consejo de Perfeccionamiento Docente que los profesores fueran invitados a actualizarse según determinados lincamientos, indicando cuáles temas son más urgentes para toda módernización: espacios vectoriales, cálculo matricial y cálculo integral. Se pidió al mismo tiempo a los profesores la simplificación de algunos temas ya anticuados y el desarrollo de temas.más nuevos. Más adelante se podrá discutir en mesa redonda algo más que simples experiencias aisladas y llegar a un juicio común luego de esos ensayos generales de modernización, por fragmentarios que algunos

En definitiva, el problema es poner a punto el programa y los métodos que permitirán a muchos profesores embarcarse en la reforma con responsabilidad y satisfacción personal. Por ello, hoy se hace en Bélgica el esfuerzo por atraer a todos los de buena voluntad y para eliminar el abismo entre los informados y los que no lo están.

P* ~ ¿Todos los profesores de matemática belgas están de acuerdo con la reforma propuesta por Papy?

R. — Papy está dentro de una determinada orientación totalitaria y avasalladora; gracias a una gran publicidad y a su acción -es innegable que ha hecho contribuciones importantes- ha llegado a imponer sus ¡deas en la reforma. Por eso, los programas de que disponemos fue-

establecidos siguiendo las líneas directivas del Centro Belga de Pedagogía de la Matemática. Pero es necesario agregar que yo también

Sin duda, Bélgica es uno de los países que ha realizado un esfuerzo más importante en el campo de la enseñanza de la matemática de nuestro tiempo. En esa tarea, se ha destacado el profesor Willy Serváis quien, además de representar a su país en muchas reuniones internacionales, es secretario de la Comisión Internacional para la Enseñanza de la Matemática, dirige el Ateneo Real de Morlanwelz y es autor de una importante obra de divulgación, parte de «a cual se ha recogido en CONCEPTOS DE MATEMATICA. A su extraordinario valimento intelectual une al profesor Serváis un exquisito don de gentes que facilitó totalmente la entrevista que hoy resumimos para los lectores de habla hispana.

P. — ¿Podría decirnos, profesor, cuál es la situación de la enseñanza de la matemática en Bélgica?

R. — Acaso tengamos el mayor número de profesores actualizados en matemática, prácticamente la mitad. En este momento, la aplicación de los programas reformistas tiene carácter obligatorio y, por ende, al resto de los docentes no les queda otro recurso que informarse. La reforma se está intentando en nuestro país desde hace diez años; por ello, los que se han actualizado tiene una preparación superior a la del resto, el que siente algo así como un complejo de inferioridad y se resiste a todo lo que signifique actualizarse. Pero no se debe confundirlos con los que, poseyendo información completa, se oponen a la reforma. Hoy, los programas de matemática moderna están en vigor en todas las escuelas secundarias del país, existiendo un programa estatal y otro muy similar para la enseñanza libre, preparados por dos comisiones distintas, que no obstante se reunieron en conjunto y aunaron ideas, de modo que puede decirse que la orientación es prácticamente nacional. En estos momentos, se está terminando el programa

sean.

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I

'en Morlanwelz, hicimos algunas experiencias en los últimos años de la escuela primaria, pero no en los primeros. El método de Dienes nos interesa para saber en qué medida es posible transferir una estructura lógica aprendida con los bloques a cualquier otro material. Cuando se emplea un material tan estructurado, como el de Dienes o el de Cuisenaire, debemos asegurarnos de que el niño realice la transferencia; si al principio no lo hace, no tiene importancia, porque el material permite la ejercitación; la transferencia se realizará en el momento debido.

P. - ¿Considera Ud. más valioso el material de Dienes que el de Cuisenaire para la escuela primaria?

P. - ¿Cómo se ha encarado la actualización docente en Bélgica?

R. — En sus comienzos, la Asociación Belga de Profesores de Matemática publicaba boletines con algunos temas de matemática moderna y los docentes se fueron informando progresivamente. En 1961 se creó el Centro Belga de Pedagogía de la Matemática que tenía, con respecto a la Asociación, el deliberado deseo de hacer algo más moderno; allí, pues, se reunieron los que querían modernizar la enseñanza. Se organizaron grupos de trabajo, seminarios, jornadas en más de 20 de las principales ciudades belgas con la colaboración de profesores de buena voluntad, naturalmente adeptos a Papy, presidente del Centro. Eventualmente, Frédérique Papy actuaba en Bruselas. Ha de reconocerse que todo lo que se hizo se debió a la colaboración y buena voluntad de un grupo de profesores que participaron gratuitamente en la modernización. No debemos equivocarnos, la actividad fundamental del Centro consistía y consiste en realizar un seminario al comenzar las vacaciones, generalmente en Ar- lon, consagrado a un tema durante una larga semana.

P. — ¿Podría Ud. decirme por qué los números en color no han tenido aceptación total en Bélgica?

R. — Creo que en Bélgica se ha cometido una gran injusticia con Cuisenaire. Ello se ha debido a que el nuestro es un país pequeño en donde el debate objetivo de un problema es muy difícil porque siempre hay oposiciones. Además, los partidarios del método de Cuisenaire quisieron hacer creer que era universal. En nuestro país se practica en la escuela primaria una enseñanza de la aritmética y la geometría estrechamente ligada a la vida cotidiana; cuando llegó el material Cuisenaire un nuevo aspecto, más matemático, no todos comprendieron que ese aspecto no estaba reñido con la realidad del diario vivir. El mundo entero, gracias a Gattegno conoce el material Cuisenaire; creo que ahora Bélgica se está dando cuenta de su valor.

P. — ¿Ha tenido difusión en Bélgica el método de Dienes?

situación que la exposición del contenido cien: tífico. En la enseñanza de la matemática, las contribuciones de la pedagogía, la estadística y todas las demás ciencias, pueden servirnos para convetirla en arte, en el "arte de enseñar".

R. - No estoy, en verdad, muy informado sobre los detalles de la labor de los I.R.E.M., aún cuando conozco a los matemáticos que presiden los de París, Lyon y Estrasburgo. Tengo la impresión de que no se han cumplido totalmente sus objetivos, pero no hay ninguna duda de que, con las personas que trabajan en ellos, el resultado será positivo. En Bélgica, pa ra la investigación tenemos al Centro de Pedagogía de la Matemática, creación de iniciativa ministerial, no privada; está subvencionado por el estado, pero carece de "Status" de institución estatal. Se están gestando otro organismos que servirán a la vez para la investigación y la información pedagógica en los niveles primario y secundario. Lo que importa a mi juicio es coordinar las experiencias, que han de ser regionales, y luego realizar la evaluación.

P. — ¿Podría darnos su opinión sobre el congreso de Lyon?

R. — No podría resumir mi opinión en pocas frases. Asistí a algunas de sus manifestaciones, las conferencias generales, por ejemplo. Pude observar que las exposiciones de carácter general son de difícil adaptación para un público heterogéneo y el orador no sabe muy bien para quién habla. Si le comprenden los menos informados, se es trivial para los demás. Si por el contrario se habla para éstos, los primeros no comprenden absolutamente nada. Reconozcamos que nuestros colegas franceses hicieron un gran esfuerzo para presentar muchas cosas, pero creo que en el plano técnico de la organización de las sesiones importantes pudo hacerse algo más. Hubo mociones para organizar grupos más pequeños y se hicieron mesas redondas, pero no resultó el fruto deseado. Si bien hubo intercambio de ¡deas, hu biéramos deseado que ese intercambio hubiese sido mayor. Pero lo importante es que pudieran verse los que se ocupan de pedagogía de la matemática y pudieran confrontar esfuerzos, saber en qué se trabaja y cómo se trata, por diversos medios, de poner a punto la enseñanza de la matemática.

P. — ¿Qué puedo trasmitir de su parte a los docentes argentinos?

R. — Cuando nos comprometimos en la empresa de la modernización de la enseñanza de la matemática, creíamos que las cosas podrían hacerse más rápido. Lo primero que logramos fue la modernización matemática de los programas, acaso porque era lo más fácil, según creo. Hoy nos espera una larga tarea pedagógica: informar a los profesores y obtener el material necesario. Confío en los docentes, llegarán progresivamente al cambio porque cuando se informen sobre la matemática nueva y los nuevos métodos de enseñanza, comprenderán que lo que hoy se hace es mejor que lo que se hacía ayer y encontrarán una matemática más joven, más viva, más armoniosa, jor estructurada y con mayores aplicaciones; yo confío plenamente en ellos. Dígales a los docentes argentinos lo que en otra ocasión le

R. — Creo que se complementan. Se puede comenzar con las regletas y luego introducir sin inconvenientes el material multibásico. Se que se ha fabricado material multibásico P. — Profesor: esta mañana en el Centro

Internacional de Anderleecht hubo una sesión preliminar para crear un centro de investigación. ¿Qué características tendrá?

R. — Agrupará a los docentes de la zona de habla francesa y su sede será Anderleecht. Tendrán prioridad los problemas pedagógicos de la matemática en las escuelas primaria y secundaria, los métodos, los medios, formación de profesores y estudios sobre temas particulares. No hay duda que la modernización de la enseñanza primaria de la matemática será algo importante; la enseñanza tradicional tiene en Bélgica características muy particulares dado que su objetivo es su inmediata utilización para los problemas cotidianos.

P. — Ud. me habló hoy sobre el "arte de enseñar". ¿Puede agregar algo sobre tan interesante tema?

R. — Muchos dicen que la educación y la pedagogía son ciencias, hablan de las ciencias de la educación. En verdad, encierran aspectos científicos, sin duda alguna. Cuando se realizan estudios comparados de grupos de alum-

que trabajan con el método tal o cual, de inmediato se advierte el aspecto científico. Pero la pedagogía en la clase participa mucho más del arte que de la ciencia. En cualquier carrera científica -médico, ingeniero, etc.— se puede hablan de un "arte de curar", del "arte del ingeniero". Pero en tanto que la ciencia generaliza, el arte singulariza. No se enseña "a los alumnos" sino a "tal" o "cual" alumno. En la práctica de la enseñanza vale más la capacidad para adaptar la forma de presentar una

conlos colores del material Cuisenaire, lo que me parece innecesario pues cuando se aborda el multibásico ya se opera con números, necesita el color y, por tanto, no hay inconvenientes en la indicación de las unidades en el material mediante un cuadriculado. Si bien con el multibásico del Dienes se puede iniciar en el cálculo de cambios de base, no creo que pueda superar al material Cuisenaire. Y aún cuando la representación mediante el color fue usada desde hace mucho tiempo, por ejemplo, por la doctora Montessori, el valor del invento de Cuisenaire radica en haber dado un solo color a las regletas, de acuerdo con un sistema arbitrario para cada familia; ésto permite hacer álgebra con regletas antes que cálculos aritméticos.

ya no se

P. — ¿Qué opina Ud. de la enseñanza de sumas y productos en la escuela primaria?

R. — Sobre esta cuestión hemos tenido grandes dificultades. No es posible enseñar de memoria las tablas de sumar y de multiplicar. Un buen recurso es el de acostumbrar al niño a descomponer un número por operaciones variadas, lograr destrezas en la recomposición y descomposición, así como en la combinación para hallar las respuestas. Es más útil fijar la atención sobre productos trabajar intensamente "letanías" sin sentido.

P. — ¿Existe ¡a posibilidad de gica organismos similares Francia?

con

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nos

R. - El método de Dienes comienza a difundirse en Bélgica, especialmente los bloques lógicos, los multibásicos y la balanza algebraica. Menos conocido es, creo, el uso de las "máquinas" a las que considero un buen recurso

poco conocidos y con ellos que enseñar

me-

crear en Bél- 3 los I.R.E.M. depara dar la noción de operador. Aquí,

(Continúa en la pág. 32)6

7i

i.

PROBLEMATICA ACTUAL

Balance y futuro de las

experiencias

tisfactorio encontrar en todos el mismo entusiasmo, que se vio favorecido por la confianza manifestada hacia los experimentadores encargados de la aplicación de un programa nuevo en gran parte, y muy felizmente expresado públicamente por la Inspección General luego de la reunión nacional inicial. Este entusiamo fue reforzado y sostenido por las reacciones de los alumnos: las clases experimentales fueron recintos donde los maestros y alumnos sintieron placer, más que nunca, en hacer conjuntamente matemática en un clima de confianza recíproca total.

La discusión acerca de las maneras de presentar los temas de enseñanza imponía necesariamente profundizar y creaba para la "formación continua" de los maestros las mejores condiciones imaginables.

Los profesores comprometidos en la experiencia no disponían de ningún manual referente al programa a estudiar; por lo demás, todos deseaban instaurar una enseñanza activa que estimulara al máximo la iniciativa de los alumnos y permitiera a cada uno de ellos edificar su matemática mediante su reflexión personal, solicitada, excitada y guiada sin cesar. El medio empleado.fue la confección de fichas de trabajo distribuidas individualmente a los alumnos, proponiéndoles en forma de preguntas y cuestiones simples el estudio progresivo de diversos aspectos de una situación. Parte de los informes regionales está consagrada a los problemas de la confección y el empleo de las fichas y se dedica un comentario a las técnicas para el empleo de las mismas. Quisiera aquí insistir, sin embargo, sobre ciertos puntos para tratar de evitar todo malentendido.

a) Las fichas han revelado ser una herramienta excelente, pero ninguno de nosotros las presentará como una panacea que excluya todo otro medio.

el reemplazo de una ficha o más por otras nuevas juzgadas más satisfactorias, será siempre más cómodo que el de un párrafo o un capítulo de un manual.

d) La utilización de una misma ficha puede ser totalmente diferente en la clase, y todas las variantes han sido realizadas desde el trabajo estrictamente individual hasta el trabajo totalmente colectivo. La modulación de la parte referida al trabajo rigurosamente individual, al trabajo en grupos pequeños o al trabajo hecho en común por toda la clase, permite al profesor hacer variar la atmósfera de la clase y elegir para cada aspecto de una cuestión la fórmula que le parezca más eficaz; las fases de investigación requieren sin duda trabajo individual; las fases de conclusión y de puesta en forma de lo adquirido requieren más bien trabajo colectivo.

e) Una colección de fichas, provisoriamente puestas a punto por un equipo, demanda de parte de los profesores ajenos al equipo que la emplea un estudio previo por lo menos tan profundo como el de un manual. A este efecto, todo equipo deberá, para que su trabajo pueda aprovecharse más fácilemnte, acompañar su serie de fichas con comentarios detallados. Además, los que las empleen no deberán considerarlas como modelos intangibles que no hay más que seguir ciegamente; es deseable, acaso indispensable, que también ellos constituyan equipos y hagan un estudio crítico del material que les es proporcionado por los primeros equipos y ensayen, ayudándose con el trabajo ya realizado, redactar a su vez fichas que les parezcan mejores. Tiendo a reafirmarme al respecto que sería, a mis ojos, una ilusión muy grave creer en la existencia, en esta materia, de una única solución perfecta. No hay solución perfecta, no hay solución única mejor que las demás; el profesor debe disponer de métodos variados, cada uno de los cuales tiene sus ventajas y sus inconvenientes, cada uno de los cuales se puede revelar eventualmente más eficaz con ciertos alumnos que con otros. La enseñanza debe ser una investigación continua.

Hasta aquí nada he dicho acerca del contenido científico de la enseñanza, e intencio- nalmente he insistido primeramente sobre los aspectos metodológicos, pero sería el último en pretender que el contenido sólo es de menor importancia. En efecto, contenido y método reaccionan uno sobre otro, y las experien-

ANDRE REVU7 (Francia)

nadas, sin que njnguna pueda nunca pretender ser perfecta, habría vuelto insostenible la posición de cualquiera que hubiera querido imponer su punto de vista. Eso no quiere decir ciertamente que todo progreso pedagógico sea ilusorio, ni que la pedagogía no sea más que un arte que reposa únicamente sobre la intuición innata del profesor: la reflexión en pedagogía permite desembocar en resultados positivos y trasmisibles al prójimo, permite comparar los métodos; aún si és imposible clasificarlos según un "orden total".

No hay grupo humano sin tensiones internas y nadie me creería si afirmara que no las hubo en nuestros equipos, pero espero que se me creerá si digo que he comprobado que en la casi totalidad de los casos, esas tensiones se han subordinado al objetivo común y se han organizado para contribuir a la cohesión de los equipos.

Los equipos, en general, no eran homogéneos y por ello debemos más bien felicitarnos que apenarnos; los espíritus más lentos o los temperamentos más prudentes han desempeñado un papel tan útil como los espíritus más prontos y más osados. Aún los equipos más homogéneos no han impuesto una doctrina uniforme a sus miembros, y la originalidad de cada uno, lejos de ser sofocada me pareció, por lo contrario, alentada. Cada uno* encontró en el equipo información y apoyo; la osadía espiritual tenía vía libre puesto que iría a ser controlada por los demás; en desquite, una ¡dea emitida y acaso juzgada como trivial por su autor, podía ser retomada y desarrollada por otro que no la había tenido, pero que acaso percibiera con mayor facilidad su interés real. La reflexión conjunta permitió proceder con una osadía reflexiva, sin que la responsabilidad demente investido pesara hasta el punto de inhibir.

En la diversidad de comportamientos, es sa-

En el curso del año escolar 67-68 se realizó una experiencia oficial concerniente a la enseñanza de la matemática en cincuenta clases del primer curso secundario. La organización de la experiencia fue confiada a la dirccíón del Departamento de Investigación Pedagógica del Instituto Pedagógico Nacional.

Uno de los caracteres r .ás sorprendentes del trabajo cumplido es el espíritu de equipo que lo ha animado, y no tengo otro título para intentar aquí una síntesis de los informes más detallados que se encontrarán más adelante que el de haber sido miembro del equipo global, reunión de los equipos regionales, que a su vez, son la reunión de los equipos de establecimientos. Sería justo incluir en esos equipos a los directores de los mismos, todos los cuales han favorecido la tarea y se han mostrado entusiastas, lo mismo que los directores y personal del departamento de matemática que aportaron apoyo material y moral a la experiencia.

Los equipos de establecimientos se reunieron término medio por lo menos una vez por semana y algunas veces con mayor frecuencia; los equipos regionales por lo menos una vez por mes (algunos, una vez por semana); reuniones nacionales de frecuencia trimestral aseguraron mutua información, la discusión de los resultados obtenidos y la preparación del trabajo para plazos más largos. Las reuniones nacionales se realizaron en el Centro Internacional de Sévres, en el I.P.N. y en Grenoble.

En el seno de los equipos no prevaleció ninguna jerarquía formal, lo cual es muy natural, pues si se realiza una discusión sobre un punto matemático, no es tal o cual individuo el que tiene la última palabra, sino la matemática misma, y si la discusión era de orden pedagógico, como las divergencias no llevaban casi sobre los objetivos generales, sino sobre las maneras de encararlas, la multiplicidad de soluciones que pueden ser válidamente exami-

:

\b) Su elaboración exige un trabajo impor

tante, cuya primer ventaja consiste en dar un objetivo concreto a la preparación en común de la enseñanza.

c) El ensayo de una ficha en clase ha hecho menudo insuficiencias de la primeraaparecer a

redacción y ha provocado retoques algunas veces muy importantes. Ciertos equipos han empleado el intermediario de una nota crítica de

interno destinada a tener en cuenta las observaciones hechas en clase y a preparar la ulterior redacción de una ficha mejorada. Es necesario subrayar la flexibilidad del sistema.

usoque cada uno estaba consciente-

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más favorables cuanto más han sido informados de los objetivos generales. Señalemos que en Lyon se había instituido un curso de matemática para los padres cuya frecuentación, evidentemente benévola, ha sido notablemente numerosa y asidua.

Un informe no tendría más que interés histórico si su conclusión no examinara, a la luz de lo que sé ha hecho, lo que podría hacerse, y los problemas que es necesario esforzarse en resolver.

Los puntos que al respecto me parecen esenciales son:

a) Prosecución de las experiencias. Los equipos que han trabajado en el 67-68 en el primer curso, han proseguido el trabajo en el segundo curso con los mismo alumnos en el 68-69. Nuevos equipos, más numerosos que los precedentes, se han comprometido en una experiencia en el primer curso en el 68-69. El objetivo de esta extensión era múltiple: recoger más informes sobre las reacciones de los profesores y de los alumnos, comprometer al mayor número posible de maestros en la investigación pedagógica basada sobre el trabajo en equipos, crear núcleos de maestros alrededor de los cuales se podrán formar nuevos equipos en el 69-70 luego de la aplicación generalizada de los programas.

b) Horario de las ciases. El horario de las

tesco con las de longitud, área o masa, abordar el cálculo integral por el sesgo de las primitivas, son otros tantos errores que será necesario abandonar.

Las cuestiones clásicas referentes a la numeración se han beneficiado por la presentación "moderna'', y la introducción de los enteros relativos y de su adición, allí donde el encogimiento accidental del año escolar no lo ha hecho sacrificar, han sido efectuadas muy fácilmente.

Señalemos finalmente que numerosas clases dispusieron de máquinas de calcular de escritorio prestadas por los constructores; casi todos los alumnos se han mostrado entusiasmados. La disociación operada por las máquinas entre el mecanismo calculatorio de que están provistas y la reflexión sobre ese cálculo que ellas dejan a cargo de los que la utilizan, ha impuesto a los alumnos una toma de conciencia acerca del sentido y de las propiedades de las operaciones usuales. El temor de que olviden en esta ocasión las "tablas operativas" ha resultado vano, pues la mayoría ha podido recurrir espontáneamente al cálculo mental o al cálculo manual para las operaciones simples que la máquina no hubiera podido efectuar más rápido. La máquina les ha dado la ocasión de sentir la satisfacción de manejar lo "numérico ' y de adquirir a ese nivel una satisfactoria destreza.

investigación y el entusiasmo indispensables para una enseñanza de alta calidad.

d) Trabajo en equipo. Este trabajo sobre el cual he insistido al comienzo de este informe debe ser proseguido y mejorado: será necesario evaluar la estatura óptima de los equipos, la frecuencia óptima de sus reuniones internas y de su reunión con otros equipos. Habrá que buscar los medios para que su trabajo sea lo más fecundo posible (disminuir las tensiones o, mejor quizás, transformarlas en agentes de estímulo y de colaboración).

c) Experimentación pedagógica y formación continua. Ha parecido én el curso de los años pasados que el trabajo era fecundo, tanto en el plano de la experimentación pedagógica como en el plano de la formación continua de los maestros. Se debe estudiar con la mayor atención la interacción de la experimentación y la formación continua: la comprobación de que cada uno necesita del otro para ser verdaderamente eficaz parece surgir cada vez más nítidamente.

f) La supresión de las barreras, tanto horizontales como verticales que siempre tienden a volver a crear la variedad de los títulos universitarios y la de los docentes también ha mostrado su fecundidad. De la misma manera que trabajar en el seno de un equipo no significa bajo ningún concepto renunciar a su originalidad, lo mismo la colaboración de los diversos órdenes o especies de enseñanza no supone subordinación entre ellos, ni renunciamiento a su originalidad propia; en desquite, puede aumentar la eficacia de cada uno. Extender esta colaboración debe ser el objetivo de nuestros esfuerzos pacientes y perseverantes.

Es necesario vigilar especialmente los puntos de transición, lo que, en particular, impondrá en un futuro próximo informar a los maestros de los cursos medios de la enseñanza primaria de las transformaciones de la enseñanza de segundo grado.

g) Las condiciones materiales del trabajo, sirvientes muy a menudo olvidados o considerados como menores, tienen una importancia —a menudo irritante— pero fundamental. Ciertos grupos han estado a punto de ser paralizados, faltos de poder para resolver fácilmente el problema técnico de la impresión de fichas. Es indispensable que todo establecimiento disponga de material y de personal suficiente para policopiar documentos . Aparatos tales como los "vugraphes", proyectores de filmes de

(Continúa en la pág. 32)

cías en clases del primer curso ofrecieron un ejemplo sorprendente de ello. Recordemos que el programa estudiado es muy parecido al a- doptado por la Comisión Lichnérowicz que entrará en vigor en setiembre de 1969. Enseñar la parte "moderna" de ese programa sin acudir a los métodos activos habría terminado por privarlo de sus virtudes y reducirlo a una estéril lección de vocabulario, y puede decirse que la investigación de una enseñanza, válida a ese nivel, de las nociones concernientes a las relaciones, ha obligado verdaderamente a los profesores a una enseñanza activa: la actividad de los alumnos precediendo al uso de la terminología les permitiría estar seguros de haber suscitado un comportamiento intelectual autónomo y no caer en las trampas del verbalismo. Es necesario observar que el vocabulario se introduce espontáneamente cuando después del trabajo de investigación el grupo humano que es la clase toma conciencia de que ha adquirido una ¡dea nueva: tener un término para designar esa ¡dea es entonces una necesidad para poder comunicarla fácilmente al interior del grupo. Pero el témino o la notación, universal mente empleada (incluso si existen variantes de ella que es necesario señalar) será entonces fácilmente adoptado, porque permitirá no sólo entenderse fácilmente en el interior del pequeño grupo que es la clase, pero también en el grupo inmenso del mundo científico.

clases experimentales era de 4 horas, con 1 hora desdoblada dirigida a la mitad de la clase. Esta disposición se ha extendido a todas las clases de primer año en 1969. Un aumento de horario conduce a un cambio cualitativo profundo de la enseñanza: úna enseñanza activa exíje que se deje al alumno todo el tiempo necesario para que reflexione pausadamente y

propio ritmo. La doble sujeción

INumerosas reacciones de alumnos se consig

naron en los informes regionales. Las resumiré voluntariamente diciendo que testimonian el hecho de que han percibido la matemática como el objetivo de una investigación y eso me parece inestimable, pues a cualquier nivel al cual nos elevemos en esa ciencia no se adquirirá nada sino al precio de una investigación. Una matemática sufrida es desalenta-

°ra, una matemática hallada (aún con alguna ayuda) exalta y siempre es mejor compren-

1 a- el alumno de Poitiers que ha declara- o que en matemática no hay término medio

LfcJ? ° que se hace es o muy fácil o muy amen, ha expresado cándidamente lo dina cualquier matemático si tan mócentement bién agregaría vertir en

Las reacciones de los alumnos confirmaron esta evidencia —que es interesante señalar alguna vez— de que las nociones de base son bastante simples. En desquite, estando alerta la reflexión de los alumnos y abandonado el recurso del aprendizaje de recetas, las reacciones de los alumnos confirmaron esta otra evidencia: las nociones "clásicas" tales como las que conciernen a las medidas, están lejos de ser simples. Será necesario deducir de ello las consecuencias para los futuros programas; las cuestiones relativas a las medidas tienen fundamental importancia por sí mismas y por el hecho de englobar al cálculo de probabilidades y contener el germen del cálculo integral. Tienen derecho a un lugar escogido en la enseñanza de segundo grado y debieran ser progresivamente desarrolladas a lo largo de la misma. No hablar más que en el primer curso, donde es difícil hacerlo pertinentemente, para no referirse luego a ellas, introducir la noción de probabilidad sin mostrar su estrecho paren-

avance a su de respetar un horario muy reducido y de tratar completamente un programa, equivale a la condenación de toda enseñanza activa.

c) Programas. Es cierto que una causa del interés despertado por los profesores de las clases experimentales ha sido la novedad, para el nivel en que enseñan, de los temas del pro-

Se puede temer que los efectos de unaqueosara expresar

e su pensamiento pero tam- que su trabajo consiste en con-

™uy fácil lo como muy difícil. Esta dos los niveles.ciert(jS "defasaje'^a ^ !T PadreS S¡9Uen C°n

a las de los niños; son tanto

grama.motivación tal no se atenúen demasiado rápido: a ese respecto, debiera estudiarse la ¡dea de programas que comportan un núcleo mínimo obligatorio combinado con opciones. Sería un poderoso medio para evitar la esclerosis que amenaza a toda enseñanza y de mantener siempre vivo entre los profesores el espíritu de

que a priori aparece regla es válida en to-

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queña. Siendo asf ¿podemos estar seguros de que si Euclides hubiera podido observar espacios más extensos, si hubiera dispuesto de nuestros telescopios y de otros instrumentos modernos, habría todavía formulado los mismos axiomas? En otros términos, ¿conviene todavía la geometría euclidiana para describir la naturaleza tal como ella se revela a nuestro vigésimo siglo?

La teoría general de la relatividad nos da una primera respuesta a esta pregunta. Ella nos enseña que, cuando queremos referirnos a porciones importantes de nuestro espacio, incluso el universo entero, debemos abandonar la geometría euclidiana y recurrir a la geometría ríe los espacios métricos, o también, en sus versiones más recientes, a la geometría de los espacios afines, geometrías esencialmente no euclidianas.

Pero había otra parte de la naturaleza que era por lo menos tan inaccesible a Euclides como las profundidades del cosmos, el mundo de los átomos y de las partículas elementales, que ha tomado importancia tan considerable desde el advenimiento de las ciencias nucleares. Y nuevamente nos interrogamos: ¿aún es la geometría de Euclides una herramienta adecuada para esas ciencias?

Para no alargar indebidamente esta exposición, detengámonos en esta simple cuestión: ¿Cuál es la dimensión o, si lo preferís, cuál es el diámetro de una partícula elemental, tal como un electrón? Para el físico no existe nada fuera de las relaciones entre objetos materiales. Toda magnitud física se define por medio de relaciones de ese género. En particular, un diámetro es una cantidad que se define como una serie de operaciones efectuadas mediante una lista graduada o por un procedimiento que, en última instancia, se convierte en una lectura con una lista graduada. Tal procedimiento es, sin embargo inutilizable en la circunstancia, pues cada trazo de graduación, por fino que sea, interesa por io menos a„ un átomo y es, por tanto, más largo que la partícula a medir. Lo que no es medible no tiene sentido para el físico. Una partícula elemental no tiene, pues, dimensión, no tiene radio ni diámetro ni estructura geométrica. Cuando se penetra en el átomo, no sólo la geometría euclidiana se vuelve insuficiente; ninguna otra puede sustituirla.

Podemos hacer consideraciones análogas con respecto al álgebra clásica. Inspirada en la

parte de la naturaleza accesible directamente anuestros sentidos, esta álgebra puede convenir muy bien a la descripción de la porción de la naturaleza d$ la que ha surgido. Su adaptación a otras porciones no está garantizada y, en efecto, en mecánica cuántica, es decir, en física de las partículas elementales, se emplea a menudo con provecho un álgebra no conmutativa.

matemática moderna?4. Necesidad de la matemática moderna.

J. DE RIES (Bélgica)

Así, pues, las matemáticas clásicas, herramienta perfectamente adaptada a la física de los fenómenos a escala humana, se revela totalmente inadaptada para los otros dominios de la física, en particular, la física nuclear.

Si queremos continuar escudriñando la naturaleza cada vez más profundamente, si queremos perfeccionar nuestras teorías físicas, si queremos realizar nuevos progresos científicos, debemos ir más allá de las matemáticas clásicas y adoptar lenguajes más apropiados.

Permitir la creación de tales lenguajes es precisamente el objetivo de la matemática moderna.

magnitudes físicas. El objetivo superior del físico consiste en descubrir esas relaciones.

El físico se beneficia de una correspondencia entre sus conceptos físicos y ios conceptos abstractos. Supongamos que en la geometría elegida cada elección, retraducida en lenguaje físico, corresponda a una relación entre magnitudes físicas, reveladas por la observación de la naturaleza. Nuestro físico dispondrá entonces en esa geometría de una verdadera imagen del mundo exterior y encontrará en ella un lenguaje abstracto, riguroso y claro, eminentemente bien adaptado a la expresión de las relaciones de posición entre objetos naturales. Cada relación entre conceptos físicos, traducida en lenguaje abstracto, da una relación de geometría euclidiana. Esta última conviene, pues, perfectamente para describir los fenómenos naturales. No es nada sorprendente que, para describir la naturaleza, el lenguaje más apropiado sea precisamente el que ella nos ha enseñado.

3. Insuficiencia de las matemáticas clásicas.La circunstancia que acabamos de evocar

debiera tranquilizarnos acerca del carácter inamovible de las matemáticas clásicas. Y he aquí que son precisamente ellas las que, cuando las examinamos más de cerca, arrojan la duda en nuestros espíritus y hace aparecer la insuficiencia total de esas mismas matemáticas clási-

Retornemos primero a la geometría.La observación de la naturaleza, lo hemos

dicho, es la que ha inspirado a Euclides los fundamentos de esa geometría. ¿Pero qué sabía Euclides de la naturaleza? ¿Cuáles eran '« r^ec^'os ríe que disponía para observarla?

o disponía más que de sus ojos, de sus orejas y de sus manos: en una palabra no disponía más que de sus sentidos. La porción de universo que le era accesible era indeciblemente pe;

1. Para edificar una geometría, decidimos considerar un conjunto de elementos abstractos que constituyen la materia prima y no requieren, en consecuencia, ninguna definición complementaria. Esos elementos no poseen por sí mismos ninguna propiedad. Debemos pensar conviniendo ciertas relaciones denominadas axiomas que regirán su comportamiento mutuo. Fijados esos axiomas, podemos, usando las reglas de la lógica, deducir nuevas relaciones entre los elementos de base. El conjunto de todas las relaciones así obtenidas constituye una geometría. Es obvio que partiendo de diferentes sistemas de axiomas, desembocaremos en general en geometrías diferentes. No existe, pues, una geometría, existen tantas como sistemas de axiomas no contradictorios, es decir, una infinidad.

La elaboración de un álgebra es semejante. Tenemos libertad para la elección de los axiomas y podemos, por tanto, concebir infinidad de álgebras.

Entre esta infinidad de álgebra y esta infinidad de geometrías, la geometría de Euclides y el álgebra numérica parecen gozar de una posición privilegiada. No hay en ello ningún azar. La naturaleza es quien ha inspirado a Euclides en la elección de sus elementos y de sus axiomas. Igualmente, la creación del álgebra clásica fue inspirada por la observación de la naturaleza.

2. El físico estudia exclusivamente relaciones entre objetos materiales, hace reaccionar los objetos entre sí, realiza operaciones mediante esos oojetos y se vale de esas operaciones para crear conceptos físicos. Estos concepto? físicos no tienen nada de común con las /lociones abstractas designadas con el mismo nombre en geometría y en álgebra. La existencia de leyes naturales se traducirá por la aparición de relaciones constantes entre

En fin, ved aquí, pues, entrar en escena, casi al bajar el telón, después de hacerse esperar, como si fuera un primer actor, a la matemática moderna, objeto espantoso para muchos escolares, objeto de terror pánico para casi todos sus padres.

Digamos enseguida que de moderna no tiene más que el nombre. Tiene como base a la teoría de los conjuntos, cuyos fundamentos se encuentran casi íntegramente en tratados de hace medio siglo, pero bajo otro pabellón, el de la lógica. Sitúa, pues, acaso sin declararlo claramente, a la matemática en su lugar exacto: la matemática constituye una parte, notablemente desarrollada por otra parte, de lalógica.

La matemática moderna aborda el problema desde muy arriba. No se interesa en un lenguaje matemático particular, ella concierne a todos. Tantos sistemas de axiomas, tantos lenguajes matemáticos, lo hemos visto. La matemática moderna ha de poner orden en esta multitud. Clasificará los lenguajes en familias, en función de los caracteres comunes presentados por los sistemas de axiomas que los rigen. Pondrá de relieve las propiedades esenciales que poseen todos los miembros de una misma familia. Permite así sobrevolar el dominio completo de la matemática realizando la máxima economía de pánsamiento.

(Continúa en la pág. 18)

cas.

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que yo había colocado alrededor de la matemática.

Durante mucho tiempo, un matemático tras otro habían fallado en la comprensión de la naturaleza de un postulado y hallado que era muy difícil comprender que el postulado de Euclides no necesitaba ni ser probado ni aceptado. La historia de este largo episodio mostróme que mi actitud religiosa no se debía a mi propio servilismo intelectual o a mi idiosin- cracia, sino que era muy común. Como resultado de la mera conciencia de este hecho, fui capaz de comprender que la creación en matemática venía de adentro, por un deliberado movimiento mental trasladado a nuevas definiciones y axiomas.

Poco después descubrí una imperfección en una demostración de un matemático conocido y productivo, y procuré hallar una nueva demostración que salvara su teorema. El estudio de lo que me ocurría me ayudó a separar las partes del tiempo en dónde el hombre todavía mostraba sus imperfecciones de las otras en donde los dioses parecían haber sido los arquitectos. En las primeras pude ahora ver más claramente —pero todavía no muy bien— el impacto del prejuicio, la creencia y la moda. Aparté las últimas de mi vista de motfo que ni siquiera necesité soñar con echar una mirada crítica.

Hace 40 años el trabajo de Cantor era nuevo incluso entre los matemáticos en actividad. Puesto que yo era autodidacto y estaba bajo la incierta influencia de lo que cayera en mis manos, las ideas de Cantor (tal cual aparecen en las numerosas monografías publicadas por Emile Borel) fueron la tela de mi pensamiento desde 1930 en adelante. Supe de la oposición de Kronecker y Félix Klein a la teoría de conjuntos; me enteré del entusiasmo de los franceses y de las nuevas teorías que ellos produjeron; de los esfuerzos de Peano, Bertrand Russell, Hilbert y otros para esclarecer sus fundamentos, que todavía se consideraban débiles debido a las numerosas antinomias que revelaban.

El rumbo que dominaba las discusiones entre las dos guerras mundiales pudo ser sintetizado por lo que me dijo Paul Dienes en 1946 con respecto a Brouwer y su lógica intuicionista: que los matemáticos trabajan como siempre lo han hecho en los días laborales y que se preocupan de los fundamentos los domingos. En verdad, existió una situación

esquizofrénica en matemática: observando el edificio nadie creería que algo pudiera estar mal con respecto a los fundamentos, pero una mirada a los fundamentos parecía convertir en ilusión la visión del edificio.

En Francia, e! equipo denominado Bourbaki inició un completo repensamiento de la matemática y en 1936 comenzó a publicar sus Elementos. Su trabajo tuvo consecuencias de largo alcance. El mero hecho de que una "pequeña" colección de capítulos pudiera reemplazar a toda la matemática desarrollada hasta nuestros días era en sí mismo perturbador; el edificio que había parecido tener una majestuosidad que cubría toda la evolución de la humanidad estaba ahora por ser presentado como un sistema deductivo. Unos pocos conjuntos de axiomas, bien "elegidos", podían proveer todo el equipaje mental, el cual, con la maquinaria del "razonamiento matemático" podía producir todo el contenido de la matemática. De aquí en adelante, la matemática sería independiente de toda otra experiencia; sería un juego intelectual jugado por los que sobresalieran en él y lo saborearan.

REFLEXIONES

El elemento humano

en la matemáticaCALEB GATTEGNO

(Inglaterra)

cía que separaba mi mente de las de ellos sino también orgullo por serme permitido este contacto espiritual.

La matemática tiene existencia propia, yo la vi como una colección de capillas esculturales que formaban un templo grande y hermoso. Lo que me exigía no eran sólo mis potencias intelectuales, sino todo mi yo. Yo, el pigmeo, podía vagabundear libremente en espacio sagrado, reverenciándolo mucho y aprendiendo ciertas de sus leyes tan literalmente como podía, aún si en ciertos momentos no comprendiera completamente lo que ellas establecían.

Mi biblioteca creció; leí extensamente y a menudo, medité sobre el significado de alguno de los títulos de las Notes é l'Académie des Sciences, escritas por los genios de la época. Lo que realmente había dominado era tan insignificante que meramente me servía para un intento de aprobar los exámenes. Nunca creí ni por un momento que los dones de los escritores de memorias o libros podrían pertenecer a seres como yo mismo. Cierta vez, cuando uno de mis primeros profesores de matemática, a quien yo respetaba por su erudición, dijo a un grupo de jóvenes que me incluía, que acaso un día hubiera alguna integral Cale- biana (reminiscencia sonora de la Abel ¡ana); sentía fluir la sangre a mi cabeza así como una oleada de orgullo. La vergüenza se debió al hecho de ser identificado con lo que reverenciaba, y el placer al hecho de que no podía oir mayor halago.

La seriedad con que se escribieron las historias de la matemática también ayudó tener mi sentimiento de reverencia.

No obstante, algunos escritores de geometr as no euclidianas y de teorías de conjuntos, algunas anécdotas de las plumas de escritores eminentes como Henri Poincaré y Félix Klein, estaban abriendo una brecha en el alto muro

A la memoria de Geoff Si/lito

Puede ser un tributo adecuado hacia una persona que dedicó gran parte de su energía y pensamiento a la reducción del sufrimiento y trató de comprender las razones que acompañan la existencia de hechos confusos, intentar escribir este artículo que saca a luz más bien una disposición de ánimo que hechos.

El elemento humano a través de los años, se ha vuelto cada vez más una fuente de inspiración y de visión interior. Hoy puedo decir que soy capaz de rastrear a través de los últimos cuarenta años, el surgimiento, el florecimiento y el estado actual de mis conocimientos acerca de la relevancia de este elemento humano a punto tal que su historia refleja el descubrimiento de mi vida interior en lo que se refiere a la parte intelectual. Puesto que Geoff Sillito estuvo asociado conmigo en algunas partes de este camino, siento su presencia cuando escribo los siguientes pensamientos, que ofrezco a nuestros colegas como para que el lector se sienta en contacto con él.

Mi sentimiento permanente como estudiante fue de reverente temor siempre que mi mente se internaba en el campo de la matemática. Cualquiera cuyo nombre estuviera relacionado con el tema recibía de inmediato mi más profundo respeto. Los griegos que desarrollaron la ciencia de la geometría, los fundadores del moderno análisis en el siglo XVII, los adalides como Lagrange, Cauchy y Riemann me subyugaban, y yo leí sus trabajos tal como otros se acercan a los libros sagrados de su religión.

No podía escapar a la creencia de que esa compañía, proyectándose en el tiempo y en el espacio, era en su calidad algo similar a sentarse al pie de los grandes maestros y generaba en mí no sólo humildad a causa de la distan-

Esta concepción de la matemática (singular) como un tapiz, tejido por las hábiles manos de la gente que había aprendido el método axiomático, fue casi universal mente adoptada muy poco después de la guerra cuando se restablecieron las comunicaciones.

Las crisis finiseculares y el pedido de ayuda de los psicólogos condujo a un autopsicoanáli- sis de los matemáticos que observaron sus más profundos niveles de estructuración mental y hallaron allí "estructuras" y "relaciones". Venerables capítulos de la matemática fueron abandonados y reemplazados por el estudio de estructuras subyacentes. Como si árboles completamente desarrollados hubieran perdido de repente su atractivo y sólo tuvieran belleza, el agua, el aire, los nitratos, etc., que eran necesarios para su crecimiento, los matemáticos estuvieron ocupados en producir herramientas que, se lo presumió, permitieran un ajustado examen de esos distintos componentes. La experiencia estética ya no se adquirió contemplando el edificio, sino acumulando los ladrillos y la mezcla con los cuales había sido hecho.

a men-

Cuando se señalaron los vastos entes denominados "categorías" pareció que los "abstractores" habían alcanzado su objetivo; ese por el

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:-

Edad Media porque la gente estaba preocupada con la salvación de sus almas, una tarea

se les aparecía como llena de trampas. Posteriormente, cuando el hombre miró a la Creación con su razón -partiendo de la premisa de que la mente de una criatura caída y el contenido del mundo eran del mismo nivel y esencia- la matemática toma su inspiración del mundo natural, y fue observada por las mismas mentes. Galileo, Descartes, F.ermat, Newton..eran al mismo tiempo tnatemáti- cos, físicos, astrónomos, etc. El estudio de la morada humana durante los últimos 300 años ha requerido tanto herramientas mentales (matemáticas) como instrumentos materiales. Su coexistencia hizo que Poincaré y otros miraran la matemática como teniendo que justificar la "realidad" de los números imaginarios. Ellos vieron la "realidad" de los espacios no eucli- dianos como un desafío a lo consciente.

Espero que algunos lectores verán que es posible realizar muchos estudios interesantes sobre el contenido de lo consciente de los matemáticos -comenzando con los egipcios, babilonios y griegos, y siguiendo con los más numerosos ejemplos de los tres últimos siglos— y de ese modo arrojar luz interior sobre la historia de la matemática.

cual sólo podemos descender a lo "concreto" de entes construidos por elección y por gusto, lo mismo que los artistas usan telas y colores para producir cuadros que sólo dependen del humor, saber y oportunidades del pintor particular.

Se estaba creando una nueva tensión. El análisis de la mayoría de las nociones matemáticas condujo a una u otra de las estructuras destacadas, y su comportamiento podía ser previsto de la naturaleza de esas estructuras. Aún debía encontrarse en la naturaleza de las estructuras, que ahora aparecían como estructuras mentales que se revelaban a través de un proceso de purificación llamado abstracción una cualidad universal y obligatoria de la matemática.

No obstante, además de esta cualidad universal (de la cual se aprovechan los matemáticos cuando dicen al lego que ella los hace competentes en todos los campos del estudio racional); también se dio entrada en la mente de los matemáticos al toque individual, al giro impredictible, de modo que mientras en 1901 Hilbert pudo expresar en favor del cuerpo de matemáticos en actividad los pocos desafíos más importantes de los matemáticos que yacen en el futuro y que requerirán los esfuerzos más denodados, en 1968 cualquier conjetura acerca del futuro de la matemática es igualmente válida. Incluso puede resultar una ocupación trivial para mentes ociosas.

Entonces, la matemática refleja, como cualquier otra actividad humana, las cualidades humanas personales, individuales que hacen que su futuro sea completamente abierto como debe haber ocurrido en diversas fases de su pasado antes de que ellas ocurrieran —aunque todo esto pueda ser sólo aparente cuando miramos hacia atrás.

La matemática está en las mentes de los matemáticos. Su cualidad eterna coincide con la creencia de que el hombre siempre existirá más bien que con el cuadro de un dominio de las ideas permanentes en el cual puede entrar el hombre para recoger algunas.

Volver a escribir la historia de la matemática desde el punto de vista de que todo lo que se ha producido refleja las preocupaciones de los hombres en sus respectivas sociedades, constituye una tarea fascinante que veo tan fácilmente hecha cuan extremadamente útil.

Por ejemplo, no hubo gran necesidad de matemática durante los primeros tiempos de la

porte (y concordó en que lo hizo), mientras que otro usó un soporte bidimensional para su pensamiento (también concordó en que lo hizo). Un tercero fue sorprendido en una confusión al principio y entonces se le preguntó sobre lo que estaba haciendo mientras se observaba el trazo (y dijo que había perdido el hilo de su argumento al principio y estaba luego tratando de considerar el recíproco del teorema usando un modelo analítico no geométrico).

el pasado solicito permiso para continuar con un estudio que me ha servido mucho, permitiéndome renovarme repetidamente en cada uno de los campos en que he estado trabajando durante esta vida.

Puesto que la matemática es el resultado de una actividad mental, es obvio para mí que sólo la toma de conciencia, la mente en el trabajo, generan los problemas que la mente asimila.

Por tanto, cuando miro los innumerables problemas que la mente se propone a sí misma para esclarecer mejor su propio funcionamiento, no estoy preocupado por el futuro de la matemática. En verdad, la matemática puede ser considerada como la actividad especial de la mente que puede ser realizada para acompañar a cualquier otra y que produce clases especiales de modelos, de modo que la mente puede contemplar esas otras actividades con las herramientas que ya poseía. Aislar la actividad mental denominada matemática es tan fácil como combinarla con cualquier otra pues es una propiedad de ¡a 'mente ais/ar y combinar, dar irrtportancia o ignorar, particularmente cuando lo hace consigo mismo.

En este contexto, una de las direcciones más promisorias para el desarrollo de la matemática será el conocimiento de lo que está vinculado por los diversos funcionamientos mentales denominados lenguaje.

Este artículo no es el lugar para intentar un estudio detallado de esta cuestión. En verdad, luego de años de contemplación, aún no soy realmente capaz de ser lo suficientemente coherente para que los enemigos y las personas indiferentes tengan la paciencia de escucharme. Sólo los amigos, íntimamente amigos, son hoy en día mis auditores (otro aspecto humano que no debe olvidarse) y por eso han dicho que la cuestión parece muy interesante pero enormente compleja.

Lo que puedo decir al público es que la literatura sobre lingüística sugiere que es extremadamente complejo hablar sobre el problema del aprendizaje pues el lenguaje presenta tantas variantes y estructuras que no bastan legiones de lingüistas para profundizarlo, clasificarlo y entenderlo del todo. Sin embargo, cada uno de nosotros aprendió a hablar antes o alrededor de los dos años. El equipo mental para dominar esta destreza debe existir realmente y prueba su existencia funcionando. La matemática puede intentar producir un mode-

que

Este experimento probó que el problema que planteé no era del todo inútil y que el "gayógrafo" es un instrumento para tales estudios. El proyecto fue abandonado antes de realizarse el Congreso debido a la falta de fondos pero todavía creo que nos enseñará algo importante, acaso vital. Estoy personalmente interesado en cooperar con cualquiera que:

(a) crea en la personalidad y su papel en nuestras conductas, de las cuales una es el pensamiento matemático,

(b) pueda administrar un proyecto de investigación semejante.

Para el lector general, agrega algo de un aspecto más del elemento humano en la matemática.

Cuando se ha sobrevivido a tantos choques como los que he sufrido mientras estudiaba las actitudes de los matemáticos a través de los siglos encontrando que los griegos no podían considerar a ciertos números (a los que llamaban irracionales) en la forma en que consideraban a los otros; que, como dice Vieta, sólo los infieles podían tratar las cantidades desconocidas como si fueran conocidas, que hubo que tener mucho, coraje para escribir, publicar y enseñar geometría no euclidiana cuando la ortodoxia sólo soportaba a Euclides; que Euler nunca pensó realmente sobre la continuidad, que Riemann no vio que un punto particular de su trabajo era incierto, cuya prueba requirió que Hilbert y Hadamard propusieran nuevas ¡deas; que Cantor tuvo que pelear para ser oído por sus colegas sobre lo que desde entonces se ha vuelto el ABC de la matemática; que aún hoy los fundamentos de la matemática son inseguros porque las personas difieren entre sí, uno advierte que se ha alcanzado un momento sumamente interesante de la historia y se pregunta: ¿Dónde encontrarán los matemáticos nuevas fuentes para la continua renovación de los desafíos y problemas que ocupan sus mentes? Antes que extrapolar desde

En 1954, en el Congreso de Matemática de Amsterdam, jugué con la ¡dea de que puede haber una base psicosomática para que las personas elijan ser algebristas, topólogos, analistas, probabilistas, etc. Por tres años, había usado un instrumento que llamé gayógrafo (por A. Gay, su inventor) para ciertos estudios de las estructuras de la mente y pareció una herramienta adecuada para la producción de trazos que reflejaran lo que hacían los matemáticos cuando estaban tendidos pensando sobre un problema.

El origen de mi creencia de que podríamos analizar los trazos producidos por los matemáticos mientras trabajan, determinar una cualidad que pudiera arrojar alguna luz sobre si hay o no una base temperamental para la elección de un campo de estudios, debe buscarse en una reunión que tuve en Melun (Francia) en 1952, cuando pedí a unos pocos matemáticos (entre los que estaban Gustave Choquet, ean leudonné y André Lichnerowicz) que

pensaran en e! mismo teorema clásico, el de o zano. Vi variaciones en los trazos los cua

les sugerían allí y en ese momento que uno de e os argumentaba usando una línea como so-

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I!'

equivalencia, que lleva dentro de sí la componente dinámica de la transformación, es el concepto cardinal de la matemática.

Acaso algún dfa sea capaz de relatar fe historia de la "equivalencia a través de la transformación" y su lugar en el estudio del lenguaje.

lo de trabajo para exhibir esos rasgos con un estudio de lo que es el lenguaje para los que lo emplean.

Cuando los lingüistas usan la matemática para describir su conocimientos se apropian de modelos de la literatura existente, modelos producidos originalmente con un objetivo del todo diferente y los cuales, más a menudo que no, fallan para suministrar una comprensión más protunda de la situación. Este empleo de la matemática existente parece legítimo a los lingüistas tal como ocurre con los ingenieros, físicos y biólogos. Lo que estoy proponiendo aquí es el proceso opuesto: la creación de una nueva matemática y su problemática con el objetivo de formalizar el conocimiento de la dinámica del lenguaje.

Una de las dificultades reside en que la comprensión de los significados precede a la verbalización y las palabras per se no son el mensaje, sino tan sólo uno de los posibles vehículos del mensaje. Por tanto, la matemática del lenguaje no puede, en efecto, resultar del análisis de sentencias, sino que sólo puede surgir de la comprensión de lás misteriosas maneras en que ellas conducen los significados. Para tener un modelo de trabajo -una matemática— es necesario blandir el lenguaje libre

_ de todos sus adornos innecesarios y alcanzar la manera en las que los significados seleccionan sus propias expresiones y las colocan adecuada y correctamente en el flujo del lenguaje de manera de suministrar, a través de un conjunto de transformaciones, las equivalencias requeridas. Es mi opinión hoy en día que la

LA ESCUELA PRIMARIA

os con untosPor muy desarticulad© que pueda parecer es

te artículo, su Tinidad existe y está en mí. Sólo podemos alcanzar el elemento humano en la matemática cuando recordamos que detrás de cada escrito científico hay una persona que lo ha escrito después de muchos días, meses y aún años de chapucerías, dudas, certezas, exámenes agudos de casos especiales (nunca mencionados antes), a menudo con la creencia

JAMES W. HEDDENS (Estados Unidos)

Hoy muchos programas de matemática moderna a nivel de la escuela elemental están enseñando los conceptos y el lenguaje de los conjuntos. Se enseña el tema para suministrar

herramienta que es útil, no sólo para la aritmética sino para toda la matemática. La matemática moderna subraya la importancia del lenguaje preciso y la expresión exacta. Porque su lenguaje es preciso es natural introducir los conjuntos lo más pronto posible en el desarrollo matemático del niño. Empleando la terminología y las operaciones de los conjuntos, estamos capacitados para describir ¡deas matemáticas y realizar operaciones que prueban, a menudo, ser difíciles y fastidiosas cuando sólo se emplean términos tradicionales.

El estudio de los conjuntos en los grados elementales no será un punto de partida radical para la mayoría de los maestros, porque probablemente encontrarán que han usado y enseñado esas ¡deas durante algún tiempo pero se han referido a grupos más bien que a juntos. Al tratar los conjuntos, el maestro comprobará que sus ¡deas acerca de los grupos simplemente se han expandido y formalizado.

¿Qué lleva con Ud. cuando juega golf? ¿Qué comprará si necesita platos para servir a ocho personas? Sí; Ud jugaría golf con un conjunto de palos de golf, y Ud. compraría conjunto de platos. Usando estos dos ejemplos, podemos discutir la naturaleza de un conjunto. Aunque en matemática no se lo defina formalmente, se puede considerar como conjunto a cualquier colección o grupo de cosas o ¡deas que se describen con precisión y colocan juntas. Las cosas o ¡deas que componen un conjunto dado son denominadas elementos (o miembros) del conjunto. El conjunto de palos de golf y el conjunto de platos están descritos específicamente; cada uno de esos conjuntos es una colección de objetos similares colocados juntos con un objetivo

particular. No obstante, un grupo o colección considerado como conjunto puede estar compuesto por ideas, números, personas, formas, cualquier cosa. Los objetos e ideas, por sí mismos, no forman conjuntos, pero sí lo forman cuando elegimos pensar de ellos como tales. A menudo, se emplean otros términos para indicar un conjunto, tales como equipo, multitud, hato, club, familia. Estos términos indican que los miembros de un conjunto tal tienen alguna característica común. Un hato sugeriría que todos los miembros son elefantes (o gatos, o bisontes, o algo semejante); un equipo indica dos o más personas que juegan o trabajan juntos. Sin embargo, un conjunto puede estar formado por elementos que casi nada tienen de común, un árbol, una casa, un auto, por ejemplo. Un conjunto, en matemática, puede estar compuesto por cualesquiera elementos que elijamos para incluir en él. Lo único que los elementos deben tener en común es el hecho de estar incluidos en el conjunto.

Podemos describir un conjunto de varias maneras diferentes. Podemos hacerlo tomando los objetos reales y colocándolos juntos. Por ejemplo, una fiesta en el aula requiere un comité de decoración; los miembros designados para ese comité son Isabel, Juana y María. Se observa que este conjunto está compuesto por elementos reales. Cuando trabajamos con artículos reales o tangibles, llamamos a eso una situación concreta. Una segunda manera de describir un conjunto es mediante el dibujo de cuadros de los miembros del conjunto. Un conjunto de tres sillas podría, entonces, representarse de esta manera

unade que la tarea tal como aparece no está todavía completada y necesita una reexaminación. Primero llegan los matemáticos y sólo después

la matemática. La ambigüedad de la situación es creada por la coexistencia de cierto número de matemáticos. Algunos representan el pasado (ellos sintetizan el edificio, la institución) y algunos el futuro.

Para mí el futuro es más fascinante que el pasado y yo. me esfuerzo por estar en él tanto como he estado en el pasado cuando estuve magnetizado por él hasta el punto de paralizarme. El futuro desconocido no parece operar de la misma manera. Es más bienvenido y, de hecho, más real

Nota de R: Publicamos este artículo del destacado profesor inglés en versión de la profesora Cristina Verdaguer de Banfi.

con-

(Viene de la pág. 13)Basta entonces seleccionar un sistema de

axiomas bien determinado para encontrar tal lenguaje que deseamos y situarlo muy exactamente entre los demás. Así es, en particular, como sin nuevo esfuerzo reencontraremos a las matemáticas clásicas. Estudiar matemática moderna no significa abandonar el estudio' de las matemáticas clásicas, muy al contrario. Pero significa concebirlas como caso especial de una teoría mucho más vasta, situarlas en su contexto verdadero y, por tanto, conocerla mejor.

Gracias a las consideraciones que precedieron a su entrada en escena, no bien llegado el primer actor, podemos concluir respondiendo a la cuestión planteada en el título de nuestra exposición:

"¿Es inútil la matemática moderna"?

"Ciertamente no, no lo es"."Entonces ¿es útil? ""Menos todavía"."¿Entonces? "Entonces... ella es indispensable. ¡A me

nos que renunciemos de una vez por todas a lograr nuevos progresos científicos! "

Adivino que muchas otras cuestiones arden todavía en vuestros labios: ¿es necesario ensenar matemática moderna desde el ciclo secundario? o ¿es incluso necesario examinar su incorporación a los estudios primarios? Estas cuestiones están fuera del marco de mi exposici n y por tanto ño las responderé. No soy especialista en la materia y las reflexiones que os e entregado son totalmente personales. Espero, no obstante, que habrán contribuido a arrojar alquna luz sobre el tema.

un

Figura 1

1819

•:

;

conjunto particular. Por ejemplo, el an-En lugar de trabajar con sillas reales, usamos dibujos de las sillas para representar los objetos reales.

Urdíamos a esto situación semiconcreta o sem¡abstracta. También puede describirse un conjunto usando símbolos abstractos. Podemos usar las letras a, b y c para representar las sillas. También se puede describir un conjunto usando palabras, por ejemplo, "el conjunto de todos los Chevrolets 1970". ¿Son las palabras y los símbolos tan precisas como las otras maneras de describir conjuntos? Si. En cada caso, tenemos descritos clara y precisamente los miembros del conjunto dado. Es sumamente importante que nuestros conjuntos estén bien definidos. Un conjunto esta bien definido cuando prontamente podemos decir con exactitud cuáles son los elementos del conjunto. Considérese esta descripción: "todas las muchachas lindas de la escuela de Browns- ville". Este conjunto ¿es claro para todos? No, porque linda no es un término preciso.

La ¡dea de una persona sobre "linda" no significa que siempre concuerde con la ¡dea de otra persona. Otro ejemplo pudiera ser: "Todos los árboles altos de la Selva Sherwood". Nuevamente, no es un conjunto bien definido, "alto" no tiene un significado preciso. ¿Es alto un árbol de 1,50 m? ¿un árbol de 3,60 m? ¿un árbol de 18 m? Podemos describir los elementos de un conjuntó con precisión de manera de tener un conjunto bien definido. Así, el conjunto de los árboles altos de la Selva Sherwood que están sobre los 12 m es un conjunto bien definido. El conjunto de todas las margaritas del jardín de la señora Smith está bien definido; el conjunto de todas las flores bonitas del jardín de la señora Smith no está bien definido.

a unterior Conjunto A está compuesto por tres miembros o elementos. Podemos establecer

uno de los elementos del Conjunto A

Un conjunto que no tiene elementos es denominado conjunto vacío o conjunto nulo. Otro símbolo usado para designar al conjunto vacío es 0. Obsérvese la distinción entre el conjunto vacío y el conjunto cuyo único elemento es cero.

representa la propiedad numérica de la condición de cinco, de modo que podemos escribirque a es

y escribiraE A (Léase: "a es un elemento del Con

junto A")

n (B) =5

que se lee: "el número cardinal del conjunto B es cinco".

Usando terminología conjuntista, podemos ahora hablar o sobre el conjunto mismo, por ejemplo

F = AüírOo F = triángulo, cuadrado, estrella, círculo) o sobre la propiedad numérica asociada con el primer conjunto, en este caso n (F) = 4.

E = {0}En forma semejante podríamos decir:

be A cEA

El conjunto E es el conjunto cuyo único elemento es cero. El conjunto tiene un elemento, mientras que el conjunto vacío no tiene elementos. Hay un solo conjunto vacío. Cuando estamos describiendo el conjunto de todas las jirafas del aula o el de todos los marcianos del congreso, estamos describiendo ai conjunto vacío.

A veces nos interesan no los elementos que componen un conjunto sino sólo una propiedad particular del conjunto. Una propiedad tal, que habremos de considerar, es el número cardinal del conjunto. El número cardinal de un conjunto dado es el número que indica cuántos elementos posee el conjunto. Se usa un simbolismo especial para indicar el número cardinal de un conjunto. Consideremos el conjunto siguiente:

Para indicar que un elemento no pertenece conjunto dado, escribimos €. Así dado el

conjunto A = { a, b, c } podemos escribir:

d£Am 0 A, y así sucesivamente.

Para indicar que cada elemento del conjunto debe estar declarado, empleamos los términos tabulados o hacemos una lista. Así, si se nos pidiera que registráramos al Conjunto B cuyos elementos son las cinco primeras letras del alfabeto, escribiríamos:

B = { a, b, c, d, e ^

Un conjunto de cinco elementos puede ser tabulado asignando un número a cada elemen-

a un

El número cardinal de un conjunto dado se determina apareando los elementos del conjunto con los sucesivos números para contar, comenzando por uno.

B = { a, e, i, o, u }t t $.$ t

C = {1,2, 3,4,5)

\a, e, i, o, u}

El número cardinal de este conjunto es 5 y puede ser escrito así

Tan pronto como un niño puede relacionar un elemento de un conjunto con un número para contar, está contando. El último número de un apareamiento tal indica cuántos elementos hay en el conjunto y es denominado número cardinal del conjunto. El número cardinal responde a la pregunta ¿cuántos?

Hemos visto que podemos tratar de un conjunto (cualquier colección de objetos o ¡deas que elegimos agrupar y llamarla conjunto) y de las propiedades numéricas asociadas a los conjuntos. A veces representamos un conjunto particular juntando a sus miembros. (A menudo este es el caso cuando estamos tratando con objetos reales, como el conjunto de todos los niños del aula de la señora Green.) A veces, registramos los miembros de un conjunto y los encerramos entre llaves:

{tierra, sol, luna)

Obsérvese que los miembros de este conjunto no pueden ser agrupados físicamente. Podemos usar una letra mayúscula para nombrar un conjunto:

A = -{ primavera, verano, otoño, invierno}

Para hallar la propiedad numérica de un

to:

C = {1,2, 3, 4, 5}

Cuando los elementos de dos conjuntos pueden ser apareados en una correspondencia uno a uno (biunívoca), decimos que esos conjuntos son equivalentes. Consideremos nuestros ejemplos.

n T[a, e, /, o, u })que se lee "el número cardinal del conjunto cuyos elementos son a, e, i, o, u". A causa de esto conviene más nombrar a un conjunto con una letra mayúscula, sea B:

B = { a, e, i, o, u\

Entonces, el número cardinal de este conjunto se indicaría con

B - { a, b, c, d, e } M H í

{1,2, 3, 4,5}

En matemática, un conjunto se indica usan-que redo llaves que encierran los símbolos

presentan los elementos del conjunto. Así {a, b, c } representa al conjunto cuyos elementos son a, b y c. Podemos también usar una letra mayúscula para nombrar a un conjunto dado.

Por ejemplo

C = n (B)

que se lee "número cardinal del conjunto B".En e! conjunto que estamos considerando,

vemos que hay cinco elementos. Es esta propiedad numérica del coniunto, esta "condición de cinco" lo que queremos representar. Recuérdese que "esta condición de cinco" es sólo una característica del conjunto, esta propiedad numérica describe sólo una idea del conjunto.

Nuestro sistema numérico hindoarábigo tiene un símbolo para expresar esta idea de la condición de cinco, el número 5. Este número

Por correspondencia. . . uno a uno queremossignificar que para cada elemento del Conjunto C hay exactamente un elemento en el Conjunto B.

Podemos tener a veces un conjunto que no tiene elementos. Por ejemplo, suponga que se e. pida que haga l^ lista de los elementos de un conjunto D compuesto por todos los conejos con ruedas. Puesto que los conejos no tienen ruedas, tendríamos el conjunto vacío.

A = \a.b,c}

"Conjunto A" es otra manera de nombrar al conjunto compuesto por los elementos a, b y c. Obsérvese que las letras minúsculas son usadas en este caso para designar a los miembros del conjunto. La letra griega epsilon, E, se usa para indicar que un elemento pertenece

D =

2021

'

LO DIDACTICOtos elementos tiene el conjunto. Por ejemplo, consideremos el conjunto

B = { a, e, i, o, u }

El número cardinal es designado con 5 y se escribe

conjunto, apareamos sus elementos con números sucesivos, comenzando por uno:

Banda de planoF = { a □ ☆ o}uí í12 3 4 /7 (B) = n ({a, e, /, o, u })

n (B) — 5o

Obsérvese que si un conjunto no tiene elementos, es un conjunto vacio. Se designa al conjunto vacío con

El número cardinal de este conjunto es el último número usado. Luego, el número cardinal de

EMILIO J. DE CECCO {Argentina)

o ={}o D = <p{a □ ☆ o}

es cuatro. Podemos escribir más fácilmente: Parale/ogramos. Banda de planoPara el estudio intuitivo, elemental, de los paralelogramos, creo conveniente valerse del cono

cimiento de la banda de plano (abreviaré: b.d.p.). Este recurso didáctico facilitará las generalizaciones de las propiedades (atributos) de los distintos paralelogramos, y también sus definiciones y relaciones.

En la escuela primaria podrfa comenzarse al hablar del plano, comparándolo con el patio, el piso del aula, las paredes, el pizarrón, la hoja de cuaderno sobre el pupitre, etc.

Ubicados los alumnos en el patio, diremos que éste representará al plano. Todos los alumnos que están en el patio "pertenecen" al patio (fig. 1). En el patio colocamos una soga que lo "dividirá" en 2 zonas (semipatios). En un esquema mostrar la situación y, por analogía, dar la representación y vocabulario para el plano (fig. 2 y fig. 3).

El número cardinal del conjunto D es cero n[ D) =0

Este no debe confundirse con Conjunto E = { 0 }

El conjunto E es el conjunto cuyo único elemento es 0. Su número cardinal es uno.

n (E) = 1

n( F)=4

SINTESIS

Terminología y símbolosConjunto. Un conjunto se puede pensar

como un grupo de cosas o ¡deas que están precisamente descritas y colocadas juntas.

Elementos (o miembros) de un conjunto. Las cosas o ¡deas individuales que componen un fconjunto son los elementos del mismo. Estos elementos pueden estar relacionados o no. Cualquier colección puede constituir un conjunto si se describen sus miembros con precisión y lo denominamos conjunto. Por ejemplo, el Conjunto A está constituido por los elementos a, ó y c. Podríamos escribirlo A= {a, b, c } . Se usan llaves, {} , para éncerrar a los elementos de un conjunto.

Pertenencia. El símbolo usado para mostrar que un objeto o idea es un elemento de un conjunto dado es G. Por ejemplo, si

Conjunto A = {1,2,3}

Ejercicios sobre conjuntos

1. Las llaves, { }, se usan para designar un...

2. Conjunto A ={ a, b, c, d }a) "A " es un símbolo para nombrar...b) a, b, c y d son.... del conjunto.

3. Los símbolos { } y <¡> representan...4. Escriba lo siguiente con notación de con

juntosa) El conjunto de los cinco primeros presi

dentes argentinos.

/>&7/o />/9Qo 77~

x é>*c

*5 <o^p= ...b) Una estrella, un círculo, un cuadrado y

un triánguloentonces

c^/yá^'d yóv/iro c/4.//fr/<9no 776><f 77

G= ..c) Todos los tigres que son elefantes.

S = ...

1 G {1, 2, 3} o 1 GA2 G {1,2,3} o 2 G A3 G {1,2,3} o 3 G A

El conjunto vacío es el que no tiene elementos. Por ejemplo, el conjunto de los reyes de Estados Unidos no tiene elementos. Escribiremos

fig. i

d) Escriba un número que designe el número cardinal de cada conjunto incluidos en a), b) y c) de este ejercicio.

5. Describa en palabras el conjunto X:X = { 1, 2, 3, 4,5 }

o. ¿Cuál es el número mínimo de elementos que puede tener un conjunto? ...

Escriba el número cardinal de junto...

Observar que cada alumno "pertenece" a uno y solamente a uno de los semipatios. Traducir el •hecho para el plano y hacer las connotaciones correspondientes.

Juan está en el.patio ............Juan está en el semipatio (A)La soga ¿s la frontera que separa .los dos semipatios. La r es la frontera que separa los dos

semiplanos. Un punto puede pertenecer al semiplano (A), al (B) o a la frontera r (fig. 3).

K={ } p G al plano 7r p Gal semiplano (A)K = <po

Número cardinal. El número cardinal de un conjunto dado es el número que indica cuán-

ese con-

(Cont. en la pág. 32)

2322

iif

Además1(A)} U Irf =semiplano cerrado (A) de frontera r. {(B)} U {r }= semiplano cerrado (B) de frontera r.

En el plano n del pizarrón, pupitre, etc., trazar dos Se presentarán dos casos

y£u&/?0 TS

x x( rectas.xX X \*/

X >/ xXX 5), x xí!« % frfX

X XX. te;Cú! (T>)X (A) 3X-4fig. 3 z

Un juego. Colocar a los alumnos en el patio según lo indica la fig. 4.(C)Jesr?/- ÍA)Se/7>/yé>/¿F>o ('>f¡g. 2 cte;

(B)Y7T1 fig. 6

fig. 7

ri y r2 son secantes: el plano queda dividido en 4 zonas (ángulos convexos)

ri II r2: en el plano quedan determinadas zonas: (A); (C); (B)(3) tres

f ig. 5

X: alumnos dueños del semipatio (A)O: alumnos dueños del semipatio (B)A una señal del director del juego, los prisioneros tratarán de pasar a su semipatio y al mismo

tiempo sus contrarios tratarán de impedírselo, sin poder cruzar la frontera; gana el bando que rescata más prisioneros. Traducir las reglas de este juego al lenguaje geométrico de plano, semiplano, punto, recta.

Los semip/anos. En el plano del pizarrón, pupitre, etc; trazar una recta y observar las partes en que ha quedado dividido el plano 7r (fig. 5): semiplanos (A) y (B), recta r (frontera). Hacer ver la diferencia entre semiplano abierto y cerrado. Hacer las connotaciones de los conjuntos

Semiplano abierto (A): (A) = { x/x E ir;xEB, x$rjSemiplano abierto (B): (B) = { x/x G 7T; x $ A; x £ r .Si (A) = { x/x £ tt ; xE r; x B }, semiplano cerrado (A).Si (B) = { x/x E 7r; x E r; x € A}; semiplano cerrado (B).

Al trazar en el plano n la recta r quedan definidos tres subconjuntos: (A); (B>; r.

Observaciones:a) Un punto x E tt pertenece únicamente a uno de los tres subconjuntos.

b) {(A)} *<p; i(B>}c) {(A)} U {(B)> U f?} = -{ir}

Se trata, pues, de una partición de tt. Recordar que la partición es una relación de equivalencia, y como tal goza de las tres propiedades: reflexividad, simetría y transí ti vidad.

Estudiaremos el 2o caso. Obsérvese que:1° Han quedado definidas 3 zonas: (A); (C); (B).2o La zona (C) pertenece al semiplano (2) determinado por r¡. 3o La zona (C) pertenece al semiplano (3) determinado por F2. 4° La zona (C) es la intersección de (2) y (3).

1

24 25

.

n':

(2) n (3) = (C)

50 Un punto p pertenece a la zona (C) si pG2 y p E (3).(C) = jjjpjp E (2) y pE 3^ , a este conjunto lo denominamos banda de plano (b.d.p.).

7o La banda de plano es un subconjunto del plano.80 P E ( 2 )1

60

P E (C)pe (3

90. m E (3.3L __nE (2)m í (2)J-=> m $ (c) n E i3) **■ n E (c)

10°. Si rj E (C) y Fj ¡É (C) la b.d.p. es abierta 11°. Si ?i E (C) y E /a b.d.p. es cerrada._ En un trozo de cartulina o papel trazar dos rectas paralelas: a II b. Plegar la cartulina según 7y

b. Observar cada una de las tres zÓnas formadas. Nótese que:

El punto p E (II), semiplano determinado por a.El punto pE (II), semiDlano determinado por F

Todo punto que pertenezca a (II) pertenece a la b.d.p. que tiene por fronteras a a y b. Todo punto que pertenezca a (II) estará en la intersección de los semiplanos (I) y (llí). Recórtese la b.d.p. incluyendo las fronteras (b.d.p. cerrada)

7a. Tomar nuevamente la hoja de cartulina con que se ha construido la b.d.p., efectuar el pliegue para marcar m (eje de simetría); volver a hacer presente que a y E coinciden; con un alfiler perforar (marcar) puntos; desplegar la b.d.p. y unir mediante segmentos los puntos que coincidían cuando la b.d.p. estaba plegada según m.

%

. / K8a. Comprobar que los puntos obtenidos por las perforaciones equidistan de 1 ..En conclusión: Todo punto de la zona (I) de la b.d.p. tiene su simétrico <;n la zona (II) y

viceversa. Denominar eje de simetría de la banda de plano a la rñ (fig. 12)fig. 10)

/V\<a( í W1 I

l /3/77 1o i /7? A'■»

C'& 1 <9I 4,CE) WÓ I

Ó 1 /Amfig. 12

Construcción y propiedades del eje de simetría de la b.d.p.

Construir una b.d.p. en papel transparente grueso. Plegarla de manera tal que coincidan las fronteras. Desplegar y marcar con lápiz la recta del doblez. La recta m, así determinada, es el eje de simetría de la b.d.p.

Tomar un trozo de papel transparente fuerte y efectuar las siguientes operaciones:1a. Construir una b.d.p. de unos 6 cm de ancho.2a. Por plegado hacer coincidir las fronteras a y b; marcar el doblez m (eje de simetría).3a. Marcar en m los puntos A, B, C, D, E,...4a. Por plegado trazar las perpendiculares a

W1 ¿>A fig. 13

9a. Por plegado construir la recta ría y por tanto rlb; marcar Jos puntos A y A'. Construir con regla y compás, o mediante el portasegmentos, la mediatriz de AA' (fig. 13). Se obtendrá la

Verificar que "MÁ =ÍÁA' ésto es, M punto medio de AA

Además AA' 1 a; AA' 1 b; AA' 1 m - r-10a. Verificar que el punto medio de cualquier segmento que tenga sus extremos en a y b

(fronteras de la b.d.p.) pertenece al eje de simetría m (fig. 14).

m que contengan los puntos A, B, C,... Observar que estas perpendiculares cortan a las fronteras*a y b en los puntos A', A"* B' B"* C' C"

5a. Con el compás, portasegmento o regla verificar que:

AA' == AA", BB' = BB", CC'SCC",.

6a. Plegar la b.d.p. según la recta m y verificar las congruencias anteriores, y como consecuencia la coincidencia de A con A", B' con B", etc.

recta m.

26 27

¡

/? Á,___a

iP /77 /y

¿-2,fig. 14Z,

aC?y

{ /

>7?

<

4' fig. 15 .>

\pj> = pp2^>P punto medio de_ P; P2; P G m M, M = MM2 => M punto medio de Mi M2; MjE m Lj L = H2 =* L punto medio de t_i L2; LG m11a. Construir en pajael transparente una b.d.p. y por plegado su eje de simetría rrü Estando

plegada la b.d.p. según mf con un alfiler perforar en un punto A de la frontera. Desplegar; unir los puntos obtenidos por la perforación: quedará determinado el segmento AA'. Verificar por distintos medios que AA' 1 m.

Llamar al segmento de perpendicular común a a, E y "m ancho de ia banda de plano.Observar que .el ancho de la b.d.p. es la distancia entre las fronteras a y b y que

med. AA'= med. distancia a, ET= med. ancho b.d.p.

/3/

14a. Resolver el mismo problema mediante el trazado geométrico.

AA e*12a. Construir una b.d.p. y hallar la medida de su ancho.13a. Construir por plegado una b.d.p. de un ancho dado (Dato: d = ancho de la b.d.p.).

Procedimiento:a) En un trozo de cartulina trazar una recta a que será una de las fronteras.b) Sobre a marcar los puntos A y B y por plegado construir P y Pi perpendiculares I a en los

puntos A y B, respectivamente.c) Sobre py p¡ tomar d, ancho de la b.d.p., dato del problema;

1■

dd

se obtendrán los puntos A' y

d) Plegar según A' y B'; se obtendrá, con el nuevo doblez, la recta b que es la otra frontera de la b.d.p. pedida.

B\ 6A' (continuará)fig. 22

2928

8

1 a Julio César está muerto Un viviente no es Julio César

un conjunto Á al que deben necesariamente pertenecer los puntos buscados (ADE)

b) Queaa por probar que este conjunto A no contiene "demasiados puntos", es decir, queaa por demostrar la otra inclusión: ACE.

Hagamos aparecer explícitamente el empleo de la propiedad p exigida:a) el punto x posee la propiedad p =>x € A (1)

o todavía contraponiendo:

x3 A=>xno posee la propiedad p

b) el punto x es un punto de A => x posee la propiedad po todavía, contraponiendo:

x no posee la propiedad p =*x 3 A

ConclusiónDemostrar que E es el conjunto de los pun

tos que poseen la propiedad p puede, pues, hacerse de cuatro maneras:

-sea a (1) y b (1).-sea a (1) y ó (2)—sea a (2) y ó (1)—sea a (2) y b (2)

Los "lugares geométricos"

esclarecidos por

la teoría de conjuntos

2a Todo lector ferviente de Tintín conocen las injurias del capitán Haddock

Quién quiera que no conozca las injurias del capitán Haddock no es ferviente lector de Tintín

3a Todo cuadrado es un rombo

Una parte del plano que no sea un rombo no es un cuadrado

4a Todo número que divide a 6 divide a 24 o también

Un número que no di- . vide a 24 no divide a 6

4a b x'divide 6=>x divide j? 24

Hagamos aparecer lasTmplicaciones en los e- jemplos 1 a 3:

1b a es Julio César => a esta vívo =>a n0 es a está muerto

x no divide a 24 no divide a 6YOLANDA NOEL-ROCH

(Bélgica)

Todos saben qué trabajo nos cuesta habitualmente hacer aceptar más o menos por los alumnos la necesidad de la "síntesis" que llega ((todavía esol ) después de un análisis y de la construcción de un "lugar geométrico".

Podemos mejorar esa situación usando una noción elemental vista en el primer curso con los nuevos programas.

Dos conjuntos A y B son iguales equivale a (A está incluido en B y B esté incluido en A),

Por ejemplo, llamamos M a la mediatriz del segmento [a b] y E al conjunto de puntos equidistantes de a y ó.

Demostrar que el "lugar geométrico" (o más simplemente el conjunto) de los puntos equidistantes de a y ó es la mediatriz de [a b] equivale a demostrar que

E = M o aun que (E C M y M C E)

de alumnos: seis han tenido una enseñanza puramente tradicional, seis han tenido el programa optativo durante el ciclo inferior y dos, "una mezcla de ambos". Subdividí el texto en las tres partes que se describen más abajo. No me he entorpecido del todo con respecto al primer punto, contentándome con recordarlo a una parte de los alumnos, con hacerlo entrever a los otros pero limitándome a su vocabulario y no empleando por consiguiente el simbolismo tan cómodo de la teoría .de conjuntos. Ya se habían dado dos lecciones sobre et segundo punto para abordar el estudio de las raíces cuadradas. (No se trataba evidentemente de insistir, incluso para alumnos de cuarto año sobre el hecho de que nos colocamos aquí en una lógica de dos valores ni de hacer juegos malabares con pequeños tableros haciendo aparecer ceros y unos .un poco mágicos). El tercer punto evidentemente fue ¡lustrado con numerosos ejemplos.

*L Igualdad de dos conjuntosLa igualdad de dos conjuntos equivale a

una doble inclusión. Si A y B son dos conjuntos se tiene:

A = B o (AC By BC A)

En efecto:

ALBo Vx:x6A=>x6BB ** A o V x: x 6-8 => x 6 A

f

Julio CésarI a no conoce las injurias

del capitán Haddock =>a no es ferviente lector de Tintín

2b a es ferviente lector de Tintín =oa conoce las injurias del capitán Haddock

Ia no es rombo =>a no ¡ es cuadrado

3b a es cuadrado => a es rombo

Observación

Los errores cometidos en el curso me han servido de gran auxilio para convencer a los alumntís, de la necesidad de las dos partes de la demostración. Citaré un ejemplo para termi-

r

Más generalmente:La contrapuesta de (pi =* p2) es

(~P2=M~Pi)Una proporción y su contrapuesta son equi

valentes:

/\

nar.A la cuestión: "Hallar el conjunto de pun

tos equidistantes de dos rectas secantes A y B", un alumno responde "la bisectriz X"

(pi =>p2)~(~p ia) '=> puesto que pi implica necesariamente

P2 * si no se tiene p2 no se puede núnca tener Pl-

b) <= aplicando la primera parte de la demostración: . .

es decir queTodo punto equidistante de a y ó es un

punto de M./

Todo punto de M equidista de a y óEn resumen: x es equidistante de a y b <>■ x

es un punto de M.Sabemos también que cada una de las im

plicaciones (1) y (2) puede a veces, para la facilidad de la demostración, ser reemplazada por otra implicación. Pero esto no forma parte de la comprensión fundamental de lo que un conjunto de puntos que poseen cierta propiedad.

Lo que sigue muestra la que he intentado realizar en una clase de cuarto año (latín- matemática y científica A).

Dicha clase está compuesta por una mezcla

(2).

es decirC* p2 => ~ Pl) => (Pl =» P2)

3. Hablemos ahora de esos famosos "lu- flares geométricos".

Se trata de buscar el cpnjunto E de los puntos que satisfacen a la propiedad p.

a) El estudio de p permite hallar indicios • sobre la posición de los puntos buscados con

respecto a puntos conocidos, es decir, hallar

es

2. Proposición y contrapuesta de una proposiciónConsideremos primero algunos ejemplos:

30\

y\

i'

Subrayemos por fin que una demostración fuera cortada en su parte media por una

"construcción rigurosa" que requiriera durante muchos minutos el manejo laborioso de instrumentos tendría el fuerte riesgo de ser definitivamente interrumpida por la mayoría de los alumnos. Aún si la construcción del conjunto buscado presenta interés, no puede ser más que posterior al razonamiento integral.

No tuve ninguna dificultad en hacer que la clase estableciera1° las dos implificaciones verificadas, es decir,

b (1) y b (2).2o las dos implicaciones no verificadas.

De ellas se concluyó que no se conocía más que una parte del conjunto buscado:

X C conjunto buscado pero conjunto buscado £- x... y surgió la solución completa.

Medida y geometríaque

¡ P. BUISSON (Francia)

\ I (a, b) al conjunto de las x E IR tales que se verifica x > ¡nf(a, b) y x < sup(a, b).

Definición: Sean A y B dos puntos de una recta afín (D) tales que A = fa(o) y B = ft,(0) de modo que 0 E (D); se llama segmento de extremos A y B al conjunto de puntos ft(0) tales que tE l(a, b). Se lo designa [AB]

La fórmula de cambio de origen señala que esta elección es independiente de la elección del punto 0. Si A = B. sp obtiene el segmento puntual que se designa [A]; siendo la definición simétrica para A y B se tiene

Esta exposición comprende tres partes. La primera, algebraica, está dedicada al estudio de la existencia de medidas de segmentos del espacio afín, invariante para las traslaciones y que verifica cierta propiedad de aditividad. Su objetivo es dar cierto número de definiciones y notaciones de acuerdo con la teoría; no tienen, por tanto, nada de original. La segunda parte se refiere a los programas del primer y segundo año de estudios secundarios e investiga cómo aplicar los resultados de la primera parte a esos niveles, respetando los programas franceses en vigencia y las instrucciones ministeriales. La última parte está consagrada a las otras medidas que figuran en esos programas. Esta exposición tiene en cuenta los resultados de la discusión habida al respecto en el momento de prueba.

;

viene de pág. 7

antes de que se logre una completa modernización, no obstante lo cual la confrontación de las experiencias propias con las ajenas permitirá ir más rápido y quemar etapas.

manifesté al señor director de la revista: pienso que en el mundo se está viviendo un gran momento en la enseñanza de la matemática, pero que transcurrirá mucho tiempo

I

viene de pág. 7 7[AB] = [BA]

8 mm. cuyo interés pedagógico no se puede negar, debieran también estar en número suficiente en todos los establecimientos. Señalemos aún la conveniencia de una sala especiali-

para mejorar el rendimiento real de la enseñanza, y que todos los granos de arena administrativos o económicos, que a menudo bloquean la máquina, sean eliminados dondequiera.

El movimiento que en el mundo entero anima la enseñanza de la matemática, autoriza grandes esperanzas, pero estas no estarán realizadas más que al precio de un trabajo largo y difícil: las condiciones fundamentales de su buen éxito son el entusiasmo reflexivo y el esfuerzo perseverante de los profesores. El deber de los que en cada país están revestidos de responsabilidades importantes en el dominio de la enseñanza es dar una ayuda durable y esclarecida tanto en el plano moral como en el material.

1.3. Medida de un segmento.Definición: Sea F el conjunto de los seg

mentos de una recta afín (D); una medida sobre (F, D) es una aplicación no idénticamente nula m: F R+ tal que se verifique:

(1.31) Para todo tE IR, m[ft (A)ft(B)] = m[AB]

(1.32) Si BE[AC], entoncesm [AB] 4- m [BC] = m [AC]

Como A E [AC] de m [A] 4-m[AC] = m[AC] se deduce que la medida de un punto

es nula. Por otra parte, si Sx y s7 son dos segmentos tales que Sx n S2 sea no vacía, se tendrá:

míSj US2) + míSj ns2) = m(Sl) 4- m(S2)

Hagamos notar que m{Sl US2) sólo está definido en ese caso, pues la unión de dos segmentos cuya intersección es vacía no es un segmento.

zada, verdadero laboratorio de matemática y el de un manejo de los horarios de los profe- 1. Medida de segmentos

7.7 Definición de recta afín

Una recta afín (D) es un conjunto de puntos y una familia de biyecciones llamadas traslaciones ft de (D), parametrizadas por los números reales jR y tales que verifiquen:

(1.11) ft(ftl (A)) = ft+tl i (A) para todoA E (D) y todo t, t| E IR.

(1.12) Para todo punto 0E(D) la aplicación de |R en (D) que asocia ft(0) a X es una biyección.

Se dice entonces que el grupo aditivo de los reales opera simple y transitivamente en

De (1.12) resulta que si A E (D) entonces existe aE IR único y tal que A = fa(0). Ese número a es la abscisa del punto A, habiéndose tomado al punto 0 como origen. Si 0' es un punto de abscisa x con respecto a 0 se tendrá:A = fa (0) = fa- (0') = fa' (fx (O > =V* x(0)

lo que da la fórmula de cambio de origen a' = a 4- x

sores de matemática de un establecimiento que les permita consagrar media jornada por

o sesiones especiales de trabajo en común. Estoy bien seguro de que los jefes de establecimientos, ante cuyos ojos sarán estas líneas, pensarán que yo pido muy difíciles o imposibles de realizar. Conoz-

dificultades y es bien seguro que disposiciones tales como las que preconizo no dependen sólo de ellos; es necesario

1 semana\

pa-cosas

co sus

que en todas las instancias, se hagan todos los esfuerzos

viene de pág. 22

Respuesta a los ejercicios sobre conjuntos

1. conjunto2. a) un conjunto.b) elementos o miembros.

3. Conjunto vacío o conjunto nulo.a) P = {Urquiza, Mitre, Sarmiento, Ave-

llaneda, Roca}b) G = { *, o, □, a } q -[estrella, círculo,

cuadrado, triángulo}c) S={} o S = (p

(D).

d) n (P) = 5 n (G) = 4 n (S) = 0

5. El conjunto X es el conjunto de todos los números que se usan para contar hasta el

• El conjunto X es el conjunto de todos os números enteros mayores que cero y menores que seis.

6* un conjunto sin junto D = { }, se escribe n (D) = o.)

1.4 Caso de la recta afín.La recta real es la conjunción de IR y sus

traslaciones ft (a) = a 4-1. La primera cond¡: ción se escrbe:

m(l(a, b)) = m(l(a +1, b 4-1)) En particular, se tendrá:

m(l(a, b)) = m(l(0, b - a) y m(l(0, x)) = m(l(0 - x))

elementos; cero (Si con- el número cardinal de D 1.2. Definición de los segmentos.

^ Si a y b son números reales, se designa con

3233

m\

correpondiendo esas dos medidas a la medida elegida sobre |R. Esto define una relación de equivalencia en el conjunto de los segmentos independientemente de la elección de la medida sobre |R. Si se denomina u a la clase de los segmentos que miden 1 para una medida dada sobre |R, se dice que esta última define medida u para el conjunto de los segmentos de E que se designará u med [AB].

Se denominará longitud del segmento [AB] a la clase de equivalencia de ese segmento y se la denominará AB.

Destaquemos que también se puede medir longitudes, pues las aplicaciones medidas pasan al cociente; esto justifica la notación u med [AB] = u med AB.

La medida estará entonces enteramente determinada por los datos para x > 0 de

g(x) = m(l(0, x) )Para 0<x<y, la condición (1.32) se es

cribe g(x) + g(y - x) = g(y).La función g es aditiva, de valores positivos

y, por tanto, creciente y continua. Esto implica que g es una función lineal:

g(x) = X x siendo X > 0

1.7 Extensión a las líneas poligonales.Se puede extender, aditivamente, la medida

a líneas poligonales, poniendo m(Li UL2) = m(Li + L2) si L\ y L2 son dos líneas poligonales cuya intersección o bien es vacía o bien es la unión de un número finito de segmentos puntuales.

Se puede también emplear con mayor facilidad los números con coma en el sistema binario, pues construir a partir de una unidad u un segmento S tal que u med S = 10 (sistema decimales imposible para un alumno de primer año, mientras que el plegado permite construir un segmento Si tal que u med Si = 10 (sistema binario).

No es posible definir la longitud como clase de equivalencia. Por lo contrario, se debe poder decir que u med [AB] = /3 es sinónimo de longitud del segmento [AB] = 0u. Por otra parte, esto debe enunciarse sobre todo para los encuadramientos.

Para la medida de las líneas poligonales se introduce el axioma de aditividad lo que permite estudiar en |N el comportamiento de la adición con respecto a la relación de orden.

2.2. En la dase de segundo año.El alumno ha sido habituado, por la escri

tura de los relativos enteros, a expresar una clase de equivalencia. Es posible, entonces, precisar, a modo de ejemplo de relación de equivalencia, la noción de longitud: dos segmentos [AB] y [CD] son equivalentes si para toda medida u se asocia a los dos segmentos el mismo encuadramiento: se llama longitud del segmento [AB] a la dase de equivalencia del segmento [AB] y se la designa AB.

Es más normal introducir la longitud como clase de equivalencia a partir de la relación "es ¡sométrica a" pues esta última no se generaliza para la definición del área a partir de las superficies.3. Otras medidas

3.1. Medida de superficiesEl problema teórico es todavía más difícil

que para la medida de los segmentos pues se sobre la noción de medida producto.

La teoría nos permite afirmar que se puede medir los polígonos definiendo a partir de una medida u y de los segmentos la medida u2 de los polígonos poniendo:

1. Si ABCD es un rectángulo R, entoncesu2 med R = u med [AB] X u med [BC]

2. Si Pi y P2 son dos polígonos cuya intersección se reduce a puntos o segmentos vacíos, entoncesu2 med (Pi U P2) = u2 med Pi + u2 med P2

3. Si Pi y P2 son "superponibles", entonces u2 med Pi = u2 med P2.

En una clase de primer año, el interés con-

una

2. Medida de un segmento físicoSe ha hecho este estudio para explicitar las

nociones de medidas y de longitudes de los segmentos geométricos sobre una recta afín; semejante estudio es evidentemente imposible en una clase de primer o segundo año donde el espacio es considerado como "físico" y no afín.

y por consiguiente:m(l (a, b) ) = X |b — a|, siendo X > 0.

De ello se deduce que existe una medida, que dos medidas son proporcionales y que una medida está enteramente determinada si se conoce un segmento [OU] tal que m[OU] = 1.

Esto muestra que el título de los programas "Medida de objetos geométricos y físicos" no es claro y que hubiera sido necesario contentarse con "Medida de objetos físicos" en la imposibilidad de definir los objetos geométri-

Suma de dos longitudes.

Dados dos segmentos [AB] y [CD], existe sobre la recta afín D(A, B) un segmento [BE] tal que [AB] O [BE] = [B] y BE = CD

Se puede también definir en el conjunto de las longitudes una operación expresada aditivamente, denominada suma de dos longitudes, definida por

1.5. Recta afín cualquiera.A toda medida mp sobre una recta afín

(D) se puede asociar una medida mR sobre la recta real afín por:

mo(l(a, b)) = mñ[AB] siendo A = fa(0), B = fb(0) yOE(D)

eos.2.1. En la dase de primer año

La recta es lo que se dibuja con una regla y un segmento [AB] es el conjunto de puntos de la recta "comprendidos entre A y B". Se tiene igualmente la noción de segmentos adyacentes y se posee el compás de puntas secas. Dos segmentos que determinan la misma abertura del compás se denominarán ¡sométricos. Se introduce entonces la noción de medida empleando el axioma de Arquímedes.

Axioma: Dado un segmento [AB], entonces a todo segmento [OU] se puede asociar un más pequeño entero N tal que el segmento unión de los N segmentos adyacentes, todos ¡sométricos con respecto a [OU], contruidos a partir del punto A, contiene al punto B.

Si se denomina u el conjunto de los segmentos ¡sométricos con [OU], se dirá que los dos enteros N — 1 y N definen un encuadramiento de Ia medida u de [AB] y se indicará

N — 1 < u med [AB] < NSi el punto B es exactamente el extremo

del segmento construido se expresará u med [AB] = N, pues es necesario poder escribir u med [OU] = 1.

Acaso sea bueno medir con las diferentes unidades de medida usadas en la historia, en particular el sistema métrico que permite usar los números decimales y darnos una primera intuición de los números reales como límites de una sucesión de Cauchy de números decimales.

Esta definición es independiente de la elección de 0, pues la medida itir debe ser invariante por traslación. De manera análoga se asocia a toda medida rriR sobre la recta real afín una medida m^ sobre (D) invariante por traslación, lo que permite obtener pondencia biunívoca entre las medidas de recta afín cualquiera y las de la recta afín real.

AB + CD = clase de [AE]

Producto de una longitud por un número.

Si [AB] es un segmento y X un real positivo, entonces existe sobre la recta D(A, B) un segmento [AC] tal que u med [AC] = Xu med [AB]; se puede también definir una operación externa, denominada multiplicación de una longitud por un real positivo mediante X AB = clase de [AC].

Esta operación justifica la escritura AB ~ 0 u. La escritura que se emplea habitualmente AB == 3 cm. es pues totalmente correcta en esta teoría.

Observación: En el muchos docentes hablaron de las dificultades pedagógicas que tienen cuando abordan las consecuencias del teorema de Tales y los triángulos semejantes, pues en esos casos manejan es longitudes que han definido como clases de

segmentos superponibles, esto es, como números. Por eso, se propone, por definición, designar con AB a la medida del segmento [AB] o

e su longitud AB, cada vez que resulta inútil Precisar la elección de la medida. Entonces essonnClmero'en tanto que [ab] y AB n0 ,0

/\

una corres-una

Empleando los resultados demostrados en (1.4), obtenemos:

Teorema: Si D es una recta afín real y F el conjunto de sus segmentos, entonces existe sobre (F, D) una infinidad de medidas. Dos medidas son proporcionales entre si y una medida está enteramente determinada por su valor sobre un segmento.

apoya

de la discusión,curso

1.6 Longitud de un segmento en el espacio afín.

Sea E el espacio afín de dimensión 3; se admitirá que dos puntos A y B definen una recta afín D(A, B), lo que permite medir el segmento [AB].

Elijamos una medida mR sobre |R; diremos que dos segmentos [AB] y [CD] tienen la misma longitud si

mD(A, B) [AB] = mD(c D) [CD]

3534

—A

También se puede construir un semicírculo graduado mediante plegados. Se obtiene así una graduación con 2n -I- 1 elementos, lo que permite confeccionar cuadros cada vez más afinados y usar los números decimales en el sistema binario, pudiendo ser el sector recto el representante de la unidad de medida.

También se puede generalizar la medida de los sectores entrantes pasando al sector asocia-

siste en determinar un encuadramiento de la medida de un rectángulo. En esas clases, acaso fuera mejor hacer geometría experimental construyendo sólidos, desarrollándolos, observando las relaciones entre los diversos elementos para que los alumnos aprendan a "ver en el espacio".

3.3. Caso de ¡os sectores angulares:Problema de definición y de notación. Un

sector angular es la intersección de dos semiplanos si es saliente, la unión si es entrante. Numerosos docentes han señalado las dificulta

des que han provocado estas definiciones, pues es la primera vez que interviene formalmente la noción de infinito. Por otra parte, se plantea igualmente un problema de notación; si Ox y Oy son las semirrectas fronteras del sector angular, se propone designarlo [Ox, Oy] si es saliente y Entr [Ox, Oy] si es entrante. Esos dos sectores se denominan asociados.

Medida de sectores angulares salientesSe designa con y? al conjunto de los secto

res angulares salientes y con G el grupo de las ¡sometrías del piano, grupo engendrado por las simetrías con respecto a una recta.

Un curioso ejempar

de octopusdo.Conclusión

De todo este análisis resulta, que ha sido propuesta la terminología COHERENTE, la cual se aleja poco de la terminología tradicio-

J. M. CHEVALLIER (Francia)

El ángulo es un raro animal que envía, ha enviado o podrá enviar tentáculos por lo menos en ocho direcciones ocupadas por ocho objetos matemáticos, que designaré en lo que sigue con letras minúsculas, reservando las mayúsculas correspondientes para los conjuntos formados.

1. Parte s del plano limitada por dos semirrectas del mismo origen. (Todavía se podrían introducir distinciones sutiles según que se incluya o no un lado, los dos lados, el, vértice; pero no nos compliquemos y convengamos que se trata de la parte cerrada, y por tanto comprendido el borde). El conjunto S goza de las operaciones usuales de unión e intersección, y de un orden parcial por inclusión, proceder de modo que en el caso en que siendo adyacentes dos partes S y S', su unión aparezca como una operación interna en S.

2. Borde a de una parte s. Visiblemente, la correspondencia entre a y s. no es biunívoca, puesto que derdo un a corresponde un par sea saliente-entrante, sea llano-llano); casi no se ve qué relaciones importantes incluir en A.

3. Clase de equivalencia o (para la isome- tría) de partes s. Se puede asimilar 2 al segmento [ 0,2 tt] provisto de su orden total habitual, y también proveerlo de una "adición" que traduzca la unión de dos partes s adyacentes. Según la definición dada de adyacente, esta "adición" podrá no ser más que una "o- peración" definida sólo para ciertos pares (asi no se sabría "sumar" 7r y 3ttI2, o por lo contrario la "ley" definida como sigue

V(a, o1), o * o' — inf { a + o', 2 n }

Esta ley es compatible con el orden, pero (2 , •) no es ni un grupo ni siquiera un semigrupo.

4. Designando con Í2 una superficie de Riemann de hojas múltiples, de polo 0, se

considera ahora una parte f de EL limitada por dos semirrectas de origen 0, y conexa en Si {0}. Para el conjunto F de esas partes se puede repetir lo dicho para S; según esto no hay aquí ninguna vacilación sobre el sentido que se debe dar al término adyacente.

5. Borde b de una parte f. Esta vez, siendo biunívoca la correspondencia entre b y f, se transportan fácilmente las propiedades de F a

nal.En la columna 1 se colocan conjuntos de

puntos del espacio y en la columna 2 las clases de equivalencia correspondientes por la relación R (A, B) sí, y solamente si para toda medida p se tiene p a = pb (basta que la igualdad se cumpla para una medida adaptada a la situación).

Segmento Superficie SóiidoSector angular Amplitud

LongitudArea

B.6. Clase de equivalencia y? (para la isome-

tría) de partes f. La unión de dos partes adyacentes y el orden en F se traducen sin ambigüedad en 4>, haciendo de un semigrupo totalmente ordenado, isomorfo a (¡R+,+,0.

7. Operador 6 de rotación (de centro dado), llamado también ángulo de vectores. El conjunto 0, provisto de la composición de las rotaciones, es isomorfo a IR/27T Z provisto de la adición de clases, o aún al grupo multiplicativo de los complejos de módulo 1; esos grupos no son ordenados.

8. Angulo de rectas. Considerado lo más corrientemente como una clase Ó de reales

Volumen

Definición: Se denomina medida sobre S a una aplicación no idénticamente nula m: -»• R+ tal que se verifique:

(3.31) Para todo S6y? y para todo gGG

Se puede, pues, tanto medir un segmento como una longitud. El centímetro cuadrado es un área (no es ni un número ni una superficie) y el grado una amplitud. La medida de un sector angular es un número real.

Por definición, dos conjuntos ¡sométricos verifican la relación de equivalencia R, pero la recíproca no es cierta si se trata de superficies o de sólidos.

Observación. En efecto, no se miden aquí más que longitudes, áreas, volúmenes, podría, sobre

es

m(g(S) ) = m(S)(3.32) Recíprocamente, si S y S' verifican

m(S) = m(S'), entonces existe gGG tal que S' = g(S).

(3.33) Si S = [Ox, Oy] G y y si OzC S entonces, m([Ox, 0z]) + m([0z, Oy]) = m(S).

Si el enunciado es idéntico al de la defini-etc. Se

un segmento, medir realmente otras cosas (su capacidad, su potencial, su área, de manera que la palabra medida se relacione con las explícitamente definidas aquí y construidas esencialmente a partir de la medida de Lebesgue sobre |R, de manera que "medida de una longitud" es una expresión sin ambigüedad y designa una función determinada con aproximación de una constante multiplicativa. Sobre un segmento (conjunto de puntos) existen otras medidas no proporcionales a ésta. Cada una de ellas define una "magnitud mensurable". No es pues del todo lo mismo que por abuso de lenguaje se hable de la medida de un segmento sin decir qué clase de "magnitud" se mide.

módulo 7r; ya he expuesto, acaso muy largamente, porque prefiero ver en 5 un par de clases módulo 27T. De todas maneras A es un

no ordenado que se puede identificarción de la medida de segmentos, el problema de la existencia y la unicidad no es de resolución simple. En efecto, es un problema equivalente a la medida de los ángulos y conduce a la construcción de un homeomorfismo aditivo de S sobre [0,1].

Lo que no se puede hacer en el primer

grupo con ÍR/7T Z.

Todavía vienen a insertarse sobre este "octopus" algunos tentáculos suplementarios debidos a la orientación. Orientando al plano o la superficie de Riemann, es posible definir dos sentidos para s, o, f, b, y>; y se pueden generalizar las diversas "adiciones" de modo que permanezcan compatibles con esta orientación, de modo más natural para F, B, <í> (el que enton-

vuelve isomorfo a |R), un poco más

ciclo.:Es necesario contentarse con admitir que el

semicírculo graduado para medir ángulos es un instrumento misterioso que permite "medir" un sector saliente en el sentido arriba definido; en particular, permite comprobar que dos sectores son isométricos.

Ices seartificialmente para S y 2. Por lo contrario,

no ordenados © y A, esta compara los grupos patibilidad está totalmente excluida, lo que qui-

36 •37

I

ta todo interés a los pretendidos '"ángulos orientados".

cida mi posición, sería hipócrita hacer aquí ostentación de "neutralidad". He intentado ciertamente, como muchos, conservar los "ángulos de rotación" 0; pero entonces rio reconocerlo honestamente: no sólo iremos a una enseñanza elemental donde se deberá hablar de las "amplitudes de un triángulo", o de las "aberturas de un triángulo" en donde la suma será igual... ¿a qué? ¿a una "amplitud llana" o a una abertura llana"?, pero además

apartaremos del lenguaje de la física, de la tecnología, de la geografía, e incluso del lenguaje corriente;"este riesgo, desdeñable cuando se trata de un término pedante, es grave cuando se trata de una palabra vulgar como ángulo. Por eso -a título personal, pero también haciéndome

BIBLIOGRAFIAFluye de este inventario que no sólo son

distintos estos ocho objetos, sino que las estructuras de los conjuntos que forman son en su mayoría irreductibles entre sí (las únicas asimilaciones posibles se pueden realizar entre F y B, cuyo interés es casi del todo nulo en la enseñanza elemental, y entre 0 y A, cuyo iso- morfismo sería más embarazoso que útil en geometría). Por consecuencia, si se quiere poner fin a este hervidero tentacular de los "ángulos", es indispensable introducir nuevos términos, que evidentemente pueden ser palabras nuevas, no me refiero en absoluto a neologismos (lo que amigablemente se me ha reprochado), pero un neologismo es seguramente mejor que una ambigüedad. A nosotros toca elegir.

Hagamos ahora el inventario de las necesidades y el de los términos disponibles. Para las necesidades, parece que se pueden eliminar de inmediato / y ¿ (en tanto que y? es de empleo corriente); ha recibido un nombre que parece satisfacer a todo el mundo: sector; a ocupa, parece, el ultimísimo lugar en el orden de prioridades; queda, pues, por una parte, el conjunto { o, y>, 0, 5}. Por la otra, está disponible el conjunto {amplitud, ángulo.

es necesa-

Los libros de matemáticaCRISTINA VERDAGUER DE BANFI

(Argentina)

ahora y seguirán haciéndolo en el futuro en el campo de la enseñanza.

De cualquier manera, siempre habrá tiempo para hacer todos los agregados que se consideren indispensables.

Todo ésto dicho, pasamos al fondo de nuestro trabajo.

1. Obras para la enseñanza primaría(Las obras que se señalan con un asterisco son para uso de los maestros; las restantes, para los alumnos.)

ASSOCIATION OF TEACHERS OF MA- THEMATICS. Notes in mathematics in Prima- ry Schools. (Cambridge, Londres, 1967). Destacados docentes ingleses exponen resultados de experiencias matemáticas con niños menores de 11 años. (*)

BANDET, J. y otros. Los comienzos del cálculo. (Kapelusz, Bs. As., 1968). Esta obra traducida del francés, contiene importante material para planificar la actividad en el aula. (#)

BREARD, C. y GOLBERT R. Mi primer cuaderno de cálculo. (Kapelusz, Bs. As., 1969.) Esta obra, de origen francés, es una atractiva iniciación de los trabajos en la escuela primaria.

CECI, A. M. y PAGLILLA, O. M. de. Matemática moderna. (Estrada, Bs. As.) Ejercicios para primero, segundo y tercer grados, cuyo objetivo es el de proporcionar a los maestros una obra de complementación para su quehacer diario. (*)

DI ENES Z. P. La matemática moderna en la escuela primaria. (Traducción española de la versión francesa, Teide, Barcelona, 1967). (*)

DIENES Z. P. y GOLDING, E. W. Los primeros pasos en matemática: 1. Lógica y juegos lógicos; 2. Conjuntos, números y potencias; 3. Exploración del espacio y práctica de la medida. (Teide, Barcelona, 1967, 1967, 1968) (*)

nos

Escribimos esta nota para responder a un sinnúmero de inquietudes. En primer término, citaremos a las personas cultas que desean tener siquiera una ¡dea de lo que hoy se está haciendo en el campo de la matemática y que ha merecido la denominación de "una revolución" en dicha ciencia. Mencionaremos luego a los maestros primarios que advierten que deben modificar sustancialmente el contenido de su enseñanza si quieren garantizar un aprendizaje de sus alumnos acorde con los tiempos que corren. Con mayor razón, en la escuela secundaria es necesario que se conozcan y se empleen las obras escritas en los últimos tiempos y que los profesores puedan ponerse en contacto con trabajos de categoría que les sirvan para renovar sus conocimientos y contribuyan a su formación permanente que, de otra forma, es muy difícil de lograr. Agregaremos una lista de obras de elevado nivel que se emplean en los actuales cursos de licenciatura de matemática y que serán valiosas para los alumnos y los profesores de los cursos de profesorado. Completamos nuestro trabajo enumerando obras de recreación matemática y de historias generales de la matemática y de la ciencia que no dudamos cumplirán una función muy útil.

Tenemos clara conciencia de las limitaciones de nuestro trabajo, principalmente porque nuestro conocimiento es muy reducido ante el enorme caudal de obras de primera línea que hoy se publican en todo el mundo. Por otra Parte, siempre que ello sea posible, mencionaremos obras escritas en nuestro idioma, sabedores de que el conocimiento de otras lenguas no es precisamente una de las cualidades que nos adornan. Por último, ante la tiranía del espacio, hemos debido suprimir la mención de las colecciones de obras de autores suficientemente conocidos, en especial en la escuela secundaria, que tanto han contribuido hasta

eco de numerosas inquietudes- permanezco fiel a la equivalencia entre ese término y la noción o; esta equivalencia es la que aportará menores perturbaciones

nos

en los hábitos adquiridos, tanto de pensamiento como de lenguaje, en el nivel elemental. A un nivel un poco más elevado, las personas de por sí son más capaces de arreglarse.

Entonces, se plantea la cuestión: si ángulo, ¿qué es 0? Se [._ ción admisible: hablar de rotación. Veo

l!

■:

o es unha hecho una proposi-

_ la amplitud de una en ella, y otros también lo han

visto, un inconveniente: el término ha tenido un sentido del todo diferente peligrosamente vecino, el pendulares; además, nos vemos conducidos a locuciones bastante mediocres: "amplitud de un par de vectores", "amplitud de un par de rectas", donde el término tendría todavía dos sentidos diferentes. Personal y provisoriamente, incluso al precio de un neologismo, doy mi preferencia a tropo para 0 y di tropo

y expresivos. Tenemos de que no nos gusten, pe-

esas palabras

jargumento,

abertura, fase, tropo, ditropo}, en el cual las dos últimas palabras son neologismos de mi cosecha. No hay más que insertar el primer conjunto en el segundo, ison 840 arreglosl Pero felizmente la mayoría se elimina por sí misma.

en un dominio de los movimientos

i\

i

No creo mucho en argumento después que se me hizo notar que el término arrastraba detrás de sí casi las mismas ambigüedades que ángulo (sin tener en cuenta el "argumento de una función"); además, es un "ángulo polar" y de hecho "el argumento de un complejo" es, según los problemas, tanto 0 como 1p. Se podría, en rigor confundir o y y? bajo el mismo vocablo considerando a y> como un o generalizado; no pienso que eso sea recomendable, y justamente se halla que el "ángulo cinemático" y? tiene en física un apelativo que le viene perfectamente: la fase ¿para qué buscar más?

Para ó, que son breves la absoluta libertad ro tanto para más no bastaacompañada

como para las deuna crítica negativa si

por proposiciones Tal es, en el estado

no vaconcretas.

_ actual, la exposición -no neutra, sino suficientemente objetiva, así lo creo, para no falsear el problema— de esta cuestión; es compleja y delicada por naturaleza. Suplico a los colegas que reflexionen sobre ella, que me hagan conocer* oportunamente para darles la más amplia difusión posible y que se preparen para elegir masivamente dentro de algunos meses entre las dos fórmulas siguientes, de las cuales una será tachada y la otra deberá completarse:

sigue en pág. 44)

con-

sus ideasFinalmente, me parece que la elección reduce a una alternativa muy estrecha, ¿a cuál de los dos, o o 6, conviene denominar ángulo? , y ¿cómo llamar al otro? Siendo

se

cono-

38

39

Cultural, México, 1967). Libro notablemente impreso, con abundantes ejercicios orales y escritos, vocabulario, repasos y temas de extensión.

FERRARI, M. A. y otros. Matemática, ciclo moderno. Tomo I (1967) y Tomo II (1968). (Losada, Bs. As.) Un equipo de profesores del Colegio Nacional de Buenos Aires da su visión sobre lo que debería enseñarse en los dos primeros cursos de enseñanza secundaria.

HOUSSAY,. C. G. de, y otros. Matemática intuitiva. Un camino hacia la matemática (Troquel, Bs. As.) Profesoras participantes de una experiencia piloto exponen un enfoque condicionado por la realidad de los alumnos.

JURGENSEN, R. C. y otros. Geometría moderna. Estructura y método (Publicaciones Cultural, México.). Se puede hacer las mismas consideraciones que para el ''Algebra moderna" de Dolciani y otros^

LOPEZ, A. R. Matemática moderna, 4o yj 5o año. (Stella, Bs. As.) Respetando los programas vigentes trata de realizar una síntesis más acorde con el pensamiento actual.

MIDLANDS MATHEMATICAL EXPERI- MENT (Harrap, Londres, 1967). Con la dirección de Cyril Hope se publica esta interesante experiencia inglesa.

PAPY G. Mathématique moderne, Tomos I, II, III, IV, V y VI. (Didier, Bruselas; versión española del Tomo I de EUDEBA, Bs. As.) Desarrollo original, no acorde con programas oficiales y tendiente a implantar las concepciones modernas.

SANGIORGI O. Matemática Curso moderno, Vol. I, II, III y IV, para os ginásios. Guías para uso dos Profess . (Companhia Editora Nacional, San Pablo). Un autor talentoso que intenta que los alumnos secundarios de su país aprendan "el verdadero significado y las bellas estructuras" de la matemática moderna.

SCHOOL MATHEMATICS PROJECT (Cambridge, Londres). Voluminosa obra, muy bien presentada y pensada, que responde a'la necesidad de experimentar la matemática moderna en la escuela secundaria. Se la puede considerar de gran valor, especialmente los

Teachers Guide" que acompañan a cada libro.

La geometría a través de las transformaciones: 1. Topología, geometría proyectiva y afín; 2. Geometría euclidiana. (Teide, Barcelona. 1969, 1969) (*)

Ninguno de los libros de Dienes necesita presentación. Son obras para el maestro que quiere estar al día con las concepciones modernas de la enseñanza.

EICHOLZ, R. E. Matemática para la educación primaria. Preescolar y Libros I, II y III. (Fondo Educativo Interamericano, 1968.) Primeros tomos de uñar obra ambiciosa que cubrirá 12 años de enseñanza preuniversitaria, presentada con sagaces ejemplos y una diagra- mación e impresión fuera de lo común.

FICHAS PARA LA ENSEÑANZA INDIVIDUALIZADA DE LA ARITMETICA. (Kape- lusz, Bs.. As.. 1969.) Redactadas sobre la base de "Schede per la scuola elementare" de A. Ghi- delli y A. Reghensi, se refieren a numeración, suma, resta, multiplicación, división, medida.

FREDERIQUE, Les en ianís et la mathema- tique (Didier, Bruselas, 1970.). Encantadora obra de la señora de Papy para contribuir a crear una metodología del aprendizaje y a trasmitirla directamente.

SAB BATI ELLO, Elsa E., El geoplano (Ga- dyp Bs. As.J. Su autora, destacada divulgadora de la obra de Gattegno, expone con claridad las ventajas del geoplano y su aplicación y en la escuela primaria. (*)

ZIPEROVICH, R. W. de,'Matemática derna. Tomo I (1968) y Tomo II (1969) bos con carpetas de fichas para los distintos grados primarios. El primer tomo trata de la construcción de las estructuras fundamentales en la enseñanza primaria; el segundo, de los temas de los grados superiores. (*). Las fichas son para los alumnos.

2. Obras para la enseñanza secundariaCECI, A. M. E? y otros. Matemática I, To

mo I: Aritmética; Tomo II: Geometría. (Guadalupe, Bs. As., 1967). Cuidadoso trabajo para alumnos de primer año. Apartándose de los prograrhas vigentes, se trata de estimular las múltiples posibilidades de los estudiantes.

DALMASSO, J. C. Matemática, un enfoque moderno, 4o año y 5o año, (CODEX, Bs. As.) Respondiendo a los programas, se trata de confiar temas clásicos con otros que están en el dominio de la matemática moderna.

DOLCIANI, M. P. y otros Algebra lerna. Estructura y método. (Publicaciones

TEXTO PILOTO. Matemática, 1er. curso, Bachillerato (Madrid, 1964) Editado por la Comisión Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática. Es de índole muy elemental.

TREJO C. A. y BOSCH, J. Ciclo medio de matemática moderna. Tomos para el 1°, 2o y 3° curso, con guías para profesores. (EUDEBA, Bs. As.) Desarrollo original, no acorde

los programas oficiales y tendientes a implantar concepciones más modernas.

VARSAVSKY, O. Algebra para escuelas secundarias. Tomo I, Matemática Intuitiva; Tomo II, Matemática Deductiva. (EUDEBA, Bs. As.) Escritos por el destacado matemático argentino, uno de los propulsores de la reforma en nuestro país.

3. Obras para profesores secundariosBIRKHOFF G. y MAC LAÑE, S. Algebra

moderna (Teide, Barcelona) Traducción de la obra norteamericana; obra cabalmente concebida para las necesidades de los profesores de matemática que ya se ha vuelto clásica.

APOSTOL T. M. Cá/culus. Tomo I. Introducción con vectores y geometría analítica; Tomo II. Cálculo de varias variables con aplicaciones a las probabilidades y al análisis vectorial (Reverté, Bs. As.). Importantísima obra cuyo enjundioso desarrollo es reconocido por los especialistas.

CASTELNUOVO, E. Didacttica del la Matemática (La Nuova Italia Editrice, 1963). La didáctica de la matemática como ciencia en sí, en continuo desarrollo, sensible al mundo exterior y susceptible de variar sus principios básicos.

COTLAR M. y SADOSKY, C. R. de.Jntro- ducción al álgebra. (EUDEBA, Bs. As.) Nociones de álgebra lineal y de estructuras algebraicas, elementales pero rigurosas.

COURANT, R. y ROBBINS, H. ¿Qué es la matemática? (Aguilar, Bs. As.). Traducción del clásico libro que sigue conservando su valor y da una visión de la matemática acorde con la época en que fue escrito.

CHOQUET, G. L'enseignement de la géo- métrie. (Hermann, París). El destacado autor presenta una axiomática que estima adecuada para la enseñanza secundaria.

DUBREIL P. y DUBREIL-JACOTIN, M. L. Lecciones de álgebra moderna (Reverté. Bs.. As.). Traducción del original francés. Los autores hacen ver en toda su pureza el razona

miento matemático en un conjunto de ¡deas algebraicas al que consideran un producto extraordinario de la imaginación humana,

ETAYO, J. J. Lecciones de matemática moderna (Dirección General de Enseñanza Media, Madrid). Pequeña obra de exposición clara y sencilla y de comunicación directa.

FELIX L. Matemática moderna. (Kapelusz, Bs. As., 1968). Apretada síntesis de visión amplia y profunda de los rasgos distintivos del pensamiento matemático actual.

FLETCHER, T. J. y otros. Pidáctica de la matemática moderna en la enseñanza media. (Teide, Barcelona). Obra llena de sugestiones para los profesores secundarios.

GNEDENKO y KHINTCHINE, Introducción a la teoría de las probabilidades. (EUDEBA, Bs. As.). Versión en castellano del original ruso que constituye una muy renombrada exposición elemental.

HALMOS, P. R. Naive Set Theory. (Van Nostrand, Princetn, EE.UU.). Obra rigurosa que no se apoya en una construcción formal. Demostraciones apenas esbozadas y numerosos e- jemplos. Versión española de C.E.G.S.A.

HERNANDEZ R. P. J. y otros. Conceptos básicos de matemática moderna. (Codex, 1966). Primer tomo de una anunciada colección que contiene los elementos esenciales para la construcción de la matemática con su

i

con

usoi

acepción actual.KLEIN F. Matemática elemental desde un

punto de vista superior. Vol. I, Aritmética; Vol. II, Geometría (Madrid, 1927). Libros traducidos del alemán. La vieja obra sigue vigente

orientar a los profesores acerca de los

\ mo-, am

paraproblemas de las enseñanza elemental.

KEMENY, J. G. y otros. Estructuras matemáticas finitas. (EUDEBA, Bs. As.). Edición renovada que presenta ¡deas fundamentales de lógica matemática, conjuntos, probabilidades, funciones y álgebra lineal.

MASSANI, P. R. y otros. Cálculo diferencial e integral. (Publicaciones Cultural, México,, 1967). A los indudables méritos de esta obra, corresponde agregar los de los ejercicios propuestos por L. A. Santaló, que la vuelve más completa.

OUBIÑA, L. Introducción a la teoría de conjuntos. (EUDEBA, Bs. As.). Texto elemental, claro y riguroso, profundo en su contenido y de virtudes didácticas.

PAIGE, L. J. y SWIFT, J. D. Elementos de Algebra lineal. (Reverté, Bs. As. 1967). Se ex-

SCH00L MATHEMATICS STUDY GROUP: Mathematics for High School. (Yale, EE.UU.) Otra obra solver el problema contiene ideas

voluminosa escrita para renorteamericano, pero que

muy aprovechables.

mo-

41

t

libro de iniciación; contiene ejercicios yVillars, París'). Notable libro que comienza el estudio de las nociones fundamentales y desarrolla luego esenciales capítulos de geometría afín, proyectiva y ortogonal para concluir con el grupo lineal general. Obra difícil, muy densa, pero de gran riqueza conceptual; su autor es uno de los fundadores del álgebra derna.

ponen ideas básicas con suficiente rigor y sin recargar el formalismo.

PAPY, G. (Géometrie affine et nombres réels. (Gauthier-Villars), Initiation aux espaces vectoriels. (Gauthier-Villars), Groupes (P. U. de Bruxelles), Grupoides (P.U.F.). Claras exposiciones del matemático belga menos divulgadas que sus obras didácticas.

PUIG ADAM, P. Curso de geometría métrica, Tomo I. Fundamentos; Tomo II, Complementos. Obra fundamental de este autor en que trata de despertar respeto al rigor sin ahogar la intuición; se sigue a Klein en su famoso "Programa de Erlangen".

Didáctica de Iá matemática, Instituto de Enseñanza Laboral, Madrid, 1956.

La matemática y su enseñanza actual, (Ministerio de Educación Nacional, Madrid,1960) .

Puig Adam es, según T. J. Fletcher, uno de los más originales profesores de matemática de nuestro tiempo; discípulo de J. Rey Pastor, expone temas que reflejan la importancia actual de la didáctica de la matemática.

RALSTON, A. A first course in Numérica/ Ana/ysis. Obra para quienes deseen iniciarse en cálculo numérico con vistas a la computación automática. Muy abundante bibliografía.

SANCHEZ MARMOL, L. y PEREZ BEATO, M. Geometría métrica, proyectiva y sistemas de representación. (SAETA, Madrid,1961) . Documentada obra de clara exposición, valiosa para lós profesores secundarios y los profesores de metodología de la matemática.

SANTALO, L. Geometrías no euclidianas. (EUDEBA, Bs. As., 1961). Exposición drada en el marco de la geometría proyectiva siguiendo el modelo de F. Klein.

SUPPES, P. y HILL. Introducción a la lógica matemática. (Reverté, Bs. As.). Se pretende dar al lector una base lógica que facilite su- posterior comprensión de las teorías matemáticas.

TARSKI, A. Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas. (Espa- sa-Calpe, Madrid, Bs. As.). Traducción de un libro moderno que constituye una introducción imprescindible para el estudio de la mática actual.

como respuestas.

BELL, E. T. Los grandes matemáticos. (Losada, B.A.). De gran valor educativo, al par

da la biografía de los grandes construc-

lopment of Mathematics" máscon adecuado al texto, contiene, además de nutrida información, el espíritu polémico del autor que vuelve a la obra más didáctica y atractiva.

BOURBAKI, N. Eléments d'histoire des mathématiques (Hermann, París.). Es la nión de las notas históricas contenidas en los "Eléments".

quetores. reu-CARROLL, L. Logique sans peine. (Hermann, París). Estimulante introducción a la lógica del autor de "Alicia en el país de las maravillas".

DI ENES, Z. P. An experimental study of Mathematics-Learning, (1963); The Power of Mathematids., (1964); BuUding-up Mathematics, (1960); (Hutchinson, Londres). Todas las obras de Dienes son material de primera categoría para cualquier clase de lector.

FREUDENTHAL, H. Mathématiques et realités, (Hachette, París). Una clara exposición para ubicar la importancia de la matemática de nuestro tiempo.

LE LIONNAIS, F. Las grandes corrientes del pensamiento matemático. (EUDEBA, Bs. As.). Reunión de escritos de una cincuentena de matemáticos que nos dan la visión más completa de esa ciencia.

La methode dans les Sciences modernes (Editions Science et Industrie, París). Obra que complementa la anterior a través del aporte de otros cuarenta hombres de ciencia.

RENYI A. Dialogues Mathematics. (Holden- Day, Nueva York) El notable matemático húngaro se revela en estos diálogos un exquisito divulgador.

REVUZ A. Matemática moderna, matemática viva. (Elementos, Bs. As., 1965.) Vibrante alegato que contiene los principios y las razones de la reforma.

SANTALO, L. A. La matemática en la escuela secundaria. (EUDEBA, Bs. As.) Presentación del problema actual, referido especialmente a la escuela media argentina.

TRAJTEMBOT, B. A. Introducción a la teoría matemática de las computadoras y de la Programación (Siglo XXI, México).

mo-

BOURBAKI, N. Eléments de Mathémati- que. (Hermann, París). Enciclopedia en 25 volúmenes. Libro de gran rigor que no se puede leer sin preparación previa. Es el libro básico de la renovación. Los tres primeros tomos se refieren a la teoría de conjuntos, los cinco siguientes .al álgebra; los siguientes a topología general.

DIEUDONNE, J. Fundamentos del moderno análisis. (Reverté, Bs. As.). Esta obra, traducida del francés, es de altísima calidad y para quienes posean buenos conocimientos.

A/gébre lineaire et géométrie élémen taire (Hermann, París). Se propone una construcción de la geometría a partir de los espacios vectoriales.

BOYER, C. B. A History of Mathematics. (J. Wiley and Sons, Londres.) Exposición muy completa que, curiosamente, contiene muchos ejercicios).

CAJORI, F. A History of Mathematics (Macmillan, Nueva York, 1953). Valioso libro de un solo tomo muy denso en el cual el autor ha condensado los hechos más importantes.

i

HISTOIRE GENERAL DES SCIENCES (P.U.F., París). Un destacado equipo de especialistas, con la dirección de R. Taton, escribió esta monumental obra en cuatro tomos, con importantísima información que llega hasta nuestros días.

LORIA G. Storia del le mathematiche. (Hoepli, Milán). Grueso volumen que llega hasta fines del siglo XIX en el que se trata de exponer las ¡deas que ejercieron influencia.

MI ELI A. Panorama general de historia de las ciencias. (Espasa-Calpe, Arg., Bs. As.) Obra fundamental en más de una docena de volúmenes, escrita en nuestro país por el notable historiador. Se aportan interesantísimos detalles y se conserva la grafía original en la escri-

de nombres de autores y obras, lo cual

GODEMENT, R. A/gébre. (Hermann, París). Muy importante obra de nivel superior que contiene numerosos ejercicios. Hay versión en español.

HILBERT, D. y ACKERMANN, W. Principies of Mathematical Logic. (Chelsea, Nueva York, 1950). Un libro de Hilbertf

\ que es unclásico pese a los cambios en la precisión de la terminología lógica.

KELLEY, J. L. Topología general. (EUDEBA, Bs. As.). Libro de nivel universitario y

excelentes ejercicios y problemas. KRIVINE, J. L. Théorie axioma fique des

ensembles. (P.U.F. París). Pequeña obra de muy denso contenido sobre una de’las teorías matemáticas más abstractas.

LANDAU, E. Foundations of Ana/ysis. (Chelsea, Nueva York, 1960). Otro clásico que puede servir como complemento riguroso delos libros de texto sobre cálculo diferencial e integral.

RENYI A. Calcul des probabilités. (Dunod, París). Notable obra del matemático húngaro que comienza de manera bastante fácil peroque luego requiere conocimientos de más alto nivel.

I

turano facilita la lectura.

REY PASTOR J. y BABINI J. Historia de ¡a matemática. (Espasa-Calpe Arg., Bs. As.) Concepción en cierto modo epistemológica de la historia de la ciencia que muestra el eslabonado proceso etapas. Muy aconsejable para un estudio individual.

SARTON G. Historia de la ciencia (EUDEBA, Bs. As.). Obra de un notable historiador que, en este caso, se refiere en los dos tomos publicados a la ciencia durante la edad de oro griega.

encua- con

de abstracción en las distintas

:

6. Historia de la matemática y de las ciencias

mate-BABINI, J. Historia de la ciencia (Centro

Editor de América Latina, Bs. As.). Obra que se divulga en pequeños fascículos, claros y dulosos.

BELL, E. T., Historia de las matemáticas (Fondo de Cultura Económico, México.). Publicada originalmente

6. Recreaciones matemáticas

DANTZIG, T. Number. The Languaje of Science. (Alien & Unwin, Nueva York, 1963; hay versión española). Aún cuando se la puede considerar como obra de carácter histórico, las

4. Obras de nivel elevadoSe usan actualmente en los cursos de licen

ciatura de matemática.ARTIN E. Algébre géométrique. (Gauthier-

me-

5. Obras de divulgación ADLER I. La nueva matemática (EUDEBA,

Bs. As.). Su fácil lectura lo hace aconsejable el título "The deve-con

42 43

NIKLITSCHEK A. El prodigioso jardín de la matemática. (Iberia, Barcelona.) Encantadora obra destinada a eliminar la ¡dea de que la matemática es "espantosamente seca y árida".

ROUSSE BALL, W. W. Mathematical fíe- creations and Essays. (MacMillan, Nueva York, 1949, Edición revisada y completada por H. M. Coxeter.) Contiene descripciones de problemas considerados como recreaciones matemáticas y algunos ensayos con referencias detalladas y respuestas a cuestiones que se formulan. WILLERDING, M. F. Conceptos matemáticos, un enfoque histórico (C.E.C.S.A., México, Bs. As. 1969). Aunque se la presenta especie de historia de la matemática, ofrece temas que enriquecerán los conocimientos por la curiosidad que despierta su desarrollo.

cosas curiosas que encierra la convierten en una verdadera recreación.

GARNER M. The Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions. (Simón & Schuster, Nueva York.) Citamos éste, como podríamos citar cualquiera de los libros de este autor que ha renovado brillantemente el fértil campo de los entretenimientos matemáticos.

KASSNER, E. y NEWMANN, J. R. Matemática e imaginación. (Hachette, Bs. As.) En forma amena se trata de lograr que la matemática pierda ese aspecto "casi terrorífico" que le asignan los estudiantes.

LUCAS E. fíécréations mathématiques, en 4 volúmenes. (Blanchard, París.) Es obra clásica en la que se pueden encontrar ideas para muchos ejercicios.

NOTICIAS

como una

La olimpiada se cumplirá en cuatro etapas: a nivel colegial, zonal, regional y nacional, y los participantes serán agrupados por categorías, de acuerdo con sus edades y participarán de pruebas escritas y orales.

Este año, debido a la complejidad de las tareas organizativas y a lo avanzado del año lectivo sólo se realizará una Pre-Olimpíada pa ra lo cual ya están enviando material a los establecimientos escolares, a saber, noticias históricas, el reglamento del certamen y algunos problemas para que los interesados y sus profesores puedan dar comienzo a su preparación.

1. Se está realizando el Curso Latinoamericano para profesores de Matemática, organizado por el "Instituto Nacional para el mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias" (I.N.E.C.) con el apoyo de la "Organización de Estados Americanos" (O.E.A.) desde el 11 de mayo al 29 de agosto de 1970. Los profesores seleccionados deben asistir a cursos de las -siguientes materias: Algebra Linea! (Prof. Armando Rojo; jefa de Trabajos Prácticos: Prof. Silvia Cristina Sánchez); Estructuras algebraicas (Prof. Fernando Carugno; jefa de Trabajos prácticos: Lie. Susana Trione); Seminario Metodológico (profs. Ana C. G. de Hous- say, Aída G. de Romero, Lidia Vicente, Elsa De Martino, Nelly V. de Tapia y Juan C. Dal- masso); Estadística y Probabilidades (Prof. María M. de Mastrogiovanni; jefas de Trabajos Prácticos: Lie. Aurora Domínguez y M. Justa Dorrego); Fundamentación Psicosociológica (Profs. Marcos Ronchino, Alba Blotta y Elsa Calaizzo).

2. El Instituto Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias (I.N.E.C.) ha dado comienzo a la organización de la Primera Olimpíada Argentina de Matemática con el fin de detectar entre los estudiantes secundarios de nuestro país a los que tienen vocación por dicha disciplina y capacidad para dedicarse a los trabajos de investigación. A tal efecto se están estudiando los detalles y. la reglamentación, habiéndose designado Director General al profesor Juan C. Dal- masso y obtenido la colaboración de la Administración Nacional de Enseñanza Media y superior, del Consejo Nacional de Educación Técnica y del Servicio Nacional de EnseñanzaPrivada.

Viene de pág. 38) !I

de la mayoría. El viejo Catón tenía una ¡dea fija: destruir Cartago; nosotros debemos ser dominados por este pensamiento: cortar siete patas al octopus.

• La dirección del señor J. M. Chevallier, Secretario de la Comisión del Diccionario de la "Association des professeurs de Mathématiques" es 29, rué d'Vlm, París (5e), France.

Ia- Estimando que el término "ángulo" debe aplicarse a o, propongo que 0 sea denominado. y que 8 sea denominado.

2a. Estimando que el término "ángulo" debe aplicarse a 6, propongo que o sea denominado. . .• üy que 8 sea denominado..........

No quedará luego -y no seré lo más fácil— más que aplicar disciplinadamente la decisión/

En nuestro próximo número esperamos po der dar noticias más completas de esta inicia-itiva.

3. En la ciudad de Concordia, E. Ríos se realizó en el mes de junio del corriente año un cursillo, organizado por el Instituto Superior del Profesorado "Concordia" que fue dirigido por el profesor Ricardo M. Dupleich y estuvo a cargo del profesor Juan C. Dalmasso, que se ocupó de "Estructuras" y de "Estadísticas y Probabilidades" y del director de CONCEPTOS DE MATEMATICA quien se refirió a "Aspectos histórico-críticos de los conceptos matemáticos".

La nutrida concurrencia se mostró sumamente interesada por los temas desarrollados y solicitó de los disertantes bibliografía que contribuyera a su formación permanente. Ello ha determinado la publicación del artículo que se publica en la sección correspondiente.

Los profesores arriba citados agradecen a los concurrentes y a los organizadores las múltiples atenciones recibidas.

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Expone las teorías generales, informa sobre el planteo, el desarrollo y la discusión de la investigación contemporánea, en todos los dominios, desde la física hasta las

ciencias del hombre.Presenta los. trabajos especialistas, escritos por los especialistas mismos, debate los problemas de política científica. Trata los problemas que la ciencia resuelve, y los problemas que

la ciencia crea.

_______ ;—

ciencia nuEun¡ Dos pestes . PRONTUARIO

del- Renacimiento DEL PLAN NUCLE I 9 errores de • REPORTAJE A

Julio Verne JORGE SABATQ

CORREOS sillas especiales; cada grupo se rincón de la clase. El profesor

usan mesas y coloca en uninterviene lo menos posible y sólo para

le formulan. El me- haber sido ideado

T «n »

res-

de losponder a preguntas que se todo toma su nombre por por el profesor americano del mismo nombre.

El hombre de medidaProf. Juan Llerena, Montevideo. Sin perjuicio de retomar ia cuestión con todo detalle en un próximo número, cumplimos en manifestarle que la 'Técnica Philips 6X 6", se refiere a la resolución de problemas de matemática por grupos de más de 15 alumnos, teóricamente por múltiplos de 6. El grupo total se divide en subgrupos de 6 alumnos, cada uno de los cuales estudia el problema y tiene un relator para defender sus puntos de vista en la reunión de todos los relatores con el profesor; al final de la misma retorna a su grupo para exponer las conclusiones y continuar trabajando en ese tema o en otro que se asigne. Los grupos se forman por afinidad natural y

<N

J. J. Reversaro, Buenos Aires. Aunque recola importancia creciente de la investí-

imposible publi-nocemosgación operativa, nos resulta car una bibliografía de esa especialidad, cuyas

nuestrocitarobras principales no están escritas en

idioma; traducidos al castellano podemos KAUFMAN y FAURE, Invitación, a la inves- tigación de operaciones; DUCKWORTH, Guía para la investigación de operaciones KAUFMAN, A., Métodos y modelos de la investigación de operaciones (todos en edición de C.E.G.S.A.).

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