CONCEPTOSDE MATEMATICA

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Las cintas de Mobius■;

En este número:

Pág. Pág.>;3 Las cintas de 'Mobius y la fórmula

de Euler (A. W. Bell).............4 Interdisciplinaridad (J. M. Sotiriau) 29 ^ Número (P. ]. Davis)

Lista de artículos publicados .... 40La Conferencia de Caracas

Carta al lector................................Vida y obra de Henri Poincare (].

Babini) ......... .............................Problemas en los problemas (G.

Polya)...........................................Introducción a la teoría de la pro­

babilidad (B. V. Gnedenko)---- 17El rigor matemático (A. Frajese) .. 20 Bibliografía

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MAPEXCINCOTRON

I

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CONCEPTOSOE MATEMATICA

CONCEPTOS DE MATEMATICA

PUBLICACION TRIMESTRAL

AÑO X Abril-Mayo-Junio 1976 N° 38

107 A«®§ CARTA AL LECTORRedacción y Administración. Paraguay 1949, Piso 6o, Depto. A

Al presentar el número 38 dejaremos a un lado, siquiera por una vez, los problemas económicos, no porque no

existan sino porque entendemos que nuestros lectores están bien enterados y dispuestos a ayudarnos a encontrar la solu­ción.

Nos preocupa cierto desconcierto, por no decir desa­liento, que creemos haber notado entre algunos colegas dedi­cados a la enseñanza de la matemática. Ello resulta expli­cable porque, excepto algunas iniciativas aisladas de grupos de entusiastas, no han surgido en los últimos tiempos ni en las autoridades educativas encargadas de orientar la enseñanza, ni en los centros científicos, iniciativas tendientes a apoyar a los docentes que desean mejorar su enseñanza poniéndola a la altura de la época en que vivimos.

Lamentablemente, pareciera que estamos quedando a la zaga del progreso que, no se lo dude, está realizándose a pasos agigantados. Lo decimos porque en 1972, se realizó en Exeter la Segunda Conferencia Internacional sobre Enseñanza de la Matemática y, a lo que sabemos, nuestros país careció de representación efectiva. Lo mismo ocurrió con la Cuarta Conferencia Interamericana sobre Enseñanza de la Matemá­tica realizada a fines de 1975 en Caracas en la cual carecimos de representación pese a que el Dr. Luis A. San tal ó era el presidente del Comité Organizador y tampoco pudo asistir. Y para concluir, en estos momentos se está realizando en Kar/s- ruhe, Alemania Federal, la Tercera Conferencia Internacional sobre Enseñanza de la Matemática en la cual, según creemos, ocurre algo análogo.

* Entendemos que de ningún modo eso debió ocurrir por tratarse de eventos de suma importancia a la cual concurren varios millares de matemáticos y pedagogos de todo el mun­do cuyo contado nos hubiera favorecido con toda seguridad.* Esto dicho, queremos dejar expresada nuestra fe en la

juventud que ha abrazado la carrera docente. La sabemos muy dispuesta a hacer todo los esfuerzos para revertir la situación y lograr que nuestro país retome el sitial que se merece por su contribución a los problemas educativos. Los saluda muy cordialmente.

seaDirector — EditorJOSE BANFI(DON Asesores: José Babini, Frédérique

Papy, Georges Papy.MENTALIDADargentina

AL SERVICIO DE

LA EDUCACION

Y LA CULTURA

®ffl fPAtiS

Redactores: Emilio De Ceceo, Juan C. Dalmasso, Haydée Fer nández, Alfredo R. Palacios, Ati­bo Piaña, Elsa Sabbattiello, An drés Valeiras y Cristina Verda guer de Banfi.

Dibujante: Arg. Julio R. Juan.

Suscripción Anual: Argentina S 800- Ley 18.188 (mSn 80.000 - Exterior 6 dóla­res o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales o báñennos deben ser extendidos a nombre de CONCEPTOS DE MATEMATICA.

Ejemplar suelto: $ 250.—Ley 18.188

Número atrasado: $ 300.— Ley 18.188.

Para colaboraciones, números atra­sados, suscripciones y avisos, di­rigirse directamente al editor.

Registro de la propiedad Intelec­tual: N° 1.037 530.

Impreso en COGTAL Rivadavia 767, Capital

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INTERES GENERAL Concesión N° 8205EDITORIAL ESTRADA tranqueo pagaooConcesión N° 2687

EL DIRECTOR

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raleza del razonamiento matemático, se plan­tea una pregunta que aun sigue formulándose. O la matemática es una vasta, pero también estéril, tautología que no logra sino el resulta­do poco reconfortante de repetir en infinitas formas que A = A; o es una ciencia no exclu­sivamente deductiva, en cuyo caso algunos de sus fundamentos son arbitrarios y por lo tanto toda la ciencia ha de resentirse del grado de inseguridad que esa arbitrariedad introduce; pero entonces ¿cómo explicar el irresistible poder de convicción y el sentido de seguridad que animan a la matemática? Es claro que la respuesta ha de buscarse en los fundamentos de la matemática, pues fuera de ellos esa ciencia no es sino una cadena deductiva, y más preci­samente según Poincaré en los fundamentos de la aritmética, pues los fundamentos de la geo­metría, como los del análisis infinitesimal, se presentan en forma menos pura y con caracte­res más complejos. Analizando aquellos funda­mentos, y en especial a través de las demostra­ciones de los teoremas aparentemente más ele­mentales de la aritmética, Poincaré comprueba en la matemática un tipo de razonamiento propio que explica, según él, la contradicción que parecería acompañar a la posibilidad de esa ciencia. Ese tipo de razonamiento es la llamada demostración por recurrencia. Si, por ejemplo, se tiene una sarta de perlas, la prime­ra de las cuales es blanca, y se establece el principio de ser dos perlas consecutivas de igual color, se concluye rigurosamente que todas las perlas son blancas. En efecto, si la primera es blanca, en virtud del principio esta­blecido, también lo será la segunda, y por lo tanto, en virtud del mismo principio también lo será la tercera y así sucesivamente. Expues­to así, el razonamiento por recurrencia no sería sino una cadena de silogismos, pero hay que tener en cuenta que los elementos con los que trabaja el matemático no se presentan formando conjuntos como las perlas de una sarta, que por numerosas que sean compren­den una sucesión limitada, que tiene fin; sino con conjuntos infinitos, como la sucesión de los números enteros, a cada uno, de los cuales sigue otro, sin límite, sin fin. Ahora bien, la fuerza del razonamiento por recurrencia, su especificidad matemática, diríamos, reside pre­cisamente en el hecho de ser válido también en este caso, es decir cuando los elementos! son infinitos. Es claro entonces que ese tipo de razonamiento no es de tipo analítico, vale decir, de un tipo que puede reducirse a una identidad, ni es de tipo experimental, ni, agre-

EL ULTIMO UNIVERSALISTA ga Poincaré, ''puede verse en él una conven­ción como ocurre con algunos postulados de la geometría". Es, termina Poincaré, el verda­dero tipo de juicio sintético a priori, tipo de juicio que se impone al espíritu con un poder tal que explica la irresistible evidencia que acompaña a toda demostración matemática por recurrencia.

Poincaré volvió una y otra vez en sus escri­tos a sostener el carácter de juicio sintético a priori que para él tenía el razonamiento por recurrencia o, pues, el "principio de inducción completa". En especial, en sus importantes escritos polémicos contra los logicistas que sostenían que ese principio constituía uno de los axiomas fundamentales de la aritmética y, por lo tanto, utilizando una expresión que Poincaré había aplicado a los entes geométri­cos pero que no aceptaba para el número, ese principio con los restantes axiomas no era sino una "definición disfrazada" del número ente-

enri Poincaréobra aeJosé BABINI (Argentina)

leste y física matemática, filosofía científica, enseñanza y vulgarización.

Es indudable que fuera del círculo de espe­cialistas el nombre de Poincaré es conocido

escritos de filosofía científica reunidos

"Tengo en mi clase un monstruo matemá­tico", decía en 1893 un profesor de Nancy a uno de sus colegas al referirse a Henri Poin­caré, de quien se celebra este año el centena­rio de su nacimiento. No le faltaron a Poin­caré otros calificativos, aunque más elegantes: "cerebro viviente de las ciencias racionales" lo llama Painlevé; como " el último universalista" lo califica el historiador de la matemática Bell. Ante estos calificativos no deja de ser sabroso el recuerdo que trae el mismo Bell: ", .. cuan­do Poincaré fue reconocido como el más gran­de matemático y vulgarizador de la ciencia de su tiempo, se sometió a los tests Binet, hacien­do el desagradable descubrimiento de que si se hubiera tratado de un niño, en lugar de ser.el famoso matemático que era, los tests habrían demostrado que se trataba de un imbécil".

por susen las ya clásicas colecciones: La Science et l'hipothése. La Valeur de la Science, Science et Méthode, Derniéres Pensées, aparecidas en la Biblioteca Ciencífica dirigida por Le Bon y traducidas a distintos idiomas, entre ellos el castellano. En esos escritos Poincaré se ocupó de numerosas y variadas cuestiones vinculadas

la ciencia; ya con los fundamentos de ciencias particulares como la matemática, la física, la astronomía o la lógica; ya de carácter general como la evolución de las leyes científi­cas, el tiempo y el espacio, la moral y la ciencia, el azar, la ciencia y la realidad, etc.

Gran parte de estas cuestiones, por su vin­culación con el conocimiento científico, son

ro.Esta concepción de los axiomas como defi­

niciones disfrazadas aparece ya en los primeros escritos de Poincaré, en esos brillantes escritos sobre las geometrías no euclidianas que le per­mitieron analizar la naturaleza de los axiomas de la geometría, sentando una concepción científica que más tarde apareció en textos de filosofía con el nombre de convencionalismo.

En esos análisis y con felices ejemplos, co­mo el ya clásico de los animales sin espesor habitantes de una esfera, Poincaré llega a la conclusión de que los axiomas de la geometría no son juicios analíticos ni experimentales, pero que tampoco son juicios sintéticos a prio­ri, ya que las geometrías no euclidianas ofre­cen un ejemplo tangible de sistemas de axio­mas con juicios que contradecían a los de otro sistema. ¿Qué son, pues, los axiomas de la geometría? Bueno, contesta Poincaré, son convenciones, cuya elección puede ser guiada por necesidades experimentales, pero que man­tienen una completa arbitrariedad y libertad sin otra condición que la de evitar la contra­dicción. O en otros términos —agrega— "los axiomas geométricos (no me refiero a los de la aritmética) no son sino definiciones disfraza­das"; siguiendo la comparación tan citada: preguntar si la geometría euclidiana es verda­dera y la no euclidiana es falsa es como pre­guntar si el metro es verdadero y la vara es falsa. Tal pregunta no tiene sentido: "una geo­metría no puede ser más verdadera que otra; sólo puede ser más cómoda", introduciendo así una expresión que parece desprovista en

con

Es conocida la carrera de este sabio precoz y fecundo. A los 19 años ingresa en la Politéc­nica, se recibe de ingeniero de minas, ejerce durante poco tiempo la profesión, aunque en ese corto desempeño tiene ocasión de partici­par en el salvamento de una mina en la que se- había producido una explosión, se doctora, y en 1897 es profesor universitario, primero en Caen y luego, desde 1881, en París. A los 32 años ingresa en la Academia de Ciencias y años después en la Academia Francesa, honor compartido con muy pocos científicos, cuando ya formaba parte de 35 corporaciones científicas. Desde su tesis de 1878 hasta su muerte, ocurridp en 1912, la actividad de Poincaré fue incansable. Su bibliografía alcan­za a un millar de títulos —sólo en matemática pura su producción comprende casi 500 me­morias—, habiendo publicado sus cursos uni­versitarios en más de 30 libros. Ya en 1901, al pedírsele una lista de sus trabajos, Poincaré redactó un escrito de 135 páginas donde enumera y comenta 491 trabajos agrupados en distintas ramas: matemática pura, mecánica ce­

de índole epistemológica, y por lo tanto perte­necen a uno de los casilleros tradicionales de la filosofía; de ahí que aquellos escritos unan, a su innegable valor intrínseco, el interés de ofrecer ejemplos de planteo y de tratamiento de cuestiones filosóficas por una mente cientí­fica. Mente científica que no fue afilosófica ni antifilosófica. Poincaré fue un amante de la filosofía que se mantuvo en constante contac­to con ella, como lo comprueba el hecho de ser uno de los colaboradores permanentes de la "Revue de Métaphysique et de Morale", desde su creación en 1893, y uno de los fundadores en 1901 de la Société Francaise de Philosophie, pero no fue un filósofo profe­sional, manteniendo siempre su carácter de autodidacto en materia filosófica, libre de toda atadura a escuela o doctrina, desligado de toda influencia que no fuera, claro es, la que emanara de su propia actividad científica.

Muchas de las cuestiones tratadas por Poin­caré son de un interés permanente. Ya en uno de sus primeros estudios, al referirse a la natu-

.i

1

4 5

es fecundo, el planteo deel descubrimiento nuevos problemas.

Esta explicación parece más metafórica que real. No sólo es objetable por su fondo asocia- cionista, razón por la cual los psicólogos de la forma no la aceptan, sino porque se escamotea la etapa más importante del proceso creador, al relegarla a la zona vaga e ¡ncomprobable del inconsciente. Sin embargo, esa explicación concuerda totalmente con la mentalidad cien­tífica de Poincaré, una de cuyas características es la convicción profunda en el poder creador del espíritu humano. A esa convicción obede­

cen años de Kant, la admisión de juicios

ORiENTACIONdemasía de objetividad científica, pero que debe entenderse en un sentido análogo al del principio de la economía de pensamiento de Mach. D os problemasrooiemas enEn otro aspecto del proceso científico las reflexiones de Poincaré han tenido resonancia,

aspecto distinto de los anteriores, pero pone de relieve, como ellos, la índole de

su mentalidad científica. Es el aspecto relativo al proceso creador mismo, que Poincaré anali­zó en una conferencia sobre la "invención matemática", recurriendo a sus propias expe­riencias personales, cosa no frecuente entre los científicos. Poincaré admite que el proceso total se desarrolla en tres etapas, de las cuales la inicial y la final son claras, conscientes y de fácil comprobación aunque estériles en cuanto

la creación misma, mientras que la etapa intermedia, fecunda aparece obscura y de difí­cil comprobación, pues se cumple en la pe­numbra del inconsciente. Según tal modo de ver, corroborado o modificado parcialmente por otros investigadores, toda creación es selec­ción: crear es seleccionar, entre una multitud de combinaciones, aquella que resuelve la cuestión planteada. A veces tal selección se logra en la etapa inicial del proceso como resultado de una feliz deducción del planteo del problema; pero si tal cosa no ocurre y esta etapa inicial resulta infructuosa, la labor de selección continúa en la zona del inconscientes Según la imagen de Poincaré, probablemente sugerida por la teoría cinética de los gases, en ese proceso inicial se han movilizado ¡deas "como los átomos entrelazados de Epicuro", precisamente aquellas ¡deas de las cuales cabía razonablemente esperar la solución, más si ésta no se logra conscientemente y el espíritu ante los inútiles esfuerzos abandona la cuestión, aquella movilización "atómica" prosigue en una etapa inconsciente o de incubación para la conciencia, etapa en la que no sólo continua­rían combinándose las ¡deas puestas en movi­miento por la conciencia, sino que se moviliza­rían nuevos "átomos" a espaldas de la con­ciencia. De estos choques y movimientos, así ampliados, que se producen en el inconsciente, puede surgir la combinación que resuelve la cuestión, que se denuncia entonces de pronto a la conciencia, explicándose eso fenómeno de "iluminación" súbita que experimentan Poin­caré y que fuera comprobado por otros inves­tigadores, no solamente científicos. Sigue lue­go la etapa final, nuevamente consciente, que comprende la verificación del resultado halla­do, su puesta en símbolos o en palabras y, si

en unque

George POLYA (Estados Unidos)

1. Problemas auxiliares: medios para un fin.Algunas observaciones de Wolfgang Kóhler1

sobre los monos antropoides son de gran interés para nosotros. Describamos sistemáti­camente uno de sus experimentos.

Dentro de una jaula hay un chimpancé que está hambriento. Fuera de la jaula iiay banana en el suelo. El chimpancé puede pasar sus brazos por las varillas de su jaula, pero la banana está fuera de su alcance. El chimpancé ha intentado vanamente alcanzar la banana, pero sin éxito y por ello se sienta. También en el suelo, exteriormente a su jaula y dentro de su alcance descansa una barra, pero parece no prestarle atención. Súbitamente se excita, se posesiona de la barra, toscamente empuja la banana con ella hasta que la puede alcanzar y luego se la come.

El chimpancé resolvió dos problemas:A. Apoderarse de la banana.B. Apoderarse de la barra.El problema A apareció primero. Original­

mente, el chimpancé no mostró el menor inte­rés por la barra, a la cual no podía comer; con todo, resolvió primero a B. La solución del problema B abrió el camino a la solución de su problema original A. El chimpancé estaba directamente interesado en A y solo tenía interés indirecto en B. A era el fin, B solo el medio. A era su problema principal u original, el problema B era sólo un problema auxiliar (problema "ayudante", subproblema).

Bosquejemos en general el significado de este importante término: problema auxiliar es un problema en el cual gastamos atención o trabajo no por su causa, sino porque espe­ramos que tal atención o trabajo pueda ayu­darnos a resolver otro problema, nuestro pro­blema original. Un problema auxiliar significa medios para un fin, otorgaría acceso a la me­ta; el problema original es el fin y la meta.

Lograr el acceso a la solución de un pro­blema aparentemente inaccesible por el plan­

ee, asintéticos a priori, frutos del espíritu, para fundar la aritmética. A esa convicción obedece su doctrina del carácter convencional de los axiomas y de la "comodidad" de un sistema frente a otro, concepto que no debe tomarse al pie de la letra, sino como una profunda y sutil selección que el espíritu realiza entre multitud de combinaciones, en vista de una mejor adaptación a determinados fines cientí­ficos o prácticos. Esa doctrina lo lleva a esta­blecer una distinción entre aritmética y geo­metría, distinción que ya en los tiempos de Poincaré estaba desapareciendo, hecho que por supuesto él no ignora. En un estudio sobre el porvenir de la matemática reconoce "que los hechos geométricos no sean otra cosa que he­chos algebraicos o analíticos expresados en otro idioma", pero Poincaré, que conoce todas

teo y la solución previa de un problema auxi­liar apropiado es el tipo más característico de acción inteligente. Difícilmente podamos rehu­sarnos a considerar la acción del chimpancé como un acto de inteligencia.

Clasificaremos los problemas auxiliares par­tiendo de ejemplos matemáticos.2. Problemas equivalentes: reducción bilateral.

Comencemos con un ejemplo. Nuestra tarea es resolver el siguiente sistema de tres ecua­ciones con tres incógnitas:

fX-y =4 [A)]x + y + z= 5

Ix + y — z = 31

Del sistema (A) derivamos otro sistema (B);(1) dejamos sin cambio la primera ecuación

de (A);(2) sumamos la segunda y tercera ecuación

de {A);(3) restamos de la segunda ecuación de (A)

la tercera ecuación y de ese modo obtenemos las tres ecuaciones de un nuevo sistema:

f x-y =(B) 1 2(x + y) = 36

L 2z = -26

a

una

las posibilidades creadoras que residen en la intuición geométrica, muestra a renglón segui­do todas las ventajas que han derivado y pue­den derivar del lenguaje geométrico.

A medio siglo de estas reflexiones de Poin­caré, cuando no sólo la matemática en todas sus ramas se ha ido alejando cada vez más de las rutas intuitivas, sino cuando la física tam­bién esta imitando su ejemplo, podríamos con alguna ligereza y empleando términos sonoros, atribuirlas a la atmósfera teñida de psicolo- gismo de su época. Sin duda, hay en ellas buena dosis de psicología, pero la causa es más profunda y nos la explica el mismo Poin­caré. En uno de sus últimos escritos, al ocupa­rse de la lógica del infinito se refiere "a un método contrario a toda sana psicología", y añade: "Russell me dirá, sin duda, que no se trata de psicología, sino de lógica y de episte.- mología, a lo que me veré obligado a contes­tar que no existen lógica y epistemología inde­pendientes de la psicología; ya esta profesión de fe clausurará probablemente la discusión, puesto que pondrá en evidencia una irreme­diable divergencia de concepciones".

-4

Nuestro procedimiento para obtener (5) muestra que tales números x, y, z, al satisfacer a (A), deben necesariamente satisfacer a (B). La recíproca también es cierta: los números x, y, z, que satisfacen a (B) también deben satisfa­cer a {A). Esto parece plausible, pero podemos probarlo de varias maneras, por ejemplo, la si­guiente. Dividiendo las dos últimas ecuaciones de (B) por 2, obtenemos:

= -4rx-y (C) x+y= 18

L z = —13

y de (C) podemos volver a (A) dejando invaria­ble la primera ecuación de (C) y agregando

1. Wolfgang Kohler, The mentality of ape*

6 7

!

Repitamos lo anterior en términos genera­les. Hay dos problemas, A y B, ambos sin resolver y lo que sabemos es lo siguiente: sabemos cómo se podría derivar de la solución de B la solución de Á. En tales circunstancias, decimos que A es menos ambicioso que B y que (lo que no significa lo mismo) B es más ambicioso que A.

La transición de un problema original problema auxiliar que es más ambicioso, o menos ambicioso, que el problema original (en todo caso, no equivalente al problema ori­ginal) se denomina reducción unilateral (o irre­versible). En nuestro ejemplo, el problema ori­ginal A es menos ambicioso que el problema auxiliar B y por ello la reducción de A a B es unilateral. El lector experimentado puede re­cordar algunos ejemplos semejantes al dado aquí en los cuales resultaba provechosa una reducción unilateral.

dificultad podemos ver*a priori como la solu­ción de B implicaría la de A, o la solución de A la de B —los problemas A y B no aparecen como equivalentes, y ninguno de ellos aparece como más ambicioso que el otro según nuestra definiciones.

No obstante, los problemas A y B no están no relacionados. El problema B es análogo al problema A; tenemos aquí un pequeño ejem­plo de la gran analogía entre la geometría plana y la geometría sólida. Además, para la mayoría de nosotros el problema B aparecerá más fácil que el problema A; podemos haber vis­to ya, y podemos recordar sin mucha inquietud la solución de B. En esta situación, es natural preguntarse: ¿Vale la pena considerar el pro­blema B? ¿Hay alguna posibilidad de que la consideración de B facilite la solución de A?

Puede ocurrir que la consideración de B no contribuya apreciablemente a la solución del problema A; esto puede ocurrir incluso si ve­mos claramente la analogía entre A y B y si poseemos una solución completa de B. Pero también puede ocurrir que B ayude aunque, aparentemente, sea estéril. La comparación de A con el análogo B puede volver al problema A propuesto más interesante, y en ese caso B es útil. Pero la contribución de B a la solución de A puede incluso ser algo diferente: existe alguna posibilidad de que la analogía entre A y B sugiera alguna observación útil. Por ejem­plo, en el problema "plano" B, el radio desea­do, es una fracción simple (2/3) de la altura del triángulo equilátero. Esto puede sugerir la pregunta. ¿Qué ocurre con el "sólido" análogo del problema A? ¿Es el radio deseado alguna fracción simple de la altura del tetraedro regu­lar? Esta cuestión, u otra similar, puede intro­ducir algún elemento usable y abrir el camino para la solución de A.

En general, se puede esperar que la conside­ración de un problema B contribuya de una manera u otra a la solución del problema A propuesto, incluso si B no es equivalente a A ni más ambicioso que A. Un problema B semejante se denomina problema auxiliar más apartado de A.

6. Ayuda material, ayuda metodológica, in­fluencia estimulante, guía, práctica.Un problema auxiliar puede ayudar a resol­

ver el original en número inagotable de mane-

(£) es el final, (A) es el sistema de ecuaciones originalmente y {E) escribe la solu­

ción. Aquí tenemos perfecto para llegar a del problema propuesto, ideamos una sucesión de problemas; cada problema es equivalente y

la solución que el problema

primero y sustrayendo luego, las otras dos. En síntesis, si tres números x, y z, satisfacen a uno de los dos sistemas [A) y (B), deben necesariamente satisfacer al otro.

Los sistemas (A) y (B) no son idénticos, no están formados por las mismas ecuaciones. Por tanto, no podemos decir con propiedad que los dos problemas correspondientes, uno para resolver (A), el otro para resolver (B), son idénticos. No obstante, podemos decir que es­tos dos problemas son equivalentes. He aquí la definición general de este uso del término: Dos problemas son equivalentes para nosotros si sabemos que la solución de uno implica la solución del otro.

La transición de un problema a otro pro­blema equivalente se denomina reducción bila­teral.

propuesoun camino idealmente

la solución. Partiendo

más cercano a anterior, avanzando, pues, de un problema a

alcanzamos en el último paso la mismaa un

otro, solución.

Pero, incluso en matemática, en la búsque­da de la incógnita y en el esfuerzo para la demostración, a menudo tenemos que arreglar-

algo menos que la perfección. Y de ese modo tenemos que estudiar otras clases denos con

problemas auxiliares.

Problemas auxiliares más o menos ambiciosos: reducción unilateral.

Comenzaremos considerando un problema establecido esquemáticamente.

A. Hallar el volumen de una pirámide da­dos. ..

Suponemos aquí que los datos son sufi­cientes para determinar la pirámide y que la base y la altura no figuran entre los datos ni se da ninguna de esas cantidades. Esto es muy importante, pero carece de importancia que son datos para nuestra discusión, de manera que suprimimos su lista.

Sabemos que el volumen de una pirámide puede calcularse si se dan su base y su altura, pero, como lo hemos dicho, no se ha dado ninguna de esas cantidades. Y como no han sido dadas, trataremos de calcularlas y, de ese modo vamos a otro problema.

B. Hallar la base y la altura de una pirámi­de dados...

El problema A tiene una incógnita, el pro­blema B tiene dos incógnitas y ambos proble­mas tienen los mismos datos (no registrados). Hay una relación asimétrica entre estos dos problemas. Si logramos resolver B, tenemos la base y la altura de la pirámide; por tanto, podemos calcular su volumen y, de ese modo podemos resolver A. Por otra parte, si logra­mos resolver A no es de ninguna manera ver­dad que podamos resolver B; aunque el resul­tado de A produce una relación simple entre las dos incógnitas de B, pueden quedar algunas dificultades serías para hallar cualquiera de ellas. Por tanto, logramos menos al resolver A que al resolver B. Podemos denominar a A como el menos ambicioso de los dos proble­mas ya B como el más ambicioso.

Para (A) el problema de resolver (B) es una reducción bilateral. Es también una reducción útil; el problema (B) esta más cerca de la solución que el sistema (A). En efecto (B) está más cerca de (C) que {A), y (C) está casi al final de nuestra tarea; ya tenemos el valor de z y queda poco para obtener también los valores de x e y.

La reducción natural de clase opuesta en la cual el problema auxiliar es menos ambiciosa que el problema original, es también un pro­blema provechoso. He aquí un ejemplo esque­mático.

A. Calcule las incógnitas xlf x2,... xn da­dos. ..

B. Calcule la incógnita x1 dados. ..Suponemos que la condición y los datos

determinan las incógnitas que son las mismas en ambos problemas, en. A y en B, pero que en este último no son importantes y por ello las suprimimos. Trivialmente, la solución de A implica la solución de B; pero, en general, la solución de B, no puede implicar la solución de A; de acuerdo con nuestra definición A es más ambicioso que B. No obstante, muy a menudo cuando se nos requiere la solución de A, podemos introducir a B con ventaja como problema auxiliar.

3. Cadenas de problemas equivalentes:Volvamos al sistema (C), de él derivamos,

por adición y sustracción, el sistema:

( 2x= 14 (D) 2/= 22

^ z = -13

y por tanto:

'rx= 7 (E)- y = 11

lz = -13

Tenemos, pues, una sucesión de cinco siste­mas (cada uno de los cuales es un sistema de tres ecuaciones)

5. Problema auxiliares más alejados.Comenzamos con un ejemplo. Considere­

mos el siguiente problema:A. Dada la longitud de la arista de un

tetraedro regular, hallar el radio de la esfera circunscrita al tetraedro.

Si no vemos ningún otro acceso al proble­ma A, podemos tratar de acercarnos a él con­siderando el siguiente problema.

B. Dada la longitud del lado de un triángu­lo equilátero, hallar el radio de la circunferen­cia circunscrita al mismo.

La transición de A a B no es una reducción bilateral ni unilateral tal como se las conside­rado en los párrafos 2 y 4. En efecto, con

(A), (B), (C), (D), (E)

Hay un problema asociado con cada uno: hallar los valojes de x, y, z que satisfacen al sistema. (El "problema" está totalmente re­suelto, y por ello, el término "problema" no está usado en su sentido más propio, sino en uno extendido, significativo, en el caso del sistema (£). Cada uno de estos problemas es equivalente al precedente (y también al ante­rior) como cada eslabón de la cadena está unido al siguiente escalón; tenemos aquí cadena de problemas equivalentes.

En nuestra cadena, (A) es el comienzo y

ras.Un problema auxiliar equivalente, produce,

si se lo resuelve, la solución integra del proble­ma original, y un problema auxiliar más ambi-

una

98

posibilidad de influir nuestro juiciobastanteen la dirección correcta.

A veces podemosauxiliar. Puede ocurrir que

Réspice finem significa, "tenga presente el fin" y era una frase común cuando se usaba más el latín. Hobbes la desarrolla: "Observe a menudo lo que Ud. desearía como la cosa que dirige todos sus pensamientos en el camino para alcanzarlo".

Teniendo presente el fin, estamos aguardan­do que emerjan en nuestro pensamiento algu­nos medios. Para abreviar el tiempo de

cioso que el problema original hace lo mismo. (La diferencia entre estas dos clases, de pro­blemas auxiliares se presenta cuando somos incapaces de resolverlos. Si un problema auxi­liar equivalente está definidamente más allá de

alcance, también lo está el problema original; por otra parte, si un problema auxi­liar más ambicioso aparece inaccesible, las perspectivas de nuestro problema original, no tienen por qué ser tan oscuras.

Otros tipos de problemas auxiliares, incluso si se los resuelve, no garantizan la solución íntegra del problema original, pero pueden ofrecer ayuda material Una parte de la solu­ción del problema auxiliar (o incluso toda ella) puede volverse parte de la solución del problema original a la cual puede contribuir

conclusión, una construcción o un hecho sobre el cual se basan esa conclusión o construcción, y así sucesivamente.

Pero incluso cuando ninguna ayuda mate­rial esté próxima, el problema auxiliar puede brindar ayuda metodológica; puede sugerir el método de solución, un esbozo de la solución, o la dirección en la cual debemos comenzar a trabajar, etc. Un problema auxiliar análogo

el problema original, pero más fácil, está en buena posición para ofrecer ayuda metodo­lógica.

Podemos no ser capaces de señalar alguna parte o rasgo de la solución final del problema original que fuera tomada o sugerida por un problema auxiliar. También es bastante posible que la influencia estimulante de ese problema auxiliar contribuya bastante al descubrimien­to de la solución del problema original. Acaso ese problema auxiliar haya vuelto, por analo­gía o por contraste, más comprensible o más interesante al problema original, o acaso excite nuestra memoria —originando una cadena de pensamientos mediante la cual, eventualmente, pueden emerger algunos hechos apropiados esenciales.

También los problemas auxiliares pueden ayudar de otra manéra más sutil. Trabajar so­bre un problema implica tomar decisiones. Po­demos continuar trabajando en dos direc­ciones; tenemos dos caminos abiertos,.uno a la derecha, el otro a la izquierda. ¿Cuál debería­mos elegir? ¿Cuál es más probable que nos conduzca a la solución: Es importante deter­minar razonablemente nuestra expectativa y los problemas auxiliares pueden darnos al res­pecto una guía oportuna. Nuestra atención y el trabajo realizado lo mismo que la experien­cia ganada con los problemas auxiliares tienen

eos; introducimos dos problemas auxiliares; la incógnita de uno es B, la incógnita del otro es h y los datos en ambos son los datos de nuestro presente problema.

(3) El procedimiento anterior es a menudo aplicable y, en muchos casos, debería aplicarse repetidamente.

Sea x nuestra incógnita primitiva, la incóg­nita del problema propuesto. Estamos buscan­do datos manejables y observamos que po­dríamos hallar x si tuviéramos y', y", y'" (usando la solución de un problema anterior­mente resuelto. Elegimos a y', y", y'",. como nuestros nuevos blancos, como incógni­tas secundarias. Ahora podríamos encontrar a y\ Y", Y'"... si tuviéramos z', z", z"'t..., (usando la solución de algunos problemas an­teriormente resueltos), y de ese modo coloca­mos a z', z", z'",..., como blancos, como nuestras incógnitas terciarias. Y así sucesiva­mente. Estamos trabajando en retroceso.

Para estar bien preparados para tal trabajo, deberíamos tener un acopio de problemas re­sueltos (simples, usables a menudo); debería estar bien provisto y bien organizado.

(4) Problemas con la misma incógnita, aún no resueltos. Podemos considerar a un proble­ma tal como un escalón para la resolución del problema propuesto que lo introduce como un problema auxiliar y trata de resolverlo; un procedimiento tal puede ser provechoso. Pero las perspectivas, siendo ¡guales todas las otras cosas, son menos favorables que en el caso (2). En efecto, para aprovechar un problema tal en la manera más obvia, debemos primero resol­verlo y luego, además, ser capaces de usarlo en la manera discreta en (2).

(5) Si no vemos de ninguna manera como podemos encontrar este tipo de incógnita con el cual ha sido bendecido nuestro problema, sino podemos recordar algún problema resuel­to previamente ni imaginar uno nuevo maneja­ble con el mismo tipo de incógnita, podemos tratar de encontrar un problema con un tipo semejante de incógnita. Por ejemplo, si tene­mos que hallar el volumen de una pirámide y no vemos otro camino, podemos tratar de recordar cómo se halla el área de un triángulo y examinar varios enfoques en busca de analo­gías sugestivas.

(6) Problemas de probar. Podemos repetir aquí con pequeños cambios lo dicho sobre los problemas de encontrar, pero bastará un exa­men rápido.

También aquí es bueno comenzar con un ejemplo semiconcreto. Tenemos que probar un

tomar por práctica un nuestroproblema

problema original implique conceptos que no estamos acostumbrados a usar. En tal situa­ción puede ser aconsejable tratar algún proble-

más fácil relacionado con los mismos con- entonces se convertiría en un pro­

auxiliar (a menudo apartado) de nues-

nuestro

maceptos que blema tro problema original.

haya tantas cosas para ganar, bas- corrientemente ocurre que ganamos po- perdemos mucho tiempo y nos incomo­

damos trabajando sobre un problema auxiliar. Por ello, antes de dedicarnos hondamente a un problema de ese tipo debemos tratar de pesar su perspectiva y de estimar las posibilidades.

esperadeberíamos comprender profundamente el fin: ¿Qué se desea? ¿Cómo podría obtener tipo de cosas: ¿Dónde podría obtener ese tipo de cosas: ¿En qué negocio se puede comprar ese tipo de cosas? ¿Cómo se puede hallar ese tipo de incógnita? ¿Cómo se puede deducir una conclusión tal?

eseAunquetante co y • •/

Las dos últimas preguntas se refieren espe­cíficamente a cuestiones matemáticas, un problema de encontrar, la otra a un proble­ma de probar. Consideremos los dos separadamente.

(1) Problema de encontrar. Consideremos, como se ha hecho en el párrafo A, un proble­ma semiconcreto: "hallar el volumen de una pirámide, dados . . La incógnita, el volu­men de la pirámide, esta especificada mientras que la condición y los datos no estaban espe­cificados. ¿Cómo se puede hallar esta clase de incógnita: ¿Cómo se puede obtener este tipo de incógnita? El problema propuesto tiene datos, por supuesto, pero la dificultad es que, por lo menos por el momento, no podemos deducir la incógnita de los datos propuestos. Lo que realmente necesitamos son datos más manejables, en realidad, necesitamos otro pro­blema con Ia misma incógnita más accesible.

Si encontramos un problema tal, podemos hacer frente a situaciones diferentes.

(2) Problema con la misma incógnita, ante­riormente resuelto. Si somos lo suficiente­mente felices de recordar un problema tal, podemos proceder a elegir sus datos como blancos de problemas auxiliares. Muy a menu­do, este procedimiento es muy útil. Ilustré­moslo con nuestro ejemplo (previamente men­cionado, semiconcreto).

La incógnita de nuestro problema es el vo­lumen V de la pirámide. En los problemas más comunes con esta incógnita, los datos son B, área de la base, y h, longitud de la altura. Conocemos la solución del problema común {V=Bh /3) y la hemos recordado. ¿Cómo po­

demos usar esta solución? Lo más natural es tratar de calcular B y h mediante los datos del problema propuesto no resuelto. Al tratar de hacerlo, elegimos a B y h como nuestros blan-

con una una aEjemplos y comentarios

casos1. Fuentes seguras de problemas auxiliares Un problema auxiliar puede "provenir espon­táneamente" del problema propuesto. Pero también puede ocurrir que cuando queramos tener un problema auxiliar atractivo no se nos

ninguno. En tal caso podemos deseari

ocurratener una lista de fuentes seguras de las que se pudieran sacar problemas auxiliares y de ellos consideraremos los más obvios; ellos conduc-

que

cirán a algunos problemas auxiliares en la ma­yoría de los casos, pero no se puede asegurar que lleven a problemas auxiliares útiles.

Los problemas auxiliares pueden surgir en cualquier etapa del proceso de resolución de problemas. Admitamos, no obstante, que hay algo más allá de la primera fase. Hemos ya considerado y comprendido bien las partes principales de nuestro problema —la incógnita, los datos y la condición, la hipótesis y la conclusión- y también las subdivisiones más obvias (cláusulas, etc.) de esas partes princi­pales. Pero no vemos ningún plan prometedor y desearíamos que hubiera alguna manera ac­cesible o una meta más atractiva. Bueno es saber que el examen investigativo de las princi­pales partes de nuestro problema puede pre­sentarnos tal meta con un problema auxiliar usable.

En lo que sigue examinaremos los casos más notables.

2. Réspice finem. El deseo de alcanzar un fin es un deseo provechoso, permite idear ac­ciones que posiblemente puedan alcanzar el fin deseado. El fin sugiere los medios. Por tanto, tenga presente el fin, no pierda de vista su objetivo, él guiará sus pensamientos.

\

10 11

tuya'consideración^¡ene alguna posibilidad de

ser útil. He aquí una lista de las modifica- más obvias de esta clase.

Problemas de encontrar. ,(U Suprimir una clausula de la condición. (2) Agregar una cláusula a la condición.El cambio (1) vuelve más amplia a la condi­

ción; (2) la vuelve más estrecha.Problema de probar.(1) Suprimir una suposición de !a hipótesis.(2) Agregar una suposición a la hipótesis.(3) Suprimir una aseveración de la conclu-

teorema de la forma: "Sí... entonces el ángu­lo es recto". La conclusión de esta proposi­ción está especificada: "el ángulo es recto ,

la hipótesis permanece sin especificar.

De cualquier modo, ampliadla condición puede también ser útil de manera diferente como lo puede ver fácilmente el lector familia­rizado con la estructura cartesiana.

(2) Estrechar la condición significa del problema propuesto a otro problema •tiene una condición más estrecha que la puesta. No tenemos mucha oportunidad de emplear este procedimiento en el nivel estamos dedicados especialmente, pero he aquí un ejemplo.

Tenemos que resolver la ecuación

proposición A, cuya demostración fue nuestro problema original.

Obsérvese que si tenemos que probar una desigualdad entre dos números irracionales, es­tamos casi obligados a proceder como lo he­mos hecho en nuestro ejemplo; deberemos descubrir un número racional que separa los dos números irracionales. Al proceder así, re­ducimos la proposición original a una proposi­ción más fuerte, como en nuestro ejemplo; el descubrimiento del número racional separador hace más fuerte a la nueva proposición.

Tales cosas ocurren en investigación más avanzada en toda ocasión: para probar un teo­rema A propuesto tenemos que imaginar un teorema B más fuerte del cual se deduce A, pero el cual, por alguna razón, es más maneja­ble que A. Al probar B, exhibimos un campo en el cual se cumple A. Por supuesto cuando estamos descubriendo un teorema B, del cual se sigue A, no sabemos todavía si seremos capaces de demostrar B, ni siquiera sabemos si B es cierto o no. Luego, por el momento, un tal B no es todavía un "campo" para el pro­puesto A, sino un "campo posible". No obs­tante, es aconsejable examinar a B, ese posible campo para A.

(2) Examen de una consecuencia. Desea­mos probar que dos números son iguales. Por ejemplo, denotemos con 5 el área de una superficie esférica de radio r; deseamos probar el teorema A que afirma que

S = 4 7T rPuede ser aconsejable probar menos y comen­zar con el teorema B que afirma que

5 < 4 n r(Posiblemente podríamos probar B aproximán­donos a la esfera mediante poliedros circuns­critos). De cualquier modo, B sigue a A, es una consecuencia de A; el teorema B es más débil que el teorema A.

La prueba del teorema B más débil, puede eventual mente, sin embargo, llevarnos a la prueba del teorema original A. En efecto, las consideraciones usadas para probar B pueden sugerir una prueba para otro teorema más dé­bil, por la desigualdad opuesta;

S>4nr2(quizás por una transición de los poliedros circunscritos a los poliedros inscritos. Por combinación de los dos teoremas más débiles resultaría el teorema A. Tales cosas ocurren a cada momento en matemática más avanzada.

Si somos incapaces de probar un teorema propuesto A, imaginamos un teorema más dé-

cionespero¿Cómo se puede probar una conclusión tal? ¿De qué hipótesis puede derivar una conclu­sión tal? Estas preguntas nos mueven a buscar

la misma conclusión donde !a

pasarquepro-

un teorema con aseveración "al ángulo es recto" se infiere de alguna otra hipótesis más manejable.

Si tenemos suficiente fortuna como para recordar un teorema con la misma hipótesis probado ante/iormente podemos tomar su hi­pótesis como' blanco; podemos tratar de pro­bar la hipótesis del teorema que hemos recor­dado según la hipótesis del teorema que trata­mos de establecer.

a que

sión.aseveración a la conclu- x" + aixn_1 + a2xn~2 + ... +a„ = 0

de grado mayor n y cuyos coeficientes ai,a2,... an son enteros.

Es aconsejable comenzar el trabajo buscan­do raíces enteras. En efecto, imponiendo el requerimiento adicional de que debería ser un entero, estrechamos la condición. Pero la búsqueda de raíces enteras (ellas deben ser divisores del último coeficiente an) es relativa­mente fácil, y, si logramos encontrar una raíz tal, podemos disminuir el grado de la ecuación propuesta facilitando así la búsqueda de res­tantes raíces.

Estrechar la condición es a menudo útil en un nivel más evanzado (§11)

5. Examen de un teorema mas fuerte, o más débil. Consideremos dos proposiciones claramente establecidas, A y B. Si sabemos que A viene después de B (si podemos obtener A suponiendo cierta a B) decimos que A

.es más débil que B y (lo que es lo mismo) que B es más fuerte que A. Esta relación entre A y B es particularmente interesante cuando no podemos ni probar o desaprobar A, ni probar o desaprobar B.

(1). Examen de un posible campo. Desea­mos demostrar que dos números dados son desiguales. Por ejemplo, deseamos probar el teorema A, que afirma que

e <tt

Tenemos la fortuna de observar un tercer nú­mero con el cual se pueden comparar conve­nientemente los números dados. En nuestro ejemplo, tanto e como rr se pueden comparar convenientemente con el número 3. Por lo tanto, para establecer A, consideramos el teo­rema B, que afirma que

e < 3 y 3 < 7rPor supuesto, A viene inmediatamente después de B. La proposición B, recién establecida, asegura más y por tanto, es más fuerte que la

(4) Agregar unasión.

Tanto (1) como (4) vuelven al teorema más tanto que (2) y (3) lo vuelven másfuerte, en

débil.Este procedimiento es aplicable a menudo.

En muchos casos pedemos aplicarlo repetida- mente y obtener la demostración de la tesis deseado trabajando en retroceso.

Si encontramos un teorema con la misma conclusión pero que tampoco se ha demostra­do, podemos tratar de probarlo. Un ensayo tal puede ser provechoso pero las perspectivas de­berían ser cuidadosamente sopesadas.

Si no podemos recordar un teorema demos­trado anteriormente ni imaginar algún otro nuevo que sea manejable y de la misma con­clusión, podemos buscar un teorema con con­clusión semejante.

(7) Cualquiera sea nuestro problema, pode­mos estar seguros de antemano que usaremos para demostrarlo algún conocimiento previa­mente adquirido. Pero, especialmente si nuestro problema os difícil, no podemos predecir cuá­les conocimientos habremos de usar. Podría­mos usar cualquier problema resuelto previa­mente, cualquier teorema demostrado anterior­mente, especialmente si tiene algún punto de contacto con nuestro teorema actual, pero no tenemos bastante tiempo para examinarlos a todos. La discusión precedente dirige nuestra atención al más probable punto de contacto. Si tenemos un problema de encontrar, (los problemas previamente resueltos con el mis­mo tipo de incógnita) son los de uso más probable. No obstante, daremos alta prioridad a las preguntas: ¿Cómo se puede encontrar este tipo de incógnita? ¿Cómo se puede pro­bar una conclusión semejante?

3. Supresión, o adición, de una cláusula. Si nuestro trabajo progresa lentamente, o no pro­gresa nada, nos impacientamos y quisiéramos tener otro problema. Ahora bien, es bueno estar informados de las modificaciones del

a xLos efectos de estos cambios se verán más adelante.

4. Ampliación, o estrechamiento, de ¡a condición. Consideremos dos condiciones,A (x) y B (x) relativas a objetos x de la mis­ma categoría. Decimos que A (x) es más estre­cha que B (x), o (lo que significa lo mismo) que B (x) es más amplia que A (x) si y sólo si

. cualquier objeto que satisface a A (x) también satisface necesariamente a B (x). (Esto es, usa­mos estos términos "inclusivamente"; el caso en que A fx) y B (x) tienen la misma exten­sión está incluido en ambos términos).

(1) Ampliar la condición significa pasar del problema propuesto a otro problema que tiene una condición más amplia que la propuesta. El lector comprenderá que muy a menudo se rea­liza esta operación. Así, en un problema de construcción geométrica apropiadamente for­mulado (o reformulado) la condición se refiere a un punto; obtenemos un lugar para el punto conservando sólo una parte de la condición y suprimiendo la otra parte, esto es, ampliando la condición. De nuevo, al determinar una ecuación de un sistema de ecuaciones con varias incógnitas, tomando en cuenta sólo una parte (requerimiento, cláusula, requisito,. . .) de la condición completa y de ese modo, en efecto, ampliamos la condición.

Ciertamente es útil ampliar la condición si podemos cumplir dos cosas. Primera, encon­trar (describir, hacer una lista,.. .) el conjunto de todos los objetos que satisfacen la condi­ción más amplia.. Segundo, eliminar de ese conjunto todos los objetos que no satisfacen la condición original. Pienso que el lector sabe cómo se alcanzan esos dos objetivos.

I

12

13

demandar una estrategia diferente. Leibniz ha­cía una advertencia: "Se pueden requerir das las soluciones o solamente algunas. Si sólo se requiere una solución, inventaremos condi­ciones adicionales compatibles con las condi­ciones originales que a menudo requieren habilidad.

+ Estrechando la condición. Examinemos series convergentes que satisfacen la parte (I) de la condición, esperando encontrarnos una que también satisfaga la parte (II). Es natural comenzar nuestra investigación con los casos más simples y familiares.

De ese modo, podemos pensar primero en una serie convergente con términos an positi­vos. Pero en una serie tal an < 1 para n gran­de, por tanto an < an y de ese modo la serie con término general ajj también es convergen­te; el requerimiento (II) no se cumple. Debe­mos examinar series convergentes con térmi­nos positivos y negativos.

Aquí, el caso más común es el de una serie alternante en la cual los signos de los términos forman la estructura

+ -- +— + .Si los términos an de una serie tal decrecen

constantemente hacia O en valor absoluto, la serie es convergente, pero entonces los térmi­nos a„ se comportan de la misma manera y forman una serie convergente y, otra vez, (II) no se cumple. Y de ese modo avanzar a regio­nes menos familiares.

Como no nos agrada aventurarnos demasia­do lejos de lo conocido, se nos puede ocurrir la ¡dea de imponer una restricción:

(III) Los signos de los términos an forman la estructura

puede ser una buena ocasión para mencionar un procedimiento con el cual deberían familia­rizarse todos los que desean adquirir cierta habilidad para resolver problemas- de probar. (A nivel de la escuela media no hay usualmen­te muchas oportunidades para adquirir o prac­ticar esa habilidad).

Un problema de probar se vincula con una aseveración claramente establecida A de la cual no sabemos si es verdadera o falsa; esta­mos en estado de duda. El propósito del pro­blema es eliminar esa duda, probar A o refu­tarla.

10. Compare los dos problemas siguientes(n es entero positivo).

A. Pruebe (o refute) la proposición: Si 2n 'número compuesto, 2n debe ser un

bil B que podemos probar. Luego, podemos manejarnos para usar el teorema más débil B como trampolín y con el ímpetu ganado por B obtenemos A. Esto puede ocurrir aun para teoremas bastante elementales. Por ejemplo, podemos alcanzar el teorema A, que se ocupa del caso general probando primero un teorema B, que se ocupa de un caso particular, y entonces usar a B como trampolín.

¿Conoce Ud. algún ejemplo?6. Denotemos con m y n a dos enteros

positivos dades tales que m >n.Compare los siguientes problemas:

A. Encontrar los divisores comunes de m y

to­

es un número compuesto.

¿Cuál es la relación lógica entre A y B?¿Ve alguna ventaja en pasar de A a B?Resuelva B.11 La búsqueda de un contraejemplo. Un

contraejemplo refuta un enunciado que se in­tentaba aplicar a todos los objetos de cierta categoría: El contraejemplo es un objeto de categoría más apropiada a la cual no se aplica el enunciado general pretendido. La búsqueda de contraejemplos presenta ciertos rasgos inte­resantes que se podrían discutir, aun cuando estemos obligados a ir un poco más allá de nuestro

gran

con

A veces somos capaces de idear un enfoque que puede funcionar en ambos sentidos, que nos lleva más cerca de la prueba o de la refutación cualesquiera sea lo que está en los papeles, y de ese modo más cerca de la solu­ción en cualquier caso. Pero tales enfoques son raros: Si no tenemos suficiente suerte de hallar una, debemos tomar una decisión ¿tratare­mos de probar la aserción A o de refutarla? Te­nemos aquí que hacer una elección entre dos direcciones diferentes. Para probar A buscare­mos alguna proposición mediante la cual, o por una estrategia relacionada con ella, poda­mos deducir A. Para refutar a A buscaríamos un contraejemplo.

Un buen esquema sería trabajar alternada­mente, ahora en un sentido, luego en el otro. Cuando se marchita la esperanza de encontrar la solución en un sentido, volvemos al otro, preparados para retroceder si fuera necesario y, de ese modo, aprendiendo mediante nuestro trabajo en ambos sentidos, eventualmente po­demos tener éxito.

(6) Hay una modificación más sofisticada de este procedimiento alternativo que puede ser necesaria en casos más difíciles y que puede alcanzar un propósito más alto.

Si no podemos probar la aserción A pro­puesta, trataremos de probar en su lugar una proposición más débil (que tenemos más posi­bilidades de probar). Y si no podemos refutar la aseveración propuesta trataremos en cambio de refutar una proposición más fuerte (que tenemos más posibilidades de refutar). Si tene­mos éxito en la prueba de una proposición P trataremos en seguida de refutar una proposi­ción (apropiadamente elegida) más fuerte que P, Pero si tenemos éxito en la refutación de una proposición P trataremos en seguida de probar una proposición (apropiadamente ele­gida) más débil que P.

De esta manera, trabajando alternativamen­te sobre pruebas y contraejemplos, podemos

n.B. Encontrar los divisores comunes de n y

rrtn.nivel usual para una ilustración sufi-¿Cuál es la relación lógica entre A y B?

Si se le requiere que haga A ¿ve alguna ventaja en pasar de A a B?

Use la sugestión para hallar los divisores comunes de 437 y 323.

7. Compare los siguientes problemas:A. Hallar el máximo de la función fx).B. Hallar las abscisas x en las cuales f'(x),

la derivada de f (x), se anula.¿Cuál es la relación lógica entre A y B?¿Ve alguna ventaja en pasar de A a B?8 Consideremos un triángulo y llamemos:O al centro de la circunferencia circuns-

cientemente efectiva.+ (1) Un problema para probar. Pruebe, o

refute, el siguiente enunciado: Si la serie in­finita con términos reales ax + a2 + a3 +. . ., es convergente, la serie infinita a] -ral +a3 +.. ., es también convergente.

Después de un trabajo más o menos largo, podemos suponer que el enunciado propuesto es falso y trataremos de desbaratarlo mediante un contraejemplo.

(2) Un problema de encontrar como pro­blema auxiliar de un problema de encontrar. Buscamos un contraejemplo, esto es, una suce­sión infinita que satisface la hipótesis, pero que no satisface la conclusión del juicio pro­puesto en (1). En efecto, tenemos así un pro­blema de encontrar. Observemos sus partes principales.

¿Cuál es la incógnita? Una sucesión infini­ta ax,a2t a3,... de números reales.

¿Cuál es la condición? Está formada por dos cláusulas:

(I) La serie ax +a2 + a3 + . . . es conver-

crita.G al centroide (centro de gravedad),E al punto ubicado sobre OG (recta de

Euler) para el cual 2 OG = GE (G está entre O y E).

Consideremos los dos teoremas:A. Las tres alturas de un triángulo se en­

cuentran en un punto.B. Las tres alturas del triángulo pasan por

el punto E.¿Cuál es la relación lógica entre A y B?¿Ve alguna ventaja en pasar de A a B?Demuestre B.9. Compare los dos problemas siguientes

(las raíces cuadradas se toman con signo posi­tivo).

--------Incluso después de sumar (III) a (I) y (II)

todavía nos queda un amplio margen de incer- tidumbre y de elección arbitraria. Y de ese modo se nos puede ocurrir la idea de imponer otra restricción más definida

(IV) La serie a\ + a\ + a\ + .. . divergirá a la manera de la conocida serie 1 + \ + 3 + ' * *

Los requerimientos adicionales (III) y (IV) en esencia estrechan la condición (ver § 4). Pueden guiar en la búsqueda de un contra­ejemplo, pero también pueden restringirnos. Pienso que ayudan más de lo que molestan, pero el lector tratará de encontrar un contra­ejemplo por sí mismo y formar su propia opinión.

(5) Un procedimiento alternativo. Esta

gente.(II) La serie a\ + a\ + a\ + .. . es diver­

gente.Observaríamos que este problema de encon­

trar aparece como problema auxiliar de un pro­blema de probar.

+(3) Buscado UN (algún) objeto que cum­pla la condición. En el nivel elemental, se nos requiere usualmente encontrar todas las solu-. ciones, todos los objetos que satisfagan a la condición del problema. Pero en el presente

es suficiente encontrar una solución, uno de tales objetos; un contraejemplo es suficien­te para turbar el alegado enunciado general.

Esta situación, diferente de la usual, puede

A. Probar quelím (y/x~T~ 1 —y/x~= 0

x

B. Dado el número positivo E, hallar los valores positivos de x para los cuales

V x + 1 - V x < e¿Cuál es la relación lógica entre A y B?¿Ve alguna ventaja en pasar de A a B? Resuelva B.

caso.

1514

ORIENTACIONno sólo en la teoría de números sino también en otras ramas de la matemática y en la cien­cia en general. Al especializar, tratamos de hallar una parte del problema mas tangible,

accesible; generalizando, tratamos de ex- ha ocurrido en un dominio

obtener un conocimiento más completo de los hechos. Podemos descubrir un teorema del cual no sólo sabemos que es cierto (lo hemos demostrado), pero también que no puede ser fácilmente enmendado (hemos refutado teore­mas más agudos). Hemos dado aquí un vistazo

. sobre el papel de las demostraciones para la construcción de la ciencia. (Cf. G. Pólya y G. Szegó, Sufgaben and Lehrsatze aus der Ana- lysis, vol. 1, páy. Vil).

12. La especialización y la generalización son fuentes importantes de útiles problemas auxiliares.

Tomemos como ejemplo un problema de la teoría de los números. Queremos investigar el número de divisores del entero positivo n que denotaremos t (n). Por ejemplo (estamos espe­cializando), 12 tiene 6 divisores 1, 2, 3, 4, 6 y 12; por tanto t (12) = 6; hemos contado aquí los "divisores triviales", 1 y 12 de 12, y pro­cederemos de la misma manera para cualquier

ntroducción a la teoría

de la probabilidadmástender lo que nos restringido.

13. La analogía es otra fuente fértil de descubrimiento. En casos simples, casi podemos copiar la solución de un problema obviamente similar. En casos más delicados, una analogía más sutil puede no darnos una ayuda material inmediata, pero nos puede indicar la dirección

deberíamos trabajar.

B.V. GNEDENKO (Rusia)

zadas. Una parte especialmente importante en el desarrollo de los métodos analíticos de la teoría de la probabilidad fue desempeñada por De Moivre, Laplace ,Gauss y Poisson. Desde el punto de vista del análisis formal, debemos agregar a esto el trabajo de Lobachevsky —uno de los creadores de la geometría no euclidia- na— dedicada a la teoría de errores en las mediciones sobre una esfera, motivada por su deseo de establecer la geometría del universo.

Desde mediados del siglo XIX hasta aproxi­madamente los años veinte de nuestro siglo, el desarrollo de la teoría de la probabilidad se asoció en gran medida con los nombres de los eruditos rusos Tchebychev, Markov y Liapou- nov. El camino para este progreso fue abierto por la actividad de Víctor Bunyakovsky que promovió ampliamente la investigación acerca de la aplicación de la teoría de la probabilidad a la estadística y, más particularmente, a los negocios de seguro y a la demografía. Su libro sobre probabilidad fue el primero que se escri­bió en Rusia y ejerció gran influencia en el aumento del interés por esta rama de la mate­mática. La contribución de perdurable signifi­cación hecha por Tchebychev, Markov y Lia- pounov a la teoría de la probabilidad fue la introducción y el uso amplio del concepto de variable fortuita. El nombre de Tchevychev aparece asociado a sus resultados sobre la ley de los grandes, números; también aparecen las "cadenas de Markov" y los teoremas límites de Liapounov.

El desarrollo moderno de la teoría de la probabilidad se caracteriza por una elevación del interés por la teoría en sí lo mismo que por una ampliación del alcance de su aplica­ción práctica. Muchos científicos de los Esta­dos Unidos, Francia, China, Italia, Gran Breta­ña, Polonia, Hungría y otros países del mundo la están enriqueciendo con resultados impor­tantes. La escuela soviética de la teoría de la probabilidad continúa ocupando un lugar pro-

El origen de la teoría de la probabilidad se remonta a mediados del siglo XVII y está asociado con los nombres de Huyghens, Fer- mat, Pascal y J. Bernoulli. Conceptos tan im­portantes como los de probabilidad y expecta­tiva matemática se fueron cristalizando gra­dualmente en la correspondencia habida Pascal y Fermat, provocada por problemas de juego que no estaban dentro del objetivo de la matemática de esa época. Debería compren­derse con bastante claridad que los estudiantes sobresalientes al ocuparse de problemas de jue­go también barruntaban el papel fundamental de la ciencia que se ocupara de estudiar fenó­menos fortuitos. Estaban convencidos que los sucesos fortuitos de naturaleza masiva podían contribuir a aclarar las leyes. No obstante, debido al bajo nivel del desarrollo de las cien­cias naturales en esa época, los juegos de azar continuaron durante largo tiempo proveyendo las únicas bases concretas para el desarrollo de los conceptos y los métodos de la teoría de la probabilidad. Esto también deja su marca en las herramientas de la matemática formal que se usaron para resolver los problemas que sur­gieron en la teoría de la probabilidad; ellas se redujeron exclusivamente a las formas más simples de la aritmética elemental y los proce­dimientos combinatorios. El subsiguiente desa­rrollo de la teoría de la probabilidad así como la amplia atracción que sus resultados y-méto­dos de investigación habían tenido para las ciencias naturales y, sobre todo, para la física, habían mostrado que los conceptos clásicos y los métodos clásicos habían perdido su valor en la época actual.

La gran demanda proveniente de las cien­cias naturales (la teoría de los errores, los problemas de la teoría balística, los problemas de la estadística, en primer término, las esta­dísticas de la población) hicieron necesario desarrollar más la teoría de la probabilidad y proveerla de herramientas analíticas más avan­

en queLos usos de la analogía constituyen una

variedad inagotable. Citemos un ejemplo. El problema consiste en construir un ángulo en un triángulo esférico del cual se dan los tres lados. La construcción usa el problema análo­go de geometría plana como problema auxi­liar: construir un ángulo en un triángulo ordi­nario del cual se dan los tres lados.

entre

n.Una manera de expecializar es considerar

números individuales, observando, por ejem­plo, t (30) = 8. O podemos hacer una lista sistemática de los valores de r (n) para n = 1, 2, 3....... construyendo una tabla que comien­za así:

Recuerde algunos pares más de problemas análogos.

Existen, como lo hemos indicado, muchas otras maneras de usar la analogía.

14. ¿Y si fallamos? La esperanza con que emprendemos la investigación de un problema auxiliar puede frustrarse, nuestra empresa pue­de fallar. No obstante, el tiempo y el esfuerzo empleado en el problema auxiliar es necesario que no se pierda; podemos aprender de nues­tro fracaso.

7 (6) = 4 r (7) = 2 7 (8) = 4 7 (9) = 3 7 (10) = 4

Otra manera de especializar el problema es considerar clases particulares de números. Si p es un número primo

T (p) = 2 7 (p2) = 3 7 (p3) = A

y ahora, generalizando, podemos encontrar la respuesta para cualquier potencia de p

7 (ffi) = a + íSi p y q son dos números primos diferen­

tes, pq tiene exactamente 4 divisores, 1, p, q y p q, es decir:

7 (1) = 1 7 (2) = 2 7 (3) = 2 7 (4) = 3 7 (5) = 2

Deseamos demostrar el teorema A. Repara­mos en un teorema B más fuerte, del cual se deduce A. Emprenderemos la investigación de B; si logramos éxito en la demostración de B, también se probará A. Pero B puede ser falso. Esto es una frustración; pero nuestra experien­cia con B puede llevarnos a una mejor evalua­ción de las perspectivas de A.

Deseamos demostrar el teorema A. Repara­mos en el teorema B, una consecuencia de A que parece ser más manejable que A. Empren­demos la investigación de B; si logramos de­mostrar a B, podemos usarlo como trampolín para demostrar a A. En realidad, nos ingenia-

para demostrar a B, pero todos nuestros esfuerzos para usarlo como trampolín para probar A fallan. Esto es una frustración; pero nuestra experiencia con B puede conducirnos

una mejor evaluación de las perspectivas de A.

7 (p q) = 4Luego podemos considerar el producto de

tres primos diferentes, y así sucesivamente. Generalizando, podemos intentar hallar 7 (n) cuando n = p, . p2.. .Pn es el producto de / primos diferentes. Y así proseguimos, a veces especializando y luego generalizando otra vez podemos descubrir una expresión general para r(n) (¡Encuéntrela!).

Tales son los caminos del descubrimiento.

mos

a

1716

]

ningún obstáculo al uso de dichos métodos, sino, más bien, facilitar el estudio de las leyes que se están desarrollando. La falta de un conocimiento más amplio sobre la naturaleza y la estructura de las partículas asi' como del carácter de su interacción no debería tampoco restringir la efectividad de su uso. Los méto­dos de la teoría de la probabilidad son los que mejor satisfacen estos requerimientos.

Para que estas observaciones no sean mal interpretadas, subrayamos de nuevo lo siguien­te: al decir que las técnicas de la teoría de la probabilidad son las que se adaptan mejor al estudio de los fenómenos moleculares, de nin­guna manera deseamos significar que las pre­misas filosóficas que sustentan el uso de la probabilidad en la ciencia son los de la "razón insuficiente". La regla básica es que nuevas leyes características aparecen cuando se estu­dian fenómenos masivos. Al estudiar fenóme­nos que dependen de la acción de gran núme­ro de moléculas, es innecesario contabilizar todas las propiedades de cada molécula. En efecto, cuando se estudian los fenómenos na­turales debe evitarse tomar en cuenta los deta­lles no esenciales, pues la consideración de todos los detalles y de todas las relaciones existentes, incluidos los que no son esenciales del fenómeno en consideración, conducen tan sólo a un resultado: el fenómeno se oscurece y se retarda su dominio porque de ese modo se ha complicado artificialmente la situación.

Si se sabe cuán bien se ha esquematizado un fenómeno o cuán bien se han seleccionado las herramientas matemáticas empleadas en la investigación, entonces se puede juzgar cuán bien concuerda la teoría con la experimenta­ción y con la práctica. El desarrollo de las ciencias, especialmente la física, muestra que las técnicas de la teoría de la probabilidad han probado ser muy apropiadas para el estudio de muchos fenómenos naturales.

La vinculación antes mencionada que existe entre la teoría de.la probabilidad y los reque­rimientos de la física moderna provee la mejor explicación de por qué la teoría de la probabi­lidad ha sido una .de las ramas de la matemá­tica que más se ha desarrollado en los últimos años. Los nuevos resultados teóricos han reve­lado nuevas posibilidades para el uso de los métodos de la teoría de la probabilidad en las ciencias. El estudio amplio de los fenómenos naturales aguijonea la investigación en la teo­ría de la probabilidad, para obtener nuevas leyes del azar. La teoría de la probabilidad no está eludiendo las cuestiones provocadas por

la teoría molecular de la las otras ciencias y está tomando' de trente el desarrollo general de la ciencia. Esto no signi­fica, por supuesto, que la teoría de la probabi­lidad es tan sólo un medio auxiliar para resol­ver varios problemas prácticos. Por lo contra-, . rio, en el último medio siglo la teoría de la probabilidad se ha vuélto enfáticamente una disciplina matemática bien ordenada -con sus propios problemas y métodos de prueba. Pero al mismo tiempo, se ha probado que sus cues­tiones más importantes se relacionan con la solución de diversos problemas ciéntíficos.

Al comenzar definimos la teoría de la pro­babilidad como la ciencia que estudia los fenó­menos fortuitos; nos limitaremos ahora a unas pocas observaciones.

Si para la forma común de pensar y el uso diario, un fenómeno fortuito se considera co­mo una rareza extrema que va en centra del orden establecido de las cosas y el desarrollo natural de los hechos, entonces en la teoría de la probabilidad repudiamos tales ideas. Los sucesos fortuitos, tales como son entendidos en la teoría de la probabilidad, poseen cierto número de rasgos característicos; en particular, todos ellos ocurren en los fenómenos masivos. Por fenómeno masivo entendemos un fenóme­no que ocurre en agregados de gran número de objetos que tienen un status igual o casi igual, estando determinado el fenómeno por ese carácter masivo propio y dependiendo sólo ligeramente de la naturaleza de los objetos componentes.

Observaremos que todo el desarrollo de la teoría de la probabilidad muestra la evidencia de cómo se han cristalizado los conceptos e ideas en un severo fo-cejeo entre las concep­ciones materialistas e idealistas. Debido a sus concepciones idealistas, cierto número de ma­temáticos y estadísticos (Karl Pearson, Paul Nekrasov, Richard von Mises, etc.), se opusie­ron abiertamente a las elementales concepcio­nes materialistas de James Bernoulli, Laplace, Lobachevsky, Tchebychev, Markov y muchos otros importantes científicos del pasado. Esta lucha continúa aún hoy. En el caso de la definición de probabilidad de von Alises, ve­mos que se opone tanto' a las ideas de los científicos soviéticos, que se han desarrollado de acuerdo a líneas filosóficas’rriarxista-lenipis- tas', y las de numerosos materialistas de todos los países del mundo son formulaciones idea­listas que de tiempo en tiempo han sido con­cienzudamente disfrazadas con las palabras ex- per ¡mentó, práctica y ciencia natural.

La teoría de la probabilidad como otras (Sigue en pág. 45)

na. Después que materia ha recibido reconocimiento universal, se ha vuelto inevitable tanto en física como en química el amplio uso de la probabilidad. Des­de el punto de vista de la física nuclear, cada sustancia está compuesta por enorme número de partículas muy pequeñas que están en mo­vimiento constante y que en este proceso de movimiento interactúan entre sí. Poco se sabe sobre la-naturaleza de estas partículas, de la interacción existente entre ellas, del carácter de su movimiento, etc. Este conocimiento consiste básicamente en el hecho que cada sustancia está compuesta de muchísimas par­tículas y que en un cuerpo homogéneo sus propiedades son muy semejantes. Por supues­to, bajo estas circunstancias, los métodos de investigación matemática estandardizados se han vuelto inútiles en la investigación de las teorías físicas. Así, por ejemplo, las técnicas de las ecuaciones diferenciales son incapaces de producir resultados serios bajo estas condi­ciones. En realidad, ni la estructura ni las leyes de interacción de las partículas materia­les se han estudiado suficientemente, y bajo tales circunstancias, la aplicación de las técni­cas de las ecuaciones diferenciales es, pues, un procedimiento bastante arbitrario. Pero incluso si no ekiste esta dificultad, el hecho real de

mínente en este vigoroso esfuerzo científico. Entre sus representantes debemos mencionar en primer término los nombres de Serge N. Bernstein, Andrei Kolmogorov y Alexander Khintchine. Debido al orden natural de los sucesos, debemos familiarizarnos con los resul­tados y las ideas do los matemáticos contem­poráneos que han alterado la forma de presen­tación de la materia. Señalaremos, en primer término, los trabajos básicos de Bernstein y Kolmogorov sobre las bases de’la teoría de la probabilidad. En la primera década de este siglo, Emile Borel introdujo algunas ideas que vinculan la teoría de la probabilidad con as­pectos teóricos de la medida de funciones de una variable real. Algo más tarde, en 1920, Khintchine, Kolmogorov, Eugene Slutsky, Paul Levy, Antón Lomnitsky y otros desarrollaron considerablemente estas ¡deas, que demostra­ron ser muy fecundas para el desarrollo del tema. Observamos, en particular, que de esta manera muy efectiva se obtuvo una solución definitiva satisfactoria de problemas clásicos que ya había formulado Tchebychev. Avances fundamentales en esta área están ligados a los nombres de Lindeberg, Bernstein, Kolmogo­rov, Khintchine, Levy, William Feller y otros. Las nociones de la teoría de la- medida y, posteriormente, el análisis funcional, extendie­ron considerablemente la teoría de la probabi- dad. Hacia los años treinta se crea la teoría

de los procesos estocásticos que hoy se ha convertido en área principal de investigación en la teoría de la probabilidad. Esta teoría es un bello ejemplo de síntesis orgánica del pen­samiento matemático y el científico, en la cual el matemático, al dominar la esencia físi­ca del problema principal de alguna ciencia, encuentra un lenguaje matemático apropiado para expresarlo. Aparentemente, Poincaré ya había mencionado la ¡dea'de crear una teoría tal, pero los primeros esquemas groseros se encuentran en escritos de Bachelier, Fokker y Planck. Sin embargo, la construcción de una base rigurosa de la teoría de los procesos esto­cásticos, está asociada a los nombres de Kol­mogorov y Khintchine. Puede observarse que la solución de problemas clásicos de la teoría de la probabilidad ha vuelto a estar íntima­mente vinculado con la teoría de los procesos estocásticos. Los elementos de esta importante nueva área de la teoría se refieren a la teoría de la confiabilidad y la teoría de las colas.

En los últimos tiempos ha crecido incon­mensurablemente el papel desempeñado por la teoría de la probabilidad en la ciencia moder-

que se debe investigar el movimiento de gran número de partículas es de por sí un obs­táculo que no puede ser superado por medio de las ecuaciones usuales de la mecánica.

Además, un enroque tal, también es meto­dológicamente falto de solidez. En verdad, el problema no es aquí el de investigar el movi­miento de las partículas individuales sino el de determinar las leyes a que están sometidos los conjuntos de gran número de partículas. Sin embargo, las leyes que surgen como conse­cuencias del carácter masivo de los componen­tes que participan, tienen su’ pecúliaridades propias y su cantidad no es la sumatoria de los movimientos individuales. Además, dentro de ciertos límites, se determinó que esas leyes eran independientes de las propiedades de las partículas individuales que las originaban. Por supuesto, para investigar estas nuevas leyes, también hubo que encontrar nuevos y apropia­dos métodos de investigación matemática. Pe­ro ¿cuáles son las primeras exigencias que de­ben satisfacer esos métodos? Claramente, en primer lugar, deberían tomar en cuenta el he­cho de que el fenómeno es de naturaleza masi­va, luego, la presencia de gran número de partículas interactuantes no debería presentar

18 19

prismas; ya para las pirámides, las cosas no van, sin hablar de los otros sólidos. Sería necesario realizar una descomposición -excusad el len­guaje no riguroso- en un número infinitamen­te grande de partes iguales dos a dos, infinita­mente pequeñas. Ahora bien, esto fue hecho, y esencialmente es lo que hace Arquímedes su "Método", que descompone a esas figuras en tajadas muy sutiles, que luego pesa, eleva aquí y allá, compara con otras, llegando de esa manera a establecer una relación entre una figura- y otra.

Pero naturalmente este método mecánico de Arquímedes conduce, si se lo usa mal, a inconvenientes: los procedimientos infinitesi­males si no van acompañados por un control riguroso, pueden llevar a errores groseros paradojas. Ya ellas han llevado, efectivamente; se suele citar al respecto el conocido sofisma de Antifonte.

ORIENTACION Sólo que Anderson no sabía que existía la obra de Arquímedes sobre el método mecá­nico, que sólo se volvió a encontrar mucho más tarde, y por tanto Vindiciae Archimedis no era un título adecuado, porque el mismo Arquímedes recorría esas sendas no rigurosas que después deberían ser tomadas por Lucas Valerio, Bonaventura Cavalieri y otros y lleva­rían al cálculo infinitesimal verdadero y pro-

El rigor matemático con

Atilio FRAJESE (Italia)

pudiera corresponder en nuestro organismo al esqueleto que permite cierta estabilidad; sin él no podríamos vivir. Pero, naturalmente, este rigor surge como necesidad del proceso de formación, cuando se ve, en cierto momento, que apareceen el campo matemático, en cierto momento se descubre la necesidad del rigor, pues de otra manera nos equivocamos, vamos sobre un terreno falso.

Además, este rigor es la ventaja de nuestra disciplina; en fin, es algo que interviene en la fase sistemática cuando las teorías ya han sido elaboradas. En el período elaborativo de la teoría, en la fase de creación, el rigor todavía no está.

Por lo demás, existen en la historia ejem­plos que son de evidencia palmaria. Todos conocen el ejemplo del cálculo infinitesimal que, después de Newton y Leibniz avanza apo­yándose en la fe, durante siglo y medio vive sobre la fe, hasta que no llega una sistematiza­ción rigurosa en la cual ya no se habla más de "infinitamente pequeño" y en la cual todo se coloca definitivamente en su lugar, rigurosa­mente. Por lo demás, aquí podemos encontrar un motivo particular del desarrollo de la mate­mática a través de los siglos en la lucha contra el infinito. Luchando contra el infinito, para embridar a este infinito rebelde, se crean las premisas del rigor matemático.

Suele citarse al respecto un ejemplo clásico: el de la comparación entre el método de ex- haución y el método mecánico de Arquímedes. Todos saben que la lucha contra el infinito se desarrolla, por ejemplo, por la medida de áreas y volúmenes. Si se debe comparar dos áreas, dos volúmenes, se puede deducir su igualdad en algunos casos particulares mediante la des­composición en partes finitas de magnitud finita, ¡guales dos a dos. Esto, en las figuras planas, ocurre con los polígonos; para los sóli­dos las cosas van peor porque la equicomposición se puede poner en evidencia sólo para los

pió.En el prefacio del Método, Arquímedes nos

dice que ta| "método" que no tenía ningún valor demostrativo (y por -tanto, lo decimos nosotros, ningún valor desde el punto de vista del rigor), en cambio era útil para encontrar', después, más tarde, se podía suministrar la demostración rigurosa.

Así por ejemplo Eudoxio —lo dice Arquí­medes— demostró que la pirámide es la tercera parte del prisma que tiene igual base e igual altura, pero esto ya lo había hallado Demócri- to sin dar la demostración. Podemos entonces preguntar qué camino siguió Demócrito. Un camino evidentemente no riguroso, del cual acaso se pueda encontrar algún elemento, por­que necesariamente el procedimiento no podía no ser infinitesimal, como lo sabemos hoy por el teorema de Dehn. Por otra parte, tenemos testimonios directos que nos dicen que Demó­crito se ocupaba de procedimientos infinitesi­males. Naturalmente, estos procedimientos de­bían ser mal vistos por los contemporáneos, porque eran procedimientos desprejuiciados: la autoridad de un Arquímedes podía, en tiem­pos en que la matemática ya estaba sistemati­zada, acercarse a ellos con mayor libertad, mientras que estos procedimientos deben ha­ber desconcertado a los contemporáneos, espe­cialmente a aquellos que se encaminaban al uso del rigor. Y acaso se pueda encontrar un eco en los diálogos platónicos; en efecto, to­dos saben que Platón fue contrario de Demó­crito, el Gran ausente de sus Diálogos, de quien se dice que hubiera querido ver quema­das las obras.

Por tanto, es probable que habiendo segui­do Demócrito en el campo matemático proce­dimientos condenables desde el punto de vista del rigor, Platón no habría perdido la ocasión para hacer una advertencia, naturalmente en forma indirecta y sin el honor de la cita perso­nal. Me ha parecido encontrar algo en el Fe- dón, en ocasión de hablar de un razonamiento de Sócrates, a quien un fuerte interlocutor opone que se trata de un razonamiento "diá ton eicóton", esto es, cumplido a través de lo

Me ocuparé del rigor matemático y de cómo influye desde un punto de vista psicológico- didáctico en las distintas edades del alumno.

Acaso no sea malo ocuparnos un poco acer­ca de la historia de dicho rigor.

No quisiera apropiarme malamente del que­hacer de los literatos; sin embargo, debo con­fesar que he querido pensar un poco sobre la palabra "rigor" e incluso ver qué significa des­de el punto de vista etimológico. La palabra latina rigor, que en francés se convierte en rigueur y en inglés se traduce literalmente. En alemán no existe la misma palabra, pero hay otra latina que la ha substituido en el uso tedesco y es rigorosum: sería el examen "rigoroso". Hauptrigorosum y Nebenrigorosum son los dos exámenes finales del doctorado. La palabra ha subsistido para significar la rigurosidad, esto es, la severidad de la prueba; ya estamos en el nivel traslaticio.

Pero ¿qué significa rigor originalmente? Significa la fuerza del frío, la vis et asperitas frigoris, como dice Forcell¡ni, y este rigor pro­viene del griego tó rigos; rigos ha dado lugar a rigor y a frigor (frigus, frigoris), de modo que rigor vale tanto como frío.

Y como con el frío las cosas se vuelven rígidas (rígido proviene de la misma raíz) he aquí que hay una inmovilidad, una inflexibili­dad, una no elasticidad debida al frío. De modo que en sentido traslaticio vemos a la persona rígida como severa y rigurosa, porque lleva al campo moral esa inflexibilidad física debida al frío. También se habla de rigor mor- tis: la trágica rigidez en el doble significado de frío y de inmovilidad.

Pero no queremos naturalmente hablar del rigor mortis sino del rigor vitae. Podemos de­cir, sustancialmente, que el rigor es la inmovi­lidad que sigue a un período más cálido de plasmabilidad; luego ha intervenido el frío y entonces aparece el rigor, el rigor invernal. .. No es que quiera hablar mal del rigor, entién­dase bien; el rigor es algo necesario que acaso

esta parte más dura, más sólida; , a

Con Eudoxio de Cnido, interviene entonces el método de exhaución, que embrida, afirma, solidifica, da un rigor. El método de exhau­ción es perfectamente riguroso. Recurre en cierto modo al infinito, porque se basa sobre la posibilidad de construir una serie de figuras que nunca tiene término.

Por ejemplo, en el caso clásico de la cua­dratura del círculo se trata de polígonos regu­lares inscritos a los cuales siempre se va duplican­do el número de lados; si no fuese posible duplicar siempre y en ciertos momentos nos debiéramos detener, el método de exhaución no funcionaría.

Por tanto, el infinito que, por decir así, sale por la puerta, vuelve a entrar por la venta­na; pero esto no importa; el método es perfec­tamente riguroso y con él se tratan uniforme­mente todos los problemas, de modo que to­das las demostraciones por exhaución se pare­cen, las que están en Arquímedes, las que están en Euclides, todas.

Y bien, si sobre la base de un tal método riguroso se hubiese debido crear el cálculo infinitesimal, éste no habría surgido jamás. El cálculo infinitesimal volverá a recorrer la senda de Arquímedes, esto es, recorrerá sendas no rigurosas; estarán los que se escandalicen, ha­brá cierto Anderson que escribirá contra Vie- ta, que era demasiado audaz, un opúsculo inti­tulado: Vindiciae Archimedis, queriendo rei­vindicar el rigor do Arquímedes contra el de procedimientos desprejuiciados.

uso

20 21

:

DIVULGACIONdemuestra separadamente una de

tres especies, y seel teorema, para los triángulos de cada las especies, el rigor matemático es perfecto. Pero hay otro ejemplo de reclamo de rigor en

esto debería ser legítimo. Se la teoría de las paralelas. Aristóte-

verosímil, y agrega que lo verosímil es muy peligroso, en geometría como en todas las demás cosas. El mismo motivo se repite en forma más polémica en un diálogo que en la cronología de la composición no es lejano del Fedón, esto es, en el.Teeteto; allí también se habla del "día ton e ico ton", esto es de la verisimilitud. El interlocutor es Teeteto, pero también está otro matemático más fuerte que Teeteto, Teodoro de Cirene. Y bien —se dice- si de esta verisimilitud se aprovechase aquí este matemático; Teodoro, él no valdría un centavo",.

Por tanto, los que se sirven de lo verosímil en matemática no valen nada, pero hay perso­nas que evidentemente se sirven, y precisamen­te en geometría. A puro título de hipótesis, pienso que Platón puede haber vuelto su pun­tería contra los procedimientos heterodoxos de la época, esos procedimientos infinitesima­les que no tratan de la verdad sino de lo verosímil.

De cualquier modo, es verdad que Platón tiene su exigencia de rigor y que, de algún modo, incluso si no apunta a Demócrito, apunta evidentemente a otros geómetras que no fueron rigurosos. Por lo demás, en Platón también hay un falso rigor, cuando coloca a la matemática en segundo término después de la dialéctica, porque la matemática parte de algu­nos principios de los cuales no se da cuenta y, admitiéndolos como ciertos, deduce las con­secuencias. En cambio la dialéctica llega a esos principios, los demuestra, se da cuenta de ellos y luego vuelve a descender para demostrar las consecuencias. Debe observarse el hecho singu­lar de que Platón comprende plenamente el valor de la matemática, esto es, restaura a la matemática misma como sistema hipotético- deductivo. Por otra parte, empero, piensa que eso no es del todo riguroso, y por consiguien­te coloca a la matemática en segundo plano. Por lo demás existen otros ejemplos insignes de falso rigor,- así, en Aristóteles cuando afir­ma que quien, queriendo demostrar el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo, lo demostrase para el triángulo equilátero, des­pués para el triángulo isósceles y luego para el triángulo escaleno, cometería un error, puesto que debería demostrar la propiedad en el triángulo en sí y de por sí.

Nosotros no comprendemos este "rigor" porque cuando se ha demostrado que no exis­ten otros triángulos distintos de los de

Aristóteles, ypresenta enles dice que los que se ocupan de las paralelas

petición de principio, porque ha-cometen una blan como si ya supiesen que las paralelas ormua de tuberexisten. Sin duda encuentra prueba en otro fragmento— que los tratadistas de la época, en las consideraciones sobre la teoría de. las paralelas, cometen errores lógicos, y hay. un buen motivo para sostener que Eudi- des haya entendido reparar esta deficiencia justamente con su teoría de las paralelas basa­da sobre el uso del celebérrimo quinto postu­lado. Si instaura así un rigor perfecto (nadie puede encontrar algo para reírse en el trata­miento euclidiano de las paralelas) y es gran mérito de Euclides haber enunciado el quinto postulado sin concesiones a tentativas de falsas demostraciones como las q'*e surgieron en el transcurso de los siglos y que ciertamente tam­bién deben haber surgido en la mente de un gran geómetra como lo fue Euclides, pero él no se dejó seducir. Más tarde con un criterio de falso rigor, de rigorismo, los sucesores (in­cluido Saccheri) intentaron demostrar el quin­to postulado, para vindicar, paia liberar preci­samente a Euclides del defecto que era el quinto postulado.

—como se com-A.W. BELL

(Gran Bretaña)

mediante los cuales parece difícil generalizar. "Ah", diréis, "todos esos sólidos tienen aristas curvas". Es verdad. Pero, entonces, he aquí mi doble cubo; un cubo pequeño encolado por una cara a un cubo más grande. Lo que da:

Algunos profesores de matemática estudian con sus alumnos la relación V — A + C = 2 entre los números de vértices V, de aristas A y de caras C de los poliedros; los puentes de Kónigsberg; las propiedades elementales de las redes y las de las cintas de Móbius. No obstan­te quizás no sepan que existen vínculos entre esas diversas situaciones y que esas cuestiones conducen a la clasificación de las superficies. Esta teoría pertenece al dominio de la topolo­gía geométrica y su tratamiento riguroso exi­ge, por una parte, una definición del concepto de superficie, cuestión relativamente difícil, y el conocimiento de algunos teoremas que fue­ron demostrados hacia 1930. Para tener ele­mentos más concretos sobre este dominio el lector podrá consultar el documento de E.C. Zeeman citado más adelante. En él se presenta el teorema de la clasificación de las superficies sin dar sin embargo todos los detalles.

Nuestro objetivo es dar aquí una introduc­ción de esas nociones, a la manera del relato de un viaje, e incitar a los profesores a avanzar en este dominio.

Para poner en evidencia la célebre fórmula de Euler V — A + C = 2, emplearé una peque­ña caja que se usa en las escuelas inglesas. En esa caja hay un cubo, un octaedro, un tetrae­dro, pirámides, prismas, una esfera, un cono y un cilindro. Si os ocupáis primeramente de los sólidos tradicionales verificaréis fácilmente que V — A + C = 2 y también obtendréis los resul­tados siguientes:

C V-A + CV A

2416 11cubo sobre cubo 3

No se tiene siempre V — A + C = 2. Por otra parte, no se ve por qué esa relación no se aplicaría más que a sólidos que tienen aristas rectilíneas. Si se encorvan algunas aristas, ¿qué diferencia producirá eso en V, A o C? De cualquier manera, la demostración de esta rela­ción no hace intervenir ni la forma de las aristas ni la de las caras. Comencemos por el cubo. Quitemos una de sus caras y aplané­mosla. La fig. 1 muestra lo que ocurre con el cubo. Quitemos las caras una a una.

Hoy, sistematizadas nuestras ideas sobre la matemática como sistema hipotético-deducti- vo, se puede decir que el rigor, según la céle­bre definición de Peano consiste en "decir laverdad, nada más que la veidad". En un trata­miento riguroso es pues esencial precisar bien los principios diciendo fianca y claramente cuáles son las proposiciones que no se demues­tran. Error, falta de rigor, sería callar los pos­tulados e introducirlos subrepticiamente, esto es, no hablar dando a entender que todo está demostrado. Por consiguiente, hay que decir la verdad; decir lo que está demostrado y decir lo que no lo está.

En este sentido, el rigor se ha ido afinando con el andar de los siglos, si tomamos loa Elementos de Euclides, obre maestra del rigor, matemático lo es

< 7 x

V - A + CCV A

para su época, vemos que ya no porque la critica moderna ha encontrado

que hay en los Elementos admisiones implí­citas,

13cilindro 20Fig. 1

2 .1 21conoproposiciones-postulados no expresadas (aparte la cuestión de las definiciones). Al proceder así se elimina sea una cara y

una arista, sea una cara, un vértice y dos aristas. En todos los casos: V - A + C no va-

esas1esfera 0 10

22 23

ría. Al final, no queda más que una sola cara delimitada por un polígono. Se tiene V = A y C = 1, de manera que resulta V — A + C = 1; al partir, antes de quitar la primera cara se tenía V — A + C = 2*.

Otra manera más fácil que conduce a la consideración de esas anomalías es la siguien­te: supongamos que las caras sean campos, y las aristas, diques. Elijamos a una de las caras para representar al mar. Usando un diagrama semejante al precedente, consideremos a la ca­ra quitada como el mar que rodea al resto de la figura.

tando una cara y aplanándola, el cilindro, el la esfera, se nos aparecen así:

Esto quizás proviene del hecho de que la cara eliminada posee una conexión a la vez con las aristas interior y exterior (fig. 5a).

la permite la coexistencia de dos circuitos sin que ellos delimiten regiones. En verdad, dos es el número máximo de circuitos que se pueden trazar sobre la arandela sin dividir la superfi­cie. (Podemos convencernos intuitivamente de esto; se hallará una demostración en la refe­rencia (2): allí se demuestra que para una superficie dada, toda triangulación (por tanto, toda red poligonal), deja invariante aV — A + C). De modo que 0 es el menor valor de V — A + C para una red conectada sobre una arandela (o un anillo de caucho. . .) y ese número sirve para clasificar a esas superficies en una categoría diferente a la de la esfera.

La superficie siguiente que figura en la lista es la del bretzel (rosquillas) para la cualV — A + C = 2. ¿Estáis de acuerdo?

cono y

esferacilindro cono

Fig. 3

No se puede aplicar el razonamiento por inundación a estas figuras pues la red de los vértices y de las aristas no está conectada desde el comienzo del proceso de inundación. Agreguemos un número suficiente de vértices y aristas para obtener una red conectada como la de la fig. 4.

^^ VAC 2 3(3)

Fig. 5i *i

Tratemos de explicar el proceso de inunda­ción. La fig. 5b muestra una red rota y la fig. 5c muestra lo que resta cuando se retiran los diques rotos. La red rota es todavía un árbol y se tiene C —Ar= 1, pero para la red residual se tiene V — A¡ = 4 — 4 = 0 puesto que ahora se tiene un circuito sin que ello implique un campo inundado. El circuito ro­dea simplemente el agujero en el centro de la arandela. Esto constituye una diferencia real entre la forma de la superficie de la arandela y las de las superficies de los otros sólidos consi­derados: se las puede obtener a todas defor­mando una esfera pero no la arandela.

No obstante, no hemos terminado. Hemos probado que V — A + C = 1 para esa red co­nectada minimal comprendiendo los vértices, las aristas y las caras de una arandela. Si se agregan aristas y vértices, V — A + C permane­ce igual a 1 con la condición de que no se agregue.un circuito que no cree una cara. Sin embargo, esto es posible sobre la arandela: podemos agregar una arista por debajo de la cara eliminada (fig. 6).

9(b)(a)

VAC . \2 2 (2)

VAC 1 0(1) fF ig. 2.

Alternativamente, cada uno de los campos es inundado por una abertura en el dique. Sea Ar el número de diques rotos que es, por consiguiente, C — 1, uno menos que el número inicial de caras (Fig. 2a). Consideremos ahora la red constituida por los diques intactos (A¡). Esto comienza como una red conectada; al final todavía está conectada, pero como en la Fig. 2, no subsiste ningún circuito. Si todavía hubiera circuitos, eso querría decir que toda­vía hay campos no inundados, de manera que el proceso de inundación no estaría concluido.

Si la red está desconectada, eso querría .decir que se ha superado el número necesario de diques rotos para inundar todos los cam­pos. Contemos los vértices y las aristas de esta red bien conectada. Se tiene V — A¡ = *|t (Es evidente que esto es verdad para toda red bien conectada; una red tal se denomina árbol. La red, de diques rotos, fig. 2a, es también un árbol). Estos dos resultados nos dan:

Fig. 7

esferacilindro cono

No se puede menos que mencionar aquí la significación de la cinta de Móbius y la botella de Klein. En resumen, el conjunto de superfi­cies de las cuales la esfera, la arandela y la rosquilla son los ejemplos más simples se de­nomina de las superficies orientab/es de género 0, 1,2,..., que son topo lógica mente equiva­lentes a una esfera con 0, 1, 2,... asas ligadas (como el asa de una taza). Para una superficie de género n, V — A + C para una red poligonal es 2 — 2 n. Existe un conjunto correspondiente de superficies no orientables, consistiendo uno de los géneros n en una esfera a la cual está ligada una cinta de Mó- bius; para esas superficies V — A + C = 2 — n. Daremos algunos diagramas para mostrar cómo están ligadas las cintas de Móbius, luego justi­ficaremos el valor 1 de V — A = C para la primera de una superficie tal. La cinta de Móbius es fijada sobre la esfera alrededor de un agujero circular recortada sobre la superfi­cie de la esfera por aplicación de la frontera única de la cinta contra el reborde del agujero. Cuando se ha hecho esto, la cinta de Móbius se convierte en un tapón cónico como lo muestra la fig. 8.

Fig. 4

En cada caso, V - A + C = 2 (no olvidar "el exterior" o la cara eliminada).

La presencia de una cara en forma de anillo en el caso del .cilindro y del cono basta para explicar la ausencia de una red conectada de vértices y aristas. Estudiad también el cubo sobre el cubo y la arandela.

Nos hemos arreglado para llevar todos casos patológicos a V - A + F = 2, pero a cierto precio. En efecto, no contamos ya los vértices, las aristas y las caras reales del sólido mismo, sino los V, A y C de una red conec­tada trazada sobre ese sólido.

Pero la arandela sigue siendo siempre problema. Agregando vértices y aristas se tiene todavía

esos

1’1Ar = C - 1

C — Ar = 1 V - A¡ = 1

V-(Ar+A¡)+ F = 2

unes deciry

V — A + C = 4—7 + 4=1de donde

Observemos que este proceso se aplica no sólo a un conjunto de vértices, aristas y caras de un sólido, sino también a redes planas, teniendo en cuenta la región exterior.

Pasemos ahora a los casos patológicos. Qui-

ejempl° no es nece^aTdesconeaar^tSas3^ a^s- (2lla histo^denC°n,rará " l3S referenC¡aS <1) V

Así V — A¡ = 4 — 5=—1 haciendo V — (Ar + A¡) + C = 0. La forma de la arande-este teorema.

24 25

tapón cónico, se comprueba que dicha superfi­cie se repliega en sí misma volviéndose interior el exterior cuando se atraviesa la línea xy. Las dos regiones diferentemente coloreadas están así conectadas ambas y la superficie no está dividida por el circuito formado por la línea mediana trazada sobre la goma. De esa forma,

red trazada sobre dicha superficie, some­tida a un proceso de inundación, se compor­taría como la primera red considerada sobre la arandela conduciendo a V — A + C = 1.

Finalmente (fig. 9) damos algunos diagra- para mostrar que la botella de Klein con­

siste en dos cintas de Móbius y que una esfera con dos cintas de Móbius equivale a una bote­lla de Klein. Esto, por consiguiente, constituye la segunda parte de las superficies no orienta- bles y da V - A + C = 0 por más que no lo hayamos mostrado.

•........ 00 •«»»•

•.............

Trazad una línea xy O* • •• • •Cinta de Móbius • •una

ESüsSSparte inferior0 0» * *mas

Cortad a lo largo de esa línea

frontera

Fig. 8Fig. 8a

Es necesario observar que esta superficie, contrariamente a las otras, se repliega según el círculo C. Se puede obtener la botella de Klein tomando un cilindro, estrechando uno de sus extremos, encorvándolo y hundiéndolo a través de la pared vertical y luego alargán­dolo de nuevo y fijándolo en el otro extremo.

I

j

Tomad el cilindroPegad los puntos x

Haced un corte Desenvolved la cinta

parte superiorColocad la banda sobre

una esferaPegad las caras.

©Pegad los bordes

Fig. 8b9

Para mostrar que dicha superficie contiene un circuito que no separa la superficie, consi­deremos la línea mediana de la cinta de Mó­bius (hacedlo y ensayad) y coloreemos las superficies a uno y otro lado de la línea, una en rojo, la otra en azul. Encontráis que cada lado de la cinta es de color diferente de suerte que el reborde de la cinta está fijado ahora alrededor del agujero sobre la esfera, la parte adyacente al agujero tiene un color en el exte­rior y otro en el interior. Una experiencia pondrá esto en evidencia. Pero observando el

©Pegad los puntos y

[•• •'

26 27

sirve de frontera a dos caras). De modo que C< 1/3 A. Como cada vértice es el punto de encuentr9 de tres aristas,tendríamos

A = 1/2.3V o V = 2/3 A

Las figuras de este artículo se han extraído de la referencia (2); agradecemos al profesor E.C. Zeeman por autorizarnos a reproducirlas.

Otra aplicación de la relación entre V, A y CEl teorema de los cinco colores nterdisciníinaridadDe donde

V — A + C < 2/3 A — A + 1/3 A=0 lo que es imposible.

Completemos ahora nuestra demostración por recurrencia. Un mapa de cinco caras pue­de colorearse con cinco colores; supongamos que todo mapa de. n garas puede colorearse con cinco colores y consideremos mapas de n + 1 caras. Cada mapa contiene una cara que tiene a lo sumo cinco vecinas.

El teorema enuncia que todo mapa finito plano puede pintarse con sólo cinco colores. Verificamos aquí que, para un mapa tal, V — A + C = 1 (siendo V, A y F el número de vértices, aristas y caras, respectivamente). Igualmente es necesario verificar que los ma­pas no tengan agujeros o caras de forma de anillo.

J. M. SOURIAU (Francia)(contínuacióh)

La noción de modelo no es sólo un instru­mento prospectivo; permite también arrojar nuevas miradas sobre el pasado.

En efecto, si el desarrollo lineal de la cien­cia es imposible en la hora actual, es porque siempre lo ha sido; la creencia reinante más comúnmente hace un siglo era, pues, una ilu­sión, adherida a la historia real de las ciencias para evitar ver en ella situaciones aparente­mente inadmisibles.

Ahora bien, la enseñanza actual refleja muy a menudo creencias epistemológicas muy antiguas; si esas creencias fueran ¡lus.orias.. de­be revisarse el contenido mismo de esa ense­ñanza.

perfectamente actual: "decimos calor, decimos frío, decimos azucarado, decimos amargo, pe­ro, en verdad, no existen más que los átomos y el vacío ".

Con la condición de traducir el término "atomo" por el término "partícula elemen­tal", todas las afirmaciones de Demócrito son válidas hoy; así los físicos saben que las par­tículas de un mismo tipo son indiscernibles (las consecuencias de esta indiscernibilidad se verifican experimentalmente en física estadís­tica); creen ellos que la construcción de gran­des aceleradores permitirá descubrir nuevos ti­pos de partículas, sin que pueda fijarse un límite a esos descubrimientos.

No habría que olvidar, por tanto, que los átomos no son más que uno de los aspectos del modelo de Demócrito; el otro es el vacío, en el cual los átomos tienen un movimiento perpetuo; "vacío infinito en el cual no hav ni alto, ni bajo, ni medio ni extremo", escribió Demócrito.

Todas esas características negativas del va­cío son evidentemente una puerta en guardia contra el sentido común y contra otras opinio­nes de la época; está puesta en guardia no impidió, por otra parte, el triunfo durable de la reacción que se expresa con fuerza en la obra de Aristóteles. Recordemos simplemente que, para Aristóteles, todo movimiento está destinado a detenerse, que existen "lugares naturales" para todas las cosas, abajo para los cuerpos pesados, arriba para los cuerpos suti­les, que el universo es finito y la materia indefinidamente divisible, etc.

Sin embargo, la afirmación de Demócrito según la cual el vacío no tiene ni arriba, ni abajo, ni medio, ni extremo, puede también aparecemos como una prefiguración de los conceptos modernos de ¡sotropía y de homo­geneidad) puesto que no hay ni arriba ni aba­jo, el espacio vacío puede revolverse sin dejar de ser semejante a sí mismo; de la misma

I

Primeramente, mostraremos que todo mapa puede ser transformado en un mapa similar en el cual cada vértice es de grado tres, de mane­ra que un coloreado del nuevo mapa es tam­bién un coloreado posible del mapa antiguo. Para esto, examinemos la fig. 12.

I

Fig. 13 !Por ello, propondré algunos ejemplos de

análisis histórico; las conclusiones a que llega­ré probablemente sean discutibles; no los pro­pongo más que como temas de reflexión. El juego es abierto para todos, y es fructífero.

Citemos una obra apreciada, publicada en 1950, la Historia de la Mecánica, de René Dugas. Comienza con estas palabras:

"Toda historia de la mecánica, por la im­posibilidad de remontarse más lejos, comienza en Aristóteles (384-322) a J.C."

El autor no hace ninguna alusión al más notable de los modelos de la mecánica, que es anterior a Aristóteles: el modelo atómico, ela­borado por Demócrito (nacido hacia 460 a. J.C., en Abdera, al norte del Mar Egeo) y probablemente por otros "atomistas" de la misma escuela, tales como Leucipo de Mileto.

Los fragmentos de Demócrito que nos han llegado son muy claros; para él los átomos son los constituyentes últimos de la materia infini­tamente duros y por consiguiente imposibles de cortar, de ahí su nombre;'existe una infini­dad de tipos de átomos y, para cada tipo, una infinidad de ejemplares indiscernibles; las com­binaciones de esos átomos entre sí son las responsables de las apariencias sensibles, lo

fórmula admirable y

Supongamos que la cara F tenga exacta­mente cinco vecinas. Todas no pueden tocarse entre sí; de ese modo, debe haber un par(digamos Fj, F3) que no se toca. Eliminemos las fronteras entre F y Fj y entre F y F3; resulta un mapa de n — 1 caras que puede entonces colorearse con cinco colores. Sin bargo, en la vecindad de F, no se emplean más que cuatro colores puesto que F, FF3 no constituyen más que una cara. Ahora reempla­cemos las fronteras y usemos el quinto color para F. El hecho de que F, y F3 sean del mismo color es admisible puesto que esas dos caras no se tocan. El mapa de n - 1 caras está coloreado ahora con 5 colores y el teorema resulta por el principio de recurrencia.... ,a cara F tiene menos de 5 vecinas,

eliminemos ahora la frontera entre F, y F; se obtiene un mapa de n caras que se puede colorear con 5 colores. Proseguimos como an-

El diagrama de la derecha comporta todas las incidencias entre las caras del diagrama de izquierda y de las incidencias suplementarias entre las caras 1 y 3 y las caras 2 y 4. No consideremos en lo que sigue más que los mapas en los cuales cada vértice es de grado tres; se los denominará "mapas regulares".

En segundo término, mostraremos

i

em-

que unmapa regular plano finito no puede contener más que un conjunto de cinco caras, cada de las cuales toca a las otras cuatro. Pues habría C§ = 10 aristas y C¡ = 10 vértices en esa parte del mapa.

Se tendría así

una

V — A + C = 10- 10 + 5 = 5lo que es imposible.

En tercer término, mostraremostes.

que paramapa regular hay al menos una cara que

tiene cinco vecinas a lo sumo. Pues si no fuera asi, cada cara tendría por lo menos seis aristas como límites y de ese modo el número total de aristas sería > % 6 C (1/2 pues cada arista

un Algunos problemas

a) Extensión del teorema

c¡n5"cota.d*"'““4r' d" '“™m* d‘probar que para los mapas que se resume en una

28 (Sigue en pág. 47) 29

I

la audacia de las simplificado-ten pensar queeuclidianas es un obstáculo importante Ka comprensión de la geometría; acaso sea

tría galileana es el estudio de las propiedades invariantes para las transformaciones del gru-

cio de fases", por ejemplo. Hoy sabemos có­mo renunciar a esas antiguallas; los nuevos modelos que las reemplazan están matemática­mente mejor estructurados y permiten una es­tructuración mucho más directa de la expe­riencia.

Permiten también corporizar una vieja am­bición de los filósofos, que evocaremos rápida­mente.

Para Demócrito, no era cuestión de prever los diferentes tipos de átomos -estos están determinados por la naturaleza según leyes imprescindibles. Sin embargo, un predecesor de Demócrito se aventuró a una predicción tal; se trata del siciliano Empédocles, probable au­tor de la teoría de los cuatro elementos (tierra, aire, fuego, agua), supuestos constituyentes de toda materia. La elección del número cuatro, que nos parece arbitraria, probablemente se vinculaba con consideraciones geométricas; en efecto, leemos en Platón (Timeoj que esos elementos se relacionan cada uno con uno de los poliedros regulares conocidos (cubo, octae- do, tetraedro, icosaedro); el descubrimiento de un quinto poliedro (el dodecaedro) hizo imagi­nar prontamente un quinto elemento, que ya aparece en Platón y en Aristóteles, y que tuvo una bella carrera medieval con el nombre de quintaesencia.

Allí aparece una voluntad manifiesta de pre­ver las propiedades de la materia por las pro­piedades geométricas del espacio vacío, de esta­blecer, en cierto sentido, una dialéctica del vacío y de la materia.

Observemos que esta dialéctica pone en jue­go, implícitamente, el grupo de las rotaciones del espacio; en efecto, la existencia de los poliedros regulares está ligada a la existencia de los subgrupos finitos no conmutativos de ese grupo.

Ahora bien, las concepciones modernas de la mecánica teórica permiten realizar un progra­ma análogo; la posibilidad de hacer operar al grupo de Galileo sobre el espacio de los movi­mientos de un sistema material, permite, me­diante un juego bastante sutil, prever la exis-, tencia de magnitudes características de la ma­teria: energía, impulso, momento cinético, centro de gravedad, masa; este método per­mite también clasificar las partículas elemen­tales, por medio de la masa de sus spin, recor­demos cómo la existencia del spin del electrón pareció paradójico desde su descubrimiento en 1927; se lo interpretó como un movimiento

manera, puesto que no hay medio, una trasla­ción no lo altera. Esas ideas serán explotadas por los geómetras griegos, con el sabido éxito, y desembocaron en los Elementos de Euclides. Ideas que condujeron mucho más tarde a la clasificación de las geometrías por Félix Klein en su "Programa de Er/angen" (1872) por medio de un grupo cualquiera que opera sobre un conjunto; de ese modo se generaliza el papel del grupo de los desplazamientos eucli- dianos operando sobre el espacio clásico.

Hoy sabemos que la geometría de Euclides no es más que un modelo, pero es el "modelo de los modelos", puesto que su imitación ha permitido la elaboración de los conceptos uni- ficadores de la matemática y de la física de hoy, particularmente la teoría de grupos y, más generalmente, la noción de morfismo que permite decir con precisión lo que se entiende por "estructura" matemática (precisión que to­davía parece escapar al "estructuralismo" tal como se lo concibe en las ciencias humanas).

Observemos otro aspecto característico de los modelos matemáticos que se observa en el caso de la geometría de Euclides; el carácter paradógico, provocante, de las simplificaciones que comporta.

Mientras que el espacio de Aristóteles era ‘un tejido complicado, comportando a la vez fragmentos continuos y puntos definidos, por otra parte, como fronteras de regiones conti­nuas, el espacio de Euclides es simplemente un conjunto de puntos —el primer conjunto, proba­blemente, que ha sido considerado por sí mis­mo. Lo que choca es esta simplicidad de es­tructura; los arduos problemas planteados por la definición directa de un punto, por la posi­bilidad de "llenar" el espacio mediante puntos sin dimensión, no han escapado evidentemente a los geómetras griegos, pero los descuidan alegremente probando por el éxito de la metría que esos problemas son efectivamente desdeñables o, en todo caso, que se los remita a tiempo posterior; en efecto, sólo mucho más tarde se resolvieron los problemas del conti­nuo mediante la construcción de los números reales, obra de siglo XIX.

Es evidente el profundo acuerdo entre geó­metras y atomistas; Aristóteles, para quien la materia era infinitamente divisible, no podía concebir que el espacio esté "compuesto" de puntos, átomos de espacio ellos mismos indivi­sibles.

Ahora bien, los conocimientos que hoy te­nemos de psicología infantil, particularmente por los trabajos de Piaget y su escuela, permi-

nesparanecesario manejar las transiciones entre una etapa "aristotélica" del pensamiento del niño y el estado "euclidiano" al cual quisiéramos conducirlo.

po.Se halla que la relación fundamental de

Newton: 7 = nvy es invariante para las transfor­maciones de Galileo, lo que hace pensar que toda* la mecánica clásica posee dicha ¡nvariarv c¡a; én otros términos, la mecánica clásica se puede formular en el lenguaje de la geometría galileana.

Esta es la hipótesis que Poincaré denomi­naba "principio de relatividad" y que hoy se llama "principio de relatividad galileana" para evitar toda confusión con la teoría de Eins- tein.

Evidentemente, sería ingenuo afirmar que las herramientas mentales de que dispone hoy habrían permitido a la ciencia clásica pro­

mucho más rápidamente de lo que logresarhizo, pero ciertas circunstancias históricas dan tanta impresión de haber habido falta de opor­tunidades que resulta interesante intentar adi­vinar cómo habrían evolucionado las ciencias

En la geometría galileana, un móviljen repo­so y un móvil en movimiento rectilíneo uni­forme constituyen figuras iguales, lo que está implícitamente contenido en el principio de inercia formulado por Galileo, que da justa­mente el mismo status físico al reposo que al movimiento rectilíneo uniforme.

El espacio en reposo es, pues, una noción pregalileana a la cual es necesario renunciar. No es seguro que los científicos de hoy tengan todos conciencia de ello; en todo caso, New- ton no ha podido resolverse; pese al embarazo que traiciona el mismo enunciado de sus "de­finiciones", el escribe tanto "el espacio absolu­to se conserva siempre similar e inmóvil" co­mo "es necesario confesar que es muy difícil conocer el movimiento verdadero de cada cuerpo. . . porque las partes del espacio inmó­vil no caen bajo nuestros sentidos".

Conocemos, por otros escritos, las causas ae la repugnancia de Newton para aceptar la rela­tividad galileana; en lo esencial son teológicas; también se atienen, probablemente, al carácter sistemático de su oposición a Descartes, el cual, sobre ese punto particular, tenía una concepción más moderna.

Entiéndase bien: la adopción de la geome­tría galileana habría matado en embrión la teoría del éter que tanto tiempo ha hecho perder a la física; curiosamente, el mismo New­ton pone en guardia, muy secamente, lector: "No presto aquí ninguna atención al medio que pasa libremente entre las partículas de los cuerpos, supuesto que exista un medio tal" Verdad es que el éter formaba parte del arsenal cartesiano. ..

Análogamente, esta geometría galileana ha­bría evitado la llegada al mundo de nociones que obstruyen todavía a los tratados de mecá­nica analítica y que son tan anacrónicas como la del éter: "espacio de configuración", 'espa-

sí, cierto día, un simple esfuerzo de imagina­ción creadora hubiera permitido un progreso decisivo que sólo habría de producirse, en la realidad, mucho más adelante.

El propósito declarado de Newton era edifi­car una mecánica que fuera una verdadera geometría global del espacio y del tiempo. Citémosle:

"La geometría no es más que una rama de la mecánica universal que trata y que demues­tra el arte de medir" ... "los artesanos tienenla costumbre de operar con poca axactitud; de allí ha derivado que se ha distinguido de tal manera la mecánica de la geometría que todo lo que es exacto se ha vinculado a ésta y lo que lo era menos a la primera". . . "nosorros que tenemos por objetivo, no a las Artes, sino el avance de la Filosofía, proponemos lo que damos aquí como principios matemáticos de la filosofía natural" (Prefacio de la primera edición de los "philosophiae naturales principiamathematica", 8-V-1686.)

El programa de Newton no se realizó com­pletamente hasta muchos siglos después; con­trariamente a una difundida opinión era posi­ble hacerlo por medios enteramente clásicos sin apelar a la relatividad de Einslein.

Basta en efecto considerar el producto car­tesiano del espacio y el tiempo, es decir, el conjunto de los pares (r, t), siendo r un punto del espacio y t un tiempo; luego, estu-

lar las permutaciones de ese conjunto espacio- tiempo que están dadas por la fórmula

<M) -MD(7) + vt,t + h)

geo-

1a sui

:

siendo D un desplazamiento euclidiano, "v una velocidad, h una duración.

Estas permutaciones se denominan hoy -a J sto titulo- las transformaciones de Galileo;

un ejercicio elemental verificar que consti- uyen un grupo, el grupo de Galileo; la geome- (Sigue en pág. 39)

3031

DIVULGACION los escribían así: lf II, III, IV,...; los griegos escribían: a, (i, 7,5,.. .; en el sistema binario, que contiene solamente a los dígitos 0 y 1, los números correspondientes se escriben así: 1,

10, 11, 100,. .. Todas estas variantes llegan de la misma cosa: usan símbolos diferentes para entes cuyo significado y orden es uniforme­mente comprendido.Número

S 11111 ifrnm Pr £1 |i|X m Ti jim :=TI¡ É i li ü II I 'PRINCIPIO í uiDEL ABACO II11

PHILIP J. DAVIS (Estados Unidos)

i ni m ■ni ini mim ni un ni n ni mi mu muí mi mui n Ul DH BEGIPCIOS

1

de finalización de una carrera. Todavía no hay necesidad de operar con los números; todo lo que nos interesa es si un número es más gran­de o más pequeño que otro. La aritmética en su sentido más completo no se vuelve perti­nente hasta el momento en que hagamos la pregunta: ¿Cuántos? Entonces es el momento en que debemos enfrentar las complejidades de la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, las raíces cuadradas y las más ela­boradas cuestiones con números.-

La complejidad de una civilización se refle­ja en la complejidad de sus números. Hace unos veinticinco siglos, los babilonios usaban enteros simples para tratar con el propietario de unas pocas ovejas y una aritmética simple para registrar los movimientos de los planetas. Hoy los economistas matemáticos emplean el álgebra matricial para describir las ¡nterrela- ciones de centenares de industrias y los físicos usan transformaciones en el ''espacio hilbertia- no" —un concepto numérico de niveles de abstracción siete veces más alto que los ente­ros positivos— para predecir los fenómenos cuánticos.

Los sistemas numéricos que se emplean en matemática se pueden dividir en cinco especies principales, yendo de los más simples a los más complicados. Ellos formado solamente por los enteros positivos; 2) la siguiente especie más alta, que compren­de a los enteros positivos y negativos y al cero; 3) los números racionales que incluyen a las fracciones lo mismo que a los entéros; 4) los números reales, tales como 7r; (5) los números complejos que introducen al número "imaginario"

Los enteros positivos son los números que aprende un niño al contar. Usualmente se los escribe 1, 2, 3, 4,.., pero pueden y han sido escrito de muchas otras maneras. Los romanos

Por consenso popular, un matemático es una persona apta para actuar con números. La mayoría de los matemáticos lo pone en duda. Señalan que tienen tanta dificultad como todo el mundo para comprender sus cuentas banca- rías y les gusta referirse a anécdotas de susten­tación, tales como la de Isaac Newton, que era director de la Casa de Moneda y empleaba un tenedor de libros para hacer sus cuentas. Ob­servan también que las reglas de cálculo y las computadoras electrónicas fueron desarro­lladas como "muletas" para ayudar a los mate­máticos.

MAYAS á= ~ = 5A A SS.

GRIEGOS rA B EA F Z H © I IA IB ir IA IE IF

I II III IV V VI Vil VIII IX XROMANOS XI XII XIII XIV XV XVI

ARABIGOS 0 1 2 3 4 6 7 8 95 10 11 12 13 14 15 16

BINARIOSObviamente, todo esto no viene al caso. ¿Quién, sino el matemático, es el custodio de los números impares y pares, de los números cuadrados y de los redondos? ¿A qué otra autoridad nos dirigiremos en busca de infor­mación y ayuda sobre los números de Fibo- nacci, los números de Liouville, los números hipercomplejos y los números trasfinitos? No nos equivoquemos sobre esto: la matemática es, y siempre ha sido, el juego numérico por excelencia. El gran matemático norteameri­cano G.D. Birkhoff en alguna oportunidad subrayó que los simples acertijos creados sobre los enteros han sido una fuente de revital i- zación de la matemática a lo largo de los siglos.

00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000

Notaciones antiguas y modernas para los números de 1a 16.

física y al credo filosófico de que el'TTnivérso debía ser finito. La atrevida noción de infinito abría amplias posibilidades a la matemática y, asimismo, creó paradojas. Su significación no ha sido del todo sondeada hasta ahora.

Extrañamente, el paso de los números ente­ros positivos a los enteros negativos probó ser de más dificultad. Los números negativos pare­cen ser un lugar común en nuestros días en que 10 grados bajo cero es algo universal­mente comprendido y el niño más pequeño está familiarizado con la cuenta regresiva: "...,cinco, cuatro, tres, dos, uno,. .Pero los griegos sólo trataban con números negati­vos en las expresiones algebraicas de las áreas de cuadrados y rectángulos, por ejemplo (a —b)2 —a2 —2ab +¿r. Los números negati­vos no fueron incorporados del todo a la matemática hasta que se publicó Ars Magna,, de Girolamo Cardano, en 1545.

Las fracciones, o los números racionales (nombre con el cual se las conoce en la teoría de números) son más antiguas que los núme­ros negativos. Aparecen en los primitivos escri-

El hombre primitivo necesitó tan sólo de pocos de los primeros enteros, pero al llegar la civilización hubo que inventar números cada vez más grandes. Este avance no se produjo muy rápidamente. Como lo señaló Bernard Shaw en su obra Man and Superman: "Para el campesino que no podía contar más allá de sus dedos, el once era un número incalculable­mente grande". Hasta el siglo III a.J.C. parece no haber habido maneras sistemáticas para expresar números grandes. Entonces, Arquíme- des sugirió un método engorroso para desig­narlos en su trabajo El Arenario.

Pero, mientras estaban luchando con los nombres de los números grandes, los griegos hicieron el salto de lo finito a lo infinito. El salto está indicado por los tres puntos suspen­sivos colocados después del 4 en las sucesiones anteriores. Ellos indican que hay un entero después del 4 y otro después del sucesor del 4 y así sucesivamente a través de un número ilimitado de enteros. Para los antiguos este concepto constituía un acto -upr-.iio de.ima­ginación porque se oponía a toda experiencia

’

son: 1) el sistemaLos números son una herramienta civiliza­

dora indispensable que sirve para colocar a las actividades en cierto tipo de orden. En su aplicación más primitiva sirven como rótulos de identificación: número telefónicos, licencias de automóviles, etc. En este nivel meramente comparamos un número con otro; los números no están sometidos a operaciones aritméticas. A un nivel un poco más alto empleamos el orden natural de los enteros positivos: al tomar un número que indique nuestro turno en un negocio o al construir una lista del orden

i

32 I33

de los dígitos más allá de millares de cifras decimales. Cualquier número que se pueda escribir en esta forma -con uno o más enteros a la izquierda de la cifra decimal y una suce­sión infinita de enteros a la derecha de esa

un número "real". Podemos expresar

tos matemáticos y fueron discutidos con cierta amplitud hacia 1500 a.J.C.en el Papiro Rhind de Egipto. La manera actual de escribir frac­ciones (por ejemplo, 1/4; 1/5; 8/13) y tam­bién la forma actual de operar aritmética­mente con ellos datan de los siglos XV y XVI. Hoy, no se podría confiar en que la mayoría de las personas podría sumar correctamente 1/4 + 1/5. (En verdad ¿lo necesitan muy a menudo7 ). Por otra parte parte, el manejo de fracciones no es un asunto muerto. Reciente­mente se ha convertido en tema de controver­sia periodística el tema del tratamiento de las fracciones en algunos de los cursos de mate­mática de la nueva escuela, con la tendencia de la cancelación enfrentada a la tendencia de la no cancelación. La controversia surgió de una diferencia de opinión acerca de cuáles deberían ser los fines prácticos y estéticos de la matemática escolar; el lego confundido, le­yendo sobre esto mientras desayuna, puede quedar con la impresión de que todo lo que se le había enseñado sobre fracciones era erróneo o vicioso.

Los números irracionales tienen también larga historia. En el siglo VI a J.C., la escuela matemática de Pitágoras encontró unnúmero que no podía incluirse ni en la categoría de los enteros ni en la de las fracciones. Este número, obtenido por el teorema de Pitágoras, era y/2: la longitud de la diagonal de un cuadrado (o la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles) cuyos lados eran de longi­tud unitaria. Los griegos se sintieron muy tras­tornados al hallar que y/2 no se podía expre­sar como un número a/b en el cual a y ó fueran enteros, esto es, algún número racional. Puesto que originalmente pensaban que sólo exitían números racionales, este descubri­miento era equivalente al hallazgo de que la diagonal de un cuadrado no tenía una longi­tud matemática. Los griegos resolvieron esta paradoja pensando a los números como longi­tudes. Esto condujo a un programa que inhi­bió el desarrollo adecuado de la aritmética y del álgebra/y la matemática griega se introdujo a sí misma en un muro de piedra.

Fueron necesarios siglos de desarrollo y sofistificación en la matemática para compren­der que la raíz cuadrada de dos puede repre­sentarse colocando tres puntos suspensivos luego del último dígito calculado. Hoy presio­namos la tecla de la raíz cuadrada de máquina de calcular de escritorio y tenemos la respuesta: y/2 = 1,411421... Las computado­ras electrónicas han llevado la especificación

Los números complejos permanecieron en nivel puramente manipulativo hasta el siglo XIX en que se comenzaron a encontrar signifi­cados concretos para ellos. El noruego Caspar Wessel descubrió una manera de representarlos geométricamente y esto se convirtió en la base de una estructura de gran belleza conocida como teoría de las funciones de una variable compleja. Posteriormente, el matemático irlan­dés William Rowan Hamilton desarrolló una interpretación algebraica de los números com­plejos que representaba a cada número complejo mediante un par de números ordina­rios. Esta idea ayudó a obtener las bases para el desarrollo de un enfoque axiomático del álgebra.

Mientras tanto los físicos encontraron que los números complejos eran útiles para descri­bir diversos fenómenos físicos. Tales números comenzaron a introducirse en las ecuaciones de la electrostática, la hidrodinámica, aerodi­námica, electricidad de corriente alternada, otras formas diversas de sistemas vibratorios y eventualmente en la mecánica cuántica. Hoy en día muchas de las producciones de la física teórica y la ingeniería están escritas en el lenguaje del sistema de números complejos.

En el siglo XIX los matemáticos inventaron nuevos sistemas numéricos. De estos sistemas modernos tres son particularmente notables: los cuaterniones, las matrices y los números trasfinitos.

Los cuaterniones fueron la gran creación de Hamilton. Durante muchos años caviló que la multiplicación de números complejos tiene una interpretación simple como rotación de un plano. ¿Podría generalizarse esta idea? ¿Sería posible inventar una nueva clase de número y definir una nueva clase de multipli­cación tal que una rotación de un espacio tridimensional tenga una interpretación simple en términos de la multiplicación? Hamilton llamó terna a un número tal; de la misma manera que Wessel representaba a los números complejos mediante un punto en un espacio bidimensional, las ternas estarían representadas por un punto en el espacio tridimensional.

El problema era una nuez dura de quebrar. Estaba continuamente en la mente de Hamil­ton y su familia se preocupaba junto con él. Como él mismo lo relató, al llegar a desayu­narse, uno de sus hijos le preguntó: Bien, papá ¿puedes multiplicar ternas? "Y papá pondería descorazonadoramente: "No, sólo puedo sumarlas y restarlas".

Cierto día de 1843 mientras caminaba con

su esposa a lo largo de un canal de Dublin, Hamilton concibió súbitamente la manera de multiplicar ternas. Estaba tan exaltado que sacó un cortaplumas y gravó la clave del pro­blema en el puente Brougham, la cual debe haber sorprendido a los desconcertados tran­seúntes que leían: /2 = y2 = k2 = ¡jk = — 1.

Los números /,j,k, representaban números hipercomplejos denominados cuaterniones por Hamilton (siendo a 4- bi + c¡ + dk la forma general de un cuaternión y a,b,c,d números reales). Así como V -1 es -1, también /2 = — 1, y2 = — 1, k2 = —1. La clave para la multiplicación de cuaterniones es que no se verifica la ley conmutativa. Mientras que en el caso de los números ordinarios ab = ba, cuan­do los cuaterniones se invierten, el producto puede cambiar, por ejemplo ij — k pero yV = -k.

El segundo concepto matemático arriba mencionado, el de matriz, fue desarrollado más o menos simultáneamente por Hamilton y los matemáticos británicos J.J. Sylvester y Arthur Cayley. Una matriz puede considerarse como una formación rectangular de números.

(1 6 71-2 0 4

: :

coma esde esta manera a los enteros positivos (por ejemplo, 17 = 17,0000.. .), los enteros negati­vos (-3= -3,000.. .) o los números raciona­les (17 1/5= 17,20000. . .). Algunos números racionales no se resuelven mediante una cade­na de ceros a la derecha; por ejemplo, la expre- sión decimal de un séptimo es 1/7 = 0,142857 142857 142857... Lo que determina que este número sea racional es el hecho de contener una estructura de dígitos a la derecha de la coma decimal que se repite una y otra vez. Los números denominados "irracionales" son aquellos que, como la raíz cuadrada de dos, contienen una sucesión infi­nitamente no repetida de dígitos decimales.

ILos ejemplos mejor conocidos de irracionales

sj~2 = 1,41 42 1 35623. .son:7r= 3,1415926535... Los números irraciona-

• Y

iles están, por supuesto, incluidos entre los números reales.

En el dominio de los "números complejos" llegamos a los números llamados "imagina­rios", término que hoy es una reliquia arcaica de una era más ingenua, más fanfarrona de la aritmética. Los números complejos dan impor­tancia a la "cantidad" y/ — 1 que, cuando se la multiplica por sí misma, produce —1. Puesto que esto desafía a la regla básica según la cual la multiplicación de dos números positivos o negativos es positiva, y/ —1 (o i como se la escribe usualmente) es ciertamente un ente singular; un número que no puede ser llamado ni positivo ni negativo. "Los números imagina­rios —escribió Gottfried Wilhelm von Leibniz en 1702— "son un maravilloso vuelo del espí­ritu de Dios; son casi como un anfibio entre el ser y el no ser".

Desde la época del Renacimiento, aun cuando los matemáticos no podían decir qué

estos fascinantes imaginarios, usaron los números complejos (los cuales tienen la forma general a +6 v—1) para resolver ecuaciones y descubrieron muchas bellas identidades. Abra- ham de Moivre descubrió la fórmula (eos 6 + v^i sen 0)n = eos n 0 + y/—\ sen nO). Leonhard Euler descubrió la fórmula

es una matriz. Toda la formación es pensada como un ente por derecho propio. En circuns­tancias adecuadas se pueden definir opera­ciones de adición, sustracción, multiplicación y división para tales entes. Eí resultado es un sistema de objetos cuyo comportamiento tiene ciertas reminiscencias con el de los números ordinarios y que es de mucha utilidad en mu­chas provincias de la matemática pura y apli­cada.

El tercer concepto moderno, el de los nú­meros trasfinitos, representa un tipo de idea enteramente nuevo. Está divertidamente ilus­trado por una fantasía atribuida al conocido matemático alemán David Hilbert y conocida como "el hotel de Hilbert". Un huésped llega a dicho hotel y pide una habitación. "Aunque está completo, le daré una a Ud.". Colocó al nuevo huésped en la habitación 1, movió al ocu­pante de la habitación 1 a la 2, al ocupante de la habitación 2 a la 3, y así sucesivamente. El ocupante de la habitación N fue a la habitación A/+ 1. Simplemente, el hotel tenía un número infinito de habitaciones.

Entonces ¿cómo puede decir el gerente que el hotel está "totalmente ocupado? Galileo observó una paradoja semejante. Cada entero puede ser cuadrado, y por ello podríamos con-

eran

res­una

(<?= 2,71828. . decimales").

. es la base de los "logaritmos

3534

1

iii

'l

mente, para todo elemento x (distinto de ce­ro), un cuerpo debe contener un elemento 1/x tal que x (1/x) = 1. Esta es la base para la división; sintéticamente, pues, un cuerpo es un sistema (ejemplificado por los números racio­nales), cuyos elementos pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos según las reglas familiares de la aritmética.

Consideremos ahora el segundo vocablo: cuerpo es "ordenado” si las tallas de sus ele­mentos se pueden comparar. El símbolo que se usa para denotar esta propiedad es el signo >, que significa "mayor que". Este símbolo debe obedecer a su propio conjunto de reglas, a saber(1), la ley de tricotomía; para dos ele­mentos x e y cualesquiera, se cumple exacta­mente una de estas tres relaciones: x>y, x = y o y>x;{2) la ley.transitiva: si x>y e y>z, entonces x> z; (3) la ley de adición: si x>y, entonces x + z> y + z; la ley de multiplicación: si x>y y z>0, entonces xz > yz.

Finalmente: ¿qué queremos decir mediante la palabra "completo" al describir al conjunto de los números reales como un "cuerpo orde­nado completo"? Esto se relaciona con el pro­blema provocado por un número tal como \[2. Hablando prácticamente, \J~2 está dado por una sucesión de números racionales tales como 1; 1,4; 1,41, 1,414,. .., que nos proveen de aproximaciones cada vez mejores de ese número. Esto significa decir que 12 = 1; (1 ,4 ) 2 = 1,96; ( 1 ,4 1 )2 = 1,998 1;(1,414)2 = 1,999396,.. . Cuadrando esos nú­meros se obtiene una sucesión de números que se aproximan cada vez más a 2. Obsérvese, sin embargo, que los números de la sucesión origi­nal (1; 1,4; 1,41;.. .) se están cada vez acer­cando más entre sí. Nos gustaría pensar a >/2 como el "valor límite" de una sucesión tal de aproximaciones. Para lograrlo necesitamos una noción precisa de qué se entiende al decir que los números de una sucesión se aproximan cada vez más a otro, y necesitamos una garan­tía de que nuestro sistema de números es suficientemente rico como para proveernos de un número limitante de una tal sucesión.

Siguiendo el camino seguido por Cantor, consideremos una sucesión de números en nuestro cuerpo ordenado. Diremos que los nú­meros de esta sucesión se van aproximando cada vez más a otro número si la diferencia entre dos números suficientemente alejados es tan pequeña como se quiera. Esto significa, por ejemplo, que todos los términos suficien­temente alejados difieren, entre sí,a lo máxi-

■

mo 1/10. Si uno quiere ir todavía más adelan­te, se puede lograr que los números difieran a lo sumo en 1/100 y así sucesivamente. Una sucesión tal de números se denomina "suce­sión regular". Un cuerpo ordenado se deno­mina cuerpo ordenado "completo" si, corres­pondiendo a cualquier sucesión regular de ele­mentos, existe un elemento del cuerpo tal que la sucesión se aproxima a su valor límite. Esta es la "ley de la completividad"; las "brechas" entre los números racionales han sido elimina­das o colmadas. Es el requerimiento final para el sistema numérico real.

Todas estas reglas pueden parecer muy ele- cnentales. El programa de sistematizarlas ha sido ampliamente remunerador. El pulimento de los axiomas durante años los ha reducido a una forma que es de la mayor simplicidad. Se ha encontrado que las reglas que he enume­rado son necesarias y suficientes para realizar la tarea de describir y operar con el sistema de los números reales; deséchese una cualquiera dé ellas y el sistema no funcionará. Como lo he dicho, el programa de investigación mate­mática ha dado respuesta a algunas cuestiones fundamentales sobre números y creó nuevos conceptos enormemente fructíferos.

El espíritu de la investigación axiomática invade a toda la matemática moderna; incluso se ha filtrado en la enseñanza de la matemá­tica escolar. Un profesor de escuela secundaria me dijo recientemente: "En los viejos tiempos, las reglas de trabajo fueron enterradas en le­tras de molde y se ignoraban ampliamente en el aula; hoy las letras de molde se discuten en el curso. El estudiante corre el peligro de saber que 2 + 3 = 3 + 2 por la ley conmuta­tiva, pero sin saber que la suma es 5". Por supuesto, todo se puede exagerar. Prestar ex­clusiva atención a la axiomática sería análogo a la preocupación de un grupo de bailarinas que se encuentran semanalmente para discutir la coreografía, pero que nunca danzan. Lo que se espera de la matemática es algo más: un profundo sentido de la proporción.

Hemos estado considerando cómo operar con los números; en último término debemos enfrentar la cuestión más elemental. ¿Qué son los números en última instancia? Hoy los ma­temáticos están inclinados a resolver esta cues­tión en términos de axiomática más bien que en términos de epistemología y filosofía

Para explicar, o mejor dicho para crear números, parece prudente ensayar el método sintético en lugar del analítico. Supongamos que comenzamos con elementos primitivos, y

XIX reveló grietas, inconsistencias, fragilidades que debieron ser reparadas para colocar la geometría sobre bases más firmes. Pero uno podría preguntarce: ¿qué hay en las simples reglas de la aritmética y del álgebra que nece­site ser examinado o probado? Excitados por los descubrimientos de los defectos de los axiomas de Euclides y acicateados por los sor­prendentes rasgos de los nuevos conceptos numéricos tales como los cuaterniones, mu­chos matemáticos del siglo XIX sometieron a los axiomas de la teoría de números a un estudio sistemático.

¿Son independientes las leyes de la aritmé­tica o pueden ser derivadas lógicamente unas de otras? ¿Son realmente fundamentales o pueden reducirse a un conjunto de leyes más primitivo, más simple y más elegante? Las respuestas o cuestiones como éstas deben ser buscadas en el programa de investigación axio­mática que ahora se está cumpliendo. Ella se ha cumplido rigurosa y estéticamente buscan­do respuestas para algunas de ellas y en el proceso produjo conceptos nuevos como los de "anillos", "cuerpos", "grupos", cada uno con su propio conjunto de reglas y su propia teoría característica.

Una de las mayores realizaciones, lograda en 1870, fue el establecimiento de un conjun­to de axiomas para los números reales. Se establece que el sistema de números reales es un "cuerpo completamente ordenado". Cada uno de estos términos representa un grupo de reglas que define el comportamiento de los números.

;icluir que hay tantos cuadrados como enteros. Pero ¿cómo puede ocurrir esto si sabemos que hay enteros que no son cuadrados, por ejem­plo, 2, 3, 5, 6?

Uno de los aspectos perpetuamente atracti­vos de la matemática es que sus paradojas más espinosas tienen una manera de florecer en bellas teorías. El matemático germano del siglo XIX Georg Cantor convirtió a esta paradoja en un nuevo sistema numérico y en la aritmética de los números infinitos.

Comenzó definiendo al conjunto infinito como aquél que puede ponerse en correspon­dencia biunívoca con una parte de sí mismo, tal como los enteros están en correspondencia biunívoca con sus cuadrados. Observó que to­do conjunto que puede ser colocado en una correspondencia tal con el conjunto de todos los números enteros debe contener un número infinito de elementos, y designó a este "núme­ro" con N (aleph, la primera letra del alfabeto hebreo). Cantor le asignó a este "primer cardi­nal trasfinito" el sufijo cero. Luego Cantor prosiguió mostrando que hay una infinidad de conjuntos (por ejemplo, el conjunto de los números reales) que no pueden ponerse en correspondencia biunívoca con los enteros po­sitivos porque son más grandes que ese con­junto. Se los representa con otros números cardinales trasfinitos (NlfN2 y así sucesiva­mente). Con tales materias primas, Cantor des­arrolló una aritmética que comprendía tanto a los números ordinarios como a los trasfinitos. En esta aritmética se descartan algunas de las reglas de la aritmética ordinaria y tenemos extrañas ecuaciones como N0 + 1 = . Estoexpresa simbólicamente la paradoja del hotel.

Los números trasfinitos no han encontrado todavía aplicación fuera de la misma matemá­tica. Pero dentro de ella han tenido considera­ble influencia y han provocado mucha especu­lación lógica y filosófica. La famosa "hipótesis del continuo" de Cantor produce un legado de problemas no resueltos que todavía ocupan a los matemáticos. En años recientes, las solu­ciones de algunos de estos problemas fue lo­grada por Alfred Tarski, de la Universidad de California en Berkeley, y Paul J. Cohén de la Universidad de Stanford.

un

En primer término, la palabra "cuerpo" sig­nifica un sistema matemático en el cual la adición y la multiplicación se pueden realizar de manera de satisfacer las reglas familiares, a saber: (1) la ley conmutativa de la adición: x + / = y + x; la ley asociativa de la adición x + (y + z) = (x + y) + z; (3) la ley conmuta­tiva de la multiplicación: asociativa de la multiplicación: x (yz) = (xy) z; (5) la ley distributiva: x (y + z) = xy + xz.

Además, un cuerpo debe contener un ele- ^4^0°- ^ caracterizado por la propiedad

también

xy = yx; (4) la ley

x para todo elemento x. Contiene un elemento unitario 1 que tiene la

propiedad 1 . x = x. para todo elemento x del cuerpo hay otro elemento -x + x = 0. Esta sustracción. Otra

Hemos pasado revista al tema del juego numérico; ahora corresponde examinar las re­glas del juego. Para los no matemáticos, esto puede parecer un trabajo obvio. La geometría de Euclides está construida sobre axiomas "evidentes por sí mismos", pero una revisión rigurosa de los axiomas cumplida en el siglo

-x tal que es la base para construir la Propiedad axiomática del

,.erP°. es *a re9*a de cancelación de la multi­plicación, esto es, si (siempre xy - xz, entonces y = z

Que x no sea igual a cero). Final- 3736

:Idiferentes; por ejemplo, el parchos pares

(6 2) es útil para el 4, pero también lo son (7 3), (8,4) y multitud de otras combinado-

posibles. Podemos reducir la ambigüedad algo sin importancia considerando simplemente a tales pares como idénticos.

Usando sólo enteros positivos, podemos es­cribir una regla que determinará cuando un par es igual a otro. La regla es que (a, b) = (c, d) si, y sólo si, a + d = b + c (Ño­

la última ecuación, es una reformula-

para estos números que se empleó mente el recurso de pares numéricos. Podemos imaginar a un número complejo, a + b^fZI^ esencialmente como un par de números reales (a,b), cuyo primer elemento representa el ele­mento real y cuyo segundo elemento es el elemento imaginario del número complejo. Ahora bien, los pares serán considerados igua­les sólo si contienen los mismos números en él mismo orden, esto es: (a,b) = (c,d) si a =c y b = d. La regla para la adición será la misma que en el caso de los números reales:

veamos si podemos construir paso a paso con estos elementos algo que corresponda al sis­tema de los números reales.

Como elementos primitivos podemos tomar a los enteros positivos. Ellos constituyen aspecto concreto del universo, sea el número de dedos de la mano humana o cualquier cosa que se elija para contar. Como lo expresó en el siglo XIX el matemático germano Leopold Kronecker, los enteros positivos son una crea­ción de Dios y todos los otros tipos de núme­ros son creaciones del hombre. A fines del Siglo XIX, el italiano Giuseppe Peano dio una descripción primitiva de los números enteros mediante cinco axiomas: (1)1 es un entero positivo; (2) cada entero positivo tiene un úni­co entero positivo como sucesor; (3) ningún entero positivo tiene a 1 como sucesor; (4) distintos enteros positivos tienen distintos sucesores; (5) si una proposición se cumple para el entero positivo 1 y si, cuando se cumple para un entero positivo, también se- cumple para el sucesor de ese entero, enton­ces, la proposición se cumple para todos los números enteros. (Este último axioma es el famoso "principio de inducción matemática".)

Ahora llega el fíat lux (Hágase la luz) de toda la cuestión. Axioma: Existe un sistema de Peano. Este golpe crea los enteros posi­tivos, porque el sistema de Peano, o sistema de objetos que cumple los cinco requerimien­tos, es esencialmente equivalente al conjunto de los enteros positivos. Mediante las cinco reglas de Peano se pueden deducir las propie­dades conocidas de los enteros positivos.

Una vez que tenemos a nuestra disposición los enteros positivos para operar con ellos y amasarlos, podemos andar alegremente por nuestro camino, tal como lo sugirió Kronec­ker, y construir extensiones de la ¡dea de número. Mediante operaciones con los enteros positivos, por ejemplo, podemos crear los en­teros, negativos y el cero. Una niente de hacerlo es operando con pares de enteros positivos. Pensemos en un par general, denotado con (ajá), a partir del cual mos un entero por la operación a-b. Cuando a es mayor que b, la sustracción a - ó produce un entero positivo; cuando a es igual a b entonces a-b produce el cero; cuando b es mayor que a, el entero resultante a—b es negativo. Por tanto: pares de enteros positivos pueden representar a todos los enteros tivos, negativos y cero. Es verdad . ambigüedad se deriva del hecho de ?ntero dado puede representarse mediante

piejos. Los pares de números positivos, combi­nados de cierta manera,' conducen ai conjunto de todos los enteros. Los pares de enteros (lo que ahora equivale a decir pares de pares de enteros positivos), combinados de manera dife­rente, conducen a los números racionales. Su­cesiones infinitas de números racionales con­ducen a los números reales. Finalmente, los pares de números reales conducen a los núme­ros complejos.

Mirando los 2500 años que nos separan de Pitágoras, podemos justificar dos corrientes de pensamiento sobre números. Existe la corrien­te sintética que comienza con los números enteros positivos y llega a construir conceptos numéricos de creciente complejidad de la mis­ma manera que se construye una molécula compleja a partir de los átomos. Por otra parte, existe una corriente analítica en donde /os matemáticos han profundizado para arribar a la esencia de los números abatiendo las com­plejidades hasta llegar a sus elementos más primitivos. Ambas corrientes son de enorme importancia. Los matemáticos profesionales tienden hoy a moverse en este sentido, favore­ciendo los conceptos cualitativos de su ciencia y subrayando la estructura lógica y las poten­cialidades simbólicas de la matemática. No obstante, nuevas ¡deas sobre los números están haciendo su camino en las revistas matemá­ticas y se están difundiendo rápidamente en nuestro sistema educativo, incluso en la escue­la elemental. Se llega desde la teoría de con­juntos a las matrices en la escuela media. Pare­ce prudente señalar que la próxima generación estará mejor preparada para comprender los fascinantes usos y misterios de los números.

primera-

!tanes

un

I

tese queción de a — b = c — d, pero no implica enteros negativos, mientras que la sustracción puede hacerlo). Se puede mostrar fácilmente que esta regla para decidir la igualdad de dos pares de enteros satisface las tres leyes aritméticas que gobiernan la igualdad, a saber: (1) la ley re­flexiva: (a, b) = (a, b); (2) la ley simétrica: Si (a,b)-(btc) entonces (b,c) = (a,b); (3) la ley transitiva: si (a,b) = (c,d) y (c,d) = (e, f) entonces (a, b) = (e, f).

Podemos ahora proceder a introducir las

(a, b) + (c, d) = (a + c, b 4- d).

Esto es paralelo al resultado "ordinario" de la adición de dos números complejos:

(a + b V*—1) + ic 4- d 1) == (a 4- c) 4- (b + d) >/ —1.

La fórmula de multiplicación de números complejos:

(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + be)

también corresponde a la multiplicación ordi­naria de tales números:

(a+bsf^\) (c + c/Vr^TT== (ac — bd) 4- (ad 4- be) V —1.

Los pares de números reales manipulados de acuerdo con estas reglas reproducen todo el comportamiento familiar de los números com­plejos. Y el misterioso >/^í, ese "anfibio en­tre el ser y el no ser", emerge del mar de la matemática como el par numérico (0,1).

Así, mediante cuatro pasos de construcción y abstracción, hemos avanzado desde los pri­mitivos enteros positivos a los números com-

(Viene de pág. 31)de rotación del electrón sobre sí mismo, movi­miento cuya intensidad no podía modificar nin­guna acción exterior; vemos ahora que esta pro­piedad era previsible mediante un análisis correc­to de los principios de la mecánica clásica.

Observemos de paso que la situación casi no se modifica si se pasa de la mecánica clásica a la relativística (basta cambiar de grupo), pero aparecen nuevos tipos de partículas, en par­ticular partículas de masa nula que se mueven con la velocidad de la luz, provistas de spin así como de una propiedad nueva, la helici- dad, que les confieren una orientación espa­cial; se comprueba que esta descripción con­viene perfectamente a los fotones, los átomos de luz descubiertos por Einstein (están polari­zados a derecha o izquierda, según su helicidad)

convenciones que definen la adición y la mul­tiplicación de pares de términos positivos, usando de nuevo sólo términos positivos. Para la adición tenemos: (a, b) 4- (c, d) = = (a + c, b 4- d). Puesto que (a, b) representa a-b y (c,d) representa c — d, la adición es aquí (a - b) 4- (c — d). Algebraicamente, esto es lo mismo que (a 4- c) — (b 4- d) y que está representado por el par fa + c, b 4- d) en el segundo miembro de la ecuación. Semejante­mente, la multiplicación de pares de enteros positivos está definida por la fórmula (a, b) . (c, d) - (ac + bd, ad 4- be). Aquí (3, b) . (c, d), o bien (a—b) . (c — d) puede expresarse algebraicamente como (ac 4- bd) — (ad 4- be) y esto está representado en el segundo miembro de la ecuación por el par (ac 4- bd, ad 4- be).

Puede mostrarse detalladamente «as operaciones familiares vos, negativos y cero) cuando son ejecutadas con tales pares de enteros positivos, producirá los mismos resultados.

Habiendo construido todos los enteros (co­rno pares de

de ese modo, la óptica puede entrar en el marco de la mecánica, según el deseo de Newton.

Finalmente, y especialmente, la geometría galileana, si hubiera sido rápidamente compren­dida, hubiera permitido apartar muchas ¡deas falsas que todavía estorban al lenguaje y el pensamiento del gran público e incluso de los científicos; cuántos sospechan hoy que las no­ciones de trayectoria de un móvil, de veloci­dad de un cuerpo en el espacio, de distancia reco­rrida por un cohete, son nociones pregalileanasa las cuales es rigurosamente imposible asignar una significación precisa a menos de considerar como dogma la referencia a la Tierra inmóvil?

Acaso fuera tiempo, al cabo de 400 años, que los conceptos surgidos del pensamiento de

(Sigue en pág. 47)

que todas con enteros (positi-manera conve-

creare-

enteros positivos), podemos ahora crear todos los otros números reales e incluso «os números iles, o fracciones, que son pares de enteros en

sistema ordinario, pueden ser representados orno pares de pares de enteros positivos. Para s números reales construidos mediante suce­

siones infinitas d

complejos. Los números raciona-

-posi- que cierta

e enteros deberán establecerse cebones infinitas de números complejos po-

P os, de nuevo, usar pares, en verdad, fue

que unmu-

38 39

•t.!

¡: Número 8Autobiografía. (Ftussell B.)

. Consideraciones finales. (Gonseth F.)El Simposio Nacionaí de Enseñanza de las Ciencias. Modelo de una teoría de conjuntos. (Schwartz L.) Axiomatización y geometría euclidiana. (Serváis W.) Democracia y estadística. (Pascual Ibarra J.R.)La lógica en términos de conjuntos. (Sebastiao Silva J.)Problemas.

Número 13

Entrevista a Reinaldo C. Ocerin.Carta a un colega. (Colot L.)Tendencias actuales del aprendizaje científico-mate­mático. (West R.H.)Experiencia en Sherbrooke. (Pons, R.)Actualización docente o "recyclage" (en Francia). (Sabbatiello E.E.)Temas y problemas.Pensamientos de una pedagoga. (C. Golovttch) Estructuras algebraicas. (Chiappa R.)¿Para qué sirve la matemática? (Fietcher T.J.) Números enteros y cálculo combinatorio. (Sebastiao e Silva J.)

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Lista de artícuos puDicaaos I

e

Número 9

¿Cómo establecer programas de matemática? (KreeP.)Preparación del docente. (Stone, Mar sha II H.) Dificultades de la geometría. (Chantiers Mathémati- ques)La teoría de conjuntos. (Borgers A.)Temas de trigonometría. (Miller J.A.)La noción de ángulo y el sentido en el plano. (Po/ci- no Mili es C.)La lógica en términos de conjuntos. (Sebastiao e Silva J.)Movimientos de las estrellas. (Feinstein A.) Problemas.

Lobatschevsky, matemático y filósofo. (Lombardo Radice L.)La reforma belga. (Papy G.)Investigaciones psicológicas sobre la enseñanza de la matemática. (Gattegno C.)Introducción a la lógica matemática. (Sebastiao Silva J.)Nociones sobre cálculo de probabilidades. (Trejo C.A.)Operaciones binarias. (Chiappa R.)Funciones elementales. (López A.R.)

Número 14

Willy Serváis. (Sabbatiello E.E.)Balance y futuro de las experiencias. (Revuz A.)¿Es inútil la matemática moderna? (De Ríes J.)El elemento humano en la matemática. (Gattegno C.) Introducción a los conjuntos. (Heddens J.W.)Banda de plano. (De Ceceo E.)Los "lugares geométricos" esclarecidos por la teoría de conjuntos. (Noel-Roch Y.)Medida y geometría. (Buisson P.)Un curioso ejemplar de octopus. (Chevallier J.M.)Los libros matemáticos. (Banfi C. V. de)

Número 1

Preparación de los docentes. (Piene K.)¿Qué es la matemática moderna? (Evenson A.B.) Esta loca, loca, matemática moderna. (Harvey M.E.) La Conferencia de Lima. (Santa/ó Luis A.) Introducción a la lógica matemática. (Sebastiao e Silva J.)Sobre la enseñanza de la matemática. (Félix L.)Notas sobre la intuición en matemática. (Gattegno

e

C.)Una visión de la nueva matemática. (Bacon H.M.) Los números en colores. (Serváis W.) Número 10

Conclusiones del Simposio Nacional.La enseñanza de la matemática. (Emery E.)Sucinta historia del álgebra.La noción de ángulo y el sentido en el plano. (Polci- no Milles C.)Sobre matrices ortogonales. (La Menza F.)Temas de trigonometría. (Miller J.A.)Problemas pedagógicos.(Gattegno C.)Presentación moderna de la teoría de los errores. (Kuntzmann J.)Los deberes de matemática. (Kree P.)La lógica en términos de conjuntos. (Sebastiao e Silva J.)La asociatividad o la importancia de los paréntesis. (Jacquemier P.)

Número 5Jean Louis Nicolet. (Walusinsky G.)Lobatschevsky, matemático y filósofo. (Lombardo Radice L.)Fundamentos y proyecciones de la teoría de conjun­tos. (Bosch J.)La reforma francesa. (Banfi C. V. de)Coloquio en Frascati. (De Finetti B.)El trabajo matemático de los niños. (Underwood V.) Relaciones y regletas Cuisenaire. (Delgado M.) Nociones sobre cálculo de probabilidades. (Trejo C.A.)Operaciones binarias. (Chiappa R.)

Número 15

El proyecto matemático de Sherbrooke. (Caparros Morata J.B.)Entrevista a Madeleine Goutard.La probabilidad y su medida. (Buxton R.)Lenguaje y conjuntos. (Goutard M. y Lemay F.) Significados del término relación. (Touyarot M.A) Banda de plano. Paralelogramos. (De Ceceo E.) Olimpíada matemática. Problemas.

Número 2

Ideas sobre la enseñanza de la matemática moderna. (Marzik L.S.)El método axiomático. (Choquet G.)Preparación de profesores de matemática. (Santaló L.A.)La geometría en la enseñanza moderna de la mate­mática. (Papy G.)Introducción a la lógica matemática. (Sebastiao e Silva J.)Relaciones y funciones. (Santaló L.A.)Nociones sobre cálculo de probabilidades. (Trejo C.A.)Los números en colores. (Serváis W.)Incomprensión de la matemática. (Helsdon R.M.)

'

Número 16

Entrevista a Marshall H. Stone.Métodos deductivos en matemática. (Allendoerfer C.B.)El proyecto de Southampton. (Banfi C V. de)¿Qué, si no. . .? (Brown S.l. y Walter M.l.) Introducción a los conjuntos. (Heddens J.W.)Aspectos psicológicos en la enseñanza de la matemá­tica. (Pescarini A.)Olimpíada matemática. Problemas.

Número 17La matemática y su enseñanza. (Lichnerowicz A.) Historia de la reforma. (Stone M.E.)La experiencia: Cursos experimentales en tercer año. A.P.M.E.P.: Cuerpo.¿Qué es la topología? (Barr S.)Lenguaje y notación conjuntista. (Heddens J.W.) Lógica. (Allendoerfer C.B.)Olimpíada matemática. Problemas.

Número 6Lobatschevsky, matemático y filósofo. (Lombardo Radice L.)La labor de la C.I.E.A.E.M. (Servransky R. y M.) Fundamentación y proyección de la teoría de con­juntos. (Bosch J.)El filme matemático. (Papy G.)El impacto sobre la educación moderna. (Choquet G.)

Introducción a la lógica matemática. (Sebastiao e Silva J.)Sucesiones y .series. (López A.R.)Un libro singular. (Delgado M.)Experiencias de alumnos.

Número 7

La enseñanza de la matemática. (Whee/er D.)

7 'omat!2ac¡on V geometría euclidiana. (Serváis W.) ^apatos izquierdos y derechos. (Papy G.)Olimpíadas matemáticas. (Adler A.)Los teoremas. (Madsen Barbosa R.)Estructuras algebraicas. (Etayo J.J.)

Número 11

La matemática contemporánea y su incidencia en las ciencias. (Fehr H.)El sentido de los números. (Spengler O.)Nuevos métodos para la enseñanza de la matemática. (Serváis W.)Lenguaje y enseñanza de la matemática. (Siros J.)La noción de función en la enseñanza elemental. (Félix L.)El tiempo. (Casal E.)Estadística. (School Mathematics Project)

Número 3Preparación de profesores de matemática. (Santaló L.A. y Vólker H.R.)Matemática moderna en la escuela primaria. (Dienes Z.P.)La reforma belga. (Papy G.)La axiomática en acción. (Krygowska A.S.) Introducción a la lógica matemática. (Sebastiao Silva J.)Relaciones y funciones. (Santaló L.A.)Nociones sobre cálculo de probabilidades. (Trejo C.A.)Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. (Sangiorgi O.)Suma y resta de segmentos. (De Ceceo E.) Numeración binaria. (García Y.M. de)¿Qué es un cuadrilátero? (Crawforth D.)Reflexiones. (Wittgenstein L.)

Número 4Los cursos de capacitación. (Acevedo R.G.)

e

Número 12

El Congreso de Lyon. (Sabbatiello E.E.)La noción de función en la escuela elemental. (Félix LJEstructuras algebraicas. (Chiappa R.)Formación permanente del profesorado. (Revuz A.) Cooperación de psicólogos y docentes. (Grecco P.) Números enteros y cálculo combinatorio. (Sebastiao e Silva J.)El tiempo. (Casal EJEstadística. (School Mathematics Project)Una interesante identidad algebraica. (La Menza .)

Número 18Introducción a la filosofía matemática. (Russell B.) ¿Qué pasa con la reforma de la enseñanza de la matemática? (Bosch 'J.)Olimpíada matemática. Problemas.Geometría del portasegmentos. (De Ceceo E.) Lenguaje y notación conjuntista. (Heddens J.W.)Arte y ciencia matemática. (Isnardi O.L.)

un mosaico.

40 41

A.P.M.E.P. Conectivo. ;Polinomios: problemas didácticos. (Lescano O.) Topología. (Sima)

.Experiencia en el Chaco. (Acevedo H.)Formación inicial de los maestros. (Comisión Ministe­rial Francesa)Problemas sobre conjuntos y relaciones. (Trejo C.AJ

Número 24Tercera Conferencia Interamericana.Los informes.Las recomendaciones.Computación. íMichelow J )Cartas y respuestas.Acerca de la elaboración del currículum de matemá­tica. (Dienes Z.P.)Perspectivas: la lógica en la escuela primaria. (fíoetti J.A.)Problemas sobre conjuntos y relaciones. (Trejo C.AJ

'Preguntas a la Comisión Nacional. (Trejo C.AJ Conclusiones del Simposio.

Número 19

Las aptitudes. (Mialarct GJHasta los instrumentos geométricos. (Trejo C.AJLos cuadrados mágicos. (Vale Hcath fí.)Extensión de nuestro vocabulario conjuntista. (Hcc/dens J.W.)Geometría del portasegmentos. (De Ceceo EJ Feria de Ciencias.

El documento de Chambery.Pautas para la matemática escolar. (Universidad de Manchester)Conceptos numéricos. (Dienes Z.P.)Apertura hacia la informática en la enseñanza de la matemática. (Kuntzmann JJ Visita de Gastón Mialaret.Cálculo de probabilidades. (Serváis WJ

Notas para la actividad matemática preescofar. (Pala­cios A. fí., Ay erra M.C.C. de, y Giordano E.HJ La matemática aplicada. (Seminario de Lyon) Presencia de la matemática en otras disciplinas. (Ló­pez Henriquez AJ¿Qué es la psicomatemática? (Cerdeyra LE.)¿Qué es un docente? (Conferencia de Cambridge, EE.UUJA modo de historia. (Banfi JJEl fenómeno de la invención matemática. (Parr P.GJ

1

Número 29

La matemática en la escuela de enseñanza secundaria. (Sociedad Belga de Profesores de Matemática)El programa de Duvronnik.Encuesta sobre la enseñanza de la matemática.La enseñanza elemental en Francia.Opiniones de docentes.Metodología de la matemática. (Grossi E.)Problemas sobre conjuntos y relaciones. (Trejo C.AJ Nociones conjuntistas. (Dumont M.)Métodos intuitivos activos. (Serváis VI.)

Número 34La teoría de los conjuntos y la enseñanza de la matemática. (Santa/ó L.A.)Observaciones sobre la enseñanza de la matemática. (Sawyer W.WJ Sofismas matemáticos.El método. (Scopes P.C.)Propiedades matemáticas de las magnitudes físicas. (Garikian G.)Naturaleza y finalidad de la investigación matemáti­ca. (Duse V.)

Número 35 Problemas. (Polya G.)Más allá de la matemática moderna. (Kuntzmann JJ Iniciación en el campo numérico y en las máquinas de calcular en el primer año secundario. (Glaymann

' i

Los caminos del paraíso. (Chevrier J).Enseñanza de la matemática en España. (Centro de Documentación y Orientación Didáctica)Leibniz y el sentido de una reforma matemática. (Costabel P.)Enseñar matemática hoy. (Crozes I.)Pitágoras. (Holt M.)El sentido de la invención matemática. (Parr P.GJ

Número 20

Juegos matemáticos. (Fielker D.S.j Una humorada del siglo XX. (Del Busto E.HJ Lenguaje y símbolo. (Nachtergaele J.MJ Introducción de las medias. (Madsen Barbosa fí.) Experimentación en matemática. (Gauthier fí.)La función como sistema. Existencia y unidad. (Kerz S.P.)Geometría del portasegmentos. (De Ceceo EJ Entrevista con el campeón olímpico.Olimpíada matemática.Lógica. (Allendoerfer C.B.)Las fichas como medio de enseñanza. (Dumont M.)

Número 25

Semblanza postuma de Juan Blaquier.Fundamentos científicos de la educación de mañana. (Piaget JJImportancia y significado de las conferencias interna­cionales sobre educación matemática. (Vólker H.fíJ La noción de aproximación en la enseñanza secunda­ria. (fíevuz A.)Formación matemáticopedagógica de los maestros. (Dienes Z.P.)Métodos de enseñanza de la matemática en las escue­las primarias inglesas. (Williams EJ Los problemas en la escuela primaria. (De Ceceo EJ Problema. (Passerini E.B.)Problemas sobre conjuntos y relaciones. (Trejo C.AJ

Número 26

Formación de investigadores en matemática. (Cho- quet G.)Matemática pura y matemática aplicada. (Del Busto E.HJConceptos numéricos. (Dienes Z.P.)Articulación de las enseñanzas elemental y superior. (Delessert A.)Hacia la capacidad para la matemática. (Fehr H.HJ Diagramas en la actividad matemática primaria. (Pala­cios A. fí.)Polinomios: problemas didácticos. (Lescano O.L.)

Número 30

Presente y futuro de la educación matemática en Gran Bretaña. (Wilson B.JJ El Congreso.Comentarios sobre la educación matemática. (PiagetNúmero 21

Ideas y objetivos fundamentales de la educación ma­temática. (Polya G.)El espíritu de investigación y la enseñanza de la matemática, (fíevuz A.)El cuadrado grecolatino de orden diez. (Gardner MJ Sinfonías numéricas. (Vale Heath fí.)Un nuevo enfoque de viejos problemas. (Etchandi J.JJLa enseñanza de la matemática en Inglaterra. (Bell A., Crawforth D. y Wheeler D.)Axiomatización de la teoría de conjuntos. (Segers J.BJLas probabilidades en la escuela secundaria. (Serváis

JJM.)El proyecto Nuffield.

La matemática actual. (Biggs EJ El concepto de grupo. (Lederman WJ

Número 31 Visita a Edith Biggs.¿Existe la matemática moderna? (Thom fí.) ¿Debemos enseñar matemática moderna? (Dieudon- ne J.A.)Misión de la enseñanza primaria y elemental. (Serváis WJLa matemática moderna en la enseñanza. (AbellanasPJProblemas didácticos del lenguaje matemático. (Freu- denthal H.)Conjuntos, relaciones y formas geométricas. (Habram

Número 36Fundamentos de la aritmética, (fíey Pastor JJ La reforma de los estudios de matemática. (Stone M.HJAlgebra. (Mac Lañe)Balance de quince años de reforma. (Nachtergaele J.MJLa matemática y su relación con otros estudios esco­lares. (Departamento de Educación y Ciencia, Ingla­terra).La enseñanza de la matemática. (Banfi JJ El Tercer Congreso Internacional de Educación Mate­mática.

WJLa Conferencia de Bahía Blanca.Los grandes matemáticos: Apolonio.

Número 22

1872 — Bertrand Russell — 1972. (Blaquier JJ Finalidades posibles de una enseñanza de la matemá­tica. (Dumont M.)Estudio del mejoramiento del curriculum de la la secundaria. S.S.MC.r.S. Esquema y evaluación. (Fehr, H.FJParadojas sobre series infinitas. (Gardner M.)El punto de vista categorial en la enseñanza de lamatemática. (Bosch JJCálculo aproximado. (Peltier M.)La tercera conferencia interamericana. (Santaló L.A.) Nuestros establecimientos educativos: el C.A.E.C.E.

Número 23

Métodos del conformismo en la enseñanza de la matemática. (Trejo C.AJ Entrevista a Zoltan P. Dienes.Reflexiones sobre la enseñanza de la matemática. (Banfi JJEnseñanza de la matemática. Decreto o ciencia. (Pa­lacios A.fí.)

L.)

Número 32Los conjuntos y las operaciones con conjuntos. (Die­nes Z.P.)La matemática en la escuela media. (Marjoram D.T.EJLa matemática en el primer ciclo. (Barnier D.) Estructuras. (Mathematical Association)Problemas de ingenio.

Número 33¿Hay una matemática para los niños? (fíobert M.) Evaluar, concretizar e integrar. (Grossi E.P.)¿Qué es la matemática aplicada? (Steiner H.GJ

escue-Número 27

Héctor J. Médicis. (Valeiras A.)El IV Congreso Bolivariano de Panamá.La matemática y su enseñanza en los niveles elemen­tal, medio y superior. (Santaló L.A.)A la búsqueda de un programa. *Guías de investigación semiprogramadas. (Chammas E.EJ

Nueva matemática moderna en los Estados Unidos. (Hlavaty J.HJEl futuro de la geometría. (Williams E.MJ Problemas sobre conjuntos y relaciones. (Trejo C.AJ

Número 28

Instituto para el desarrollo de la educación matemáti­ca. (Freudenthal HJ Llamado a los docentes de matemática.

Número 37Para una nueva concepción de la enseñanza de la matemática. (Dieudonne JJEnseñanza comprensiva y moderna de la geometría. (Serváis W.)Matemátic? visual. (Bishop A JJLas funciones en la escuela secundaria. (Orton A.)Institución meritoria.

42 43

'

I Ja); Hernando Mateus (Colombia), Carlos Imaz (México) y Jesús Andonegui (Venezuela), éste último como moderador. La otra mesa redon­da trató sobre la "Problemática de la Reforma de la Enseñanza de la Matemática" y contó con la participación de Howard F. Fehr (Esta­dos Unidos) Willy Serváis (Bélgica), Jean Dieu- donné (Francia); Artibano Micali (Francia), Emma Castelnuovo (Italia), Luis Roberto Dan­te (Brasil), Saulo Rada Aranda (Venezuela), Ricardo Losada (Colombia) y como modera­dora Tania Calderin de Guédez.

Las actividades de la conferencia se llevaron a cabo en español, inglés, francés y portugués, idiomas oficiales de los países americanos.

La mayor parte de los países americanos asistentes al evento presentaron informes sobre la situación actual de la matemática y su ense­ñanza en dichos países así como sobre los

realizados desde la III Conferencia

sifícado venezolano (Ennodio Torres, Héctor Pantoja y José Sarabia (Venezuela);

La enseñanza en las clases secundarias y sus relaciones con la enseñanza superior Jean Dieudonné (Francia);La Conferencid de Caracas El papel de las organizaciones de profesores en el mejoramiento de la educación matemá­tica, E. Glenadine Gibb (Estados Unidos);

SAULO RADA ARANDA (Venezuela) La enseñanza de las matemáticas y de la

estadística en las ciencias sociales y económi- Colette Andrieu-Bui y Bui-Trong-Luiscas,

(Francia);sejo Nacional de Investigaciones Científicas y Tecnológicas, el Centro Nacional para el Mejo­ramiento de la Enseñanza de las Ciencias, la Universidad Central de Venezuela, el Instituto Pedagógico de Caracas, la Universidad Simón ^olivar, la Universidad de Oriente, el Colegio de Profesores de Venezuela y la Electricidad de Caracas, y, a nivel internacional, por la Organización de Estados Americanos (OEA) y la UNESCO.

A niyel internacional, el evento, fue organi­zado por el Comité Interamericano de Educa­ción Matemática, afiliado al Comité Interna­cional. El Comité Organizador Local estuvo constituido por los miembros del Comité Ve­nezolano de Educación Matemática y delega­dos de todas las instituciones oficiales partici­pantes de la Conferencia.

Programa de formación docente en mate­mática para países en vías de desarrollo, Mau­ricio Orellana Chocín y Saulo Rada Aranda (Venezuela);

Equipando al maestro para desempeñar un papel dominante en el mejoramiento de la educación matemática, Howard F. Fehr (Es­tados Unidos);

Un experimento de la Universidad Simón Bolívar sobre educación a distancia, J. Gimé-

Romero y E. Lima de Sá (Venezuela);La matemática en el ciclo diversificado, Wi­

lly Serváis (Bélgica);Matemática en el ciclo diversificado co­

lombiano, Carlos E. Vasco Uribe (Colombia);Construcción de computadoras en la escue­

la secundaria, Jaime Michelow (Chile).Hubo además dos mesas redondas. Una de

ellas versó sobre el problema de "Matemática y desarrollo" y de la misma participaron los profesores Ubiratain D'Ambrosio (Brasil); Paul Dedecker (Bélgica); Daniel Crespín (Venezue-

Desde el 1 al 6 de diciembre de 1975 se llevó a cabo en la Casa Andrés Bello de Cara­cas, Venezuela, la IV Conferencia Interameri- cana sobre Educación Matemática, la cual con­tó con la presencia de 282 participantes que incluían a 104 extranjeros representantes de 22 países. progresos

Interamericana que se llevó a cabo en Bahía Blanca, Argentina/1972.

Durante la Conferencia se realizó una expo­sición de recursos para el desarrollo de la matemática, la cual fue organizada por el Cen­tro Nacional para el Mejoramiento de la Ense­ñanza de la Ciencia.

La Conferencia fue clausurada por el Dr. Ubiratán. D'Ambrosio, quien fue electo Primer Vicepresidente del Comité Interamericano de Educación Matemática.

Próximamente, las ponencias y las recomen­daciones que resultaron de la Conferencia se publicarán en las Actas de la misma, impresión que estará a cargo de UNESCO.

OBJETIVOS Y TEMARIOSLa Conferencia tuvo los siguientes objetivos

generales.1 Considerar temas referentes a la enseñan­

za de la matemática en todos los niveles, aná- lizar métodos para obtener la máxima eficien­cia, discutir los problemas que se presentan y proponer normas para una posible solución de los mismos.

2 Incrementar las relaciones entre las enti­dades de los distintos países relacionados la enseñanza de la matemática y, dentro de cada país, entre las instituciones y personas vinculadas con problemas educacionales en los distintos niveles, para lograr un mayor conoci­miento mutuo y una mejor coordinación de esfuerzos y tareas.

3 Informar sobre los progresos realizados y dificultades encontradas en la enseñanza de la matemática en los distintos países de América a partir de la última Conferencia realizada, en este caso la III Conferencia en Bahía Blanca en 1972.

nez!

con

Actividades cumplidasEn la sesión inaugural hubo discursos gene­

rales del Dr. Luis Manuel Peñahlver, ministro de Educación de la República de Venezuela, del Dr. Houvard F. Fehr, quién se desempeñó como Presidente de la Conferencia en sustitu­ción del Dr. Luis A. Santaló que no pudo asistir al

Como se ha mencionado, el lazo que existe la teoría de la probabilidad (y los reque-(Viene de pág. 19) entre

rimientos prácticos fue la causa básica de su vigoroso desarrollo en los últimos años. Mu­chas de sus subdivisiones se han desarrollado al responder a cuestiones prácticas. Es oportu­no recordar las llamativas palabras de Tchevy- chev: "La armonía de la teoría con la práctica produce resultados muy beneficiosos y no es sólo la práctica quien gana aquí; las mismas ciencias se desarrollan bajo su influencia; nue-

han abierto a la investigación y se han descubierto nuevos aspectos de los te­mas ya conocidos. .. Mientras la teoría se be­neficia mucho por las nuevas aplicaciones o las extensiones de un método viejo, la teoría se beneficia aun más por el descubrimiento de nuevos métodos y, en este caso, la Ciencia encuentra un guía seguro en la Practica"

ramas de la matemática, ha evolucionado más allá de las necesidades prácticas; en su forma abstracta refleja las leyes inherentes a los suce-

fortuitos de naturaleza masiva. Estas leyes desempeñan un papel excepcionalmente im­portante en la física y en otras ciencias natu­rales, en cuestiones militares, y en los asuntos más diversificados de disciplinas de ingeniería,

conexión con

evento, y del Dr. Mauricio Orellana Chocín, Presidente del Comité Local.

Organizadorsos

Se presentaron las siguientes charlas de hora de duración cadaLos temas tratados en la Conferencia co­

rrespondiente a cuatro áreas principales:a) Aplicaciones de la matemática

señanza y el aprendizaje.b) La matemática en el ciclo diversificado.c) Enseñanza extracurricu lar de la matemá­

tica (olimpíadas, museos de ciencias, ferias de ciencias, centros de matemática, etc.).

d) Matemática y desarrollo. El problema de la formación de profesores.

Auspiciaron a la IV Conferencia, a nivel ve­nezolano, el Ministerio de Educación, el Con-

unauna:

Matemática e ideología, Daniel Crespín, Ve­nezuela.

.en la en­

economía, etc. Ultimamente, en el amplio desarrollo de empresas que se ocu­pan de la producción masiva, los resultados de la teoría de la probabilidad no sólo se han

clasificación de artículos dañados mucho más

MatemáticaBélgica; . .

Las aplicaciones de la matemática a ni del primer ciclo nuovo (Italia);

Objetivos temática

y desarrollo, Paul Dedecker, vos temas se

secundario, Emma Castel-

y tendencias de la educación me­an países en vi a de desarrollos, Ubira-

tan D'Ambrosio (Brasil);La educación matemática

usado en laen la manufactura sino —lo que es

en la organización del proceso producción (control de calidad

importante— verdadero de industrial).

en el ciclo diver- 4544

excelente corresponde al señor (Viene de pág. 28)BIBLIOGRAFIA nos pareceHéctor Strada, que muchas veces hace uso de su buen'humor, y al señor Antonio Reizach.

Entendemos que la obra será de mucho beneficio para profesores y alumnos.

para trazar la nueva red es inferior al de la red inicial".

Modificad si fuera necesario y demostrad. 3. Se pide a los alumnos trazar redes con

un número finito de vértices de grado dado. Por ejemplo, "uno de grado 1, dos de grado 3". ¿En qué caso se puede construir una red y por qué, en ciertos casos, ello es imposible?

c) Problema no clasificado

¿Son suficientes tres colores para colorear cualquier mosaico plano?

que tienen doce caras por lo menos, cuatro colores bastan.

2. Aplicar el método de demostración del teorema de los cinco colores a:(a) un toro.(b) una cinta de Móbius fijada a una esfera.

J. B. F.

HEAFFORD, P. y BABB, H. A new mathe- matics for fun, Hutchinson Educational Ltd, Londres.

Los libros de matemática recreativa siempre gozan del favor de un público que siempre se interesa por las cuestiones curiosas y amenas de la cual muchas veces se encuentran pocos vestigios en los libros comunes; especialmente muchas generaciones de estudiantes del profeso­rado que encuentran en este tipo de libros notas de mucho valor profesional para su acti­vidad.

DESAFIOS MATEMATICOS, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Publicación por fascículos, Buenos Aires.

Se trata de una serie de fascículos desti­nados a la presentación y resolución de proble­mas matemáticos elemental-es, que se encabeza con la siguiente aseveración: "La matemática consiste esencialmente en resolver problemas y no es matemático quien sabe mucho de matemá­tica sino aquél que, frente a la dificultad, sabe usarla".

La colección es dirigida por el profesor J. C. Dalmasso, promotor de la realización en nuestro paía se olumpíadas matemáticas y or­ganizador de las dos dos primeras en 1971 y 1973. Se han compilado problemas propuestos en tales eventos y según el prologuista, el malogrado matemático argentino Antonio Die­go, se ha querido salvar del olvido todo ese caudal de problemas "prestando objetivamente un estimable servicio a profesores y estudian­tes de escuelas medias y cursos iniciales de la universidad al poner a su alcance este libro de problemas, presentado en forma amena, atrac­tiva y ordenada".

Recuerda también que los problemas pre­sentados en las olimpíadas matemáticas argen­tinas se orientaron deliberadamente "en direc­ción .contraria a esa corriente de la enseñanza que pone excesivo énfasis en los aspectos for­males de la matemática" pretendiendo revalo­rar la ¡dea de que "si algo concreto, útil puede hacerse con el conocimiento matemático, la organización formal no basta, y su exageración eñ la enseñanza conducen pronto al hastío y la adversión".

Se entiende que muchos de los problemas presentados simulan situaciones de la vida dia­ria. Los problemas han sido ordenados por niveles y clasificados según requieran más inge­nio que técnica, ajustándose las soluciones a las indicadas por quienes propusieron los enunciados y evitándose el uso de la trigono­metría y el cálculo infinitesimal; lo cual, si bien a veces evitó soluciones más elegantes, alentó al talento de alumnos fesores para defenderse con instrumentales.

La diagramadón de estos fascículos

b) Ejercicios elementales

1) Dibujar mapas a dos colores y enunciar algunos teoremas.

2) Posibilidad de recorridos de una red. Hipótesis: "Si se agrega una línea a una red

para reunir los puntos de partida o de llegada de los caminos, el número de trazos necesarios

Referencias1. LAKATOS, I., Proofs and Hefutations, l-IV;

British Journal of the Phüosophy of Sdence.2. ZEEMAN, E.C.: An Introduction to Topology;

The Classif¡catión Theorem for Surfaces, Mathemati- cal Institute, University of Warnick, England.

No hay ninguna duda que muchos jóvenes tienen mucho vacíos en sus conocimientos ma­temáticos provocados acaso por la deficiente planificación de los estudios, y que de allí proviene su disgusto e incluso su hostilidad hacia la matemática, disciplina en la cual el docente debe proceder metódicamente, paso a paso.

físicos un acceso más cómodo a las teorías actuales, capacitarlos para comprendedla me­cánica espacial, que hoy es un dato inmediato de la cultura; permitir que el público comprenda, so­bre un ejemplo esencial, uno de lo rasgos caracte­rísticos del pensamiento científico actual.

(Viene de pág. 39)

Galileo fuesen efectivamente enseñados en los liceos y las universidades. Este esfuerzo ten­dría ciertas ventajas: permitir a los futuros

En verdad, la matemática puede ser diver­tida y provocar alegría y satisfacción y, no obstante, ajustarse a la habilidad del individuo que realice algún esfuerzo.

El libro intenta demostrar que uno de los: secretos del éxito en la enseñanza de la mate­mática es la introducción de aspectos históri-

y de problemas poco usuales en forma atractiva y e interesante, no olvidando que se está dando mucho énfasis a la enseñanza de la matemática moderna en muchas escuelas y tra­tando de lograr que los alumnos hagan desa­brimientos por sí mismos. Lo hacen a través de una temática original que, por razones de es­pacio, no podemos enunciar en forma comple­ta, pero de la cual daremos algunos ejemplos: "¿Está Ud. en su casa en Roma? ", "El test de Humpty Dumpty", "¿Simple? ¡Quizás! ", "El test del triángulo", "Algo viejo y algo nuevo", "Vea y perciba", "Una mezcla mate­mática", "Encuentre al caballero", "Matemá­tica de otros planetas", "El agente secreto",etc. Algo hay para todos, cualquiera sea su nivel de habilidad.

La presentación editorial impecable firma.

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que ha hecho de Jujuy y del Noroeste Argentino un polo de desarrollo de nuestra economía, produce y transforma materia prima nacional con

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