C®HCffTOSDE MATEMATICA

PARA EL MAESTRO

EL PROFESOR

EL ESTUDIANTE

En este número:

PthEl método (P. G. Scopes)Propiedades matemáticas de las

magnitudes físicas (C. Garikián) 31 Naturaleza y finalidad de la in­

vestigación matemática (V'. Dn-

21Carta al lectorLa teoría de los conjuntos y la

enseñanza de la matemática (L. A. Santaló)

Observaciones sobre la enseñanza de la matemática (W. W. Sawyer)

Sofismas matemáticos

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4

3Sse)1145Bibliografía17

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a su alcance.Peso. Volumen. Velocidad. Simplicidad. Precio.Cinco factores que Fate División Electrónicatomó en cuenta para crear su Serie 100: Cifra 111 y 121.Apenas 3 Kg. Sólo 95 x 215 x 295 mm.Cualquier cálculo en menos de 1 segundo.Fácil de operar. Precio similar al de una calculadora común. División Electrónica

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CUADERNOS DE MATEMATICA

Y REPUESTOS AÑO IX N° 34Abril-Mayo-JunioCONCEPTOS DE MATEMATICA

PUBLICACION TRIMESTRALESCOLARESDE CALIDAD Redacción y Administración:

Paraguay 1949, Piso 6o, Depto. ACARTA AL LECTOR

* Con lógica satisfacción hacemos llegar a nuestros lectores el número 34 de CONCEPTOS DE MATEMATICA esperan­do que su contenido les resulte útil.

* Las difíciles circunstancias económicas por las que atra­viesa nuestro país, con sus innegables influencias, pudieron haber determinado la desaparición de la revista, tal cual ha ocurrido con muchas otras publicaciones de nuestro país.

* Si así no ha ocurrido fue porque consideramos que continúan teniendo vigencia las razones que determinaron su aparición, especialmente si se considera que muchos docentes del interior y de otras repúblicas americanas se habrían quedado sin un órgano que les informara, siquiera sea par­cialmente, de las muchas novedades que a diario ocurren en todo el mundo en el campo de la enseñanza de la matemá­tica y que, en castellano, sólo les llegan por nuestro inter­medio.* Por ello decidimos continuar en la brecha aun cuando para ello hemos debido elevar el precio de la suscripción anual y el de la venta de los números atrasados, los cuales son ahora los siguientes:

Suscripción 1975 (números 33 al 36): $ 120.Números atrasados (1 al 32): $50 cada uno.

* Estamos seguros que nuestros lectores sabrán compren­der la situación. Esperamos que los que ya han enviado con los precios anteriores el importe de su suscripción por este año, tengan la gentileza de enviarnos el resto a la brevedad para poder hacer las previsiones que correspondan.

* Otra forma de colaboración -y ninguna puede ser des­deñada- consiste en obtener la adhesión de nuevos suscripto- res y también en la adquisición de los números atrasados de manera de completar colecciones.

* Estas intensas preocupaciones económicas no nos ha he­cho descuidar el material que se publica, del cual merecerán singular atención los artículos de L. A. Santaló, W. W. Sawyer, G. Garikian, V. Duse y P. G. Scopes.

Los saluda muy cordialmente.

LAPRI DA Director — EditorJOSE BANFI

EN CUADERNOS CON ESPIRAL'. i Asesores: José Babini, Frédérique Papy, Georges Papy.

Redactores: Emilio De Ceceo, Juan C. Dalmasso, Haydée Fer­nández, Alfredo R. Palacios, Ati- lio Piaña, Elsa Sabbattiello, An­drés Valeiras y Cristina Verda- guer de Banfi.

°NUEVA DIMENSION"En práctico formato: 21 x27cm.

Dibujante: Arg. Julio R. Juan.

°DUALd Suscripción Anual: Argentina $ 120.- Ley 18.188(m$n 12.000.—). Exterior 6 dóla­res o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales o bancarios deben ser extendidos a nombre de CONCEPTOS DE MATEMATICA.

Con perforación y puntillado

Formato gigante: 21x29,7cm. Ambos de 50 y 100 hs. Rayados y cuadriculados

Ejemplar suelto: $40.— Ley 18.188.

cuadernos escolares Número atrasado: $50.— Ley 18.188.

Para colaboraciones, números atra­sados, suscripciones y avisos, di­rigirse directamente al editor.

Registro de la propiedad Intelec­tual: N° 1.037.530.

LAPRI DA DUAL - LANCEROS - TAMBORCITO - MONITOR

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repuestos escolaresImpreso en COGTAL

Rivadavia 767, CapitalfTINTERO - TRIUNFO - PLUMITAS - CAMPEON - EDUCATOR

INTERES GENERAL Concesión N° 8205^ o

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FRANQUEO PAGADO Concesión N° 2687FABRICADOS POR: C.DELLA PENNA S.A.C.I. -PAR ANA 464 - BS. AS. C/>

EL DIRECTOR

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PROBLEMATICA ACTUAL

La teoría de conjuntos y la

enseñanza de la matemática

de una panacea universal ni de una droga maligna. de reglas operatorias, cuyo estudio no se habrá

de abandonar; al mismo tiempo, ayuda a ejem­plificar las ¡deas de relación y función, así como a clasificar y ordenar los objetos e ideas, para lo cual los diagramas de Venn parecen más apropiados que los clásicos cuadros sinóp­ticos que dejaban de lado muchas relaciones que no fueran las de inclusión directa.

Para comprender al mundo exterior es fun­damental la idea de "relación" entre conjun­tos. Relacionamos continuamente conjuntos de mercaderías con conjuntos de precios, con­juntos de personas con conjuntos de amigos, conjuntos de encuentros deportivos junto de resultados. Dentro de un mismo con­junto, podemos relacionar los elementos por el tamaño, el color, la forma y por muchas otras cualidades. La teoría de conjuntos trata de clasificar estas relaciones y estudiar sus propie­dades comunes, las que luego servirán en gran variedad de casos. Representando a los ele­mentos de un conjunto por puntos de un plano, los diagramas de flechas son muy útiles para visualizar relaciones y funciones. Las fle­chas y cuadros o tablas de relaciones de los libros elementales, distribuidos a lo largo del curso, no concentrados al comienzo para des­pués ser poco o nada empleados, están muy justificados y ponen orden en una gran variedad de situaciones que antes aparecían desvincula­dos entre sí.

La teoría de conjuntos, junto a ciertos ele­mentos de lógica, ha servido también para delimitar bien los campos de ciertas denomina­ciones y para puntualizar ¡deas que antes apa­recían con cierta ambigüedad. Es útil, por ejemplo, distinguir bien entre los elementos de un conjunto y los subconjuntos del mismo. Usando un ejemplo típico de Papy, hay que enseñar a distinguir entre los elementos del conjunto de los alumnos de la clase y la nariz de uno de ellos. Una recta del plano puede considerarse como conjunto de sus puntos o como un elemento del conjunto de las rectas del plano; la intersección de dos rectas cambia mucho de uno a otro caso. En la composición de aplicaciones, es importante distinguir si la imagen de la primera coincide o no íntegra­mente con el dominio de la segunda. Pero hay que estudiar bien a qué edad del alumno pue­den ser entendidas estas sutilezas. No hay que pretender que el alumno entienda todo lo que el maestro acaba de entender. A una edad prematura se puede confundir y ello es contra­producente. Es cierto, por ejemplo, que lo mismo un "número" que el "numeral" que

2. Conjuntos y matemática modernaLo que se ha dado en llamar matemática

moderna no es equivalente a la teoría de con­juntos. La matemática actual emplea la teoría de conjuntos y preconiza la introdución de los conceptos fundamentales sobre los mismos en la enseñanza desde los primeros niveles. Pero es mucho más que la teoría de conjuntos. Las estructuras algebraicas, las ¡deas de probabili­dad y sus aplicaciones estadísticas, la geome­tría como disciplina más dinámica (transfor­maciones, funciones) que estática (descripción de figuras), la matemática aproximada, ejemplos de conocimientos que si bien parece conveniente introducirlos utilizando los juntos, podrían desarrollarse igualmente sin los detalles ni la nomenclatura de esa teoría. Los conjuntos se han convertido en el blanco al que se atribuyen todas las virtudes o todos los defectos de la enseñanza moderna de la mate­mática, pero en realidad son tan sólo una parte, importante pero no imprescindible, de la reforma que la matemática moderna intenta llevar a cabo en la enseñanza.

Más que los programas y contenidos, lo cual es muy importante, las tendencias moder­nas intentan desarrollar en el alumno una ca­pacidad matemática que va más allá de la habilidad calculatoria y que debe serle útil tanto para resolver problemas concretos como para comprender mejor su medio ambiente. La vida actual es demasiado complicada y entran en juego demasiados factores como para que sea suficiente enseñar al alumno unas cuantas "fórmulas" o unas cuantas "reglas" o "rece­tas" tal cual lo hacía la matemática convencio­nal. La mayoría de los problemas de la vida real no caben en una fórmula ni en una regla y hay que educar al alumno para que sepa utilizar todos los medios que tenga a mano para llegar a la solución, exactos o aproxima­dos, gráficos o numéricos, con precisión o con cierta probabilidad. Debe enseñárseles a utili­zar todos los medios de información disponi­bles: estadísticas, tablas, formularios, reglas de cálculo o calculadoras de bolsillo, etc. Hay que eliminar la brecha entre lo que se enseña en la escuela y lo que se emplea en la calle.

De aquí surge el interés por .la teoría de conjuntos, teoría que se presta para materiali­zar y visualizar la primera calculatoria (Opera­ciones con números naturales); haciéndola más comprensible que el aprendizaje memorístico

L.A.SANTALO*(Argentina) con con-

(Especial paraCONCEPTOS DE MATEMATICA) son

convertirá en el estanaarte de una reforma de la enseñanza de la matemática que ha conmo­vido todas las etapas escolares, desde la escue­la primaria hasta la universidad, originando apa­sionadas discusiones que han trascendido los claustros docentes y académicos para pasar a ser tema de comentario en revistas y publica­ciones de carácter popular. Los conjuntos se han transformado en un verdadero mito, con todas las consecuencias inherentes a los mis­mos, desde las bondades excelsas que Ies asig­nan sus fervientes partidarios, que creen haber encontrado, al fin, el camino real que busca­ba Tolomeo para aprender geometría, hasta las funestas calamidades que les atribuyen sus enemigos, que ven en ellos misteriosas influen­cias destructoras. Esta polarización en los ex­tremos no es una particularidad de los conjun­tos y su enseñanza; es más bien una caracterís­tica de los tiempos actuales. Y, como siempre, las exageraciones no benefician a nadie; en este caso, tanto el entusiasmo como el pesi­mismo excesivo, contribuyen poco al fin que todos los educadores anhelan, vale decir que, Dor el medio que sea, los alumnos aprendan mejor y más en tiempo mínimo y con interés máximo.

Por esto, al cumplirse en esta década el centenario de la obra de Cantor y, en cierta manera, como homenaje a la misma, creemos oportuno hacer algunas consideraciones sobre el cómo y el porqué de su influencia en la enseñanza elemental. Veremos que no se trata

con-1. El centenario de la obra de CantorLos principales trabajos de George Cantor

(1845-1918) sobre la teoría de los conjuntos fueron escritos en la década 1870-1880. En 1883, ya reconocida su importancia después de algunas controversias, varios de estos traba­jos, seleccionados por el propio Cantor, fueron traducidos al francés y publicados en el volu­men 2 de la revista sueca Acta Mathematica, creada por Mittag-Leffler, revista que hasta el presente se ha mantenido como una de las más prestigiosas y de más alto nivel en el campo de la matemática. Es instructivo leer, transcurrido casi un siglo, algunos de estos trabajos: "Sur une proprieté du systéme de tous les nombres algébriques réels" (publicado originariamente en alemán, en el Journal de Borchardt, tomo 77, 1873); "Une contribu- tion a la théorie des ensembles (originariamen­te publicado en el mismo Journal de Bor­chardt, tomo 84, 1877) y una serie de artícu­los intitulados "Sur les ensembles infinis et linéaires" (publicados originariamente en los Annales Mathématiques, de Leipzig, 1879, 1880, 1882).

Estos trabajos son de alta especialización matemática y algunos de ellos fueron utiliza­dos por el mismo Cantor para tratar proble­mas referentes a las series trigonométricas. Han sido el germen de toda la teoría de con­juntos que se fue desarrolando posteriormente y que, en el nivel superior, constituyen uno de los pilares básicos de la matemática actual, y seguirá siéndolo en el futuro, pues las conquis­tas de la matemática no admiten retroceso.

Sin embargo, poco podía sospechar Cantor que su teoría, en lo que se refiere al nombre por lo menos, con el andar de los años se

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* El 12 de mayo de 1975, el Dr. Luis A. Santaló disertó sobre el tema en el Instituto Goethe, de Bue­nos Aires y luego lo redactó especialmente para nuestra revista.

no es!

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diar los conjuntos finitos, con sus relaciones y operatoria básica. Por esto se introdujeron en los libros de texto y, poco a poco, también en la enseñanza media y elemental, donde resulta-

adecuados para la comprensión de

mas de numeración. La clasificación de las figuras'geométricas, por ejemplo los triángulos, se clarifica con el lenguaje conjuntista (conjun­tos de los triángulos equiláteros, rectángulos, ¡sóceles, etc., y las intersecciones y uniones entre ellos). El conjunto de los círculos biyección con el conjunto de los radios, ejem­plifica la idea de función y permite construir gráficos y hacer comparaciones que educan matemáticamente más que la escueta fórmula del área del círculo o de la longitud de la circunferencia. La regla de tres clásica tiende mejor, y se delimita más claramente su campo de aplicación, a través de la ¡dea de función entre conjuntos y su representación gráfica. Es decir: si bien los contenidos finales difieren muy poco, en el nivel elemental y el medio, entre la enseñanza clásica y la moder­na, los medios para conseguir que el alumno los asimile y los comprenda, difieren esecial- mente. Actualmente se estima que con los conjuntos se logra mayor claridad y mejor sistematización. Todo ello sin olvidar que los conjuntos son solamente el medio para ello y que es posible que en el futuro cambie la didáctica y pasen a ser historia, Los fines, en cambio, que son "contar", "medir", "enten­der", "razonar", son mucho más perdurables.

lo representa, pero no hay que confundir con ello al alumno de los primeros grados. Y, sobre todo, el maestro o profesor debe tener conciencia cuando se trata de detalles y no de la esencia y de que no habremos modernizado en nada a la enseñanza cambiando la nomen-

del todo precisa,

del individuo. Todo entusiasta del fútbol que los equipos y jugadores de su época eran mucho mejores que los actuales; los aficiona­dos a la música popular recuerdan con nostal­gia la de sus años jóvenes y repudian los estridentes enfoques modernos. Para muchos adultos, lo que ellos aprendieron era "verdade­ra matemática", mientras que lo de ahora es una pérdida de tiempo que no va a servir para nada a los alumnos. Analizaremos con algún detalle la cuestión, aunque en realidad bastaría preguntar a los que consideran de gran utili­dad a la matemática clásica cuántas veces en el transcurso de su vida emplearon el factoreo, la igualdad de triedros o la regla de Ruffini.

Basta analizar los programas clásicos para darse cuenta de que los temas de utilidad real son muy pocos. Lo que ocurre es que se consideran útiles cuestiones que si bien lo fue­ron en su debido momento, y siguen siéndolo reducidos a su justo tamaño, han dejado de serlo al experimentar un desarrollo desbordan­te y artificial. Precisamente, uno de los aspec­tos de la matemática moderna consiste en que­rer podar estos crecimientos parásitos para vol­ver al estado de verdadera utilidad e importan­cia conceptual. He aquí algunos ejemplos con­cretos.

En la escuela elemental es muy importante la ¡dea de número fraccionario y la operatoria con fracciones. Sin embargo, en la vida prácti­ca casi siempre se opera con decimales y rara vez con fracciones, a no ser en casos simples de dos o tres términos. Por tanto, ¿tienen algún sentido práctico" los ejercicios con fracciones de varios pisos, ligadas con sucesi­vos paréntesis, cuya solución exige una repeti­ción desmesurada de operaciones elementales. Es posible que tales cálculos sean útiles para educar la paciencia y la habilidad ordenadora en el alumno, pero en tal caso, si el fin es tan solo "formativo", no es justo señalar como defecto de la enseñanza moderna, por su pre­sunta inutilidad, el uso de diagramas de Venn, tablas de verdad, relaciones o gráficos de fun­ciones. Más útil que la operatoria con fraccio­nes complicadas, y mucho más simple, es la combinatoria elemental, preparatoria de pro­blemas sobre probabilidades finitas. Ejemplo: En una dudad cuadriculada ¿cuántos caminos mínimos tiene un alumno para ir de su casa a la escuela? Si las calles son alternativamente de dirección única, ¿cuántos caminos tiene un automóvil para el mismo trayecto? Si un pa­dre sale de casa para ir a buscar a su hijo a la escuela y el hijo ya salió de ella para su casa,

cree

ron muy ¡deas de matemática básica.

De todas maneras, conviene no olvidar nun­ca que así como los símbolos tradicionales (igualdad, suma, mayor o menor, raíz cuadra­da, etc.) no son la matemática, sino una mane­ra* cómoda que ella tiene para expresarse, así también en el nivel elemental la teoría de conjuntos debe ser, esencialmente, una manera de expresarse, útil para fijar ideas y precisar conceptos, pero que no debe confundirse con estos conceptos. En la escuela primaria y secun­daria, la teoría de conjuntos no debe ser un fin sino un medio para aprender mejor la mate-

y su

datura usual, aunque no seamás exacta pero demasiado sutil co-por otra

mo para ser entendida por el alumno, o que exige del mismo un esfuerzo exagerado que novale la pena.

Hay que buscar precisión en el lenguaje, debemos tener siempre presente que el

lenguaje es una comunicación entre seres pen­santes que pretende transmitir el conjunto de las ideas, que es infinito, con un número fini­to de palabras. La correspondencia no puede ser nunca una biyección, pero así como con los números racionales podemos representar a to­dos los puntos de una recta con tanta aproxi­mación como se quiera, también con las pala­bras del idioma podemos expresar "casi" cual­quier idea. Cuando pedimos en una zapatería

"par" de zapatos, a nadie se le ocurrirá que podemos referirnos a dos zapatos de un mismo pie o de distinta forma o color. Quere­mos señalar, con este ejemplo, que está bien introducir nueva nomenclatura para evitar mal entendidos, pero en el nivel elemental la ma­yoría de las veces estos mal entendidos no existen, porque la ambigüedad de la palabra se suple por el sentido común del alumno. La matemática enseña a precisar definiciones y •conceptos, pero hay que evitar que se nos vaya la mano y pensar más en transmitir al alumno-nuevas ideas que en precisar las que ya tiene con suficiente precisión.

se en-

pero

mática.En todo aprendizaje, lo importante es ad­

quirir nuevas ideas, pero para ello hay que aprender primero el idioma o simbolismo en que estas ¡deas se expresan. La confusión del idioma con la idea es un defecto frecuente y grave en la enseñanza. Cuando mostramos a un alumno, por ejemplo, lo que llamaremos el "conjunto vacío", le comunicamos una no­menclatura, pero ninguna idea nueva, pues la ¡dea de conjunto vacío la tiene el alumno desde mucho antes de ir a la escuela. Por tanto no hay que insistir en ello ni darle mayor importancia que la que tiene un nom­bre nuevo para un objeto harto conocido.

Muy distinto es el aprendizaje de las ideas de "relación" o "función" entre conjuntos.

un

4. Matemática formativa y matemática útilLa enseñanza basada sobre la matemática

moderna puede ser discutida y cabe sostener, naturalmente, posiciones encontradas. Pero la controversia debe centrarse en el aspecto for­mativo, es decir, en la mejor manera de desa­rrollar en el alumno la capacidad razonadora y la capacidad para el pensamiento deductivo, todo ello aplicado a la resolución de proble­mas. Estudios experimentales de la psicología del aprendizaje irán decidiendo acerca de las ventajas e inconvenientes de un enfoque u otro.

Lo que es un error, y sin embargo es lo más frecuente, es sostener que la enseñanza moderna priva al alumno de la información útil sobre las herramientas y el instrumental matemático. Es decir, la tesis de que la mate­mática que se enseñaba tradicionalmente era

' más útil que la que actualmente se pretende enseñar, carece de fundamento. Se basa sobre la apreciación superficial de que lo que siem­pre se enseñó y que la actual generación adulta tuvo que aprender en sus años escolares, es lo verdaderamente interesante y útil, mientras que las novedades son un signo de decadencia o un pasatiempo inútil. Además se trata de un hecho, por otra parte, común en la evolución

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Aquí se trata de verdaderas ideas, que hay que hacer nacer en el alumno mediante ejem­plos, representaciones gráficas y modelos, tan­to para que entienda bien el significado como para que comprenda el amplio alcance de tales conceptos y aprenda también con ejemplos y comparaciones, a encontrar por sí mismo rela­ciones o funciones entre conjuntos de su me­dio ambiente (labor creativa).

El objetivo fundamental de la matemática en la escuela primaria es que el alumno apren­da los números (contar) y a describir y orde­nar las figuras del mundo exterior, establecien­do una correspondencia entre estas figuras y los números (medir). Muchos psicólogos, peda­gogos y educadores consideran que la mejor manera de enseñar estos conceptos es usar las representaciones y el lenguaje de los conjun­tos. Uniendo conjuntos se aprende a sumar. Agrupando elementos en subconjuntos ¡guales, para contarlos mejor, se comprenden los siste-

3. De Cantor a los conjuntos de la escuela elementalLa ¡dea de Cantor fue, esencialmente, !a de

organizar el "infinito". Su lucha se ubicó en el campo de los conjuntos infinitos, considerados hasta entonces, como pertenecientes a un coto cerrado al que los matemáticos no debían acercarse so peligro de errar o contradecirse en sus deducciones. Cantor clasificó el infinito y, en lo posible, lo ordenó. Aparecieron los con­juntos numerables, los conjuntos densos, los conjuntos de igual potencia, los números transfinitos y el problema del continuo que preocupó a los matemáticos durante casi un siglo.

Más tarde se vio que la ordenación y no­menclatura de Cantor podía ser útil para estu-

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de una regla de cálculo? Lo mismo que antes, si se arguye que el calcular logaritmos y anti­logaritmos con muchos decimales educa la ha­bilidad en la ordenación de los cálculos y en el uso de tablas -cosa aceptable— cabe enton­ces discutir si no será más útil desarrollar la misma habilidad con otros ejemplos más actuales y más cercanos a las aplicaciones rea­les. La función exponencial, por ejemplo, puede relacionarse con la ley de Poisson de las probabilidades; con el uso de tablas se pueden tratar interesantes problemas de probabilidades (desintegraciones, llamadas telefónicas al azar, problemas de reequipamiento y de filas de espera, etc.), todos ellos más fáciles y, con toda seguridad, más útiles que el cálculo de cologaritmos y diferencias tabulares para apro­ximar un millonésima más un resultado en el que basta y sobra conocer hasta las décimas.

Todavía podemos mencionar otro tipo de problemas que se consideran prácticos y se suelen oponer a los "inútiles" de la matemáti­ca moderna, aun cuando su practicidad sea solamente aparente. Pensemos en el problema y, en ciertas épocas, punto clave para el paso de la escuela primaria a la secundaria: el pro­blema de las canillas. Una canilla llena un depósito en 2 horas y 44 minutos y otra canilla llena el mismo depósito en 4 horas y 3 minutos. ¿Cuánto tardarán las dos juntas? Si pareciera demasiado fácil, se lo complica con más canillas o se añade algún desagüe. No hay duda que el problema es instructivo y si se lo defiende por su aspecto "formativo", que exi­ge ordenar y aplicar razonamientos matemáti­cos interesantes, nadie lo va a discutir. Pero si se presenta como problema "práctico", se tie­ne el derecho de preguntar ¿Cuántas veces en la vida, de no ser fabricante de depósitos y canillas, tendrá el ciudadano común que hacer un cálculo semejante? Y si debe hacerlo, ¿no será más fácil obtener el resultado experimen­talmente? Un profesor de matemática moder­na, sustituirá las canillas por algún problema simple de programación lineal (dieta óptima) o de teoría de grafos (problema del transporte), que en su forma elemental simplificada tam­poco tienen mayor interés práctico, pues los problemas reales son mucho más plicados, pero que sirve camino para operar en casos más difíciles y realmente prácticos, y al mismo tiempo ejerci­tan y ponen en juego la operatoria matemática básica. Son problemas típicos que ni ni en otro caso pueden presentarse como de utilidad práctica inmediata. Estamos, a lo su­

mo, en igualdad de condiciones, pero no pare­ce consistente tomar como útil el tiempo de llenar un depósito y como inútil la manera más económica de distribuir un transporte de mercaderías.

Un último ejemplo. La trigonometría, en su aspecto elemental, forma parte de todos los curricula, clásicos y modernos. La discrepancia aparece al considerar sus desarrollos posterio­res, sea en la resolución de triángulos planos o en la trigonometría esférica. Estos desarrollos permiten mostrar al alumno cómo hacen el geodesta y el astrónomo, por ejemplo, para calcular la longitud y la latitud de un lugar o la hora de la salida del sol en determinado día. Esto puede ser educativo como parte de la cultura general. Los programas modernos, por necesidades de tiempo, suprimen estos desarrollos y los sustituyen por elementos de la teoría de grupos. Ello permite dar al alum­no los elementos necesarios para entender cier­tos temas de cristalografía y, en el campo de la física, para poder entender la diferencia entre la mecánica de Galileo-Newton y la de Lorentz-Einstein. Teniendo en cuenta que la gran mayoría de los alumnos no serán geodes­tas o astrónomos, ni tampoco cristalógrafos o físicos, podemos coincidir en que ambas cosas, triángulos esféricos y grupos, al nivel de ense­ñanza media, son tan sólo formativas. Lo que es muy discutible es que una cosa sea "útil" porque la conoce el padre ingeniero, y la otra sea "¡nútirporque su enseñanza en el nivel secundario data de pocos años. Más aun, la teoría de grupos tiene en germen muchas más aplicaciones que las señaladas y, por tratarse de conceptos nuevos, es difícil que el alumno los aprenda de por sí si el día de mañana los necesita. La trigonometría esférica, en cambio, no es más que la repetición sucesiva de ¡deas que el alumno aprende con las definiciones y propiedades fundamentales de las funciones trigonométricas, lo que nadie trata de eliminar de los programas.

el camino que seguirá el mismo que habían aprendido en la escuela, había ido alambicando sus problemas, purifi­cando su presentación y sistematizando los contenidos, pero sin advertir que eran los pro­blemas mismos lo que había que cambiar, puesto que el mundo exterior y las demás ramas de la ciencia ya no necesitaban las mis­mas cosas.

La matemática actual, en contra de lo que le atribuyen sus opositores, es mucho más práctica que la clásica. En vez de mucho fac- toreo y operatoria con polinomios o con raí­ces de raíces, considera que es mejor enseñar las nociones de probabilidad, por ejemplo, pa­ra poder calcular si es más favorable jugar a la quiniela, a la lotería o al PRODE. Enseña también a graficar, por ejemplo, las tasas de interés en cajas de ahorro y a compararlas con el índice del costo de vida, de modo de tener una idea aproximada, aunque no la exactitud, de la mayor o menor conveniencia de deposi­tar en caja de ahorros, comprar bonos ajusta- bles o invertir a plazo fijo. En el cálculo de superficies, no se limita a las tradicionales del triángulo, paralelogramo, trapecio, sino que le interesa señalar muy bien las propiedades de la superficie de las figuras, mediante representa­ciones gráficas que hagan ver su crecimiento como el cuadrado del tamaño y mostrar mane­ras aproximadas para su cálculo en cualquier caso que se pueda presentar. Si el profesor de botánica, por ejemplo, necesita el área de una hoja, el alumno debe haber aprendido en su clase de matemática como puede hallarla re­cortándola sobre papel milimitrado, y si el profesor de zoología habla de la superficie del sapo en función del peso, para problemas de regulación del agua en los organismos vivos, tampoco el profesor de matemática puede des­entenderse de ello alegando que en los progra­mas no figura la fórmula de la superficie del sapo (fórmula de Fry).

La matemática ha tenido siempre una parte de magia y muchos profanos recuerdan de su paso por la escuela ciertos ritos que conside­ran como la verdadera esencia de la matemáti­ca. Hace algunos años la máxima matemática para ellos era extraer la raíz cúbica, y todo profesor de matemática se habrá encontrado alguna vez con personas que quedan asombra­das al decirles que ignoramos la regla para extraer dicha raíz. .¿Cómo, es profesor de ma­temática y no sabe la raíz cúbica? ¿Será posi­ble? El asombro llega a estupefacción e incre­dulidad cuando les decimos que tampoco sabe­mos la regla de extracción de la raíz cuadrada.

Ignorando cada uno otro ¿cuál es la probabilidad de que se en­cuentren? Problemas de este tipo no aparecen en la matemática clásica, aun cuando son mu­cho más simples que algunos problemas de regla de tres compuesta cuya utilidad es sólo aparente (20 obreros hacen una zanja de 10 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de profundidad en 8 días;¿cuánto tiempo tardarán 15 obreros en abrir una zanja de 8 m de largo, 5 de ancho y 2 de profundidad?).

Otros algoritmos clásicos de la enseñanza tradicional son los del cálculo del máximo común divisor (mc.d.) y del mínimo común múltiplo (m.c.m.). Se enseña a calcularlos por descomposición en factores primos y se consi­dera que ello es una cosa "útil". La utilidad se reduce a la reducción de fracciones a mínimo común denominador. Sin embargo, puesto que es muy raro que en la vida real se opere con fracciones de denominadores grandes para los que valga la pena buscar el m.c.m., no parece tan grave suprimir el tiempo destinado a aprender de memoria dichos algoritmos y de­jar que el alumno simplemente multiplique los denominadores cuando necesite sumar o restar fracciones. En la enseñanza moderna, el m.c.d. y el m.c.m. tienen interés conceptual y sirven para ejemplificar la intersección de conjuntos, en tanto que el cálculo efectivo de ellos —úni­ca cosa que hacía la enseñanza tradicional— se considera muy secundario.

Otro ejemplo de tema cuya utilidad es sólo aparente es el cálculo logarítmico de la escuela media. Los logaritmos tienen mucho interés conceptual y son de mucha utilidad práctica para el cálculo numérico. La posibilidad de transformar el producto en suma, los gráficos en papel logarítmico, el hecho de que muchos fenómenos naturales sigan una ley logarítmica, sus propiedades como función inversa de la exponencial son todas ellas características muy importantes de la función logaritmo y de los logaritmos de los números positivos, que nadie trata de suprimir de la enseñanza, y la mate­mática moderna menos que nadie. Pero ¿tiene alguna utilidad real para el alumno el mani­puleo con logaritmos de 5 ó 6 decimales, con aproximación en base a diferencias tabulares y con el uso del cologaritmo u otras tantas reglas para hacer factibles por el cálculo loga­rítmico engorrosas expresiones que nunca apa­recerán en la práctica? ¿No es preferible dejar para el futuro astrónomo o geodesta tales aproximaciones y limitarse a enseñar el uso de tablas con 2 decimales o con la aproximación

5. Rigidez de la matemática clásica y malea­bilidad de la matemática moderna.Una característica de la matemática moder­

na es su maleabilidad para adaptarse a situa­ciones muy diversas. Uno de sus objetivos fun­damentales es que debe ser útil para la vida, es decir, que va dirigida a alumnos que deberán vivir en el mundo actual y no en el mundo de otras épocas. La matemática clásica, mediante sucesivas trasmisiones de maestros a alumnos que una vez maestros volvían a enseñar lo

com­para indicar el

:

en uno

:8 9

memoria las estructuras algebraicas y sus axio- y propiedades es un disparate que nadie

Actualmente, ya no figura en los programas la raíz cúbica y va desapareciendo la raíz cuadra­da. ¿Se ha hundido el mundo? No, simple-

hemos convencido de que lo que

masha defendido jamás. Igualmente, y por el otro extremo, insistir en aclarar cosas que el alum-

entiende de entrada, como puede ser el Observaciones sobre la enseñanzade la matemática

mente nosimporta es saber buscar la raíz cuadrada o cúbica, o la que sea, de un número, pero no la “regla" para ello, puesto que si alguna vez hace falta tal operación, cosa dudosa, será mucho más práctico aplicar logaritmos o bus­carla en tablas o repasar en algún texto la .regla de extracción. Mutatis mutandis, éste es ¡el caso de la mayoría de las discusiones sobre matemática moderna entre adultos no mate-

nodibujo de muchos diagramas para convencer al alumno de que entre tres monos y dos bana­nas no puede establecerse una corresponden­cia biyectiva, son fallas didácticas que no de­ben atribuirse a la matemática moderna, como tampoco es justo atribuir a la clásica la pre­ocupación de algunos maestros por el número de “pasos" de un problema, llegando a consi­derarlo como la parte esencial del problema, más que la obtención de la solución.

Cuando las cosas empiezan, es común que autores, para hacer comprender mejor sus

puntos de vista, exageren la nota, sin que ellos mismos compartan las posiciones extremas que resultan al tomar literalmente sus expresiones. Al grito de “Abajo Euclides" de Dieudonné, en Royaumont (1959) con el que se inició ¡a reforma de la enseñanza de la matemática, hay que entenderlo como el deseo de un brusco cambio de dirección en la geometría, sacando virtuosismos como los de la geometría del triángulo (círculo de los nueve puntos) para virar hacia los vectores y espacios vectoriales. Pero no hay que pretender que los triángulos pasen a ser objetos indeseables cuyo estudio deba prohibirse. Toda exclusividad es mala. Tendría razón Thom, si fuera del todo cierto, que es malo “abandonar esa mina interminable de ejercicios que es la geometría euclidiana, y sustituirla por generalidades sobre conjuntos y lógica, esto es, por un material que es pobre, vacío y descorazonador para la intuición tal cual ésta debe ser" (Conceptos de Matemática, año VIII N°31, Conferencia pronunciada en el Congreso Internacional de Exeter, 1972). Pero el mismo Dieudonné (loc.cit. pág. 16) se encarga de decir que no es la geometría eucli­diana lo que se trata de eliminar (a pesar de su grito de Royaumont) sino la forma desusa­da de enseñarla.

W. W. SAWYER (Gran Bretaña)

máticos.Lob docentes de matemática están haciendo

ahora lo que solicitan los filósofos: tar qué hacemos, por qué y si lograremos éxito. En la era de las máquinas de calcular ¿necesitan saber los niños las tablas de multi­plicar? ¿Deberemos enseñar manipulación en álgebra? Si así fuera, ¿cuánta? ¿Son anticua­dos los logaritmos? ¿Enseñaremos trigonome­tría? De hacerlo ¿cuánta? ¿Qué partes de la matemática reciente deberían llegar a los pla­nes de estudio escolares? ¿Qué deberíamos eliminar para dar lugar a los nuevos tópicos? Y muy fundamentalmente ¿qué consideracio­nes determinarán nuestra elección del plan de estudios?

Tales cuestiones tratan de lo que se enseña. Acaso más importante sea ocuparse de cómo se enseña. ¿Debería la matemática enseñarse junto a la ciencia y el estudio del medio o, en cambio, debería enseñarse tan abstractamente como sea posible? ¿En qué proporciones de­berían mezclarse el descubrimiento y “lo que se dice"?

Un tercer tipo de cuestión se refiere a có­mo alcanzar nuestros objetivos. Es fácil pro­nunciar una arenga muy inspirada sobre la escuela ideal sin explicar cómo llegar a ella. Para evitar cierta irrealidad, comenzaré con algunas notas sobre la mecánica del progreso educativo.

La profesora Edith E. Biggs seguramente dirá que los niños pequeños no comienzan de manera y que se interesan por la matemática y desean pensar sobre ella. De acuerdo con esto, incluso para un niño de inteligencia más bien baja, la principal dificultad en matemática resi­de no en la naturaleza de la disciplina ni en las limitaciones del aprendiz sino, más bien, en la actitud de los adultos que le rodean.

Se piensa a menudo que la solución está en los institutos de formación de docentes. Pero esto es un poco' ingenuo. Si un estudiante llega a la universidad haciendo la crítica de su propia escolaridad, la universidad puede ayu­darlo. Pero muchos estudiantes de dieciocho años ya se han formado una ¡dea firme sobre educación; es lo que ellos han recibido como alumnos. Retornarán a la escuela y enseñarán lo que se les ha enseñado.

Uno de los hechos más obvios (y menos reconocido) es la falta de encadenamiento de todo el sistema educativo. Cuando las universi­dades critican a las escuelas secundarias, pare­cen estar enteradas sólo parcialmente de la inmensa responsabilidad de las universidades por el estado de la educación secundaria. Cuando los profesores de escuela secundaria critican a las escuelas elementales no siempre asignan importancia al hecho de que los maes­tros elementales son los productos de las es­cuelas secundarias.

La matemática es una actividad (y depende en gran parte de la actitud del aprendiz). Las actitudes se forman muy pronto en la vida. La máxima influencia del futuro maestro se ejerce

6. Enseñanza activado enseñanza memorística pregun- esasusEn realidad, muchas de las discusiones no se basan tanto en los contenidos como en la manera de impartir la enseñanza. En vez de tomar como referencia un "buen" profesor de matemática clásica y un "buen" profesor de matemática moderna, cada partidiario elige un buen profesor, para defender su tesis y para la tesis contraria uno que sea pésimo. Creo que es evidente que un buen profesor está por encima de las diferencias metodológicas, y será siempre preferible a un mal profesor, cualquie­ra sea su tendencia. Las consideraciones ante­riores se refieren al profesor medio, para el cual las recomendaciones y los contenidos de los programas desempeñan un papel impor­tante.

:'

El peligro en la enseñanza de la matemá­tica, clásica o moderna, es la tendencia a ense­ñar a memorízar. Obsérvese que no se preten­de que la memoria debe dejarse de lado, como una cualidad inservible del alumno. Muy por el contrario, sin memoria es imposible cual­quier aprendizaje. Debe tenderse a que el alumno aprenda con todos sus medios de in­formación y comprensión: los sentidos, la razón y la memoria. Debe razonar y entender lo que significa multiplicar y en qué casos deberá aplicar esta operación, pero debe también sa­ber de memoria la tabla de multiplicar y cómo disponer las cifras para hacer una división o cómo colocar la coma en una operación con decimales. Lo malo es aprender de memoria definiciones y propiedades que no ha llegado a comprender y que, por tanto, llegado al caso, no sabrá cómo aplicar o aplicará al tanteo. La repetición de memoria de definiciones y teore­mas fue grave en la matemática clásica y no ha dejado de serlo, al contrario, en la matemá­tica moderna. Aquí es donde tienen razón sobrada sus enemigos. Enseñar a recitar de

No creo que nadie haya pensado jamás que la matemática moderna pretenda abandonar los problemas de la geometría euclidiana para entretenerse únicamente en vacías generalida­des sobre conjuntos y lógica. Se trata, más bien, de utilizar las ideas básicas sobre conjun­tos y lógica para comprender mejor la geome­tría euclidiana, que es la del mundo exterior y, al fin y a la postre, el fin de la enseñanza cualquiera que sea la tendencia de la misma. Es posible, como también dice Thom, que en

(sigue en pág. 37)

Enseñando matemática ¿De cada niño un matemático?

Supongo que si Ud. envía a reparar un reloj y se lo devuelven con la cuerda rota, Ud. pensará que se ha hecho un mal trabajo sin importarle las modificaciones que se pudieron hacer en el engranaje; muy a menudo, algo así ocurre en la educación matemática. La mayo­ría de los adultos no sólo conoce muy poca matemática al dejar la escuela; también es in­capaz de pensar sobre ella y teme ensayarla.

* Este artículo es una síntesis realizada por el autor de una charla con discusión abierta dada en la Conferencia del Reino Unido realizada en Trinidad en 1968, que el autor nos remitió ante nuestro pedido de colaboración. La versión castellana es de la profesora Cristina Verdaguer de Banfi.

1110

i

matemáticos entusiastas y activos, la escuela secundaria debería asegurarse de no deteriorar lo logrado y de facilitar las futuras construc­ciones. Si los niños ingresan a la escuela secun­daria malquistados con la matemática, se debe­rá recurrir a procedimientos de rehabilitación

radicales. Si la escuela secundaria fuera de mejorar su actitud y de darles una

elemental; la siguiente, en laen la escuela escuela secundaria.

En educación elemental, un resa mucho a los profesores

muchos países, hay unde los tópicos matemáticos. Los secundarios lamentan no tener manejar todos los temas que la

está enviando. La razón princi- vacío matemático en las

un artícu-

dero docente se ve forzado a convertirse en un trabajador subterráneo.

La uniformidad está particularmente fuera de lugar cuando se está intentando cambiar o ampliar el plan de estudios. Inevitablemente, sólo habrá un número limitado de escuelas en donde los maestros son capaces de enseñar el nuevo material efectiva e inspiradamente. Esto debería continuar hasta que toda la ciudad, la provincia o el país esté preparado lo cual nunca ocurrirá. Más bien los centros más capa­ces deben ir a la vanguardia y su influencia debería permitir el gradual desarrollo de los demás.

En un período transitorio pueden necesitar­se todas clase de medidas informales. Una es­cuela secundaria podría (como se lo ha inten­tado en varios lugares) ofrecer un club mate­mático, digamos una vez por quincena, a los alumnos más capaces y más interesados de las escuelas elementales próximas. Los alumnos de la escuela secundaria podrían reunirse con dos o tres niños de la escuela elemental y ayudar­los en álgebra y geometría; en esta forma puede reconocerse el talento para la enseñanza y se proporcionará un excelente adiestramien­to al futuro docente. Los niños más capaces de las escuelas elementales serían alentados a avanzar por sí mismos. Debería realizarse un estudio acerca de los libros que los niños pue­den leer satisfactoriamente. Lo mismo que los docentes de música, un buen docente de matemática podría recorrer cierto número de escuelas elementales dando una lección por semana en cada una para promover interés por el tema.

Ahora bien, se necesita cierta destreza en la manipulación -un nuevo concepto a menudo se introduce mejor mediante algún ejemplo sim­ple que implique cierta cantidad de cálculo. En EE.UU., en donde los docentes de las escuelas secundarias son muy débiles en mani­pulación algebraica, algunas veces traté de in­troducir el cálculo o las matrices mediante nociones de álgebra. A menudo comprobé que la energía mental de los docentes estaba com­pletamente absorbida por la compresión del álgebra y que nada habían hecho para com­prender el nuevo concepto. Claramente, la si­tuación era del todo indeseable. Lo mismo ocurre en un nivel más bajo. La misma álgebra puede ser introducida interesantemente estu­diando alguna "coincidencia'' en aritmética, o mediante alguna ley científica. Se espera que los alumnos descubran la regularidad implica­da. Este útil método de enseñanza se debe

excluir si la aritmética del niño es demasiado débil.hecho que inte-

secundarios es movimiento Una máquina de calcular o un contador

manuable pueden dar la respuesta a un proble­ma especifico, pero no nos ayudan a observar una ley. Nos darán el cuadrado de un número particular o hallarán el valor de un producto especial, pero no dirán frente a una colección de cifras. "¿Por qué son todas cuadrados? " o "Esta es la tabla de multiplicar por 7". Los alumnos necesitan familiarizarse suficientemen­te con

que, en hacia abajo profesores

muy capazcomprensión cierta de los tópicos menciona­dos por E.E.Biggs en su libro Mathematics ¡n Primary Schools, podría estar muy satisfecha

tiempo para universidad le pal es, a menudo, un escuelas elementales. A.P.Rollet, en lo sobre las escuelas inglesas, mencionó a niños capaces que no comenzaban un ataque intensi­vo del álgebra y la geometría hasta tener once años; afirmó que experimentaban "estanca­miento matemático" En América del Norte, donde una exposición más mesurada suele comenzar a los catorce años, aquellos niños habrían sido descritos como ferozmente "acele­rados". Sería muy deseable que se dispusiera de un contenido mucho más rico para los niños de nueve a trece años, no meramente para aligerar el plan de estudios secundarios, sino porque esos son los años en que el estí­mulo de nuevas ¡deas muy prontamente crea intereses intelectuales duraderos. Los profeso­res secundarios, por tanto, deberían estar pre­parados para una transferencia formal de la geometría y el álgebra serias a las escuelas elementales.

Los profesores secundarios objetarán que los maestros elementales no pueden manejar adecuadamente esos tópicos. Pero se ignora el hecho de que los futuros maestros de escuela elemental están hoy en día sentados en aulas secundarias. Sugeriría como programa mínimo para la matemática secundaria que cada alum­no abandone la escuela con un equipaje básico de un buen maestro de matemática de escuela

de sí misma.Algunos profesores secundarios tienen un

enfoque de la matemática muy formal y se­rían incapaces de llevar adelante un programa tal. El trabajo debería realizarse dondequiera haya docentes capaces para ello, y las autori­dades deberían subrayar que este trabajo es de primordial importancia y la llave de todo el

de la nación en educación matemática.

las tablas de multiplicar, fórmulas algebraicas, etc., reconocer situaciones en las que éstas se presentan o en las cuales son pertinentes. El reconocimiento de estructuras es afortunadamente una actividad que gusta a los niños y que les ayuda a fijar en la ría los hechos individuales.

Incluso para la resolución de problemas pueden ser útiles las ayudas materiales. Por ejemplo, el ataque a un problema en un curso de geometría tradicional es favorecido diagrama que muestre los principales teoremas de Euclides. En general, los alumnos deberían ser animados a construir, y usar, síntesis de la información a su disposición (Incluso muchos estudiantes universitarios no lo hacen).

He empleado cierto tiempo discutiendo los problemas de los 9 a 13 años porque cada vez estoy más convencido de que ésta es el área estratégica vital en la cual deberían trarse los buenos docentes. Hasta los 8 años las cosas, por supuesto, son muy importantes. Sin embargo, estoy discutiendo aquí el papel de los mejores docentes secundarios, aquellos con buen conocimiento de la matemática y habilidad para presentarlo con interés y simpli­cidad. No creo que puedan hacer mucho em­pleando su tiempo con niños menores de 9 años. Los comienzos de la aritmética se reali­zan aun muy lentamente. También el trabajo es simple, los docentes de escuela elemental pueden luchar con él una vez que se hayan persuadido que la aritmética es algo con lo cual se puede experimentar y pensar en lugar de aprenderla puramente de memoria. Por otra parte, si los niños de nueve a trece años están totalmente desarrollados, muchos de ellos se dedicarán intensamente a la matemática regu­larmente técnica. Mucho de esto pueden leerlo y hacerlo por sí mismos, pero de tiempo en tiempo necesitarán consejo, lo cual, en la ma­yor parte del mundo de hoy, los maestros elementales no están capacitados para darlo. El contacto ocasional con los mejores docen­tes secundarios permitirá a los alumnos más

memo-avance

La matemática implica inteligencia general. Los éxitos individuales de los niños serán muy variables. Exito completo significaría que un niño mostró el mismo nivel de interés, seguri­dad, iniciativa, originalidad e ingenuidad para atacar los problemas matemáticos y científicos que el que mostró en cualquier otro departa­mento de trabajo o de juego. El resultado debería juzgarse no mediante tests de elección múltiple sino observando al niño en una situa­ción real.

Los niños, por supuesto, trabajarían a su propio ritmo. Cierta vez, alenté a un club matemático de Nueva Zelandia en el cual los niños podían cumplir pequeños tests a la ma­nera de pequeños exploradores. Muchos eran para la comprensión básica de una idea, por ejemplo, "comprensión del uso de la x". En algunas escuelas americanas, cada niño tiene una libreta en donde se registra su avance en la lectura. Lo mismo puede hacerse en mate­mática.

Esto me lleva a un asunto administrativo.

por un

concen-

elemental.Esto implica los siguientes objetivos, en el

siguiente orden de importancia: (Del alumno gozará de la matemática y no temerá pensar en ella; (2) debería ser capaz de entender los resultados matemáticos informalmente, pictóri­camente o en términos de una situación creta; (3) debería haber trabajado con la mate­mática relacionada con las leyes científicas simples y con el medio ambiente; (4) de esta manera, adquiriría el mayor conocimiento po­sible y comprensión de la aritmética, el álge­bra, la geometría (y quizás otros temas máticos).

Cuando llegué a Norte América vi algo que nunca había visto antes, un libro de texto intitulado "Grade O Mathematics", un esque- ma tra^aÍ° Que debía ser cubierto por todos los niños de cierto tipo de clase (por ejemplo, académica, técnica); el esquema era entregado Por la autoridad educativa y hecho cumplir a menudo por inspectores. El docente era enton­ces presionado "a cubrir el curso", sin tener en cuenta que los alumnos más lentos estaban aturullados y los más rápidos, aburridos. La buena enseñanza de la matemática en tal mar­co administrativo es casi imposible. Un verda*

«r

7con-

f

mate-:

Naturalmente, la aplicación de esta ¡deavariará de país a país y de un lugar a otro. Si las escuelas elementales ya están produciendo

12! 13

formal y abstracto y alejó a la matemática escolar de la ciencia escolar exactamente lo

lo que debería ocurrir.

pues, nunca estuvieron en posición de ser pun­tas de lanza de la reforma. Los docentes (sin culpa propia) conocían tan poca matemática que eran incapaces de enfrentar resueltamente a un profesor universitario que dijera: "Esta es una ¡dea matemática de la mayor importan­cia" y preguntarle: ¿Por qué? ¿Qué puedo hacer con ella?

En el trabajo de investigación en matemáti­ca pura, EE.UU. está entre los dos o tres países más avanzados del mundo. No obstante, con respecto a los objetivos de la reforma escolar, había ciertas limitaciones. Una era la limitación: matemática pura. La tradición (ciertamente hasta 1957) entre los matemáti­cos americanos era sentirse superiores y man­tenerse apartados de físicos e ingenieros. Care­cían de experiencia de enseñanza en las escue­las y (comprensiblemente, por las condiciones reinantes en EE.UU.) tenían profundo menos­precio por los que se ocupaban de educación.

No es sorprendente que los profesores uni­versitarios de matemática, que asumieron el liderazgo en la promoción de reformas, falla­ran en la búsqueda de un esquema de fecunda interacción entre la matemática y la ciencia y en armonía con el pensamiento natural de los niños. En verdad, las mejores lecciones de ma­temática eran producidas no por matemáticos sino por físicos y otros científicos.

Dudo que la práctica de ordenar todo el curriculum alrededor de temas tales como el conjunto de los números naturales, racionales, enteros, y así sucesivamente, corresponda al desarrollo del pensamiento del futuro matemá­tico. Ciertamente, no corresponde a los intere­ses del niño con inclinaciones científicas o práticas. Un ejemplo evidente se puede encon­trar en los libros de texto del 10° grado de Ontario para estudiantes orientados técnica­mente, los cuales, hasta el momento en que escribo, todavía contenían una discusión lar­guísima del "conjunto de los números irracio­nales". He sabido de un docente que debió ser refrenado por un colega más erudito cuando intentaba formular la siguiente pregunta: "Pruebe que el conjunto de los irracionales no es cerrado con respecto a la adición". No puedo pensar como podría imaginar que los estu­diantes técnicos se sentirían estimulados por un tópico tan ajeno a sus necesidades e intere­ses. Todo lo que un estudiante tiene que co­nocer sobre los irracionales puede ser expresa­do por menciones muy fáciles al pasar; núme­ros tales como 7r y, y/2 se presentan en muchos problemas prácticos: el docente po­

dría mencionar que esos números tienen la curiosa propiedad de que no se los puede escribir exactamente como fracciones ordina­rias.

buen ritmo. En el futuro, convertirán en docentes y

normal cubrir una

fuertes avanzar aalgunos de ellos se entonces considerarán como parte sustancial del curriculum secundario ac­tual (de muchos países) en la escuela elemen-

desarrollará gradual-

opuesto aEsta tendencia arriba al Canadá a través del

ejemplo de EE.UU * y la hemos soportado consecuencia de una actitud no crítica.

En ambos países, ahora se están realizando revertiría. Mi principal preocu-

Creo que existe acuerdo general para que el trabajo sobre resolución de triángulos pueda, ser drásticamente podado, particularmente el trabajo numérico con logaritmos y las fórmu­las relativas. Como método de cálculo, los logaritmos son bastante anticuados (Se los puede todavía usar para hallara'7 cuando n es grande). La escala logarítmica, todavía es signi­ficativa cuando se la introduce prontamente, juntamente con la regla de cálculo. Incidental- mente, el enfoque del siglo XVII de los loga­ritmos era mucho más simple que el moderno puesto que los logaritmos precedieron a los exponentes fraccionarios aproximadamente en medio siglo. Existen considerables ventajas en la enseñanza si primeramente se definen los logaritmos y luego se define , para cualquier k como él número que se presenta k veces más lejos que x en la regla de cálculo. Los niños están deseando admitir que existe un número tal, aun cuando puedan tener serias dudas de que 10°'301 tenga algún significado.

Me siento inclinado a considerar al álgebra, la geometría de coordenadas de dos o tres dimensiones y la trigonometría como un todo indisoluble. La trigonometría se inserta natu­ralmente como el medio por el cual "una distancia r a un ángulo 6 es trasladado forma coordenada". La geometría de coordena­das en tres dimensiones parece muy importan­te, pero en verdad se la puede enseñar a niños jóvenes de limitada habilidad si se la presenta concretamente con pajillas verticales sobre un tablero perforado, o, en un medio agrícola, con varillas introducidas en un terreno barro­so. Las coordenadas tridimensionales recurso efectivo para el diseño de cualquier objeto sólido complicado —un avión, un edifi­cio, un trozo de metal trabajado. En un nivel más avanzado, las coordenadas son el entra­mado para muchos problemas físicos y tam­bién un medio para representar ideas puramen­te matemáticas: vectores, espacios de Hilbert,

comotal. De esta manera se

quedará establecido un plan de estu-mente y dios más rico.

esfuerzos para pación por la educación matemática tuvo lugar en EE.UU. desde 1957 a 1963. Desearía infor-

de las conclusiones a que me con-Manipulación y comprensiónEn una época de artefactos para calcular, la

todos los niveles, des­

mar acerca dujo esa experiencia.

La cuestión que se plantearon los estado­unidenses era muy profunda: ¿de qué manera debería cambiarse la matemática escolar para

cuenta tanto los avances en el conoci-

cuestión se presenta enla aritmética hasta el cálculo. ¿Hasta dónde

enseñar sólo compiensión básica y . dónde debemos preocuparnos por la ter-

denecesitamoshastasura de la manipulación?

tener enmiento matemático cuanto las aplicaciones de la matemática a la ciencia y la tecnología? Para llegar a una respuesta satisfactoria basta

los matemáticos, científicos e ingenieros describan lo que está ocurriendo en sus espe­cialidades. El trabajo esencial debe realizarlo

de docentes de competencia máxi-

estará ciertamente en algúnLa respuesta lugar entre las posiciones extremas.

En primer término, deberemos desembara- de la vieja ¡dea de que cualquier recur­

so de ayuda es una trampa. Cuando veo en las hojas de examen: "No se permiten las regias de cálculo" me pregunto si la siguiente línea dirá: "todos los cálculos se harán con números

quezarnos

un cuerpoDeben estar lo suficientemente bien infor­

mados de su materia como para comprender lo que están diciendo los expertos. Las ¡deas de éstos deben ser concienzudamente reorde­nadas para encontrar la forma de elaborar un programa (o, en verdad, una serie de programas) que deben ser perceptibles e interesantes para los estudiantes de distinto temperamento y en diferentes etapas de desarrollo.

ma.

romanos".En general, deberíamos estar preparados pa-

cuando convenga, calculadoras apro­ra usar,piadas, reglas de cálculo, tablas de integrales, gráficos y cualquier artefacto mecánico que podamos comprar o construir.

a una"La nueva matemática"Ventajas y errores

Quienquiera tenga alguna sugestión para cambiar la enseñanza tiende a rodearla de cierto encanto descubriéndola como la nueva matemática. De mocJo que ese grito de combate cubre una vasta colección de diferen­tes propósitos, buenos, malos o regulares. Al­gunos entienden que deberíamos enseñar por discernimiento más bien que por memoriza­ción. Es, sin duda, una idea excelente; tenien­do por lo menos 2500 años de vida, acaso pueda denominarse nueva matemática ayudas concretas para el aprendizaje como las regletas de Cuisenaire o los aparatos de Cathe- rine Stern, también excelentes. Excelente es también la sugestión de que los estudiantes capaces deberían tener un curriculum matemá­tico mucho más rico que en el pasado. Un elemento muy insatisfactorio en la reorganiza­ción general ha sido la tendencia a incluir en las escuelas secundarias e incluso en las ele­mentales la distribución y el énfasis adecuados para una escuela de graduados en matemática pura. Esto llevó a un tratamiento demasiado

La razón por la cual este liderazgo debe estar firmemente en manos de los docentes es que ellos están en contacto con los estudian­tes; ellos tienen la responsabilidad de manio­brar hasta encontrar la manera de despertar el interés de estudiantes de temperamentos dis­tintos y obtener su comprensión.

Las condiciones reinantes en EE.UU. en 1957 volvían imposible un desarrollo semejan­te. Algunos años antes las Escuelas de Educa­ción se unieron en una campaña virulenta con­tra la "esterilidad académica". Esto habría si­do bien recibido y valioso si hubiera adoptado una forma de trabajo intelectual interesante y excitante. En cambio, se preocupó por elimi­nar el trabajo intelectual. Los futuros docen*

conoci-

son un

fcon

f etc.

Matemática y utilidad¿Qué matemática usan realmente las perso

ñas en la vida? En principio, esta debería ser una de las cuestiones más fáciles de responder pues, a diferencia de la mayoría de las cuestio­nes educativas, no compromete la naturaleza de la mente humana, sobre la cual no sabemos

tes, a quien habría gustado \oqrar un miento cabal de su materia, encontraron que ello se había vuelto imposible. Los docentes.

El profesor SAWYER, en el momento de escribir este artículo profesaba en la Universidad de To- ronto, Canadá (N. de R.)

1514

estarían ventajosamente empleadas tratando de co’ocar un hombre en la Luna, habría sido recibido jocosamente. No hay duda que las realizaciones del 2008 resultarán igualmente inesperadas. No es mi propósito proveer a los docentes .de una bola de cristal para ver el futuro; simplemente trato de proveerles de ojos para ver lo que está ocurriendo ahora de modo que puedan hacer una inteligente conje­tura para mañana y conservar correctamente nuestras suposiciones a medida que marcha-

hada adelante. Innecesario es decir que

RECREACIONES MATEMATICAScasi nada. Es relativamente fácil contar cuán­tas personas hacen una tarea particular y qué matemática es, puede ser o podría ser usada en dicho trabajo. Por supuesto, existe la difi­cultad de prever los futuros desarrollos. Sin embargo, al menos podríamos establecer ten­dencias ? corto plazo —la automación está bo­rrando anualmente la demanda de cierta destreza en millares de tareas y está creando la deman­da de alguna otra destreza en tal y cual ritmo.

Es necesario mantener la mente a la vez abierta y escéptica. Un sistema educativo es como un ejército; lleva tiempo moverlo de un punto a otro, y todavía más retroceder si la primera decisión fue errónea. Me he sentido herido por el pensamiento emitido por muchas personas sobre educación, incluidos los mate­máticos. Alguno dirá que cierto tópico es importante cuando todo lo que realmente co­noce es que se lo usa mucho en una investiga­ción propia (no aplicable). Otro propone un tópico para el plan de estudios escolar sobre la base de que se lo usa en computación electró­nica, pero omite mencionar si_ ejjo ocurre en investigación, manufactura, mantenimiento o programación de computadoras. Un matemático

que ama a su especialidad puede afirmar que es práctico porque ha funcionado en un papel científico individual.

Mis otras actividades nunca me permitieron dar más que una atención fragmentada al estu­dio de los usos de la matemática. En verdad, un tratamiento adecuado requiere mucho más que lo que puede hacer un sólo individuo. En varias ocasiones he sugerido que quienes em­plean la matemática deberían hacer un infor­me periódico, disponible para los docentes, sobre las tendencias en la aplicación de la matemática. Incluso sería útil una revista pe­queña que resuma la información más impor­tante publicada. Los informes deberían aclarar si los desarrollos afectan a los países industria­les o agrícolas, a muchos o pocos trabajadores, científicos o técnicos, expertos o inexpertos. Deberían prohibirse los juicios generales vagos y darse ejemplos concretos de los problemas implicados. Un ihforme periódico tal sería de gran valor para mucha gente además de los docentes, y el Reino Unido probablemente tenga los recursos para disponerlo sin necesi­dad de fundar ninguna nueva organización.

No podemos, por supuesto, predecir mu­cho. Hace cuarenta años '(justamente cuando se iniciaban los maestros que hoy se retiran), la previsión de que en 1968 el desempleo quedaría remediado porque muchas personas

matemáticosLos sofismas son argumentos aparentes me­

diante los cuales se quiere defender lo que es falso; también se los denomina paralogismos, tratándose de demostraciones que, siendo apa­rentemente correctas, encierran fallas y condu­cen por ello a resultados francamente absurdos o paradógicos. Resultan como consecuencia de la indebida aplicación de reglas y, particular­mente, de la inobservancia de algunas condi­ciones imprescindibles.

Los paralogismos más ingenuos se deben a la insuficiencia de los sentidos como fuente de conocimiento; se trata de sofismas intuitivos. También hay sofismas gráficos, que surgen de la observación de figuras aparentemente inob­jetables, pero que, en realidad, no cumplen con las condiciones generales exigidas; el razo­namiento que se hace sobre ellas puede llevar a conclusiones erróneas. Quizás por eso, H. Poincaré (1854-1912) definió a la geometría como el arte de razonar sobre figuras mal hechas, con lo cual procuraba eliminar el peli­gro de este tipo de paralogismos.

En aritmética son frecuentes los paralogis­mos de extrapolación que se originan en la extensión indebida de propiedades aplicadas o en una petición de principios, esto es, en la introducción en el razonamiento de una pro­piedad no demostrada y falsa por añadidura.

Algunas veces, estos paralogismos exceden el dominio de la mera recreación; la historia de la evolución del pensamiento humano re­cuerda las famosas paradojas de Zenón de Elea (siglo V a.J.C.).

Nos referiremos sólo a algunos sofismas sencillos, que pueden ser usados con provecho en la enseñanza secundaria; quienes deseen ahondar el tema deberán recurrir a obras clási­cas de matemática recreativa como Mathema- tical Recreations and Essays de W. W. Rousse BalI, cuya'edición de 1947, de The Mac Millan Company, Nueva York, hemos empleado para la redacción de este artículo, o Matemática di/ettevo/e e curiosa, de I. Gherzi, Milán, 1921.

Sofismas aritméticosComenzaremos mencionando algunos ejem­

plos de demostraciones (? ) que conducen a resultados aritméticos obviamente imposibles.

1. Uno de los paralogismos más antiguos, es el siguiente:

moslas escuelas no deberán enseñar los detalles de la tecnología de hoy (que rápidamente será inadecuada) sino principios generales que pro­bablemente perdurarán. Por otra parte, los ejemplos de hoy, usados adecuadamente, dan realidad e interés a las lecciones.

Desde 1945 a 1947, el Colegio de Tecnolo­gía de Leicester recogió ejemplos sobre el uso de la matemática en la ciudad. Desde enton­ces, por supuesto, las computadoras y la auto­mación han sufrido muchos cambios, pero una conclusión todavía se impone: El uso más am­plio de la matemática no es para resolver proble­mas sino como lenguaje con el cual se aprende la ciencia y la tecnología. Más recientemente, hice una pequeña prueba con libros de varias materias para ver la clase de matemática em­pleada. Los libros no son siempre buenos indi­cadores de nuevas ideas (puesto que tanto auto­res como lectores ignoran la matemática recien­te) pero, en alguna medida, indican los tópicos tradicionales que conservan vitalidad. El álge­bra elemental es ciertamente uno de ellos. Es difícil ver cuántos desarrollos de la matemáti­ca superior pueden reemplazar el empleo del álgebra para el establecimiento de leyes cientí­ficas simples y hacer deduciones combinando tales juicios. Fluidez en la interpretación del álgebra, habilidad para apreciar el significado de una ecuación o de un gráfico y asociarlos con sus aplicaciones, es, y seguirá siendo, una ventaja para todo, desde la electrónica a la ecología.

En los países agrícolas, el interés puede ubicarse en las ciencias relacionadas con la biología. En ellos (lo mismo que en mu­chos países industriales) la estadística tiene tiene un papel muy importante. Consecuente­mente, parece que para los biólogos, y para otros que entienden no necesitan mucha mate­mática, se debería hacer un intento para familia­rizarlos con los coeficientes binómicos y su pa­pel en la probabilidad. Con respecto a la curva normal del error y la distribución de Poisson

(sigue en pág. 20)

Supongamos que a = b Por tanto ab = b2

ab — b2= a2 - ó2b (a-b) = (a + b) (a-b)

b = a + b b = 2b 1 = 2y finalmente

2. Otro ejemplo, cuya idea se debe a Juan Bernoulli, puede expresarse de la siguiente ma­nera.Se tiene

Tomando logaritmos naturales, resulta:

2 log (—1) = log 1=0 Por tanto: log (—1) = 0 Luego:Es decir:

El mismo argumento puede expresarse así: Sea x un número que satisface a la expresión

(-1)2 = 1

-1 = <?°-1 = 1

e*= —1Elevando al cuadrado e2x = 1

2x =0 x =0

e* =e°Por tanto

Pero como e* = — 1 y e° = 1, se tiene final­mente:

r-1 = 1

El error en cada uno de los ejemplos prece­dentes es obvio.

3. Se tiene\fa x\fb = \fab_____

Por ranto \/—T x \/^T= VT-ÍÍT—1)(V^i)2=>/í

-1 = 1i

o sea

1716

-> i

Sea un rectángulo ABCD; por A trazamos un segmento AE = AB = CD, exterior al tángulo y que forma con AB un ángulo agudo como se indica en la figura. Sea H el punto medio de CB y dibujemos HOLCB. Sea K el punto medio de CE y dibujemos KO1 CE. Puesto que CB y CE no son paralelas, HO y KO se encontrarán (digamos) en O. Tracemos OA, OE, OC y OD.

&ODC = &OAE en todos los aspectos, pues siendo KO punto medio de CE y KO 1 CE. resulta OC = OE. De la misma manera, resulta OD = OA. Y por construcción DC = AE. Por tanto los tres lados del triángulo ODC son respectivamente iguales a los tres lados del triángulo OAE. Por tanto: <ODC = <OAE.

Asimismo, puesto que HO es la mediatriz de DA ; es < ODA = <OAD.

Por tanto, <ADC (que es la diferencia de < ODC y < ODA) es igual a < DAE (que es la diferencia de OAE y OAD). Pero <ADC es recto y < DAE > 1R.

Por tanto el resultado es imposible.

2. Probar que una parte de un segmento es igual a todo el segmento.

O también están sobre AC y AB prolongadas. Tracemos OE IAC prolongadas y ACIAB prolongadas y finalmente OB y OC.

4. El siguiente sofisma se debe a D'AIem- bert (1717-1783). Se sabe que si el producto de dos números es igual al producto de otros dos números, los números forman una propor­ción, y de la definición de proporción se sigue que si el primer término es mayor que el segundo, entonces el tercer término debe ser mayor que el cuarto.

Por tanto, si entoncesy si en esta proporción debe ser

Ahora bien, si ponemos a-d- 1 y b = c = —1, tenemos cuatro números que satis­facen la relación ad — be y tales que a>ó. Entonces, por la proposición: c> d, esto es -1 > 1 lo cual es absurdo.

:*rec-AB2 +BC2 —2BC.AE AB^+BD2-2BD.BE

BC BDAB2^ + BC—2BE = + BD-2BEBDBC

AB2AB2 — BD =— - BCBDBC

ad-be a:b = c:d

a > b c > d

AB2 - BC.BD AB2 - BC.BDBC BD

\BC = BD O

Fig. 4resultado claramente imposible.

Siguiendo el mismo camino que antes, por ser &AOF = &AOE resulta AF = AB, y por ser &BOF = &COE resulta FB = EC. Por lo tanto: AF - FB = AE - EC, esto es AB = AC.

Luego, en todos los casos, encuéntrense o no DO y AO, y no importa si se encuentran dentro o fuera del triángulo, obtenemos AB = AC.

Por tanto, todo triángulo es isósceles, un resultado que es imposible.

4. El siguiente ejemplo muestra como el ojo se puede engañar en comprobaciones obte­nidas dividiendo una figura en partes que lue­go se ordenan de otra manera. En verdad, se debe desconfiar de las pruebas por superposi­ción a menos de que sean complementadas por razonamientos matemáticos. Nos referire­mos a la muy conocida paradoja de un cuadra­do de papel, subdividido en 64 cuadrados pe­queños, que puede ser dividido en cuatro pedazos que se pueden disponer en una figura que contiene 65 de esos cuadrados pequeños.

3. Probar que todo triángulo es isósceles.

Sofismas geométricosMuchas personas conocen las proposiciones

lógicas de la geometría euclidiana y también se sabe que originalmente estas proposiciones estaban suplementadas por ejercicios. De tales ejercicios, Euclides redactó tres series: dos, que contienen fáciles teoremas o problemas, y la tercera, constituida por sofismas geométri­cas, cuyos errorres debían ser encontrados por los estudiantes.

La colección de sofismas de Euclides se ha perdido y la tradición no ha conservado nin­gún registro de la naturaleza de los razona­mientos o conclusiones erróneas. Daremos al­gunas demostraciones que conducen a resulta­dos* obviamente imposibles.

1. Probar que un ángulo recto es igual a un ángulo obtuso.

Fig. 3

Sea el &ABC. Por D punto medio de BC trazamos la perpendicular a B. Tracemos luego la bisectriz de <BAC. Llamemos O al punto de encuentro de las mismas.

Si no se encuentran en O, son paralelas. En ese caso AO 1 BC y por tanto AB = AC.

Si se encuentran en O, tracemos OE i AC y OF i AE, y OB y OC.

Supongamos que O es interior al triángulo.En este caso &AOF = ¿sAOE, puesto que

AO es común, < OAF = <OAE y < OFA = < OEA; por tanto AF = AE.

También &BOF = &COE; tenemos por ser mediatriz de BC que: OB = OC. Asimismo, puesto que &AOF = &AOE resulta OF — OE. En último término, los ángulos en F y en E son rectos. Por tanto A BOF = A COE, de don­de FB = EC.

Resulta AF + FB - AE + ECO lo que es lo mismo: AB — AC

'La misma demostración vale para el caso en que DO y AO se encuentren en D, así tam­bién para el caso en que se encuentren fuera de BC pero suficientemente próximos a él co­mo para que E y F estén sobre AC y AB y no sobre AC y AB prolongadas.

Ahora tomemos el caso en que DO y AO se encuentran fuera del triángulo y E y E

Fig. 2

Sea el &ABC; para fijar Ideas supongamos que sea escaleno, que <B es agudo y que <A es mayor que< C.

Por A trazamos AD tal que <BAD = <C y corte a BC en D por A tracemos AF 1 BC.

&ABC y&ABD tienen sus ángulos iguales; por tanto, por una conocida propiedad eucli­diana:

<r

$& ABC: &ABD = AC2 :AD2

También &ABC y & ABD tienen igual altu­ra, por tanto:

A ABC: & ABD = BC: BD AC2 :AD = BC: BD

AC2 = AD2 BC - BD

LuegoFig. 5

18

que V/a°. Permitir que el ojo distinga un ángulo tan pequeño como éste requeriría hacer los cortes con precisión extrema y disponer los trozos resultantes con gran cuidado cuando se forma el rectángulo.

Esta paradoja depende de la relación 5 X 13 — 82 = 1; resultados semejantes se rue­den obtener con las expresiones

13 X 34 -212 = 1; 34 X 89 - 552 = 1; ..o mediante estas otras:

Para ello se recorta al cuadrado original en la forma indicada por las líneas gruesas. Luego se las dispone en forma de un rectángulo que aparece conteniendo 65 cuadrados pequeños.

Este fenómeno, que deja perplejos a los no matemáticos, se debe a que los filos de los cuatro trozos de papel que en el rectángulo están a lo largo de la diagonal AB, no tienen exactamente la misma dirección. En realidad, incluyen un pequeño paralelogramo, cuya área es igual a la de uno de los 64 cuadrados pequeños. Los diagramas muestran que el án­gulo entre los dos lados de ese paralelogramo que se encuentran en A es tang-1 2/5 — tang-1 3/8, esto es tang-1 1/46 que es menor

LA ORIENTACION

El• #

P. G. SCOPES (Gran Bretaña)52 - 3 X 8=1;

132 — 8X21 = 1; 342 - 21 X 55= 1 Nos ocuparemos del arduo problema de la

enseñanza en el cual de la teoría se pasa a la práctica. Discutiremos los diferentes tipos de lecciones y enunciaremos algunas bases pa 1 decidir qué tipo de lección es el más adecuado en diversas circunstancias. En particular, en­contraremos relaciones muy estrechas tanto con la estrategia cuanto con los materiales.

muy probable que nuestros alumnos de hoy tengan diferente profesor el año próximo, y si hay una política común y objetivos y enfo­ques definidos comúnmente, el pasaje es mu­cho más fácil para los estudiantes y más efi­ciente el trabajo del departamento.(viene de pág. 16)

(ambas de significación biológica) parecen indicados suficientes cálculos para comprender e*. Tratar ex algebraicamente es aterrador. Es muy poco deseable tener gente trabajando con un símbolo como e si no tienen idea de su significación. En Calculus Made Easy, Silvanus P. Thompson hace pasar e en forma muy temprana y fácil. Sería bueno si alguno de tales tratamientos simples de una parte limita­da del cálculo pudiera enseñarse tan pronto como un alumno pudiera asir las ¡deas básicas del álgebra; el cálculo podría entonces usarse correctamente durante los estudios secunda­rios, por ejemplo, cuando se debe dibujar un gráfico. Entonces, esas ¡deas se volverían fami­liares.

res humanos por el uso imprudente de pestici­das, todos los tipos de efectos inesperados e indeseables de las sustancias que se venden en los laboratorios químicos y, por supuesto, !a desintegración nuclear. No todos los temores son justificados, pero el plantemiento elevado de estas cuestiones es un síntoma del enorme crecimiento del poder del hombre con respec­to a la naturaleza. Estamos en la posición del aprendiz de brujo: tenemos mucho más poder que juicio.

Puede pensarse que la mayoría de las perso­nas son incapaces de apreciar los resultados científicos que hoy impregnan nuestras vidas. No creo, por cierto, que la humanidad sea genéticamente algo más inteligente de lo que era hace un millón de años. Pero la inteligen­cia no es un logro puramente individual conocer los caracteres chinos; hoy significa ha­bilidad para aprender veintiséis letra y enfren­tar ciertas rarezas del lenguaje castellano, mientras en Gana significa simplemente poder para dominar un alfabeto totalmente fonético. Un griego antiguo necesitaba cierto ingenio para reconocer que la tierra era redonda; hoy un niño, demasiado pequeño para ir a la es­cuela, puede ver por televisión una fotografía de la tierra tomado desde el espacio y crecerá sin dudar nunca que la tierra es redonda. Siempre hay maneras de aclarar las ¡deas, nuestra tarea es encontrarlas. Generaciones an­teriores se hubieran asombrado ante la ¡dea de cada niño aprendiendo a leer. No transcurrirá mucho ante de que demos por sentado qué todo niño puede entender matemática.

Planificación de las unidadesLa planificación de las unidades es la etapa

intermedia entre las expresiones Esquema de trabajo y Plan de la lección diaria. Su objetivo es ubicar a las lecciones diarias en una pers­pectiva más amplia y, al mismo tiempo, hacer un análisis más profundo del contenido que se debe enseñar. También significa que si el pro­greso es sorprendentemente rápido, el docente esté preparado para el paso siguiente y no sea sorprendido con material insuficientemente elaborado. He aquí algunas de las cuestiones que deberían considerarse cuando se organizan planes para una parte sustancial del trabajo.

(1) ¿Por qué es importante esta unidad? ¿Cuál es su lugar en el contenido total del curso? ¿Qué tiene en sí de prometedora para interesar a los estudiantes? ¿Cuáles son las llaves para el progreso futuro?

(2) ¿Cuáles son las ¡deas centrales y los conceptos unificadores sobre los cuales se pue­den organizar actividades? ¿A cuáles se debe­ría asignar mayor importancia? ¿Cuánto tiem­po se empleará en este trabajo y cómo debería subdividirse el tiempo disponible?

(3) ¿Cuáles son las estrategias didácticas apropiadas? ¿Es la primera vez que los estu­diantes encuentran esas ¡deas, o se trata de dar perspectivas más amplias de ideas introducidas antes? ¿Pueden los estudiantes descubrir por sí mismos los conceptos básicos? ¿De qué materiales se dispone para atacar a la unidad desde ángulos variados?

(4) ¿Qué conceptos anteriores, destrezas y experiencias son necesarios para atacar a esta unidad? ¿Cómo puede modificarse el Contení-

Esquema de trabajoEl punto de partida es un "esquema de

trabajo" que comprenda el contenido que se espera desarrollar en el curso del año. Esto presente, debemos dividir el trabajo en unida­des más pequeñas, definir los tópicos que es­peramos desarrollar en un término escolar, por lo menos para la mayoría de los alumnos de la clase. Para determinar ese contenido, deberemos tener presente en nuestra mente cómo se rela­cionan los tópicos elegidos con el resto del programa académico tratado antes y a qué desarrollos futuros conducen las nuevas destrezas y la comprensión que se logre. Necesitamos considerar las técnicas de enseñanza que se usarán, particularmente las que requieran largas planificaciones. Habrá que considerar también el uso de series radiofónicas o televisivas, la adquisición de elementos para el profesor y los alumnos y, acaso, de posibles libros de trabajo, y arreglar las aulas y las mesas de trabajo de acuerdo con esos planes; asimismo habrá que considerar la obtención de filmes fuera de la escuela. También necesitamos pen­sar cómo evaluar el programa en que estamos embarcados y si, por ejemplo, es adecuado el

de pre-tests al comienzo de la tarea y si ello provocará alguna reacción satisfactoria en­tre nosotros y los alumnos. En algunas escue­las, esta planificación de largo alcance es reali­zada por el jefe del departamento, sólo o en consulta con todo el departamento de mate­mática. Tales consultas pueden resultar muy beneficiosas para todos los implicados, pues es

La habilidad para entender ciencia atañe a todos los ciudadanos, no sólo a algunos. Re­cientemente, hubo una alarma sobre los posi­bles efectos nocivos de la radiación de los

para

equipos de televisión en color. En este caso, una cuestión cotidiana implica dos profundos tópicos científicos: la radiación y la genética mendeliana (probabilidad y coeficiente binómi- cos otra vez). En los periódicos hubo discusio­nes acerca de cuántas partes de bióxido sulfú­rico puede expeler la industria sobre millón eje partes de aire para que no peligre la salud de los habitantes de la ciudad; si el desenvolvi­miento industrial reducirá el contenido de oxí­geno del aire o, más conservadoramente, si el aumento de anhídrido carbónico en la atmós­fera hará que las capas polares se disuelvan y se eleven unos 50 metros por sobre el nivel del mar; el envenenamiento de animales

uso

y se-

2021

I

(1) ¿Qué ensenaré? ¿Qué experiencia estoy preparando para los estudiantes?

(2) ¿Por qué es importante para los alum- aprender estas ideas o tener esas experien-

.do para estudiantes de habilidad variada?' ¿Qué prácticas especiales se pueden realizar con estudiantes débiles? ¿Qué técnicas de en­señanza especiales se pueden usar con ellos? ¿Qué pueden hacer los otros estudiantes cuan­do se dedica preferente atención a los estu­diantes más débiles? ¿Qué medidas se podrían adoptar para los verdaderamente brillantes7

(5) ¿Cuáles son las técnicas didácticas me­jores para esta clase? ¿Cuáles son los puntos de dificultad especial? ¿Cómo enseñé antes estas cosas? ¿Debería cambiar mis enfoques técnicos? ¿Será posible realizar trabajos prác­ticos?

Desarrollar la habilidad de los estudiantes para expresar coherente y efectivamente las ideas matemáticas;

Engendrar investigación independiente y alentar el pensamiento matemático creativo;

Determinar las adquisiciones de los estu­diantes y evaluar la efectividad de la ense­ñanza que han recibido.

ne en cuenta las diferencias individuales, pero afloja los aspectos sociales de la educación, los cuales son mucho más fuertemente subrayados en las lecciones de grupos, e incluso en las lecciones de clase completa.

Entre los tipos de lecciones que se pueden conducir con toda la clase están los siguientes:

noscias?

(3) ¿Es necesaria una introducción y, de serlo, qué forma debería tener?

(4) ¿Cómo deberá elaborarse el cuerpo de la lección? ¿Qué preguntas claves debería ha­cer? ¿Cómo puedo estar seguro de que los estudiantes descubren cosas por sí mismos?

(5) ¿Qué materiales necesitaré?(6) ¿Cuáles son las actividades didácticas

apropiadas? En particular, ¿necesitaré fichas? Si así fuera ¿las tengo en número suficiente y de amplia variedad?

(7) ¿Cómo concluiré la lección? ¿Qué arre­glos son necesarios para ello y para recopilar los resultados?

Al concluir la lección, el docente debería

Lecciones radiodifundidasEstas lecciones pueden basarse sea en la

televisión, sea en la radiotelefonía. En ambos casos, se da una buena ayuda al docente me­diante notas impresas que bosquejan lo sustan­cial del material que se emitirá y, además, frecuentemente se sugiere la forma de prose­guir el trabajo; incluso hay, a veces, folletos para los alumnos en los cuales se indican las tareas posteriores que se deben cumplir. Es esencial que, si una emisión forma parte de una lección, se la considere como parte inte­gral de ella. En particular, el docente debe regular el tiempo, ver si se ha dado una intro­ducción apropiada de antemano y si después hay suficiente tiempo para el comentario y la discusión. Este tipo de lección requiere prepa­ración intensiva, en particular en la ordenación de las notas apropiadas, pues si no se conoce el contenido o el enfoque antes de efectuarse la emisión, el docente puede perder mucha de la efectividad de la experiencia incorporada a la emisión.

Tipos de lecciónObservemos ahora la variedad de tipos de

lección de que se dispone de modo que, defi­nido nuestro objetivo, podamos elegir cuál de ellos por sí mismo o qué combinación de ellos, es lo más apropiado para nuestros reque­rimientos inmediatos. En términos amplios, las lecciones se pueden dividir en tres tipos prin­cipales.

Lecciones de ciase completaHay lecciones en las cuales interviene toda

la clase al mismo tiempo en la misma activi­dad. Con frecuencia es el único tipo de lec­ción que se ve en las escuelas secundarias y esto a pesar de las reconocidas diferencias que existen en los alumnos, tanto en aptitud cuan­to en interés. No obstante, aun en la ense­ñanza"' moderna" hay muchas ocasiones en que la participación de toda la clase es la forma de organización más eficiente.

Lecciones de gruposEn estas lecciones, la clase se divide en

grupos y a cada uno de ellos se asigna un quehacer específico. A menudo, las asigna­ciones específicas pueden ser bastante diferen­tes para cada grupo. Esto puede deberse a que se tienen en cuenta las diferencias de habilidad cuando se refiere a grupos desparejos, o a las limitaciones de equipo, o a los medios para obtener rápidamente una variedad de infor­mación, estadísticas o modelos que posterior­mente usará toda la clase. Es posible disponer que algunos de los mejores estudiantes puedan ayudar en la conducción de esos grupos pe­queños. De hacerlo, aprenderán matemática, aprenderán a comunicarse y ganarán expe­riencia en una función directiva.

(6) ¿Qué materiales requiere esta unidad? ¿Qué libros o revistas suplementarias podrían ayudar a los estudiantes? ¿Cuáles serían los filmes u otras ayudas audiovisuales apropia­das? ¿Existen excursiones adecuadas? ¿Quién podría ser un profesor adecuado para hablar de la unidad en la clase?

(7) ¿Qué tipo de evaluación emplearé? ¿Cuáles son los caminos más adecuados para realizar el contenido de esta unidad en esta clase? ¿Convendría hacer un pre-test?

(8) ¿Qué clase de trabajo debería asignarse a los estudiantes para que lo cumplan por sí mismos? ¿Hay lugar para un trabajo a largo plazo? ¿Pueden los estudiantes aprender in­dependientemente parte de la unidad?

Estas cuestiones sirven para evitar el pensa­miento amorfo sobre los problemas didácticos y ayudan a los docentes a escaparse del libro de texto. Constituyen las bases de desarrollos cuidadosos que deberán llevarse a la práctica mediante los planes de lecciones diarias y la conducta en el aula.

preguntarse:(i) ¿Alcancé mi objetivo? De no ser así

¿por qué no?(¡i) ¿Qué puntos de esta lección debo tener

presente al preparar mi próxima lección?(iii) ¿Ocurrió algo en esta lección que valga

la pena recordar para futuras referencias?El plan de la lección puede adoptar cual­

quier forma conveniente y puede variar su minuciosidad, pero si una lección no fue ade­cuadamente preparada y planeada, raramente dará buen resultado y la evaluación subsiguien­te puede ser más bien desconcertante.

Al responder a las cuestiones básicas. ¿Por qué? y ¿Qué? necesitamos tener presente en nuestra mente algunos de los variados objeti­vos que pueden tener las lecciones específicas. Entre ellos pueden estar uno o más de los siguientes:

Proveer la experiencia inicial en un nuevo campo en el cual se pueda después construir conceptos;

Reunir información, estadísticas o construir modelos que se puedan usar en lecciones sub­siguientes;

Introducir un nuevo tópico, concepto o destreza;

Aplicar las destrezas recién adquiridas en situaciones concretas;

Mantener una habilidad mediante una ade­cuada provisión de prácticas;

Consolidar las ideas ganadas en las lecciones previas;

Analizar una parte del trabajo;Realizar prácticas de traducir problemas del

lenguaje diario al lenguaje de la matemática.

FilmesUn filme puede a menudo servir para un

objetivo muy últil, sea como introducción de un tópico o como foco adecuado para la dis­cusión al finalizar una etapa de trabajo. Pero para su mayor efectividad-, el docente debería haber visto el filme previamente y considerado cualquier comentario que él deseara introducir a medida que transcurre, lo mismo que prepa­rar preguntas específicas a su conclusión.

Los filmes cortos, las tiras fílmicas y otras ayudas audiovisuales también se pueden usar en el desarrollo de un tópico, tratando de proporcionar un nuevo estímulo o motivación para los estudiantes, y pueden formar una parte íntegra de un programa de instrucción individual o grupal o también ser usados para toda una clase.

El plan de la lección diariaLas lecciones bien planeadas dan confianza

al docente, el cual a su vez la trasmite a la clase. Esto asegura tanto el progreso como la continuidad. La forma puede variar, pero en la preparación, el docente debería tratar las cues­tiones tal como lo hizo en la planificación de las unidades, claro está que ahora en la escala temporal de una sola lección, no importa si se trata de un período simple o doble. La lista que sigue trata de ser honradamente prensiva pero pudiera parecer demasiado inti- midatoria para el docente que fuera obligado a usarla. Si así ocurre, puede ser reducida a tres cuestiones básicas: ¿Qué? ¿Por qué? ¿Có­mo? En su forma amplia, las cuestiones las siguientes:

*

*v

com-Lecciones individuales

Hay lecciones en las cuales las tareas se ubican normalmente en fichas de trabajo o usando textos programados. En este caso, los estudiantes trabajan individualmente, o de a dos, a su propio ritmo. Esto, ciertamente, tie-

JuegosEn el comercio se pueden encontrar ahora

muchos juegos, y otros los pueden preparar los estudiantes, todos los cuales pueden pro­

el aprendizaje de la matemática de ma­són

mover

22 23

Entre los lugares adecuados para visitar es­tán las oficinas gubernamentales tales como las oficinas postales, oficinas meteorológicas, cen­tro de desarrollo de caminos, instituciones co­munitarias como museos, centros artísticos, iglesias, empresas de negocios como fábricas, bancos, direcciones de ingeniería, supermerca­dos, centros de transporte tales como aero-

estaciones de ómnibus, oficinas de

pues, que evitar decir los resultados a los ni ños cuando se 'os puede obtener indirectamen te, sea

ñera interesante y entretenida. El uso juicioso de competencias puede también servir de ayu­da para desarrollar destrezas matemáticas. Las presentaciones verbales pueden también consti­tuir una útil introducción de una lección, por ejemplo, el juego "¿Qué número? " El líder piensa en una regla, digamos "Reste 2", invita a varios miembros de la clase a dar sus núme­ros al azar. Dado 17, responde 15, dado 13, responde 11, y así sucesivamente hasta que alguien indica que él cree saber la regla. En­tonces, el lider da un número a esa persona y si la respuesta es correcta, dice "Correcto, entonces ¿Cuál es la regla?" La persona que la descubrió responde y se convierte en lider para la próxima vuelta.

Oradores visitantesLa visita de un orador a menudo da a un

curso sabor distinto e importancia diferente, incluso estimulante. Implica la búsqueda por el docente de una autoridad en la materia para que concurra especialmente a su clase, y esto puede tener grandes repercusiones sobre la motivación y sobre las relaciones estudiante- docente. Una charla de un visitante puede a menudo ser el punto de partida de investiga­ciones individuales y grupales en todo tipo de direcciones y ser así un estímulo para la activi­dad y el desarrollo matemático.

Visitas educativasComo en el caso de los oradores visitantes

las excursiones pueden ser una manera de rea­lizar experiencias educativas vividas que aña­den realismo y placer a las lecciones matemá­ticas. A menudo provocan mejor aprendizaje que otras formas de experiencia eductiva por­que usualmente recordamos las experiencias de viaje mucho más exacta e intensamente que las experiencias de aprendizaje en el aula. Una excursión cuidadosamente planeada es particu­larmente muy adecuada para alcanzar objeti­vos tales como los siguientes: (1) Proveer moti­vaciones para el estudio de una unidad. (2) Enriquecer lo$ aprendizajes matemáticos relacionando el trabajo escolar con situaciones reales de la vida. (3) Proveer materiales espe­cíficos para su posterior uso en el aula. (4) Generar situaciones naturales para el pla­neamiento del trabajo de los grupos y cumplir una función social. (5) Presentar el material en marco natural. (6) Integrar los temas de los diferentes cursos. (7) Proveer los medios para que muchos estudiantes y ciudadanos de la comunidad participen del programa escolar.

algebraicos que generalmente aparecen aquí). Podemos escribir ahora:

Area del sectora través de una sucesión reflexiva de preguntas y respuestas, sea organizando el tra­bajo de manera tal que los resultados se agru­pen de manera de invitar a la conjetura. Algu­nos excelentes ejemplos de esta técnica se pue­den ver en el libre Some lessons in mathe- matics4 editado por T. J. Fletcher y publicado por Cambridge University Press. Allí se intro­duce una variedad de tópicos "nuevos" # me­diante hábiles preguntas, planeando problemas abiertos o por actividades que contengan datos en los cuales se observa una estructura. Esta estructura lleva a su vez a una conjetura, la cual posteriormente puede resultar verdadera o falsa. El hecho es que un proceso tal hace que los niños hagan matemática al hacer su enfo­que activo en lugar de pasivo, constituyén­dose así en fuerte motivación para el trabajo subsiguiente de práctica y consolidación.

El segundo principio se emplea cuando se introduce una idea que contiene una rela­ción que permita dar una cantidad de ejem­plos con términos numéricos simples de modo de dar importancia a la relación, no al cálculo aritmético. Consideremos, por ej-emplo, esta lección bosquejada para hallar el área de un círculo (Véase fig. 1'

= n(lA rb) - x/i r(nb) empleando la ley asociativa

= 'ÁrL(donde L es la longitud del arco)

En esta etapa dénse seis o siete cálculos rápidos en los cuales los valores de r y L sean tales que la relación se aplique inmediatamente, así se gana confianza para obtener resultados correctos, esto es: r— 2; L = 3jrr =6, L = 8; r = 4; L = 5, r = 5, L = 6, etc.

Ahora bien, para un valor dado de r diga­mos 7, L crece gradualmente (todavía usamos valores simples) hasta, eventualmente, L = C, la circunferencia del círculo (Fig. 2)

puertos,carga, servicios públicos, tales como centros telefónicos o compañías eléctricas de gas o deagua.

El éxito de una visita depende de un ciuda- doso planeamiento. Un planeamiento exitoso requiere una excursión apropiada, hacer los arreglos necesarios, cuidar la supervisión e idear adecuadas actividades para realizar. Es importante que el docente ayude a los estu­diantes a identificar o descubrir los aspectos matemáticos de lo que ven, aspectos que debe­rían vincularse con lo aprendido en el aula.

Considérese, por ejemplo, la visita a un banco. La función del docente sería la de proveerles de una guía que podría incluir lo siguiente:

•IV

(1) Un diagrama de flujo de cómo se proce­sa un cheque.

(2) Asuntos relativos al uso de calculadoras y computadoras.

(3) Ilustraciones de tablas de interés y com­paraciones de los diferentes tipos de inversio-

Fig.2

Luego: Area de círculo = xh r C Pero:De modo que Area del círculo = Vi r (2 7r r)

= 7T r2Usese de nuevo este resultado tomando

7r = 22/7 y r = 1, 2, 7, 14; y luego 7T = 3, 14 y r= 10, 20, 5. Sólo usaríamos valores de r más difíciles cuando la fuerza se traslada de la comprensión de la relación a su uso en situaciones reales.

Un tercer principio indica que si un docen­te decide usar el mismo enfoque para un tópi­co semejante al indicado, no empleará precisa­mente los mismos valores numéricos que en el ejemplo dado. Lo que ocurre es que algunos estudiantes seguirán la explicación del docente y entonces el ejemplo dado se cumplirá dos veces como experiencia. Aparecerán las seme­janzas esenciales aun cuando se observarán las diferencias. La abstracción de los principios pro­viene de una variedad de experiencias. Si hay sólo un ejemplo, la abstracción es virtualmente imposible.

ConsolidaciónDespués de introducir un tópico debe haber

C = 2 7rrnes.

(4) Información sobre lo que se requiere de un cliente para obtener facilidades crediticias.

(5 Preguntas acerca de las oportunidades de empleo y condiciones necesarias. Sin una guía como la indicada, la matemática podría ser descuidada.

Introducción de un nuevo tópicoMuchas de las actividades citadas hasta

aquí pueden parecer subsidiarias, pero si se les agrega variedad e interés no se recarga mucho el trabajo principal del curso referente a la introducción de nuevos conceptos, su con­solidación, la elevación del cuadro de destre­zas, con lo que se asegura una revisión cabal y completa. Estos aspectos del trabajo del deben siempre ser tenidos en cuenta si adopta­mos

LFig. 1

i Primero pídase a cada niño que dibuje un sector circular y lo divida en "triángulos delga­dos" y luego dibuje "bases rectas". Se verá que el arco de círculo corresponde muy estre­chamente a una sucesión de cortos segmentos de recta. Luego, mediante preguntas adecua­das, establezca que si ese sector se divide en n triángulos cada uno de base b, el área de cada triángulo es Vurb. El área total del sector es entonces n{xÁrb). (Nota: Para algunos estudian­tes se usarán números reales en lugar de los

curso

la clase completa, los métodos grupales o de instrucción individualizada; se trata de prin­cipios básicos comunes para todos.

El primero es la idea de tratar en lo posible de hacer que los niños "descubran" mismos los nuevos conceptos o procesos. Hay,

por sí

25j 24

i

En la fig. 4 se dan dos posibles conjuntos de fichas. Si las fichas se usan regularmente, los estudiantes por sí mismos pueden disponer el tiempo para ver cuánto emplean para reali­zar todas las fichas y luego tratar de progresar

lapso. Si se desea, el estudiante puede

usar individualmente un gráfico de tiempos.Otra técnica útil para pares de estudiantes

es la técnica de las fichas relámpago. Las fi­chas son diseñadas con las preguntas en una cara y las respuestas en la otra (ver fig. 5). Los estudiantes trabajan de a pares. Las fichas son

ción implica el uso de un programa de apoyo, Esto requiere seleccionar las habilidades que se deben conservar; luego asegurarse de que la práctica no es demasiado concentrada sino que recurre a intervalos crecientes y a cantidades decrecientes. Esto exige que, luego de una primera introducción, la consolidación de una destreza particular raramente ocupe más de una lección completa. Una adecuada distri­bución del tiempo deberá preverse en las uni­dades y en los planes de lecciones diarias. Idealmente, cualquier práctica debería incor­porar detalles de diagnósticos y, de ser posi­ble, diagnóstico por el propio alumno. Pueden interesar dos detalles:

El primero de ellos es la técnica "dominó" en la cual se hace un juego de fichas que están divididas en dos partes, una de las cuales es una pregunta y la otra una respuesta. La ¡dea es escoger alguna ficha, leer la parte de pre­gunta de esa ficha, encontrar la respuesta en otra ficha y colocarla junto a la anterior (co­mo en el juego de dominó). Esto origina una segunda pregunta y así sucesivamente.

un período de consolidación. Esto implica que los estudiantes darán ejemplos de su propia cosecha empleando la nueva técnica o princi­pio. Estas lecciones son las menos estimulantes para los observadores exteriores, pero son ab­solutamente esenciales. La lección normal es una introducción que consiste en una revisión rápida del trabajo previo y algún comentario sobre la necesidad de la práctica, precisión y rapidez, y luego la formulación de nuevos ejemplos. En esta etapa, por supuesto, se debe asignar cierta importancia a las diferencias in­dividuales planteando cuestiones de grados de dificultad variables e introduciendo fichas de trabajo sea de naturaleza terapéutica para los estudiantes flojos, u otros ejemplos de natura­leza normal para los estudiantes medios, u otros de más pretensiones para los estudiantes brillantes. Cuando los estudiantes trabajan, el docente recorrerá el aula, ayudando si fuera necesario y marcando como ejemplos correc­tos a los que así lo sean. Esto da satisfacción y confianza al estudiante.

En el caso de las habilidades, la consolida-

¡en ese

REVERSOANVERSO

Sume+6 -2—8 Reste

+14

iFig. 5\

nos. Al comienzo de cualquier curso sólo el docente conoce realmente la interrelación en­tre todos los tópicos incluidos en él. Hacia el final, cualquier estudiante debería poder hacer lo mismo. Muy a menudo, la revisión se hace más efectiva si se emplea una estrategia o enfoque diferente a la de la introducción ini­cial de modo que el material, aunque no nue­vo, sea todavía fresco. Esto, nuevamente, colo­ca sobre el maestro la obligación de buscar constantemente nuevas estrategias y enfoques.

Discusión en ia ciase dirigida por estudiantes

Como alternativa de la presentación por el maestro, periódicamente es útil (especialmente en los períodos de revisión) pedir a los estu­diantes que conduzcan la clase en algunos as­pectos del trabajo. La participación de los estudiantes también se puede alentar pidién­doles que redacten informes individuales o proyectos en grupo, mostrando modelos que han construido y que algunos informen sobre el material enriquecedor que han preparado individualmente. Hay, en efecto, muchas ¡deas matemáticas excelentes y excitantes para la discusión que no están en los libros de texto comunes-tópicos tales como los incidentes his­tóricos, las aplicaciones, los vuelos espaciales, la teoría de juegos. Hay un creciente número de libros con sugerencias para este tipo de trabajo que podría capitalizarse.

Lecciones prácticasAun cuando a veces sea correcto realizar las

barajadas y un estudiante actúa como interro­gador haciendo las preguntas a su turno. El otro replica y el primero, una vez que sabe si la respuesta es correcta o no, la escribe en la cara que está frente a él. Cuando se han reco­rrido todas las fichas, ellas son barajadas y se cambian los papeles de ¡nterrogador y respon-

Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta1n 1 2 2 3i i dedor.

I Las destrezas elementales tanto de la arit­mética como del álgebra se pueden practicar muy eficientemente de esta manera, y el tra­bajo de recuperación se puede cumplir sin interrumpir al resto de la clase. También exis­te la ventaja psicológica de que no se registran los errores.

Fig. 3

(Véase fig. 3). La última pregunta (la nsima) debería tener como respuesta la parte de res­puesta del primer dominó. Si así no fuera.

CONJUNTO A

entonces hay un error. El material, pues, corrige por sí mismo.

se

CONJUNTO B Lecciones de revisiónDe tiempo en tiempo es necesario revisar el

trabajo y refrescar la memoria de modo que no se olvide lo aprendido y se encuentren conscientemente los vínculos entre los diferen­tes aspectos del trabajo, especialmente los que previamente pudieron parecer fio relacionados. Estos aspectos de la revisión son muy impor­tantes. El primero —conservar los resultados recientes en la mente— implica que las leccio­nes de revisión deberían realizarse con mayor

i frecuencia de lo que ocurre hoy y, cierta- 'mente, en mayor cantidad que una por térmi- |no o por año. Muchos de los mejores libros de texto dan material para que se lo haga en la proporción debida. El segundo —volver cons­cientes los vínculos— es de máxima importan­cia para la educación matemática de los alum-

3xy* l (xy)(2xy) 2xy | xy.3x + 141a ficha3xy | y.x\y\2 2xy\(2xi)(3y*) +2 + +9 + +7 =

+ 18 2a ficha+ 2 + “9 + + 7 =

0 3a ficha- [~2 + “9 + +7 =

*xy3\(2xy)(2xy)\ [~4*y | y3(3xy)

Obsérvese que la pregunta de la última ficha se enlaza con la respuesta de la primera ficha, y que dos respuestas no son las mismas. “14

n ficha“2 + +9 - -7 =

bn este conjunto, las fichas están divididas horizontalmente en lugar de verticalmente.

Fig. 42726

I

Se observará que el número de fichas es una vez y media el número de fichas reque­ridas por los grupos y que el objetivo primario es que cada grupo, en el curso de una serie de

lecciones, tenga oportunidad de usar dada tipo de aparato A, B, C, D, E y F.

El docente preparará una matriz como la siguiente:

1 tornillo micrométrico.2 calibres.Papel gráfico métrico.Podemos entonces diseñar un conjunto do

fichas.A1, 2, y 3, relativas a la medición de obje

tos, por ejemplo, en edificios, que requieren el uso de cintas métricas.

B1, y 2, relativas al peso de objetos especi­ficados.

C, relativa al peso de cada miembro del grupo en kilogramos y hallazgo del peso pro­medio del grupo.

D1, 2, y 3, relativas al volumen, sea a la capacidad directa de diversas latas, etc, o indi­rectamente usando desplazamientos.

E, usando el tornillo micrométrico.F1, y 2, relativas al uso de calibres —acaso

asociando esto con una investigación de los diámetros y circunferencias de diversos objetos circulares, o a distancias entre lugares en los mapas.

Cada ficha dirá:(1) ¿Qué equipo se necesita?(2) ¿Qué medición se debe hacer?(3) La forma de cualquier informe que se

requiera.(4) Si se requiere algún trabajo gráfico o

cálculo.

lecciones prácticas como lecciones de clase completa, usualmente es mucho más natural dividir la clase en cierto número de grupos. En los casos más simples, cuando el número de grupos es bastante pequeño, digamos tres o cuatro, las instrucciones para cada grupo se pueden dar verbal mente; pero, usualmente, es mucho más efectivo y más útil poner en circu­lación fichas de trabajo en grupo. Así ocurre porque, en primer término, ello asegura que las instrucciones son explícitas y, en segundo tér­mino, porque se prepara el camino para un procedimiento mucho más radical: la puesta en circulación de fichas de trabajo individuales.

Una situación típica en la cual son desea­bles de seis a ocho grupos, se refiere a la medición cuando se dispone de un limitado número de aparatos y, sin embargo, es muy importante que todos tengan oportunidad de ver, manejar y usar una diversidad de los mis­mos. Por ejemplo, en una serie de lecciones sobre mediciones métricas, deseamos dar a los estudiantes experiencia con las unidades métri­cas de longitud, área, volumen y peso. Dispo­nemos de lo siguiente:

3 cintas métricas de 50 metros.2 balanzas con conjuntos de pesas de hasta 1

kilogramo.1 conjunto de básculas métricas (básculas

de cuarto de baño).Cilindros para medir marcados en mililitros.

TAREAS SOBRE MEDICIONES METRICAS

A 2A 1 F 2A 3 B 1 E F 1B 2 D 2 D 3C D 1

N/Grupo I

\/Grupo II

\/Grupo III

Grupo IV

\/Grupo V

\/Grupo VI

)(problemas que requieren pensamiento inde­pendiente y a menudo original) surge natural­mente de la investigación. Para muchos estu­diantes, sin embargo, la resolución de proble­mas tiene una connotación muy diferente. Los problemas son enfrentados mentalmente por ellos con destrezas man ¡putativas. Hay cuestio­nes que se expresan más bien con palabras que

símbolos matemáticos; aquí, la mayor fuente de dificultad se encuentra en el lengua- ge, esto es, en la traslación del juicio original del idioma cotidiano a los juicios matemáticos correspondientes. Es útil, por tanto, de tiempo en tiempo, realizar "sesiones de traducción" para establecer cómo 'escribir las ecuaciones adecuadas y dejar la solución para otro mo­mento. La función del matemático es clara­mente interpretar los datos y escribir las ecua­ciones.

Al comenzar a trabajar con fichas se las puede distribuir como se lo indica en la con­tramarca con la instrucción de que al concluir el trabajo indicado^ en la ficha y registrar en los cuadernos de ejercicio individuales, tanto los cuadernos como las fichas deben ser de­vueltos al maestro.

Supongamos que el Grupo II concluye pri­mero y presenta su trabajo.

Se le puede entonces asignar, digamos, D2, y colocar una raya en la marca (>)í) sobre B1 para indicar que esa tarea particular ya ha sido completada. De esta manera se mantiene ocu­pados a todos los grupos durante todo el tiem­po, pero los grupos más capaces completarán más tareas en un período de tiempo. Además, el maestro podrá ayudar más a quien lo nece­site (probablemente con el tornillo micromé­trico). En los cursos aptos todos los grupos llegarán a emplear los seis tipos de equipo.

Puede observarse que los resultados desde C se pueden reunir para hallar el peso promedio de toda la clase. Esto podría provocar dos situaciones diferentes: (i) aquélla en que cada grupo tiene el mismo número de niños, o (i¡) aquélla en que algunos grupos tienen dife­rentes números de niños. El segundo caso da­ría lugar a ideas de medias ponderadas, mien­tras que el primero puede ser considerado como muestras para acercarse a la media de la población total (p. e., toda la clase).

Resolución de problemasUn aspecto de la resolución de problemas

Un ejemplo de una ficha tal se da en la config. 6.

MEDICIONES METRICAS FICHA A 1

(NO ESCRIBA EN ESTA FICHA)

i

Ud. necesitará: una cinta métrica de 50 metros, papel gráfico centimétrico. ¿Qué hacer?

(1) Medir el largo y el ancho del aula en metros (hasta el centímetro siguiente).

(2) Registre resultados en su cuaderno de ejercicios de esta forma: FICHA A 1 Largo del aula =

Ancho del aula =(3) Haga un dibujo del piso del aula en la escala de 1 cm para representar

1 metro.(4) ¿Cuál es el área de su dibujo en escala en centímetros cuadrados?

¿Cuál es el área del piso del aula en metros cuadrados?

La lección de comunicaciónSi bien la "traducción" es un aspecto im­

portante del lenguaje en matemática, existen otros. Por ejemplo, muchos estudiantes care­cen de habilidad para escuchar, leer y estudiar. Esto indica que debemos preocuparnos para que adquieran esas habilidades que son esenciales para el aprendizaje independiente de la ma­temática. Para ello, debemos dar preeminencia a la participación estudiantil en las discusiones en el aula. Cuando está hablando un estudian­te, los otros deben ser animados a prestar atención a lo que se está diciendo; hay que corregirlos y mejorar los juicios hechos, cues-

metrosmetros

;|

Fig. 6: 29

■ 28i

tionando los que no sean claros, anticipar los argumentos que ha de emplear el orador y reflexionar sobre lo que se ha discutido dentro y fuera del aula.

Individualmente, se debe lograr que el estu­diante adquiera conciencia de la unidad de los juicios matemáticos, de su vocabulario especia­lizado, de la potencia del simbolismo matemá­tico, de la precisión y concisión de las diversas definiciones, del uso matemático de vocablos comunes como conjunto, gmpo, base, irracio­nal, real. También debería comprender cómo se depende frecuentemente de las raíces lati­nas y griegas. Cuando sea posible, estas raíces deberían subrayarse, por ejemplo polígono, poliedro y relacionarse esto con el uso no matemático en términos como po//gamia; de la misma manera ó/nomio, ó/mensual, ó/sector, ó/cicleta. Sólo tomando estas cosas objetiva­mente podemos ayudar a manejar los térmi­nos. Las cosas ocurren así: primero las pala­bras se oyen con comprensión, luego se leen, después se las emplea para hablar y sólo final­mente para escribir.

Si tratamos que los estudiantes escriban jui­cios correctos antes de que hayan manejado las ideas adecuadas o las hayan expresado cla­ramente en forma verbal, muy bien podemos llegar a confundirlos.

introducir en los horarios semanales por lo me­nos una clase de doble período.

El segundo es que es un principio sensato de la organización del aula el instituir procedi­mientos para realizar con eficiencia y a menu­do acciones repetidas. Recoger los trabajos de los alumnos y devolvérselos adecuadamente corregidos es de máxima importancia.. No importa tanto cuál sea el procedimiento siem­pre que sea rápido, eficiente y sencillo. Me ha resultado útil solicitar a los estudiantes que dejen sus cuadernos de ejercicios abiertos en la página en donde ha comenzado un nuevo tra­bajo; en clases formales (en filas) solicitar al estudiante que ocupa el lugar final de la fila que recoja todos los cuadernos de su fila; en grupos informales, se nombra a uno de sus miembros. Cuando examino el trabajo para nivelar, corregir o asesorar, conservo los cua­dernos en las mismas pilas de modo de poder devolverlos con el mínimo de bullicio y pér­dida de tiempo. Pocos minutos ahorrados dia­riamente representan bastante en un año ente­ro. De la misma manera, deberían idearse pro­cedimientos para la entrega y devolución de aparatos.

INTERDISCIPLINARIDADDropiedades matemáticas

de las magnitudes físicasG. GARIKIAN

(Bélgica)

IntroducciónLa matemática, y muy especialmente la ac­

tual, se preocupa más por las relaciones entre los elementos que emplea que por los elemen­tos mismos. Así, por ejemplo, el matemático no ha debido definir al punto para construir la geometría. De la misma manera, no es necesa­rio poder definir una magnitud física para estudiar sus propiedades matemáticas. Sólo se deben precisar las propiedades relaciónales en­tre esos objetos y no se puede negar a una teoría tal el ser rigurosamente correcta.

Es, pues, un error considerar que las magni­tudes físicas no interesan más que las prácti­cas, pues las relaciones que se establecen entre ellas para definir operaciones surgen de la ma­temática pura y no de sus aplicaciones. Para estudiar esas estructuras operatorias, el mate­mático despoja a las magnitudes de su aspecto físico y las considera como entes abstractos provistos sólo de las propiedades que le inte­resan, de la misma manera que se ha ideali­zado a las figuras para construir la geometría.

Al distinguir números y cantidades, multi­plicación interna y externa, se echan las bases de una enseñanza estructural del cálculo. Se podrá así dar una visión correcta del número el cual, pese a un error muy difundido, no es una abstracción de la noción de cantidad, sino el resultado de la comparación (o razón) de pares de estas últimas.

Por otra parte, gracias a las cantidades con­cretas se ha mantenido el contacto con la realidad física, lo que evita el peligro de ver a la matemática alejarse de las otras ciencias.

Además, el cálculo de cantidades, poniendo mejor en evidencia las propiedades de las ope­raciones, permite efectuarlas más inteligen­temente y escapar al peligro de "acondiciona­miento", cosa que particularmente se debe temer en una enseñanza basada exclusivamente sobre el cálculo numérico, en el cual el meca­

nismo demasiado familiar encubre las estruc­turas.

Ya he mostrado en otro artículo que las cantidades conducen a menudo a estructuras algebraicas importantes, particularmente las del espacio vectorial.

Pero si los matemáticos y los pedagogos se han preocupado frecuentemente en estos últi­mos años por dar un fundamento sólido a la enseñanza del cálculo numérico, prácticamente se ha descuidado a las magnitudes.

Ahora bien, gracias a la noción de multipli­cación externa es ahora posible caracterizar a las cantidades desde el punto de vista geomé­trico y edificar un verdadero cálculo intrín­seco de estas últimas. Es el objeto de este trabajo.

Así, en grandes líneas, las cantidades de materia, el tiempo, las velocidades, las longitu­des, las fuerzas, etc., pertenecen a "magni­tudes", puesto que se las puede duplicar, tri­plicar, etc., vale decir, definir la multiplicación externa (denominada también escalar) por un número entero. En desquite, el color no es una magnitud. (Señalemos que en ciertos ca­sos: potencia!, temperatura, etc., es necesario considerar las diferencias).

Las magnitudes son, pues, los elementos sobre los cuales actúan los números. Son ellas las que justifican la importancia de estos últi­mos e impiden que el cálculo numérico sea un juego arbitrario del espíritu.

La dificultad que experimenta el alumno para comprender verdaderamente la naturaleza de los números es imputable en gran parte a la penosa confusión que a menudo existe en-

!

SíntesisEsquemas totales de trabajo, planes de uni­

dades intermedias, planes de lecciones diarias, todo sigue el esquema básico: fines y objeti­vos, contenido, estrategia, método, materiales y evaluación. Los métodos deben variar según las necesidades y habilidades de los estudien- tes, las etapas de aprendizaje y la matemática que se debe enseñar. Un buen programa de instrucción contendrá algunas lecciones de cla­se completa, otras se impartirán a grupos de estudiantes y otras, finalmente, se basarán en las necesidades y habilidades individuales. Se debe prever, por lo menos, una lección doble semanal para incorporar ciertos tipos de lec­ciones que son deseables y que requieren que se les asigne un tiempo prolongado. También se deben emplear procedimientos para recoger y devolver los trabajos de los alumnos, recoger y devolver los aparatos y cualquier otro pro­ceso que evite innecesarias pérdidas de tiempo en actividades no esenciales.

ORGANIZACION DE LA CLASE

Organización de la claseHabiendo examinado las posibilidades que

existen acerca del tipo o tipos de lecciones que podemos emplear, debemos preocuparnos, muy brevemente, por ciertos temas de organi­zación.

El primero es que cierto número de los tipos de lecciones que hemos bosquejado —tra­bajo práctico, investigación, experimentos, trabajo en grupos, tareas individuales— requie­ren realmente períodos de tiempo consecu­tivos mayores que el usual de 40 a 45 mi­nutos. Como estas actividades son aquellas a través de las cuales se espera alcanzar todos los objetivos referentes a actitud y desenvolvimien­to personal y social, parecería deseable tratar de

* Ese artículo se publica en el N° 1 de "Mathemati- que et Pédagogie" nueva revista de la Societé Belge des Professeurs de Mathématique a la que augura­mos éxito. Estimamos que el articulo será muy útil para los docentes latinoamericanos que se de­dican a ambas disciplinas.

3130■

I

sí y deben poseer propiedades características que ahora precisaremos.

Señalemos en primer término que en el lenguaje corriente se usa el término cantidad tanto para el conjunto como para sus elemen­tos. Así se dice: una masa de 5 kg que repre­senta en efecto un estado de la cantidad masa. Para mantener la simplicidad y evitar dificulta­des nos conformaremos con ese uso, pero ca­racterizaremos al conjunto con una mayúscula y al elemento con una minúscula.

Por razones de claridad, usaremos en esta exposición los signos ® y © para designar respectivamente a la multiplicación escalar y la adición de las cantidades para -evitar confun­dirse con la multiplicación y la adición numé­ricas, representadas como habitualmente por X y +.

Entiéndase bien que esto no significa que sea necesario imponérselas a los alumnos a pesar de que la distinción pueda ser útil al comienzo para hacerles comprender que se tra­ta de leyes diferentes.

IgualdadPor ejemplo, .para que la definición de Masa

tenga sentido, es necesario poder reconocer si dos cuerpos tienen la misma masa o no. Hay, pues, una relación de equivalencia en la base de la definición de toda magnitud.

Multiplicado*) escalar■Criisro ctxrúr*Toce Vé’ víiC -.s puede multiplicar por un

número evQ3"j ttótmEjemplo: 2 cm' **3 = 6 cm3.Recordemos que es una operación externa

pues el multiplicador no pertenece a la magni­tud considerada

tre estos últimos y las cantidades. Esto se debe al hecho de que raramente se pone en evidencia la diferencia de estructura entre mul­tiplicación interna y externa.

Multiplicación internaEjemplo: 2X3 = 6 número X número = número

regular y en el segundo que es invariante para la multiplicación escalar.

tudes para las cuales existe la noción de sen­tido (el tiempo, las cantidades adquiridas o vendidas, etc.), o también aquellas que se pue­den fraccionar (cantidades de tartas, capaci­dades de líquidos, etc.).

La multiplicación de cantidades es una ope­ración asociativa, es decir el resultado no de­pende de la manera de agrupar los términos.

Ejemplo: duplicar y luego triplicar un volu­men equivale a multiplicarlo por el producto numérico 2X3

Adición de cantidadesEs una operación interna pues los dos tér­

minos y su suma pertenecen a la misma mag­nitud.

Ejemplo: 2 kg © 3 kg = 5 kg Conmutatividad

El resultado no depende del orden de los tér­minos

Ejemplo: 2 cm © 3cm — 3cm ®2 cm Asociatividad

El resultado no depende de la manera de agrupar los términos

Ejemplo: (3cm © 2cm) ©4 cm == 3 cm © (2 cm © 4 cm)

Es decir: 5 cm © 4cm = 3cm©6cm Distributividad

La adición y la multiplicación no son inde­pendientes una de otra. Están ligadas por la propiedad de distributividad que puede expre­sarse así: "La multiplicación se distribuye so­bre la adición". (La recíproca no es cierta).1er caso) La adición lleva sobre las cantidades

Ejemplo: (2 kg ® 3 kg) © 4 == (2 kg €> 4) ® (3 kg ® 4)Representemos gráficamente:

A ® 2

wFig. 1©(***>

Los dos factores son de la misma natura- leza; esos factores y el resultado pertenecen al mismo conjunto

Multiplicación externa Ejemplo: 2m X 3 = 6m longitud X número = longitud

Fig. 4

Se tiene, pues: [1 cm3 ® 2] ® 3= 1 cm3 ® [2 X 3]

Es decir: 2 cm3 ® 3 = 6 cm3.Como aquí intervienen los dos tipos de

multiplicación ® y X, a esta propiedad se la califica como asociativa mixta.

En general, para toda cantidad g y los nú­meros m, n2:

(g ® nj ® n2 =g ® (m X n2)(Cuando hay peligro de confusión, escribi­

remos las cantidades en bastardilla para distin­guirlas de los números).

Además, por la conmutatividad de la multi­plicación numérica se tiene:(g ® nj) ® n2 =g ® (nx X n2) == g ® (n2 X n^te © n2) ®- ni

Ejemplo: 2 kg ® 3 = 3 kg ® 2Finalmente, caracterizaremos también a las

cantidades por las dos propiedades siguientes:1) Si se multiplican dos cantidades distin­

tas por un mismo número operador no nulo, se obtienen siempre resultados distintos.

Así, si a y b son dos elementos cualesquie­ra distintos de un conjunto G de cantidades, para todo operador s =£ 0 se tiene

a ® s=Éó ® sMatemáticamente se dirá que la aplicación

engendrada por s es inyectiva.2) Los múltiplos de una misma cantidad

son todos distintos o todos ¡guales; se dice en el primer caso que la cantidad considerada es

<5^Los dos factores son de -naturaleza diferen­te. Si el multiplicando y el resultado pertene­cen a! conjunto de las longitudes, el multipli­cador es un número, exterior por tanto a ese conjunto.

Observación. Los físicos usan a menudo un tercer tipo de multiplicación: el de una can­tidad por una cantidad. En ese caso, el resul­tado pertenece siempre a un nuevo conjunto engendrado por esa operación.

Propiedades matemáticas de las lugrwtudbj

Der "magnitud" a todo conjun­to xn

te ígjzfásri;2^ tjra 9/ rJe opmMtn externa (multipli-

S' OO* '?/ 'te"¿i "ÁEsK O'X 'fO ‘SS Videpfc' id.e'

©4

C Oria*

Fig. 53.

volumenSe ve que la multiplicación escalar respeta la adición de cantidades.29 caso) La adición lleva sobre los números multiplicadores.

Fig. 3

Señalemos que existen diferentes tipos de magnitudes y que para muchas de ellas la multiplicación escalar se puede extender a otros operadores numéricos distintos de los enteros positivos. Son, por ejemplo, las magni-

Ejemplo: 4 kg ® (2 + 3) = = (4 kg ® 2) © (4 kg ® 3)

22 33:

multiplicación escalar; en efecto, siendo g una cantidad cualquiera de G: 0 = g ® 0.

Se tiene, pues, para todo multiplicador s:

O ®sj= (g ® O) ® s — g ® (O x s) g ® O = Ob) la cantidad nula es neutra para la

ley © pues para toda cantidad gE G se tiene:0©O=Sr®1+0®O = 0®(1+O)

=g® 1 =g = 0 ®gc) si g ® s = O y s * o, entonces g = O.

pues g ® s = O 0 sde donde g = O siendo la operación inyectiva.

d) si g ® s = O y g * o, entonces s = o pues sino sería g = 0 por el caso anterior.

Todo esto muestra que las condiciones que hemos postulado para definir la estructura de magnitud, en particular la de inyectividad de las aplicaciones de la multiplicación escalar (para cada operador no nulo) son suficientes para edificar una teoría coherente. El objetivo era generalizar ¡a noción de espacio vectorial investigando lo que es fundamental, de manera de no retener más que lo que parece ser co­mún a la generalidad de las magnitudes físicas.

De modo que, por más que la noción de orden esté presente a menudo, no la hemos considerado pues los vectores de un espacio de más de una dimensión, tales como las fuerzas y las velocidades, no pueden ser ordenados.

Igualmente, la existencia de magnitudes cuantificadas (por ejemplo, las cantidades de objetos no fraccionables) no permite imponer la continuidad.

Morfismo de las magnitudes proporcionalesEjemplo: consideremos un móvil animado

de una velocidad constante de 60 km/h. Hay evidentemente proporcionalidad directa entre la distancia recorrida y el tiempo:

Se ha establecido así una correspondencia funcional f entre .esos dos conjuntos de canti­dades, tal que si se duplica, triplica, etc., a una, o si se toma la mitad, el tercio, etc., en una palabra, si se la multiplica por un número dado, la otra queda multiplicada por el mismo número.

La multiplicación escalar está, pues, con­servada.

Señalemos que f también respeta la ley de adición de las magnitudes.

En efecto:

Ejemplo:1602 corresponde a

3 corresponde a 2X3 = 6 corresponde a

240480* 160 X 240

Es preciso no cometer el error de confundir una cantidad con su medida. Esto se explica por el hecho de que el número no es una abstracción de la noción de cantidad (contra-

Fig. 6

Este caso vincula la ley + de la adición de números con la ley © de la adición de canti­dades.

Se puede pues determinar a una cuando se conoce a la otra.

Un ejemplo característico es el uso de las regletas Cuisenaire para el aprendizaje del cálculo numérico. El niño (que todavía no sabe calcular) determina la suma por un fenó­meno físico (o geométrico): la puesta en coin­cidencia de las regletas.

En este ejemplo, la ley que se define es la ley ©.

La ley + de la adición de los operadores se deducirá de la fórmula de distributividad.

Por ejemplo, en el caso presente se podrá escribir:

riamente a una ¡dea muy difundida) sino el resultado de la comparación o razón de piares de estas últimas.

2 mAsí, de 2 m = 10 cm.® 20 se obtienePero 2= 10 x I

5La siguiente presentación es, pues, grave­

mente defectuosa

= 2010 cm1 h corresponde a 80 km

2 h corresponde a 160 km3 h corresponde a 240 km

Hay así transferencia de estructura (los ma-. temáticos dicen morfismo) entre esos dos con­juntos).

Se observa cuán interesante es esta visión para explicar la noción de proporcionalidad que implica la conservación de la razón, es decir, del operador de la multiplicación esca­lar. Gracias a ella, ha sido posible llevar la cuestión de las magnitudes proporcionales al alcance de niños de 7 años.

Señalemos el grave inconveniente que repre­sentaría reemplazar las cantidades por sus me­didas:

0Fig. 8

Magnitudes inversamente proporcionalesSe trata de un morfismo que invierte la

multiplicación escalar.Ejemplo: el tiempo necesario para recorrer

una distancia de 180 km es inversamente pro­porcional a la velocidad.

Observemos que, entonces, ya no se conser­va la adición.

2 cm © 3 cm = 1 cm ® 2 © 1 cm ® 3 = 1 cm ® (2 + 3) De donde 5 cm = 1 cm ® 5 = 1 cm ® (2 + 3)

5 = 2 + 3

pues 1 cm es elemento regular para la multipli­cación escalar. Medida de la distancia

(en km)Medida del tiempo

(en h)Complementos para los matemáticos10 Operador neutro.Demostraremos que 1 es neutro para la

multiplicación escalar.En efecto, si s es un número operador no

nulo, se tiene para toda cantidad g:

($r®1)®S = <7®(1 X s) = 0 ® S9 ® 1 = g

sino, la aplicación " ® " no sería inyectiva.Esta demostración fluye de las tres propie­

dades siguientes: asociativa mixta, inyectividad de las aplicaciones para los operadores los y el hecho de que 1 sea neutro para la multiplicación numérica.

801160248062403

640080

___^ UW

©3 JhEn primer término, las medidas no consti­tuyen en realidad más que un solo conjunto,

siempre números. La representación que se ha dado aquí corre el peligro de sem­brar la confusión en el espíritu de los alumnos sugiriendo que los números que miden el tiem-

de la misma naturaleza que los que

C..*8obwv —

--

ik*.___Luego

$2 pues sonakjL_-_ - -

©3no nu- L. - .vwofcn po no sonmiden la distancia. Además, el número 80 estaría representado por dos puntos diferentes, lo que está en contra de las convenciones de los diagramas conjuntistas.

Finalmente, es inexacto desde el punto de vista matemático, pues se trata de un mor­fismo de cantidades y no de números. En efecto, es fácil ver que la multiplicación inter­na numérica no se conserva.

- - - TiempoVelocidadFig. 9©i A2o Cantidad nula.

Postularemos que para toda Magnitud G cada uno de sus elementos puede ser multipli­cado por 0 y que el resultado única: 0E G (cantidad nula).

Demostremos

Aplicaciones en el curso de física1o Un móvil recorre 72 km en 48 min. De­

terminar:

m\2kobw.

es una cantidad

sus propiedades principales: a) la cantidad nula es invariante para la

a) su velocidad en km/h;b) el tiempo empleado para recorrer

18A77?.

1

Tiempo DistanciaFig. 7

3534

> ■■

man según la siguiente ley: si a y b son las medidas de dos velocidades, su suma tiene por medida

30 72/....ÍSfcm

RitnM2E13=Ty 1 ® 1 =37-Y-+-*

a + b Si entonces las medidas de las velocidades se escriben como números reales (a lo sumo ¡guales a c), su conjunto está estructurado por una ley de adición diferente (por eso se ha empleado el símbolo El ). Debe observarse que esta nueva adición depende del patrón de medida elegido.

La enseñanza actual del cálculo numérico no da, pues, más que la posibilidad de com­prender el mundo de la mecánica de Galileo, es decir, tal como se la concebía en el Renaci­miento, mientras que el estudio estructural de las magnitudes se adapta verdaderamente al espíritu de la física moderna.

Por tratarse de un dominio que concierne tanto al matemático como al físico, sería de­seable que el estudio de Ia estructura de mag­nitud encuentre el lugar que le corresponde en los programas de enseñanza. Esto permitiría la coordinación que vivamente esperamos ver es­tablecida entre los cursos de matemática y de ciencias.

*19/MW* 1 + ab/c2Úfl}r

<~-i,••••]m m mes donde c es la medida de la velocidad de la luz en el vacío.

Tomemos como patrón de medida ?= 50.000 km/s.

La velocidad a se indica con ae! Es necesa­rio no confundir, por ejemplo, 2e y T © e. En efecto, por la fórmula de Einstein, la medi­da de ? © ÍT es

1 + 11 + 1/36 37

Luego e ®~e = ?®"e =

Lo mismo: 2"e © 3”?= 30/7 e" pues 77"-1 + 6/36

<$V*<8*o f6*?COtni*

Variaciones de temperatura

Cantidad de calorDistanciaTiempo

Fig. 12Fig. 1072

2o Colocando una resistencia de 350 oh­mios en los bornes de un condensador se regis­tra una corriente de 0,60 amperios.

a) ¿Qué resistencia se debe usar para obte­ner una corriente de 0,15 amperios?

b) ¿Cuál será la intensidad de comenté para una resistencia de 700 ohmios?

Se trata aquí de un problema de magnitu­des inversamente proporcionales?

4o Calcular la resistencia de un hilo de cobre de 5 km de longitud y de 5mm2 de sección (Resist.: 1,6 X 1Ü"6 ohm. cm).

Por la ley de Pouillet, la resistencia es di­rectamente proporcional a la longitud del hilo e inversamente proporcional a su sección.

= e^2e30= —

7

Definamos una ley S sobre el conjunto de las medidas por

med "a 0 med ¡3 = med (? © b)Se tiene entonces:

Longitud SecciónResistencia

(viene de pág. 10)

muchos programas modernos se haya dado "demasiado énfasis a la axiomática, lo cual no es sólo una aberración pedagógica, sino tam­bién una verdadera aberración matemática". Pero en este sentido la crítica no va tanto a la matemática moderna, la cual por teoría axio­mática entiende "una forma racional y orde­nada de presentar definiciones y teoremas que clasifiquen la intuición en* lugar de suprimirla" (Dieudonné, Conceptos de Matemática, vol VIII,, l\|031, pág. 15), sino más bien a los intentos exagerados de presentar la matemáti­ca abstracta a edad demasiado temprana. Pero en este sentido son pocos los que puedan tirar la primera piedra. Ya Rey Pastor, en 1927 (Geometría Racional, Primera Parte, Tercera Edición, pág. 6) califica tales intentos de "di­dácticamente equivocados, históricamente ab­surdos, conceptualmente hipertróficos y cien­tíficamente inútiles". Se trata, por tanto, de críticas a puntos de vista locales que no son, ni mucho menos, exclusivos de la matemática moderna.

Sería vano parcialismo pretender que en la enseñanza moderna de la matemática, todo son virtudes. Muchos defectos hay, la mayoría muy bien señalados por Thom en el artículo citado, pero se trata de defectos debidos en la

mayoría de los casos a falta de ponderación en la interpretación de los programas y reco­mendaciones. El mundo lleva menos de 20 años enfrascado en este cambio en la educa­ción matemática. El equilibrio y el justo me­dio necesita cierta sedimentación y perspectiva. Por el momento se puede asegurar que al limitar las protuberancias inútiles de la ense­ñanza clásica y al ampliar el campo de lo que debe entenderse por matemática en los niveles elemental y medio, no se ha perdido nada, e introduciendo nuevos conceptos como proba­bilidad, estadística, estructuras algebraicas, vectores, se ha ganado mucho. Falta pulir de­talles y evitar que algunos profesores lleven su entusiasmo más allá de lo prudente. Hay que estudiar el momento más apropiado para in­troducir estos conceptos y hasta dónde los alumnos, en cada edad, son capaces de absorber­los con provecho. Educadores y psicólogos deben colaborar en la tarea y los matemáticos debe­rán hacer los ajustes correspondientes.

Lo importante es que todos vayamos de buena fe, sin posiciones preconcebidas e irre­ductibles, y no tomemos los caminos fáciles del "snobismo*, moderno para ganar notoriedad, ni de la intransigencia "clásica" para no to­marse la molestia de estudiar la matemática moderna.

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1 - - Pl♦

? • ■

Fig. 13Resistencia Intensidad de

corriente ConclusiónSe ha podido comprobar que el cálculo con

cantidades es tan fundamental como el de números y que es preciso no confundir estas dos nociones.

Este hecho es confirmado por la física del siglo XX.

Así, por ejemplo, la masa de un núcleo atómico es inferior a la suma aritmética de las masas de sus componentes. Esta "falta de ma­sa es lo que engendra la energía nuclear.

Asimismo, la velocidad de un cuerpo mate­rial no puede nunca superar a la de la luz en el vacío, o sea, alrededor de 300.000 km/s. Por consiguiente, la suma de las velocidades está siempre limitada a dicho valor.

He aquí un ejemplo que muestra que las medidas de las velocidades no se suman como •os números reales.

Einstein mostró que las velocidades se su-

Fig. 11

3° Calcular la cantidad de calor necesaria para elevar en 15° la temperatura de de 300 g de plomo (calor específico: 0,03 cal/g).

Se trata aquí de una doble proporcionan- respecto, respectivamente, a la masa y

la elevación de temperaturas:

una masa

dad cona

Masa Cantidad de calor

Diferencia de temperatura

1 9 0,03 cal 1°300 g 1o300 g ? 15°

■

Este problema hace actuar dos morfismos::

3736 Ii

grandes inspiraciones basándose en profundas ¡deas filosóficas".

Cantor (1845-1918), unos de los funda­dores del álgebra moderna, "estudió a fondo y admiró entusiastamente a los grandes teólogos del medioevo".

grandes matemáticos, a veces completos, otras veces ricos en interrogantes.

A esta dirección se debe la construcción de la geometría en los espacios de más de tres dimensiones y en los no enclidianos, sólo para citar ejemplos que la mayoría conoce.

Según las geniales opiniones de Riemann, no se entiende al espacio en matemática como una forma de la percepción humana, sino como un conjunto de n-uplas de números. Por ejemplo, el conjunto de los números reales se denomina también espacio real de una dimen­sión; el conjunto de los pares de números reales se llama plano cartesiano o espacio real de dos dimensiones con tal que dos pares de números se consideren ¡guales cuando el pri­mer número del primer par, es igual al prime­ro del segundo, y lo mismo para el segundo número. El conjunto de las cuaternas de nú­meros reales se llama espacio de cuatro dimen­siones y cada cuaterna se denomina "punto" del mismo.

Las aplicaciones de estas geometrías han llegado decenas de años -después de su naci­miento y se han verificado en la física cuando el genio de Einstein les abrió las puertas con los descubrimientos de su pensamiento soli­tario y aislado que, en parte, se enlaza al de Riemann.

r •Naturaleza y tina idad ae a

investigación matemática 2 El rigor lógicoUn segundo carácter distintivo de la inves­

tigación matemática reside en la exigencia y, a veces, en la pretensión de un estricto rigor lógico y formal.

Justamente en estos últimos años, especial­mente por parte de algunas corrientes, se ha acentuado, el destierro del uso de vocablos no exactamente definidos. Algunos de ellos evi­dentemente subsistirán, como los términos conjunto, punto, plano, pero se debe tratar de reducirlos al mínimo, y uno de los objetivos esenciales de la investigación reside exacta­mente en esa reducción. Fácil es comprender cómo se encuentran y se entrecruzan en estos estudios los motivos semánticos, psicológicos y filosóficos.

En efecto, no es fácil de comprender, por lo menos sobre bases estrictamente materialis­tas, que todos los seres humanos que hayan superado cierto umbral de conocimiento míni­mo, se pondrán de acuerdo sobre palabras de las cuales no se puede dar una definición ex­plícita, como las arriba indicadas.

En el pensamiento humano hay evidente­mente un substrato común con el cual se forman y con el cual se fundan sus construccio­nes. Con ello se podría tratar de responder a la pregunta de Einstein; "¿Cómo puede ocu­rrir que la matemática, que al fin y al ca­bo, es un producto del pensamiento huma­no independiente de la experiencia, se adapte tan admirablemente a los objetos de la rea- lidad?" (Citado en Archlmede, A.XII,N° 2,pág. 96,1961).

Vittorio DUSE (Italia)

ido reforzando, determinando el gran desarro­llo de la ciencia moderna con lo que Lichne- rowicz denomina algebrizado/1 progresiva de toda la matemática.

La abstracción no es, por otra parte, una característica moderna de la matemática, por­que desde sus comienzos constituye su rasgo esencial, lo cual ya es prodigiosamente evi­dente en el pensamiento de los primeros gran­des matemáticos, particularmente en Pitágoras, Eudoxio y Euclides.

Pero se trataba de una abstracción conce­bida en sentido más amplio del sentido antes señalado y era, en parte, negativa para el pro­greso.de la investigación. En efecto, la mate­mática griega no quería contacto alguno con la práctica, lo que era considerado como ¡m-

1. La abstración matemáticaLa investigación matemática se desenvuelve

hoy, más que en cualquier otro siglo o, sim­plemente, algunos decenios, en dos direccio­nes, la teórica y la aplicativa.

La especialización y la división de las tareas son una exigencia del mundo moderno a la cual no ha podido sustraerse una ciencia abs­tracta cual es, y continúa siéndolo, la mate­mática. El adjetivo "abstracta" tiene aquí un significado preciso, que será bueno ¡lustrar re­curriendo a algunos ejemplos.

Cuando todos los elementos de un subcon­junto satisfacen cierta condición, resultan, p'or decirlo así, en un único elemento de un nuevo conjunto. Así, dado el conjunto de las rectas de un plano, el subconjunto de las rectas para­lelas a una recta dada, por ejemplo la vertical, se dice que forma la dirección vertical, que constituye un elemento de un nuevo conjunto, el conjunto de las direcciones. Una dirección, ya no es, pues, un objeto del cual se pueda construir un modelo, como ocurría con una de las rectas paralelas entre sí.

Así, dado el conjunto de los pares de nú­meros naturales, si partiendo de los subconjun­tos particulares de los pares de números se construye un elemento que representa todas las infinitas cuplas que están ligadas por cierta relación, se dicen equivalentes. Tal elemento puede ser la fracción, puede ser el número negativo, puede ser el número complejo. Así el número 1, por ejemplo, nace al considerar como equivalentes todos los pares como (3, 4) y 5,6) tales que 3 + 6 = 4 + 5; la fracción 3/5 nace al considerar como equivalentes, ejemplo, los pares (3,5) y (6,10) tales 3 X 10 = 5X6.

Este aspecto abstracto de la matemática, lejos de atenuarse por el influjo de las aplica­ciones técnicas y el .pensamiento moderno tan impregnado de exigencias materialistas, se ha

4. La dirección aplicativaLa dirección aplicativa de la investigación

nace y se desarrolla por el contacto con la técnica y, por eso, ha adquirido particular importancia en estos últimos años en que la técnica asiste al mencionado triunfo tantas ve­ces loado y deificado especialmente por aque­llos que de técnica poco saben y poco com­prenden.

Empero, una técnica cuantitativa siempre ha existido en la sociedad humana, e incluso en épocas muy alejadas de nuestro tiempo llegó a resultados que aun hoy nos parecen ma­ravillosos, sea en las especialidades cosmogóni­cas, como ocurre entre los caldeos y babilonios, sea en las construcciones materiales que admira­mos entre los chinos, indios, egipcios, griegos y dondequiera dominó el Imperio Romano.

Se sabe que los caldeos fueron óptimos astrónomos: calculaban los eclipses de Sol y de Luna y practicaron la trigonometría esfé­rica sobre la esfera del firmamento realizando también complicados cálculos.

Parece que Tales, en el Siglo V a.J.C. llegó a determinar distancias de navios en el mar empleando triángulos semejantes.

puro.El pensamiento moderno debía volverse a

enlazar con el de Arquímedes para progresar en la senda de los descubrimientos y también debía tener en cuenta la maravillosa construc­ción euclidiana y el método contenido en ella para su verificación formal.

He querido insistir sobre esta característica de la investigación matemática, porque de ella se pueden derivar verdaderamente considera­ciones de naturaleza variada.

La evolución del pensamiento matemático puede parangonarse con la del pensamiento filosófico. No es ciertamente por el hecho de que muchos de los filósofos máximos hayan sido también matemáticos y viceversa. No cita­ré nombres de la época más antigua porque entonces no había división, como es bien sabi­do; bastará citar en la edad moderna a Descar­tes (1596-1650), Leibniz (1646-1716), Kant (1724-1804) y, entre los contemporáneos, a Poincaré (1854-1912) y Einstein (1879-1955)

Incluso el gran matemático alemán R¡e' mann (1826-1866), que pasó largos períodos en Pisa, llegó a expresar que "tuvo sus más

3. La dirección teórica.Hablé de una división de la investigación

matemática en dos direcciones, una teórica y la otra, aplicativa. Convendrá aclarar el signifi­cado de esta bipartición antes de proseguir.

La dirección teórica se puede definir como la que siguen los que se interesan por el desa­rrollo de la teoría pura sin la más mínima preocupación por las cuestiones prácticas y con la sola exigencia de crear estructuras lógi­camente inatacables y coherentes. Se nutre de las más puras fuentes del pensamiento y del patrimonio de los estudios dejados por los

porque

;

3938!

límites, y niegan el sueño pancientífico que tantos modernos estudiosos, retomando supera­das teorías del ochocientos, quisieran hacer pasar por realidad ya realizada o por lo me­nos seguramente realizable. Sobre esto escribía hace unos 60 años el gran matemático francés H. Poincaré: "Al volverse rigurosa, la ciencia matemática adquiere un carácter artificial que golpea todo; olvida sus orígenes históricos; se ve cómo se pueden resolver las cuestiones, pero no se ve cómo y por qué surgen. Esto nos muestra que la lógica no basta, que la ciencia de la demostración no es toda la ciencia y que la intuición debe conservar su papel como complemento, quisiera decir como contrapeso y como antídoto de la lógica".

Y agrega el mismo Poincaré: "Es así como- las antiguas nociones intuitivas de nuestros pa­dres, aún cuando las hayamos- abandonado, imprimen todavía su forma a las armazones lógicas que hemos colocado en su lugar."

La naturaleza de la investigación matemá­tica ha sido pues, y todo hace pensar que seguirá siendo guía en la investigación cientí­fica justamente en virtud de su capacidad para diseñar modelos polivalentes y rigurosa­mente lógicos, pero, precisamente, universal­mente aceptado ese valor, queda delimitado su campo de acción y el de la ciencia general.

Un filósofo aleman moderno de la ciencia, Theodor Litt escribe: "En su contenido y en su estructura, "la imagen" de la naturaleza que nos proporciona la ciencia esta ordenada en el modo específico con que el "intelecto" como pensamiento metódicamente discipli­nado hace sus preguntas a la naturaleza. Esa no puede ni siquiera ser una imagen que re­produzca fielmente a la naturaleza en su tota­lidad. Por lo contrario, la "imagen" que la naturaleza ofrece a quien se le abandona sin intención particular, no está determinada ni en el contenido ni en la estructura por alguna postura especial, y muchísimo menos por la científica o metodológica: corresponde a la to­talidad viviente según la cual se presenta el mundo a quien se vuelve hacia él con el total de las fuerzas y las facultades de su ser. Por tanto, siempre estará equivocada cualquier teo­ría del conocimiento que en nombre de la ciencia matemática de la naturaleza crea tener que desmentir las evidencias que resultan del encuentro precientífico del hombre con el mundo".

Se debe tener presente que el método cien­tífico, realizado en el desarrollo de la mate­mática, está estrechamente vinculado al objeto

Entre los antiguos resalta Arquimedes (287-212 a J.C.) como genio, también en el

de las aplicaciones matemáticas por

que se está investigando. Tal método sólo pue­de nacer cuando el conjunto total de las facul­tades intelectivas, conjunto que es capaz del abandono contemplativo, se autolimita, trans­formándose en "método", a las facultades ra­cionales puras en búsqueda de una limitación del objetivo del conocimiento. El método apa­rece entonces como extrínseco de una parte de las facultades intelectivas humanas y eso no podría nunca explicar racionalmente estas fa­cultades que son, además, las únicas que vuel­ven posible el conocimiento humano, incluso el científico. Preguntas como ¿Qué es el color rojo? ¿Qué es el color azul? , no hallan una respuesta del todo correcta en la afirmación: "El color rojo es una vibración electromag­nética de longitud de onda igual a 680 Angstróm (1 A = 10”8 cm) y el color azul, una de 4300 Angstróm". En efecto, es evidente que un ciego no tendrá ninguna sensación de color por el acercamiento de dos colores que respondan a las cifras citadas.

Goethe (1749-1832) advierte el hecho y toma posición en contra de la tendencia, que ya afloraba en su época, de reducir el conoci­miento a la ciencia. Justamente, Litt escribe con respecto a la moderna ciencia de la natu­raleza: "Su elaboración de los datos experi­mentales implica expulsar del mundo todo lo que es significado. En la medida en que con el pensamiento la ciencia traduce los fenómenos del mundo exterior en un conjunto de fór­mulas matemáticas, hace desaparecer inexora­blemente lo que en ellos podía ser significado y valor cualitativo. Este vaciamiento del valor es la necesaria correlación de la actitud de frialdad imparcial que el sujeto debe tomar frente al mundo para poder verlo "objetiva­mente", esto es, para determinarlo como "ob­jeto".

Goethe comprendió que el color no simple hecho de óptica física, puesto que pue­de tomar un significado que nunca podrá dar ninguna fórmula matemática.

Otro tanto puede decirse del sonido. De muy poco puede servir el conocimiento del número de vibraciones de cada nota y de los recíprocos ángulos de desfasaje para sentir o gustar un fragmento musical, que tiene una realidad dentro del sujeto, dentro del que lo escucha, la cual escapa a un análisis cuantitati­vo y no sólo escapa-sino que sería destruida por el análisis.

La emoción estética vuelve a entrar en el concepto de experiencia integral, tan aguda­

mente analizado por algunos filósofos moder­nos.

Un educador que se deje atraer por el enfo­que de la matematización de todos los conoci­mientos, puede correr el riesgo de empobrecer la personalidad de un adolescente hasta el punto de llevarlo a despreciar la música, la pintura, la literatura y las artes en general, objetos todos ellos que podrían hacer perder a quien es inteligente un tiempo que se podría em­plear más provechosamente en el estudio de la teoría de la relatividad.

La pretensión de racionalizarlo todo, de traducirlo todo en términos cuantitativos, ma­temáticos, se alimenta de la voluntad de quitar del pensamiento humano todo lo que haya de sobrenatural,.todo lo que tenga algo que ver con un Ser supremo y con los valores reli­giosos. Empresa ésta en verdad no nueva y no vana, mantenida en esa su voluntad de abatir límites artificiales puestos a la razón humana, pero que es una tentativa vulgar y despreciable cuando tiene, como a menudo ocurre hoy, el objetivo de crear nuevos fetiches, de valor despreciable con respecto a lo que se quiere demoler.

Siempre quedará como un misterio no sólo la gran creación de un hombre el genio, sino también la elección de cierto orden en el razo­namiento lógico, por simple que sea, que se hace para resolver de algún modo, más bien que de otro, un problema.

Daré un ejemplo, elegido entre los más tri­viales, justamente para distraer y acaso para divertir al lector.

campomás que, dado su espíritu aristocrático, des­preciara sinceramente sus propias invenciones prácticas. Empero, valiéndose de ellas, los sira- cusanos llegaron a impedir que los romanos tomaran la ciudad desde el mar.

Es natural que una técnica como las indi­cadas, deba basarse, hoy más que nunca en la matemática, especialmente en algunos sectores como el de la cibernética y el de la investigación operativa, en donde los motivos teóricos se enlazan muy estrechamente a los prácticos con ventajas en una prospectiva en la cual ambos están presentes siempre con frecuentes cam­bios de los niveles de observación.

Todo el análisis algebraico lineal es funda­mental en la dicha programación lineal, esto es en la predisposición de los planos operativos que se pueden traducir en sistemas de ecuacio­nes e inecuaciones de primer grado.

Un ejemplo es el de los angloamericanos para el proyecto y la realización de convoyes de millares de navios para los desembarcos y de formaciones aéreas para los bombardeos, en la Segunda Guerra Mundial, mediante lo cual se pudo salvar la vida de millares de soldados y'obtener la victoria final.

Toda la construcción de misiles y los pro­yectos de vuelos interplanetarios está avalada en gran medida por la investigación matemá­tica aplicada y especialmente por el empleo de máquinas de calcular analógicas y numéricas.

5. Límites de los modelos matemáticos. Es el denominado problema del avispón, elegantemente expuesto por el físico G.Ga­ró ow.

La abstracción y el rigor lógico deben ine­ludiblemente estar presente no sólo en el in­vestigador teórico sino también en el aplicado.

Este, en efecto, deberá a menudo genera­lizar resultados que habrá hallado en estudios prácticos particulares y no sólo verificar si la generalización es lícita; frecuentemente deberá intentar luego traducir teorías abstractas en esquemas operativos, y a veces debido a este esfuerzo de conversión nacerán interrogantes y nuevos descubrimientos técnicos y preguntas que se deben trasladar a investigadores de otros sectores. Incluso ciertos esquemas teóri­cos simplísimos, como la numeración en base dos, que en el pasado pudieron

Dos trenes parten a la misma hora de dos estaciones, A y B, ubicados a 160 km de dis­tancia entre sí y que se dirigen uno hacia el otro a la velocidad de 80 km por hora. Un avispón parte al mismo tiempo de A y se dirige a B siguiendo la vía férrea con la velo­cidad de 80 km por hora. Cuando encuentra al tren proveniente de B siente miedo, invierte la marcha y vuelve a partir en dirección a A. De este modo vuela de un tren al otro hasta que ellos se encuentran. Cuando ve a los dos tre­nes, que le parece que se precipitan el uno sobre el otro, cae muerto de miedo. Se pre­gunta cual es la distancia total recorrida por el avispón en sus idas y venidas.

Dado que los dos trenes corren uno hacia el otro ambos a 80 km por hora, en una hora habrán recorrido entre ambos 160 km y, por

es un

. . . parecer puroejercicio, han adquirido hoy valor técnico esencial.

Pero, justamente en la abstracción, y sobre todo en el rigor lógico, la matemática, ella todas las ciencias, encuentran

y con sus propios

40 41

I’

6. Conocimiento científico yconocimiento integral.En este momento, es preciso preguntarse

cómo ha nacido y en qué consiste el conoci­miento científico, el conocimiento que tanto fascina hoy incluso a la mente de los no cien­tíficos.

Se olvida hoy muy fácilmente que los pri­meros hombres no hacían ninguna distinción entre un sujeto pensante y un objeto a cono­cer, entre una "res extensa" y una "res cogi- tans" Lo demuestran las religiones con todas sus divinidades antropomórficas y generatrices de hechos físicos al mismo tiempo; lo prueban incluso hoy los usos y las costumbres de los pue­blos bárbaros con sus fetiches y sus supersticio­nes, pero, aun más, lo prueba simplemente el desarrollo del ser humano. Para el niño, advertir que el mundo externo está separado de su ser, constituye un gran descubrimiento. Las imáge­nes que la luz lleva sobre su retina le hacen pensar que los objetos vistos son parte inte­grante de su misma persona; muchas expe­riencias, y casi todas dolorosas, debe cumplir para convencerse por ejemplo, que los ángulos de los muebles son algo fijo que no debemos golpear con violencia con la cabeza.

La ciencia nace justamente cuando adverti­mos que existe un objeto externo que el su­jeto, el hombre, el yo, puede estudiar e inclu­so modificar. El instrumento principal de es­te estudio es la matemática, pero es un instru­mento que junto a las otras disciplinas cientí­ficas penetra en el objeto, lo secciona y lo describe con un lenguaje del todo particular, que justamente por estar ligado a un fin y a un procedimiento lógico, deja de lado volunta­riamente lo accesorio y traduce todo lo que puede en medidas y en números. Pero la signifi­cación más rica para el espíritu humano es la que proviene de sus sensaciones y de éstas es de donde nace la descripción literaria, descrip­ción que abraza al sujeto y al objeto en una síntesis, que no es antitética con respecto a la descripción matemática y más bien la comple­menta, por cuanto de la agregación y com­prensión de ambas nace en el hombre la pleni­tud del conocimiento.

Con estas consideraciones no se quiere de ninguna manera disminuir la importancia del método científico que Galileo, con su obra genial, introdujo en el pensamiento moderno. En efecto, todavía hoy serían incompletos fantásticos, mágicos y, conocimientos científicos del hombre si se continuara creyendo que también las cosas

tanto, habiendo partido a 160 km de distan­cia, -se cruzan. Dado que el avispón ha volado durante todo el tiempo, o sea una hora, siem­pre a 100 km por hora, habrá recorrido 100 km.

Si se intenta resolver el problema siguiendo cada uno de los vuelos y cada una de las viradas del avispón se encuentra la misma res­puesta como suma de una progresión geomé­trica de razón 1/9 pero con un procedimiento más complejo y laborioso que requiere mu­chos conocimientos de análisis.

Incluso si se admite que una máquina pue­de resolver un problema de este tipo, lo resol­vería después de haber rec'bido del hombre oportunas instrucciones y, si estas han sido de carácter general y no específico para ese pro­blema particular, lo resolvería con el método mas mecánico, esto es con el más largo.

Pero ¿qué hay en la mente del hombre que mueve al pensamiento en primer lugar hacia la resolución y luego hacia un tipo de resolución más bien que hacia otro?

Ya Poincaré planteó este tipo de cuestión sin resolverla, acaso porque una respuesta ha­bría estado muy en contradicción-con el posi­tivismo que entonces imperaba. La falta de respuestas, que no pudo dar el genio de ese matemático y que ninguno ha dado hasta hoy, a menos de recurrir a teorías probabilísticas poco aceptables, deja abierta una de las tantas puertas que conduce a lo sobrenatural, a lo divino, o, para quien quiera eliminar estos elementos de naturaleza teológica, al misterio del conocimiento humano*

tienen un alma capaz de expresarse a quien sepa interrogarla con las fórmulas apropiadas.

• También hoy el hombre interroga a la natu­raleza, pero lo hace observándola fríamente y reproduciendo en el laboratorio en forma es­quemática, susceptible de investigación ma­temática, lo que observa.

Aquí se quiere empero afirmar que el hom­bre no debe olvidar que justamente para comprender lo que considera importante debe dejar a un lado las partes que llama accesorias, pero que, sin embargo son justamente las que le dan la sensación y el significado global de la observación.

Quisiera aclarar esto con un ejemplo.Todos saben qué es la luz en el sentido de

que todos comprenden frases como: "Ya está la luz del Sol"; "La luz ha huido", "Hay más luz", "Hay mucha luz", y otras semejantes. Y todos los hombres del mundo, incluso los que todavía están inmersos en la más profunda barbarie, usan y comprenden proposiciones de este tipo.

Empero, cuando el hombre ha querido ex­plicarse ciertos fenómenos luminosos obser­vables por todos, como los eclipses, la refle­xión de la luz que incluso sin espejos a veces aparece sobre superficies acuosas, la refrac­ción, que hace aparecer como doblado a un bastón que no lo es, las diversas fajas colo­readas que a veces se ven sobre una pared después de que un rayo solar ha golpeado sobre un ángulo de un vidrio, el arco iris y tantos otros efectos que el ojo observa con somresa, entonces el hombre ha caído, o más bien ha creído caer, en una contradición.

En efecto, algunos han afirmado: "La luz está formada por una propagación de ondas que en cierto modo se asemejan a las creadas en un estanque en el que ha caído una piedra". Empero, allí está el agua y las ondas se for­man por la elevación y el descenso de las partículas acuosas, mientras que en el espacio vacío que nos separa de las estrellas y del sol no hay nada semejante y es difícil comprender cuál es la cosa que "ondea" para trasmitir la

ridad permite superar esta antinomia de mane­ra totalmente aceptable.

¿Pero se trata verdaderamente de una anti­nomia o de cuestiones mal planteadas?

En verdad, no vemos ni a las ondas lumino­sas ni a los corpúsculos, pero sí hay luz, y esta es la realidad que ninguno puede negar puesto que todos comprenden el significado del término.

Ni la teoría ondulatoria ni la corpuscular "son" la luz; son tan sólo dos esquemas lógi­cos que hemos introducido para explicar de­terminados fenómenos, y las ondas y los cor­púsculos no "son" la realidad sino simple­mente nombres o incluso fórmulas matemáti­cas.

Frecuentemente usamos símbolos y nom­bres diversos para designar la misma realidad. Las dos expresiones

16 y V

representan ambas al número 2 en el cuerpo real.

Un trapecio se puede considerar formado por un rectángulo y dos triángulos o bien por dos triángulos. Lo real es el trapecio, el resto

interpretación nuestra (fig. 1).i es una

a)ooNinguno de estos modernos adoradores de

la ciencia debería olvidar todo lo dicho por el célebre matemático francés, P.S.Laplace (1 749-1827) al padre de A.Cauchy (1789-1857), el fundador del análisis moder­no: "Si no os apresuráis a dar a Agustín una sólida educación literaria, sus inclinaciones lo alejarán rápidamente, y para siempre, de los estudios literarios y será un

el

LZ\Fig. 1

gran matemático, pero no sabrá escribir correctamente su propia lengua". K

Cae así automáticamente la contradicción entre ondas y corpúsculos, pero es necesario aceptar el hecho de que la luz, como experien­cia integral, no puede ser traducida en fórmu­las matemáticas solamente.

Además del matemático, hay lugar para el pintor, el escultor, el músico, el literato. Cada uno puede aportar su contribución al cono­cimiento integral de la luz sin desdeñar el trabajo de la luz.

luz.Otros han dicho que la luz está formada

por el lanzamiento y bombardeo de partículas, de corpúsculos, hoy llamados "fotones". Esta hipótesis, desarrollada embrionariamente por Newton, choca sin embargo con fenómenos que no se pueden explicar con ella, mientras que por lo demás la otra no llega tampoco a explicar toda la óptica.

Ni siquiera el principio de complementa-

El consejo fue tan bien seguido que, do Cauchy fue a Cherburgo para su primer empleo como ingeniero militar, en su valija sólo había cuatro libros: la Mecánica celeste, de Laplace, el Tratado de Ias funciones analíticas de Lagrange (1736-1813); la Imitación de Je­sucristo de Tomás de Kempis (1379-1471) v un ejemplar de las obras de Virgilio.

cuan-

ende, inútiles, losporii

42 43i

8. Finalidad de la investigación matemática

La distinción hecha entre investigación teó­rica e investigación aplicada nos permite decir algo más sobre la finalidad de la investigación.

En efecto, si ésta fuese únicamente teórica, la única finalidad que se podría individualizar en ella sería la investigación de la verdad, entendida como contribución lógica impe­cable y en lo posible unitaria, en el sentido de que de un único enunciado se puede derivar el mayor número posible de deducciones. En esta investigación, la intuición tiene una gran parte y casi siempre es el punto de partida.

Esto es, quiero decir que una verdad mate­mática puede ser sentida, intuida, antes de ser demostrada; el matemático descubre una for­ma, a veces de rara belleza, pero la ve en. una integralidad indistinta que, sin embargo, inclu­so al costo de su empobrecimiento casi siem­pre inevitable, deberá ser precisada en un namiento lógico. La satisfacción y la exalta­ción que crea este procedimiento en el espíri­tu del estudioso se asemejan mucho a las del artista que termina de traducir en la materia una de sus visiones interiores.

Pero como junto a la investigación teórica es­tá la aplicativa, es innegable que a esta última se le pueden asignar fines, no se puede negar su transformación en instrumento, o sea, em­pleando una grosera palabra moderna, no se puede evitar su instrumentalización. Natural­mente, cuanto más enriquecidos estén el inte­lecto y el espíritu de quien se dedica a la investigación aplicada, tantos más frutos de valor general resultarán de su obra, de modo de superar el horizonte restringido del fin práctico.

Por lo demás, cualquier investigación, y no sólo la matemática, debería tener el fin de descubrir, a través de búsquedas cuidadosas y pacientes, de estudios y reflexiones prose­guidos a veces durante años, como ocurrió con Einstein, una parte de la verdad, que, recogida por el Ser, se distingue sin embargo en las múltiples formas que de él se originan.

El hombre, a veces por sí solo, a veces con la ayuda y el apoyo de sus semejantes, pero siempre en la soledad de su mente y con el coraje esforzado de su voluntad debe buscar aquella verdad, porque esta investigación 1° distingue y lo eleva con respecto a los demás seres vivientes permitiéndole por lo menos los débiles fulgores de una luz que está fuera e lo creado.

7. Reflexiones didácticas sobre loscaracteres de la investigación matemática

La abstracción y el rigor lógico propios de la investigación matemática,. deberían ser re­cordados también por los docentes que, como los maestros elementales, se ocupan de otras materias junto con la matemática. Pero, en­tiéndase bien, no para llenar con nociones rigurosas la mente de los niños, que no po­drían comprenderlas, sino para usar cierta cau­tela en hacer aprender, con el nombre de definiciones, frases que por cierto no definen nada; para hacer que los alumnos participen de la aproximación intuitiva de ciertas nocio­nes, como por ejemplo la de área, que sólo podrán aclarar los estudios sucesivos y a veces ni- siquiera del todo; para encontrar estímulo en el mantenimiento de vínculos, ya sea en un nivel elemental, con el desarrollo crítico de nociones basilares, como la de número, en fin, para estudiar y comprender las tendencias de los niños que, muy frecuentemente, se revelan ya desde los primeros años de estudio al ob­servador agudo, inteligente y preparado para canalizarlos y desarrollarlos en justo sentido y con justa medida. La precocidad en la ten­dencia-matemática es la regla.

Gauss tenía 9 años en 1786 cuando mara­villó al maestro y a sus compañeros respon­diendo en brevísimo tiempo al requerimiento de hallar-la suma de los primeros 60 números naturales.

Riemann en 1836, a los 10 años, encontra­ba soluciones de problemas mucho mejores que las de su maestro.

A través del estudio de la matemática, in­cluso con los primeros elementos de aritmética o geometría, se debe inclinar al alumno a gustar de la precisión, a la necesidad de con­trolar lo que hace, a traducir problemas en operaciones aritméticas, a describir objetos mediante formas geométricas planas y sólidas, al placer del descubrimiento.ihfZüEZlf Tá un eiercic¡0 matemático de aUa calidad el responder concisa y completa-mente a coestiones aparentemente slmp.efct

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rales de contorno. Se tratan y ejemplifican las coordenadas generalizadas, el principio de Hamilton y las ecuaciones de Lagrange, con­cluyéndose con un análisis de la formulación de principios mínimos más generales con apli­cación de métodos directos y semidirectos del cálculo de variaciones para la resolución de problemas prácticos.

El capítulo final presenta la teoría de las ecuaciones integrales lineales y métodos exac­tos y aproximados para resolverlas, destacando especialmente las varias interpretaciones equi­valentes de la pertinente función de Green. En los problemas enunciados se incluye considera­ble material complementario.

El libro está organizado de forma tal que la interdependencia esencial entre los capítulos es escasa en beneficio de la flexibilidad. Se incluye mucho material suplementario en los problemas enunciados que complementan a numerosos ejercicios de diversa dificultad, or­denados al final de cada capítulo en corres­pondencia con las sucesivas secciones del tex­to. Las respuestas de todos los problemas es­tán incorporadas al final de la obra.

Es un valioso aporte de esta editorial argen-

HILDEBRAND, Francis B., Métodos de la ma­temática aplicada, 465 pág., EUDEBA, Buenos Aires, 1973.

La matemática aplicada adquiere cada día más importancia y por tanto se vuelven cada vez más necesarias obras que como ésta tratan de que ingenieros y tísicos se compenetren de temas y hechos de diversos campos de la ma­temática que, no obstante su utilidad, no siempre se profundizan en las aulas. Además, muchos estudiantes están demasiado ocupados o, circunstancialmente, el tratamiento detalla­do de algunos temas no les interesa; pero luego puede ocurrir que necesiten aplicar con eficiencia ciertos datos o técnicas y para ello deben conocer con cierta profundidad los prin­cipios básicos. Para ser útil en estos casos se ha escrito esta obra que trata de pre­sentar los resultados en la forma más cla­ra posible tratando de mostrar cómo pue­den surgir los problemas típicos y presentando los enfoques teóricos que tienen principal sig­nificado práctico y desarrollando técnicas para el estudio analítico y numérico y la resolución de problemas.

El libro comprende un capítulo referente a matrices y ecuaciones lineales, las fórmulas cuadráticas y hermitianas y las operaciones con vectores y matrices, destacando el concep­to de los valores característicos, incluyéndose un breve resumen de los resultados correspon­dientes en el espacio funcional.

En el segundo capítulo se presenta la nota­ción variacional y se desarrollan las ecuaciones de Euler para problemas del cálculo de varia­ciones, haciendo resaltar las condiciones natu-

razo-

tina.J. Torres Varela

mo:

MARJORAM, D. T. E., Teaching Mathematics, 223 pág. HEINEMANN EDUCATIONAL BOOKS LTD., Londres, 1974.

Los problemas relativos a la enseñanza mo­derna de la matemática llevaron a una reconsi-

Al resolver los problemas, el docente haráSue pea m¡íeman° '' T™* del ™“entoque permite a menudo ahorrar enojosas e in ciertas tentativas y largos cálculos.:

4544

CHASSE J. L. y PAVE A. Probabilités statisti- ques et biologie, Editions CEDIC, París, 1975.

En este libro se trata de dar una presenta­ción de los elementos fundamentales de las probabilidades y de la estadística que pueda ser entendida incluso por los "no matemá­ticos".

Los autores J. L. Chassé y A. Pavé tienen mucha experiencia en trabajos dirigidos de matemática en el primer ciclo francés de los estudios de biología y geología y en las tareas de readiestramiento de profesores de la espe­cialidad; Vale decir, que la exposición debe adaptarse a lectores de diferente nivel por lo cual se han tratado temas que pudieran inte­resar a todos.

Aun cuando la obra se adapta al programa de la Universidad de Lyon, tiene también muy en cuenta a una encuesta internacional trató de determinar el mínimo de conocimien­tos matemáticos que biólogos, médicos, agró­nomos, geólogos, etc., necesitan para sus res­pectivas disciplinas y para usarlas en el plano profesional.

La obra comprende los siguientes capítulos:1. Introducción a la estadística descriptiva;2. Introducción al cálculo de probabilidades;3. Nociones de variable aleatoria y de ley de probabilidad; variables aleatorias discretas;4. Variables aleatorias continuas; 5. Muestreo y estimación estadística; 6. Tests de hipótesis; 7. Regresión. Correlación. Ajuste; 8. Anexos; 9. Bibliografía.

El camino adoptado es, pues, el del inves­tigador que, en su práctica, tiene necesidad en algún momento de emplear la estadística y que, rápidamente, advierte que no puede con­tentarse con una simple colección de recetas que le conducirán necesariamente a emplear técnicas que no se adecúan bien a la situación experimental. La comprensión de los tests que se incluyen lleva naturalmente a abordar el cálculo de probabilidades, las nociones de va­riable aleatoria y de ley de probabilidad y las reglas de las muestras.

La comprensión de esos elementos debe permitir al lector superar los textos comunes en el empleo de técnicas estadísticas más ela­boradas y más potentes. Por eso, este libro resultará muy útil a quienes sa» ocupen de la enseñanza de las probabilidades y la estadís­tica.

deración de la mayoría de los aspectos de la enseñanza. Esto no sólo se refiere al contenido programático, sino también a la presentación, organización de la clase y métodos de trabajo.

¿Cómo pueden alcanzarse estos requeri­mientos de manera que se cumplan los planes y los objetivos que se proponen los planes de estudio? Por supuesto, el análisis no resulta nada fácil. Acaso por ello, este libro comienza acentuando la importancia y la necesidad de

exista continuidad entre la enseñanza de la matemática en las escuelas primarias y se­cundarias, y los capítulos iniciales se refieren a los propósitos y al contenido matemático, in­tentando mostrar la importancia de los temas y su utilidad para la vida real.

LEDESMASOCIEDAD ANONIMA AGRICOLA INDUSTRIAL

que ha hecho de Jujuy y del Noroeste Argentino un polo de desarrollo de nuestra economía, produce y transforma materia prima nacional con recursos y mano de obra del país y concreta en los hechos una tarea de gran trascendencia económico-social.

que

El autor ha escrutado los diferentes enfo­que empleados tradicionalmente desde el pri­mer grado primario hasta el último año secun­dario, describiendo y opinando sobre los con­ceptos y técnicas de la enseñanza moderna. Hay tópicos importantes que se refieren a las relaciones de la matemática con otras asigna­turas, a los exámenes y pruebas de examen, a la organización de la clase y a los materiales y aparatos empleados.

El libro comprende los siguientes capítulos: 1. ¿Qué es la matemática? ; 2. ¿Cómo enseñar matemática en las escuelas? ; 3. Bases rías; 4. Los años primeros y medios de la es­cuela secundaria; 5. La matemática en los últi­mos años secundarios y en la "sixth" forma. 6. La matemática y otras disciplinas; 7. La; pruebas y los exámenes; 8. La organización del aula; 9. Adaptación a la matemática; 10. El camino a seguir. El libro concluye con una amplia Bibliografía referente a la enseñanza de la matemática primaria, secundaria, a la mate­mática y otras disciplinas, a la evaluación y exámenes, al trabajo práctico y a los proyectos a la historia de la matemática y, finalmente misceláneas.

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Las circunstancias económicas reinantes nos han obligado, para asegurar la continuidad de la aparición de la revista, a establecer los siguientes nuevos precios:

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Suscripción 1975 (números 33 al 36): $ 120 Números atrasados (1 al 32): $ 50 cada uno

El autor es un antiguo y reputado profesor de matemática de Gran Bretaña v ahora es jefe de inspectores en su país y sus libros han sido traducidos a diferentes idiomas.

Solicitamos de los lectores qué ya han abonado su suscripción con los precios anteriores, nos envíen la diferencia a la brevedad.Asimismo, la adquisición de números atrasados para completar colecciones, nos ayudará mucho a resolver dificultades.

La lectura del libro es importante para cualquiera que desee informarse sobre las teo­rías actuales y sobre la práctica inglesa, trátese de estudiantes de profesorado sores en actividad.

como de profe- El libro ha sido cuidadosamente pre­sentado.

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